绝对值不等式的解法同解性探索与证明
绝对值不等式求解方法
绝对值不等式求解方法宝子们，今天咱们来唠唠绝对值不等式的求解方法呀。
那啥是绝对值不等式呢？简单说就是不等式里有绝对值符号的式子。
比如说x - 3>5这种。
对于绝对值不等式x>a（a>0）这种类型的，它的解就是x>a或者x< - a。
就像刚刚说的x - 3>5，那咱就把x - 3看成一个整体，就得到x - 3>5或者x - 3< - 5。
解这俩小不等式，第一个得到x>8，第二个得到x< - 2，这就是答案啦。
再说说x<a（a>0）这种类型的，它的解就是 - a<x<a。
比如说2x + 1<3，那就是- 3<2x + 1<3。
咱先解左边的 - 3<2x + 1，移项得到 - 4<2x，也就是x> - 2；再解右边的2x + 1<3，移项得到2x<2，也就是x<1。
所以这个绝对值不等式的解就是 - 2<x<1。
要是遇到那种绝对值里有式子，外面还有系数的，像2x - 1>4。
咱先把系数除掉，两边同时除以2，就变成x - 1>2，然后就按照前面的方法解就好啦，得到x>3或者x< - 1。
还有那种两边都有绝对值的，比如x - 2 = 3x + 1。
这时候呢，就有两种情况，一种是x - 2 = 3x + 1，还有一种是x - 2 = - (3x + 1)。
解第一个方程，移项得到- 2x = 3，x = - 3/2；解第二个方程，x - 2 = - 3x - 1，移项得到4x = 1，x = 1/4。
这两个值就是这个等式的解啦。
宝子们，绝对值不等式其实没那么可怕，只要把这些基本的类型和方法搞清楚，多做几道题练练手，就肯定能掌握的。
加油哦，数学小天才们！。
高考数学含绝对值的不等式的解法
三 灵与肉
我站在镜子前，盯视着我的面孔和身体，不禁惶惑起来。我不知道究竟盯视者是我，还是被 盯视者是我。灵
魂和肉体如此不同，一旦相遇，彼此都觉陌生。我的耳边响起帕斯卡尔的话 语：肉体不可思议，灵魂更不可思议，最不可思议的是肉体居然能和灵魂结合在一起。 人有一个肉体似乎是一件尴尬事。那个丧子的母亲终于停止哭泣，端起饭碗，因为她饿了。 那个含情脉脉的姑娘不得不离
您一定愿意静静地听这个生命说：'我愿意静静地听您说话…… '我从不愿把您想像成一个思想家或散文家，您不会为此生气吧。 "也许再过好多年之后，我已经老了，那时候，我相信为了年轻时读过的您的那些话语，我 要用心说一声：谢谢您!" 信尾没有落款，只有这一行字："生
命本来没有名字吧，我是，你是。"我这才想到查看信 封，发现那上面也没有寄信人的地址，作为替代的是"时光村落"四个字。我注意了邮戳， 寄自河北怀来。
高三第一轮复习
含绝对值不等式的解法
1、绝对值的意义： 其几何意义是数轴的点A（a）离开原点的距离
OA a
a, a 0
a
0,
a
0
a, a 0
2、含有绝对值不等式的解法： （解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号）
（1）定义法； （2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝
卡尔的话：肉体是奇妙的，灵魂更奇妙，最奇妙的是肉体居然能和灵魂 结合在一起。
四 动与静
喧哗的白昼过去了，世界重归于宁静。我坐在灯下，感到一种独处的满足。 我承认，我需要到世界上去活动，我喜欢旅行、冒险、恋爱、奋斗、成功、失败。日子过得
平平淡淡，我会无聊，过得冷冷清清，我会寂寞。但是，我更需要宁静的独处，更喜欢过一 种沉思的生活。总是活得轰轰烈烈热热闹闹，没有时间和自己待一会儿，我就会非常不安， 好像丢了魂一样。 我身上必定有两个自我。一个好动，什么都要尝试，什么都想经历。另一个喜静，
绝对值不等式的解法有哪些
绝对值不等式的解法有哪些绝对值不等式是数学知识，那么绝对值不等式的解法有哪些呢?为了更好的帮助大家。
下面是由小编为大家整理的“绝对值不等式的解法有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。
绝对值不等式的解法有哪些通解一般是数轴标根法，也是一般情况下最快的方法。
在数轴上把使绝对值为零的点都标出来，根据绝对值的几何意义，绝对值表示的是两点间的距离(当然就为正了)，以此解题。
比如|x-3|+|x-6|>5,如果x在3和6之间，那么x到3的距离加上x到6的距离就只能是6-3=3，而5-3=2，2/2=1，故答案应为x<3-1=2或者x>6+1=7，即(x<2)||(x>7)。
也可以用零点分段法，也是在数轴上将使式中绝对值为零的点都标出，然后不用几何意义，而是分段讨论。
把每个绝对值项展开，然后化为普通不等式，将求得的解集与你所分的这一段取交集，得到x在此段的解集(比如在-1还有就是平方法了。
不过这种方法在式中存在多个不等式项时不好使，一般情况下不推荐使用。
比如，你的不等式原来有3项，平方后就成了3*3=9项，使计算复杂化了。
拓展阅读：绝对值有哪些性质(1)任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数,这是绝对值的非负性.(2)绝对值等于0的数只有一个,就是0.(3)绝对值等于同一个正数的数有两个,这两个数互为相反数.(4)互为相反数的两个数的绝对值相等.绝对值七个性质(1)任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性。
(2)绝对值等于0的数只有一个，就是0。
(3)绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数。
(4)互为相反数的两个数的绝对值相等。
绝对值等式、不等式：(6)|a|*|b|=|ab|(7)|a|/|b|=|a/b|(b≠0)(8)a^2=|a|^2(9)|x|-|y|<=|x+y|<=|x|+|y|。
绝对值与不等式的解法
绝对值与不等式的解法绝对值和不等式是高中数学中重要的概念和解题方法。
绝对值常常出现在不等式中，对于解决这类问题，我们需要掌握一些基本的解法和技巧。
本文将介绍绝对值与不等式的解法，包括绝对值不等式和绝对值方程两个方面。
一、绝对值不等式的解法绝对值不等式是指形如|f(x)| ≤ g(x)，或|f(x)| ≥ g(x) 这样的数学不等式。
解决这类问题的关键在于将绝对值不等式转化为不等式组或分段函数。
下面以一个具体的例子来说明解答绝对值不等式的步骤。
例题：解不等式 |2x - 3| ≤ 5首先，我们需要根据绝对值的定义进行分情况讨论。
当 2x - 3 ≥ 0 时，|2x - 3| = 2x - 3；当 2x - 3 < 0 时，|2x - 3| = -(2x - 3)。
针对每一种情况，我们可以得到以下两个不等式：当 2x - 3 ≥ 0 时，2x - 3 ≤ 5，解得x ≤ 4；当 2x - 3 < 0 时，-(2x - 3) ≤ 5，解得x ≥ -1。
因此，综合两种情况的解集，得到最终的解为 -1 ≤ x ≤ 4。
二、绝对值方程的解法绝对值方程是指形如 |f(x)| = g(x) 的方程。
解决这类问题的关键在于将绝对值方程转化为分段函数，并通过分析不同情况求解。
下面以一个具体的例子来说明解答绝对值方程的步骤。
例题：解方程 |4x - 7| = 3同样地，我们根据绝对值的定义进行分情况讨论。
当4x - 7 ≥ 0 时，|4x - 7| = 4x - 7；当 4x - 7 < 0 时，|4x - 7| = -(4x - 7)。
针对每一种情况，我们可以得到以下两个方程：当 4x - 7 ≥ 0 时，4x - 7 = 3，解得 x = 2；当 4x - 7 < 0 时，-(4x - 7) = 3，解得 x = 1/4。
因此，综合两种情况的解集，得到最终的解为 x = 2 或 x = 1/4。
绝对值不等式的解法
绝对值不等式的解法绝对值不等式在数学中有着广泛的应用，它们涉及到了绝对值的概念和不等式的解法。
本文将介绍几种常见的绝对值不等式的解法，并给出相应的例子进行说明。
一、绝对值不等式的基本性质在解绝对值不等式之前，我们先来了解一些绝对值的基本性质。
对于任意实数a，有以下三个性质：1. 非负性质：|a| ≥ 0绝对值表示的是一个数距离原点的距离，因此它始终是非负的。
2. 正负性质：如果a > 0，则 |a| = a；如果a < 0，则 |a| = -a这是绝对值的定义，即当a为正时，取a的值；当a为负时，取-a 的值。
3. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a + b| ≤ |a| + |b|这是绝对值的三角不等式，它表明两个数的绝对值之和不超过它们的绝对值的和。
有了以上基本性质的了解，我们可以利用它们来解决绝对值不等式。
二、1. 绝对值的定义法义来解决不等式。
例如，对于不等式 |2x - 3| ≤ 5，我们可以通过以下步骤来求解：（1）当2x - 3 ≥ 0时，|2x - 3| = 2x - 3，此时原不等式可以转化为2x - 3 ≤ 5，解得x ≤ 4。
（2）当2x - 3 < 0时，|2x - 3| = -(2x - 3) = -2x + 3，此时原不等式可以转化为 -2x + 3 ≤ 5，解得x ≥ -1。
综合以上两种情况的解集，最终得到该不等式的解集为 -1 ≤ x ≤ 4。
2. 绝对值的范围法当绝对值中的表达式的取值范围已知时，我们可以利用绝对值的非负性质来解决不等式。
例如，对于不等式 |x - 3| > 2，我们可以通过以下步骤来求解：（1）当 x - 3 > 0 时，|x - 3| = x - 3，此时原不等式可以转化为 x -3 > 2，解得 x > 5。
（2）当 x - 3 < 0 时，|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3，此时原不等式可以转化为 -x + 3 > 2，解得 x < 1。
绝对值不等式解法
绝对值不等式解法绝对值不等式是数学中常见的一种不等式类型，它在解决实际问题中起到了重要的作用。
本文将从绝对值不等式的定义、性质和解法等方面进行探讨。
一、绝对值不等式的定义绝对值不等式是指形如|a| < b或|a| > b的不等式，其中a和b为实数。
绝对值不等式中的绝对值符号| |表示取绝对值的运算，即将其内部的数取绝对值。
二、绝对值不等式的性质1. 若a > 0，则|a| = a；2. 若a < 0，则|a| = -a；3. 对于任意实数a和b，有以下性质：a) |a| ≥ 0；b) |a| = 0的充分必要条件是a = 0；c) |ab| = |a| |b|；d) |a + b| ≤ |a| + |b|。
三、绝对值不等式的解法1. 绝对值不等式的解集可分为以下几种情况：a) 当|a| < b时，解集为(-b, b)；b) 当|a| > b时，解集为(-∞, -b)∪(b, +∞)；c) 当|a| = b时，解集为{-b, b}。
2. 对于复杂的绝对值不等式，可以通过以下几种方法进行求解：a) 利用绝对值的性质，将不等式转化为简单的形式；b) 通过分析绝对值函数的图像和性质，确定不等式的解集；c) 将不等式分解为多个简单的不等式，并求解其解集；d) 利用代数方法和推理，得出不等式的解集。
四、绝对值不等式的应用举例1. 绝对值不等式在求解方程、不等式和问题中具有广泛的应用，如求解含绝对值的方程、不等式的解集；2. 在实际问题中，绝对值不等式可以用来描述距离、误差等概念，如求解一段路程上的最大误差、最小误差等；3. 绝对值不等式也常用于优化问题的求解中，如求解目标函数的最大值、最小值等。
绝对值不等式作为数学中的重要概念和工具，在解决实际问题中具有广泛的应用。
通过对绝对值不等式的定义、性质和解法的探讨，我们可以更好地理解和运用这一概念，从而解决实际问题。
同时，我们也应该注意绝对值不等式的合理性和准确性，避免在解题过程中出现错误或误解。
高中数学：绝对值不等式的解法
高中数学：绝对值不等式的解法
带绝对值符号的不等式叫绝对值不等式。
解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，等价转化为不含绝对值符号的不等式，用已有方法求解。
去绝对值符号的方法就是解不等式的方法。
一、注意绝对值的定义，用公式法
即若，则；若，则或。
例1、解不等式
解：由题意知，原不等式转化为
二、注意绝对值的非负性，用平方法
题目中两边都是非负值才能用平方法，否则不能用平方法，在操作过程中用到。
例2、解不等式
两边都含绝对值符号，所以都是非负，故可用平方法。
解：原不等式
解得
故原不等式的解集为
三、注意分类讨论，用零点分段法
不等式的一侧是两个或两个以上的绝对值符号，常用零点法去绝对值并求解。
例3、解不等式
解：利用绝对值的定义，分段讨论去绝对值符号，令和得分界点
于是，可分区间
讨论原不等式
解得
综上不等式的解为
四、平方法+定义法
有些题目平方之后仍有一个绝对值号，需要用定义去绝对值符号求解，这种方法叫“平方法+定义法”。
例4、解关于x的不等式
解：化为后，通常分
，三种情况去绝对值符号，再分进行讨论，这样做过程冗长，极易出错。
改变一下操作程序，思路将十分清晰，过程也简洁得多，即原不等式两边平方得。
再由定义去绝对值号，有：
（1）
；
（2）。
综上知
故当时，解为；当时，解为。
解绝对值不等式的方法总结
解绝对值不等式的方法总结
1. 分类讨论法：
根据绝对值符号，将条件分为两种情况，分别对式子做处理，最后将解集联合起
来就可以求出绝对值不等式的解集。
例如：解不等式|2x+3|<5，可以写成如下形式：
2x+3<5 且 -2x-3<5，解出两个不等式的解集，解集：x<1 且 x>-2，因此解集为 x<1 U
x>-2，其中U表示并。
2. 代入法：
根据条件可以得到相应绝对值不等式，首先将相关数字代入不等式中，质疑是否
满足不等式，如果满足，表示相应数属于此绝对值不等式解集；如果不满足，表示该数不
属于此绝对值不等式解集。
例如：解不等式|x-5|≤2，x=7时，将x=7代入不等式，可得
|7-5|≤2，满足不等式，因此x=7属于此不等式的解集。
4. 化简法：
根据不等式的特殊性可以将不等式转化为熟悉的不等式，再求其解，最后再转化
回原来的绝对值不等式，以求出解集。
例如：解不等式|5x-6|>10，先将左边绝对值分离，变为 5x-6>10 且 -(5x-6)>10 ，即 5x>16 且 5x<-4，可以写为 x>16/5 且 x<-4/5，再
转化为原来的绝对值表示形式，可得解集：|5x-6|>10，x>3 且 x<-2/5。
含绝对值符号的不等式的解法与证明
含绝对值符号的不等式的解法与证明[重点难点]1．实数绝对值的定义:|a|=这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。
2．最简单的含绝对值符号的不等式的解。
若a>0时，则|x|<a -a<x<a；|x|>a x<-a或x>a。
注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。
3．常用的同解变形|f(x)|<g(x) -g(x)<f(x)<g(x)；|f(x)|>g(x) f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)；|f(x)|<|g(x)| f2(x)<g2(x)。
4．三角形不等式:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。
例题选讲:例1．解不等式|x2+4x-1|<4.............①解:①-4<x2+4x-1<4-5<x<-3或-1<x<1。
即原不等式的解集是（-5，-3）∪（-1，1）。
例2．解不等式|x2-3|>2x...........①解:①x2-3<-2x或x2-3>2x x2+2x-3<0或x2-2x-3>0-3<x<1或x<-1或x>3 x<1或x>3。
即原不等式的解集（-∞，1）∪（3，+∞）。
例3．解不等式||≤1...........①解:①(2) |2x+3|2≤|x-1|2(2x+3)2-(x-1)2≤0 (2x+3-x+1)(2x+3+x-1)≤0(x+4)(3x+2)≤0,-4≤x≤-。
(3) x≠1。
∴原不等式的解集为[-4，-]。
例4．解不等式|x+1|+|x-2|<5...........①分析:为了去掉绝对值符号，首先找到两式的零点-1和2，它们把（-∞，+∞）分成了三个区间；（-∞，-1），[-1，2]，（2，+∞）。
绝对值不等式的解法
绝对值不等式的解法什么是绝对值不等式？绝对值不等式是数学中一类常见的不等式类型，它涉及到绝对值函数(|x|)。
绝对值函数定义了一个实数的非负值，即对于实数x，|x|的值总是与x的符号无关，而只与x的大小有关。
绝对值不等式的一般形式为：|f(x)| ≤ a 或|f(x)| ≥ a，其中f(x)是一个函数，a是一个正实数。
绝对值不等式的求解方法当遇到绝对值不等式时，我们需要找到使得不等式成立的x 的范围，也就是求解不等式的解集。
下面将介绍几种常见的绝对值不等式的解法。
1. 图形法图形法是解决绝对值不等式的直观方法。
我们可以通过绘制函数y = f(x)的图像来分析绝对值不等式。
对于不等式|f(x)| ≤ a，我们可以绘制函数y = f(x)的图像，并考察函数值在y轴上的绝对值是否小于等于a。
如果在x的某个范围内，函数图像位于y轴上的绝对值小于等于a，则该范围内的x属于解集。
对于不等式|f(x)| ≥ a，同样可以绘制函数y = f(x)的图像。
但在该情况下，我们需要考察函数图像位于y轴上的绝对值是否大于等于a。
如果在x的某个范围内，函数图像位于y轴上的绝对值大于等于a，则该范围内的x属于解集。
2. 分情况讨论法绝对值不等式的另一种解法是通过分情况讨论来找到解集的范围。
对于不等式|f(x)| ≤ a，我们可以将绝对值函数分为两种情况进行讨论： - 当f(x) ≥ 0 时，原不等式可以简化为f(x) ≤ a。
- 当 f(x) < 0 时，原不等式可以简化为 -f(x) ≤ a，进一步化简为f(x) ≥ -a。
上述两种情况分别给出了绝对值不等式的解集范围。
我们需要根据具体函数f(x)和给定的a值来确定最终的解集。
对于不等式|f(x)| ≥ a，同样可以采用类似的分情况讨论法：- 当f(x) ≥ 0 时，原不等式可以简化为f(x) ≥ a。
- 当 f(x) < 0 时，原不等式可以简化为 -f(x) ≥ a，进一步化简为f(x) ≤ -a。
总结解绝对值不等式的方法与技巧
总结解绝对值不等式的方法与技巧绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，涉及到绝对值的性质和运算。
解绝对值不等式要灵活运用各种技巧和方法，下面将总结解绝对值不等式的一些常用技巧和方法。
一、基本性质与运算法则1. 绝对值的定义：对于任意实数x，其绝对值|x|的值分两种情况讨论，当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。
2. 绝对值的非负性：对于任意实数x，有|x|≥0。
3. 绝对值的等价关系：对于任意实数x和y，若|x|=|y|，则x=y或x=-y。
4. 绝对值的三角不等式：对于任意实数x和y，有|x+y|≤|x|+|y|和|x-y|≥|x|-|y|。
5. 绝对值的运算法则：对于任意实数x和y，有以下运算法则：(a) |x·y|=|x|·|y|(b) |x/y|=|x|/|y|（其中y≠0）(c) |x^n|=|x|^n（n为正整数）二、绝对值不等式的解法1. 以不等式符号为界限：(a) 若|x|<a，则-a<x<a；(b) 若|x|>a，则x<-a或x>a；(c) 若|x|≤a，则-a≤x≤a；(d) 若|x|≥a，则x≤-a或x≥a。
2. 分情况讨论法：(a) 当x≥0时，将不等式去掉绝对值符号得到等价不等式，再继续求解；(b) 当x<0时，反号后去掉绝对值符号得到等价不等式，再继续求解。
3. 使用绝对值性质：(a) 应用绝对值的非负性和等价关系来转化不等式，例如将|x-a|<b 转化为-a<x-a<b+a；(b) 应用绝对值的三角不等式来转化不等式，例如将|2x-3|≥5转化为2x-3≥5或2x-3≤-5。
4. 求解多个绝对值不等式的交集或并集：(a) 对于交集，解两个不等式分别得到解集A和B，最后求A和B 的交集；(b) 对于并集，解两个不等式分别得到解集A和B，最后求A和B的并集。
三、绝对值不等式的应用技巧1. 与多项式结合：对于包含绝对值的多项式不等式，可以将其拆分成多个简化的不等式，再求解。
含绝对值的解与不等式求解
含绝对值的解与不等式求解绝对值函数在数学中具有重要的应用价值，尤其是在解方程和不等式问题上。
本文旨在探讨含绝对值的解以及如何求解不等式。
一、含绝对值的方程解法对于形如|a|x + b| = c的绝对值方程，需要分别讨论x的取值范围，并找出满足条件的解。
下面将介绍两种常用解法。
1.1 分类讨论法当a为正数时，绝对值函数为增函数，因此可以将方程化简为两个线性方程来求解。
考虑到x的取值情况，可以得到以下两个方程：a*x + b = c x >= 0；-a*x - b = c x < 0。
解出以上两个方程可得到两组解，分别代入原方程中验证，得到最终的解集。
当a为负数时，绝对值函数为减函数。
同样可以将方程化简为两个线性方程来求解，但此时每个方程对应的x的取值范围相反：-a*x + b = c x >= 0；a*x - b = c x < 0。
解出以上两个方程可得到两组解，分别代入原方程中验证，得到最终的解集。
1.2 代数法求解对于一元绝对值方程|a|x + b| = c，可以将方程分解为两个方程：a*x + b = c 或 a*x + b = -c。
解出以上两个方程的解集分别为S1和S2，则原方程的解集为S1 ∪ S2。
二、含绝对值的不等式解法对于形如|a|x + b| < c的绝对值不等式，同样需要根据a的正负情况进行分类讨论。
2.1 分类讨论法当a为正数时，绝对值函数为增函数，可以将不等式化简为两个线性不等式：a*x + b < c x >= 0；-a*x - b < c x < 0。
解出以上两个不等式可得到两个解集，分别为S1和S2。
由于题目要求不等式的解集，因此需要求得S1 ∪ S2的交集。
当a为负数时，绝对值函数为减函数，将不等式化简为以下两个线性不等式：-a*x + b < c x >= 0；a*x - b < c x < 0。
绝对值不等式的解法同解性探索与证明
。
图 ４
看 了 区域 图 ， 难 理 解 为 什 么 开 头 的 问 题 有 点 不 可 思 不
议 ， 体 现 了逻 辑 联 结 词 “ ” 深 层 含 义 ． 也 或 的
另 外 ， 尝 试 中 发 现 直 接 推 证 Ｉ ＜ｂ 一ｂ＜ａ＜ｂ 在 Ⅱｌ § 铮
下 面证 明逆 命 题 ． ｎ 当 ≥０时 右 边 可 化 为 口＞ｂ或 一ｏ＞
例 １ 解不等式 Ｉ 一１『 ｘ ＞２ ．
分 析 只有一 个绝 对值 符号 ， 对值 内外 都有 未知 数 绝
解 法一 根 据 绝 对 值 内的 式 子 分 段 讨 论 可 化 为
这 下 跳 出来 ， 作 新 的 尝 试 ． Ｙ＝ （ 的 图像 可 快 速 作 出 再 由 ＿ ） 厂 Ｙ ＞ ） 区 域 和 Ｙ＜ （ ） 区 域 ， 于 取 上 边 ， 于 取 的 ｆ 的 大 小
一
定 一样 ” 是 我 搪 塞 学 生 总 用 的 话． 心 里 虚 ， 在 琢 磨 着 ． ， 但 总
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．
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尝试一
画 图像 ， 这种 想法 ， 有 不足 为奇 ， 因为 Ｉ ＋ Ｉ ｃ 一 ｂ ＞
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和 Ｉ ＋ Ｉ ｃＣ ０ 的解 法 的根源 就是 几何 意义． 很 快发 现 ， 一 ｂ＜（＞ ） 但 做 具体 的题可 以， 难 具 有 一 般 性 ， ， ） 图像 哪 有 通 性 很 Ｙ＝ （ 的 呀 ， 且还 有 Ｙ ｇ ｘ 的 图像 ？搁 浅 ！ 况 ： （）
》｛
解法三
．
下边．
解 法 二 根 据 右 边 式 子 分 段讨 论 可 化 为
证 明 建 立 坐 标 系 ， 画 出 ｂ＝ ｌ 的 图 像 ， 画 出 先 Ｉ ｎ 再 Ｉ ｌ 满 足 的 区 域 （ １ ； 作 ／＞ｂ或 。＜ 一ｂ满 足 的 区 ｎ ＞ｂ 图 ）再 ７ ，
绝对值不等式的解法
绝对值不等式的解法绝对值不等式是数学中非常常见和重要的一类不等式，它的解法依赖于绝对值函数的性质以及不等式的具体形式。
本文将系统地介绍绝对值不等式的解法方法，以帮助读者更好地理解和运用。
一、绝对值不等式的定义和性质绝对值是一个数在不考虑其正负的情况下的实际值。
在数学中，绝对值函数可以表示为|a|，其中a是一个数。
绝对值函数的性质如下：1. 非负性：|a|≥0，即绝对值函数的值永远大于等于0。
2. 正数性：|a|>0当且仅当a≠0。
绝对值函数在a不等于0时取正数。
3. 三角不等式：|a+b|≤|a|+|b|，即两个数的绝对值之和的绝对值不大于这两个数的绝对值的和。
二、绝对值不等式的解法思路对于绝对值不等式，我们通常采用以下思路进行求解：1. 分析绝对值的取值范围和条件：根据不等式的形式，判断绝对值函数的取值范围和条件，将不等式分解成几个子情况。
2. 分别求解子情况：对于每个子情况，利用绝对值函数的性质和数学方法求解不等式。
3. 综合得出最终结果：将所有子情况的解合并起来，得出最终的不等式解集。
下面将结合具体的例子，来展示绝对值不等式解法的具体步骤。
例一：|x+2|<5首先，我们根据不等式的形式可知，存在两种情况：情况一：x+2>0时，即x>-2将不等式转化为：x+2<5，即x<3根据不等式的合并规则，结合情况一和情况二的解集，最终得到：-2<x<3例二：|2x-1|≥3同样地，我们根据不等式的形式可以得到两种情况：情况一：2x-1≥0时，即x≥1/2将不等式转化为：2x-1≥3，即2x≥4，x≥2情况二：2x-1<0时，即x<1/2将不等式转化为：-(2x-1)≥3，即-2x+1≥3，-2x≥2，x≤-1根据不等式的合并规则，结合情况一和情况二的解集，最终得到：x≤-1或x≥2综上所述，通过分析绝对值的取值范围和条件，以及分别求解子情况并综合得出最终结果的步骤，我们可以解决各种形式的绝对值不等式。
绝对值不等式的解法
|x|>a (a>0) |x|>-2的解 X>a 或 x<-a
如果
a
＞0，则
x a a x a
x a x a或x a
引伸：
如果把|x|<2中的x换成“x-1”,也就是 | x-1 | <2如何解？
如果把|x|>2中的x换成“3x-1”,也就 是
| 3x-1 | >2 如何解？ 解题反思：
引伸：
型如 | f(x)|<a, |f(x)|>a的不等式中 “a”用代数式替换，如何解？
例:解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
练习： 1、|2x-3|<5x
2、| x-1 | > 2( x-3)
3、| 2x+1 |> | x+2 |
类型2
x a x b c和 x a x b c
| 2x-50 | ≦1
反思评价我们的解题方法：
解不等式：|x-1| > |x-3|
方法一 方法二 方法三
依据： |a|>|b|
解：因为 |x-1| > |x-3|
a2>b2
所以 两边平方可以等价转化为
（x-1)2>(x-3)2
化简整理：x>2
平方法：注意两边都为非负数
解：如图，设“1”对A，“3”对应B，
⑤ 3<| 2x+1 | <5
（-3，-2）∪（1，2）
归纳：型如| f(x)|<a, |f(x)|>a
(a>0)
不等式的解法: a f ( x ) a f ( x ) a ______________ ①
解绝对值不等式的方法总结
解绝对值不等式的方法总结绝对值不等式是数学中一类重要的问题，它涉及到不等式的解法和绝对值函数的性质。
下面是解绝对值不等式的方法总结：一、定义法绝对值的定义是：|a|=a(a>0)，|a|=-a(a<0)，|a|=0(a=0)。
利用这个定义，我们可以将绝对值不等式转化为普通不等式，然后求解。
例如，解不等式|x-3|>4，我们可以转化为解不等式x-3>4或x-3<=-4，即x>7或x<=1。
二、实数性质法利用实数的性质，我们知道对于任意实数a和b，有|a+b|<=|a|+|b|。
这个性质可以用来解一些含有绝对值的三角不等式。
例如，解不等式|x+y|<=|x|+|y|，我们可以令x=a, y=b，得到|a+b|<=|a|+|b|，即-|a+b|<=|a|-|b|<=|a+b|，从而得到-1<=cosθ<=1，其中θ为a和b的夹角。
三、平方法对于形如|ax+b|>c的不等式，我们可以利用平方法将其转化为普通不等式。
具体地，我们先将ax+b的绝对值平方，得到a^2x^2+2abx+b^2>c^2，然后解这个普通不等式。
例如，解不等式|x+3|>4，我们先将x+3的绝对值平方，得到x^2+6x+9>16，即x^2+6x-7>0。
然后解这个不等式得到x<1或x>7。
四、零点分段法对于形如|f(x)|>g(x)的不等式，我们可以先令f(x)=0，找到可能使不等式成立的x的取值范围，然后在这些范围内分别讨论g(x)的符号情况，从而得到不等式的解集。
例如，解不等式|x^2-3x+2|>x+1，我们先令x^2-3x+2=0，得到x=1或x=2。
在区间(-∞,1)内，f(x)=-x^2+3x-2<0，所以在这个区间内不等式不成立。
在区间[1,2)内，f(x)=-x^2+3x-2>0且g(x)=x+1<0，所以在这个区间内不等式成立。
绝对值不等式的解法同解性探索与证明
∗ x < 0或 x < - 4, ∗ x < 0. 综上所述原不等式的解集为 { x |x < 0或 x > 6}.
当时 研 究这 种解 法, 有 一 种盲 目的 想 法, 觉得 此 法万 能, 但深入进去后, 发现几何解 释法、零 点讨论 法、平 方法各
有千秋, 但此法的优点还是比较突出, 如例 2较零点 讨论法 简单, 例 3较 平方法可 不升 次. 还想 过若 借助 计算 机程 序,
- b< a < b
前面四个区域 图, 自 己证 明. 绝 对 值不 等 式的 等 价 性得 以
证明.
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二、绝对值不等式等价性应用 1 解不等式, 高中阶段涉及的常见含参绝对值不 等式,
均可用此法, 甚妙, 先看一些例子: 例 2 解不等式: |x - 1 | > 2x.
a < - 3或 a> 9.
解法二 考虑命题的否定: 对于 | a- x |( x 2 - x, 存在 x + [ 0, 3] 成
立, 即有解
- x2 + x ( a- x( x 2 - x, 即 - x2 + 2x( a( x 2.
仍观察右图, 由空白区 域有 x+ ( 0, 1)
上无解, x = 0时, a= 0, x = 1时, a = 1, x+ [ 1, 3], 有 - 3( a( 9,
此, 问题基本解决, 但心有不甘, 总觉 得结局不圆满.
尝试三 处理 线性 规 划问 题时 , 曾出 题让 学 生画 y >
|x |表示的区域, 怎 么看 着与 绝对 值解 法形 式一 样, 静下 心
探究高中数学中的绝对值与不等式关系
探究高中数学中的绝对值与不等式关系绝对值与不等式关系在高中数学中是一个重要的概念，它们在解决实际问题和推理证明中起着关键的作用。
本文将探究高中数学中的绝对值与不等式关系，介绍其基本概念、性质和应用。
一、绝对值的基本概念绝对值是一个数的非负值，表示该数到0的距离。
对于任意实数a，其绝对值记作|a|，定义如下：当a≥0时，|a|=a；当a<0时，|a|=-a。
绝对值的定义可以简单地理解为，无论一个数是正数还是负数，其绝对值都是非负数。
例如，|3|=3，|-3|=3。
二、绝对值的性质1. 非负性：对于任意实数a，有|a|≥0。
这是显然的，因为绝对值是一个数的非负值。
2. 同号性：对于任意实数a，有|a|=a或|a|=-a。
这是绝对值的定义性质，即绝对值要么等于该数本身，要么等于该数的相反数。
3. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|。
三角不等式是绝对值的重要性质之一，它表示两个数的和的绝对值不大于这两个数的绝对值之和。
例如，对于a=3和b=-2，有|3+(-2)|=|1|=1，而|3|+|-2|=3+2=5，显然1≤5。
三、不等式关系不等式是数学中常见的关系式，它描述了数之间的大小关系。
在高中数学中，不等式关系经常与绝对值相结合，形成绝对值不等式。
1. 绝对值不等式的基本形式绝对值不等式的一般形式为|f(x)|<a或|f(x)|>a，其中f(x)是一个函数，a是一个正数。
解绝对值不等式的关键是确定f(x)的取值范围。
2. 绝对值不等式的解法解绝对值不等式的一般步骤如下：（1）将绝对值不等式转化为两个不等式：f(x)<a和f(x)>-a；（2）分别解这两个不等式，得到f(x)<a和f(x)>-a的解集；（3）将两个解集合并，得到绝对值不等式的解集。
例如，对于|2x-1|<3，可以将它转化为2x-1<3和2x-1>-3，解得-1<x<2。
解绝对值不等式的方法总结
解绝对值不等式的方法总结绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，它涉及到绝对值的大小关系。
解绝对值不等式的关键是确定不等式中的变量可能取的范围，并结合绝对值的性质进行推导。
下面将从基本方法、分析方法和图像法等角度给出解绝对值不等式的方法总结。
一、基本方法1.消去绝对值：当绝对值不等式中只有一个绝对值符号时，我们可以通过将绝对值号内的条件进行分类讨论来消去绝对值。
例如，对于不等式，x-2，<3，我们可以将其分类讨论为两种情况：x-2>0时，不等式可转化为x-2<3，即x<5；x-2<0时，不等式可转化为-(x-2)<3，即-x+2<3，即x>-1、因此，原不等式的解集为-1<x<52.分离绝对值：当绝对值不等式中有两个绝对值符号时，我们可以通过分离绝对值的方法将其转化为一个带有正负号的二次不等式。
例如，对于不等式，x-2，>，x+3，由于绝对值的性质，我们有两种情况：x-2>x+3，即-5>0，这个情况显然不成立；x-2<-(x+3)，即-2x-1>0，即x<-1/2、综上所述，原不等式的解集为x<-1/23.基本不等式法：针对绝对值不等式中的特殊形式，f(x)，>c或，f(x)，<c，其中c是正实数，通过化简找到f(x)的取值范围。
例如，对于不等式，2x-3，>5，我们可以将其转化为两个不等式：2x-3>5和2x-3<-5、从第一个不等式中解得x>4，从第二个不等式中解得x<-1、因此，原不等式的解集为x<-1或x>4二、分析方法1. 区间法：对于绝对值不等式，ax+b， < c （或 > c），我们可以通过给定 a、b 和 c 的符号情况来确定 x 的取值范围。
例如，对于不等式，4x+5， < 3，我们可以根据 4x+5 和 -4x-5 的正负号进行分类讨论。
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做具体的题可以, 很难具 有一般性, y = f ( x )的 图像哪有 通性 呀, 况且还有 y = g ( x )的图像? 搁浅!
尝试二 通过尝 试一, 发现 绝对 值内 外都 是 x 的 表达 式, 但怎样的关系, 太复 杂, 偶然, 想 到整 体代 换, 若将 问题 转化为 | a | > b, 去证明同解行吗? 即证明:
图1
图2
图3
图4
看了区域图, 不 难理 解为什 么开 头的 问题 有点 不可 思
议, 也体现了逻辑联结词 # 或 ∃的深层含义.
另外, 在尝试中 发现 直接 推证 | a | < b - b< a < b
a∀ 0, 或 a< 0, a < b a> - b
b > 0,
并 不 简 单, 大 家 可以 参 照
| a | > b% a > b 或 a < - b&
a∀ 0, a< 0,
或
∋
a > b a< - b
b > 0,
a>
b或
a<
-
或 b
b(
0).
此想法有了大进展, 我在这里只推理一下 % & .
当 a∀ 0时, 左边 a > b 右边 (注意 # 或 ∃的意义 );
当 a< 0时, 左边 - a > b a < - b 右边.
&
先解 % :
- 2x - 1< x - 3< 2x + 1, ∗ x >
2 3
.
再解 & : 2x + 1< x - 3< - 2x - 1, ∗ x < - 4.
∗ 原不等式的解集是
x |x >
2或 3
x<
-
4
.
例 4 解不等式: |x - 1 | + | 2- x | > 3+ x. 解 原不等式可化为 |x - 1 | > 3+ x - | 2- x |.
解 原不等式可化为 x - 1> 2x 或 x - 1< - 2x.
∗ x < - 1或 x<
1 3
,
∗
x<
1 3
.
∗ 原不等式的解集为
x |x <
1 3
.
例 3 解不等式: | 2x + 1 | > |x - 3 |.
解 原不等式可化为 2x + 1> |x - 3 |,
%
或 2x + 1< - |x - 3|.
a < - 3或 a> 9.
解法二 考虑命题的否定: 对于 | a- x |( x 2 - x, 存在 x + [ 0, 3] 成
立, 即有解
- x2 + x ( a- x( x 2 - x, 即 - x2 + 2x( a( x 2.
仍观察右图, 由空白区 域有 x+ ( 0, 1)
上无解, x = 0时, a= 0, x = 1时, a = 1, x+ [ 1, 3], 有 - 3( a( 9,
解法一 原不等式可化为 a - 2x > x - 1或 a- 2x < 1- x.
∗
x<
a + 1或 3
x>
a-
1.
, 原不等式对于 x+ [ 0, 2]恒成立,
∗
[ 0, 2]是不等式 x <
a+ 1与不等式 3
x
>
a-
1的并集的
子集.
∗
a
+ 3
1>
2或
a-
1<
0或
a
+ 3
1
>
a-
1,
解得 a > 5或 a< 2. 解法二 原不等式可化为
此, 问题基本解决, 但心有不甘, 总觉 得结局不圆满.
尝试三 处理 线性 规 划问 题时 , 曾出 题让 学 生画 y >
|x |表示的区域, 怎 么看 着与 绝对 值解 法形 式一 样, 静下 心
想, 尝试二已将问题 引向 二元, 况 且 a 与 b相对 独立, 原 来
怎么就没有考虑 区域解 释呢? 主 要原 因在 于, 随着 学生 的
|a | > b 满足的区域 (图 1); 再作 a > b 或 a < - b 满足 的区
a∀ 0, a< 0,
域 (图 2); 再作出
或
满足 的区 域 ( 图 3 ); 最
a > b a< - b
b> 0,
后作出
a>
b或
a<
-
或 完全
一样, 从而说明四者等价.
∗ x - 1> 3+ x - | 2- x |,
%
或 x - 1< - 3- x + | 2- x |.
&
整理 % , 得 | 2- x | > 4, ∗ x > 6或 x < - 2.
整理 & , 得 | 2- x | > 2x + 2, 可化为 2- x > 2x + 2或 2- x < - 2x - 2.
运用此法, 可以解决常见的绝对值不等式求解问题.
但若没 有 此 法, 有 很 多 问 题 就 难 以 下 手 了. 看 如 下 叙述:
2 含参数的绝对值不等式恒成立 例 5 不等式 x + |x - 2c | > 1的 解集为 R, 求 c 的取值
范围. 解 x + |x - 2c | > 1 |x - 2c | > 1- x x - 2c > 1- x 或
a - 2x > x - 1或 a - 2x < 1- x,
即 a > 3x - 1或 a < x + 1. 作出函数 a = 3x - 1和 a = x + 1的图
像, 观察得所有阴影部分是上面不等 式的
解区域. 纵向看:
当 0< x < 1时, 上面不等式中 a 任意 取值;
当 x = 1时, 有 a> 2或 a < 2; 当 1< x < 2时, 只需 a > 5或 a< 2.
学习, 老师的思想不知不觉 被限制到与学 生相似 的范围 内,
这下跳出来, 再作新 的尝试. 由 y = f (x)的图 像可 快速 作出
y> f (x) 的区 域 和 y < f (x ) 的 区 域, 大 于 取 上 边, 小 于 取
下边.
证明 建 立 坐 标 系, 先 画 出 b = | a |的 图 像, 再 画 出
数学学习与研究 2010 5
∗ x < 0或 x < - 4, ∗ x < 0. 综上所述原不等式的解集为 { x |x < 0或 x > 6}.
当时 研 究这 种解 法, 有 一 种盲 目的 想 法, 觉得 此 法万 能, 但深入进去后, 发现几何解 释法、零 点讨论 法、平 方法各
有千秋, 但此法的优点还是比较突出, 如例 2较零点 讨论法 简单, 例 3较 平方法可 不升 次. 还想 过若 借助 计算 机程 序,
- b< a < b
前面四个区域 图, 自 己证 明. 绝 对 值不 等 式的 等 价 性得 以
证明.
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解题技巧与方法
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二、绝对值不等式等价性应用 1 解不等式, 高中阶段涉及的常见含参绝对值不 等式,
均可用此法, 甚妙, 先看一些例子: 例 2 解不等式: |x - 1 | > 2x.
下面证明逆命题. 当 a∀ 0时右 边可化 为 a > b或 - a >
b, 因为 a > - a, 所以可得 b < a 左边; 当 a< 0时, 右边可化
为 a> b或 - a> b, 因为 b < - a, 此时左 边可化为 - a > b, 即
b< - a. 得证.
% ∋ , % )类 似推 理, 但 & ∋ )互 推不 好解 决, 到
x - 2c< x - 1
x> c-
1 2
或
c>
1 2
( 又是 # 或 ∃的意义
).
∗
c>
1 2
.
例 6 已知不等 式 | a - 2x | > x - 1, 对 x + [ 0, 2] 恒成
立, 求 a 的取值范围. 分析 此题右边可正可负, 不能平 方去掉 绝对值, 分段
讨论难以出现明确解集, 运用等价性恰好可以出解集.
解题技巧与方法
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85
绝对值不等式的解法同解性探索与证明
朱争良 (河北省秦皇岛市第 三中学 066500)
摘要 !绝对值不 等式解 法的同 解性证 明、区域法 解含 参数的绝对值不等式问题.
关键词 !绝对值不等式; 同解性; 区域; 含参; 探索
一、引 例 例 1 解不等式 |x - 1 | > 2x.