24.2.2切线长定理

合集下载

人教版九年级(上)数学导学案：24.2.2切线长定理

24.2.2切线长定理主备人：符后丽审核：数学备课组课型：新授课学习目标：1、掌握切线长定理，能利用切线长定理解决相关的计算和证明问题。

2、培养抓基本图形的能力，规范、严谨的书写计算和证明的过程。

学习重点：切线长定理的证明和应用学习过程：一复习回顾1、如图1，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是过A 点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么 ∠CAB= 时，AC 才能成为⊙O 的切线。

2、如图2，AB 切⊙O 于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠A=36°，则∠C=3、如图3，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上的一点，PA 切⊙O 于A ，若PA=3，PB=1，则⊙O 的半径为。

二新知探究1、画图：如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的切线，2、可以作条。

2、度量：圆外点P 到两个切点的距离是（填“相等”或“不相等”）；操作：将上面的图形沿着直线PO 折叠，你发现了，∠APO 与∠BPO 的大小（填“相等”或“不相等”）；3、根据你的度量和操作，你的猜想是。

4、你能证明你的猜想吗？5、归纳总结：如图所示，PA,PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B 。

直线OP 交⊙O 于点D ，E ，交AB 于点C 。

（1）写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中所有的等腰三角形；（3）写出图中所有的全等三角形；图1 图2 图3（4）若∠APB=70°，你可求出哪些角的度数？6、基础训练（1）如图4，PA,PB 是⊙O 的切线，且∠APB=40°，下列说法不正确的是（）A PA=PB B ∠APO=20°C ∠OBP=70°D ∠AOP=70°（2）如图5，从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA,PB ，切点分别为A ，B 。

如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB 的长是（）A 4 B 8 C 34 D 38（3）如图6PA,PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B 。

切线长定理课件 1 人教版

?
32 、肯承认错误则错已改了一半。
?
33 、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。
?
34 、好方法事半功倍，好习惯受益终身。
?
35 、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。
?
36 、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。
?
37 、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。
?
38 、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。
∠BOC的度数。
解：? 点O是内心 ? ? OBC ? 1 ? ABC ? 250
2 ? OCB ? 1 ? ACB ? 37.50
2 ? ? BOC ? 180 0 ? ? OBC ? ? OCB ? 117.5 0
B
A
O
C
例题：
例2 如图,ABC 的内切圆⊙O与BC、CA、
AB 分别相切于点D、E、F，且
?
巩固：
1、下列说法错误的是（） A 、过圆上一点可以作一条直线和圆相切 B、过圆外一点可以作两条直线与圆相切 C、从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等 D、从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等
巩2、固如：图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O于E、
D、F，若AD=20cm ，则△ABC 的周长为.
?
8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。
?
9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。
?
10 、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。
?
11 、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。
?
12 、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。

人教版九年级数学上册24.2.2切线长定理教案

此外，小组讨论的环节中，我发现学生们在讨论切线长定理的实际应用时，思路不够开阔。这可能是因为他们在日常生活中对几何图形的观察不够细致，或者是缺乏将理论知识应用到实际中的经验。我打算在之后的课程中，增加一些观察和分析实际几何图形的练习，帮助学生培养从生活中发现数学的能力。
在难点解析部分，我发现通证明过程有了更清晰的认识。但仍有学生反映在理解证明思路时感到困难。我考虑在下一节课中，引入更多的辅助手段，如动画演示或实物模型，来帮助学生们更好地理解几何证明的思路。
-证明思路：证明过程中涉及到的几何变换和逻辑推理对学生来说是难点。
-举例：在证明过程中，如何通过构造全等三角形和使用圆的性质来推导切线长定理。
-问题解决：学生在应用切线长定理解决具体问题时，往往难以找到合适的解题切入点。
-举例：在求解切线长或证明线段相等的问题时，学生可能不知道如何利用切线长定理来简化问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了切线长定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对切线长定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观与空间观念：通过切线长定理的学习，使学生能够观察和理解几何图形，发展空间想象力，提高解决几何问题的能力。
2.提升学生的逻辑推理与证明能力：引导学生探索切线长定理的证明过程，训练学生运用逻辑推理、几何论证的方法，培养严谨的数学思维。
3.增强学生的解决问题能力：通过切线长定理在具体题目中的应用，让学生掌握解决问题的方法和策略，提高解题效率，形成良好的数学解题习惯。

《24.2.2 第3课时切线长定理》教案、导学案、同步练习

《第3课时切线长定理》教案【教学目标】1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．【教学过程】一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点一：切线长定理【类型一】利用切线长定理求三角形的周长如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC )＋(CF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4. 【类型二】利用切线长定理求角的大小如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝12∠APB＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.【类型三】切线长定理的实际应用为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O 的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO ＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝55(cm)，即铁环的半径为55cm.探究点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．解析：如图，连接OD .由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD ＝30°，OD ⊥BC ，所以CD ＝12BC ，OC ＝2OD .又由BC ＝2，则CD ＝1.在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD 2＋CD 2＝OC 2，所以OD 2＋12＝(2OD )2，所以OD ＝33.即⊙O 的半径为33. 方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等．【类型二】求三角形的周长如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N .若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r 解析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC .又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴C Rt △MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN ＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r ，故选C. 三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.《第3课时切线长定理》教案【教学目标】：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。

24.2.2切线长定理(用)知识讲稿

知识拓展
2、△ABC的内切圆半径为 r , △ABC的周长为 l , 求△ABC的面积。（提示：设内心为O，连接OA、 OB、OC。）
若△ABC的内切圆半径为 r ,
周长为 l ,
A
则S△ABC=
1 lr 2
r
r
B
O r
C
切线长定理拓展
回顾反思 1.切线长定理
·A
O·
·P
B
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
。
P
∠OPA=∠OPB
O
A
证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A， B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即 ∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
试用文字语言叙述你所发现的结论
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
归纳总结切线长定理：从圆外一点引圆的
是直角,三边长分别是a,b,c. 求⊙O的半径r.
A D
abc
O
●┗
F
r
2 .B
┓
EC
(2)已知:如图,△ABC的面积为S,三边长分别为
a,b,c. 求内切圆⊙O的半径r.
A
D
F
O
●
┓
B
E
C
r 2S . S1rabc.
abc
2
1.边长为3、4、5的三角形的内切圆的半径为——
2. 边长为5、5、6的三角形的内切圆的半径为——
AD E
O
B
C
3. 已知:△ABC的面积S=4cm,周长等于 10cm.求内切圆⊙O的半径r.

人教版数学九年级上册24.2《切线的判定和性质定理、切线长定理》教学设计

人教版数学九年级上册24.2《切线的判定和性质定理、切线长定理》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册第24.2节《切线的判定和性质定理、切线长定理》是九年级数学的重要内容，主要让学生了解和掌握切线的判定方法、性质定理以及切线长定理。

本节内容是在学习了函数图像、直线与圆的位置关系等知识的基础上进行学习的，为后续学习解析几何和高中数学打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数图像、直线与圆的位置关系等知识，具备了一定的几何直观能力和逻辑思维能力。

但是，对于切线的判定和性质定理、切线长定理的理解和应用还需要加强。

因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中发现切线，培养学生的几何直观能力，同时，通过实例讲解，使学生理解和掌握切线的性质定理和切线长定理。

三. 教学目标1.让学生了解和掌握切线的判定方法。

2.使学生理解和掌握切线的性质定理和切线长定理。

3.培养学生运用切线知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：切线的判定方法、性质定理和切线长定理。

2.教学难点：切线性质定理和切线长定理的理解和应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现和理解切线。

2.使用多媒体辅助教学，通过动画演示和实例讲解，使学生直观地理解和掌握切线的性质定理和切线长定理。

3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论和探究中加深对切线知识的理解。

六. 教学准备1.准备相关的多媒体教学课件和教学素材。

2.准备切线相关的实际问题，用于引导学生学习。

3.准备黑板和粉笔，用于板书。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，如：如何判断一条直线是否为圆的切线？圆的切线有什么特殊的性质？引发学生对切线的兴趣，从而导入新课。

2.呈现（10分钟）讲解切线的判定方法，通过多媒体动画演示和实例讲解，让学生直观地理解和掌握切线的判定方法。

3.操练（10分钟）让学生通过练习一些切线的判定问题，加深对切线判定方法的理解和应用。

24.2.2.4 切线长定理(第4课时)(优秀经典公开课比赛课件)

切线切线长
联系
（三）探究切线长定理：
如图，已知 PA、PB 是⊙O 的两条切线，试指出图中相等的量，并证明.
A
O
P

切线长定理：过圆外一点所画的圆的_____条切线长相等. 该定理用数学符号语言叙述为：
∵ ∴
三、课堂练习
1. 如图，⊙O 与△ ABC 的边 BC 相切，切点为点 D，与 AB、AC 的延长线相切，切点分别为店 E、F，则图中相等的线段有_________________________________.
2.如图，PA，PB 分别为⊙O 的切线，AC 为直径，切点分别为 A、B，∠ P=70°，则∠ C=

.
3.如图，PA、PB 分别切圆 O 于 A、B，并与圆 O 的切线，分别相交于 C、D，•已知 PA=7cm，
则△ PCD 的周长为_______.
A P
O
B C 第5题
DA
P
O
CB
4.如图：已知 AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为 B，OC 平行于弦 AD. 求证：DC 是⊙O 的切线.
是
，内切圆的圆心叫做三
角形的
.会利用基本作图完成：作三角形的内切圆.
（一）探究切线长的定义：如下图，过⊙O 外一点 P，画出⊙ O 的所有切线.
•
·O
P
定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
（二）探究切线与切线长的区别和联系：区别
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24．2.2 切线长定理 (第4课时)
一、预习检测
1.经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的

人教版数学九年级上册24.2《切线的判定和性质定理、切线长定理》说课稿

人教版数学九年级上册24.2《切线的判定和性质定理、切线长定理》说课稿一. 教材分析人教版数学九年级上册第24.2节《切线的判定和性质定理、切线长定理》是初中数学的重要内容，旨在让学生理解和掌握切线的判定方法、性质定理和切线长定理，为后续学习解析几何打下基础。

本节内容涉及直线与圆的位置关系，通过研究切线与圆的切点，引导学生探究切线的性质，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对直线、圆等基本概念有所了解。

但是，对于切线的判定和性质定理、切线长定理等概念，学生可能较为抽象，不易理解。

因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，采用生动形象的教学手段，引导学生理解和掌握切线的相关知识。

三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握切线的判定方法、性质定理和切线长定理，能够运用这些知识解决一些简单的问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的探究能力和合作意识。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自信心和克服困难的意志。

四. 说教学重难点1.教学重点：切线的判定方法、性质定理和切线长定理。

2.教学难点：切线性质定理的理解和应用。

五. 说教学方法与手段本节课采用“问题驱动”的教学方法，引导学生通过观察、操作、猜想、验证等环节，自主探究切线的性质。

同时，运用多媒体课件、几何画板等教学手段，为学生提供丰富的学习资源，提高教学效果。

六. 说教学过程1.导入新课：通过复习直线和圆的相关知识，引出本节课的内容——切线的判定和性质定理、切线长定理。

2.自主探究：让学生通过观察、操作，猜想切线的性质，然后进行验证。

在此过程中，引导学生发现切线的判定方法和性质定理。

3.讲解与演示：教师对切线的判定方法和性质定理进行讲解，并用多媒体课件和几何画板进行演示，帮助学生加深理解。

4.练习与拓展：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识，并进行拓展训练。

切线长定理内容

切线长定理内容
切线长定理是几何学中的一个定理,它描述的是当两个物体相对运动时,如果物体A的切线速度与物体B的速度方向相反,那么物体A 的切线长度一定比物体B的长度长。

切线长定理的公式为:
L_A / L_B = (v_A^2 / c^2) - (v_B^2 / c^2)
其中,L_A表示物体A的切线长度,L_B表示物体B的切线长
度,v_A表示物体A的相对速度,v_B表示物体B的相对速度,c表示光速。

切线长定理说明了一个物体的切线长度与其相对速度有关,而与物体的质量、形状等因素无关。

这个定理在物体运动分析、机械力学、相对论等领域都有广泛的应用。

24.2.2 第3课时切线长定理和三角形的内切圆

第3课时切线长定理和三角形的内切圆知识要点基础练知识点1切线长定理1.如图,已知PA,PB分别切☉O于点A,B,∠P=60°,PA=8,那么弦AB的长是(B)A.4B.8C.4D.82.如图,将一把直尺,60°的直角三角板和光盘如图摆放,其中A为60°角与直尺的交点,AB=3,则光盘的直径是(D)A.3B.3C.6D.63.(改编)如图,PA,PB切☉O于A,B两点,CD切☉O于点E,交PA,PB于C,D两点.若△PCD的周长等于6,求切线PB的长.解:∵PA,PB切☉O于点A,B,CD切☉O于点E,∴PA=PB,CA=CE,DE=DB.∵△PCD的周长=PC+CD+PD=6,即PC+CE+ED+PD=6,∴PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PB=6,∴PB=3.知识点2三角形的内切圆4.下面关于“三角形的内心”说法正确的是(A)A.三角形的内心到三边的距离相等B.三角形的内心是三边垂直平分线的交点C.三角形的内心是三边中线的交点D.三角形的内心到三个顶点的距离相等5.如图,☉O是△ABC的内切圆,D,E是切点,∠A=50°,∠C=60°,则∠DOE=(B)A.70°B.110°C.120°D.130°6.【教材母题变式】如图,△ABC中,∠C=90°,☉O是△ABC的内切圆,D,E,F是切点.(1)求证:四边形ODCE是正方形;(2)如果AC=6,BC=8,求内切圆☉O的半径.解:(1)略.(2)☉O的半径为2.综合能力提升练7.一个钢管放在V型架内,其截面如图,点O为钢管界面圆的圆心.若PM=25cm,∠MPN=60°,则☉O的半径为(D)A.50 cmB.25cmC.20 cmD.25 cm8.如图,若AB,AC分别切☉O于点B,C,延长OB到点D,使BD=OB,连接AD.若∠DAC=78°,则∠ADO的度数为(C)A.56°B.39°C.64°D.78°9.点O是△ABC的外心,点I是△ABC的内心,若∠BIC=145°,则∠BOC的度数为(D)A.110°B.125°C.130°D.140°10.如图,△ABC的内切圆与三边分别相切于点D,E,F,则下列等式:①∠EDF=∠B;②2∠EDF=∠A+∠C;③2∠A=∠FED+∠EDF;④∠AED+∠BFE+∠CDF=180°.其中成立的个数是(B)A.1B.2C.3D.411.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则△ABC的外心与内心之间的距离为(D)A.B.2 C.1 D.12.(南京中考)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与☉O相切于E,F,G三点,过点D作☉O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为(A)A. B.C. D.2提示:由已知得DE=DN,MG=MN,∴DM=DE+MG.∵AB=4,∴圆的半径为2,∴AF=AE=2,∴DE=DN=CG=3.设MG=MN=x,在Rt△CDM中,(3+x)2=(3-x)2+42,解得x=,∴DM=3+x=.【变式拓展】如图,以正方形ABCD的边BC为直径作半圆O,过点D作直线切半圆于点F,交AB于点E,则△ADE和直角梯形EBCD的周长之比为6∶7.13.如图,AB,AC,BD是☉O的切线,P,C,D为切点.如果AB=5,AC=3,则BD的长为2.14.如图,已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD,下底BC以及腰AB均相切,切点分别是D,C,E.若半圆O的半径为2,梯形的腰AB为5,则该梯形的周长是14.15.如图,AB是☉O的直径,点C为☉O外一点,CA,CD是☉O的切线,A,D为切点,连接BD,AD.若∠ACD=30°,则∠DBA=75°.16.如图,AB为☉O的直径,PA,PC与☉O相切于A,C两点,PQ⊥PA,PQ交OC的延长线于点Q.(1)求证:OQ=PQ;(2)连接BC并延长交PQ于点D,PA=AB,且CQ=6,求BD的长.解:(1)连接OP.∵PA,PC与☉O相切于A,C两点,∴PA=PC,OA⊥PA.∵OA=OC,OP=OP,∴△OPA≌△OPC(SSS),∴∠AOP=∠POC.∵QP⊥PA,∴QP∥BA,∴∠QPO=∠AOP,∴∠QOP=∠QPO,∴OQ=PQ.(2)设OA=r.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∵OB∥QD,∴∠QDC=∠B,∵∠OCB=∠QCD,∴∠QCD=∠QDC,∴QC=QD=6.∵QO=QP,∴OC=DP=r,∵PC是☉O的切线,∴OC⊥PC,∴∠OCP=∠PCQ=90°,在Rt△PCQ中,∵PQ2=PC2+QC2,∴(6+r)2=62+(2r)2,解得r=4或0(舍去),∴OP==4.∵OB=PD,OB∥PD,∴四边形OBDP是平行四边形,∴BD=OP=4.拓展探究突破练17.(龙岩中考)如图1~4,在直角边分别为3和4的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆,依此类推,图10中有10个直角三角形的内切圆,它们的面积分别记为S1,S2,S3,…,S10,则S1+S2+S3+…+S10=π.。

人教版九年级数学上册第24章第2节《切线长定理》优质课件

(1)PA=P；
连接AB以后，
(2)OA⊥PA,OB⊥PB；
还能得到哪些
(3)OP平分∠AOB和∠APB；
信息？
(4)OP垂直平分AB.
2.如图，⊙O内切于△ABC,交点分别为D、E、 A
F，你能得到哪些信息？
E
(1)AB⊥OD,BC⊥OF, AC⊥OE.
D .O
(2)AO、BO、CO分别平分∠A 、∠B和∠C.
C
BF
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
教学反思
本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续. 从探究切线长定理开始，通过如何作一个三角形的内切圆，引出三角形的内切圆和三角形内心的概念，经历这些探究过程，能使学生掌握图形的基本知识和基本技能，并能解决简单的问题.
解：设△ABC的内心为O，连接OA、OB、 O则CS.△1122AABABCB=·rSB△12CBAOCAB·r+CS12r△ABC12Ol·rCr.+S△AOC
拓展延伸
7.如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G 三点，且AB∥CD，BO＝ 6cm，CO＝8cm，求BC的长.
解：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切，
A
CD=CE=AC-AE=13-x, BD=BF=AB-AF=9-x. 由BD+CD=BC,可得
E
F.
(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4. B
D
C
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂演练
基础巩固
1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，
CA，AB分别相切于点D，E，F，且 AB=11cm，BC=14cCm，CA=13cm，则

24.2.2 切线长定理

例题：如图：△ABC的内切圆⊙O与 BC，AC，AB，分别相切于点E、F、 D，且AB=14㎝，BC=19㎝，CA=9 ㎝，求AF，BD，CE，的长。
B E D O C
F
A
反思：在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形。
A
。OBiblioteka P B（1）分别连结圆心和切点（直角）
（2）连结两切点（等腰三角形）
（3）连结圆心和圆外一点（角平分线）
小结：
（1）切线长定理。（2）连接圆心和切点是我们解决切线长定理相关问题时常用的辅助线。
⌒
P
切线与切线长的区别是什么？切线是一条直线,不可度量切线长是一条线段,可以度量
一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？
A
B C
. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心叫三角形的内心 ,它是三角形三条角平分线的交点。
叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫三角形的外心 ,它是三角形三边垂直平分线的交点。经过三角形的三个顶点的圆
活动1
O
A
P
．条件结论 B PA =PB . PA是⊙O的切线相等的线段： ∠APO = ∠BPO PB是⊙O的切线. 相等的角： . 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
A
1
O M
2
B 证明：∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点 ∴OA⊥AP，OB⊥BP 又OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）∴PA=PB，1=∠2

24.2.2 直线和圆的位置关系第3课时切线长定理

C
证明：延长PO交⊙O于点C，连接AC、BC，
典例精析
如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是 AB上一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点 D，E.已知∠APB＝60°，⊙O的半径为，则 △PDE的周长为______，∠DOE的度数为______．
该木模可以抽象为几何如下几何图形.
C
A
B
r
O
D
解：如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD.
∵圆O是△ABC的内切圆,
∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的角平分线
∵ △ABC是等边三角形,
∴ ∠OAB=∠OBA=30o
∵OD⊥AB，AB=3cm，
∴AD=BD= AB=1.5(cm)
∴Rt△OAP≌Rt△OBP，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
推理验证
想一想：若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.
OP垂直平分AB.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB.
A
B
C
O
c
D
E
r
3.如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c，则其内切圆的半径r为___________（以含a、b、c的代数式表示r）.
解析：过点O分别作AC，BC，AB的垂线，垂足分别为D，E，F.
F
则AD=AC-DC=b-r,
BF=BC-CE=a-r,
因为AF=AD，BF=BE，AF+BF=c,
3
知识点
三角形的内心的性质
问题2 如图，分别过点作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段IE、IF、IG之间有什么关系？

人教版九年级上册数学课件24.2.2切线长定理

于D、E，已知P到⊙O的切线长为8cm,则△PDE的周长为____
求证：AC∥OP.
B 点C到⊙O的切线长
· 1、如图，一个钢管放在V形架内，钢管的半径是20cm.
点A到⊙O的切线长
∵OA＝OB OP＝OP
∵PA、PB是⊙O的切线
(3)经过圆外一点，作⊙O的切线，能作出几条？
· 规则：同学们得到答案后，随机确定一个小组派代表讲解，保底分3分！
这一点和圆心的连线_____两条切线的夹角. (2)如果∠UVW=60°，VT是多少？到⊙O的切线长为_____
谈谈你本堂课的收获！
证明：∵BC是⊙O的直径
1
2
4
3
∴∠1＝90° ∵PA、PB是⊙O的切线 ∴PA＝PB ∠2＝∠3
∴PD⊥AB
∴∠4＝90° ∵∠1＝∠4
∴AC∥OP
规则：同学们得到答案后，随机确定一个小组派代表讲解，保底分3分！
2、如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA、PB
∵∴POAA、 ⊥1PA、BP是⊙O如B⊥O的B图P切线，AB、AC与⊙O相切于B、C两点，∠A=50°，点P是圆上异
到⊙O的切线长为_____ 到⊙O的切线长为_____
50°
规则：同学们得到答案后，随机确定一个小组派代表讲解，保底分3分！
3、如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，
(3)经过圆外一点，作⊙O的切线，能作出几条？
规则：同学们在书本上完成题目，之后确定一个小组派代表展示，保底分3分！
在Rt△VUT中
∵PA、PB切⊙O于A、B
在Rt△VUT中 ∴OA⊥AP OB⊥BP
?
VT VU 2＋ UT 2

24.2.2切线长定理(3)

24.2.2切线长定理(3)1.如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是( )A.4B.8C.43D.832.如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD，下底BC 以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E.若半圆O的半径为2，梯形的腰AB 为5，则该梯形的周长是( )A.9B.10C.12D.143.(青海中考)如图，PA，PB切⊙O于点A，B，点C是⊙O上的一点，且∠ACB=65°，则∠P=____.4.为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5 cm，求铁环的半径.5.△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=18 cm，BC= 28 cm，CA=26 cm，求AF，BD，CE的长.参考答案1.B 2.D 3.50°4.解：如图所示，设圆心为O，连接OA，OP. ∵三角板有一个锐角为30°，∴∠PAO=60°.又∵PA与⊙O相切，∴∠OPA=90°.∴∠POA=30°.又∵PA=5 cm，∴OP=53 cm.即铁环的半径为53 cm.5.解：根据切线长定理，得AE=AF，BF=BD，CE=CD.设AF=AE=x cm，则CE=CD=(26-x)cm，BF=BD=(18-x)cm.∵BC=28 cm，∴(18-x)+(26-x)=28.解得x=8.∴AF=8 cm，BD=10 cm，CE=18 cm.。

24223切线长定理

二、填空
(1)如图PA、PB切圆于A、B两点，APB 50
连结PO，则 APO 25 度。
A
O
P
B
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、 C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ A ）
A 16cm C 12cm
B 14cm D 8cm
AD
C
P
E B
1、已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、 B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
（2）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径
OA的长.
A
E O CD
P
B
例2、如图，过半径为6cm的⊙O外一点P作圆的切线PA、PB，连结PO交⊙O于F，过F作 ⊙O切线分别交PA、PB于D、E，如果PO＝ 10cm，求△PED的周长。
反思：在解决有关圆
反思：在解决有关圆的切线长问题时，
的切线A长的问题时，
往往需要我们构建基本图形。
往往需要我们构建基本图形。
。
O
P
B
（1）分别连结圆心和切点
（2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
小结：
B
1.切线长定理从圆外
一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，
E
。
OC
D
P
圆心和这一点的连线
2
A D
P
C
O
E B
随堂训练如图，AC为⊙O的直径，PA、PB分别切⊙O 于点A、B，OP交⊙O于点M，连结BC。 (1)若OA=3cm, ∠APB=60°，则PA=______.