喀左高中高二数学竞赛题

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高二数学竞赛试题Word版

高二数学试题一,选择题(每题5分)1.在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是 ( )(A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －1212.若(1-2x )9展开式的第3项为288，则∞→n lim (n xx x 1112⋯++)的值是 ( ) （A ）2 （B ）1 （C ）21 （D ）52 3.整数组﹛X1,X2,X3,X4﹜适合0<X1≤X2≤X3≤X4<7,这样的数组共有 ( )（A ）108组（B ）126组（C ）252组（D ）64组4.今有壹角币1张角,贰币1张,伍角币1张,一元币4张, 伍元币2张,用这些纸币任意付款, 则可付出不同数额的款子共有 ( )（A ）30种（B ）29种（C ）120种（D ）119种5.有十二面的骰子上,数字1,2,3,4各标两面,数字5,6,7,8各标一面.观察发现骰子的12面的各面出现的概率是相同的,这个十二面骰子两次落下的结果总和是6的概率是( )(A) 1/9 (B) 5/114 (C )1/6 (D) 1/126. 0.9910的第1位小数为n 1, 第1位小数为n 2, 第1位小数为n 3, 则n 1 n 2, n 3, 分别是( )(A) 9 4 0 (B) 9 0 4 (C) 9 2 0 (D) 9 0 27, 设f(x)是定义在R 上的奇函数,当x>0时, f ，(x)>0,且f(-3)=0.则不等式xf(x)>0的解集是 ( )（A ）(-3,0)U(3,+∞) （B ）(-3,0)U(0,3)（C ）（-∞,3)U(3,+∞) （D ）（-∞,3)U(0,3)二,填空题(每题5分)8．湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm 的空穴，则该球的半径为___________.9．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第________左至右第14与第15个数的比为3:2.第0行 1第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1…… …… ……10.方程1234567891023x x x x x x x x x x +++++++++=的非负整数解共有_____组11.如果从数1,2,…，14中，按从小到大的顺序取出a 1,a 2,a 3,使同时满足a 2-a 1≥3与 a 3-a 2≥3,那么所有符合上述要求的不同取法共有__________种.12.如图,1, 2, 3表示开关,并且各开关开的概率均为p, 各开关互相独立.求A 到B 是通路的概率__________.三,解答题(每题10分)13. 已知0,,,1)1(3)(123<∈+++-==m R n m nx x m mx x f x 其中的一个极值点是函数（1）求m 与n 的关系表达式；（2）当)(,]1,1[x f y x =-∈函数时的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围。

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高二数学竞赛试题及答案高二数学竞赛模拟试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.AF1.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不BE同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量OA共线的向量共有( )A.2个B. 3个C.6个D. 7个213CD2.若(3a -2a) n 展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是( )A.4B.5C. 6D. 83. 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为( )3311A. 20B. 10C. 20D. 104.抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=-3，则这条抛物线的焦点坐标是( )A.(3，0)B.(2，0)C.(1，0)D.(-1，0)5.已知向量m=(a，b)，向量n⊥m，且|n|=|m|，则n的坐标可以为( )A.(a，-b)B.(-a，b)C.(b，-a)D.(-b，-a)6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是( )DCAB A B③②①④111A.①④B.②③C.②④D.①②7.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A.36种B.48种C.72种D.96种8.已知直线l、m，平面?、β，且l⊥?,m?β.给出四个命题：(1)若?∥β,则l⊥m;(2)若l⊥m,则?∥β;(3)若?⊥β,则l∥m;(4)若l∥m,则?⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.29.已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2，+∞)上递增，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞，4)B.(-4，4]C.(-∞，-4)∪[2，+∞)D.[-4，2)10.4名乘客乘坐一列火车，有5节车厢供他们乘坐。

假设每个人进入各节车厢是等可能的，那么这4名乘客分别在不同车厢的概率为( )A54A54A44A44 A、4 B、4 C、5 D、5 5544二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在题中横线上.11.从?a?b?的二项展开式的各项中任取两项，这两项中至少有一项含有的二项式系1 7数的概率为。

高中数学竞赛赛题精选(带答案)

高中数学竞赛赛题精选一、选择题（共12题）1．定义在R 上的函数()y f x =的值域为［m,n ］,则)1(-=x f y 的值域为（） A ．［m,n ］B ．［m-1,n-1］C ．［)1(),1(--n f m f ］D ．无法确定解：当函数的图像左右平移时，不改变函数的值域.故应选A.2．设等差数列{n a }满足13853a a =，且n S a ,01>为其前n 项之和，则)(*∈N n S n 中最大的是( ) A. 10S B. 11S C. 20S D. 21S 解：设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-3921a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-392n),欲使)(*∈N n S n 最大，只须n a ≥0，即n ≤20.故应选C.3．方程log 2x=3cosx 共有（）组解．A ．1B ．2C ．3D ．4解：画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像，研究其交点情况可知共有3组解．应选C ．4．已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（）Ａ．11<<-a Ｂ．1-<a 或1>aＣ．12<<-aＤ．2-<a 或1>a解：令f(x)= ()2122-+-+a x a x ，其图像开口向上，由题意知f(1)＜0，即 ()211122-+⨯-+a a ＜0，整理得022<-+a a ，解之得12<<-a ，应选C ．5．已知βα,为锐角，,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α，则y 与x 的函数关系为（） A ．1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B ．1)x (0 x 54x 153y 2<<+--=C ．)53x (0 x 54x 153y 2<<---= D ．1)x (0 x 54x 153y 2<<---= []xx y 54153sin )sin(cos )cos()(cos cos 2+-⋅-=⋅+++=-+==αβααβααβαβ解：而)1,0(∈y 15415302<+-⋅-<∴x x ，得)1,53(∈x .故应选A. 6．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a-的最大值是（）A. πB. π2C.34πD. 35π解：如右图，要使函数sin y x =在定义域[],a b 上，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是74()663πππ--=.故应选C. 7．设锐角使关于x 的方程x 2+4x cos+cot =0有重根，则的弧度数为 ( )A ．6B ．12或512C ．6或512D ．12解：由方程有重根，故14=4cos 2－cot =0，∵ 0<<2，2sin2=1，=12或512．选B ． 8．已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ，则b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62] B ．(－62，62) C ．(－233，233] D ．[－233，233] 解：点(0，b )在椭圆内或椭圆上，2b 2≤3，b ∈[－62，62]．选A ．9．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4] 解：令log 2x=t ≥1时，t －1>32t －2．t ∈[1，2)，x ∈[2，4)，选C ．10．设点O 在ABC 的内部，且有+2+3=，则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( )A ．2B ．32C ．3D ．53解：如图，设AOC=S ，则OC 1D=3S ，OB 1D=OB 1C 1=3S ，AOB=OBD=1.5S ．OBC=0.5S ，ABC=3S ．选C ．11．设三位数n=，若以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有( )A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个解：⑴等边三角形共9个；⑵ 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a ，b )，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b <a <2b ．a=9或8时，b=4，3，2，1，(8种)；a=7，6时，b=3，2，1(6种)；a=5，4时，b=2，1(4种)；a=3，2时，b=1(2种)，共有20种不能取的值．共有236－20=52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数．选C ．12．顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为 ( )A ．53 B ．253 C ．63 D ．263解：AB ⊥OB ，PB ⊥AB ，AB ⊥面POB ，面PAB ⊥面POB ．OH ⊥PB ，OH ⊥面PAB ，OH ⊥HC ，OH ⊥PC ，又，PC ⊥OC ，PC ⊥面OCH ．PC 是三棱锥P －OCH 的高．PC=OC=2．而OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．当OH=2时，由PO=22，知∠OPB=30，OB=PO tan30=263．又解：连线如图，由C 为PA 中点，故V O －PBC =12V B －AOP ，S B 11OABCABPO H C而V O －PHC ∶V O －PBC =PH PB =PO 2PB2(PO 2=PH ·PB )．记PO=OA=22=R ，∠AOB=，则V P —AOB =16R 3sin cos =112R 3sin2，V B －PCO =124R 3sin2． PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2=11+cos 2=23+cos2．V O －PHC =sin23+cos2112R 3． ∴ 令y=sin23+cos2，y=2cos2(3+cos2)－(－2sin2)sin2(3+cos2)2=0，得cos2=－13，cos =33， ∴ OB=263，选D ．二、填空题（共10题）13. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差为解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由题设得⎩⎨⎧-=+=+，，545101010511d a d a 即 ⎩⎨⎧-=+=+，，1922211d a d a 解之得1-=d .14. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则b a +等于 4 .解：由题设知 log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩，，化简得 2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩，解之得 1131a b =⎧⎨=⎩，； 2224.a b =-⎧⎨=-⎩，（舍去）. 故a b +等于4.15．已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-，．解：因为 ()()22lg 620lg (3)11lg111x x x -+=-+≥>，所以()2lg 6200x x -+<. 于是，由图象可知，2111x x +≤-，即 201x x +≤-，解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为 [21)x ∈-，．16．圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2 ．解：原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ，即=2|3|2+-y x ．所以动点),(y x 到定点(31)-，的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2．17．在ABC ∆中，已知3tan =B ，322sin =C ，63=AC ，则ABC ∆的面积为ABC S ∆=解：在ABC ∆中，由3tan =B 得︒=60B ．由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==．因为︒>60322arcsin，所以角C 可取锐角或钝角，从而31cos ±=C ．sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=sin 2ABC AC ABS A ∆⋅== 18. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a . 解：由a a <2得10<<a ．由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立，得04162<-=∆a ，即2121<<-a ．因为命题P 、Q 有且仅有一个成立，故实数 a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a ．19.22cos 75cos 15cos75cos15++⋅的值是．解：22cos 75cos 15cos75cos15++⋅ =cos²75°+sin²75°+sin15°·cos15° =1+°30sin 21=5420.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2f =，且对任意的x R ∈，都有1()2f x '<，则不等式22log 3(log )2x f x +>的解集为．解：令g ﹙x ﹚=2f ﹙x ﹚－x ，由f '(x ) <1/2得，2f '(x ) -1<0，即'g ﹙x ﹚<0，g(x)在R 上为减函数，且g(1)=2f(1)-1=3，不等式f(log2X)>2log 2X化为2f(log2X)—log2X≥3，即g(log2X)>g(1),由g(x)的单调性得：log2X<1,解得，0<x<2. 21.圆O 的方程为221x y +=，(1,0)A ，在圆O 上取一个动点B ，设点P 满足()AP OB R λλ=∈且1AP AB ⋅=．则P 点的轨迹方程为．解：设P(x,y), AB =λOB (λϵR)得B(k(x —1)，ky)，（λ=k1）。

高二数学竞赛试题及答案

高二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 5 \)，则\( f(-1) \)的值为多少？A. 12B. 10C. 8D. 62. 已知圆的半径为5，圆心在原点，求圆上一点到原点的距离最远是多少？A. 10B. 5C. 15D. 203. 一个等差数列的前三项分别为2，5，8，求这个数列的第20项是多少？A. 47B. 49C. 52D. 554. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度？A. 5B. 6C. 7D. 85. 已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，求\( \cos(\alpha) \)的值（假设\( \alpha \)在第一象限）？A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. \( -\frac{3}{5} \)6. 一个函数\( g(x) \)满足\( g(x) = x^2 + 2x + 3 \)，求\( g(-1) \)的值？A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)的根，求\( a + b \)的值。

______（答案：-5）8. 一个数列的前五项为1, 1, 2, 3, 5，这个数列是斐波那契数列，求第10项的值。

______（答案：55）9. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，求这个三角形的面积。

______（答案：6）10. 已知\( \tan(\beta) = 2 \)，求\( \sin(\beta) \)的值。

______（答案：\( \frac{2\sqrt{5}}{5} \)）三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意实数\( x \)，不等式\( e^x \ge x + 1 \)恒成立。

高二年级数学竞赛试题含答案

高二年级数学竞赛试题一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分）1. 已知命题tan 1p x R x ∃∈=：，使，其中正确的是（） (A) tan 1p x R x ⌝∃∈≠：，使(B) tan 1p x R x ⌝∃∉≠：，使 (C) tan 1p x R x ⌝∀∈≠：，使(D) tan 1p x R x ⌝∀∉≠：，使 2. 设a R ∈，则1a >是11a< 的（）（A ）充分但不必要条件（B ）必要但不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件3. 抛物线24(0)y ax a =<的焦点坐标是（）（A ）（a , 0）（B ）(－a , 0) （C ）（0, a ）（D ）（0, －a ）4（文）=∆∆--∆+→∆xx x f x x f 2)()(lim000x （）(A).)(210x f ' (B). )(0x f ' (C). )(20x f ' (D). )(-0x f ' 4（理）有以下命题：①如果向量,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,不构成空间的一个基底，则点,,,O A B C 一定共面； ③已知向量,,是空间的一个基底，则向量,,-+也是空间的一个基底。

其中正确的命题是（）（A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）①②③ 5（文）已知直线kx y =是x y ln =的切线，则k 的值为（）（A ）e 1-（B ）e 1 （C ）e 2 （D ）e2- 5（理）已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）56（文）设210,,k k k 分别表示正弦函数x y sin =在2,4,0ππ===x x x 附近的平均变化率，则（）(A ). 012k k k << (B). 120k k k << (C). 210k k k << ( D). 201k k k <<6（理）如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。

数学竞赛试题及答案高中生

数学竞赛试题及答案高中生试题一：代数问题题目：已知\( a, b \) 是方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \) 的两个实根，求 \( a^2 + 5a + 6 \) 的值。

解答：根据韦达定理，对于方程 \( x^2 + bx + c = 0 \)，其根\( a \) 和 \( b \) 满足 \( a + b = -b \) 和 \( ab = c \)。

因此，对于给定的方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \)，我们有 \( a + b =-5 \) 和 \( ab = 6 \)。

由于 \( a \) 是方程的一个根，我们可以将 \( a \) 代入方程得到 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。

所以 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。

试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，已知直角边长分别为 3 厘米和 4 厘米，求斜边的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度 \( c \) 可以通过直角边 \( a \) 和 \( b \) 计算得出，公式为 \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)。

将给定的边长代入公式，我们得到 \( c = \sqrt{3^2 + 4^2} =\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) 厘米。

试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)，求第 10 项 \( a_{10} \) 的值。

解答：等差数列的通项公式为 \( a_n = a_1 + (n - 1)d \)，其中\( n \) 是项数。

将给定的值代入公式，我们得到 \( a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 9 \times 2 = 3 + 18 = 21 \)。

试题四：组合问题题目：从 10 个不同的球中选取 5 个球，求不同的选取方式有多少种。

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高二竞数学赛试题班别＿＿＿姓名＿＿＿＿座号＿＿＿＿总分＿＿＿＿＿＿＿一、选择题（每题5分，共1.已知函数f(x)是R 上的奇函数，g(x)是R 上的偶函数，若129)()(2++=-x x x g x f ，则=+)()(x g x f ( ) A ．1292-+-x xB ．1292-+x xC ．1292+--x x D.1292+-x x2．已知椭圆22143x y +=上的任意一点(,)P x y 可使20x y m ++≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ )(A) (,4]-∞-. (B ）[4,)-+∞． (C) (,4]-∞．(D ）[4,)+∞．3．如果一元二次方程09)3(222=+---b x a x 中，a 、b 分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P= ( ) A ．181B ．91 C ．61 D ．1813 4．若b a <<0，且1=+b a ，则下列各式中最大的是（）（A ）1- （B ）1log log 22++b a（C ）b 2log（D ）)(log 32232b ab b a a +++二、填空题（每题5分，共 5．在ABC ∆中，若21tan =A ，31tan =B ，且最长的边的长为1，则最短的边的的长等于．6．设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数，则函数()y f x =在区间[]0,100上至少有个零点.7．满足方程2=所有实数解为．8．若z y x ,,均为正实数，且1222=++z y x ，则xyzz S 2)1(2+=的最小值为．三．解答题（每题15分，共60分）1. 已知函数()x x x f -+=1ln )(在区间[]()*∈Nn n ,0上的最小值为nb，令()n n b n a -+=1ln ，()*-∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅=N k a a a a a a p kk k 2421231，求证：.11221-+<+⋅⋅⋅++n n a p p p2．求所有正整数x ，y ，使得23x y +与23y x +都是完全平方数．3．在周长为定值的△ABC 中，已知|AB|=6，且当顶点C 位于定点P 时， cosC 有最小值为257. (1)建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程. (2)过点A 作直线与(1)中的曲线交于M 、N 两点，求||||⋅的最小值的集合.4.求所有使得下列命题成立的正整数 (2)n n ≥: 对于任意实数 12,,,n x x x ,当 10nii x==∑ 时, 总有110ni i i x x+=≤∑ ( 其中 11n xx += ).高二数学竞赛答案A D A C 5.55 6． 50 7．20102011x ≤≤ 8．223+．三．解答题（每题15分，共60分）1.解：（1）因为()x x x f -+=1ln )(，所以函数的定义域为()+∞-,1，…（2分）又xxx x f +-=-+='1111)(.……………………………………………（4分）当[]n x ,0∈时， 0)(<'x f ，即)(x f 在[]()*∈Nn n ,0上是减函数，故().1ln )(n n n f b n -+==()()().1ln 1ln 1ln n n n n b n a n n =++-+=-+=…………………………（7分）因为()()()141421212222<-=+-k k k k k ,所以()()()()()121121212126754532312421253122222+<+⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅k k k k k k k . …………………………………………………………………………（12分）又容易证明1212121--+<+k k k ，所以 ()()()*-∈--+<+<⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=N k k k k k k a a a a a a p k k k 1212121242125312421231，………………………………………………………………（13分）n p p p +⋅⋅⋅++21()()()12123513--++⋅⋅⋅+-+-<n n112-+=n 112-+=n a .即 .11221-+<+⋅⋅⋅++n n a p p p ……………………（15分）2．求所有正整数x ，y ，使得23x y +与23y x +都是完全平方数．解：若x =y ，则x 2+3x 是完全平方数. ∵ x 2＜x 2+3x ＜x 2+4x +4= (x +2)2，∴ x 2+3x = (x +1)2，∴ x =y =1. ………………3分若x ＞y ，则x 2＜x 2+3y ＜x 2+3x ＜x 2+4x +4= (x +2)2. ∵ x 2+3y 是完全平方数，∴ x 2+3y = (x +1)2，得3y = 2x +1，由此可知y 是奇数，设y = 2k +1，则x =3k +1，k 是正整数.又 y 2+3x = 4k 2+4k +1+9k +3=4k 2+13k +4是完全平方数，且 (2k +2)2=4k 2+8k +4＜4k 2+13k +4＜4k 2+16k +16= (2k +4)2， ∴ y 2+3x =4k 2+13k +4=(2k +3)2，得 k =5，从而求得x =16，y =11. …………………12分若x ＜y ，同x ＞y 情形可求得 x =11，y =16.综上所述，(x ，y )= (1，1), (11，16), (16，11)． …………………15分 3．解：(1) 以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设|CA|+|CB|=2a(a>3)为定值，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6. 因为1||||182||||236||||2|)||(|||||26||||cos 22222--=--+=-+=CB CA a CB CA CB CA CB CA CB CA CB CA C又 22)22(||||a a CB CA =≤⋅，所以 2181cos a C -≥，由题意得 25,25718122==-a a. 此时，|PA|=|PB|，P 点坐标为 P(0，±4).所以C 点的轨迹方程为)0(1162522≠=+y y x (2) 不妨设A 点坐标为A(-3，0)，M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).当直线MN 的倾斜角不为900时，设其方程为 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得 0)1169(83)16251(2222=-+++k x k x k 显然有 △≥0，所以 222122212516400225,2516150k k x x k k x x +-=+-=+而由椭圆第二定义可得25165311442553125251614453125251614481251645025259)(325)535)(535(||||22222222212121+-⋅+=+-+=+-+++=++-=--=⋅k k kk k k k k x x x x x x只要考虑251653114422+-k k 的最小值，即考虑2516531144251612++-k 取最小值，显然. 当k=0时，||||⋅取最小值16.当直线MN 的倾斜角为900时，x 1=x 2=-3,得 16)534(||||2>=⋅BN BM 但)0(1162522≠=+y y x ，故0≠k ，这样的M 、N 不存在，即||||BN BM ⋅的最小值的集合为空集.4.解：当 2n = 时，由 120x x +=，得 21221120x x x x x +=-≤．所以 2n = 时命题成立. …………………… 3分当 3n = 时，由 1230x x x ++=，得2222123123122331()()2x x x x x x x x x x x x ++-++++==()02232221≤++-x x x 所以 3n = 时命题成立. ………………… 6分当 4n = 时，由 12340x x x x +++=，得212233441132424()()()0x x x x x x x x x x x x x x +++=++=-+≤．所以 4n = 时命题成立． ……………… 9分当 5n ≥ 时，令 121x x ==，42x =-，350n x x x ====,则 10ni i x ==∑.但是,1110ni i n x x+==>∑，故对于 5n ≥ 命题不成立．综上可知，使命题成立的自然数是 2,3,4n =. …………… 15分。

高二数学竞赛试题及答案(精品)

高二数学竞赛拔高试题（二）时间：120分钟满分150分命题人：张付涛审题人：郝庆全一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）1．在平面直角坐标系中，记d 为点P （cosθ，sinθ）到直线的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 42．已知数列{}n a的通项公式2245n a n n =-+，则{}n a 的最大项是（）A ．1aB ．2aC ．3aD ．4a3．已知双曲线C ：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N.若OMN 为直角三角形，则|MN|= （）A. B. 3C.D. 44、若关于x 的方程323()25x aa +=-有负数根，则实数a 的取值范围为（） A.2(,)(5,)3-∞-+∞ B. 3(,)(5,)4-∞-+∞ C. 2(,5)3- D.23(,)34- 5．关于x 的不等式02022<--a ax x 任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是（）. （A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ） 1- 6．设抛物线C ：y2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则 = ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7已知数列{an}满足3an+1+an=4(n ≥1)，且a1=9，其前n 项之和为Sn 。

则满足不等式|Sn-n-6|<1251的最小整数n 是（）A ．5B ．6C ．7D ．88．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 ( )A.B.C.D. 9.已知等差数列{an}的公差为d ，前n 项和为Sn ，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10.函数 ()y f x = 的图像按向量 (,2)4a π= 平移后, 得到的图像的解析式为 sin()24y x π=++. 那么 ()y f x = 的解析式为 ( )A. sin y x =B. cos y x =C. sin 2y x =+D. cos 4y x =+11．设，是双曲线：（，）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为( )A. B. 2C.D.12．已知()122007122007f x x x x x x x =+++++++-+-++-（x ∈R ），且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有（）. （A ）2个（B ）3个（C ）4个（D ）无数个二填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13．已知等差数列{an}的前11项的和为55，去掉一项ak 后，余下10项的算术平均值为4．若a1＝－5，则k ＝14.若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab ++的最小值为___________.15. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 . 16圆锥曲线|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是．三解答题（17题10分，其他题目满分12分，共计70）17．已知数列的各项均为正数，且. （1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和 .18. 已知函数c bx x x f ++-=22)(在1=x 时有最大值1，n m <<0，并且[]n m x ,∈时，)(x f 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡m n 1,1. 试求m ，n 的值.19．某公司试销一种成本单价为500元／件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元／件．经试销调查，发现销售量y （件）与销售单价x （元／件）之间近似于如图所示的一次函数y ＝kx ＋b 的关系．（1）根据图象，求一次函数y ＝kx ＋b 的解析式；（2）设公司获得毛利润（毛利润＝销售总价－成本总价）为S 元．① 试用销售单价x 表示毛利润S ．② 试问销售单价定为多少时，此公司获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？20.设F 是抛物线x y 42=的焦点，B A 、为抛物线上异于原点O 的两点，且满足0=⋅FB FA ．延长BF AF 、分别交抛物线于点D C 、（如图）．求四边形ABCD 面积的最小值．21.已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2 （Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P1(x1, 1)，P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.22．已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．nT高二数学竞赛拔高试题（二）答案1【答案】C 2．（B）3【答案】B 4、（d）5．（C）．6．【答案】D7 c 8．【答案】A 9. 【答案】C10,B , 即. 故选B 11．【答案】C 12故选（D）．二填空题13 k＝11．14.【答案】15. 的取值范围是或．16 ．三解答题17．【答案】（1）a_n=2n+1,n∈N^*（2）T_n=1+〖(-1)〗^(n-1) (n+1) （1）由〖a_n〗^2-2na_n-(2n+1)=0得[a_n-(2n+1)](a_n+1)=0，所以a_n=2n+1或a_n=-1，又因为数列{a_n }的各项均为正数，负值舍去，所以a_n=2n+1,n∈N^*.（2）因为b_n=〖(-1)〗^(n-1)a_n=〖(-1)〗^(n-1)(2n+1)，所以T_n=3-5+7-9...+〖(-1)〗^(n-1)(2n+1)由T_n=3-5+7-9...+〖(-1)〗^(n-1)(2n+1)①(-1)T_n=-3+5-7+9...+〖(-1)〗^(n-1)(2n+1)+〖(-1)〗^n(2n+1)②由①-②得：2T_n=3-2[1-1+9...+〖(-1)〗^(n-1) ]-〖(-1)〗^n(2n+1)=3-2[1-〖(-1)〗^(n-1) ]/(1-(-1))=2+〖(-1)〗^(n-1)-〖(-1)〗^n(2n+1)=2+〖(-1)〗^(n-1) (2n+2)∴T_n=1+〖(-1)〗^(n-1) (n+1)点睛：本题考查了数列递推关系、错位相减法、分组求和方法、等比数列的求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18..解由题，……5分，，即，上单调减，且. ……10分，n是方程的两个解，方程即=0，解方程，得解为1，，.，，. ……15分19解：（1）把（600，400），（700，300）两点的坐标分别代入y＝kx＋b，得解得∴y＝－x＋1000，其中x的取值范围是500≤x≤800．（2）①S＝xy－500y＝x（－x＋1000）－500（－x＋1000），即S＝－x2＋1500x－500000（500≤x≤800）．②S＝－x2＋1500x－500000＝－（x－750）2＋62500．当x＝750时，S最大值＝62500．此时y＝－x＋1000＝－750＋1000＝250（件）．故当销售单价定为750件时，此公司获得最大毛利润62500元；此时的销售量是250件．2020.解析：设，由题设知，直线的斜率存在，设为．因直线过焦点，所以，直线的方程为．联立方程组，消得由根与系数的关系知：，……5分于是……10分又因为，所以直线的斜率为，从而直线的方程为：，同理可得．……15分故当时等号成立．所以，四边形的最小面积为32．……20分21.（II）过……向轴作垂线，垂足分别为……,由(I)得记梯形的面积为.由题意，所以……+= ……+ ①又……+ ②①-②得=所以【答案】（1）（2）或详解：（1）设，则.两式相减，并由得.由题设知，于是.①；由题设得，故.（2）由题意得，设，则.由（1）及题设得.又点P在C上，所以，从而，.于是.同理.所以.故，即成等差数列.设该数列的公差为d，则.②将代入①得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.故，代入②解得.所以该数列的公差为或.点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，等差数列的性质，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量，第二问由已知得到,求出m得到直线方程很关键，考查了函数与方程的思想，考察学生的计算能力，难度较大。

全国高二高中数学竞赛测试带答案解析

全国高二高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知函数则函数的反函数是A．y=B．y=C．y="2X+5"D．y=2X+22.设０，则a和b的大小关系是A．a B．C．a D．不确定的。

3.已知X y且bx. ,lnx成等比列，则xy的A．最大值是B．最大值是C．最小值是D．最小值是4.如图1、一个正方体的容器ABCD-中盛满了油后，在相邻两侧面的中心处出现了两个小孔，若恰当地将容器放置。

可使流出的油量达到最小，这个最小值是正方体容器容量的。

A．B．C．D．5.函数y=的最小值是A．B．C．D．6.Ahyperbola(双曲线)wjthvertices(顶点)（-2，5）and(-2,-3),has an asynptote(渐近线)thatpasses the point(2.5) Then an equarionk of the hyperbola isA．B．C．D．7.等差数列中有两项和，满足、，则该数列前mk项之和是A．B．C．D．8.当x.yi满足条件时，变量U=的取值范围是A．B．C．D．9.设为椭圆上一点，且,，其中为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于A．B．C．D．10.Suppose the least distance fron poinrs of the xurve(曲线)to the y-axis is then the velue of a isA．B．C．or D．or11.已知函数则函数的反函数是A．y=B．y=C．y="2X+5"D．y=2X+212.设０，则a和b的大小关系是A．a B．C．a D．不确定的。

13.已知X y且bx. ,lnx成等比列，则xy的A．最大值是B．最大值是C．最小值是D．最小值是14.如图1、一个正方体的容器ABCD-中盛满了油后，在相邻两侧面的中心处出现了两个小孔，若恰当地将容器放置。

高二数学竞赛试题

高二数学竞赛试题本文是一份为高二数学竞赛准备的试题。

试题分为四个部分，分别是代数、几何、概率与统计以及综合运用。

每个部分包含若干个问题，通过这些问题的解答，考察学生在不同领域的数学能力。

一、代数1. 解方程：求解方程2x + 3 = 7，并写出解的步骤。

2. 复数运算：计算复数z = 3 + 2i与w = -1 + 4i的积，并将结果标准化。

3. 多项式展开：将(x + 2y)(3x - y)展开，化简并写出结果。

二、几何1. 直角三角形：已知直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，求斜边的长度。

2. 三角函数：已知sinθ = 0.6，求cosθ的值，并利用三角函数关系式求tanθ的值。

3. 平行四边形：已知平行四边形ABCD中，AB = 5cm，BC = 7cm，AC的长度为√58cm，求AD的长度。

三、概率与统计1. 概率计算：有一个有六个红球和四个白球的盒子，从中随机抽两个球，求至少抽出一个红球的概率。

2. 统计图表解读：下表是某班级学生的数学成绩统计表，请根据表格回答问题：成绩区间（分数）人数60-69 570-79 880-89 1290-99 7100 3a) 该班级学生的平均数学成绩是多少？b) 有多少学生的数学成绩高于80分？四、综合运用1. 数列问题：已知等差数列的前五项依次为3, 7, 11, 15, 19，求该数列的通项公式。

2. 函数求值：已知函数f(x) = 2(x + 1) - 3x^2，求f(2)的值。

3. 证明问题：证明在任意三角形ABC中，三角形的内心到三边的距离之和等于这个三角形的半周长。

以上就是本次高二数学竞赛试题的内容。

希望考生们认真思考，仔细解答每一个问题，展现自己的数学才华。

祝大家取得优异的成绩！。

数学竞赛训练题(高二)

数学奥林匹克训练题（高二）一、选择题（5分×6=30分） 1、集合{n | 21-<log 2 <31-，n ∈N}的真子集的个数是（） A. 7 B. 8 C. 31 D. 322、函数y=f ( x ) , y = g ( x ) 的定义域及值域都是R ，且都存在反函数，则y = f –1 ( g –1(f ( x ) ) )的反函数是（）A.y = f(g(f –1(x) ) )B.y = f –1 (g ( f ( x ) ) )C.y = f –1(g -1( f ( x ) ) )D.y = f ( g –1 (f –1 ( x ) ) )3、若在抛物线y=ax 2（a>0）的上方可作一个半径为r 的圆与抛物线相切于原点0，且该圆与抛物线没有别的公共点，则r 的最大值是（）A.a21B.a1 C.a D.2a 4、若0<x<2π，则tanx+cotx+x x cos 1sin 1-的取值范围是（） A.（-∞，+∞） B.（0，+∞） C.（21，+∞）D.（1，+∞）5、若方程2a ·9sinx +4a ·3sinx +a – 8=0有解，则a 的取值范围是（）A.（- ∞，-8 ∪[0，+∞B.[0，+∞C.[0，318] D.[318，2372] 6、若w = cos40°+i sin40°，则| w +2w 2+3w 3+……+9w 9 | -1等于A.cos 18120° B.sin 9140° C.cos 9140°D.sin 9220° 二、填空题（5分×6=30分） 7、已知f （x ）=tan （)arctan 4x -π则f （23123133++--）= 。

8、设a ∈R ，若函数y=f (x) 与y=10 x +3关于直线y=x 对称，且y =f （x ）与y=lg （x 2 – x+a ）有公共点，则a 的取值范围是。

高二数学竞赛试卷及参考答案

高二数学竞赛试卷考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答； ⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分。

一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内．（1）12,F F 是椭圆22:184x y C +=的焦点，在C 上满足12PF PF ⊥的点P 的个数为（） (A ) 1个 (B ) 2个 (C ) 3个 (D) 4个（2）已知实数集合A 满足条件：若a A ∈，则11aA a+∈-，则集合A 中所有元素的乘积的值为（）(A ) 1 (B ) 1- (C ) 1± (D) 与a 的取值有关（3）若ABC ∆的三边长a 、b 、c 满足2220a a b c ---=且0322=+-+c b a ，则它的最大内角的度数是（）(A )150 (B )135 (C )120 (D)90（4）已知定点()7,8A 和抛物线24y x =，动点B 和P 分别在y 轴上和抛物线上，若0O B P B ⋅=（其中O 为坐标原点），则PB PA +的最小值为（）(A ) 9 (B ) 10 (C ) (D)、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．把答案填在题中横线上．（5）高二数学竞赛获一等奖的人数在30到55人之间，颁奖典礼上给获一等奖的学生照相．按3列排，多出2人；按5列排，多出4人；按7列排，多出2人，则获一等奖的人数有人．（6）若函数()f x 的图像经过点()()1,1,1,0,2,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，试写出两个．．满足上述条件的函数的解析式、．（7）已知点()b a P ，在直线01443=--y x 上，则()()2211-+-b a 的最小值为．（8）正三棱锥ABC P -中，30=∠=∠=∠APC BPC APB ，2===CP BP AP ，过点A 作平面分别交PB 、PC 于E 、F ，则AEF ∆的周长的最小值为．（9）现代社会对破译密码的要求越来越高，有一种密码把英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的a 、b 、c 、…、z 的26个字母（不论大小写）依次对应1、2、3、…、给出如下一个变换公式：()()221126213 1262x x x x x x x x x +⎧∈≤≤⎪⎪'=⎨⎪+∈≤≤⎪⎩N N 不能被整除能被整除，　，，　，将明文转换成密文，如1613266＝＋→即f 变为p ；52199＝+→即i 变为e ．按上述规定，明文good 的密文是，密文gawqj 的明文是．（10）对一切实数x ，所有的二次函数()()b a c bx ax x f <++= 2的值均为非负实数，则cb a ab ++-的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程．已知函数()a x x x x f ++=2cos cos sin 3（a 为常数）．（Ⅰ）求函数()x f 的最小正周期，并指出其单调减区间；（Ⅱ）若函数()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，　上恰有两个x 的值满足()2=x f ，试求实数a 的取值范围．如图，点P 是矩形ABCD 所在平面外一点且⊥PA 平面ABCD ，1==AB PA ，2=BC ．（Ⅰ）求证：平面⊥PDC 平面PAD ；（Ⅱ）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值；（Ⅲ）在BC 边上是否存在一点Q ，使得D 点到平面PAQ 的距离为1．若存在，求出BQ 的值；若不存在，请说明理由．如图，将一块直角三角形板ABO 放置于平面直角坐标系中，已知2==BO AB ，OB AB ⊥．点⎪⎭⎫ ⎝⎛211，　P 是三角板内一点，现因三角板中阴影部分（即△POB ）受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P 的任一直线MN 将三角板锯成AMN ∆，设直线MN 的斜率为k ．（Ⅰ）试用k 表示AMN ∆的面积S ，并指出k 的取值范围；（Ⅱ）试求S 的最大值．已知数列{}n a 的各项均为正数，且11=a ，当2≥n 时，都有121n n a a n -=+-，记1211n T a a =++ (1)na +．（Ⅰ）试求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：2<n T ；（Ⅲ）令111n n b a +=-，12n B b b =……n b ，试比较13n n -与n B 的大小．设定义在R 上的函数()e dx cx bx ax x f ++++=234，当1-=x 时，()x f 取得极大值32，并且函数()1-=x f y 的图象关于点()01，　对称．（Ⅰ）求()x f 的表达式；（Ⅱ）试在函数()x f 的图像上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎡⎣上；（Ⅲ）若212t t x -=，)133t ty -= ()t +∈R ，求证：()()43f x f y -<．\参考答案及评分标准一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．（1）B （2）A （3）C （4）A 二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．（5）44 （6）本小题答案不唯一，只要满足题设条件即为正确答案。

高二数学上学期竞赛试题 3(共8页)

一中2021-2021学年高二数学上学期竞赛(jìngsài)试题一选择题(每一小题5分，一共60分)1．等比数列的前n项和为，假设，那么公比A． B． 2 C． 3 D．2．，那么“〞是“〞的〔〕A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．是等差数列，，那么该数列的前14项的和〔〕A． 52 B． 104 C． 56 D． 1124．双曲线的焦点到渐近线的间隔为〔〕A． B． 1 C． D．5．函数，假设对任意，都有成立，那么实数x的取值范围为A． B． C． D．6．等比数列满足，且成等差数列．假设数列满足〔n∈N*〕，且，那么数列的通项公式〔〕A． B． C． D．7．抛物线上的点到焦点的间隔是,那么抛物线的方程为( ) A． B．C． D．8．假设曲线y＝a x在x＝0处的切线方程是xln 2＋y－1＝0那么a＝( )A． B． 2C． ln 2 D． ln9．点M为椭圆(tuǒyuán)上一点，椭圆的长轴长为，离心率，左、右焦点分别为F1、F2，其中B〔3，2〕，那么的最小值为〔〕A． B． C． D．10．将直角三角形沿斜边上的高折成的二面角，直角边，那么下面说法正确的选项是〔〕A．平面平面 B．四面体的体积是C．二面角的正切值是 D．与平面所成角的正弦值是11．在直角坐标系中，是椭圆的左焦点，分别为左、右顶点，过点作轴的垂线交椭圆于两点，连接交轴于点，连接交于点，假设是线段的中点，那么椭圆的离心率为〔〕A． B． C． D．12．在正方体中，点是侧面内的一动点，假设点到直线与到直线的间隔相等，那么动点的轨迹所在的曲线是〔〕A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线二填空题〔每一小题5分，一共20分〕13．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,假设，那么abc=____.14．假设抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，那么实数的值是_____________.15．函数(hánshù)__________________.16．实数且，那么的最小值为__________．三解答题〔第17题10分，其余每一小题12分，一共70分，请写出必要的解题步骤〕17．设复数.(1)当为何值时,是实数;(2)当为何值时, 是纯虚数.18．(1)求与椭圆有公一共焦点，并且离心率为的双曲线方程．(2)斜率为1的直线l过椭圆的右焦点F交椭圆于A、B两点，求弦AB的长．19．全集U＝R，非空集合〔1〕当a＝时，求〔2〕命题p：，命题q：，假设q是p的必要不充分条件，务实数a的取值范围。

高二数学竞赛试题

高二数学竞赛试题一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、满足条件}3,2,1{}1{= M 的集合M 的个数是（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个2、在直角三角形中两锐角为A 和B ，则sin A sin B（A ）有最大值12和最小值0 （B ）既无最大值也无最小值（C ）有最大值12，但无最小值（D ）有最大值1,但无最小值3、已知22cb ca >，则下列不等式一定成立的是（A ）a 2＞b 2 （B ）ln a ＞ln b （C ）a b 11> （D ）b )31(＞a )31( 4设→a 、→b 是两个非零向量，则(→a +→b)2=(→a )2+(→b )2是→a ⊥→b 的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 5、已知数列{n a }的通项公式为a n =2n －5，则|a 1|+|a 2|+…+|a 10|= （A ）68 （B ）65 （C ）60 （D ）566、方程|13|2+-x x x =132+-x xx 的解集是（A ）（－1，0）∪（3，+∞）（B ）（－1，0]∪[3，+∞)（C ）（－∞，－1）∪（0，3）（D ）（－∞，－1）∪[0，3]7、已知直线l 1，l 2关于直线y =x 对称，且l 1：y =ax ＋b （ab ≠0），则l 2的方程是（A ）x b y a a =+ （B ）x by a a =-（C ）xy b a=+（D ）x by a a=--8、已知cos(α－β)=35，sin β=－513，且α∈(0，2π)，β∈(－2π，0)，则sin α=（A ）6533 （B ）6563 （C ）－6533（D ）－6563 9、已知x 、y 满足,02323x y x y x y >⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩，则z =x +y 的最大值为（A ）23（B ）4 （C ）1 （D ）2 10、计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢2进1”如（1101）2 表示二进制数，将它转换成十进制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制数（位161111）2转换成十进制形式是（A ）217－2 （B ）216－2 （C ）216－1 （D ）215－1二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 11、等比数列{n a }中，a 4+a 6=3，则a 5（a 3+2a 5+a 7）= .12、设函数f （x ）=⎩⎨⎧+∞∈-∞∈-),1(,log ]1,(,281x x x x ，则满足f （x ）≥41的x 的取值范围为 .13、椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|－|PF 2|＝ .14、已知两个圆：x 2+y 2=1 ①；x 2+（y -3）2=1 ②，则由①式减去②式可得上述两个圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 .高二数学竞赛试题一、选择题题号 1 2 345678910答案二、填空题11、； 12、； 13、； 14、 .三、解答题：本大题共6小题共74分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．15、（本小题满分12分）解关于x 的不等式：211a x>-.16、（本小题满分12分）已知向量a ＝（21x ，x －4），向量b ＝（x ，23x ），x ∈[－4，5]（Ⅰ）试用x 表示a ·b ；（Ⅱ）求a ·b 的最大值，并求此时的cos<a 、b >.17、（本小题满分12分）已知点P 到两个定点)0,1( M 、)0,1(N 距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为2，求直线PN 的方程.18、（本小题满分12分）某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本.若每个蛋糕成本增加的百分率为x (0＜x＜1)，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x，已知日利润=（出厂价—成本）×日销售量，且设增加成本后的日利润为y.（Ⅰ）写出y与x的关系式；（Ⅱ）为使日利润有所增加，问x应在什么范围内？19、（本小题满分12分）已知f （x ）=1log 2231++++mx x q px x 。

高二数学竞赛试题

高二数学竞赛试题（共120分钟，共100分）一、选择题（每题4分,满分48分，）1.设集合22{8|},{29|}A a a N B b b N =+∈=+∈,若A B P =,则P 中元素个数为( )A.0B.1C.2D.至少3个2. 若函数f(x)的图像与函数ln 1y x =+的图像关于直线y x =对称，则()f x =( )A ．22-x eB ．2xe C ．21x e+ D ．22x e+3.点p （x,y ）在直线x+2y=3上移动，则24x y +的最小值是（）A 、6B 、8C 、32D 、424.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A ．172B ．3C ．5D ．925.设U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则A ⋂C U B=( )A.{x|0≤x ＜1}B.{x|0<x ≤1}C.{x|x ＜0}D.{x|x>1} 6. 如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63B.265 C. 155 D. 1057、若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则 7a =( )A ．12B ．13C ．14D ．158.在△ABC 中，角ABC 的对边分别为a 、b 、c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为（）A ．6πB ．3π C ．6π或56π D ．3π或23π9.为了得到函数)y=sin(2x-3π)的图像，可将函数y=sin2x 的图像（）A.向右平移6π个单位长度B.向右平移3π个单位长度 C.向左平移6π个单位长度 D.向左平移3π个单位长度10.m>n>0"是“方程mx 2+ny 2=1表示焦点在y 轴上的椭圆”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件11.函数f(x)=4x 2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是（）A.f(1)≥25B.f(1)=25C.f(1)≤25D.f(1)>25 12.若tan(α+β)=52,tan(α+4π）=223，则tan(β-4π)=( )-学校班级姓名考场座位号 --------密---------------封-------------------线--------------内-----------------不-----------------作-----------------答-------------------A.51B.41C.1813 D.2213 二、填空题（每题4分，满分20分） 13.已知函数()⎩⎨⎧<≤-≤≤-=.01,2,10,12x x x x f x则)]5.0([-f f 等于_______________.14.已知向量)1,3(=a ，),3,1(=b ),7,(k c =b c a //)(-，则k=____________.15.直线l 过点（-1，2）且与直线2x-3y+4=0垂直，则l 的方程是_________________________.16.设π3log =a ，3log 2=b ，2log 3=c ，则a,b ，c 的大小关系是____________________.17.数列｛a n }中，a 1=-41,a n =1-)2(11≥-n a n ,则a 2008=______________.三、解答题（此题满分32分，18-21每题6分，22题8分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

高二数学竞赛试题(新课标)

高二数学竞赛试题班别姓名分数（时间：100分钟；满分150分）一、选择题(共6小题；每小题6分；共36分)1、已知()x f 是奇函数；且对任意整数x 都有()()22-=+x f x f ；则()2006f = A ；2006 B ；2005 C ；0 D ；—20062、函数()sin(2)f x x =-的一个递增区间是A ；(,)24ππ--B ；(,)2ππ--C ；3(,2)4ππD ；(0,)4π 3、下列四个说法中；正确的是①；必然事件的概率为1； ②；概率为1的随机事件是必然事件； ③；不可能事件的概率为0； ④；概率为0的随机事件是不可能事件。

A ；①②③④ B ①③ C ；②④ D ；①②4、当02x π≤≤时；直线1y =与曲线cos y x =所围成的图形的面积是 A ；1 B ；2 C ；π D ；2π5、函数()log [1,2]x a f x a x =+在上的最大值与最小值之差为21a a -+；则的a 值为A ；2或21B ；2或4C ；21或4D ；26、若1sin sin =+y x ；则y x cos cos +的取值范围是A ；]2 ,2[-B ；]1 ,1[-C ；]3,0[D ；]3,3[- 二、填空题（共6小题；每小题9分；共54分)7、函数2()cos sin 1f x x x =-++的最大值是 .8、若n 是正整数；定义n ！=1×2×3×…×（n-1）×n ；设 m =1！+2！+3！+4！+…+2005！+2006！；则m 的末位数字为 .9、在一个半径为1的球内放置一个体积最大的正方体；再在正方体内放置一个表面积最大的圆锥；则这个圆锥的体积是 .10、已知在ABC ∆中；(1,1)AB =；(4,2)BC =-；则ABC ∆的面积等于 .11、抛掷两个骰子；所得两个点数之差的绝对值为2的概率等于 .12、焦点为1(1,1)F --；2(1,1)F ；离心率为2的椭圆方程为 . 三、解答题（共3小题；每小题20分；共60分）.13、已知向量(cos ,sin )a θθ=；(3,1)b =.（Ⅰ）当a b ⊥时；求tan 2θ；（Ⅱ）求||a b +的最大值.14、定义在(1,1)-上的函数()f x 满足：①；对任意,(1,1)x y ∈-都有()()()1x y f x f y f xy++=+； ②；当(1,0)x ∈-时；有()0f x >；（I ）；求(0)f 的值；并判断()f x 的奇偶性；（II ）；试判断()f x 的单调性；并证明你的结论.15、从1、2、3、4这4个数中任取两个数；求它们之积；共有6种情形：12⨯；13⨯；14⨯；23⨯；24⨯；34⨯.（I ）求各种积的概率；（II ）我们定义：“任两数之积的平均数”=1(12131423246⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 3534)6+⨯=；现从1、2、3、⋅⋅⋅n 这n 个数中任取两个数相乘；试求其 “任两数之积的平均数”的值. （参考公式：(1)122n n n +++⋅⋅⋅+=；222(1)(21)126n n n n ++++⋅⋅⋅+=； 3332(1)12[]2n n n +++⋅⋅⋅+=）参考答案：一、选择题(共6小题；每小题6分；共36分)1、C2、A3、B4、D5、A6、D二、填空题（共6小题；每小题9分；共54分)7、2 8、3 9 10、3 11、29 12、2233280x y xy +--= 三、解答题（共3小题；每小题20分；共60分）。

高二数学竞赛试题

高二数学竞赛试题（卷）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，将正确选项的序号填入答题框内）A ．(-∞, -1]B ．[1, +∞）C ．[-1，1]D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞）2、已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:||1[0,)3p a b πθ+>⇔∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>⇔∈13:||1[0,)3p a b πθ->⇔∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->⇔∈其中真命题是（A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p3、已知定义在R 上的奇函数()x f 和偶函数()x g 满足()()2+-=+-x x a a x g x f ()1,0≠>a a 且，若()a g =2，则()=2f （）A. 2B. 415C. 417D. 2a4、在∆ABC 中．222sin sin sin sinsin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是（）A ．（0，6π]B ．[ 6π，π）C ．（0，3π]D ．[ 3π，π）5、如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（）（A ）AC ⊥SB （B ）AB ∥平面SCD（C ）SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角（D ）AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角6、已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，C 的离心率为（A （B （C ） 2 （D ） 37、（陕西理5）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A ．283π-B ．83π-C ．82π-D ．23π8、已知O 是坐标原点，点A （-1,1）若点M （x,y ）为平面区域21y 2x y x +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，上的一个动点，则OA ·OM的取值范围是（）A ．[-1．0]B ．[0．1]C ．[0．2]D ．[-1．2]9、数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈．若则32b =-，1012b =，则8a =（）A ．0B ．3C ．8D ．1110、执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（）（A ）120 （B ） 720 （C ） 1440 （D ） 5040第Ⅱ卷（非选择题共60分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）11、观察下列等式1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第n 个等式为。

高二数学竞赛试题(选人)

高二数学竞赛试题姓名班级分数一、选择题：（5х10=50） 1．已知函数()|24|38()f x x x x R =--+∈，则()f x 的反函数1()f x -的解析式（）A ．1()4()f x x x R -=-+∈ B ．1112()()55f x x x R -=-+∈C ．14(2)()112(2)55x x fx x x --+≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩当时当时D ．14(2)()112(2)55x x fx x x --+≥⎧⎪=⎨-+<⎪⎩当时当时.2．等差数列{}k a 共有21n +项（*n N ∈）,其中所有奇数项之和为310，所有偶数项之和为300，则n 的值为（）A ．30B ．31C ．60D ．61. 3．设sin(sin 2007),sin(cos 2007),cos(sin 2007),a b c ===cos(cos 2007)d =则a 、b 、c 、d 的大小关系是（）A ．a b c d <<<B ．b a d c <<<C ．c d b a <<<D ．d c a b <<<. 4．如图1，半圆的直径4A B =，O 为圆心，C 是半圆上不同于A 、B 的任意一点.若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值为（） A ．2 B ．0 C ．-1 D ．-2.5．集合*44{(,)|log log 1,,}M x y x y x y N =+≤∈的子集共有（） A ．4个 B ．16个 C ．64个 D ．256个.6．设x ，y 都是整数，且满足22()xy x y +=+，则22x y +的最大可能值为（）A ．32B ．25C ．18D ．167．已知04k <<，直线1:280l kx k -+=和直222:24l x k y k +-40-=与两坐标轴围成一个四边形，则使四边形面积最小的k 的值为（）A ．2B ．12C ．14D ．18.8．已知函数32()log )f x x x =-，则对于任意实数a 、b （0a b +≠），33()()f a f b a b++的值（）A ．恒大于0B ．恒等于0C ．恒小于0D ．符号不确定. 9．对于非空集合A 、B ，定义运算：{|,A B x x A B x ⊕=∈∉ 且}A B 已知两个开区间(,),(,)M a b P c d ==，其中,,,a b c d 满足a b +,c d <+0,ab cd =<则M P ⊕等于（）A ．(,)(,)a b c dB ．(,)(,)a c b dC ．(,)(,)a d b cD ．(,)(,)c a d b . 10．定义在R 上的函数()f x 满足()0f x =,()(1)1,f x f x +-=()5xf =1()2f x ，且当1201x x ≤<≤时，12()()f x f x ≤，则1()2007f 等于（）A ．12B ．116C ．132D ．164.二、填空题：（4х5=20）11. 实数x 、y 满足tan x x =，tan y y =，且||||x y ≠，则sin()x y x y+-+sin()x y x y--的值等于 .12. 若实数x 、y 满足221x y +=，则21xy x y +-的最小是 .13. 定义：区间[]1212,()x x x x <的长度为21x x -.已知函数12|log |y x =的定义域为[],a b ，值域为[]0,2，则区间[],a b 长度的最大值与最小值的差为 .14. A B C 中，已知tan ,tan ,tan A B C 成等比数列，则B ∠的取值范围为 . 三、解答题：（共80分）15. 求函数[sin()sin()]sin()443y x x x πππ=+--+的最大值，并求取得最大值时x 值的集合.（15分）16. 设二次函数()f x 在区间[]1,4-上的最大值为12，且关于x 的不等式()0f x <的解集为区间()0,5.（15分）⑴ 求函数()f x 的解析式；⑵ 若对于任意的x R ∈，不等式(22cos )(1cos )f x f x m -<--恒成立，求实数m 的取值范围.17. 设0x >，0y >，n N *∈，求证：22111n n n n x y x y x y xy++≤+++.（15分）18. 如图2，在A B C 中，A B A C >，过点A 作A B C 的外接圆的切线，交BC 延长线于点D ，E 为A D 的中点，连结B E 交A B C 外接圆于点F . 求证：F A C F D A ∠=∠.（15分）19. 设集合{}(,,)|,,X a b c a b c Z =∈,f 是从X 到X 的映射，且满足：(,,)(,,)f a b c a b c ab bc ca abc =++++.试求所有的三元数组(,,)a b c ，使得((,,))(,,)f f a b c a b c =. (20分)。

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