陕西省长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学2013届高三第二次模拟联考数学(文)试题

长安一中 高新一中 交大附中 师大附中 西安中学
高2013届第二次模拟考试
数学（文）试题
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．
（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合2{|(1)}(,),A x x a a i a R i A R ==+-∈⊆是虚数单位若，则a=
A ．1
B ．-1
C ．±1
D ．0
2．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，其中可以输出的函数是 ． A ．2()f x x = B ．1()f x x
=
C ．()ln 26f x x x =+-
D ．()sin f x x =
3．命题“若220,,,0a b a b R a b +=∈==则”的逆否命题是 A ．若0a ≠或0b ≠，22,,0.a b R a b ∈+≠则 B ．若a=b 0≠，22,,0.a b R a b ∈+≠则 C ．若0a ≠或0b ≠，22,,0.a b R a b ∈+≠则
D ．若a ≠b 0≠，22,,0.a b R a b ∈+=则
4．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对2为周期，则“()]f x 为[0,1上的增函数”是
“()[3,4]f x 为上的减函数”的 A ．既不充分也不必要的条件 B ．充分而不必要的条件
C ．必要而不充分的条件
D ．充要条件
5．设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若14611,6a a a =-+=-,则当S n 取最小值时．n 等于
A ．6
B ．7
C ．8 一
D ．9
6． 如果实数x 、y 满足条件1010,10x y y x y -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪++≤⎩
那么z=4x ·2-y 的最大值为
A ．1
B ．2
C ．
12
D ．
14
7．已知函数33(0)()(,)(0)(01)x
x a x f x x a
x a a -+-<⎧=∈-∞+∞⎨≥>≠⎩是且上的减函数，则a 的取值范围是
A ．2
(0,]3
B ．1(,1)3
C ．（2，3）
D ．12
(,]23
8．已知双曲线22
214x y b
-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的焦点到
其渐近线的距离等于
A
．B
C ．3
D ．5
9．已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=2．∠ASC=∠BSC=45°则棱锥S —ABC
的体积为
A
．
5
B
．
3
C
．
3
D
．
3
10．已知函数y=x 3-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点．则c= A ．一2或2 B ．一9或3 C ．一1或1 D ．一3或1
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题：
（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案值填在答题卡的相应位置）
11．已知函数()(sin cos )sin,,()f x x x x R f x =-∈则的最小正周期是 ． 12．若曲线||21x y =+与直线y=b 没有公共点，则b 的取值范围是 ．
13．椭圆22
21(5x y a a
+=为定值，
且a >的的左焦点为F ，直线x=m 与椭圆相交于点A 、B 。

△FAB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是 。

14．已知函数y=f （x+1）是R 上的偶函数，且1x >时()0f x <恒成立，又
(4)0,f =则(x+3)f(x+4)<0的解集是 .
15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题评分）
A ．（不等式选做题）若不等式4
|1||3|x x a a
++-≥+
对任意的实数x 恒成立，则实数
a 的取值范圉是 ． B ．（几何证明选做题）如图所示．A ，B 是两圆的交点。

AC 是小圆的直径 D ，E 分别是CA ，CB 的延长线与大圆的交点·
已知AC=4，BE=10，且BC=AD ，则AB= ．
C ．（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，已知A （1，0）B （0，2
π
）点P 在曲线
2cos 4cos ρθθρ+=上，则|PA|+|PB|最小值为 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答写在答题卡相位置，应写出文字说明、证明
过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）
已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2
2cos ,12
B
B b ==。

（1）若512
A π
=
，求边c 的大小； （2）若a=2c ，求△ABC 的面积．
17．（本小题满分12分）已知数列{n a }的前n 项和为S n ，常数λ>0,且λa 1a n =S 1+S n 对一切正
整数n 都成立. （1）求数列{n a }的通项公式；
（2）设10,100,a n λ>=当当为何值时，数列{lg
1
n
a }的前n 项和最大? 18．（本小题满分12分）如图，在四面体ABOC 中， OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，∠AOB=20°，且OA=OB=OC=1． （1）设P 为AC 的中点．证明：在AB 上存在一点Q ，使 PQ ⊥OA ，并计算
AB
AQ
的值．
（2）求四面体PAOB 的体积．
19．（本小题满分12分）已知关于x 的一元二次方程222(2)160.x a x b ---+= （1）若a,b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率； （2）若[2,6],[0,4]a b ∈∈，求方程没有实根的概率。

20．（本小题满分13分）已知点P （一1，3
2）是椭圆E ：22221(0)x y a b a b
+=>>上一点
F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，O 是坐标原点，PF 1⊥x 轴．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）设A ，B 是椭圆E 上两个动点，满足：(04,2)PA PB PO λλλ+=<<≠
且求直
线AB 的斜率。

21．（本小题满分14分）已知函数2()ln (2).f x x ax a x =-+- （1）讨论()f x 的单调性： （2）设a>0，证明：当0<x<
1a 时，11
()();f x f x a a
+>-。