正弦、余弦、正切函数的图象与性质

讲解新课：正弦、余弦函数的图象

（1）函数y=sinx 的图象：叫做正弦曲线

第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）.

第二步：在单位圆中画出对应于角6

,

0π

，

3π，2

π

,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.

第三步：连线.用光滑曲线把正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象．

根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.

把角x ()x R ∈的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象.

（2）余弦函数y=cosx 的图象：叫做余弦曲线 根据诱导公式,可以把正弦函数y=sinx 的图象向左平移

2

π

单位即得余弦函数y=cosx 的图象.

（3）

用五

点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：

正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (2

3π

,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是哪几个？(0,1) (

2π,0) (π,-1) (2

3π,0) (2π,1) 讲解范例：

例1 作下列函数的简图

(1)y=1+sinx ，x ∈[0，2π]， （2）y=-COSx

探究 如何利用y=sinx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到 （1）y ＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象； （2）y=sin(x- π/3)的图象？

y=cosx

y=sinx

π

2π

3π

4π

5π

6π-π

-2π-3π

-4π-5π

-6π-6π

-5π

-4π

-3π

-2π

-π

6π5π

4π

3π

2π

π

-1

1

y x

-11

o x

y

小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。

探究 如何利用y=cos x ，x ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y ＝-cosx ，

x ∈〔0，２π〕的图象？

小结：这两个图像关于X 轴对称。

探究 如何利用y=cos x ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y ＝2-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象？

小结：先作 y=cos x 图象关于x 轴对称的图形，得到 y ＝-cosx 的图象，

再将y ＝-cosx 的图象向上平移2个单位，得到 y ＝2-cosx 的图象。

讲解新课： 正弦、余弦函数的性质(一)

1．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有： f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

说明：y=sinx, y=cosx 的最小正周期为2 （一般称为周期）；从图象上可以看出sin y x =，x R ∈；cos y x =，

x R ∈的最小正周期为2π；

要点：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈的周期2||

T π

ω= 2、例题讲解：求下列函数的周期 例 y=sin(2x+

4

π)+2cos(3x-6π

)

解： y 1=sin(2x+

4

π) 最小正周期T 1=π y 2=2cos(3x-6π) 最小正周期 T 2=32π

∴T 为T 1 ,T 2的最小公倍数？ ∴T=？

例 y=|sinx|

解： T=π 作图

练习：求下列三角函数的周期： ①x y cos 3= ②x y 2sin =（3）12sin()2

6

y x π

=-，x R ∈．

讲解新课：正弦、余弦函数的性质(二)

1.奇偶性 ：从图象上可看出函数y=cosx 是偶函数， 函数y=sinx 是奇函数。

2.单调性：

正弦函数在每一个闭区间［－

2π＋2k π，2π

＋2k π］(k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1； 在每一个闭区间［2π＋2k π，2

3π

＋2k π］(k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.

余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；

在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.

π

-π 2π

3π

-π

3.有关对称轴：y=sinx 的对称轴为x=2

π

π+k k ∈Z ； y=cosx 的对称轴为x=πk k ∈Z

练习（1）写出函数x y 2sin 3=的对称轴； （2）)4

sin(π

+

=x y 的一条对称轴是（ ）

(A) x 轴， (B) y 轴， (C) 直线4

π

=

x ， (D) 直线4π

-

=x

4.例题讲解

例1 判断下列函数的奇偶性 (1)1sin cos ();1sin cos x x

f x x x

+-=

++ (2)2()lg(sin 1sin );f x x x =++

例2 函数f (x )＝sin x 图象的对称轴是 ；对称中心是 .

例3．P38面例3

例4 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0；

①)10sin()18

sin(π

π

-

--

②)4

17cos()523cos(ππ---

例5 求函数)321sin(2π

+=x y 的单调递增区间；

思考：你能求]2,2[)2

1

3sin(πππ-∈-=x x y 的单调递增区间吗？

讲解新课：正切函数的性质与图象 1．正切函数的图象，称“正切曲线”。

正切函数的性质 （1）定义域：⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧∈+≠

z k k x x ,2|ππ

； （2）值域：R 观察：当x 从小于()z k k ∈+2

π

π，2

π+π−→−k x 时，tan x −−

→+∞ 当x 从大于

()z k k ∈+ππ

2

，ππ

k x +−→−

2时，-∞−→−

x tan 。 （3）周期性：π=T ；：函数 的周

期T π

ω

=

（4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数；

π

-O

π

23-π

2π-2π

π2

3y

y

x

x

()()

tan 0,0y A x A ωϕω=+≠≠