刚体定轴转动的运动学
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5-刚体的定轴转动
L1 L2
刚体定轴转动的角动量 L=?
z
v
ri mi
O
刚体 定轴
L Li mirivi
m iri(ri) ( miri2)
J M=0的原因，可能
1）F＝0（不受外力） 2）外力作用于转轴上 3）外力作用线通过转轴
4）外力作用线与转轴平行
刚体定轴转动的角动量守恒
L1 L2
J11J22
位置，求它由此下摆角时的角速度。
解：如图建立坐标
x
杆受到的重力矩为：
O
M ＝ gxd g m xdm
X
dm
据质心x定 d＝ m 义 mCx MmgxC
xc
1l 2
cos
M1mgclos
2
dmg
MJJdJ d d J d M dJd
dt d dt d
0 1 2mc go lds 0 Jd
mglsin
端点 o 且与桌面垂直的固定光滑轴转动,另有 一水平运动的质量 m2为的小滑块,从侧面垂直 与杆的另一端 A 相碰撞,设碰撞时间极短,已知 小滑块在碰撞前后的速度分别为 v1 和 v2 ,方 向如图所示,求碰撞后从细杆开始转动到停止 转动过程所需时间,（已知杆绕点 o 的转动惯 量 J= ml2/ 3 )
dLR J2J0m0d2 其中 Jo 12moR2
J J1J2 1 3m LL 21 2m oR 2m o(LR )2
2.对薄平板刚体的正交轴定理
z
Jz miri2
yi
xi
ri
y
m i(x2y2) m ix 2 m iy 2
x
Δmi
Jz JxJy
z
应用
例：已知圆盘
刚体的定轴转动
刚体的定轴转动一、刚体极其运动刚体——受力时不改变形状和体积的物体。
注：（1）刚体是固体物件的理想模型。
（2）刚体是一个特殊的质点系（各质点间的相对位置在运动中保持不变）。
刚体的运动分为平动和转动。
平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线。
（用质点力学处理）转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动。
二、刚体转动的角速度和角加速度刚体定轴转动时，由于各质元间的相对位置保持不变，因此描述各质元的角量是一样的。
角坐标：θ=θ(t)角位移：?θ=θ(t+?t)-θ(t) 角速度：?θdθ=?t→0?tdt角速度的方向：右手螺旋法则。
dω角加速度：α= dt定轴转动的特点：（1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；（2）任一质点运动?θ,ω,α均相同，但v,a不同；（3）运动描述仅需一个坐标。
三、匀变速转动公式匀变速转动------刚体绕定轴转动的角加速度为恒量。
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比匀变速转动匀变速直线运动v=v+at x=x0+v0t+at2212222v=v0+2a(x-x0)2ω=lim 匀四、角量与线量的关系v=rωaτ=rαan=rω24-2力矩转动定律转动惯量一、力矩设一质点系由n个质点组成，其中i质点受力为n-1j=1Fi外+∑fjin-1 Mi=ri?(Fi外+∑fji)现对i质点所受力的力矩：j=1对i求和，刚体所受力的力矩为n M=∑Mi=∑ri?Fi外ii=1（内力矩为零）二、刚体的转动定律组成刚体的各质点间无相对位移，所以刚体对给定轴的力矩为dω2 M=rma=(rm)α=J=Jα∑iz∑∑iiτiidtii即刚体定轴转动的转动定律：绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
它在定轴转动中的地位相当于牛顿第二定律在质点力学中的地位。
刚体的简单运动—刚体绕定轴的转动(理论力学)
主轴转动两圈后停止 0
2 02 2
0 10π2 2 4π
负号表示 的转向与主轴转动方向相反，故为减速运动。
小结
1.刚体绕定轴转动 刚体运动时，有上或其扩展部分有两点保持不动,这种运动
为刚体的绕定轴转动。通过两点的直线称为转轴,不在转轴上 的各点都在垂直于转轴的平面内做圆周运动。
2.角速度
三、定轴转动的角速度和角加速度
1、角速度
lim
Δt 0
Δ Δt
d
dt
代数量 正负与转角相同
若已知转动方程 f (t)
f (t)
刚体转动的快慢和方向 单位为 rad/s
2、角加速度
设当t 时刻为 , t +△t 时刻为 +△
角加速度
lim
t 0
t
d
dt
d2
dt2
f (t)
表征角速度变化的快慢 单位:rad/s2 (代数量)
§6-2 刚体绕定轴的转动
一、刚体绕定轴转动
刚体运动时，其上或其扩展部分有两点保持不动, 这种运动为刚体的绕定轴转动。通过两点的直线称为 转轴,不在转轴上的各点都在垂直于转轴的平面内做 圆周运动。
二、转角和转动方程
____ 转角,单位弧度(rad)
=f(t)
转动方程
方向规定: 从Z轴正向看
逆时针为正
f (t) 刚体转动的快慢和方向 单位为 rad/s (代数量)
3.角加速度
f (t)
如果与同号,则转动是加速的;如果与异号,则转动是减
速的。
如果与同号,则转动是加速的; 如果与异号,则转动是减速的。
与同号,转动加速
与异号,转动减速
O
刚体定轴转动概述
m
已知： m , m1 , m2 , r , 0 0
r
求： t ?
m2
m1
思路：质点平动与刚体定轴转 动关联问题，隔离法，分别列 方程，先求角加速度, 再
23
N
β
r
解：在地面参考系中，分别以 m1 , m2 , m 为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第 二定律和转动定律建立方程。 对于 m 1
3 、物理意义：转动惯性的量度 .
I 大 转动惯性大
4、转动惯量的计算
若质量离散分布 若质量连续分布
I＝ mi ri
i
2
I r dm
2
O m2
例：如图m1 ，m2绕OO′转动，
它们距轴的距离分别为
2 1 l l 3 、 3
m1
2 l 3 1 l 3
则，系统的转动惯量为
2 1 I = m1 l m2 l 3 3
dm 2rdr l
l
3
R
O
r
dr
dI r dm 2lr dr
2
I
dI
R
0
m 1 2 I mR R 2l 2
1 4 2lr dr R l 2
3
可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量 也是mR2/2。
m1 g T1 m1a1 (1)
T2 m2 g m2 a2 (2)
2
T2 mg
T1
对于 m 2
对于滑轮 m T r T r I 1 mr 2 (3) 1 2
T2
a2
T1
m2 g
思考：
刚体的定轴转动
角速度是代数量，其正负表示刚体的转向。角速度为正值时表
明转角随时间而增加，刚体作逆时针转动；反之，转角随时间而减
小，刚体作顺时针转动。
角速度的单位是rad/s。工程上还常用每分钟转过的圈数表示刚
体转动的快慢，称为转速，用n表示，单位是r/min。角速度ω与转速
n之间的换算关系为
2n n
60 30
理论力学
刚体的运动\刚体的定轴转动
刚体的定轴转动
刚体运动时，若刚体内或其延伸部分有一直线始终保持不动， 刚体的这种运动称为定轴转动，简称转动。这条保持不动的直线称 为转轴。显然，刚体转动时，刚体内不在转轴上的各点都在垂直于 转轴的平面内作圆周运动，其圆心都在转轴上，圆的半径为该点到 转轴的垂直距离。
刚体的定轴转动在工程实际中随处可见，例如电动机转子的转 动，胶带轮、齿轮的转动等。
目录
刚体的运动\刚体的定轴转动
1.1 转动方程
设某刚体绕固定轴z转动，如图所示，为确定 该刚体在任一瞬时的位置，过转轴z作一固定平 面Ⅰ，再过转轴z作一与刚体固连、随刚体一起 转动的动平面Ⅱ。这样，该刚体在任一瞬时的位
置就可以用动平面Ⅱ与定平面Ⅰ的夹角确定， 角称为刚体的转角。当刚体转动时，转角是时
间t的单值连续函数，即 (t)
上式称为刚体的转动方程。若转动方程已知，则刚体在任一瞬时的 位置就确定了。因此，转动方程反映了刚体转动的规律。
转角是一个代数量，其正负号的规定如下：从转轴z的正端向 负端看去，逆时针转为正，反之为负。转角的单位是rad。
目录
刚体的运动\刚体的定轴转动
【例6.2】已知汽轮机在启动时主动轴的转动方程为t3，式中 的单位是rad，t的单位是s，求t＝3s时该轴的角速度和角加速度。
刚体的定轴转动
第3章 刚体的定轴转动刚体定轴转动所遵从的力学规律，实际上是质点运动的基本概念和原理在刚体中的应用。
重要的概念有转动惯量和力矩。
刚体的动能和角动量都有其特殊的表达式，但守恒定律同样适用于包括刚体的系统。
§1 刚体的运动一 刚体刚体是固体物件的理想化模型。
实际的固体在受力作用时总是要发生或大或小的形状和体积的改变。
如果在讨论一个固体的运动时，这种形状或体积的改变可以忽略，我们就把这个固体当做刚体处理。
这就是说，刚体是受力时不改变形状和体积的物体。
刚体可以看成由许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个质元，刚体这个质点系的特点是，在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。
既然是一个质点系。
所以关于质点系的基本定律就都可以应用。
当然，由于刚体这一质点系有其特点，所以这些基本定律就表现为更适合于研究刚体运动的特殊形式。
二 刚体的运动形式刚体的运动可以是平动、转动或二者的结合。
如果刚体在运动中，连结体内两点的直线在空间的指向总保持平行，这样的运动就叫平动。
在平动时，刚体内各质元的运动轨迹都一样，而且在同一时刻的速度和加速度都相等。
因此在描述刚体的平动时，就可以用一点的运动来代表，通常就用刚体质心的运动来代表整个刚体的平动。
平动是刚体的基本运动形式之一。
转动也是刚体的基本运动形式之一，它又可分为定轴转动和定点转动。
定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。
定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。
刚体不受任何限制的的任意运动。
它可分解为以下两种刚体的基本运动：随基点（可任选）的平动，绕通过基点的瞬时轴的定点转动。
三 刚体定轴转动的运动学描述刚体的定轴转动是最简单的转动情况。
在这种运动中各质元均做圆周运动，而且各圆的圆心都在一条固定不动的直线上，这条直线叫转轴。
刚体绕某一固定转轴转动时，各质元作圆周运动的轨道半径不同，所以各质元的线速度、加速度一般是不同的。
刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律一、前言刚体的定轴转动定律是物理学中的重要概念之一，它描述了刚体在绕固定轴进行运动时的物理规律。
本文将从定义、公式、特点和应用四个方面来全面介绍刚体的定轴转动定律。
二、定义刚体的定轴转动指的是一个刚体在绕一个固定轴进行旋转运动时，其各个部分都沿着圆周运动，且旋转轴不发生移动。
而刚体的定轴转动定律则是描述这种运动状态下物理量之间关系的规律。
三、公式1. 角加速度公式角加速度指的是角速度随时间变化率，通常用符号α表示。
根据牛顿第二定律和角动量守恒原理，可以得到以下公式：Iα = τ其中，I表示刚体绕固定轴旋转时所具有的惯性矩，τ表示作用在刚体上的扭矩。
2. 角位移公式角位移指的是一个物体在绕某一点旋转时所经过的角度变化量，通常用θ表示。
根据定义可以得到以下公式：θ = s / r其中，s表示弧长，r表示绕定轴旋转的半径。
3. 角速度公式角速度指的是一个物体在绕某一点旋转时所具有的单位时间内经过的角度变化量，通常用符号ω表示。
根据定义可以得到以下公式：ω = Δθ / Δt其中，Δθ表示角位移变化量，Δt表示时间变化量。
4. 动能公式刚体绕定轴旋转时所具有的动能可以通过以下公式计算：E = 1/2 Iω²其中，I表示刚体绕固定轴旋转时所具有的惯性矩，ω表示角速度。
四、特点1. 惯性矩与扭矩之间存在直接关系。
根据牛顿第二定律和角动量守恒原理可以得到Iα = τ这一公式，表明惯性矩与扭矩之间存在直接关系。
当扭矩增大时，刚体的角加速度也会增大；当惯性矩增大时，则需要更大的扭矩来产生相同大小的角加速度。
2. 角加速度与扭矩之间存在反比关系。
根据Iα = τ这一公式可以看出，当惯性矩不变时，角加速度与扭矩之间存在反比关系。
也就是说，当扭矩增大时，角加速度会减小；当扭矩减小时，角加速度会增大。
3. 角速度与角位移之间存在直接关系。
根据定义可以得到ω = Δθ / Δt这一公式，表明角速度与角位移之间存在直接关系。
3.1刚体定轴转动的运动学
A
A
A
B
B
B
平动的特点:
rB rA AB
rA rB vA vB
zB3
A3
Bn
An
A1
a A aB
x
O
y
刚体中各质点的运动情况相同,刚体的平动可归结为质点运动
2. 刚体绕定轴的转动 刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动 转轴固定不动 — 定轴转动 描述刚体绕定轴转动的角量 I 角坐标 角速度 角加速度
3.1刚体定轴转动的运动学
3.1.1 刚体的概念 在力作用下，大小和形状都保持不变的物体称为刚体。 特殊的质点系， 形状和体积不变化 —— 理想化模型 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变 3.1.2 刚体的平动和定轴转动 1. 刚体的平动 刚体运动时，若在刚体内 所作的任一条直线都始终 保持和自身平行
_____
刚体转动
z
f (t )
d f ' (t ) dt
(运动学方程)
P
d d 2 2 f " (t ) dt dt
II
当 c
0 t 1 2 t t 0 0 2 2 2 0 2 ( 0 )
与质点的匀加速直 线运动公式相似
绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度 任意点都绕同一轴作圆周运动,
z ω,
v
且 ， 都相同
v rM
an rM 2
a dv rM dt
O
刚体
rM M θ
第3章刚体的定轴转动
绕通过质心 由合外力矩决定（应用
轴的转动
转动定律）
第3章 刚体的定轴转动
例3 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质
量为 的圆mC柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的物mB
体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩
擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？
dt
M
dL
作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角
dt 动量随时间的变化率.
第3章 刚体的定轴转动
M
dL
dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
Mdt
t1
质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受
的冲量矩等于质点角动量的增量.
3 质点的角动量守恒定律
M 0, L 恒矢量
的大小与角速度的平方成正比，比例系数为 k
（ k 为大于零的常数).当 1 30 时，飞轮的角
加速度为
，所经历的时间为
M k2
M J
k 2
J
k
2 0
9J
第3章 刚体的定轴转动
M k2
M J J d
k 2 J d
dt
dt
t dt J
1
3
0
1
d
0
k 0 2
2J t
M mr 2
2）刚体
质量元受外力 Fej，内力 Fij
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
第3章 刚体的定轴转动
z
M
F
F
O
刚体定轴转动的转动定律
R
M
h
Hale Waihona Puke 解法一 用牛顿第二运动 定律及转动定律求解.分 析受力如图所示. 对物体m用牛顿第二 运动定律得 mg T ma 对匀质圆盘形滑轮用 转动定律有 TR J 物体下降的加速度的 大小就是转动时滑轮边缘 上切向加速度，所以
o R M
T
h
a
G
a R 物体m 落下h 高度时的速率为
2
3.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. 解 作示意图如右,由于质 量连续分布，所以由转动 惯量的定义得
J R 2dm
m
dm
o
R
2R 0
m R dl 2R
2
mR 2
4.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. dr 解 如图所示, 由于质 量连续分布，设圆盘的 R l o r 厚度为l，则圆盘的质量 密度为 m 2 R l
r近日 r远日
v近日
解 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了 太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运 行的过程中角动量守恒. 于是有 r近日 v近日 r远日 v远日 因为 r近日 v近日 ，r远日 v远日
r近日v近日 所以 r远日 v远日
代入数据可, 得
J r 2dm
m
R 0
1 1 4 r 2r ldr R l mR 2 2 2
2
5. 如图所示，一质 量为M 、半径为R 的匀 质圆盘形滑轮，可绕一 无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有质量可不计 绳子，绳子一端固定在 滑轮上，另一端悬挂一 质量为m 的物体，问物 体由静止落下h 高度时, 物体的速率为多少？
第03章 刚体定轴转动01-转动定律
作用于刚体内每一质元上的内力矩的矢量和为零，即
fr 0
i i i
14
F r
i i
i
为作用于刚体内每一质元上的外力矩的矢量和。
M Fi ri
i
定义：刚体的转动惯量J (moment of interia) 则有：
2 m r ii i
M J
即：
M J
刚体定轴转动的转动定律：刚体定轴转动的角加速度与它所 受的合外力矩成正比 ，与刚体的转动惯量成反比。 —— 刚体定轴转动的基本动力学规律。
dm 2 π r dr
P
3 2
圆环对轴的转动惯量
dJ r dm 2π r dr R 3 J 2π r dr π R 4 0 2 1 2 而 m π R 所以 J mR 2
圆盘对P 轴的转动惯量
R
R
O O
r dr
1 J P mR 2 mR 2 2
19
15
三、转动惯量
J mi ri
i
2
物理意义：刚体转动惯性的量度。 对于质量离散分布刚体的转动惯量
J mi ri 2 m1r12 m2r22
i
质量连续分布刚体的转动惯量
J lim
mi 0
2 2 m r r i i dm i
P1 y
P2
23
（3）如图所示,不计绳子的质量，滑轮的质量与半径分别为M
和R，滑轮与绳间只滚不滑，不计滑轮与轴间的摩擦力。 且 m1 m2 。 求重物释放后，物体的加速度和绳的张力。 A
m1 FN m1 FT1
O
C
取坐标如图
M
第三章刚体的定轴转动
§3.1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
二、刚体定轴转动的动能定理 B、对于定轴转动刚体，所有内力的功总和在任何过程中均为零。（内力成对，大小相等方向相反，
一对内力矩的代数和为零；∴内力矩的功总和为零。另一角度，内力的功相对位移为零 .）
3、功率：
d A F 2d r
pdAMdM
dt dt
当 与 M 同方向， 和 为正 当 与 M 反方向， 和 为负
§3.1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
1 2 其中(：1 3M h 2 1 m l2l(12) ca 2o M s) 1( 3g )m h 2g(h 2 ) h 2 a (1 co )s(4 )
由（2）（3）（4）式求得：
2Mg(1lcos)/22mg(1acos)
M2l/3m a2
(Ml 2ma)g(1cos)
2
25
整理，得：
1 10 gh,
b7
vcb
10 gh 7
§3.2 定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
（2）小球到达A点不脱离轨道，要求小球在A点的速 度vA 和角速度A满足：
m v a A 2 m g v A 2 a,gA 2 v b A 2 2 a b 2 g (4 )
由机械能守恒：
b<<a
飞轮作变加速转动
§3.1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律 例题3-1-2：一长为 l ，重为W的均匀梯子，靠墙放置，如图。墙光滑，地面粗糙, 当梯子与地面成角 时，处于平衡状态，求梯子与地面的摩擦力。
解：刚体平衡同时要满足两个条件：
Fi 0
Mi 0
列出分量方程：
O
水平方向：
f1N2 0
竖直方向：
刚体的定轴转动
半径为R、质量为 m3的均质圆盘，忽略轴 的摩擦。求：(1) m1 、m2的加速度；(2)滑 轮的角加速度 及绳中的张力。（绳轻且
不可伸长）
R m3
m1
m2
24
R
m1
m2
解 对m1 、m2，滑轮作受力分析， m1 、 m2作平动，滑轮作转动，
(T1 T1，T2 T2)
m1g T1 m1a
T2 m2 g m2a
其一 此处滑轮质量不可忽略，大小不可忽略，所以要用到转动定律；
其二 绳与滑轮间无相对滑动，所以
；因a R
故滑轮两边绳之张力不相等。
26
例2－33 质量m=1.0kg、半径 r=0.6m 的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水
平光滑固定轴转动，对轴的转动惯量 I=mr2/2。圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量
质量分布均匀而有一定几何形 状的刚体，质心的位置为它的 几何中心。
X
32
五、机械能守恒定律 若 A外 0 A内非 ＝０ (或只有保守力作功)
系统机械能守恒，即
1 2
mv2
1 2
I2
mghc
1 2
k x2
恒量
33
例2－35 一均匀细杆长为l，质量为m，垂直放置，o点着地。杆绕过o的光滑水平轴
m=1.0kg 的物体，如图所示。起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率 v0=0.6m/s 匀速上 升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向运动？
r
T
m、r
T
a
v0
mg
解；受力分析如图所示
mg T ma
Tr I
a r
v0 at 0
I 1 mr2 2
解得 a mgr mr I r 2g 3
不可伸长）
R m3
m1
m2
24
R
m1
m2
解 对m1 、m2，滑轮作受力分析， m1 、 m2作平动，滑轮作转动，
(T1 T1，T2 T2)
m1g T1 m1a
T2 m2 g m2a
其一 此处滑轮质量不可忽略，大小不可忽略，所以要用到转动定律；
其二 绳与滑轮间无相对滑动，所以
；因a R
故滑轮两边绳之张力不相等。
26
例2－33 质量m=1.0kg、半径 r=0.6m 的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水
平光滑固定轴转动，对轴的转动惯量 I=mr2/2。圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量
质量分布均匀而有一定几何形 状的刚体，质心的位置为它的 几何中心。
X
32
五、机械能守恒定律 若 A外 0 A内非 ＝０ (或只有保守力作功)
系统机械能守恒，即
1 2
mv2
1 2
I2
mghc
1 2
k x2
恒量
33
例2－35 一均匀细杆长为l，质量为m，垂直放置，o点着地。杆绕过o的光滑水平轴
m=1.0kg 的物体，如图所示。起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率 v0=0.6m/s 匀速上 升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向运动？
r
T
m、r
T
a
v0
mg
解；受力分析如图所示
mg T ma
Tr I
a r
v0 at 0
I 1 mr2 2
解得 a mgr mr I r 2g 3
4第四章 刚体的定轴转动
七、能综合应用转动定律和牛顿运动定律及质点、刚体定轴转 动的运动学公式计算质点刚体系统的简单动力学问题. 八、能综合应用守恒定律求解质点刚体系统的简单动力学问题. 明确选择分析解决质点刚体系统力学问题规律时的优先考虑顺序.
第 1 讲 刚体的定轴转动
预习要点 1. 理解刚体的运动； 2. 掌握描述刚体定轴转动的运动学方法； 3. 理解力矩的概念及力矩的功；
式中 mi ri2 表示第i个质点对转轴的转动惯量；
对质量连续分布的刚体，任取质量元 dm ，其到轴的
距离为 r ，则转动惯量：
J r2dm 单位：kg ·m2
若系统由多个刚体组成，则系统对转轴的总转动惯量， 等于各部分对同一转轴的转动惯量之和
一个长为4L的轻杆，连有两个质量都是m的小球（大小可 忽略），此系统可绕垂直于杆的轴转动，求下列转动惯量；
在转动平面内，O为转动平面与转轴的焦点，r 为从O 点指向
M 力的作用点 A 的位矢，两矢量的夹角为 ；
力 F 对定轴 OZ 的力矩 ：
（力臂：力的作用线到转轴的距离）
z
M Z Fd Fr sin
通常，从OZ轴正向俯视，有 逆时针转动（趋势）力矩为正， 反之为负；
单位：牛·米（N ·m）
F
Or
例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬
有质量为m1和m2的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量 为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无相对 滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张
力. 设 m2 m1
解: 受力分析如图：
FT1 m1g m1a m2g FT2 m2a
FT2R FT1R J a r
m2
)
gl
sin
α
第 1 讲 刚体的定轴转动
预习要点 1. 理解刚体的运动； 2. 掌握描述刚体定轴转动的运动学方法； 3. 理解力矩的概念及力矩的功；
式中 mi ri2 表示第i个质点对转轴的转动惯量；
对质量连续分布的刚体，任取质量元 dm ，其到轴的
距离为 r ，则转动惯量：
J r2dm 单位：kg ·m2
若系统由多个刚体组成，则系统对转轴的总转动惯量， 等于各部分对同一转轴的转动惯量之和
一个长为4L的轻杆，连有两个质量都是m的小球（大小可 忽略），此系统可绕垂直于杆的轴转动，求下列转动惯量；
在转动平面内，O为转动平面与转轴的焦点，r 为从O 点指向
M 力的作用点 A 的位矢，两矢量的夹角为 ；
力 F 对定轴 OZ 的力矩 ：
（力臂：力的作用线到转轴的距离）
z
M Z Fd Fr sin
通常，从OZ轴正向俯视，有 逆时针转动（趋势）力矩为正， 反之为负；
单位：牛·米（N ·m）
F
Or
例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬
有质量为m1和m2的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量 为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无相对 滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张
力. 设 m2 m1
解: 受力分析如图：
FT1 m1g m1a m2g FT2 m2a
FT2R FT1R J a r
m2
)
gl
sin
α
刚体的定轴转动
F
F
圆盘静止不动
F 圆盘绕圆心转动
F
力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.
一、力矩
刚体绕Oz轴旋转,力 F作用在刚体上点P,且在转动平面内, 由 点O 到力的作用点P的径矢为 。r
F 对转轴z的力矩
MrF 大小
M F rsin
z
M
Or
d
F
P
Fd
d : 力臂
二、力矩的功
F 力 F 对质元P所做的元功：
角位置： ( t ) 单位：r a d
角速度： d dt
角加速度：
d
dt
d 2
dt2
角量与线量的关系
v a
i it
ri ri
a
in
ri
2
质元
vi
ri mi x
转动平面
固定轴
方向: 右手螺旋方向
刚体定轴转动的转动方向可以用角速度的正负来表示.
z
z
0
0
2 匀变速转动公式 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动.
dW FdrFcosds
cossin
dsrd
d W F r s i n d
又 M F r s in
d W M d
力矩的功 W 2 Md 1
z
d
F dr
rP
y
F
dr
d r
P
o
x
三、转动动能
在刚体上取一质元 p ：i
动能：Eki
1 2
mivi2
1 2
mi
ri22
F 对刚体上所有质元的动能求和：
M F d J 1 t 2 2 F2dJt2 126N
刚体定轴转动定律
于 180°的夹角 θ 转向 F 时，拇指所指的方向就是力矩的方向。
可见，力矩的方向与转轴的方向平行，只有两个可能的方向，因此，可用 M 的正负表示力矩的方向。 一般可按力矩的作用来判断其正负：由转轴 Oz 正向俯视，若力矩的作用使刚体逆时针转动，则力矩为 正，否则为负。
刚体定轴转动定律 1.1 力矩
可加性
• 对同一转轴而言，刚体各部分转动惯量之 和等于整个刚体的转动惯量。
平行轴定理
• 设有两个彼此平行的转轴，一个通过刚体 的质心，另一个不通过质心。两平行轴之 间的距离为d，刚体的质量为m。
如果此刚体对通过质心转轴的转动惯量为 Jc ，则对另一 转轴的转动惯量 J 为 J Jc md 2
刚体定轴转动定律
刚体定轴转动定律Βιβλιοθήκη ， ，，，
例题讲解 2
如图所示，一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮。绳两边分别悬有质量为 m1 和 m2 的两个物体 A，B。已知 m1
小于 m2 ，滑轮可看作质量均匀分布的等厚圆盘，其质量为 m，半径为 r，设绳与滑轮间无相对滑动。求：① 物
体的加速度；② 滑轮的角加速度；③ 绳的张力。
i 1
n
用 M 表示，即 M (Δmiri2 ) β
i 1
n
n
式中的 (Δmiri2 ) 称为转动惯量，用 J 表示，即 J (Δmiri2 )
i 1
i 1
于是，式可写为 M Jβ
刚体定轴转动定律 1.2 转动定律
转动定律：刚体定轴转动时，刚体的角加速度与刚体所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量 成反比。
r 2 dm
Ω
式中 r ——质元 dm 到转轴的距离（m）。 在国际单位制中，转动惯量的单位为 kg m2 。
可见，力矩的方向与转轴的方向平行，只有两个可能的方向，因此，可用 M 的正负表示力矩的方向。 一般可按力矩的作用来判断其正负：由转轴 Oz 正向俯视，若力矩的作用使刚体逆时针转动，则力矩为 正，否则为负。
刚体定轴转动定律 1.1 力矩
可加性
• 对同一转轴而言，刚体各部分转动惯量之 和等于整个刚体的转动惯量。
平行轴定理
• 设有两个彼此平行的转轴，一个通过刚体 的质心，另一个不通过质心。两平行轴之 间的距离为d，刚体的质量为m。
如果此刚体对通过质心转轴的转动惯量为 Jc ，则对另一 转轴的转动惯量 J 为 J Jc md 2
刚体定轴转动定律
刚体定轴转动定律Βιβλιοθήκη ， ，，，
例题讲解 2
如图所示，一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮。绳两边分别悬有质量为 m1 和 m2 的两个物体 A，B。已知 m1
小于 m2 ，滑轮可看作质量均匀分布的等厚圆盘，其质量为 m，半径为 r，设绳与滑轮间无相对滑动。求：① 物
体的加速度；② 滑轮的角加速度；③ 绳的张力。
i 1
n
用 M 表示，即 M (Δmiri2 ) β
i 1
n
n
式中的 (Δmiri2 ) 称为转动惯量，用 J 表示，即 J (Δmiri2 )
i 1
i 1
于是，式可写为 M Jβ
刚体定轴转动定律 1.2 转动定律
转动定律：刚体定轴转动时，刚体的角加速度与刚体所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量 成反比。
r 2 dm
Ω
式中 r ——质元 dm 到转轴的距离（m）。 在国际单位制中，转动惯量的单位为 kg m2 。
刚体定轴转动的转动定律
miri2k
z
L
vi ri
mi
对于绕固定轴oz 转动 的整个刚体而言:
L N miri2 J
i
角动量的方向沿轴的正向或负向,所以可
用代数量来描述.
2. 角动量定理（动量矩定理）
M J d d J dL
dt dt dt
微分形式：Mdt dJ dL
积分形式：
t
Mdt
t0
3.2.4 例题分析
1.一绳跨过定滑轮，两端分别系有质量分 别为m 和M 的物体，且 M. 滑 m轮可看作是 质量均匀分布的圆盘，其质量为 ，半径m为 R ，转轴垂直于盘面通过盘心，如图所示. 由于轴上有摩擦，滑轮转动时受到了摩擦 阻力矩 的作用M阻. 设绳不可伸长且与滑轮间 无相对滑动.求物体的加速度及绳中的张力.
1 2
J
2
积分形式：
Md
0
1 J 2
2
1 2
J
2 0
3.2.3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
1. 角动量( 动量矩 )
L
对于定点转动而言：
L
r
P
r mv
P
mv
在国际单位制（SI） 中，角动量的单位为 o
r
m
kg m2 s1 r sin
对于绕固定轴oz的转
动的质元
Li
ri
而m言i : mivi
A
dm
L
L
2o2
J端点
x2dm
m
L 2 L 2
x 2
m L
dx
1 12
mL2
3.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量.
解 作示意图如右,由于质 量连续分布，所以由转动 惯量的定义得
理论力学第三章 刚体力学-3
3、求 a1 （转动加速度 ） d总 a1 r dt d总 d di 其中， (ctgi ) ctg
dt
h h 2 ctg cos 2k ctg sin 2i cos cos 2h (cos2k sin 2i ) sin
1
1 I mR 2 2
平行轴定理
I I c md
2
叙述：刚体对某一轴线的转动惯量，等于对通过质 心的平行轴的转动惯量加上刚体的质量与两 轴间垂直距离平方的乘积。
2、对定点转动惯性的大小，由于转轴的方向不断变 化，要用一个张量才能描述。 z
I xx 1 惯量张量： I yx I zx I xy I yy I zy I xz I yz I zz
N
O
y
x
§3.7 转动惯量
一、定点转动刚体的动量矩 动坐标系oxyz
z
i
设 Pi 为刚体上任一质点，该质点对定点 o的动量矩为
i
ri mii
整个刚体对同一点o的动量矩为
n J ri mii
i 1 n
o
x
ri
y
mi ri ri
2
h 2 h 2 2 大小： a1 ( ) [cos 2 sin 2 ] sin sin
2 2
2h 所以： a1 sin
3、求 a2（向轴加速度 ）
a2 总 (总 r )
h h 其中，总 r ctgi ( cos 2i sin 2k ) cos cos h ctg sin 2j cos cos h 2 sin cosj sin cos 2h cosj a2 总 (总 r ) (ctgi ) (2h cosj ) 2 2 cos 2 h k sin 2 cos 2 所以： a2 a2 2 h sin
刚体运动学和定轴转动
02 平动与转动描述方法
平动描述方法及特点
描述方法：通过确定刚体上任意一点的位置变化来描述 整个刚体的平动。
刚体上任意两点的连线在平动过程中始终保持平行且长 度不变。
特点
刚体上任意质元的速度、加速度等运动学量均与所选参 考点相关，但各点间的相对位置保持不变。
转动描述方法及特点
01
描述方法：通过确定刚体绕某定轴转动的角位移、角速度和角加速度 来描述转动。
刚体绕定轴转动时，其动量矩称为角动量，用字母$L$表 示。角动量是描述刚体绕定轴转动状态的物理量。
扭矩与角动量的关系
根据角动量定理，刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合 外力矩等于刚体角动量的变化率。即$tau = frac{dL}{dt}$。
转动定律及其应用
转动定律
刚体绕定轴转动时，其角加速度与作用于刚体上的合外力矩成 正比，与刚体的转动惯量成反比。即$alpha = frac{tau}{J}$， 其中$alpha$为角加速度。
应用举例
利用转动定律可以分析解决许多实际问题，如飞轮储能、陀 螺仪原理、电机转动等。在这些应用中，需要根据具体条件 建立相应的力学模型，并运用转动定律进行求解。
04 刚体定轴转动中能量转换 与守恒
动能定理在定轴转动中应用
动能定理描述了刚体在定轴转动过程中动能的 变化与外力矩做功之间的关系。
在刚体定轴转动中，外力矩对刚体做功，使其 动能发生变化。动能定理可用于计算外力矩做 功的大小以及刚体动能的变化量。
普遍性和重要性。
05 非惯性系下刚体运动学分 析
非惯性系中平动描述方法
绝对运动描述
以地面或静止物体为参考系，描述刚体的平动。
相对运动描述
以相对于地面运动的物体为参考系，描述刚体 的平动。
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这个加速度的方向与滑轮边缘的切线方向 的夹角为
tan1
an a
tan1
0.32 0.4
38.70
（4）开始上升后 t 末1s滑轮边缘上一点的 加速度（假定缆索和滑轮之间不打滑）.
解 （1）由于升降机的加 速度和滑轮边缘上的一点 的切向加速度相等，所以 滑轮的角加速度为
a a 0.8rad s2
rr
（2）由于 0 ，0所以5秒 末滑轮的角速度为
t 4.0rad s1
v a
（3）在这5 秒内滑轮转过的角度为
为研究方便， 我们将垂直于固 定轴的平面称之 为转动平面. 如图 所示.
vrii
mi
质元
转动平面
固定轴
不同质元作半径各不相同的圆周运动, 它们线量不同, 但是角量相同.
刚体定轴转动的运动学描述
角位置： (t)单位为 rad
刚体的运动方程
角位移： 单位为 rad
平均角速度：
t
角速度：
lim d
t0 t dt
单位为 rad s-1
ri vi
角加速度：
lim t0 t
d
dt
d 2
dt 2
单位为 rad s-2
➢ 刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以用角
速度的正负来表示 .
➢ 角加速度
d
dt
z
z
定轴转动的特点
0 0
1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
2） 任一质点运动 ,均, 相同，但 不v同, a；
刚体平动 质点运动
➢ 转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动 . 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
➢ 刚体的平面运动 .
+ ➢ 刚体的一般运动 质心的平动 绕质心的转动
三. 刚体定轴转动的运动学公式
相对于某一惯性参照系（例如地面）固定 不动的直线的转动称之为刚体的定轴转动.
这条固定不动的直线称之为固定轴.
3） 运动描述仅需一个坐标 .
例 一飞轮在时间t 内转过角度 a、b、act 都bt是3 常c量t 4，求它的角加速度.
，式中
解： d (at bt3 ct4 ) a 3bt2 4ct3
dt
d (a 3bt2 4ct3) 6bt 12ct2
dt
角量与线量的关系
vi ri ai ri ain ri 2
一. 刚体
刚体就是有一定的形状和大小，但形状和 大小永远保持不变的物体.
刚体是一种理想模型.
刚体可以看成是由许多质点构成，每一个 质点称之为刚体的一个质元. 可见刚体是一 个特殊的质点组，其特殊性在于在外力作用 下各质元之间的相对位置保持不变.
二. 刚体的平动与转动
刚体的运动形式：平动、转动.
➢ 平动：若刚体中所有点的 运动轨迹都保持完全相同， 或者说刚体内任意两点间的 连线总是平行于它们的初始 位置间的连线.
匀加速定轴转动角量运动学方程
0 t
0
0t
1
2
t2
2
2 0
2 (
0)
例题分析
1. 一条缆索绕过一个定滑轮拉动升降机，
如图所示. 滑轮的半径为 ，r 如0果.5升m 降机
从静止开始以加速度
匀a加速0.上4m升 ，s2
求：
（1）滑轮的角加速度；
（2）开始上升后t = 5s末滑轮的角速度；
（3）在这5秒内滑轮转过的圈数；
1 t 2 10rad
2
所以在这5秒内滑轮转过的圈数为
N 10 1.6圈
a
2
(4)为了图示清晰，将滑
o
轮放大为如图所示.
a
an a
r
a a 0.4m s2
an r 2 r 2t 2 0.32m s2
由此可得滑轮边缘上一点在升降机开始上 升后 t时 的1s加速度为
a an2 a2 0.51m s2
tan1
an a
tan1
0.32 0.4
38.70
（4）开始上升后 t 末1s滑轮边缘上一点的 加速度（假定缆索和滑轮之间不打滑）.
解 （1）由于升降机的加 速度和滑轮边缘上的一点 的切向加速度相等，所以 滑轮的角加速度为
a a 0.8rad s2
rr
（2）由于 0 ，0所以5秒 末滑轮的角速度为
t 4.0rad s1
v a
（3）在这5 秒内滑轮转过的角度为
为研究方便， 我们将垂直于固 定轴的平面称之 为转动平面. 如图 所示.
vrii
mi
质元
转动平面
固定轴
不同质元作半径各不相同的圆周运动, 它们线量不同, 但是角量相同.
刚体定轴转动的运动学描述
角位置： (t)单位为 rad
刚体的运动方程
角位移： 单位为 rad
平均角速度：
t
角速度：
lim d
t0 t dt
单位为 rad s-1
ri vi
角加速度：
lim t0 t
d
dt
d 2
dt 2
单位为 rad s-2
➢ 刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以用角
速度的正负来表示 .
➢ 角加速度
d
dt
z
z
定轴转动的特点
0 0
1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
2） 任一质点运动 ,均, 相同，但 不v同, a；
刚体平动 质点运动
➢ 转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动 . 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
➢ 刚体的平面运动 .
+ ➢ 刚体的一般运动 质心的平动 绕质心的转动
三. 刚体定轴转动的运动学公式
相对于某一惯性参照系（例如地面）固定 不动的直线的转动称之为刚体的定轴转动.
这条固定不动的直线称之为固定轴.
3） 运动描述仅需一个坐标 .
例 一飞轮在时间t 内转过角度 a、b、act 都bt是3 常c量t 4，求它的角加速度.
，式中
解： d (at bt3 ct4 ) a 3bt2 4ct3
dt
d (a 3bt2 4ct3) 6bt 12ct2
dt
角量与线量的关系
vi ri ai ri ain ri 2
一. 刚体
刚体就是有一定的形状和大小，但形状和 大小永远保持不变的物体.
刚体是一种理想模型.
刚体可以看成是由许多质点构成，每一个 质点称之为刚体的一个质元. 可见刚体是一 个特殊的质点组，其特殊性在于在外力作用 下各质元之间的相对位置保持不变.
二. 刚体的平动与转动
刚体的运动形式：平动、转动.
➢ 平动：若刚体中所有点的 运动轨迹都保持完全相同， 或者说刚体内任意两点间的 连线总是平行于它们的初始 位置间的连线.
匀加速定轴转动角量运动学方程
0 t
0
0t
1
2
t2
2
2 0
2 (
0)
例题分析
1. 一条缆索绕过一个定滑轮拉动升降机，
如图所示. 滑轮的半径为 ，r 如0果.5升m 降机
从静止开始以加速度
匀a加速0.上4m升 ，s2
求：
（1）滑轮的角加速度；
（2）开始上升后t = 5s末滑轮的角速度；
（3）在这5秒内滑轮转过的圈数；
1 t 2 10rad
2
所以在这5秒内滑轮转过的圈数为
N 10 1.6圈
a
2
(4)为了图示清晰，将滑
o
轮放大为如图所示.
a
an a
r
a a 0.4m s2
an r 2 r 2t 2 0.32m s2
由此可得滑轮边缘上一点在升降机开始上 升后 t时 的1s加速度为
a an2 a2 0.51m s2