绝对值不等式11li
绝对值不等式
－2
1 2
3Hale Waihona Puke 巩固练习：解下列不等式：
1 1 (1) | x | 4 2 ( 3) | 5 x 4 | 6
(5)1 | 3 x 4 | 6
2 1 (2) | x | 3 3 (4) | 3 2 x | 7
(6) | x 3 x | 4
2
(7) | 3 2 | 1
① 不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a} -a 0
a
② 不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a }
-a
0
a
基础练习： 解下列不等式： （1）|x|>5 （2）2|x|<5
{ x | x 5或x 5}
5 5 {x | x } 2 2 5 5 { x | x 或x } 2 2
一、知识联系
1、绝对值的定义 x ,x>0 |x|= 0 ,x=0 －x ,x<0 2、绝对值的几何意义 |x| x 0 x |x－x1|
x1
3、函数y＝|x|的图象
x ,x>0 y=|x|= 0 ,x=0 －x ,x<0 y
1
－1
o 1
x
1
二、探索解法
探索：不等式|x|<1的解集。
方法一： 利用绝对值的几何意义观察 方法二： 利用绝对值的定义去掉绝对值符号， 需要分类讨论 方法三： 两边同时平方去掉绝对值符号 方法四： 利用函数图象观察
（3）|2x|>5
（4）|x-1|<5
{ x | 4 x 6}
（5）|2x-1|<5
（6）|2x2-x|<1 （7）|2x-1|<1
绝对值不等式的性质及其解法.ppt
例 :若 x m , y m ,下列不等式中一定 的是 (B )
例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个 地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第 10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施 工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生 活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工 队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于 何处？
问题2：你能根据定理1的研究思路，探究一下 |a|，|b|，|a-b|，|a+b|,之间的关系吗？
|a|-|b|≤|a+b|,
|a|+|b|≥|a-b|,
|a|-|b|≤|a-b|.
如果a, b是实数，那么 |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|
例1 已ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱε >0，|x-a|<ε ,|y-b|<ε ，求证：
例3 解不等式|3x-1|≤2
例4 解不等式|2-3x|≥7 补充例题：解不等式
1 1 (1 ) (3| x | 1 ) | x | 3 4 2 2 (2)x 3 4| x |.
|ax+b|<c和|ax+b|>c(c>0)型不等式比较：
类型 化去绝对值后 集合上解的意义区别
{x|ax+b>-c} ∩ {x|ax+b<c}, 交 {x|ax+b<-c}∪ |ax+b|>c ax+b<-c或ax+b>c {x|ax+b>c},
y
O -2
2 x
,32, 由图象可知原不等式的 解集为
（ 2 ） x a x b c 和 x a x b c 型不等式的解法
绝对值不等式的解法及应用
绝对值不等式的解法及应用绝对值不等式在数学中具有重要的应用价值，在各个领域中都有广泛的运用。
本文将对绝对值不等式的解法进行简要说明，并介绍其在实际问题中的应用。
一、绝对值不等式的解法1. 求解一元绝对值不等式对于形如 |x|<a 的不等式，其中 a>0 ，我们可以将其分解为两个简单的不等式，即 x<a 和-x<a ，然后再根据这两个不等式得到解的范围。
例如，对于 |x|<3 这个不等式，我们可以拆分为 x<3 和 -x<3 ，再分别求解这两个不等式，得到解的范围为 -3<x<3 。
2. 求解含有绝对值不等式的方程对于形如 |f(x)|=g(x) 的方程，可以通过以下步骤求解：Step 1: 根据绝对值的定义，将绝对值拆解为两个条件，即 f(x)=g(x) 和 f(x)=-g(x) 。
Step 2: 分别求解这两个条件对应的方程，得到解的范围。
Step 3: 将 Step 2 中得到的解进行合并，得到最终的解集。
例如，对于 |x-2|=3 这个方程，我们可以拆解为 x-2=3 和 x-2=-3 ，然后求解这两个方程得到 x=5 和 x=-1 ，最终的解集为 {5, -1} 。
二、绝对值不等式的应用绝对值不等式在实际问题中有广泛的应用，下面将介绍其中两个常见的应用领域。
1. 绝对值不等式在不等式求解中的应用在不等式求解中，绝对值不等式是一种常见的工具。
通过合理地运用绝对值不等式，可以简化不等式的求解过程，提高解题效率。
下面通过一个例子来说明。
例题：求解不等式 |2x-1|<5 。
解：根据绝对值的定义，将不等式拆分为两个条件，即 2x-1<5 和2x-1>-5 。
然后分别求解这两个条件对应的方程，得到 x<3 和 x>-2 。
最后将这两个解的范围进行合并，得到最终的解集为 -2<x<3 。
2. 绝对值不等式在数列问题中的应用在数列问题中，绝对值不等式可以用来求解数列的范围，帮助我们找到数列的性质和规律。
第一节 绝对值不等式
方法技巧
与绝对值不等式有关的参数范围问题及解法 设函数f(x)中含有绝对值,则 1. f(x)>a有解⇔f(x)max>a. 2. f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a. 3. f(x)>a恰在(c,b)上成立⇔c,b是方程f(x)=a的解.
考点突破
栏目索引
3-1 (2017课标全国Ⅲ,23,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集; (2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围. 解析
x a, 或
∵不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1}, ∴- =-1,故a=2.
a 2
考点突破
栏目索引
考点二
利用绝对值不等式求参数
典例2 (1)对任意x,y∈R,求|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值. (2)对于实数x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,求|x-2y+1|的最大值. 解析 (1)∵x,y∈R, ∴|x-1|+|x|≥|(x-1)-x|=1, |y-1|+|y+1|≥|(y-1)-(y+1)|=2, ∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|≥1+2=3. ∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3. (2)|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|≤|x-1|+|2(y-2)+2|≤1+2|y-2|+2≤5,即|x-2y+1|的
综合①②③知原不等式的解集为(-∞,4).
考点突破
高考数学 绝对值不等式
绝对值不等式[知识梳理]1．绝对值不等式(1)定理如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当(a －b)(b－c)≥0时，等号成立，即b落在a，c之间．(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式①|a1＋a2＋…＋a n|≤|a1|＋|a2|＋…＋|a n|.②||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.2．绝对值不等式的解法(1)形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．(2)①绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集．②|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法．|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≤－c或ax＋b≥c(c>0)．[诊断自测]1．概念思辨(1)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.()(2)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.( )(3)|ax ＋b |≤c (c ≥0)的解集，等价于－c ≤ax ＋b ≤c .( )(4)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√2．教材衍化(1)(选修A4－5P 19T 5)解不等式|2x ＋1|＋|x －2|>4.解 当x ≤－12时，原不等式可化为－2x －1＋2－x >4，所以x <－1，此时x <－1；当－12<x <2时，原不等式可化为2x ＋1＋2－x >4，所以x >1，此时1<x <2；当x ≥2时，原不等式可化为2x ＋1＋x －2>4，所以x >53，此时x ≥2.综上，原不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(2)(选修A4－5P 20T 9)设函数f (x )＝|x －4|＋|x －3|.①解不等式f (x )≥3；②若f (x )≥a 对一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．解 ①当x ≤3时，原不等式可化为4－x ＋3－x ≥3，即x ≤2，所以x ≤2；当3<x <4时，原不等式可化为4－x ＋x －3≥3，即1≥3，无解； 当x ≥4时，原不等式可化为x －4＋x －3≥3，即x ≥5，所以x ≥5. 综上，原不等式的解集为{x |x ≤2或x ≥5}．②f (x )≥a 对一切x ∈R 恒成立的充要条件是a ≤f (x )min .因为f (x )＝|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1，即f (x )的最小值为1，所以a ≤1.即实数a 的取值范围是(－∞，1]．3．小题热身(1)(优质试题·山东高考)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，1)C ．(1,4)D ．(1,5)答案 A解析 ①当x <1时，原不等式等价于1－x －(5－x )<2，即－4<2，∴x <1.②当1≤x ≤5时，原不等式等价于x －1－(5－x )<2，即x <4，∴1≤x <4.③当x >5时，原不等式等价于x －1－(x －5)<2，即4<2，无解．综合①②③知x <4.故选A.(2)(2014·重庆高考)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 解析 令f (x )＝|2x －1|＋|x ＋2|，易求得f (x )min ＝52，依题意得a 2＋12a ＋2≤52⇔－1≤a ≤12.题型1 绝对值不等式的解法典例 (优质试题·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)画出y ＝f (x )的图象；(2)求不等式|f (x )|>1的解集．(1)去绝对值符号转化为分段函数；(2)根据(1)作出的图象，采用数形结合方法求解．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的表达式及图象，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <13或1<x <3或x >5. 方法技巧解|x －a |＋|x －b |≥c 或|x －a |＋|x －b |≤c 的一般步骤1．零点分段法(1)令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；(2)将这些根按从小到大排序并以这些根为端点把实数集分为若干个区间；(3)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集；(4)取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集．2．利用|x －a |＋|x －b |的几何意义数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a |＋|x －b |≥|x －a －(x －b )|＝|a －b |.3．图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解．见典例．提醒：易出现解集不全的错误．对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏．冲关针对训练(优质试题·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|.(1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2.所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54， 且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54，故m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54.题型2 绝对值不等式性质的应用典例 (优质试题·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．(1)将不等式化为|x －a |≤c 的形式求解；(2)利用绝对值不等式性质消去a .解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6，得－1≤x ≤3.因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.①当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解．当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞)．[条件探究]将典例(1)中条件“a＝2时”变为“g(x)＝|2x－1|，若g(x)≤5时，恒有f(x)≤6”，试求a的最大值．解g(x)≤5⇔|2x－1|≤5⇔－5≤2x－1≤5⇔－2≤x≤3；f(x)≤6⇔|2x－a|≤6－a⇔a－6≤2x－a≤6－a⇔a－3≤x≤3.依题意有a－3≤－2，a≤1.故a的最大值为1.方法技巧绝对值不等式性质的应用利用不等式|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)和|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b ∈R)，通过确定适当的a，b，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以(1)求最值，(2)证明不等式．见典例．冲关针对训练(2018·福建漳州模拟)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2.若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a 的取值范围．解因为对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以{y|y＝f(x)}⊆{y|y＝g(x)}，又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|(2x－a)－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2，所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5，所以实数a的取值范围为[－1，＋∞)∪(－∞，－5]．1．(优质试题·河西区三模)若存在实数x，使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是()A．[－2,1] B．[－2,2] C．[－2,3] D．[－2,4]答案 D解析由|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，不等式|x－a|＋|x－1|≤3有解，可得|a－1|≤3，即－3≤a－1≤3，求得－2≤a≤4.故选D.2．(优质试题·潍坊一模)若关于x的不等式|x＋1|＋|x－2|＋m－7>0的解集为R，则实数m的取值范围为()A．(4，＋∞) B．[4，＋∞)C．(－∞，4) D．(－∞，4]答案 A解析不等式|x＋1|＋|x－2|＋m－7>0，移项：|x＋1|＋|x－2|>7－m，根据绝对值不等式的几何意义，可知：|x＋1|＋|x－2|的最小值是3，解集为R，只需要3>7－m恒成立即可，解得m>4.故选A.3．(优质试题·北仑区校级期中)关于x的不等式|x－1|－|x－3|>a2－3a的解集为非空数集，则实数a的取值范围是()C ．a <1或a >2D ．a ≤1或a ≥2答案 B 解析 关于x 的不等式|x －1|－|x －3|>a 2－3a 的解集为非空数集， 则a 2－3a <(|x －1|－|x －3|)max 即可，而|x －1|－|x －3|的最大值是2， ∴只需a 2－3a －2<0，解得：3－172<a <3＋172. 故选B.4．(优质试题·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x ＜－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x ＞1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1＜x ≤－1＋172. 所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1，1]时，f (x )≥2. 又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[－1,1]．[基础送分 提速狂刷练]1．(优质试题·洛阳模拟)已知关于x 的不等式|2x ＋1|－|x －1|≤log 2a (其中a >0)．(1)当a ＝4时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝4时，不等式为|2x ＋1|－|x －1|≤2.当x <－12时，－x －2≤2，解得－4≤x <－12；当－12≤x ≤1时，3x ≤2，解得－12≤x ≤23；当x >1时，x ≤0，此时x 不存在，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－4≤x ≤23. (2)令f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －2，x <－12，3x ，－12≤x ≤1，x ＋2，x >1.故f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞，即f (x )的最小值为－32.若f (x )≤log 2a 有解，则log 2a ≥－32，⎣⎭2．(优质试题·广东潮州二模)设函数f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|. (1)解不等式f (x )>4；(2)若∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32，不等式a ＋1<f (x )恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －2，x <－32，x ＋4，－32≤x ≤1，3x ＋2，x >1，f (x )>4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x <－32，－3x －2>4或⎩⎪⎨⎪⎧ －32≤x ≤1，x ＋4>4或⎩⎨⎧ x >1，3x ＋2>4⇔x <－2或0<x ≤1或x >1.∴不等式f (x )>4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．(2)由(1)知，当x <－32时，f (x )＝－3x －2，∵当x <－32时，f (x )＝－3x －2>52，∴a ＋1≤52，即a ≤32.∴实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32. 3．(优质试题·湖北黄冈调研)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x －1|(a ∈R )．(1)当a ＝－1时，求f (x )≤2的解集；(2)若f (x )≤|2x ＋1|的解集包含集合⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －1|，f (x )≤2⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12≤1，上述不等式的几何意义为数轴上点x 到两点－12，12距离之和小于或等于1，则－12≤x ≤12，即原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12. (2)∵f (x )≤|2x ＋1|的解集包含⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， ∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，不等式f (x )≤|2x ＋1|恒成立， ∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，|2x －a |＋2x －1≤2x ＋1恒成立， ∴2x －2≤a ≤2x ＋2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上恒成立， ∴(2x －2)max ≤a ≤(2x ＋2)min ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， ∴0≤a ≤3.故实数a 的取值范围是[0,3]．4．(2018·山西八校联考)设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |.(1)若f (x )≥5对于x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当a ＝1时，函数f (x )的最小值为t ，且正实数m ，n 满足m ＋n＝t ，求证：1m ＋1n ≥2.解 (1)|x ＋1|＋|x －a |表示数轴上的动点x 到两定点－1，a 的距离之和，故当a ≥4或a ≤－6时，|x ＋1|＋|x －a |≥5对于x ∈R 恒成立，即实数a 的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)．(2)证明：因为|x ＋1|＋|x －1|≥|x ＋1＋1－x |＝2，所以f (x )min ＝2，即t ＝2，故m ＋n ＝2，又m ，n 为正实数，所以1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m ＋n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，当且仅当m ＝n ＝1时取等号．5．(优质试题·沈阳模拟)设f (x )＝|ax －1|.(1)若f (x )≤2的解集为[－6,2]，求实数a 的值；(2)当a ＝2时，若存在x ∈R ，使得不等式f (2x ＋1)－f (x －1)≤7－3m 成立，求实数m 的取值范围．解 (1)显然a ≠0，当a >0时，解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a ，3a ， 则－1a ＝－6，3a ＝2，无解；当a <0时，解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ，－1a ，令－1a ＝2，3a ＝－6，得a ＝－12.综上所述，a ＝－12.(2)当a ＝2时，令h (x )＝f (2x ＋1)－f (x －1)＝|4x ＋1|－|2x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －4，x ≤－14，6x －2，－14<x <32，2x ＋4，x ≥32，由此可知h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，32 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增，则当x ＝－14时，h (x )取到最小值－72，由题意，知－72≤7－3m ，则实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，72. 6．(2018·江西模拟)设f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|(x ∈R )．(1)求证：f (x )≥2；(2)若不等式f (x )≥|2b ＋1|－|1－b ||b |对任意非零实数b 恒成立，求x 的取值范围．解 (1)证明：f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|＝|1－x |＋|x ＋1|≥|1－x ＋x ＋1|＝2.(2)g (b )＝|2b ＋1|－|1－b ||b |≤|2b ＋1－1＋b ||b |＝3， ∴f (x )≥3，即|x －1|＋|x ＋1|≥3，当x ≤－1时，－2x ≥3，∴x ≤－1.5；当－1<x ≤1时，2≥3不成立；当x >1时，2x ≥3，∴x ≥1.5.综上所述x 的取值范围为(－∞，－1.5]∪[1.5，＋∞)．。
含绝对值不等式
绝对值不等式的解法
例1 已知ε >0，|x-a|<ε ,|y-b|<ε ，求证：
|2x+3y-2a-3b|<5ε .
证明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|<2ε +3ε=5ε. 所以 |2x+3y-2a-3b|<5ε .
y
O -2
2 x
由 图 象 可 知 原 不 等 式 的 为 ,3 2, 解集
（2） a x b c和 x aHale Waihona Puke x b c x 型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义
②零点分区间法
③构造函数法
练习：P20第8题(2)
8.( 2)解不等式x 2 x 3 4
（2） a x b c和 x a x b c x 型不等式的解法
例5
解不等式 x 1 x 2 5
A1 -3 A -2 B 1 B1 2 x
解法1： 设数轴上与 2， 对应的点分别是 ， ， B 1 A
1 那么A， ， 两点的距离是 ， 因此区间 2， 上的 3
分ab>0和ab<0两种情形讨论：
（1）当ab>0时，如下图可得|a+b|=|a|+|b|
x
O
a
b
a+b
a+b
b
a
O
x
（2）当ab<0时，也分为两种情况：如果a>0,b<0， 如下图可得：|a+b|<|a|+|b|
绝对值不等式的解法 PPT
5
5
2. 设不等式 x a b 的解集为 x 1 x 2 ，
则 a 与 b 的值为（ D）
(A) a 1,b 3 (B) a 1,b 3(C) a1,b3 (D) a 1 ,b 3 22
课堂小结
绝对值不等式的解法: 1．公式法 |f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)； |f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)． 2．平方法 |f(x)|＞|g(x)|⇔[f(x)]2＞[g(x)]2.
练习一：解下列不等式： （1）|x|>5 （2）|x-1|<5 （3）| 5x-6 | < 6–x （4）|x-1| > |x-3|
2020/7/19
练习二:
1. 不等式 |x2－5x+6|≤x2－4 的解集( A)
(A){x| x≥2} (B){x| x≤2} (C){x| x≥ 4 }(D){x| 4 x≤2}
2020/7/19
小结：不等式|x|<a和|x|>a (a>0)的解集。 ① 不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a}
-a
0
a
② 不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a }源自-a2020/7/19
0
a
典型例题
例3.解不等式： 2x 3 5
例4.解不等式： x2 2x x
例5.解不等式： x 9 x 1
不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1 的点的集合。
-1
0
1
所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
例2：求不等式|x|>1的解集。 方法： 利用绝对值的几何意义观察
绝对值不等式的解法有哪些
绝对值不等式的解法有哪些绝对值不等式是数学知识，那么绝对值不等式的解法有哪些呢?为了更好的帮助大家。
下面是由小编为大家整理的“绝对值不等式的解法有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。
绝对值不等式的解法有哪些通解一般是数轴标根法，也是一般情况下最快的方法。
在数轴上把使绝对值为零的点都标出来，根据绝对值的几何意义，绝对值表示的是两点间的距离(当然就为正了)，以此解题。
比如|x-3|+|x-6|>5,如果x在3和6之间，那么x到3的距离加上x到6的距离就只能是6-3=3，而5-3=2，2/2=1，故答案应为x<3-1=2或者x>6+1=7，即(x<2)||(x>7)。
也可以用零点分段法，也是在数轴上将使式中绝对值为零的点都标出，然后不用几何意义，而是分段讨论。
把每个绝对值项展开，然后化为普通不等式，将求得的解集与你所分的这一段取交集，得到x在此段的解集(比如在-1还有就是平方法了。
不过这种方法在式中存在多个不等式项时不好使，一般情况下不推荐使用。
比如，你的不等式原来有3项，平方后就成了3*3=9项，使计算复杂化了。
拓展阅读：绝对值有哪些性质(1)任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数,这是绝对值的非负性.(2)绝对值等于0的数只有一个,就是0.(3)绝对值等于同一个正数的数有两个,这两个数互为相反数.(4)互为相反数的两个数的绝对值相等.绝对值七个性质(1)任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性。
(2)绝对值等于0的数只有一个，就是0。
(3)绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数。
(4)互为相反数的两个数的绝对值相等。
绝对值等式、不等式：(6)|a|*|b|=|ab|(7)|a|/|b|=|a/b|(b≠0)(8)a^2=|a|^2(9)|x|-|y|<=|x+y|<=|x|+|y|。
绝对值不等式
（8） | 6 - |2x+1| | >1
三、本节小结
本节课我们通过求不等式|x|<1的解集，得 到了解含绝对值不等式的四种常用思路。 方法一： 利用绝对值的几何意义观察 方法二： 利用绝对值的定义去掉绝对值符号， 需要分类讨论 方法三： 两边同时平方去掉绝对值符号 方法四： 利用函数图象观察 这四种思路将有助于我们有效地解决含绝 对值不等式的问题。
2 3 4
这是解含绝对值不等式的四种常用思路
探索：不等式|x|<1的解集。 方法一： 利用绝对值的几何意义观察
不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1 的点的集合。
-1 0 1
所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集。 方法二： 利用绝对值的定义去掉绝对值符号， 需要分类讨论 ①当x≥0时，原不等式可化为x＜1
① 不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a} -a 0
a
② 不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a }
-a
0
a
基础练习： 解下列不等式： （1）|x|>5 （2）2|x|<5
{ x | x 5或x 5}
5 5 {x | x } 2 2 5 5 { x | x 或x } 2 2
∴ 0≤x＜1
②当x＜0时，原不等式可化为－x＜1，即x＞－1
∴ －1＜x＜0
综合①②得，原不等式的解集为{x|－1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集。 方法三： 两边同时平方去掉绝对值符号 对原不等式两边平方得x2<1
绝对值不等式课件
注重实践
在学习的过程中，要注重实践， 通过实际问题的解决来加深对知
识点的理解。
THANKS
感谢观看
在物理学中，绝对值不等 式可以用来描述物理量的 范围和限制，如速度、加 速度等。
工程中的应用
在工程中，绝对值不等式 可以用来描述误差范围和 控制精度，如测量误差、 加工精度等。
05
练习与巩固
基础练习题
绝对值不等式的定义和性质
通过简单的题目，让学生理解绝对值不等式的定义和性质，包括绝对值不等式的性质、绝对值不等式 的几何意义等。
04
绝对值不等式的扩展 知识
绝对值的几何意义
绝对值的定义
对于任意实数x，其绝对值|x|表示 x到0的距离。
绝对值的几何意义
|x|表示数轴上点x到原点的距离， 即数轴上点x与原点的距离。
绝对值的性质
|x|≥0，当且仅当x=0时取等号； |x|=|−x|；|x+y|≤|x|+|y|。
绝对值不等式的推广形式
是实数。
绝对值不等式描述了两个数之间 的绝对值大小关系。
绝对值不等式的性质
绝对值不等式具有非 负性，即对于任意实 数 a 和 b，有 |a| ≥ 0 和 |b| ≥ 0。
绝对值不等式具有三 角不等式性质，即 |a + b| ≤ |a| + |b|。
绝对值不等式具有对 称性，即 |a| > |b| 等 价于 |b| < |a|。
绝对值不等式的解法
通过一些简单的题目，让学生掌握绝对值不等式的解法，包括绝对值不等式的转化、分类讨论等。
进阶练习题
绝对值不等式的综合应用
通过一些稍微复杂的题目，让学生学会如何将绝对值不等式与其他知识点结合，如函数 、数列等，提高解题的综合能力。
绝对值的运算法则及公式
绝对值的运算法则及公式
绝对值的运算法则及公式是一种重要的数学概念，它涉及到求出
未知数的绝对值在运算中扮演着重要的作用。
绝对值是实数或复数的
一种计算方法，即不考虑数的符号，只考虑数的大小。
如果a表示一个实数，可表示为绝对值的形式：
| a | = a (实数)
如果z是一个复数，可以用复平面上的模量表示为绝对值的形式：| z | = √(x² + y² ) (复数)
绝对值的运算规则有以下三条：
1、绝对值的加法法则：
| a + b | = |a| + |b|
2、绝对值的乘法法则：
| a × b | = |a| × |b|
3、绝对值的减法法则：
| a - b |≤|a| + |b|
此外，绝对值还有三个基本性质：
1、不等式性质：对任意实数a，都有0 ≤ | a | 。
2、加法性质：对任意实数a，都有| a + b |≤|a| + |b| 。
3、乘法性质：对任意实数a，都有| a × b |=|a| × |b| 。
以上就是绝对值的运算规则及公式，它们不但在数学中有着广泛
的应用，而且在日常生活中也是重要的数学知识。
因此，了解绝对值
运算的基本规则和公式，对我们的数学学习和生活有着重要的意义。
绝对值不等式公式有哪些该如何解
绝对值不等式公式有哪些该如何解
绝对值不等式是数学中一个重要的知识点，同时也是考试中时常出现的考点。
下面是由编辑为大家整理的“绝对值不等式公式有哪些该如何解”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。
绝对值不等式公式
||a|−|b||≤|a±b|≤|a|+|b|;
|ab|=|a||b|，|a/b|=|a|/|b|(b≠0);
|a|<|b| 可推出|b|>|a|;
3、∥a|−Ib∥≤la+b|≤la|+lb|当且仅当ab≤0时左边等号成立，ab≥0时右边等号成立;
4、|a−b|≤|a|+|−b|=|a|+|−1|∗|b|=|a|+|b|
怎样解绝对值不等式
解绝对值不等式的基本方法是去掉绝对值符号
1、平方，比如，|x|=3，可化为x^2=9，绝对值符号没有了;
2、讨论，即x≥0时，|x|=x;x<0时，|x|=-x，绝对值符号也没有了，令绝对值中的式子等于0，分出x的段，然后根据每段讨论得出的x值，取交集，综上所述即可。
绝对值不等式的解法
画出数轴
在数轴上标出关键点，如$a$和 $a+b$，以及不等式的解集范围。
确定解集
根据数轴上的位置关系，确定不等式 的解集。例如，对于不等式$|x-a| < b$，解集为$(a-b, a+b)$。
区间表示法
开区间表示法
使用开区间表示不等式的解集，例如$(a, b)$表示$a < x < b$。
闭区间表示法
使用闭区间表示不等式的解集，例如$[a, b]$表示$a leq x leq b$。对于一元一次绝对值不等式，通常使用开区间表示 法。
03
一元二次绝对值不等式解法
转化为一元二次不等式组
去掉绝对值符号
根据绝对值的定义，将绝对值不等式转化为一元二次 不等式组。
解一元二次不等式
利用一元二次不等式的解法，分别求出不等式组的解 集。
其中$a, b, c, d, e$为常数，且$c neq 0, e neq 0$）的不等式。
几何意义与数轴表示
几何意义
绝对值不等式表示数轴上的点到某一点的距离与某个值的大小关系。例如，不等式$|x - a| < b$（其 中$b > 0$）表示数轴上到点$a$的距离小于$b$的点的集合。
数轴表示
通过数轴可以直观地表示绝对值不等式的解集。例如，对于不等式$|x - a| < b$（其中$b > 0$）， 解集为$(a - b, a + b)$，在数轴上表示为以点$a$为中心、长度为$2b$的开区间。
绝对值不等式的解法
汇报人：XX
• 绝对值不等式基本概念 • 一元一次绝对值不等式解法 • 一元二次绝对值不等式解法 • 高次及分式绝对值不等式解法 • 含有参数绝对值不等式解法 • 总结与拓展
《绝对值不等式》课件
本课程将帮助您理解什么是绝对值不等式，包括其概念和应用，以及如何解 决面临的挑战。让我们开始吧！一个数到0的距离。它代表一个数的 大小而不考虑其方向。
怎样计算绝对值？
若x≥0，则|x|=x；若x<0，则|x|=-x。
一元一次绝对值不等式
定义
3 应用题
将绝对值不等式运用到实际问题中的练习题，以提高解决实际问题的能力。
总结
绝对值不等式的重要性 解题技巧的总结
它们不仅在数学中发挥作用， 在许多应用中也有重要的作 用，包括经济学、工程学和 自然科学。
关键是找到问题的关键点， 确定不同的情况，并选择合 适的分类讨论法。
实战演练的重要性
在实际问题中应用所学知识， 结合分类讨论的练习，以提 高解决问题的能力。
解法
一元一次绝对值不等式是一个一元一次不等式， 消去绝对值符号并分类讨论目标数的正负情况。 其形式为 |ax+b|
一元二次绝对值不等式
定义
一元二次绝对值不等式是一个一元二次不 等式，其中包含绝对值符号
解法
消去绝对值符号并分类讨论目标数的正负 情况和式子的系数情况。
应用示例
1
例1 ：解一元一次绝对值不等式
选择合适的分类讨论法并找到不等关系的解集。
2
例2 ：解一元二次绝对值不等式
选择合适的分类讨论法并找到不等关系的解集。
3
例3 ：应用于线性规划问题
将线性规划问题的约束条件转化为绝对值不等式并进行求解。
练习题讲解
1 选择题
根据所给条件判断，选择正确的等式或不等式。
2 计算题
可以算出具体解的练习题，以巩固计算方法。
绝对值不等式公式
绝对值不等式公式绝对值不等式公式是以一元函数形式表示的绝对值的不等式，比如：|x|<a，它描述的是变量x的值范围在-a到a之间，其中a是一个正实数。
本文将主要介绍绝对值不等式公式的性质、表达式、特点及应用。
首先，让我们来看一下绝对值不等式公式的定义和性质：对于任意正实数a和变量x，绝对值不等式公式有如下形式：|x|<a它的性质是，如果一个变量x的值满足这个不等式，则它取值范围为-a到a之间，即：-a<x<a我们也可以将上述不等式的定义和属性表示为等价的函数形式，即：f(x)=|x|<a同时，我们也可以用一个单调函数来表示绝对值不等式公式：g(x)=x+|x|绝对值不等式公式有两个非常明显的特点：一是它表示的范围是一个确定的正实数a；二是它描述的变量x是一个周期函数，边界点为-a和a之间。
绝对值不等式公式应用十分广泛，在数学中，它可以用来描述一个变量的取值范围，例如，我们可以用它来解决有关刻度尺的问题，如果我们想要测量一个物体的长度，我们可以用它来计算长度的精确值。
此外，它还可以用来解决一些复杂的数学问题，例如求解偏微分方程，求解线性规划等。
绝对值不等式公式定义了变量x的有效取值范围，它可以帮助我们解决许多实际问题，并且这种表达式也被广泛应用于工程领域。
举个例子，在机器学习中，绝对值不等式公式可以用来描述模型衰减率的大小。
当模型学习率减小到一定水平时，绝对值不等式公式可以表达模型学习率减小的趋势。
同样，绝对值不等式公式也可以用来描述图像质量，体现图像质量随时间变化的趋势。
总之，绝对值不等式公式具有显著的作用，它可以用来表达变量x的取值范围，可以应用于数学建模和工程设计，也可以应用于机器学习和图像处理等。
尽管它的表达式很简单，但它对我们的生活和工作有很大的帮助。
绝对值不等式
1、绝对值的定义 x ,x>0 |x|= 0 ,x=0 －x ,x<0 2、绝对值的几何意义 |x| x 0 x |x－x1|x1来自3、函数y＝|x|的图象
x ,x>0 y=|x|= 0 ,x=0 －x ,x<0 y
1
－1
o 1
x
1
二、探索解法
探索：不等式|x|<1的解集。
方法一： 利用绝对值的几何意义观察 方法二： 利用绝对值的定义去掉绝对值符号， 需要分类讨论 方法三： 两边同时平方去掉绝对值符号 方法四： 利用函数图象观察
（4）|x-1|<5
或x
{ x | 4 x 6} { x | 2 x 3}
{x | 1 2 x 1}
（5）|2x-1|<5
（6）|2x2-x|<1 （7）|2x-1|<1
{ x | x 1}
（4）|x-1|<5 －4
（5）|2x-1|<5
| x
1
1 2 | 5 2
2 3 4
这是解含绝对值不等式的四种常用思路
探索：不等式|x|<1的解集。 方法一： 利用绝对值的几何意义观察
不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1 的点的集合。
-1 0 1
所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集。 方法二： 利用绝对值的定义去掉绝对值符号， 需要分类讨论 ①当x≥0时，原不等式可化为x＜1
探索：不等式|x|<1的解集。 方法四： 利用函数图象观察 从函数观点看，不等式|x|<1的解集表示函数 y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部分对 y 应的x的取值范围。 所以，不等式|x|<1的 解集为{x|-1<x<1} 1 y=1 x
含有绝对值的不等式公式
含有绝对值的不等式公式绝对值的不等式公式，听起来是不是有点儿高深莫测？它就像生活中的小麻烦，难度其实没那么大。
咱们先来聊聊什么是绝对值。
简单来说，绝对值就是数的“绝对态度”，不管这个数是正是负，绝对值总是让它变得积极向上。
比如说，3和3的绝对值都是3，没什么好争的。
就像我们在生活中，遇到困难也得昂首挺胸。
好了，咱们现在把焦点放到不等式上。
这种东西就像一把尺子，量量这个数到底比那个数大还是小。
对于绝对值不等式来说，情况就更有意思了。
比如，绝对值的形式一般是这样的：|x| < a。
这就意味着，不管x是什么，只要它在a和a之间，都是OK的。
也就是说，x有很多自由选择的空间。
想象一下，假设你是一个年轻的流浪者，在5和5之间畅游，无拘无束，真是太美好了。
再看看|x| > a。
这就有点像生活中的限制了，x必须离某个点远远的，才能过关。
比如，假设你要和朋友一起去参加派对，结果你得离家不少于2公里才能到达，那么你就不能在家附近转悠了。
你得朝着远方去，冒险去看看那边的风景。
这种不等式的限制也提醒我们，有时候生活就是要走出舒适圈，去探索未知。
在解这些不等式的时候，有个小技巧。
要考虑绝对值的定义，把不等式拆分成两种情况。
比如说|x| < a，可以转化成两个不等式：a < x < a。
这就像把一个大蛋糕切成两半，每一块都有它自己的味道。
而|x| > a就会转化成两种情况：x < a或x > a。
你可以想象自己正在两个极端的地方徘徊，找寻属于自己的位置。
哎，生活的选择就是这么多，不能犹豫不决。
这些公式虽然看起来复杂，但其实我们可以用生活中的一些例子来理解。
假设你有一个“小秘密”，这个秘密的绝对值就像是你内心的矛盾。
你想把它藏得好好的，又怕它被人发现。
这个时候，你就得衡量风险了。
把你的秘密放在合适的地方，确保它不会被轻易发掘。
反之，如果你决定让这个秘密曝光，那就意味着你得把它放在更远的地方，绝对值的大小在这里就是你内心的挣扎。
绝对值不等式
作业：假期回家后，请算一下自家买的商品 房的误差。
谢谢！
4) | x | a ? x a或x a
5) a | x | b ? b x a 或 a x b
例１解下列不等式：
1) 2 | x | 1 0
2)
|
1 3
x
|
2
分析 先对绝对值不等式进行化简，再利用绝对
值不等工的等价命题；转化成一般不等式。
解
１）整理得 | x |
b |b|
绝对值不等式 绝对值中含有未知数的不等式．
我们学习的绝对值不等式仅限于
绝对值中是一次二项式、而绝对值外不含未 知数的绝对不等式。
绝对值的不等式的几何意义
1. 等式 | x| =2 的几何意义是什么？
(
-2
0
)
2x
x 2 或 2 到原点间的距离等于2。
2. 不等式 | x | < 2 的几何意义是什么？
例 2 | 2x 3 | 6
解 原不等式可化为１） 2 2x 3 6
或２） 6 2x 3 2
5
9
由１）得 2 x 2
3
1
由２）得 2 x 2
由１）与２）得，不等式的解集为
(
3 2
,1 2
)
(5 2
,9) 2
练习 2 | 4x 3 | 5
含绝对值的不等式
教学目标
一、知识与技能： 1、理解绝对值的含义及几何意义。 2、掌握绝对值不等式的等价命题。 3、能根据绝对值不等式的等价命题来解绝对值不等式。 二、过程与方法： 体验“数形结合”、整体代换及等价转化的数学思想在概 念理解及解题中的作用。 三、情感态度与价值观： １、学生通过学习活动获得成功体验，提高学习数学的兴 趣，增强学好数学的信心。 ２、体验数学推理的严谨性，培养学生耐心、敬业精神。