09理科试验班概率论与数理统计

一、填空题（每题4分，共40分）

1．设随机事件A 、B 及其各事件B A ⋃的概率分别为0.4, 0.3和0.6, 若B 表示B 的对立事件,则积事件B A 的概率)(B A P = 。

2．一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第

二次抽出的是次品的概率为 . 3．设X 和Y 为两个随机变量,且7

3}0,0{=≥≥Y X P ,7

4}0{}0{=

≥=≥Y P X P ,则

}0),{m a x (≥Y X P = .

4．.设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4, 则2

X 的

数学期望)(2

X E = .

5．设随机变量X 和Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则

}1},{max{≤Y X P = .

6．设A 、B 为随机事件, )(A P =0.7, )(B A P -=0.3, 则)(AB P = . 7． 设随机变量X 的数学期望μ=)(X E ,方差2

)(σ=X D ,则由切比雪夫不等式,有

≤≥-}3|{|σμX P .

8．已知随机变量)1,3(~-N X ,)1,2(~N Y ,且Y X ,相互独立,设随机变量

72+-=Y X Z ,则~Z .

9．设每分钟通过某交叉路口的汽车流量X 服从参数为λ泊松分布，且已知在一分钟内无车通过与恰好有一辆车通过的概率相同，则=λ_______。

10．已知随机变量)1,3(~-N X ,)1,2(~N Y ,且Y X ,相互独立,设随机变量

72+-=Y X Z ,则~Z .

二、计算题（60 分）

1．已知有三部自动的机器生产同样的汽车零件，其中机器A 生产

的占%40，机器B 生产的占%25，机器C 生产的占%35，平均

说来，机器A 生产的零件有%10不合格，机器B 和C 生产的零件不合格率分别为%5和%1，如果从总产品中随机地抽取一个零件，试问：

（1）它是不合格品率的概率是多少？

（2）如果它是不合格品，则它是由A 生产的概率是多少？（6分）

2．设随机变量X 在(2，5)上服从均匀分布，现在对X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。（6分）

3．设随机变量X 在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量X

e Y 2=的概率密度)(y

f 。

（8分）

4．设A 、B 为随机事件，且4

1)(=

A P ，3

1)|(=

A B P ，2

1)|(=

B A P ，令

⎩⎨⎧=，

A ，

，A X 不发生发生0,1 ⎩⎨

⎧=，

B ，

，

B ，Y 不发生发生01

（1） 求二维随机变量（X，Y）的概率分布； （2） 求X 与Y 的相关系数xy

ρ。（10分）

5．设随机变量ξ的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它

,

00,

2

cos 21

)(πx x x f ，对ξ独立地重复观察4

次，用η表示观察值大于3

π

的次数，求η的数学期望与方差。（10分）

6．设总体X 的概率密度为⎩

⎨⎧<<+=其它,01

0,)1()(x x x f θ

θ, 其中1->θ是未知参数,

n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本,分别用矩估计法和最大似然估计法求θ的估计量.（10分）

7.设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎩

⎨

⎧<<<<--=其它

,

01

0,10,

2),(y x y x y x f

，求（1）}2{Y X P >；（2）Y X Z +=的密度函数。（10分）