含绝对值不等式的解法

方法三： |x-1|+|x+2|≥5通过构造函数，利用函数的
图象(体现了函数与方程的思想)．
解 原不等式化为|x-1|+|x+2|-5 ≥0
令f(x)=|x-1|+|x+2|-5 ,则
(x-1)+ (x+ 2)-5 (x 1)
f(x)=
-
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(
x
-
1
)
+
(
x
+
2
)
-
5
(-2< x< 1)
- ( x - 1 ) - ( x + 2 ) - 5 ( x - 2 )
这时也有
B1 A B1B
5，
从数轴上可以看到点
A1与
B
之
1
间
的
任
何点
到
点
A，
B的距离之和都小于
5；
点 A1的左边或点
B
的
1
右
边
的任何点到点 A，， 的距离之和都大于 。 故原不等
式的解集是 ， 3 2，
题型四：含多个绝对值不等式的解法
方法二： |x-1|+|x+2|≥5，利用|x-1|=0,|x+2|=0的零点,把 数轴分为三段,然后分段考虑把原不等式转化为不含绝对 值符号的不等式求解（零点分段讨论法）
3、| x-1 | > 2( x-3)
4、
x x
x2 x2
5、| 2x+1 |> | x+2 |
例3、解不等式 1<︱3x+4︱≤6
解法一：原不等式可化为：
| 3x 4| 6 |3x 4|> 1
3x643x4 1或 6 3x41 x13053x或 2 3x1
∴原不等式的解集为：{x|-130x53或1x32}
2 x 5 7 ， 或 2 x 5 7 .
整理，得 x6， 或x1. 所 以 ， 原 不 等 式 的 解 集 是
{x ｜ x 6， 或 x1}.
练习:解不等式. (1)|x－5|<8; (2)|2x + 3|>1. 解:(1)由原不等式可得－8<x－5<8, ∴－3<x<13 ∴原不等式的解集为{x|－3<x<13}. (2)由原不等式可得2x + 3< －1或2x + 3 >1, ∴x<－2或x>－1
三、例题讲解
① -1 ② 3 ③
例2 解不等式|x +1| + |3－x| >2 + x.
解：( 1 ) 当 x 1 时 ,原 不 等 式 的 解 为 { x | x 1 } ;
例3、解不等式 1<︱3x+4︱≤6
解法二：依绝对值的意义，原不等式等价于： -6≤3x+4<-1 或 1<3x+4 ≤6
解 得 ：-1 3 0x 5 3或 1 x3 2 ， ∴原不等式的解集为：{x|-1 3 0x5 3或 1x3 2} 比较此题的两种解法，解法二比较简单，解法二 去掉绝对值符号的依据是：
若| X +1| = 0,X =-1;若| X －3| = 0,X=3.
零点-1,3把数轴分成了三部分,如上图所示.
( 1 ) 当 x 1 时 ,x 1 0 ,x 3 0 , 原 不 等 式 变 形 为 ( x 1 ) ( x 3 ) 2 x , 即 x 0 .
此 时 , 得 { x |x 1 } { x |x 0 } { x |x 1 } .
-a-2 0 a2 不等式│x│> 2解集 为{x│x > 2或x<-2 }
-a-2 0 a2
类比归纳：|：||xxx|||<|<<|xx03|15的|<的>的a解a解（解(aa>>00))|||xxx|||>>>0315 的 的的解 解解X>-aa<或x<xa<-a
|x|<-2的解
|x|>-2的解
如果把|x|>2中的x换成“3x-1”,也就 是 | 3x-1 | >2如何解？
题型一:研究|ax+b|<(>)c型不等式 在 这 里 ， 我 们 只 要 把 ax+b 看 作 是
整体就可以了，此时可以得到：
|axb|ccaxbc |axb|caxbc 或axbc
(c0)
例 1解 不 等 式 ｜ 2 x 5 ｜ 7 . 解 ： 由 原 不 等 式 可 得
含绝对值不等式的解法
复习绝对值的意义：
x X>0 |x|= 0 X=0
- x X<0
代数的意义
一个数的绝对值表示： 与这个数对应的点到 原点的距离,|x|≥0
x2
B
O
|x1| =|OA|
x1
A
X
|x2|=|OB|
几何意义
方程│x│＝2的解集？ 为{x│x=2或x=-2}
-2 0
2
观察、思考：
不等式│x│<2的解集 为{x│-2 < x < 2 }
x 1 ,或 x 5 ， 或 1 x 3 , 原 不 等 式 的 解 集 为 { x |x 1 , 或 1 x 3 , 或 x 5 } .
练 习 解 不 等 式 |x 2 3 x 4 | x 1 .
解 2:原 不 等 式 x23x4 (x 1 )或 x23x4x 1
-1 0
34
题型二：不等式n＜| ax + b | ＜m (m＞n＞0) 的解集
练习 2 解不等式 4 3x5 7
当堂训练
1．不等式1＜|x+1|＜3的解集是
(D)
A．(0,2)
B．(-2,0)∪(2,4)
C．(-4,0)
D．(-4,-2)∪(0,2)
【解析】原不等式等价于1＜x+1＜3或-3 ＜x+1＜-1，
∴原不等式的解集为{x | x<－2或x>－1}.
解题反思：
1、采用了整体换元。
2、归纳型如(a>0)
| f(x)|<a, |f(x)|>a 不 等式的解法。
| f(x)|<a | f(x)|>a
-a<f(x)<a
f(x)<-a或 f(x)>a
变式例题：型如 | f(x)|<a, |f(x)|>a的不等式中
练习:绝对值不等式的解法
解不等式：|x2-3|＞2x.
解析:(等价转换法)原不等式
x232x或 x232x x22x30或 x22x30
x＞3或x＜-1或-3＜x＜1. 故原不等式的解集为{x|x＜1或x＞3}.
练习：把下列绝对值不等式转 化为同解的非绝对值不等式。
1、|2x-3|<5x 2、|x2-3x-4|>4
1形如|x|<a和|x|>a (a>0)的含绝对值的不等式的解集:
① 不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a}
-a
0
a
② 不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a }
-a
0
a
注：如果 a ≤0 ，不等式的解集易得.
利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式.
变式例题：
如果把|x|<2中的x换成“x-1”,也就是 | x-1 | <2如何解？
x 2 ≥ x （ x 2）2 ≥ x 2 （ x 2）2 x 2 ≥ 0 ( x 2 x)(x 2 x) ≥ 0 2( 2 x 2 ) ≥ 0 x ≥ -1
不等式解集为 x x≥-1
推广 fx g x fx 2 g x 2
题型三：不等式 的解集|f(x)|> |g(x)| 练习3 解不等式 |x2||x1|
A1 A -3 -2
B B1
12
x
解法 1： 设数轴上与 2，1对应的点分别是 A ，，B
那么 A ，， 两点的距离是 3， 因此区间 2，1上的
数都不是原不等式的解 。 将点 A向左移动 1个单位
到点 A1， 这时有 A1 A A1 B 5； 同理 ， 将点 B 向
右移动一个单位到点
B
，
1
a |x| b axb或 axb axb或 -bxa(a0)
题型：不等式n＜| ax + b | ＜m (m＞n＞0) 的解集
方法一：等价于 不等式组
| ax b | n | ax b | m
方法二：几何意义
-m
-n 0 n
m
n a x b m ,或 m a x b n
推广 a f ( x ) b a f ( x ) b 或 - b f ( x ) a
解(Ⅰ)得：6/5≤x<2 解(Ⅱ) 得：0<x<6/5
取它们的并集得：（0，2）
解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
解： 由绝对值的意义，原不等式转化为： -(6-x)<5x-6<(6-x)
解(Ⅰ)得：0<x<2;
综合得0<x<2
题型：不等式|x|<a与|x|>a （a>0）的解集
|x|<a（a>0）的解集为： {x|－a<x<a} |x|>a（a>0）的解集为： {x|x<-a或x>a}
y
2x-4 f(x)= -2
(x 1) (x -2)
-2x-6 (x -2)
由图象知不等式的解集为
xx≥ 2或 x≤ 3
-2 1
-3
2x
-2
（ 2） xaxbc和 xaxbc 型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义 ②零点分区间法 ③构造函数法
同 步 训 练 ： 解 不 等 式 x 2 x 3 4
fx a (a 0 ) a fx a ；
推广
fx a (a 0 ) fx a 或 fx a ；
推广
fx g (x ) g (x ) fx g (x ) ； fx g ( x ) fx g ( x ) 或 fx g ( x ) ；
题型：不等式|x|<a与|x|>a （a>0）的解集
解得0＜x＜2或-4＜x＜-2.
解不等式： x1x3
依据： |a|>|b|
a2>b2
解：因为 |x-1| > |x-3|
所以 两边平方可以等价转化为
（x-1)2>(x-3)2
化简整理：x>2
平方法：注意两边都为非负数
题型三：不等式 的解集|f(x)|> |g(x)|
例3、解不等式 x 2 ≥ x
四、练习
2.解不等式 x9x1
解： x9x1
x 9 2 x 1 2
x5
1
5
9
题 型 ： xaxbc和 xaxbc型 不 等 式 的 解 法
题型四：含多个绝对值不等式的解法
例4 怎么解不等式|x-1|+|x+2|≥5 呢?
方法一：利用绝对值的几何意义(体现了数形结 合的思想).
例 5 解 不 等 式 x 1 x 2 5
“a”用代数式替换，如何解？
解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
思考一：关键是去绝对值符号，能用定义吗？
x X≥0
|x|=
- x X<0
思考二：是否可以转化为熟悉问题求解？
解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
5x-6 ≥ 0
5x-6<0
解：
(Ⅰ) 或
(Ⅱ)
5x-6<6-x
-（5x-6）<6-x
题型二：不等式n＜| ax + b | ＜m (m＞n＞0) 的解集
例2 解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解法2：3 | 3 2x | 5 3|2x3|5
32x35， 或 52 x 3 3 3 x 4 ， 或 1 x 0 .
原不等式{x的 |1 解 x集 0， 或 3是 x4}.
解:(1)当x>1时，原不等式同解于
(x-x1>)1+(x+2) ≥5 x≥2
(2)当-2≤x≤1时，原不等式同解于
-2≤x≤1
-(x-1)+(x+2)
≥5
x
(3)当x<-2时，原不等式同解于
x<-2 -(x-1)-(x+2) ≥5
x≤-3
综合上述知不等式的解集为xx≥ 2或 x≤ 3
题型四：含多个绝对值不等式的解法
题型四：含多个绝对值不等式的解法
练习4 解不等式 x+1 - x-3 2
解不等式
x2x37
2x43x37
3.解不等式:|x2||x1|3
x 2
三、例题讲解
① -1 ② 3 ③
例2 解不等式|x +1| + |3－x| >2 + x.
解析原不等式变形为| X +1| + |X －3| > 2 + X.
练习1 (1) 3x 1 x 2 ; (2) 3x 1 2 x
2.解不等式 ：|3x-1|>x+3.
{x| x1或x2} 2
练 习 解 不 等 式 |x 2 3 x 4 | x 1 .
解 1 : 原 不 等 式 x x 2 2 3 3 x x 4 4 x 0 1 或 x2 ( x2 3 x 3 x 4 4 ) 0 x 1 xx 54或 或 xx 11或 1 1 xx 34
题型二：不等式n＜| ax + b | ＜m (m＞n＞0) 的解集
例2 解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解1 ： 法 3|32x|5 3|2x3|5
||
2x 2x
3| 3 3| 5
2x532x3， 3或 25x33
即x13， x或x4 0
-1 0
34
原不等式{x的 |1 解 x集 0， 或 3是 x4}.
x 2 2 x 3 0 或 x 2 4 x 5 0
( x 1 ) ( x 3 ) 0 ,或 ( x 1 ) ( x 5 ) 0
1 x 3 ,或 x 1 ,或 x 5 , 原 不 等 式 的 解 集 为 { x |x 1 , 或 1 x 3 , 或 x 5 } .