高考数学第一轮.1046三角函数的图象
高考数学中的三角函数图像及解析式
高考数学中的三角函数图像及解析式在高中数学的学习中,三角函数是一个非常重要的概念之一,而三角函数的图像及解析式往往是高考数学中的常考的知识点之一。
在本文中,我们将详细地探讨三角函数的图像及解析式,帮助读者更好地掌握这一知识点,提高高考数学的成绩。
一、正弦函数的图像及解析式正弦函数是三角函数中最为基础的一个函数,其通式为:y = sin x正弦函数的图像为一条波形曲线,波峰和波谷交替出现,形状类似于一条弯曲的绳子或者水波。
正弦函数的图像以 y 轴为对称轴,且有一个最高点和最低点,最高点为(π/2,1),最低点为(3π/2,-1)。
而整张图像的周期为2π,也就是说函数在 x 轴上每隔2π 个单位长度就会重复一次。
二、余弦函数的图像及解析式余弦函数也是一个基础的三角函数,通式为:y = cos x余弦函数的图像也是一条波形曲线,波峰和波谷也是交替出现,但是与正弦函数的图像不同,余弦函数图像是以 x 轴为对称轴,它也有一个最高点和最低点,最高点为(0,1),最低点为(π,-1)。
余弦函数的周期也是2π。
三、正切函数的图像及解析式正切函数是三角函数中比较特别的一个函数,通式为:y = tan x正切函数的图像类似于一条斜率一直不断变大或变小的直线,它的图像在π/2 和3π/2 处有一个垂直渐近线。
除此之外,还有一个水平渐近线 y=0。
正切函数的周期为π。
四、余切函数的图像及解析式余切函数是正切函数的倒数,通式为:y = cot x余切函数的图像是一条波形曲线,它也有一个垂直和水平的渐近线。
余切函数的周期也是π。
总之,三角函数的图像及解析式是高考数学中的重要知识点,掌握这些知识不仅能够帮助我们在数学考试中取得好成绩,还能增进我们对数学知识的理解和掌握。
高考数学一轮复习 第3章《三角函数》三角函数的图象课件
∴φ=-ωx0=-
2
(3
2)=
3
.
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解法四:(平移法)
由图象知,将y=5sin
2 3
x的图象沿x轴向左平移
2
个单
位,就得到本题图象.故所求函数解析式为
y=5sin〔 2 ( x+ )〕=5sin( 2 x+ ).
3
2
33
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考点三 三角函数图象的对称性
已知函数y=sin2x+acos2x= 1 a2 sin(2x+φ)(其中
3
(2)由此题两种解法可见,在由图象求解析式时,
“第一个零点”的确定是重要的,应尽量使A取正值.
(3)已知函数图象求函数
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式时,常用的解题 方法是待定系数法,由图中的最大值或最小值确定A,由 周期确定ω,由适合解析式的点的坐标来确定φ,但由
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图象求得的y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式一般不唯 一,只有限定φ的取值范围,才能得出唯一解,否则φ的值不 确定,解析式也就不唯一.
学案3 三角函数的图象
考点分析
1. “五点法”作y=Asin(ωx+φ)(A>00,,ω,>,30)的,2简图
五点的取法是:设X=ωx+φ,由X取 2 2 来求相应的x值,及对应的y值,再描点作图.
2.变换作图法作y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的 图象
(1)振幅变换:y=sinx→y=Asinx 返回目录
以“五点法”中的第一零点(
,0)作为突破口,要从图
象的升降情况找准第一零点的位置.要善于抓住特殊量和特
2019届高考数学一轮复习 第四章 三角函数 解三角形 4-6 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及
3.函数 y=sinx 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0) 的图象的步骤
[温馨提示] 图象变换中的两个易错点
(1)平移的长度:图象左右平移是看“自变量 x”发生多大变
化,而不是看角“ωx+φ”的变化,在两种变换途径中,左右移
动的单位是不同的.如:把函数 y=sin2x 的图象向 左 平移
吃透教材 夯双基
填一填 记一记 厚积薄发
[知识梳理] 1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
2.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图 用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个 关键点,如下表所示:
[温馨提示] 用五点法画 y=Asin(ωx+φ)的图象时,五个关 键点的横坐标不是 0,π2,π,32π,2π,而是令 ωx+φ 取上述五个 值,得到的相应 x 的值.
[解析] 易知 C1:y=cosx=sinx+2π,把曲线 C1 上各点的横 坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,得到函数 y=sin2x+2π的图 象,再把所得函数的图象向左平移1π2个单位长度,可得函数 y= sin2x+1π2+π2=sin2x+23π的图象,即曲线 C2,故选 D.
[答案] D
函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象作法 (1)五点法:用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是 通过变量代换,设 z=ωx+φ,由 z 取 0,π2,π,32π,2π 来求出相 应的 x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象.若 x 给定区间,则需要列出 ωx+φ 的端点值再画图或画出整个图象后 再擦去不符合条件的图象.
π 12
个单位长度得到函数 y=sin2x+6π的图象.
高考数学一轮复习三角函数的图象与性质课件理
基础诊断 考点突破
课堂总结
(3)将函数 f(x)=sin ωx 的图象向右平移4π个单位长度得到函数 y
=sinωx-π4的图象,因为所得图象经过点34π,0,则 sin
ω 2π
=0,所以ω2 π=kπ(k∈Z),即 ω=2k(k∈Z),又 ω>0,所以 ωmin
=2.
答案 (1)A (2)C (3)2
.
基础诊断 考点突破
课堂总结
(2)设 t=sin x-cos x,则 t2=sin2x+cos2x-
2sin xcos x,sin xcos x=1-2 t2,且- 2≤t≤ 2. ∴y=-t22+t+12=-12(t-1)2+1.
当 t=1 时,ymax=1; 当 t=- 2时,ymin=-12- 2.
基础诊断 考点突破
课堂总结
考点一 三角函数的定义域、值域
【例 1】 (1)函数 y=tan 1x-1的定义域为______________.
(2)函数 y=2sinπ6x-π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为
()
A.2- 3
B.0
C.-1
D.-1- 3
基础诊断 考点突破
课堂总结
tan x-1≠0, 解析 (1)要使函数有意义,必须有x≠π2+kπ,k∈Z, 即xx≠≠π4π2++kkππ,,kk∈∈ZZ,. 故函数的定义域为{x|x≠π4+kπ 且 x≠π2+kπ,k∈Z}.
msin ω2xcosω2x在区间-3π,π3上单调递增,则 ω 的取值范围是
()
A.0,23
B.0,32
C.3堂总结
解析 (1)由 f(x)=sin2x+sin xcos x
()
π A.2
[精]高三第一轮复习全套课件4三角函数:三角函数的图像和性质
2)依题意,周期 T≤
1 150
,即
*
2 6
≤
, >0) (ω
150
∴ ω ≥300π >942,又ω ∈N , 故最小正整数ω =943.
点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言.其中,读图、识图、 用图是形数结合的有效途径.
例 5 (1)y=cosx+cos(x+ (2)y=2sin(3x-
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4π 3
+ ) ,
4π 3
+ )=cos(x+
4π 3
4π 3
+ ) ,
4π 3
4π 3
+ ) +sinxsin (
+ ) =cosxcos (
3 1
得 y= sinx 的图象;
3
1
(3)再将 y= sinx 图象上各点的纵坐标扩大为原来的 3 倍(横坐标不
3
1
变) ,即可得到 y=sinx 的图象
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分析:求函数的定义域: (1)要使 0≤cosx≤1, (2)要使 sin(cosx) >0,这里的 cosx 以它的值充当角
π 4
π 3
)的最大值是_______;
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三角函数的图象PPT
交流电的电压和电流是时间的三角函数,用于产生和 传输电力。
波动
在声学、电磁学等领域,波的传播和变化可以用三角 函数来描述。
在工程中的应用
机械振动
在机械工程中,三角函数用于模 拟和分析各种振动现象,如桥梁 振动、汽车悬挂系统等。
控制系统
在航空、航天、化工等领域,控 制系统中的信号处理和反馈控制 算法常常用到三角函数。
信号处理
在通信、雷达、声呐等领域,信 号的调制和解调常常涉及到三角 函数的应用。
在数学其他分支中的应用
微积分
01
在微积分中,三角函数用于求解微分方程、积分方程等数学问
题。
线性代数
02
在矩阵运算和特征值求解中,三角函数也经常被用到。
复数分析
03
在复数分析中,三角函数用于表示复数的三角形式,以及处理
与之相关的数学问题。
三角函数的周期性
周期性定义
三角函数的周期性是指函数值按照一 定的规律重复出现的现象。对于正弦 和余弦函数,其周期为360度或2π弧 度。
周期计算
对于正弦和余弦函数,其周期T=2π; 对于正切函数,其周期T=π。
三角函数的奇偶性
奇偶性定义
三角函数的奇偶性是指函数值在原点两侧是否对称的现象。奇函数在对称轴两侧的值互为相反数,偶函数在对称 轴两侧的值相等。
横向伸缩变换
总结词
在x轴方向上伸缩函数的图像。
详细描述
对于函数y=sin(x),若图像在x轴方向上压缩为原来的k倍,则新的函数为y=sin(kx); 若图像在x轴方向上拉伸为原来的k倍,则新的函数为y=sin(kx)。
纵向伸缩变换
总结词
在y轴方向上伸缩函数的图像。
详细描述
g3.1046三角函数的图象
g3.1046三角函数的图象一、知识回顾(一)熟悉.三角函数图象的特征:y =tanx y =cotx(二)三角函数图象的作法: 1.几何法(利用三角函数线)2. 描点法:五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正、余切曲线).3.利用图象变换作三角函数图象.三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等,重点掌握函数y =Asin (ωx +φ)+B 的作法.函数y =Asin (ωx +φ)的物理意义:振幅|A|,周期2||T πω=,频率1||2f Tωπ==,相位;x ωϕ+初相ϕ(即当x =0时的相位).(当A >0,ω>0 时以上公式可去绝对值符号),(1)振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换.(用y/A 替换y )由y =sinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当0<|A|<1)到原来的|A|倍,得到y =Asinx 的图象.(2)周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换.(用ωx 替换x)由y =sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|ω|<1)或缩短(|ω|>1)到原来的1||ω倍,得到y =sin ω x 的图象.(3)相位变换或叫做左右平移.(用x +φ替换x)由y =sinx 的图象上所有的点向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平行移动|φ|个单位,得到y =sin (x +φ)的图象.(4)上下平移(用y+(-b)替换y )由y =sinx 的图象上所有的点向上(当b >0)或向下(当b <0)平行移动|b |个单位,得到y =sinx +b 的图象.注意:由y =sinx 的图象利用图象变换作函数y =Asin (ωx +φ)+B (A >0,ω>0)(x ∈R )的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延x 轴量伸缩量的区别。
二、基本训练1、为了得到函数)63sin(π+=x y 的图象,只需把函数x y 3sin =的图象 ( )A 、向左平移6π B 、向左平移18π C 、向右平移6π D 、向右平移18π2、函数|2|sin 2)(π-=x x f 的部分图象是 ( )3、函数)cos (sin cos 2x x x y +=的图象一个对称中心的坐标是 ( )OO2 2ABA 、)0,83(π B 、)1,83(π C 、)1,8(π D 、)1,8(--π4、(00)函数y=-xcosx 的部分图象是5、已知函数a x x x f -++-=1cos 4sin 4)(2,当]32,4[ππ-∈x 时)(x f =0恒有解,则a 的范围是______。
高三复习-三角函数的图像和性质PPT课件
∴当 x=π3时,取最大值.∴π3ω=π2,∴ω=32.∴选 C.
答案:C
考点1 三角函数的定义域 三角函数的定义域是研究其他一切性 质的前提,求三角函数的定义域事实上就是 解最简单的三角不等式(组),通常可用三角 函数的图象或三角函数线来求解,注意数形 结合思想的应用.
例 1: (1)求函数 y=lg(sinx-cosx)的定义域; (2)求函数 y= sinx+ 16-x2的定义域.
考纲要求
考情分析
1.能画出y=sinx,y
=cosx,y=tanx的图 从近两年的高考试题来看,
象,了解三角函数的 三角函数的周期性、单调性、
周期性.
最值等是高考的热点,题型既
2.理解正弦函数、 有选择题、填空题,又有解答
余弦函数在区间
题,难度属中低档,常与三角
[0,2π]上的性质(如单 恒等变换交汇命题,在考查三
例 4 已知函数 f(x)=2sin4xcos4x-2 3sin24x+ 3, (1)求函数 f(x)的最小正周期及最值; (2)令 g(x)=f(x+π3),判断函数 g(x)的奇偶性,并说明理由.
【分析】 (1)先化简函数f(x)为Asin(ωx+φ)的形式,然后依据 公式求周期,利用sinx的有界性求最值.(2)化简g(x),再用定义判断g(x) 的奇偶性.
又 g(x)=f(x+π3),
∴g(x)=
2sin[12(x+π3)+π3]=
x 2sin( 2
+π3 ) = 2cos 2x .∵
g(-x)=
2cos(-2x )
=2cos2x=g(x),
∴函数 g(x)是偶函数.
求三角函数的周期时,要先对解析式进行化简,化为 y=Asin(ωx+ φ)或 y=Atan(ωx+φ)的形式,再利用公式 T=|2ωπ|或 T=|ωπ|求解.有时也 可根据函数的图象,通过观察求得周期.
高考数学第一轮考点三角函数的图像与性质复习课件
解之,得-6<m<1.
1.用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的图象关键是五个点 π 3π 的选取,一般令 ωx+φ=0,2,π, 2 ,2π,即可得到绘图所 T 需的五个点的坐标,其中 x 的取值依次成等差数列,公差为 . 4 同时,若要求画出给定区间上的函数图象时,应适当调整 ωx +φ 的取值,以便列表时能使 x 在给定的区间内取值.
5.利用三角函数的单调性比较大小时,往往是 利用奇偶性、周期性或诱导公式转化为同一单 调区间上的两个同名函数值,再用单调性比 较. 6.求三角函数的值域或最值时,通常是把函数 式恒等变形为一个角的一种三角函数的形式, 如y=Asin(ωx+φ),或者利用换元法转化为二 次函数的最值问题,但都应特别注意x的取值范 围对三角函数值的限制,不能机械地套用三角 函数的有界性.
3 5.已知 y=a-bcos3x(b>0)的最大值为2,最小值为-
1 , 求函数 y =- 4 a sin(3 bx ) 的周期、 最值及取得最值时的 x , 2 并判断其奇偶性.
【例1】 已知函数f(x)=cos2x-2sinxcosx-sin2x. (1)在给定的坐标系中,作出函数f(x)在区间[0,π] 上的图象. (2)求函数f(x)在区间[- ,0]上的最大值和最小 值.
2
思路分析: (1)式可以看做关于sinx的二次函数, 故可以用配方法解决,需要注意 sinx的有界性; (2)式切化弦后不好处理,结合式 子特点,可把1换成sin2x+cos2x, 统一为关于tanx的二次函数求最 值,这里要注意x有范围限制,可 由其确定tanx的取值范围.
5 32 解:(1)y=-sin x+ 3sinx+ =-(sinx- ) +2,因为 4 2 3 π 2π -1≤sinx≤1, 所以当 sinx= 2 , 即 x=2kπ+3或 2kπ+ 3 , k∈Z 时,ymax=2; π 1 当 sinx=-1,即 x=2kπ-2,k∈Z 时,ymin=4- 3.
高考数学一轮复习三角函数的图象与性质
=-2cos
x+342+187,-1≤cos
x≤1,
∴当cos x=1时,f(x)有最小值-4.
(3)函数y=sin x-cos x+sin xcos x的值域为__-__1_+__22___2_,__1_ _.
设t=sin x-cos x,则t2=sin2x+cos2x-2sin x·cos x,
f(x)=sinπ3-2x的单调递减区间是 f(x)=sin2x-π3的单调递增区间. 由 2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,k∈Z, 得 kπ-1π2≤x≤kπ+51π2,k∈Z. 故所给函数的单调递减区间为kπ-1π2,kπ+152π,k∈Z.
延伸探究 若函数不变,求在[0,π]上的单调递减区间.
_π_ 奇函数
单调递增区间 _2_k_π_-__2π_,__2_k_π_+__2π__ _[_2_kπ_-__π_,__2_k_π_]_ _k_π_-__π2_,__k_π_+__π2__
单调递减区间 __2_kπ_+__2π_,__2_k_π_+__3_2π__ _[_2_k_π_,__2_kπ_+__π_]_
C.f x-1π2为奇函数
√D.f(x)的图象关于直线 x=1112π对称
因为函数 f(x)= 3sin2x-π3, 所以 f(x)的最大值为 3,A 正确; 最小正周期 T=22π=π,B 正确; f x-1π2= 3sin2x-1π2-π3= 3sin2x-π2=- 3cos 2x 为偶函数,
递增,则实数 a 的最大值为
√A.π3
π B.2
2π C. 3
D.π
函数 f(x)=cosx-π3的单调递增区间为-23π+2kπ,π3+2kπ(k∈Z), 而函数f(x)又在[-a,a]上单调递增,
高三数学三角函数的图象1
6
3
13
3
例3.[P59例2] 试述如何由
y
1 sin(2x
)
3
3
的图象得到y=sinx的图象
3.由图象写解析式或由解析式作图 例4:如图,为某三角函数图象的一段 (1)用正弦函数写出其中一个解析式;
(2)求与这个函数关于直线 x 2 对称的函
数解析式,并作出它一个周期内简图。
3
13
3
3
-3
一般薪水高或者实力强、职位高级的岗位可是大学生青睐的,所以投递个人简历到此类岗位的人也是相当多的,这也是热门岗位形成的根本原因。但是如果大学生疯狂追逐此类岗位而忽视了自身 不会导致花费了时间却最终一无所获?想要在较短时间找到一份较适宜的工作可不能只盯住企业看,企业好而你有没有这个实力应聘地上可是关键。 为此制定个人简历目标得将企业和自身这两个因素都考虑上才行,企业再优秀而自己相差甚远还有什么希望获取成功吗?当然这不是说求职者就不能投简历给一些超出自己实力过多的岗位,你可 是你不能将自己的主要精力用在这方面。也就是说在概率过小的地方投入过多精力的做法是不可取的,而应该将主要精力用在和自己实力匹配的岗位上,如此才能尽快找到一份适合自己的工作。 即使你投个人简历被某个优秀企业选中,而后让你从事自己无法胜任或者短期时间内无法胜任的工作,你自己做得也不舒服而且还会遭到企业的解雇,要知道不是国有单位那可不会容得下你这样 作的人,私企和外企是不可能白养你的。 所以一句自己的实力投个人简历找到一份适宜的工作,脚踏实地地从基础工作干起使得你的基础变得扎实,这样日后你有足够的实力去应聘优秀的企业,还可以在和对方的面试当中占据主动性, 实力过于羸弱还如何索要高额薪水?你实力强那么就可以将薪水提高一些,所以说为了长远一定不能浮躁。 排烟风数 y sin4 x 2 3 sin xcos x cos4 x
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 三角函数的图像与性质课件 理 北师大版.ppt
2.(必修4P33练习T4改编)下列关于函数y=4cos x,x∈[-π,π]的单调性的叙述,正
确的是
()
A.在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数
B.在 [-,上]是增函数,在
22
[-及,- ]上是减[ 函,数]
2
2
C.在[0,π]上是增函数,在[-π,0]上是减函数
D.在 [ ,及] [-上,是-增 ]函数,在
提示:(1)×.余弦函数y=cos x的对称轴有无穷多条,y轴只是其中的一条.
(2)×.正切函数y=tan x在每一个区间 (k-,(kk∈+Z))上都是增函数,
2
2
但在定义域内不是单调函数,所以不是增函数.
(3)×.当k>0时,ymax=k+1;当k<0时,ymax=-k+1. (4)√.
必备知识·自主学习
4
4
即x=3+2kπ(k∈Z).
4
答案:5 3+2kπ(k∈Z)
4
核心素养·微专题
思想方法 数形结合思想在解决三角函数图像与性质问题中的应用
【典例】(2019·东营模拟)已知函数f(x)=cos xsin x(x∈R),给出下列四个命
题:
①若f(x1)=-f(x2),则x1=-x2;
②f(x)的最小正周期是2π;
必备知识·自主学习
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)余弦函数y=cos x的对称轴是y轴. ( ) (2)正切函数y=tan x在定义域内是增函数. ( ) (3)已知y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值为k+1.( ) (4)y=sin |x|是偶函数. ( )
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高考数学 第4节 三角函数的图象课件
第十二页,共40页。
描点,作出以上各点
用平滑曲线连接各点,得 y=3sin(12x-π4)在[0,4π]的图象. (2)y=3sin(12x-π4)的周期 T=4π. 振幅为 3,初相为-π4.
第十三页,共40页。
(1)当画函数 y=Asin(ωx+φ)在 x∈R 上的图象时,一般令 ωx+φ=0,π2,π,32π,2π,即 可得到所画图象的特殊点坐标.
+π6)的图象(
)
(A)向左平移π4个单位长度
(B)向右平移π4个单位长度
(C)向左平移π2个单位长度
(D)向右平移π2个单位长度
思路点拨:先确定平移的方向,再把原函数和新函数的解析式变形,从而得到平移的单
位数.
解析:∵y=sin(2x-π3)=sin[2(x-π6)],y=sin(2x+π6)=sin[2(x+1π2)],
第六页,共40页。
1.函数 y=sin(2x-π3)在区间[-π2,π]的简图是( A )
解析:当 x=-π2时,y= 23>0,排除 B 和 D,又当 x=π6时,y=0,排除 C,故选 A.
第七页,共40页。
2.(2010 年高考四川卷)将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平行移动1π0个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( C )
第二十一页,共40页。
【例 1】 (2010 年合肥模拟)将函数 y=sin(2x+π3)的图象上各点向右平移π6个单位长度, 再把每一点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标保持不变,所得函数图象的一条对称轴是 ()
(A)x=π8 (B)x=π6 (C)x=π3 (D)x=π2 解析:依题意知变换图象后所得图象对应函数的解析式为 y=sin 4x,令 4x=kπ+π2,k∈ Z,则 x=k4π+π8,k∈Z.将各选项代入验证可知只有 A 符合,故选 A.
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g3.1046三角函数的图象一、知识回顾(一)熟悉.三角函数图象的特征:y =tanxy =cotx(二)三角函数图象的作法: 1.几何法(利用三角函数线)2. 描点法:五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正、余切曲线).3.利用图象变换作三角函数图象.三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等,重点掌握函数y =Asin (ωx +φ)+B 的作法.函数y =Asin (ωx +φ)的物理意义:振幅|A|,周期2||T πω=,频率1||2f Tωπ==,相位;x ωϕ+初相ϕ(即当x =0时的相位).(当A>0,ω>0 时以上公式可去绝对值符号), (1)振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换.(用y/A 替换y )由y =sinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当0<|A|<1)到原来的|A|倍,得到y =Asinx 的图象.(2)周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换.(用ωx 替换x )由y =sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|ω|<1)或缩短(|ω|>1)到原来的1||ω倍,得到y =sin ω x的图象.(3)相位变换或叫做左右平移.(用x +φ替换x )由y =sinx 的图象上所有的点向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平行移动|φ|个单位,得到y =sin (x +φ)的图象.(4)上下平移(用y+(-b)替换y )由y =sinx 的图象上所有的点向上(当b >0)或向下(当b <0)平行移动|b |个单位,得到y =sinx +b 的图象.注意:由y =sinx 的图象利用图象变换作函数y =Asin (ωx +φ)+B (A >0,ω>0)(x ∈R )的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延x 轴量伸缩量的区别。
二、基本训练1、为了得到函数)63sin(π+=x y 的图象,只需把函数x y 3sin =的图象 ( )A 、向左平移6πB 、向左平移18πC 、向右平移6π D 、向右平移18π2、函数|2|sin 2)(π-=x x f 的部分图象是 ( )3、函数)cos (sin cos 2x x x y +=的图象一个对称中心的坐标是 ( )A 、)0,83(πB 、)1,83(πC 、)1,8(π D 、)1,8(--π4、(00)函数y=-xcosx 的部分图象是5、已知函数a x x x f -++-=1cos 4sin 4)(2,当]32,4[ππ-∈x 时)(x f =0恒有解,则a 的范围是______。
6、方程)3sin(||lg π+=x x 有___个实数根。
三、例题分析例1、已知函数)32sin(2π+=x y 。
(1)求它的振幅、周期和初相; (2)用五点法作出它的图象;(3)说明)32sin(2π+=x y 的图象可由x y sin =的图象经过怎样的变换而得到?例2、把函数x x y sin cos 3-=的图象向左平移)0(>m m 个单位,所得的图象关于y 轴对称,求m 的最小值。
例3、如图为)sin(ϕω+=x A y (0,0,||)2A πωϕ<><的图象的一段,求其解析式。
OO2 2AB例4、受日月的引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐,在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;缺货后落潮时返回海洋。
某港口水的深度y (米)是时间t (240≤≤t ,单位:时)的函数,记作)(t f y =,下面是该港口在某季节每天水深的数据:经长期观察,(1) 根据以上数据,求出函数)(t f y =的近似表达式;(2) 一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可),某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米。
如果该船想在同一天内安全进出港,问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?例5.(00) 已知函数(I )当函数y 取得最大值时,求自变量x 的集合;(II )该函数的图象可由y=sinx (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?四、作业 同步练习g3.1046三角函数的图象1、若函数)sin(3)(ϕω+=x x f 对任意实数x ,都有)4()4(x f x f -=+ππ,则)4(πf 等于A 、0B 、3C 、-3D 、3或-32、把函数)32cos(3π+-=x y 的图象向右平移)0(>m m 个单位,设所得图象的解析式为)(x f y =,则当)(x f y =是偶函数时,m 的值可以是A 、3πB 、6πC 、4πD 、12π3、(05福建卷)函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图,则 A .4,2πϕπω==B .6,3πϕπω==C .4,4πϕπω==D .45,4πϕπω==4、(05天津卷)函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示,则函数表达式为)(A ))48sin(4π+π-=x y (B ))48sin(4π-π=x y(C ))48sin(4π-π-=x y (D ))48sin(4π+π=x y5、函数)62sin(3π+=x y 与y 轴距离最近的对称轴是______.6、将函数)(sin )(R x x x f y ∈⋅=的图象向右平移4π个单位后,再作关于x 轴的对称变换,得到函数x y 2sin 21-=的图象,则)(x f 可以是_______。
7、给出下列命题:①存在实数α,使1cos sin =αα;②存在实数α,使23cos sin =+αα;③)225sin(x y -=π是偶函数;④8π=x 是函数)452sin(π+=x y 的一条对称轴方程;⑤若α、β是第一象限角,且αβ>,则βαtan tan >。
其中正确命题的序号是_______。
(注:把你认为正确命题的序号都填上)8、(05上海卷)函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点,则k 的取值范围是__________。
9、(05湖南卷)设函数f (x )的图象与直线x =a ,x =b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ,b]上的面积,已知函数y =sinn x 在[0,nπ]上的面积为n 2(n ∈N * ),(i )y =sin3x 在[0,32π]上的面积为 34 ;(ii )y =sin (3x -π)+1在[3π,34π]上的面积为 .10、已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=。
(1)求它的振幅、周期和初相; (2)用五点法作出它的图象;(3)说明)cos (sin sin 2)(x x x x f +=的图象可由x y sin =的图象经过怎样的变换而得到?11、若函数)(x f y =的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍,然后将所得图象先向左平移2π 个单位,再向下平移1个单位,得到的曲线与x y cos 21=的图象相同,求)(x f y =的表达式。
12、函数)2||,0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 在)32,0(π∈x 内只取到一个最大值和一个最小值,且当12π=x 时,函数的最大值为3,当127π=x 时,函数的最小值为-3,试求此函数的解析式。
13、设函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><,给出以下四个论断:①它的图象关于直线12π=x 对称;②它的图象关于点)0,3(π对称; ③它的周期是π; ④它在区间]0,6[π-上是增函数。
以其中的两个论断作为条件,余下的两个论断作为结论,写出你认为正确的两个命题,并对其中一个命题加以证明。
参考答案:基本练习:1、B 2、C 3、B 4、D 5、[-4, 5] 6、6例题分析:例1(1)振幅2,周期π,初相3π;(2)略;(3)把x y sin =的图象上所有的点左移3π个单位,得到)3sin(π+=x y 的图象,再把)3sin(π+=x y 的图象上的点的横坐标缩短到原来的21(纵坐标不变),得到)32sin(π+=x y 的图象,最后把)32sin(π+=x y 图象上点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到)32sin(2π+=x y 的图象 例2、65π例3、)3y x π=+ 例4(1) 3sin 10(024)6y t t π=+≤≤;(2) 该船最早能在凌晨1时进港,下午17时出港,在港口至多停留16小时 作业:1—4、DBCA5、直线6x π= 6、()2cos f x x = 7、③④ 8、13k << 9、32+π10、振幅2,周期π,初相3π;(2)略;(3)把x y sin =的图象上所有的点右移4π个单位,得到sin()4y x π=-的图象,再把sin()4y x π=-的图象上的点的横坐标缩短到原来的21(纵坐标不变),得到sin(2)4y x π=-的图象,然后最把sin(2)4y x π=-图象上点的纵坐标伸长到原来的,得到)4y x π=-的图象,最后把)4y x π=-的图象向上平移1个单位,即可得到)14y x π=-+的图象,即)cos (sin sin 2)(x x x x f +=的图象11、1sin 212y x =+ 12、)32sin(3π+=x y13、①③⇒②④;②③⇒①④。