第四章光 的 衍 射

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3. 分类： 分类：
光源 S
障碍物
观察屏
*
L B
D P
（1）菲涅耳（Fresnel）衍射 — 近场衍射 菲涅耳（ ） L 和 D中至少有一个是有限值。 中至少有一个是有限值。 中至少有一个是有限值 （2）夫琅禾费（Fraunhofer）衍射 — 远场衍射 夫琅禾费（ ） L 和 D皆为无限大（也可用透镜实现）。 皆为无限大（ 皆为无限大 也可用透镜实现）。
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圆孔的衍射图样： 圆孔的衍射图样：
L S P1
B
P2
P3
P4
屏上 图形： 图形：
孔的投影 菲涅耳衍射 夫琅禾费衍射 5
刀片边缘的衍射
圆屏衍射 泊松点） （泊松点）
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二. 惠更斯—菲涅耳原理 惠更斯— （Huygens — Fresnel principle） ） 波传到的任何一点都是子波的波源， 波传到的任何一点都是子波的波源， 各子波在空间某点的相干叠加， 各子波在空间某点的相干叠加，就决定 了该点波的强度。 了该点波的强度。
2 0
p 处波的强度I p ∝ E ( p )
1882年以后，基尔霍夫（Kirchhoff）解电 年以后，基尔霍夫（ 年以后 ） 磁波动方程，也得到了 的表示式， 磁波动方程，也得到了E(p)的表示式， 这使得 的表示式 菲涅耳原理有了波动理论的根据。 惠更斯 — 菲涅耳原理有了波动理论的根据。
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§4.2 单缝的夫琅禾费衍射、半波带法 单缝的夫琅禾费衍射、
一 . 装置和光路
缝平面 透镜 透镜L 透镜L′ 透镜 ′ B 观察屏 p
S
*
f′
a
θ
·
S：单色线光源
缝宽） AB = a（缝宽）
θ
0
Aδ f
θ ： 衍射角
二 . 半波带法 ▲ A→p和B→p 的光程差为 δ = a sinθ θ = 0 ，δ = 0 —— 中央明纹（中心） 中央明纹（中心）
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此后 θ ↑→ δ ↑ → I p ↓（p点明亮程度变差） 点明亮程度变差） 点明亮程度变差
从中央（ 从中央（光强 I0）往外各次极大的光强依 次为0.0472 次为0.0472I0 ， 0.0165I0， 0.0083I0 …
1 I / I0 相对光强曲线 0.017 0.047
−2
∴
极大
I 次极大 <<
sinθ
I主
0.047 0.017 0
λ
a 2
λ
a
−
λ
a
λ
a
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sin θ
单缝衍射图样 演示 单缝衍射（KG008，KG010） ， ）
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极小（暗纹） 2. 极小（暗纹）位置
当
α = ± k π（k = 1,2,3 L）时，
sin α = 0 → I = 0
由
α=
π a sin θ
λ
= ±kπ
此时应有
a sin θ = ± kλ
这正是缝宽可以分成偶数个半波带的情形。 这正是缝宽可以分成偶数个半波带的情形。
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dI = 0 → tgα = α 次极大位置： 3. 次极大位置：满足 dα y y1 = tgα y2 = α
·
-2π -π
·
·0
π
·
-2.46π
·
0
+1.43π
2π

α
-1.43π
+2.46π
± ± … α 解得 ： = ±1.43π ， 2.46π ， 3.47π ， 相应 ：a sin θ = ±1.43λ , ± 2.46λ , ± 3.47λ , …
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± ± … 将 光强： 4. 光强： α = ±1.43π ， 2.46π， 3.47π ， 2 sin α 依次带入光强公式 I = I 0 ， 得到 α
n dS
· Q
θ
r
S(波前 波前) 波前 设初相为零
a (Q ) K (θ ) d E ( p) ∝ dS r dE(p) a(Q)取决于波前上Q处的 ( ) p 强度， ( 方向因子。 强度 ， K(θ ) 称 方向因子 。 θ = 0， K=Kmax ，
·
↑→K( ↓ K(θ )： θ ↑→ θ )↓ (
∆Φ E p = 2 R sin ， 0 = R∆ Φ R E 2 E0 ∆Φ ∴ Ep = sin 2 ∆Φ 2
λ
∆Φ
EP E0 ∆Φ
20
∆Φ π a sin θ = ， α= 令 2 λ sin α E0 ∆Φ = E0 ， sin 有 Ep = α 2 ∆Φ 2
又 I∝
2 Ep
，I 0 ∝
2 E0
第四章 第四章
光 的 衍 射
light） （Diffraction of light）
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本章目录
衍射现象、惠更斯— §4.1 衍射现象、惠更斯— 菲涅耳原理 单缝的夫琅禾费衍射、 §4.2 单缝的夫琅禾费衍射 、 半波带 法 光栅衍射（ §4.3 光栅衍射（书2.4 节） 光学仪器的分辨本领（ 2.3、 §4.4 光学仪器的分辨本领（书2.3、2.5 节） X射线的衍射 §4.5 衍射小结
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衍射现象、惠更斯— §4.1 衍射现象、惠更斯—菲涅耳原理
光的衍射（ 一. 光的衍射（ diffraction of light ） 1.现象 1.现象
衍射屏 观察屏 衍射屏 观察屏 L
S
*
λ
a
S λ
L′ ′
一般a ≯ 10-3 λ
2.定义： 2.定义： 定义 光在传播过程中能绕过障碍物的边缘 而偏离直线传播的现象叫光的衍射。 而偏离直线传播的现象叫光的衍射。
a a
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2. 其他明纹（次极大）宽度 其他明纹（次极大） 在 t g θ ≈ sin θ ≈ θ 时， 有
kλ x k ≈ f sin θ k = f ， a λ 1 ∴ ∆x ≈ f = ∆x0 a 2 —— 单缝衍射明纹宽度的特征
3. 波长对条纹间隔的影响 波长越长，条纹间隔越宽。 ∆x ∝ λ — 波长越长，条纹间隔越宽。
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光栅的种类： 2. 光栅的种类： 透射光栅
d
反射光栅 d
3. 光栅常数 光栅常数是光栅空间周期性的表示。 光栅常数是光栅空间周期性的表示。 设：a是透光（或反光）部分的宽度， 是透光（或反光）部分的宽度， （或不反光）部分的宽度， b 是不透光 或不反光）部分的宽度， d = a+b 光栅常 则： 数 普通光栅刻线为数十条/mm — 数千条 普通光栅刻线为数十条 数千条/mm， ， 用电子束刻制可达数万条/mm（d ∼10-1µm）。 用电子束刻制可达数万条 （ ） 28
， ∴ 得到
2
光强公式
sin α I = I0 α
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五. 条纹宽度 1.中央明纹宽度 1.中央明纹宽度
a >> λ 时，sin θ 1 ≈ θ 1
衍射屏透镜
λ
λ
a
∆θ
观测屏 x2 ∆x x1
θ1
∆θ 0
0
∆x0
I
角宽度 ∆θ 0 = 2θ 1 ≈ 2
f
线宽度 ∆ x 0 = 2 f ⋅ tg θ 1 = 2 f θ 1 λ λ =2f ∝ —— 衍射反比定律
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∆ 四. 用振幅矢量法推导光强公式 将缝等分成 N 缝平面 透镜 观测屏 x 缝宽a p 个窄带， 每个 个窄带， B ∆x 窄带宽为： 窄带宽为： θ λ 0 C a ∆x = A N f ∆xsinθ 点振幅近似相等,设为∆ 各窄带发的子波在 p点振幅近似相等,设为∆E0， 点的相位差为： 相邻窄带发的子波到 p点的相位差为： ∆x sin θ a ⋅ sin θ 2π ∆ϕ = ⋅ 2π = ⋅ 很大） （ N 很大） λ λ N 18
λ/ 2
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一般情况： 一般情况：
a sin θ = 0
λ
中央明纹（中心） —— 中央明纹（中心）
a sin θ = ± kλ，k = 1,2,3 … —— 暗纹
明纹（中心） a sinθ = ±(2k′ +1) ， ′ = 1,2,3… —— 明纹（中心） k 2 上述暗纹和中央明纹（中心） 上述暗纹和中央明纹（中心）位置是准确的 其余明纹中心的位置较上稍有偏离。 其余明纹中心的位置较上稍有偏离。
p点处是多个同方向、同频率、同振幅、 处是多个同方向、同频率、同振幅、
初相依次差一个恒量∆ 的简谐振动的合成， 初相依次差一个恒量∆ϕ 的简谐振动的合成， 合成的结果仍为简谐振动。 合成的结果仍为简谐振动。
p点合振幅Ep 就是各子波的振幅矢量和的模。 就是各子波的振幅矢量和的模。
对于中心点： 对于中心点：
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三. 光强公式 用振幅矢量法（见后）可导出单缝衍射的 振幅矢量法（见后）
sin α 光强公式： 光强公式： I = I 0 α
2
其中 α =
π a sin θ
λ
，
主极大（中央明纹中心） 1. 主极大（中央明纹中心）位置 sin α =1 θ = 0 处， α = 0 → α → I = I 0 = I max
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∆x = f
λ
缝宽越小，条纹间隔越宽。 — 缝宽越小，条纹间隔越宽。
六. 干涉和衍射的联系与区别 干涉和衍射都是波的相干叠加， 但干涉是 干涉和衍射都是波的相干叠加， 有限多个分立光束的相干叠加， 有限多个分立光束的相干叠加， 衍射是波阵面 上无限多个子波的相干叠加。 上无限多个子波的相干叠加。 二者又常出现在 公路 同一现象中。 同一现象中。 L [例]如图示： 如图示：
= 15(ctg 6.37 − ctg 23.63 ) ≈ 100 m