一次函数图像与性质复习

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一次函数的图象与性质(学习重点)

一次函数的图象与性质【知识要点】1、函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象是一条直线；当b＞0时，直线y=kx+b是由直线y=kx向上平移b个单位长度得到的；当b ＜0时，直线y=kx+b是由直线y=kx 向下平移个单位长度得到的.（k为常数，且）过（0，b）和（，0）点的一条直线的取3、、对一次函数的图象和性质的影响：k决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），b决定它与y 轴交点的位置，k、b一起决定直线经过的象限．4、两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：（1）与相交；（2），且与平行；*（3）与垂直；【典型例题】1、（1）已知一次函数的图象如图所示，那么的取值范围是（）A． B．C． D．（2）如果直线y=ax+b经过第一、二、三象限，那么ab__________0．（3）点是一次函数y=-4x+3图象上的两个点，且，则_______．2、根据函数的图象，求函数的解析式．3、（1）已知直线，与直线平行，且与轴的交点是（0，），则直线解析式为___________________．（2）若直线与平行，且同一横坐标在两条直线上对应的点的纵坐标相差1个单位长度，则直线解析式为________________________．5、在平面直角坐标系xOy中，已知两点，，在y轴上求作一点P，使AP＋BP最短，并求出点P的坐标.6、已知一次函数的图象过点，与轴交于点，与轴交于点，且，求点的坐标．7、在平面直角坐标系中，将直线沿轴向上平移2个单位后得到直线l，已知l经过点A（－4, 0）．（1）求直线l的解析式；（2）设直线l与轴交于点B，点P在坐标轴上，△ABP与△ABO的面积之间满足, 求P的坐标．一次函数\一、目标认知学习目标：1．理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数y=kx的图象，能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题。

2. 理解一次函数的概念，理解一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=kx的图象之间的关系，能正确画出一次函数y=kx+b的图象。

中考数学考点10一次函数图像与性质总复习(解析版)

一次函数的图像与性质【命题趋势】在中考中.主要以选择题、填空题和解答题形式出现.主要考查一次函数的图像与性质.确定一次函数的解析式.一次函数与方程（组）、不等式的关系。

一次函数与二次函数、反比例函数综合也是中考重点之一。

【中考考查重点】一、结合具体情景体会一次函数的意义.能根据已知条件确定一次函数的表达式；二、利用待定系数法确定一次函数的表达式；三、根据一次函数画出图像.探索并理解k＞0和k＜0时.图像的变化情况；四、体会一次函数与二元一次方程的关系考点一：一次函数及其图像性质概念一般地.形如y=kx+b(k,b为常数.k≠0）的函数.叫做一次函数.当b=0十.即y=kx.这时称y是x的正比例函数（一次函数的特殊形式）增减性k＞0k＜0从左向右看图像呈上升趋势.y随x的增大而增大从左向右看图像呈下降趋势.y随x的增大而较少图像（草图）b＞0b=0b＜0b＜0b=0 b＜0经过象限一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二、三、四与y轴的交点位置b＞0.交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0.交点在y轴负半轴上【提分要点】：1.若两直线平行.则；2.若两直线垂直.则1．（2021春•大安市期末）一次函数y＝2x﹣1图象经过象限（）A．一、二、三B．一、二、四C．二、三、四D．一、三、四【答案】D【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣1.k＝2＞0.b＝﹣1＜0.∴该函数图象经过一、三、四象限.故选：D．2．（2021秋•肃州区期末）对于一次函数y＝x+6.下列结论错误的是（）A．函数值随自变量增大而增大B．函数图象与x轴正方向成45°角C．函数图象不经过第四象限D．函数图象与x轴交点坐标是（0.6）【答案】D【解答】解：A、∵一次函数y＝x+6中k＝1＞0.∴函数值随自变量增大而增大.故A 选项正确；B、∵一次函数y＝x+6与x、y轴的交点坐标分别为（﹣6.0）.（0.6）.∴此函数与x轴所成角度的正切值＝＝1.∴函数图象与x轴正方向成45°角.故B选项正确；C、∵一次函数y＝x+6中k＝1＞0.b＝6＞0.∴函数图象经过一、二、三象限.故C选项正确；D、∵令y＝0.则x＝﹣6.∴一次函数y＝x+6与x轴的交点坐标分别为（﹣6.0）.故D选项错误．故选：D．3．（2021秋•东港市期中）点A（﹣1.y1）和点B（﹣4.y2）都在直线y＝﹣2x上.则y1与y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．y1≥y2【答案】B【解答】解：∵k＝﹣2＜0.∴y随x的增大而减小.又∵点A（﹣1.y1）和点B（﹣4.y2）都在直线y＝﹣2x上.且﹣1＞﹣4.∴y1＜y2．故选：B4．（2021秋•三水区期末）若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限.则一次函数y＝bx+k的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：一次函数y＝kx+b过一、二、四象限.则函数值y随x的增大而减小.因而k＜0；图象与y轴的正半轴相交则b＞0.因而一次函数y＝bx﹣k的一次项系数b＞0.y随x的增大而增大.经过一三象限.常数项k＜0.则函数与y轴负半轴相交.因而一定经过一三四象限.故选：D．考点二：一次函数解析式的确定方法待定系数法步骤1.设：一般式y=kx+b（k≠0）（题干中未给解析式需设）2.代：找出一次函数图像上的两个点.并且将点坐标代入函数解析式.得到二元一次方程组；3.求：解方程（组）求出k、b的值；4.写：将k、b的值代入.直接写出一次函数解析式5．（2021秋•尤溪县期中）已知一次函数y＝x+b过点（﹣1.﹣2）.那么这个函数的表达式为（）A．y＝x﹣1B．y＝x+1C．y＝x﹣2D．y＝x+2【答案】A【解答】解：把（﹣1.﹣2）代入y＝x+b得：﹣2＝﹣1+b.解得：b＝﹣1.则一次函数解析式为y＝x﹣1.故选：A．6．（2021春•海珠区期末）已知一次函数y＝mx﹣4m.当1≤x≤3时.2≤y≤6.则m的值为（）A．3B．2C．﹣2D．2或﹣2【答案】C【解答】解：当m＞0时.一次函数y随x增大而增大.∴当x＝1时.y＝2且当x＝3时.y＝6.令x＝1.y＝2.解得m＝.不符题意.令x＝3.y＝6.解得m＝﹣6.不符题意.当m＜0时.一次函数y随x增大而减小.∴当x＝1时.y＝6且当x＝3时.y＝2.令x＝1.y＝6.解得m＝﹣2.令x＝3.y＝2.解得m＝﹣2.符合题意.∴故选：C．7．（2021秋•萧山区月考）已知y与x﹣2成正比例.且当x＝1时.y＝1.则y与x之间的函数关系式为．【答案】y＝﹣x+2【解答】解：设y＝k（x﹣2）（k≠0）.将x＝1时y＝1代入.得1＝k（1﹣2）.解得k＝﹣1.所以y＝﹣x+2；故答案为：y＝﹣x+2．8．（2021春•古丈县期末）某个一次函数的图象与直线y＝x+6平行.并且经过点（﹣2.﹣4）.则这个一次函数的解析式为（）A．y＝﹣x﹣5B．y＝x+3C．y＝x﹣3D．y＝﹣2x﹣8【答案】C【解答】解：由一次函数的图象与直线y＝x+6平行.设直线解析式为y＝x+b.把（﹣2.﹣4）代入得：﹣4＝﹣1+b.即b＝﹣3.则这个一次函数解析式为y＝x﹣3．故选：C．考点三：一次函数图像的平移平移前平移方式（m＞0）平移后简记y=kx+b 向左平移m个单位长度y=k（x+m）+bx左加右减向右平移m个单位长度y=k（x-m）+b向上平移m个单位长度y=kx+b+m等号右端整体上加下减向下平移m个单位长度y=kx+b-m9．（2021秋•金安区校级期中）将直线y＝2x向右平移1个单位.再向上平移1个单位后.所得直线的表达式为（）A．y＝2x﹣1B．y＝2x C．y＝2x+4D．y＝2x﹣2【答案】A【解答】解：将直线y＝2x向右平移1个单位.再向上平移1个单位后.所得直线的解析式为y＝2（x﹣1）+1.即y＝2x﹣1．故选：A．10．（2021春•米易县期末）一次函数y＝2x﹣4的图象由正比例函数y＝2x的图象（）A．向左平移4个单位长度得到B．向右平移4个单位长度得到C．向上平移4个单位长度得到D．向下平移4个单位长度得到【答案】D【解答】解：将正比例函数y＝2x的图象向下平移4个单位即可得到y＝2x﹣4的图象．故选：D．11．（2021秋•长丰县月考）已知点A（2.4）沿水平方向向左平移3个单位长度得到点A'.若点A'在直线y＝x+b上.则b的值为（）A．1B．3C．5D．﹣1【答案】C【解答】解：∵点A（2.4）沿水平方向向左平移3个单位长度得到点A'.∴点A'的坐标为（﹣1.4）．又∵点A'在直线y＝x+b上.∴4＝﹣1+b.∴b＝5．故选：C考点四：一次函数与方程（组）、不等式与一元一次方程的关系方程ax+b=0（a≠0）的解是一次函数y=ax+b(a≠0）的函数值为0时自变量的取值.还是直线y=ax+b(a≠0）与x轴交点的横坐标与二元一次方程组的关系方程组的解时直线的交点坐标与一元一次不等式的关系1.从“数”来看（1）kx+b＞0的解集是y=kx+b中.y＞0时x的取值范围（2）kx+b＞＜0的解集是y=kx+b中.y＜0时x的取值范围2.从“形”上看（1）kx+b＞0的解集是y=kx+b函数图像位于x上方部分对应的点的横坐标（2）kx+b＜0的解集是y=kx+b函数图像位于x下方部分对应的点的横坐标12．（2021秋•乐平市期中）一次函数y＝kx+b的图象如图所示.则关于x的方程kx+b ＝0的解为（）A．x＝0B．x＝3C．x＝﹣2D．x＝﹣3【答案】B【解答】解：∵直线与x轴交点坐标为（3.0）.∴kx+b＝0的解为x＝3.故选：B．13．（2021秋•安徽期中）已知一次函数y＝ax﹣1与y＝mx+4的图象交于点A（3.1）.则关于x的方程ax﹣1＝mx+4的解是（）A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝3D．x＝4【答案】C【解答】解：∵一次函数y＝ax﹣1与y＝mx+4的图象交于点A（3.1）.∴ax﹣1＝mx+4的解是x＝3．故选：C．14．（2021春•沧县期末）如图.直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20.25）.根据图象可知.方程x+5＝ax+b的解是（）A．x＝20B．x＝5C．x＝25D．x＝15【答案】A【解答】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20.25）.∴方程x+5＝ax+b的解为x＝20．故选：A．15．（2020秋•建湖县期末）如图.一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣1.﹣2）和点B（﹣2.0）.一次函数y＝2x的图象过点A.则不等式2x＜kx+b≤0的解集为（）A．x≤﹣2B．﹣2≤x＜﹣1C．﹣2＜x≤﹣1D．﹣1＜x≤0【答案】B【解答】解：∵由图象可知：正比例函数y＝2x和一次函数y＝kx+b的图象的交点是A（﹣1.﹣2）.∴不等式2x＜kx+b的解集是x＜﹣1.∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是B（﹣2.0）.∴不等式kx+b≤0的解集是x≥﹣2.∴不等式2x＜kx+b＜0的解集是﹣2≤x＜﹣1.故选：B．16．（2021秋•兴宁区校级月考）如图.直线y＝kx+b交x轴于点A（﹣2.0）.直线y＝mx+n交x轴于点B（5.0）.这两条直线相交于点C（2.c）.则关于x的不等式组的解集为（）A．x＜5B．1＜x＜5C．﹣2＜x＜5D．x＜﹣2【答案】D【解答】解：y＝kx+b＜0.则x＜﹣2.y＝mx+n＞0.则x＜5.关于x的不等式组的解集为：x＜﹣2.故选：D．17．（2020秋•西林县期末）如图所示是函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象.则方程组的解是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象交于点（3.4）.∴方程组的解是．故选：C．1．（2021春•扎兰屯市期末）将直线y＝﹣2x﹣2向右平移1个单位长度.可得直线的表达式为（）A．y＝2x B．y＝﹣2x﹣4C．y＝﹣2x D．y＝﹣2x+4【答案】C【解答】解：由“左加右减”的原则可知.把直线y＝﹣2x﹣2向右平移1个单位长度.可得直线的解析式为：y＝﹣2（x﹣1）﹣2.即y＝﹣2x．故选：C．2．（2021春•玉田县期末）下列有关一次函数y＝﹣6x﹣5的说法中.正确的是（）A．y的值随着x值的增大而增大B．函数图象与y轴的交点坐标为（0.5）C．当x＞0时.y＞﹣5D．函数图象经过第二、三、四象限【答案】D【解答】解：∵y＝﹣6x﹣5.﹣6＜0.﹣5＜0.∴y随x的增大而减小.故选项A不符合题意；当x＝0时.y＝﹣6×0﹣5＝﹣5.即函数图象与y轴的交点坐标为（0.﹣5）.故选项B不符合题意；当x＞0时.y＜﹣5.故选项C不符合题意；函数图象经过第二、三、四象限.故选项D符合题意；故选：D．3．（2021春•红寺堡区期末）点P1（x1.y1）.点P2（x2.y2）是一次函数y＝﹣4x+3图象上的两个点.且x1＜x2.则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＞y2＞0C．y1＜y2D．y1＝y2【答案】A【解答】解：∵k＝﹣4＜0.∴y随x的增大而减小.又∵x1＜x2.∴y1＞y2．故选：A．4．（2021秋•运城期中）在平面直角坐标系中.一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象经过点A（2.﹣1）.则这个一次函数的表达式是（）A．y＝﹣2x+3B．y＝x+3C．y＝2x+3D．y＝x+3【答案】A【解答】解：∵一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象经过点A（2.﹣1）.∴2k+3＝﹣1解得k＝﹣2.∴一次函数的表达式是y＝﹣2x+3．故选：A．5．（2021秋•南海区期中）如图.一次函数y＝kx+b的图象经过点（2.0）、（0.1）.则下列结论正确的是（）A．k＝1B．关于x的方程kx+b＝0的解是x＝2C．b＝2D．关于x的方程kx+b＝0的解是x＝1【答案】B【解答】解：A．∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（2.0）、（0.1）.∴.解得：.故选项A不符合题意；B．由图象得：关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2正确.故选项B符合题意；C．由图象得：当x＝0时.y＝1.即b＝1.故选项C不符合题意；D．由图象得：y＝0.即kx+b＝0时.x＝2.∴关于x的方程kx+b＝0的解是x＝2.故选项D不符合题意；故选：B．6．（2021秋•滕州市期中）直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0.2）.B（1.0）.则关于x的方程ax+b＝0的解为（）A．x＝0B．x＝2C．x＝1D．x＝3【答案】C【解答】解：方程ax+b＝0的解.即为函数y＝ax+b图象与x轴交点的横坐标.∵直线y＝ax+b过B（1.0）.∴方程ax+b＝0的解是x＝1.故选：C．7．（2021秋•龙凤区期末）一次函数y＝mx﹣n（m.n为常数）的图象如图所示.则不等式mx﹣n≥0的解集是（）A．x≥2B．x≤2C．x≥3D．x≤3【答案】D【解答】解：由图象知：不等式mx﹣n≥0的解集是x≤3.故选：D．8．（2020秋•开化县期末）如图.直线y＝2x+n与y＝mx+3m（m≠0）的交点的横坐标为﹣1.则关于x的不等式2x+n＜mx+3m＜0的整数解为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣3.5【答案】B【解答】解：∵直线y＝2x+n与y＝mx+3m（m≠0）的交点的横坐标为﹣1.∴关于x的不等式2x+n＜mx+3m的解集为x＜﹣1.∵y＝x+3＝0时.x＝﹣3.∴mx+3m＜0的解集是x＞﹣3.∴2x+n＜mx+3m＜0的解集是﹣3＜x＜﹣1.所以不等式2x+n＜mx+3m＜0的整数解为﹣2.故选：B．9．（2021春•单县期末）已知方程组的解为.则直线y＝﹣x+2与直线y ＝2x﹣7的交点在平面直角坐标系中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解答】解：∵方程组的解为.∴直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点坐标为（3.﹣1）.∵x＝3＞0.y＝﹣1＜0.∴交点在第四象限．故选：D．10．（2021春•武陵区期末）对于实数a.b.我们定义符号max{a.b}的意义为：当a≥b 时.max{a.b}＝a；当a＜b时.max{a.b}＝b；如：max{4.﹣2}＝4.max{3.3}＝3.若关于x 的函数为y＝max（2x﹣1.﹣x+2}.则该函数的最小值是（）A．2B．1C．0D．﹣1【答案】B【解答】解：当2x﹣1≥﹣x+2时.解得：x≥1.此时y＝2x﹣1.∵2＞0.∴y随x的增大而增大.当x＝1时.y最小为1；当2x﹣1＜﹣x+2时.解得：x＜1.此时y＝﹣x+2.∵﹣1＜0.∴y随x的增大而减小.综上.当x＝1时.y最小为1.故选：B．11．（2020秋•成安县期末）如图.若直线y＝kx+b与x轴交于点A（﹣4.0）.与y轴正半轴交于B.且△OAB的面积为4.则该直线的解析式为（）A．B．y＝2x+2C．y＝4x+4D．【答案】A【解答】解：∵A（﹣4.0）.∴OA＝4.∵×4×OB＝4.解得OB＝2.∴B（0.2）.把A（﹣4.0）.B（0.2）代入y＝kx+b.∴.解得.∴直线解析式为y＝x+2．故选：A．12．（2021春•饶平县校级期末）已知2y﹣3与3x+1成正比例.则y与x的函数解析式可能是（）A．y＝3x+1B．C．D．y＝3x+2【答案】C【解答】解：∵2y﹣3与3x+1成正比例.则2y﹣3＝k（3x+1）.当k＝1时.2y﹣3＝3x+1.即y＝x+2．故选：C．13．（2021秋•榆林期末）已知直线l1交x轴于点（﹣3.0）.交y轴于点（0.6）.直线l2与直线l1关于x轴对称.将直线l1向下平移8个单位得到直线l3.则直线l2与直线l3的交点坐标为（）A．（﹣1.﹣4）B．（﹣2.﹣4）C．（﹣2.﹣1）D．（﹣1.﹣1）【答案】A【解答】解：设直线l1为y＝kx+b.∵直线l1交x轴于点（﹣3.0）.交y轴于点（0.6）.∴.解得.∴b＝﹣4.∴直线l1为y＝2x+6.将直线l1向下平移8个单位得到直线l3：y＝2x+6﹣8＝2x﹣2.∵直线l2与直线l1关于x轴对称.∴直线l2交x轴于点（﹣3.0）.交y轴于点（0.﹣6）.∴直线l2为y＝﹣2x﹣6.解得.∴直线l2与直线l3的交点坐标为（﹣1.﹣4）.故选：A．1．（2021•长沙）下列函数图象中.表示直线y＝2x+1的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵k＝2＞0.b＝1＞0.∴直线经过一、二、三象限．故选：B．2．（2021•嘉峪关）将直线y＝5x向下平移2个单位长度.所得直线的表达式为（）A．y＝5x﹣2B．y＝5x+2C．y＝5（x+2）D．y＝5（x﹣2）【答案】A【解答】解：将直线y＝5x向下平移2个单位长度.所得的函数解析式为y＝5x﹣2．故选：A．3．（2021•陕西）在平面直角坐标系中.将直线y＝﹣2x向上平移3个单位.平移后的直线经过点（﹣1.m）.则m的值为（）A．﹣1B．1C．﹣5D．5【答案】D【解答】解：将直线y＝﹣2x向上平移3个单位.得到直线y＝﹣2x+3.把点（﹣1.m）代入.得m＝﹣2×（﹣1）+3＝5．故选：D．4．（2021•抚顺）如图.直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m.2）.则关于x的方程kx+b ＝2的解是（）A．x＝B．x＝1C．x＝2D．x＝4【答案】B【解答】解：∵直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m.2）.∴2＝2m.∴m＝1.∴P（1.2）.∴当x＝1时.y＝kx+b＝2.∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝1.故选：B．5．（2020•牡丹江）两个一次函数y＝ax+b和y＝bx+a.它们在同一个直角坐标系的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：当a＞0.b＞0时.一次函数y＝ax+b和y＝bx+a的图象都经过第一、二、三象限.当a＞0.b＜0时.一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限.函数y＝bx+a的图象经过第一、二、四象限.当a＜0.b＞0时.一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限.函数y＝bx+a的图象经过第一、三、四象限.当a＜0.b＜0时.一次函数y＝ax+b和y＝bx+a的图象都经过第二、三、四象限.由上可得.两个一次函数y＝ax+b和y＝bx+a.它们在同一个直角坐标系的图象可能是B中的图象.故选：B．6．（2021•乐山）如图.已知直线l1：y＝﹣2x+4与坐标轴分别交于A、B两点.那么过原点O且将△AOB的面积平分的直线l2的解析式为（）A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝2x【答案】D【解答】解：如图.当y＝0.﹣2x+4＝0.解得x＝2.则A（2.0）；当x＝0.y＝4.则B（0.4）.∴AB的中点坐标为（1.2）.∵直线l2把△AOB面积平分∴直线l2过AB的中点.设直线l2的解析式为y＝kx.把（1.2）代入得2＝k.解得k＝2.∴l2的解析式为y＝2x.故选：D．7．（2021•娄底）如图.直线y＝x+b和y＝kx+4与x轴分别相交于点A（﹣4.0）.点B（2.0）.则解集为（）A．﹣4＜x＜2B．x＜﹣4C．x＞2D．x＜﹣4或x＞2【答案】A【解答】解：∵当x＞﹣4时.y＝x+b＞0.当x＜2时.y＝kx+4＞0.∴解集为﹣4＜x＜2.故选：A．8．（2019•苏州）若一次函数y＝kx+b（k.b为常数.且k≠0）的图象经过点A（0.﹣1）.B （1.1）.则不等式kx+b＞1的解集为（）A．x＜0B．x＞0C．x＜1D．x＞1【答案】D【解答】解：如图所示：不等式kx+b＞1的解为：x＞1．故选：D．9．（2021•德阳）关于x.y的方程组的解为.若点P（a.b）总在直线y＝x上方.那么k的取值范围是（）A．k＞1B．k＞﹣1C．k＜1D．k＜﹣1【答案】B【解答】解：解方程组可得..∵点P（a.b）总在直线y＝x上方.∴b＞a.∴＞﹣k﹣1.解得k＞﹣1.故选：B．10．（2021•呼和浩特）在平面直角坐标系中.点A（3.0）.B（0.4）．以AB为一边在第一象限作正方形ABCD.则对角线BD所在直线的解析式为（）A．y＝﹣x+4B．y＝﹣x+4C．y＝﹣x+4D．y＝4【答案】A【解答】解：过D点作DH⊥x轴于H.如图.∵点A（3.0）.B（0.4）．∴OA＝3.OB＝4.∵四边形ABCD为正方形.∴AB＝AD.∠BAD＝90°.∵∠OBA+∠OAB＝90°.∠OAB+∠DAH＝90°.∴∠ABO＝∠DAH.在△ABO和△DAH中..∴△ABO≌△DAH（AAS）.∴AH＝OB＝4.DH＝OA＝3.∴D（7.3）.设直线BD的解析式为y＝kx+b.把D（7.3）.B（0.4）代入得.解得.∴直线BD的解析式为y＝﹣x+4．故选：A．11．（2019•江西）如图.在平面直角坐标系中.点A.B的坐标分别为（﹣.0）.（.1）.连接AB.以AB为边向上作等边三角形ABC．（1）求点C的坐标；（2）求线段BC所在直线的解析式．【答案】（1）（.2）（2）y＝x+．【解答】解：（1）如图.过点B作BH⊥x轴.∵点A坐标为（﹣.0）.点B坐标为（.1）.∴|AB|＝＝2.∵BH＝1.∴sin∠BAH＝＝.∴∠BAH＝30°.∵△ABC为等边三角形.∴AB＝AC＝2.∴∠CAB+∠BAH＝90°.∴点C的纵坐标为2.∴点C的坐标为（.2）．（2）由（1）知点C的坐标为（.2）.点B的坐标为（.1）.设直线BC的解析式为：y＝kx+b.则.解得.故直线BC的函数解析式为y＝x+．1．（2021•庐阳区校级一模）一次函数y＝﹣2x﹣3的图象和性质．叙述正确的是（）A．y随x的增大而增大B．与y轴交于点（0.﹣2）C．函数图象不经过第一象限D．与x轴交于点（﹣3.0）【答案】C【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x﹣3.∴该函数y随x的增大而减小.故选项A错误；与y轴交于点（0.﹣3）.故选项B错误；该函数图象经过第二、三、四象限.不经过第一象限.故选项C正确；与x轴交于点（﹣.0）.故选项D错误；故选：C．2．（2021•陕西模拟）平面直角坐标系中.直线y＝﹣2x+m沿x轴向右平移4个单位后恰好经过（1.2）.则m＝（）A．﹣1B．2C．﹣4D．﹣3【答案】C【解答】解：直线y＝﹣2x+m沿x轴向右平移4个单位后得到y＝﹣2（x﹣4）+m.∵经过（1.2）.∴2＝﹣2（1﹣4）+m.解得m＝﹣4.故选：C．3．（2021•商河县校级模拟）若一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限.则一次函数y＝﹣bx+k的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解答】解：一次函数y＝kx+b过一、二、四象限.则函数值y随x的增大而减小.因而k＜0；图象与y轴的正半轴相交则b＞0.因此一次函数y＝﹣bx+k的一次项系数﹣b＜0.y随x的增大而减小.经过二四象限.常数项k＜0.则函数与y轴负半轴相交.因此一定经过二三四象限.因此函数不经过第一象限．故选：A．4．（2021•萧山区一模）已知y﹣3与x+5成正比例.且当x＝﹣2时.y＜0.则y关于x的函数图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限【答案】D【解答】解：∵y﹣3与x+5成正比例.∴设y﹣3＝k（x+5）.整理得：y＝kx+5k+3．当x＝﹣2时.y＜0.即﹣2k+5k+3＜0.整理得3k+3＜0.解得：k＜﹣1．∵k＜﹣1.∴5k+3＜﹣2.∴y＝kx+5k+3的图象经过第二、三、四象限．故选：D．5．（2021•陕西模拟）一次函数y＝kx+b的图象经过点A（2.3）.每当x增加1个单位时.y 增加3个单位.则此函数表达式是（）A．y＝x+3B．y＝2x﹣3C．y＝3x﹣3D．y＝4x﹣4【答案】C【解答】解；由题意可知一次函数y＝kx+b的图象也经过点（3.6）.∴.解得∴此函数表达式是y＝3x﹣3.故选：C．6．（2021•蕉岭县模拟）在平面直角坐标系中.一次函数y＝mx+b（m.b均为常数）与正比例函数y＝nx（n为常数）的图象如图所示.则关于x的方程mx＝nx﹣b的解为（）A．x＝3B．x＝﹣3C．x＝1D．x＝﹣1【答案】A【解答】解：∵两条直线的交点坐标为（3.﹣1）.∴关于x的方程mx＝nx﹣b的解为x＝3.故选：A．7．（2021•奉化区校级模拟）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中.经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分.则该直线l的解析式为（）A．y＝﹣x B．y＝﹣x C．y＝﹣x D．y＝﹣x【答案】D【解答】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A.过A作AB⊥OB于B.B过A 作AC⊥OC于C.∵正方形的边长为1.∴OB＝3.∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分.∴S△AOB＝4+1＝5.∴OB•AB＝5.∴AB＝.∴OC＝.由此可知直线l经过（﹣.3）.设直线方程为y＝kx.则3＝﹣k.k＝﹣.∴直线l解析式为y＝﹣x.故选：D．8．（2021•遵义一模）如图.直线y＝kx+b（k＜0）与直线y＝x都经过点A（3.2）.当kx+b＞x时.x的取值范围是（）A．x＜2B．x＞2C．x＜3D．x＞3【答案】C【解答】解：由图象可知.当x＜3时.直线y＝kx+b在直线y＝x上方.所以当kx+b＞x时.x的取值范围是x＜3．故选：C．9．（2021•饶平县校级模拟）如图.函数y＝ax+b和y＝﹣x的图象交于点P.则根据图象可得.关于x.y的二元一次方程组中的解是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：当y＝1时.﹣x＝1.解得x＝﹣3.则点P的坐标为（﹣3.1）.所以关于x.y的二元一次方程组中的解为．故选：C．10．（2021•杭州模拟）已知直线l：y＝kx+b经过点A（﹣1.a）和点B（1.a﹣4）.若将直线l向上平移2个单位后经过原点.则直线的表达式为（）A．y＝2x+2B．y＝2x﹣2C．y＝﹣2x+2D．y＝﹣2x﹣2【答案】D【解答】解：将直线l向上平移2个单位后经过原点.则点A（﹣1.a）和点B（1.a﹣4）平移后对应的点的坐标为（﹣1.a+2）和（1.a﹣2）.∵将直线l向上平移2个单位后经过原点.∴点（﹣1.a+2）和点（1.a﹣2）关于原点对称.∴a+2+a﹣2＝0.∴a＝0.∴A（﹣1.0）.B（1.﹣4）.把A、B的坐标代入y＝kx+b得..解得.∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣2.故选：D．11．（2021•南山区校级二模）我国古代很早就对二元一次方程组进行了研究.古著《九章算术》记载用算筹表示二元一次方程组.发展到现代就是用矩阵式＝来表示二元一次方程组.而该方程组的解就是对应两直线（不平行）a1x+b1y＝c1与a2x+b2y＝c2的交点坐标P（x.y）据此.则矩阵式＝所对应两直线交点坐标是．【答案】（﹣1.2）【解答】解：依题意.得.解得.∴矩阵式＝所对应两直线交点坐标是（﹣1.2）．故答案为：（﹣1.2）．12．（2021•杭州模拟）已知直线y＝kx+b经过点A（5.0）.B（1.4）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C.求点C的坐标；（3）根据图象.写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集．【答案】（1）y＝﹣x+5 （2）C（3.2）（3）x＞3【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（5.0）.B（1.4）.∴.解得.∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+5；（2）∵若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C.∴．解得.∴点C（3.2）；（3）根据图象可得x＞3.。

一次函数的概念_图像和性质复习

一次函数的概念，图像和性质一次函数的概念一般地，解析式形如y=kx+b(k,b 是常数，且0≠k )的函数叫做一次函数。

一次函数的定义域是一切实数。

当b=0时，y=kx （0≠k ）是正比例函数。

一般地，我们把函数y=c （c 为常数）叫做常值函数。

Y=-1,π=y ,2)(=x f 都是常值函数。

二、一次函数的图像1.正比例函数y=kx (k ≠0,k 是常数)的图像是经过O （0，0）和M （1，k ）两点的一条直线（如图13-17）.（1）当k ＞0时，图像经过原点和第一、三像限；（2）k ＜0时，图像经过原点和第二、四像限.2.一次函数y=kx+b (k 是常数，k ≠0)的图像是经过A （0,b ）和B （-kb ，0）两点的一条直线，当kb ≠0时，图像（即直线）的位置分4种不同情况：（1）k ＞0,b ＞0时，直线经过第一、二、三像限，如图13-18A（2）k ＞0,b ＜0时，直线经过第一、三、四像限，如图13-18B（3）k ＜0,b ＞0时，直线经过第一、二、四像限，如图13-18C（4）k ＜0,b ＜0时，直线经过第二、三、四像限，如图13-18D3.一次函数的图像的两个特征（1）对于直线y=kx+b(k ≠0),当x=0时,y=b 即直线与y 轴的交点为A （0,b ）,因此b 叫直线在y 轴上的截距.（截距有正负）（2）直线y=kx+b(k ≠0)与两直角标系中两坐标轴的交点分别为A （0，b ）和B （-kb ，0）. 4.一次函数的图像与直线方程（1）一次函数y=kx+b(k ≠0)的图像是一条直线，因此y=kx+b(k ≠0)也叫直线方程.但直线方程不一定都是一次函数.（2）与坐标轴平行的直线的方程.①与x轴平行的直线方程形如：y=a（a是常数）.a＞0时，直线在x轴上方；a=0时，直线与x轴重合；a＜0时，直线在x轴下方.（如图13-19）②与y轴平行的直线方程形如x=b（b是常数），b＞0时，直线在y轴右方，b=0时，直线与y轴重合；b＜0时，直线在y轴左方，(如图13-20).三、两条直线的关系1.与坐标轴不平行的两条直线 l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b, 若l1与l2相交，则k 1≠k2，其交点是联立这两条直线的方程，求得的公共解; 若l1与l2平行，则k1= k2.四、一次函数的增减性1.增减性如果函数当自变量在某一取范围内具有函数值随自变量的增加（或减少）而增加（或减少）的性质，称为该函数当自变量在这一取值范围内具有增减性，或称具有单调性.2.一次函数的增减性一次函数y=kx+b在x取全体实数时都具有如下性质：（1）k＞0时，y随x的增加而增加；（2）k＜0时，y随x的增加而减小.3.用待定系数法求一次函数的解析式若已知一次函数的图像（即直线）经过两个已在点A（x1，y1）和B(x2，y2)求这个一次函数的解析式，其方法和步骤是：（1）设一次函数的解析式：y=kx+b(k≠0)（2）将A、B两点的坐标代入所设函数的解析式，得两个方程：y1=kx1+b①y2=kx2+b②（3）联立①②解方程组，从而求出k、b值.这一先设系数k、b，从而通过解方程求系数的方法以称为待定系数法.一次函数的图像和性质练习题题组一：1.正比例函数(0)y kx k =≠一定经过点，经过(1)，，一次函数(0)y kx b k =+≠经过(0)，点，(0) ，点． 2.直线26y x =-+与x 轴的交点坐标是，与y 轴的交点坐标是。

一次函数图像与性质复习课

上平移与下平移
如果一次函数的b值增大或减小，图像会在y轴方向上平移。b值增大，图像向上平移；b值减小，图像向下平移。
左平移与右平移
如果一次函数的k值增大或减小，图像会在x轴方向上平移。k值增大，图像向右平移；k值减小，图像向左平移。
03 一次函数的性质
一次函数的单调性
一次函数的单调性取决于其斜率。如果斜率大于0，函数在定义域内单调递增；如果斜率小于0，函数在定义域内单调递减。
利用一次函数解决数学问题
代数问题
通过一次函数可以解决代数问题，如求方程的根、求解不等式等。
几何问题
一次函数与几何图形结合，可以解决一些几何问题，如求三角形面积、求直线交点等。
一次函数与其他数学知识的综合应用
与二次函数的结合
一次函数和二次函数结合，可以解决一些更复杂的数学问题，如求函数的极值、判断函数的单调性等。
上。
提高练习题
提高练习题是在基础练习题的基础上，进一步加深对一次函数性质的理解和应用。
题目类型包括计算题、作图题和解答题，难度适中，适合大部分学生练习。
示例题目：求函数$y = -x + 4$与坐标轴围成的三角形面积；作出函数$y = x - 3$ 的图像，并求出与直线$y = 2x$的交点坐标。
描点作图
在坐标系上标出这些点的位置，用平滑的曲线连接这些点，得到一次函数的图像。
一次函数图像的特点
直线性
一次函数的图像是一条直线。
正斜率与负斜率
当一次函数的斜率为正时，图像从左下到右上上升；当斜率为负时，图像从左上到右下下降。
截距
一次函数与y轴的交点称为截距，截距可以是正数、负数或零。
一次函数图像的平移
一次函数的截距在解决实际问题中具有重要意义，例如在预测销售量时，可以通过一次函数的截距来预测当销售额为

一次函数图像和性质全章复习课

－3 －1
y
O
x
2、一个一次函数的图象经过点（1，2），且 y随x的增大而增大，任意写一个满足条件的解 y x 1 析式_______________.
3、一次函数y=kx－k的图象可能是（ C ） A B
C
D
4、已知函数y=kx＋b的图象经过点A(4，0)，一次函数的图象与坐标且与两坐标轴所围成的三角形的面积为 6，则此函轴所围成的面积问题，数的解析式为____________. 我们往往要进行分类讨论！ B
三、知识拓展：
1、一条直线y1=kx＋b与直线y2=－2x－3平行，且与y轴的交点的纵坐标为3。１、解题策略：借助函数的 (1)请求出直线 y1的解析式；图象来分析问题。 (2)直线y1可以由直线y=－2x－3怎样平移得２、数学思想：数形结合思到的？想、分类思想。 (3)直线y1上是否存在到两坐标轴距离相等的点，如存在，请求出这个点的坐标；如不存在，请说明理由。
(A)
(B)
（C）
（D）
2.一次函数y=ax+b与y=ax+c(a>0)在同一坐标系中的图象可能是（ A ）
y y y y
o
x
o
x
o
x
o
x
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
C
D
3.直线y1=kx与直线y2=kx-k在同一坐标系内的大致图象是( C )
(A)
(B)
(C)
(D)
二、知识应用：
1、如图，直线l解析式为
1 y x 1 _____________. 3
• 3．一次函数y=2x-1的图象大致是（ B ）
y O O
Ａ．

一次函数的图像及性质复习课

图像可以通过描点法或解析法绘制，通过图像可以直观地了解函数的增减性、与坐标轴的交点等性质。
02 一次函数的性质
一次函数的单调性
总结词
一次函数的单调性是指函数值随自变量增减而增减的性质。
详细描述
对于一次函数y=kx+b（k≠0），当k>0时，函数在全体实数范围内单调递增；当k<0时，函数在全体实数范围内单调递减。
04 一次函数的图像变换
横向平移
总结词
一次函数图像在x轴方向上平移
详细描述
当一次函数表达式为y=kx+b时，若图像在x轴方向上向右平移a个单位，则新的函数表达式为y=k(x-a)+b；若图像在x轴方向上向左平移a个单位，则新的函数表达式为y=k(x+a)+b。
纵向平移
总结词
一次函数图像在y轴方向上平移
经典例题3
已知一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 的图像与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B，若 |OA| = 4，|OB| =
6，求此函数的解析式。
解题技巧的总结
解题技巧1
解题技巧3
利用已知点坐标代入函数解析式求解未知数。
利用函数图像的平移规律求解问题。
解题技巧2
根据函数图像与坐标轴的交点求出函数解析式。
02
$k$是斜率，决定了函数的增减性；$b$是截距，决定了函数与y轴的交点。
一次函数的标准形式
一次函数的标准形式是$y = kx + b$，其中$k$和$b$是常数，且$k neq 0$。
标准形式是一次函数的简化形式，方便进行数学分析和计算。
一次函数的图像
一次函数的图像是一条直线，其斜率为$k$，与y轴的交点为 $(0, b)经典例题1

一次函数的图像和性质复习

一次函数的图像和性质复习第1题. 对于任何实数x ，点M (x ，x -3)一定不在第几象限？答案：点M (x ，x -3)在直线y =x -3上，而直线y =x -3不过第二象限，所以，对于任何实数x ，点M (x ，x -3)一定不在第二象限．第2题. 一次函数3y x -=-，如果0y <，则x 的取值范围是（） A ．2x < B ．3x < C ．6x >- D ．6x <-答案：B ．第3题. 已知直线y=kx+b (k ≠0)与x 轴的交点在x 轴的正半轴，下列结论：①k >0，b >0；②k >0，b <0；③k <0，b >0；④k <0，b <0．其中正确的结论的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：B第4题. 如图所示，函数y=mx +m 的图像中可能是（）答案：D第5题. 当自变量x 增大时，下列函数值反而减小的是（）A ． y=3xB ．y=2xC ．y=3x-D ．y=-2+5x 答案：C(A)(C)(D)(B)第6题. 正比例函数的图像如图，则这个函数的解析式为( ) A ．y=x B ．y =-2xC ．y=-xD ．12y x=- 答案：C第7题. 直线y=(2-5k )x +3k -2不过第一象限，则k 需满足，写出一个满足上述条件的一个函数的解析式．答案：2253k <<，1122y x =--第8题. 直线y=4x -2与x 轴的交点是，与y 轴的交点是．答案：1(,0),(0,2)2-第9题. 直线y=(2-5k)x+3k-2若经过原点，则k= ；若直线与x 轴交于点（-1，0），则k= ，答案：21,32第10题. 一次函数24y x =-+的图像经过的象限是____，它与x 轴的交点坐标是____，与y 轴的交点坐标是____，y 随x 的增大而____．答案：一、二、四象限，（2，0），（0，4），减小第11题. （1）已知关于x 的一次函数y=(2k -3)x+k -1的图像与y 轴交点在x 轴的上方，且y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围；（2）已知函数y =(4m -3)x 是正比例函数，且y 随x 的增大而增大，求m 的取值范围．答案：（1）依题意，有10230k k ->⎧⎨-<⎩，解得312k <<；（2）依题意，得430m ->，即34m >时，y 随x 的增大而增大.第12题. 已知一次函数3y x =-+，当0≤x ≤3时，函数y 的最大值是( )． A ．0 B ．3 C ．-3 D ．无法确定答案：B 点拔：画图得3(03)y x x =-+≤≤的图象是一条线段，又10k =-<，故y 随x 的增大而减小，∴当x =0时，y 的最大值等于3第13题. 下列图像中，不可能是关于x 的一次函数y =mx-(m -3)的图像的是（）答案：C第14题. 在同一坐标内，函数关系式为y=kx+b (k 、b 为常数且k ≠0)的直线有无数条，在这些直线中，不论怎样抽取，至少要抽几条直线，才能保证其中的两条直线经过完全相同的象限（） A ．4 B ．5C ．6D ．7(A)(C)(D)(B)第15题. 如图，直线l 是一次函数y=kx+b 的图像，看图填空：(1) b =______，k =______；(2) x =-20时，y =_______；(3) 当y =-20时，x =_______．答案：346(1)3,;(2)33;(3)23-第16题. 若一次函数y=kx+b 交于y 轴的负半轴，且y 的值随x 的增大而减小，则k_____0，b ______0．(填">"、"="、或"<")答案：<,<第17题. 下列各点（1，2），（-2，1），（1，-2），（-1，12），在y =-2x 图像上有：____________．答案：(1,-2)第18题. 若一次函数y x a =+与一次函数y x b =-+的图像的交点坐标为（m ，8）．则a+b=______．答案：16第19题.12y x=-的图像上有两点1222(,),(,)x x x y ，知12x x >，你能说出1y 与2y 有什么答案：122210,,2k y x x x y y =-<>∴< 随的增大而减小,又第20题. 如图，函数y=kx -2中，y 随x 的增大而减小，则它的图像是（）答案：C第21题. 若一次函数y =k x +b 的图象经过一、三、四象限，则k ，b 应满足（） A ．k ＞0，b ＞0 B ．k ＞0，b ＜0 C ．k ＜0，b ＞0 D ．k ＜0，b ＜0答案：B第22题. 一次函数y=-３x -４与x 轴交于（），与y 轴交于（），y 随x 的增大而___________. 答案：4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,4-，减少第23题. 如果正比例函数y =3x 和一次函数y =2x +k 的图象的交点在第三象限，那么k 的取值范围是．ABCD答案：k ＜0第24题. 已知点A （-4，a ）、B （-2，b ）都在直线y =0.5x +k （k 为常数）上，则a 与b 的大小关系是a b ．（填"＜""=" 或"＞"）答案：＜第25题. 已知正比函数y ＝k x （k ≠０）的函数值y 随x 的增大而减小，则一次函数y ＝x ＋k 的图象大致是下图中的（）答案：B第26题. 某校八年级同学到距学校6千米的郊外春游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，沿相同路线前往．如图，1l 、2l 分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程y （千米）与所用时间x （分钟）之间的函数图象，则以下判断错误的是（）A ．骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟B ．步行的速度是6千米/时C ．骑车的同学从出发到追上步行的同学用了20D ．骑车的同学和步行的同学同时到达目的地答案：D第27题. 一次函数y=kx+3的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k 的值（第5题）为．答案：34或34-第28题. 如图，射线l 甲、l 乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所行路程S （米）与时间t （分）的函数图象．则他们行进的速度关系是Ａ．甲、乙同速Ｂ．甲比乙快Ｃ．乙比甲快Ｄ．无法确定答案：B第29题. 已知函数y kx b y =+的图象与轴交点的纵坐标为5-，且当12x y ==时，，则此函数的解析式为．答案：75y x =-第30题. 甲、乙两同学从A 地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B 地，他们离出发地的距离s （千米）和行驶时间t （小时）之间的函数关系的图象如图所示．根据图中提供的信息，有下列说法：（1）他们都行驶了18千米；（2）甲在途中停留了0.5小时；（3）乙比甲晚出发了0.5小时；（4）相遇后，甲的速度小于乙的速度；t （小时）18（第30题图）（5）甲、乙两人同时到达目的地．其中符合图象描述的说法有Ａ．2个Ｂ．3个Ｃ．4个Ｄ．5个答案：Ｃ第31题. 我市某出租车公司收费标准如图所示，如果小明只有19元钱，那么他乘此出租车最远能到达公里处．答案：135)第19题。

一次函数的图像与性质复习课)

左、右平移
总结词
一次函数图像左右平移时，函数表达式中的x会发生变化。
详细描述
当一次函数图像左右平移时，函数表达式中的x会相应地增加或减少一定的值，而常数项保持不变。例如，函数y=2x+1向左平移2个单位后变为y=2(x+2)+1，向右平移3个单位后变为y=2(x-3)+1。
函数图像的翻折
总结词
03 一次函数的图像变换
上、下平移
总结词
一次函数图像上下平移时，函数表达式中的常数项会发生变化。
详细描述
当一次函数图像上下平移时，函数表达式中的常数项会相应地增加或减少一定的值，而一次项的系数保持不变。例如，函数y=2x+1向上平移2个单位后变为y=2x+3，向下平移3个单位后变为y=2x-2。
一次函数与三角函数的关系
三角函数（如正弦、余弦、正切）可以与一次函数结合，形成更为复杂的数学模型。
一次函数与几何知识的关系
一次函数的图像是一条直线，可以与几何知识结合，用于解决几何问题。
一次函数在数学竞赛中的应用
代数问题
在数学竞赛中，一次函数常用于解决代数问题，如求解方程、不
等式等。
最值问题
基础习题3
已知函数$y = x - 5$，判断该函数是否为一次函数，并说明理由。
进阶习题
进阶习题1
已知函数$y = mx + b$的图像经过点$(2,3)$和$( - 1, - 1)$，
求该函数的解析式。
进阶习题2
已知函数$y = ax + b$的图像与直线$y = x + 1$平行，且与坐
一次函数图像翻折时，函数表达式中的系数会发生变化。

一次函数的图象与性质专题复习【精品】

类型1 系数k决定一次函数的增减性
1.下列一次函数中y随x值的增大而减小的是( B )
A. y=2x+1
B. y=3-4x C. y= x+2
D. y=(5-2)x
2．已知点(－2，y1)，(－1，y2)，(1，y3)都在直线y＝3x＋b上，则
y1，y2，y3的值的大小关系是( C )
A．y1＞y2＞y3
5．若一次函数y＝kx＋b的图象交y轴于负半轴，且y随x的增大而减少，则k＋b ＜ 0(填“＞”“＜”或“＝”)．
6．正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则一次函数 y＝x＋k的图象大致是( A )
A
B
C
D
类型3 系数k决定坐标系中两条直线的位置关系
7. y=3x 与 y=3x-3 的图象在同一坐标系中的位置关系( C )
解：(1)把(0，0)代入y＝(2m＋1)x＋m－3，得m＝3.
(2)由题意，得2m＋1＝3，解得m＝1.
(3)由题意，得
2m＋1≠0，解得
m＜3
且
m≠－1.
m－3＜0，
2
A.相交
B.互相垂直
C.平行
D.无法确定
8．将一次函数y＝3x的图象向上平移2个单位长度，所得图象的函数
解析式为 y＝3x＋2 ．
9．将正比例函数y＝ 1 x向下平移m个单位长度后正好经过点
2
(－2，－3)，则m的值是 2 ．
类型4 系数k，b决定一次函数图象所经过的象限
10．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，那么
B．y3＞y1＞y2
C．y1＜y2＜y3
D．y3＜y1＜y2
3．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线y＝kx＋b上，且直线经过第一、

考点03 一次函数的图像与性质(解析版)

考点三一次函数的图像与性质知识点整合一、正比例函数的概念一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做正比例系数．二、一次函数1.一次函数的定义一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时，y叫做x的正比例函数．2.一次函数的一般形式一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数.3.注意（1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.（2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.（3）如果一个函数是一次函数，则含有自变量x的式子是一次的，系数k不等于0，而b可以为任意实数．（4）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.（5）一次函数的一般形式可以转化为含x、y的二元一次方程.三、一次函数的图象及性质1．正比例函数的图象特征与性质正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．k的符号函数图象图象的位置性质k>0图象经过第一、三象限y随x的增大而增大k<0图象经过第二、四象限y随x的增大而减小2.一次函数的图象特征与性质（1）一次函数的图象一次函数的图象一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-b k，0)的一条直线图象关系一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度图象确定因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可（2）一次函数的性质函数字母取值图象经过的象限函数性质y=kx+b(k≠0)k>0，b>0一、二、三y随x的增大而增大k>0，b<0一、三、四y=kx+b(k≠0)k<0，b>0一、二、四y随x的增大而减小k<0，b<0二、三、四3.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=-bk，即直线y=kx+b与x轴交于（–bk，0）．①当–bk>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．②当–bk=0，即b=0时，直线经过原点．③当–bk<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．4.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直．四、待定系数法1．定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．2．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤（1）设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）．（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程．（3）解方程，求出待定系数k．（4）将求得的待定系数k的值代入解析式．3．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤（1）设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b．（2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组．（3）解二元一次方程组，求出k，b．（4）将求得的k，b的值代入解析式．五、一次函数与正比例函数的区别与联系正比例函数一次函数区别一般形式y=kx+b（k是常数，且k≠0）y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）图象经过原点的一条直线一条直线k，b符号的作用k的符号决定其增减性，同时决定直线所经过的象限k的符号决定其增减性；b的符号决定直线与y轴的交点位置；k，b的符号共同决定直线经过的象限求解析式的条件只需要一对x，y的对应值或一个点的坐标需要两对x，y的对应值或两个点的坐标联系比例函数是特殊的一次函数．②正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可．③一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y 轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行．④一次函数与正比例函数有着共同的性质：a．当k>0时，y的值随x值的增大而增大；b．当k<0时，y的值随x值的增大而减小．六、一次函数与方程（组）、不等式1．一次函数与一元一次方程任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式．从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标．2．一次函数与一元一次不等式任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式．从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件．3．一次函数与二元一次方程组一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线．进一步可知，一个二元一次方程对应两个一次函数，因而也对应两条直线．从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标．考向一一次函数和正比例函数的定义1．正比例函数是特殊的一次函数．2．正比例函数解析式y=kx（k≠0）的结构特征：①k≠0；②x的次数是1．典例引领二、填空题变式拓展6．已知y 与1x +成正比，当1x =时，2y =．考向二一次函数的图象及性质1．通常画正比例函数y=kx（k≠0）的图象时只需取一点（1，k），然后过原点和这一点画直线．2．当k>0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈上升趋势；当k<0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈下降趋势．3．正比例函数y=kx中，|k|越大，直线y=kx越靠近y轴；|k|越小，直线y=kx越靠近x轴．4．一次函数图象的位置和函数值y的增减性完全由b和比例系数k的符号决定．典例引领【答案】A【分析】本题考查的是一次函数的性质．根据一次函数的性质以及图像上点的坐标特征对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A 、当0x =时，2y =，图象必经过点()0,2，故本选项符合题意；B 、∵10k =-<，20b =>，∴图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意；C 、∵10k =-<，∴y 随x 的增大而减小，故本选项不符合题意；D 、∵y 随x 的增大而减小，当2x =-时，0y =，∴当2x >时，0y <，故本选项不符合题意；故选：A ．4．若一次函数21y x =-+的图象经过点()13,y -，()24,y ，则1y 与2y 的大小关系（）A ．12y y <B ．12y y >C ．12y y ≤D ．12y y ≥【答案】B【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，根据函数解析式得到y 随x 增大而减小，据此可得答案．【详解】解：∵一次函数解析式为21y x =-+，20-<，∴y 随x 增大而减小，∵一次函数21y x =-+的图象经过点()13,y -，()24,y ，34-<，∴12y y >，故选：B ．5．已知一次函数(2)=-+y k x k ，且y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是（）A ．2k >B ．0k <C ．2k <D ．2k ≤【答案】C【分析】此题主要考查一次函数的性质，根据一次函数的增减性即在y kx b =+中，k >0时y 随x 的增大而增大；k <0时，y 随x 的增大而减小即可求解．【详解】依题意得20k -<，解得2k <故选C ．变式拓展三、解答题9．已知一次函数(2)312y k x k =--+．(1)k 为何值时，函数图象经过点(0,9)？(2)若一次函数(2)312y k x k =--+的函数值y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围．【答案】(1)1(2)2k <【分析】（1）将点(0,9)代入一次函数(2)312y k x k =--+，可得关于k 的一元一次方程，求解即可获得答案；（2）根据该函数的增减性，可得20k -<，求解即可获得答案．【详解】（1）解：将点(0,9)代入一次函数(2)312y k x k =--+，可得3129k -+=，解得1k =，∴当1k =时，函数图象经过点(0,9)；（2）若一次函数(2)312y k x k =--+的函数值y 随x 的增大而减小，则有20k -<，解得2k <，∴k 的取值范围为2k <．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式、根据一次函数的增减性求参数、解一元一次方程和解一元一次不等式等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．10．已知2y -与x 成正比，且当2x =-时，8y =．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)当x 取什么范围时，4y >-．【答案】(1)32y x =-+(2)2x <【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象及性质．（1）设y 与x 的函数关系式为2y kx -=，再待定系数法求解即可；（2）利用一次函数图象及性质，代入4y =-后即可得到本题答案．【详解】（1）解：设y 与x 的函数关系式为2y kx -=，将当2x =-时，8y =代入2y kx -=中得：822k -=-，即：3k =-，∴32y x =-+；（2）解：∵32y x =-+，∴30k =-<，y 随x 增大而减小，当4y =-时，432x -=-+，即：2x =，∴4y >-时，2x <，综上所述：当2x <时，4y >-．考向三用待定系数法确定一次函数的解析式运用待定系数法求一次函数解析式的步骤可简单记为：一设，二代，三解，四回代．典例引领1．《国务院关于印发全民健身计划（2021-2025年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，建立健全场馆运营管理机制，提升场馆使用效益．某健身中心为答谢新老顾客，举行大型回馈活动，特推出两种“冬季唤醒计划”活动方案．方案1：顾客不购买会员卡，每次健身收费30元．方案2：顾客花200元购买会员卡，每张会员卡仅限本人使用一年，每次健身收费10元．设王彬一年内来此健身中心健身的次数为x （次），选择方案1的费用为1y （元），选择方案2的费用为2y （元）．(1)分别写出1y ，2y 与x 之间的函数关系式；(2)在如图的平面直角坐标系中分别画出它们的函数图象；(3)预计王彬一年内能来此健身中心12次，选择哪种方案比较合算？并说明理由．【答案】(1)130y x =，210200y x =+(2)见解析(3)他选择方案二比较合算，理由见解析【分析】（1）本题主要考查了列函数关系式，根据两种方案分别列出函数关系式即可，理解题意是解题的关键；（2）本题主要考查了画函数图像，分别确定两个函数图像上的两个点，然后连接即可；理解函数图像上的点满足函数解析式是解题的关键；（2）本题主要考查了不等式的应用，解不等式3010200x x <+，即可确定来此健身中心12次费用较小的方案．正确求解不等式是解题的关键．【详解】（1）解：根据题意得：130y x =，210200y x =+；所以12y y ，与x 之间的函数表达式分别为130y x =，210200y x =+．（2）解：当0x =时，10y =，2200y =；当4x =时，1120y =，2240y =．据此描点、连线画出函数图像如下：（3）解：王斌择方案二比较合算，理由如下：解不等式3010200x x >+，解得：10x >，所以当10x >时，方案二优惠，因为1210>，王斌择方案二比较合算．2．已知4y +与3x -成正比例，且1x =时，0y =(1)求y 与x 的函数表达式；(2)点(1,2)M m m +在该函数图象上，求点M 的坐标．【答案】(1)22y x =-+(2)点M 的坐标为(1,0)【分析】（1）利用正比例函数的定义，设4y +=(3)k x -，然后把已知的对应值代入求出k 即可；（2）把(1,2)M m m +代入（1）中的解析式得到关于m 的方程，然后解方程即可．【详解】（1）设y 与x 的表达式为4(3)y k x +=-，把1x =时，0y =代入4(3)y k x +=-得24k -=，解得2k =-，由题意，得52024x x ≥⎧⎨-≥⎩，解这个不等式组，得58x ≤≤，因为x 为整数，所以x 的值为5，6，7，8．所以安排方案有4种：方案一：装运食品5辆、药品10辆，生活用品5辆；方案二：装运食品6辆、药品8辆，生活用品6辆；方案三：装运食品7辆、药品6辆，生活用品7辆；方案四：装运食品8辆、药品4辆，生活用品8辆．【点睛】本题考查了列出实际问题中的函数关系式和一元一次不等式组的应用，正确理解题意、列出函数关系式和不等式组是解题的关键．5．习主席在二十大报告中提到“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对甲、乙两个水稻品种进行种植对比实验研究．去年甲、乙两个品种各种植了100亩，收获后甲、乙两个品种的售价均为2.8元/千克，且甲的平均亩产量比乙的平均亩产量低100千克，甲、乙两个品种全部售出后总收入为644000元．(1)请求出甲、乙两个品种去年平均亩产量分别是多少；(2)今年，科技小组加大了水稻种植的科研力度，在甲、乙种植亩数不变的情况下，预计甲、乙两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加20x 千克和10x 千克．由于甲品种深受市场的欢迎，预计售价将在去年的基础上每千克上涨0.05x 元，而乙品种的售价将在去年的基础上每千克下降0.1x 元．若甲、乙两个品种全部售出后总收入为y 元，请写出y 与x 的关系式；若今年甲、乙两个品种全部售出后总收入比去年增加9500元，水x 的值．【答案】(1)甲水稻品种去年平均亩产量是1100千克，乙水稻品种去年平均亩产量是1200千克(2)x 的值为5【分析】（1）设甲水稻品种去年平均亩产量是m 千克，乙水稻品种去年平均亩产量是n 千克，根据：甲的平均亩产量比乙的平均亩产量低100千克，甲、乙两个品种全部售出后总收入为644000元，即可求解；（2）根据总收入等于甲乙两个品种的收入之和即可列出y 与x 的关系式，进而得到关于x 的方程，解方程即得答案．【详解】（1）设甲水稻品种去年平均亩产量是m 千克，乙水稻品种去年平均亩产量是n 千克，根据题意得1002.8100 2.8100644000n m m n -=⎧⎨⨯+⨯=⎩，解得m 11001200n =⎧⎨=⎩．答：甲水稻品种去年平均亩产量是1100千克，乙水稻品种去年平均亩产量是1200千克．（2）根据题意得：()()()()2.80.0510******* 2.80.1100120010y x x x x =+⨯++-⨯+，整理得1900644000y x =+，∴y 与x 的关系式1900644000y x =+．∵今年甲、乙两个品种全部售出后总收入比去年增加9500元，可得6440095001900644000x +=+，解得5x =．答：x 的值为5．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，列出实际问题中的函数关系式，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．变式拓展c<时，如图2．②当0综上所述，d的取值范围是t≥时：当x t=时，①当0之间的关系如图所示．(1)求出图中a 、b 、c 的值；(2)在乙出发多少秒后，甲、乙两人相距60米？【答案】(1)8a =，92b =，123c =；(2)乙出发68秒或者108秒后，甲、乙两人相距60米．【分析】（1）由函数图象可以分别求出甲的速度为4米/秒，乙的速度为5米/秒，就可以求出乙追上甲的时间a 的值，b 表示甲跑完全程时甲、乙之间的距离，c 表示乙出发后多少时间，甲走完全程就用甲走完全程的时间−2就可以得出结论；（2）分别求出8秒到100秒和100秒到123秒的解析式，再把60y =代入即可解出x 值．【详解】（1）解：由题意及函数图象可以得出：甲的速度为：824÷＝（米/秒），乙的速度为：500÷100＝5（米/秒），8548a ÷-＝（）＝（秒）；500410292b -⨯＝＝（米），50042123c ÷-＝＝（秒），所以8,92,123a b c ===．（2）设8~100秒和100~123秒的解析式分别为11y k x b =+和22y k x b =+，把()()8010092，、，代入11y k x b =+得11110892100k b k b =+⎧⎨=+⎩解得1118k b =⎧⎨=-⎩，把()()123010092，、，代入22y k x b =+得2222012392100k b k b =+⎧⎨=+⎩解得224492k b =-⎧⎨=⎩，8~100秒解析式：8y x =-，100~123秒的解析式4492y x =-+，当60y =时，则68108x =或者，所以在乙出发68秒或者108秒后，甲、乙两人相距60米∵0＜x ≤1000，∴860≤x ≤1000．故答案为：y 1＝0.5x ；y 2＝0.3x +40；0＜x ≤200；200≤x ≤860；860≤x ≤1000．（2）根据题意可得，推出优惠活动后，y 1＝0.5a +0.25（x ﹣a ）＝0.25x +0.25a ，则有，0.257000.250.3700400.258600.250.386040a a ⎧⨯+≥⨯+⎨⨯+≤⨯+⎩解得300≤a ≤332．∴此时a 的取值范围为：300≤a ≤332．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，明确题意，列出不等式组是解题的关键．考向四一次函数与方程、不等式1．方程ax +b =k （a ≠0）的解⇔函数y =ax +b （a ≠0）中，y =k 时x 的值.2．方程ax +b =k （a ≠0）的解⇔函数y =ax +b （a ≠0）的图象与直线y =k 的交点的横坐标．3.一次函数y =ax +b （a ≠0）与一元一次不等式ax +b >0（或ax +b <0）的关系：ax +b >0的解集⇔y =ax +b 中，y >0时x 的取值范围，即直线y =ax +b 在x 轴上方部分图象对应的x 的取值范围；4.ax +b <0的解集⇔y =ax +b 中，y <0时x 的取值范围，即直线y =ax +b 在x 轴下方部分图象对应的x 的取值范围．5．二元一次方程kx -y +b =0（k ≠0）的解与一次函数y =kx +b （k ≠0）的图象上的点的坐标是一一对应的．6．两个一次函数图象的交点坐标，就是相应二元一次方程组的解，体现了数形结合的思想方法．典例引领1．直线1l ：1y kx b =+过点()0,4A 和()1,3D ，直线2l ：225y x =-和y 轴交于点B 和直线1l 交于C 点．(1)求两条直线交点C 的坐标及ABC 的面积；(2)x 取何值时，120y y >>．∵()0,4A ，()0,5B -，()3,1C ，∴9AB =，3CN =，∴112793222ABC S AB CN =⋅=⨯⨯= ．（2）∵14y x =-+，225y x =-，∴当120y y >>时，4250x x -+>->，解得：532x <<．2．已知直线443y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点且把AOB 分成两部分．(1)若AOB 被分成的两部分面积相等，求k 与b ；⎩3．如图，在平面直角坐标系中，直线轴于点C和点D，两条直线交于点(1)求点A的坐标；(2)在直线CD上求点M【答案】(1)点A的坐标为(2)点M的坐标为44⎛∵3ABC MAB S S = ，∴23MBC ABC S S =△△，∵12ABC A S BC y =⋅△，121∵3ABC MAB S S = ，∴43MBC ABC S S =△△，(1)求点C的坐标；(2)求AOB的面积；(3)点D在直线122y x =+求点D的坐标．变式拓展(1)求点A，B，C的坐标．(2)若点P在直线1l上，且(3)根据图象，直接写出当【答案】(1)48, A⎛-(1)直接写出点A的坐标为。

一次函数的图像与性质

3．一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线
它与x轴的交点(____,____),y轴的交点(___,___)我们也通常过着两点来画出他的图像。
4.一次函数y=kx+b的性质及图像的分布
b决定了一次函数图像与y轴的交点b>0，交点在y轴___________
b=0，交点过______________
b<0，交点在______________
K决定了一次函数图像的方向与增减性
K>0时，自左向右，函数上升，y随x的增大而增大
k<0时，自左向右，函数下降，y随x的增大而减小
二、“六个求”
㈠求系数（指数）
例1、已知函数y=(k-1)x+m-2
①若它是一个正比例函数,求k , m的值.
②若它是一个一次函数，求k , m的值．
练习
1.若函数y=(m-2)x|m-1|+5是一次函数，则m＝____
一次函数的图像与性质（复习）
一、要点梳理
1．概念：
形如函数____________________________叫做一次函数，其中x是自变量．特别地，当b＝0时，则把函数_____________叫做正比例函数．
2．正比例函数y＝kx的图象是一条的直线，
我们通常经过（___，____）（____，_____）两点来画这条直线
y＝kx－1(k<0)的图象上，且x1< x2则y1____y2
（1）（2012．怀化）若点P1(2，y2), P2(3，y1)、在
一次函数y＝2x－1的图象上，则y1____y2
例4（2011长春）如图，一次函数y=kx+b的图象经过点Ａ．
当y<3时，x的取值范围是．