高考数学一轮复习单元检测二不等式单元检测含解析
新高考数学一轮复习练习-一元二次不等式解法及运用(提升)(解析版)
2.1 一元二次不等式解法及运用(提升）一、单选题1．（2021·广东珠海市·高三二模）已知，满足，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因，，则a>0，b<0，，A 不正确；，则，B 不正确；又，即，则，，C 正确；由得，D 不正确.故选：C2．（2021·天津高三一模）已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】（由函数为增函数）对于A ，，故正确；对于B ，取，，故错误；对于C ，取，显然不成立，故错误；对于D ，假设成立，则，即，可得，而时，不能一定有，故不成立.,a b ∈R 0ab <0a b +>a b >11a b<0b a a b+>22a b >a b<0ab <a b >110,0a b><0,0b a a b <<0b aa b +<0a b +>0a b >->22()a b >-22a b >0a b >->||a b >0,0,lnlg y xx y x y >>>11x y>sin sin y x>y x x y<10x y yxe >lnlg y x x y> ln ln lg lg y x x y ∴->-ln lg ln lg y y x x∴+>+0x y ∴>>ln lg y x x =+011x x y y>>⇒>,2y x ππ==sin 0sin 1y x =<=2,1y x ==10x y yxe >ln ln10x y yxe >ln10y xx y>22ln10y x >0y x >>22ln10y x >故选：A3．（2021·全国高三专题）若关于的不等式()的解集为空集，则的最小值为（ ）AB ．C ．D．【答案】D【解析】关于的不等式()的解集为空集所以，，得，∴，令，则，∴，当且仅当时，等号成立，即的最小值为4，故选：D.4．（2020·上海市建平中学）已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的整数的值之和是（ ）A ．13B ．18C ．21D ．26【答案】C 【解析】x 210x bx c a++<1ab >1(2)2(1)1a b c T ab ab +=+--24x 210x bx c a++<1ab >10a >240c b a -≤24ab c ≥221(2)122(1)12(1)a b c ab a b T ab ab ab +++=+≥---1ab m -=0m >212(1)(1)22422m m m T m m++++≥=++≥2m =1(2)2(1)1a b c T ab ab +=+--设，其图象是开口向上，对称轴是x =3的抛物线，如图所示．若关于x 的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则，即，解得5<a ⩽8，又a ∈Z ，∴a =6，7，8.则所有符合条件的a 的值之和是6+7+8=21.故选C.5．（2020·全国高三）设是关于的一元二次方程的两个实根，则的最小值是（ ）A ．B ．18C ．8D ．-6【答案】C【解析】因为是关于的一元二次方程的两个实根所以由韦达定理得 ，且所以2()6f x x x a =-+260x x a -+≤()()2010f f ⎧⎪⎨>⎪⎩…2226201610a a ⎧-⨯+⎨-⨯+>⎩…,a b x 2260x mx m -++=22(1)(1)a b -+-494-,a b x 2260x mx m -++=26a b m ab m +=⎧⎨=+⎩()2460m m ∆=--≥()()22222224(1)(1)610a b ab b y m a b a m =+-=-+--++=--2349444m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭且或由二次函数的性质知，当时，函数取得最小值为即的最小值为故选C.6．（2021·山西太原市）设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为A，若A⊆[1，3]，则实数a的取值范围是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，则不等式的解集，①若，则，即，解得②若，则，∴综上，故实数的取值范围是故选A．7．（2021·全国高三专题练习）已知x∈(0，＋∞)时，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，则m的取值范围是（）A．2－<m<2＋B．m<2C．m<2＋D．m≥2＋【答案】C【解析】令t＝3x(t>1)，则由已知得函数f(t)＝t2－mt＋m＋1的图象在t∈(1，＋∞)上恒在x轴的上方，则对于方程f(t)＝0，有或,3m≥2m≤-3m=2349444y m⎛⎫=--⎪⎝⎭822(1)(1)a b-+-8111,5⎛⎤- ⎥⎝⎦111,5⎛⎤⎥⎝⎦112,5⎛⎤⎥⎝⎦(]1,3-222f x x ax a=-++（）2220x ax a-++≤[]13A⊆，A∅=24420a a=-+V（）＜220a a--＜12a＜＜-A∅≠()()103013ffa∆≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪<<⎩1125a≤≤1115a-<≤a111]5-（，()()2410m m∆=--+<()121110mf m m∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪=-++≥⎪⎩解得，所以m <2＋.故选：C8．（2021·全国高三专题练习）若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（ ）A ．0B ．-2C ．D ．-3【答案】B【解析】，，由对勾函数性性质可知，当为减函数，当时，为增函数，故，即恒成立，，故的最小值为-2故选：B9．（2021·浙江高三专题练习）若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】不等式恒成立，即，即恒成立，即恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是，故选B.10．（2021·全国高三专题练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据题意构造函数：，由于当时，不等式恒成立，即，解得，即 ，故选A.11．（2021·四川成都市·高三月考）给出下列命题:①且;②22m -<<+2m ≤-210x ax ++≥(]0,2x ∈a 52-(]0,2x ∈ 2110x ax x a x∴++≥⇔+≥-()0,1,x ∈()1f x x x =+()12x ,∈()1f x x x=+()()min 1112f x f ==+=2a -≤2a ≥-a ()2223122x axx a -+<a (0,1)-3(,)4+∞3(0,43(,)4-∞22231()22x axx a -+<222(3)11()()22x ax x a --+<222(3)x ax x a ->-+22(32)0x a x a +-+>22(32)40a a ∆=--<34a >a 3(,)4+∞()1,2x ∈240x mx ++<m 5m ≤-5m <-5m <5m ≥()()241,2f x x mx x =++∈，12x ∈（，）240x mx ++<()()1020f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩45m m ≤-⎧⎨≤-⎩5m ≤-11x y x y -≠⇔-≠1y x -≠;③.其中真命题的个数为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】对于①，且的逆否命题为：或，因为：或是真命题，所以原命题是真命题；对于②，由得，解得或，所以是假命题；对于③，由得，由得，即，因为， 即，所以是真命题.故选：C.12．（2021·全国高三专题练习）下列选项中，使成立的的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】故选A.13．（2020·湖北高三期中）已知，恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意，函数，令，111x x <⇒>22330aba b ab a b>⇔>-012311x y x y -≠⇔-≠1y x -≠1x y -=1y x -=⇔1x y -=1x y -=1y x -=⇔1x y -=11x <10xx-<1x >0x <22a b ab >()0ab a b ->330ab a b>-()330ab a b ->()()220ab a b a ab b -++>22223024b a ab b a b⎛⎫⎛⎫++=++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()3300ab a b ab a b ->⇔->22330aba b ab a b >⇔>-21x x x<<x (,1)-∞-(1,0)-(0,1)(1,)+∞22(1)(1)11,01{,{{ 1.11,0(1)(1)0x x x x x xxx x x x x x x x x+-<<<-<<∴∴∴<-><-++<> 或原不等式可化为，或2()41f x x x a =+++,(())0x R f f x ∀∈≥⎫+∞⎪⎪⎭[2,)+∞[1,)-+∞[3,)+∞2()41f x x x a =+++()2241(2)33t f x x x a x a a ==+++=+-+≥-又由恒成立，即对任意恒成立，当时，即时，，解得，此时无解；当时，即时，，解得，综上可得，实数a 的取值范围为.14．（2020·浙江宁波市·高三期中）已知，，对任意的实数均有，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为，，对任意的实数均有，令，则有对任意的恒成立；若，则，原不等式可化为，因为，所以解不等式可得或，因，所以不满足原不等式对任意的恒成立；即不满足题意；若，当时，，则原不等式可化为，令，则是开口向上的二次函数，且零点为和，为使对任意的恒成立；只有；当时，；若，则由不等式可得或，解得或，因为，所以不能满足原不等式对任意的恒成立；若，则由不等式可得或,(())0x R f f x ∀∈≥()0f t ≥3t a ≥-32a -≤-1a ≤()min (2)30f t f a ==-≥3a ≥32a ->-1a >()2min (3)20f t f a a a =-=--≥2a ≥[2,)+∞a b R ∈x ()()()210x a x b x a +---≥2+a b 1581782a b R ∈x ()()()210x a x b x a +---≥t x =()()()210t a t b t a +---≥[)0,t ∈+∞0b ≤0t b -≥()()210t a t a +--≥()2221311024a a a a a ⎛⎫+--=++=++> ⎪⎝⎭()()210t a t a +--≥21t a ≥+t a ≤-21a a +>-[)0,t ∈+∞0b ≤0b >0a ≥0t a +≥()()210t b t a ---≥()()()21f t t b t a =---()f t t b =21t a =+()()210t b t a ---≥[)0,t ∈+∞21b a =+0a <0a ->21a b a -<<+()()()210t a t b t a +---≥()()210t a t b t a +≥⎧⎪⎨---≥⎪⎩()()210t a t b t a +≤⎧⎪⎨---≤⎪⎩21t a ≥+a t b -≤≤21b a <+[)0,t ∈+∞21b a a <-<+()()()210t a t b t a +---≥()()2010t b t a t a -≥⎧⎪⎨+--≥⎪⎩，解得或，因为，所以不满足原不等式对任意的恒成立；若，则由不等式可得或，解得或，因为，所以不满足原不等式对任意的恒成立；若，则不等式可化为，解得或，不满足原不等式对任意的恒成立；若，则不等式可化为，解得，不满足原不等式对任意的恒成立；综上，为使对任意的恒成立，只有，所以，令，则其是开口向上的二次函数，对称轴为，所以其在上单调递增，因此.故选：D.二、多选题15．（2021·烟台市教育局高三三模）已知，，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ACD【解析】对A ，由，，且可得，则，()()210t b t a t a -≤⎧⎪⎨+--≤⎪⎩21t a ≥+b t a ≤≤-21a a -<+[)0,t ∈+∞21a a b -<+<()()()210t a t b t a +---≥()()2010t a t b t a +≥⎧⎪⎨---≥⎪⎩()()210t a t b t a +≤⎧⎪⎨---≤⎪⎩t b ≥21a t a -≤≤+21a b +<[)0,t ∈+∞=-b a ()()()210t a t b t a +---≥()()2210t a t a +--≥21t a ≥+t a =-[)0,t ∈+∞21b a =+()()()210t a t b t a +---≥()()2210t a t a +--≥t a ≥-[)0,t ∈+∞()()()210t a t b t a +---≥[)0,t ∈+∞21a b a ≥⎧⎨=+⎩222111511522222216848a b a a a a a ⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2211522248y a a a ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭14a =-[)0,+∞2220022y a a =++≥++=0a >0b >1a b -=e e 1a b ->e e 1a b -<914a b-≤222log log 2a b -≥0a >0b >1a b -=0a b >>()()11ba abbb eee e e e -=-=--，，又，，即，故A 正确；对B ，令，则，故B 错误；对C ，，当且仅当时等号成立，故C正确；对D ，，当且仅当，即时等号成立，故D 正确.故选：ACD.16．（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知实数a ，b ，c ，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若，则B ．若，则的最小值为8C ．若，，则D ．若，则【答案】ABC 【解析】选项A 中，则A 正确；B ，，当且仅当，即时，等号成立，则B 正确；选项C 中，因为，所以，则，所以，则C 正确；若，满足，而，D 不正确，故选:ABC ．17．（2021·全国高三专题练习）下列四种说法中正确的有（ ）A ．命题“，”的否定是“，”；B ．若不等式的解集为，则不等式的解集为C ．复数满足，在复平面对应的点为，则D ．已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范0b > 1b e ∴>11e ->()11be e ∴->e e 1a b ->2,1a b ==e e 211e a b =-->()9191910104b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫-=--=-+≤-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9b a a b =()22222222112log log log log lo 2g 22log b a b b b b a b ⎛⎫+⎛⎫==++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎭-⎝=1b b=1b =0a b >>11a b>0,0,21a b a b >>+=21a b+0a b >>1ab =12a b a b<+0a b >>sin sin a b>110b a a b ab --=>214(2)48b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭4b a a b =11,24a b ==1,0ab a b =>>10>>>a b 11122,222a ab a a b a +=>=<⋅12a b a b <+,2a b ππ==0a b >>sin sin a b <x R ∀∈231x x >+x R ∃∈231x x <+210ax bx ++>{}13x x -<<23650ax bx ++<()(),15,-∞-+∞ z 21z i -=z (),x y ()2221x y +-=1:32p x ≤≤()21:100q x a x a a ⎛⎫-++≤> ⎪⎝⎭p q a围是【答案】BCD【解析】选项A ：命题“，”的否定应该是“，”，故选项A 错误；选项B ：因为不等式的解集为，所以方程的两个根为和3，且.由，解出.所以不等式可化为：，即，解得或.所以不等式的解集为，故选项B 正确；选项C ：设，，所以满足.故选项C 正确；由得到：.当时，，所以有.由题意可得：，解得；当时，，[)10,3,3⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦U x ∀∈R 231x x >+0x ∃∈R 02031xx ≤+210ax bx ++>{}13x x -<<210ax bx ++=1-0a <213b a a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩1323a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩23650ax bx ++<2450x x -++<2450x x -->1x <-5x >23650ax bx ++<()(),15,-∞-+∞ i z a b =+()2i 2i 1z a b -=+-==()2221x y +-=()21100x a x a a ⎛⎫-++≤> ⎪⎝⎭()10x a x a ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭1a ≥1a a>1:q x a a≤≤1123a a ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩3a ≥01a <<1a a<所以有.由题意可得：，解得.因此，实数的取值范围是.故选项D 正确.故选：BCD.18．（2021·全国高三专题练习）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（ ）.A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】ABC【解析】设，其图像为开口向上，对称轴是的抛物线，如图所示.若关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为，则解得，.又，故可以为6，7，8.故选：ABC19．（2021·全国高三专题练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是（ ）A ．-8B ．-5C ．1D ．41:q a x a≤≤1213a a⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩103a <≤a [)10,3,3⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦U a Z ∈x 260x x a -+≤a 26y x x a =-+3x =x 260x x a -+≤3x =2226201610⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩a a 58a <≤a Z ∈a 2340x x +-<()222330x k x k k -+++>k【答案】ACD【解析】，解得，即，解得或，由题意知，所以或，即.故选：ACD三、填空题20．（2020·奉新县第一中学高三月考）若一元二次方程的两个实根都大于，则的取值范围____【答案】或.【解析】由题意得应满足解得：或.故答案为：或.21．（2020·全国高三专题练习）要使关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意，设，要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小，根据二次函数的图象与性质，则满足，即，即，解得，即实数的取值范围是.22．（2021·固原市第五中学高三期末）若对时，不等式恒成立，则实数的取值范围是____________..2340x x +-<41x -<<()222330x k x k k -+++>()[(3)]0x k x k --+>x k <3x k >+(4,1)-n (,)(3,)k k -∞⋃++∞1k ³34k +≤-(,7][1,)k ∈-∞-⋃+∞2(1)30mx m x -++=1-m 2m <-5m ≥+0,11,20,(1)0m m m mf ≠⎧⎪+⎪>-⎪⎨⎪∆≥⎪->⎪⎩2m <-5m ≥+2m <-5m ≥+x ()22120x a x a +-+-=a 21a -<<()22(1)2f x x a x a =+-+-x 22(1)20x a x a +-+-=()10f <220a a +-<(1)(2)0a a -+<21a -<<a 21a -<<(,1]x ∈-∞-21()2()12x xm m --<m【答案】【解析】不等式转化为,化简为，令,又,则,即恒成立，令，又，当时，取最小值，所以，恒成立,化简得，解不等式得.故答案为：23．（2021·全国高三专题练习）设关于x 的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为____________【答案】【解析】设，其图象为抛物线，对于任意一个给定的值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足而整数解只有有限个，所以，因为0为其中一个解可以求得，又，所以或，则不等式为和，可分别求得和，因为位整数，所以和，所以全部不等式的整数解的和为.故答案为：.24．（2021·全国高三专题练习）设函数,若对于恒成立,则的取值范围是________.【答案】()2,3-()21212xxm m ⎛⎫--< ⎪⎝⎭2214x x m m +-<2211(22x x m m -<+12x t =(],1x ∈-∞-[)2,t ∈+∞22m m t t -<+2()f t t t =+[)2,t ∈+∞2t =()f t min ()(2)6f t f ==26m m -<260m m --<23m -<<()2,3-28(1)7160,()ax a x a a Z ++++≥∈10-28(1)716y ax a x a =++++a 0y ≥0a <167a ≥-a Z ∈2a =-1a =-22820x x --+≥290x -+≥22x --≤≤-33x -≤≤x 4,3,2,1x =----3,2,1,0,1,2,3x =---10-10-2()1,(0)f x mx mx m =--≠[1,3],()5x f x m ∈<-+m 6|007m m m ⎧⎫<<<⎨⎬⎩⎭或【解析】 要使上恒成立,则在上恒成立.令,当时,在上是增函数,,则当时,在上是减函数,,故:综上所述,的取值范围是.故答案为:.四、解答题25．（2021·全国高三专题练习）解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R )．【答案】答案见解析【解析】若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1．若a <0，原不等式等价于，解得或x >1．若a >0，原不等式等价于．①当a ＝1时，，无解； [1,3],()5x f x m ∈<-+∴260mx mx m -+-<2136024m x m ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭[1,3]x ∈213()624g x m x m ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭[1,3]x ∈0m >[1,3]∴max ()(3)760g x g m ==-<∴67m <607m <<0m <()g x [1,3]∴max ()(1)60g x g m ==-<∴6m <0m <m 6|007m m m ⎧⎫<<<⎨⎬⎩⎭或6|007m m m ⎧⎫<<<⎨⎬⎩⎭或()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭1x a <()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭11a =()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭②当a >1时，，解，得；③当0<a <1时， ，解，得；综上所述，当a <0时，解集为或； 当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为； 当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为．26．（2021·上海市）已知，其中.（1）当时，解关于的不等式；（2）若在时恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）∵，∴，∵，∴当时，的解集为当时，的解集为当时，的解集为（2）根据题意得，在时恒成立，即在时恒成立，即在时恒成立，即在时恒成立即11a <()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭11x a <<11a >()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭11x a <<1|x x a ⎧<⎨⎩}1x >1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭()()21f x ax a x =-+()13g x a x =-+a R ∈0a <x ()0f x <()()f x g x <[]2,3x ∈a 6a ≤()()21f x ax a x =-+()()21010ax a x ax a x -+<⇔--<0a <01a >>-()0f x <()1,0,a a ⎛⎫-∞+∞ +⎪⎝⎭ 1a =-()0f x <()(),00,-∞+∞ 1a <-()0f x <(),0,1a a ⎛⎫-∞+∞+⎪⎝⎭ ()2113ax a x a x -+<-+[]2,3x ∈()2140ax a x a -++<[]2,3x ∈()2114a x x x -+≤[]2,3x ∈21414111x a x x x x≤=-++-[]2,3x ∈min 1411a x x ⎛⎫ ⎪≤ ⎪ ⎪+-⎝⎭∵在，单调递增，∴，∴，∴实数的取值范围是．27．（2021·全国高三）解关于x 的不等式：．【答案】见解析【解析】将不等式变形为.当a <0或时，有a < a 2，所以不等式的解集为或；当a =0或时，a = a 2=0，所以不等式的解集为且；当0< a <1时，有a > a 2，所以不等式的解集为或；28．（2021·全国高三专题练习）解关于的不等式：.【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】原不等式移项得，即.∵，∴当时，当时，当时，综上所述：当时，解集为当时，解集为当时，解集为29．（2021·全国高三专题练习）解关于的不等式:【答案】当时，解集为 ；当 时，解集为或； 11y x x =+-[]2,3x ∈max 173133y =+-=14673a ≤=a 6a ≤()2230x a ax a -++>()2230x a a x a -++>()()20x a x a -->1a >{|x x a <2}x a >1a ={|,x x R ∈}x a ≠2{|x x a <}x a >x ()2220ax x ax a -≥-<()2220ax a x +--≥()()120x ax +-≥0a <()210x x a ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭20a -<<21x a≤≤-2a =-1x =-2a <-21x a -≤≤20a -<<21x x a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭2a =-{}1x x =-2a <-21x x a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭x 22(2)20().ax a x a a R -++>∈0a ={}0x x <0a <<2{|x x a>}x a <当或；当 时，解集为；当 时，解集为； 当；当；【解析】由则 因为，故对分情况讨论当时，则，所以，不等式的解集为 当 时，由，不等式的解集或 当或当 时，不等式的解集为当 时，不等式的解集为 当当30．（2021·全国高三专题练习）解关于的不等式【答案】当时，不等式的解集是或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.当时，不等式的解集为.【解析】不等式可化为.①当时，原不等式可以化为，根据不等式的性质，这个不等式等价于.a >{|x x a >2}x a <0a <<2{|}x x a a <<a <2{|}x a x a <<a ={|x x ≠a =∅22(2)20().ax a x a a R -++>∈(2)()0ax x a -->a R ∈a 0a =20x ->0x <{}0x x <0a <<(2)()0ax x a -->2{|x x a >}x a <a >{|x x a >2}x a <0a <<2{|}x x a a<<a <2{|}x a x a <<a ={|x x ≠a =∅x 2(21)20()ax a x a R -++<∈0a <1{|x x a <2}x >0a ={|2}x x >102a <<1{|2}x x a <<12a =∅12a >1{|2}x x a<<(1)(2)0ax x --<0a >1(2)0a x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭1(2)0x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭因为方程的两个根分别是2，，所以当时，，则原不等式的解集是；当时，原不等式的解集是；当时，，则原不等式的解集是.②当时，原不等式为，解得，即原不等式的解集是.③当时，原不等式可以化为，根据不等式的性质，这个不等式等价于，由于，故原不等式的解集是或.综上所述，当时，不等式的解集是或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.当时，不等式的解集为.1(2)0x x a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭1a 102a <<12a<1|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭12a =∅12a >12a <1|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭0a =(2)0x --<2x >{|2}x x >0a <1(2)0a x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭1(2)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭12a<1{|x x a<2}x >0a <1{|x x a <2}x >0a ={|2}x x >102a <<1{|2}x x a <<12a =∅12a >1{|2}x x a <<。
2021届高考数学一轮复习第二章不等式第4节绝对值不等式及其应用含解析
第4节 绝对值不等式及其应用考试要求 1。
理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：｜a ＋b ｜≤｜a |＋｜b ｜（a ，b ∈R )；|a －b ｜≤|a －c ｜＋|c －b |（a ，b ∈R ）；2。
会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：｜ax ＋b ｜≤c ；｜ax ＋b |≥c ；|x －c |＋｜x －b |≥a .知 识 梳 理1。
绝对值不等式的解法(1）含绝对值的不等式|x ｜<a 与｜x ｜>a 的解集不等式a >0 a ＝0 a <0 |x |<a（－a ，a ） ｜x ｜〉a （－∞,－a )∪（a ，＋∞) (－∞，0）∪（0，＋∞) R（2）|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b ｜≥c （c 〉0）型不等式的解法 ①｜ax ＋b ｜≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ;②｜ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .（3）|x －a |＋|x －b ｜≥c (c ＞0)和|x －a ｜＋|x －b ｜≤c (c ＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.2。
含有绝对值的不等式的性质（1)如果a,b是实数，则|a＋b|≤｜a｜＋|b|,当且仅当ab≥0时，等号成立；(2）|a｜－｜b｜≤|a±b｜≤｜a｜＋|b|；（3）如果a，b，c是实数，那么|a－c｜≤｜a－b｜＋|b－c|，当且仅当（a－b)(b－c）≥0时，等号成立。
［常用结论与易错提醒］1。
绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法,数形结合法，构造函数法。
2。
不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决。
3。
可以利用绝对值三角不等式定理｜a｜－｜b|≤｜a±b|≤|a|＋|b｜求函数最值，要注意其中等号成立的条件。
高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题2-2基本不等式及其应用教师版
专题2.2基本不等式及其应用练基础1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知(),,0,a b c ∈+∞，320a b c -+=，则b的（）A B ．最大值是3C ．最小值是D ．最小值是3【答案】B 【解析】由题意得32a cb +=，再代入所求式子利用基本不等式，即可得到答案；【详解】因为320a b c -+=，所以32a cb +=，所以3323c a b =≤=+，等号成立当且仅当3a c =.故选：B.2．（2021·山东高三其他模拟）已知a b ，均为正实数，则“2aba b≤+”是“16ab ≤”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】取100,2a b ==可得由2ab a b ≤+推不出16ab ≤，反过来，由基本不等式可得由16ab ≤能推出2aba b≤+，然后可选出答案.【详解】取100,2a b ==，则2002102ab a b =<+，但20016ab =>，所以由2ab a b≤+推不出16ab ≤，反过来，若16ab ≤，则22ab a b ≤=≤+，当且仅当4a b ==时取等号，所以由16ab ≤能推出2ab a b ≤+，所以“2aba b≤+”是“16ab ≤”的必要不充分条件，故选：C3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积是()2214S b c =+，则ABC 的三个内角大小为（）A ．60ABC === B ．90,45A B C ===C ．120,30A B C ===D ．90,30,60A B C ===【答案】B 【解析】由ABC 的面积是()2214S b c =+，利用面积公式及基本不等式判断出90A =︒，由b=c 得45B C == .【详解】因为222b c bc +≥，所以()221142S b c bc =+≥（当且仅当b=c 时取等号）.而ABC 的面积是1sin 2S bc A =,所以11sin 22S bc A bc =≥，即sin 1A ≥，所以sin =1A ，因为A 为三角形内角，所以90A =︒.又因为b=c ，所以90,45A B C === .故选：B4．（2021·浙江高三月考）已知实数x ，y 满足2244x y +=，则xy 的最小值是（）A ．2-B ．C ．D ．1-【答案】D 【解析】运用三角代换法，结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可.【详解】由22224414x x y y +=⇒+=，令2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，因此2cos sin sin 2xy θθθ==，因为1sin 21θ-≤≤，所以11xy -≤≤，因此xy 的最小值是1-，5．（2021·北京高三二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s (万元)与机器运转时间t (年数，*t ∈N )的关系为22364s t t =-+-，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t 为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D 【解析】根据题意求出年平均利润函数。
数学高考一轮复习基本不等式专项练习(带解析)
数学高考一轮复习基本不等式专项练习（带解析）学习数学能够让我们的思维更清晰，我们在摸索和解决问题的时候，条理更清晰。
小编预备了差不多不等式专项练习，期望你喜爱。
1.若xy0，则对xy+yx说法正确的是()A.有最大值-2B.有最小值2C.无最大值和最小值D.无法确定答案：B2.设x，y满足x+y=40且x，y差不多上正整数，则xy的最大值是()A.400B.100C.40D.20答案：A3.已知x2，则当x=____时，x+4x有最小值____.答案：2 44.已知f(x)=12x+4x.(1)当x0时，求f(x)的最小值;(2)当x0 时，求f(x)的最大值.解：(1)∵x0，12x，4x0.12x+4x212x4x=83.当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83，当x0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x0，-x0.则-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83，当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号.当x0时，f(x)的最大值为-83.一、选择题1.下列各式，能用差不多不等式直截了当求得最值的是()A.x+12xB.x2-1+1x2-1C.2x+2-xD.x(1-x)答案：C2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()A.32-3B.-3C.62D.62-3解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3.3.已知m、nR，mn=100，则m2+n2的最小值是()A.200B.100C.50D.20解析：选A.m2+n22mn=200，当且仅当m=n时等号成立.4.给出下面四个推导过程：①∵a，b(0，+)，ba+ab2ba②∵x，y(0，+)，lgx+lgy2lgx③∵aR，a0，4a+a 24a④∵x，yR，，xy0，xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2.其中正确的推导过程为()A.①②B.②③C.③④D.①④解析：选D.从差不多不等式成立的条件考虑.①∵a，b(0，+)，ba，ab(0，+)，符合差不多不等式的条件，故①的推导过程正确;②尽管x，y(0，+)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的;③∵aR，不符合差不多不等式的条件，4a+a24aa=4是错误的;④由xy0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy+yx提出负号后，(-xy)均变为正数，符合差不多不等式的条件，故④正确.5.已知a0，b0，则1a+1b+2ab的最小值是()A.2B.22C.4D.5解析：选C.∵1a+1b+2ab2ab+2ab222=4.当且仅当a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.6.已知x、y均为正数，xy=8x+2y，则xy有()A.最大值64B.最大值164C.最小值64D.最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，xy=8x+2y28x2y=8xy，当且仅当8x=2y时等号成立.xy64.二、填空题7.函数y=x+1x+1(x0)的最小值为________.答案：18.若x0，y0，且x+4y=1，则xy有最________值，其值为________.解析：1=x+4y4y=4xy，xy116.答案：大1169.(2021年高考山东卷)已知x，yR+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为________.解析：∵x0，y0且1=x3+y42xy12，xy3.当且仅当x3=y4时取等号.答案：3三、解答题10.(1)设x-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值;(2)求函数y=x2+8x-1(x1)的最值.解：(1)∵x-1，x+10.y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+52 x+14x+1+5=9，当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.x=1时，函数的最小值是9.(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1=(x-1)+9x-1+2.∵x1，x-10.(x-1)+9x-1+22x-19x-1+2=8.当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，y有最小值8.11.已知a，b，c(0，+)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.证明：∵a，b，c(0，+)，a+b+c=1，1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca2bca，同理1b-12acb，1c-12abc，以上三个不等式两边分别相乘得(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.当且仅当a=b=c时取等号.12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建筑单价为每米400元，中间一条隔壁建筑单价为每米100元，池底建筑单价每平方米60元(池壁忽略不计).问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米.总造价f(x)=400(2x+2200x)+100200x+60200=800(x+225x)+120211600x225x+12021=36000(元)家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
浙江专用2021届高考数学一轮复习专题二不等式2.1不等式及其解法试题含解析
专题二不等式【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、不等式及其解法1.了解生活中的不等关系，会从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。
1.考查内容:从近几年高考的情况看,本专题内容考查的重点是不等式的性质与解法,基本不等式及不等式的综合应用。
常与导数、函数零点等知识结合,常用到数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想方法.2.不等式是常考的内容，在选择题、填空题中，常考查不等式的性质、解法及应用基本不等式求最值；在解1。
不等式的性质及不等式的解法难度较小，对于含有参数的一元二次不等式的求解要学会分类讨论（特别是二次项系数、判别式符号均不确定的问题)。
2.对于利用基本不等式求最值的问题，要学会配凑方法,将之表示成“和定"或“积定"的形式,对于多次使用基本不等式求最值的问题,要保证每次的等号均能同时取到.3。
对于不等式恒成立问题,不能停留在具体的求解方法（比如分离参数法等）上，而是将较难的、生疏的问题经过分析、转化为基本的研究函数单调性的问题，积累具体分析、转化的经验.二、基本不等式与不等式的综合了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小）应用值问题。
答题中,常与导数结合研究与函数相关的大小关系.【真题探秘】§2.1不等式及其解法基础篇固本夯基【基础集训】考点一不等式的性质1。
若a〉b>0,c〈d〈0，则一定有（)A.ac >bdB。
ac〈bdC.ad>bcD。
ad〈bc答案D2.已知实数a=ln22，b=ln33,c=ln55，则a ，b,c 的大小关系是( )A 。
a<b<c B.c 〈a<b C.c<b 〈a D 。
b<a<c 答案 B3。
若a 〈0,b<0，则p=b 2a+a 2b与q=a+b 的大小关系为 .答案 p≤q考点二 不等式的解法4.不等式x 2+2x —3≥0的解集为（ ）A.{x ｜x≤—3或x≥1} B 。
高三数学一轮复习单元评估检测(2) 第2章 函数、导数及其应用 理 新人教A版
单元评估检测（二）（第二章）（120分钟 150分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列图形中可以表示以M ＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N ＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( )2.(2012·韶关模拟)已知函数f(x)＝ax 3＋bx －3，若f(－2)＝7，则f(2) ＝( )(A)13 (B)－13 (C)7 (D)－73.(2011·广东高考)设函数f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )(A)f(x)＋|g(x)|是偶函数 (B)f(x)－|g(x)|是奇函数 (C)|f(x)|＋g(x)是偶函数 (D)|f(x)|－g(x)是奇函数4.已知函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)是定义在R 上的单调递减函数，则函数g(x)＝log a (x ＋1)的图象大致是( )5.设函数f(x)＝13x －lnx(x ＞0)，则y ＝f(x)( )(A)在区间(1e，1)，(1，e)内均有零点(B)在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点(C)在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点(D)在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点6.(2012·珠海模拟)函数y ＝f(x)的导函数y ＝f′(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是( )(A)y ＝a x(B)y ＝log a x (C)y ＝xe x (D)y ＝xlnx7.(易错题)设函数f(x)＝x·sinx，若x 1，x 2∈[－π2，π2]，且f(x 1)＞f(x 2)，则下列不等式恒成立的是( )(A)x 1＞x 2 (B)x 1＜x 2 (C)x 1＋x 2＞0 (D)x 12＞x 228.(2011·湖南高考)已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x 2＋4x －3.若有f(a)＝g(b)，则b 的取值范围为( )(A)[ 2－2，2＋2] (B)(2－2，2＋2) (C)[1,3] (D)(1,3)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把正确答案填在题中横线上)9.(2011·四川高考)计算(lg 14－lg25)÷10012 ＝ .10.定积分∫0ln2e xdx 的值为 .11.已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a)相切，则a 的值为 .12.当x∈(1,2)时，不等式(x －1)2＜log a x 恒成立，则实数a 的取值范围为 . 13.函数f(x)＝(x ＋a)3对任意t∈R，总有f(1＋t)＝－f(1－t)，则f(2)＋ f(－2)等于 .14.(2011·四川高考)函数f(x)的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f(x 1)＝f(x 2)时总有x 1＝x 2，则称f(x)为单函数.例如，函数f(x)＝2x ＋1(x∈R)是单函数.下列命题：①函数f(x)＝x 2(x∈R)是单函数；②若f(x)为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f(x 1)≠f(x 2)；③若f ：A→B 为单函数，则对于任意b∈B，A 中至多有一个元素与之对应； ④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数. 其中的真命题是 .(写出所有真命题的编号)三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(12分)(2012·广州模拟)设函数f(x)＝lg(2x ＋1－1)的定义域为集合A ，函数g(x)＝1－a 2－2ax －x 2的定义域为集合B.(1)求证：函数f(x)的图象关于原点成中心对称；(2)a≥2是A∩B＝ 的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)，并证明你的结论.16.(13分)两个二次函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 与g(x)＝－x 2＋2x ＋d 的图象有唯一的公共点P(1，－2).(1)求b ，c ，d 的值；(2)设F(x)＝(f(x)＋m)·g′(x)，若F(x)在R 上是单调函数，求m 的取值范围，并指出F(x)是单调递增函数，还是单调递减函数.17.(13分)(2011·北京高考)已知函数f(x)＝(x －k)2e x k. (1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1e，求k 的取值范围.18.(14分)某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x(0<x<1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元). (1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 19.(14分)已知幂函数f(x)＝2m 2m 3x －＋＋(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)＝14f(x)＋ax 3＋92x 2－b(x∈R)，其中a ，b∈R.若函数g(x)仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围.20.(14分)(预测题)已知f(x)＝xlnx ，g(x)＝12x 2－x ＋a.(1)当a ＝2时，求函数y ＝g(x)在[0,3]上的值域； (2)求函数f(x)在[t ，t ＋2](t>0)上的最小值；(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有xlnx>g′(x)＋1e x－2e 成立.答案解析1. 【解析】选C.由题意知，自变量的取值范围是[0,1]，函数值的取值范围也是[0,1]，故可排除A 、B ；再结合函数的定义，可知对于集合M 中的任意x ，N 中都有唯一的元素与之对应，故排除D.2.【解析】选B.∵f(－2)＝－a ·23－2b －3＝－(a ·23＋2b)－3＝7， ∴a ·23＋2b ＝－10，∴f(2)＝a ·23＋2b －3＝－10－3＝－13.3. 【解析】选A.∵g(x)是奇函数，其图象关于原点对称， ∴|g(x)|的图象关于y 轴对称，是偶函数， 又f(x)为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|是偶函数. 【方法技巧】函数奇偶性与函数图象的关系(1)函数的奇偶性，揭示了函数图象的对称性.已知函数的奇偶性可得函数图象的对称性；反之，已知函数图象的对称性可得函数的奇偶性.(2)从图象判断函数的奇偶性是很有效的方法.利用图象变换，可以很容易地画出形如|f(x)|或f(|x|)的函数图象，进而可判断函数的奇偶性.4. 【解题指南】由指数函数的单调性可得a 的取值范围，再判断函数g(x)＝log a (x ＋1)的图象.【解析】选D.由题可知0<a<1，函数g(x)的图象由函数y ＝log a x 的图象向左平移一个单位得到，故选D.5. 【解析】选D.∵f ′(x)＝13－1x ，∴x ∈(3，＋∞)时，y ＝f(x)单调递增； x ∈(0,3)时，y ＝f(x)单调递减. 而0＜1e＜1＜e ＜3，又f(1e )＝13e ＋1＞0，f(1)＝13＞0，f(e)＝e3－1＜0，∴在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点.【一题多解】选D.令g(x)＝13x ，h(x)＝lnx ，如图，作出g(x)与h(x)在x>0的图象，可知g(x)与h(x)的图象在(1e，1)内无交点，在(1，e)内有1个交点，故选D.【变式备选】已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4，x ≤1x 2－4x ＋3，x ＞1，则关于x 的方程f(x)＝log 2x 解的个数为( )(A)4 (B)3 (C) 2 (D)1【解析】选B.在同一直角坐标系中画出y ＝f(x)与y ＝log 2x 的图象，从图象中可以看出两函数图象有3个交点，故其解有3个.6.【解析】选D.由图知，导函数的定义域为(0，＋∞)， ∵(a x)′＝a xlna ，(xe x)′＝e x＋xe x，导函数的定义域为R ， ∴排除选项A ，C.由图象知导函数的值是先负后正，又(log a x)′＝1xlna ，导函数的符号与参数a 有关，排除B ，故选D.7.【解析】选D.显然f(x)为偶函数， 当x ∈(0，π2]时，f ′(x)＝sinx ＋xcosx ＞0，∴f(x)在(0，π2]上单调递增.又f(x 1)＞f(x 2)⇔f(|x 1|)＞f(|x 2|)⇔|x 1|＞|x 2|⇔x 12＞x 22.8.【解析】选B.∵f(a)>－1，∴g(b)>－1， ∴－b 2＋4b －3>－1，∴b 2－4b ＋2<0， ∴2－2<b<2＋ 2.故选B. 9.【解析】(lg 14－lg25)÷12100-＝lg 1425÷1100＝lg 1100÷110＝10×lg10－2＝－20. 答案：－2010.【解析】∫0ln2e xdx ＝e x|0ln2＝e ln2－e 0＝2－1＝1. 答案：111.【解析】y ′＝1x ＋a (x ＋a)′＝1x ＋a，设切点为(x 0，x 0＋1)，则⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝1x 0＋1＝ln(x 0＋a)，解得a ＝2. 答案：212.【解析】设y 1＝(x －1)2，则y 1的图象如图所示：设y 2＝log a x ，则当x ∈(1,2)时，y 2的图象应在y 1的图象上方， ∴a ＞1且log a 2≥(2－1)2＝1， ∴a ≤2，∴1＜a ≤2. 答案：{a|1＜a ≤2}13.【解析】令t ＝1，则f(2)＝－f(0). ∴(2＋a)3＝－a 3， ∴a ＝－1，∴f(2)＋f(－2)＝(2－1)3＋(－2－1)3＝－26. 答案：－26 14.【解析】答案：②③15.【解析】(1)A ＝{x|2x ＋1－1>0}，2x ＋1－1>0⇒x －1x ＋1<0⇒(x ＋1)(x －1)<0， ∴－1<x<1.∴A ＝(－1,1)，故f(x)的定义域关于原点对称. 又f(x)＝lg 1－x x ＋1，则f(－x)＝lg 1＋x －x ＋1＝lg(1－x x ＋1)－1＝－lg 1－xx ＋1，∴f(x)是奇函数.即函数f(x)的图象关于原点成中心对称. (2)B ＝{x|x 2＋2ax －1＋a 2≤0}，得－1－a ≤x ≤1－a ，即B ＝[－1－a,1－a]， 当a ≥2时，－1－a ≤－3,1－a ≤－1，由A ＝(－1,1)，B ＝[－1－a,1－a]，有A ∩B ＝∅. 反之，若A ∩B ＝∅，可取－a －1＝2，则a ＝－3，a 小于2. 所以，a ≥2是A ∩B ＝∅的充分不必要条件.16.【解题指南】(1)把点P 的坐标代入两函数解析式，结合x 2＋bx ＋c ＝－x 2＋2x ＋d 有唯一解，可求得b ，c ，d ，(2)若F(x)在R 上是单调函数，则F ′(x)在R 上恒有F ′(x)≥0或F ′(x)≤0.【解析】(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝－2－1＋2＋d ＝－2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝－3d ＝－3，且x 2＋bx ＋c ＝－x 2＋2x ＋d ，即2x 2＋(b －2)x ＋c －d ＝0有唯一解， 所以Δ＝(b －2)2－8(c －d)＝0，即b 2－4b －8c －20＝0， 消去c 得b 2＋4b ＋4＝0，解得b ＝－2，c ＝－1，d ＝－3. (2)由(1)知f(x)＝x 2－2x －1，g(x)＝－x 2＋2x －3， 故g ′(x)＝－2x ＋2， F(x)＝(f(x)＋m)·g ′(x) ＝(x 2－2x －1＋m)·(－2x ＋2)＝－2x 3＋6x 2－(2＋2m)x ＋2m －2， F ′(x)＝－6x 2＋12x －2－2m.若F(x)在R 上为单调函数，则F ′(x)在R 上恒有F ′(x)≤0或F ′(x)≥0成立. 因为F ′(x)的图象是开口向下的抛物线， 所以F ′(x)≤0在R 上恒成立，所以Δ＝122＋24(－2－2m)≤0，解得m ≥2， 即m ≥2时，F(x)在R 上为单调递减函数.17.【解析】(1)f ′(x)＝1k (x 2－k 2)e xk ，令f ′(x)＝0，得x ＝±k.当k ＞0时，f(x)与f ′(x)的情况如下：所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k ，＋∞)；单调递减区间是(－k ，k). 当k ＜0时，f(x)与f ′(x)的情况如下：所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k ，＋∞)；单调递增区间是(k ， －k).(2)当k ＞0时，因为f(k ＋1)＝ek 1k+＞1e ，所以不会有∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e. 当k ＜0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝4k2e .所以∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e ，等价于f(－k)＝4k 2e ≤1e ，解得－12≤k ＜0.故对∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e 时，k 的取值范围是[－12，0).18.【解析】(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x 2)件，则月平均利润y ＝a(1－x 2)·[20(1＋x)－15](元)，∴y 与x 的函数关系式为 y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1).(2)y ′＝5a(4－2x －12x 2)，令y ′＝0得x 1＝12，x 2＝－23(舍)，当0<x<12时y ′>0；12<x<1时y ′<0，∴函数y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1)在x ＝12处取得最大值.故改进工艺后，产品的销售价为20(1＋12)＝30元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.【变式备选】某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m 米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元. (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 【解析】(1)设需要新建n 个桥墩，(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx －1，所以y ＝f(x)＝256n ＋(n ＋1)(2＋x)x ＝256(m x －1)＋mx (2＋x)x＝256m x＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x)＝－256m x 2＋1212mx －＝m2x2(x 32－512).令f ′(x)＝0，得x 32＝512，所以x ＝64，当0<x<64时，f ′(x)<0，f(x)在区间(0,64)上为减函数； 当64<x<640时，f ′(x)>0，f(x)在区间(64,640)上为增函数， 所以f(x)在x ＝64处取得最小值，此时， n ＝m x －1＝64064－1＝9， 故需新建9个桥墩才能使y 最小.19.【解题指南】(1)由函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数，可得－m 2＋2m ＋3>0，再由f(x)为偶函数得m 的值.(2)g(x)仅在x ＝0处有极值，则意味着g ′(x)＝0有唯一一个变号零点是0.【解析】(1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴－m 2＋2m ＋3>0即m 2－2m －3<0，∴－1<m<3.又m ∈Z ，∴m ＝0,1,2，而m ＝0,2时，f(x)＝x 3不是偶函数，m ＝1时，f(x)＝x 4是偶函数， ∴f(x)＝x 4.(2)g(x)＝14x 4＋ax 3＋92x 2－b ， g ′(x)＝x(x 2＋3ax ＋9)，显然x ＝0不是方程x 2＋3ax ＋9＝0的根.为使g(x)仅在x ＝0处有极值，则有x 2＋3ax ＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a 2－36≤0，解不等式，得a ∈[－2,2].这时，g(0)＝－b 是唯一极值，∴a ∈[－2,2].20.【解析】(1)∵g(x)＝12(x －1)2＋32，x ∈[0,3]， 当x ＝1时，g(x)min ＝g(1)＝32； 当x ＝3时，g(x)max ＝g(3)＝72， 故g(x)在[0,3]上的值域为[32，72]. (2)f ′(x)＝lnx ＋1，当x ∈(0，1e)，f ′(x)<0，f(x)单调递减， 当x ∈(1e，＋∞)，f ′(x)>0，f(x)单调递增. ①0<t<t ＋2<1e，t 无解； ②0<t<1e <t ＋2，即0<t<1e 时，f(x)min ＝f(1e) ＝－1e； ③1e ≤t<t ＋2，即t ≥1e时，f(x)在[t ，t ＋2]上单调递增，f(x)min ＝f(t)＝tlnt ； 所以f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1e ，0<t<1e tlnt ，t ≥1e .(3)g ′(x)＋1＝x ，所以问题等价于证明xlnx>x e x －2e(x ∈(0，＋∞))，由(2)可知f(x)＝xlnx(x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e ，当且仅当x ＝1e时取到； 设m(x)＝x e x －2e(x ∈(0，＋∞))， 则m ′(x)＝1－x e x ， 易得m(x)max ＝m(1)＝－1e，当且仅当x ＝1时取到，从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有xlnx>g ′(x)＋1e x －2e成立.。
2025届高考数学一轮复习第7章不等式第2节二元一次不等式组及简单的线性规划问题课时跟踪检测理含解析
第七章 不等式其次节 二元一次不等式(组)及简洁的线性规划问题A 级·基础过关 |固根基|1.不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )A B C D解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.结合图形可知选C ．2．(2025届南昌一模)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，3x －y －5≤0表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx 经过区域M 内的点，则实数k 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎦⎤12，2 B ．⎣⎡⎦⎤12，43 C ．⎣⎡⎦⎤12，2D ．⎣⎡⎦⎤43，2解析：选C不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，3x －y －5≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，即三角形ABC (含边界)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，3x －y －5＝0得点A (2，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －y ＋1＝0得点C (1，2)．又直线OA 的斜率为k OA ＝12，直线OC 的斜率为k OC ＝2，而直线y ＝kx 表示过原点O 的直线，因此依据题意可得k OA ≤k ≤k OC ，即12≤k ≤2.3．(2024年浙江卷)若实数x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，3x －y －4≤0，x ＋y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．10D ．12解析：选C 作出可行域如图中阴影部分所示，数形结合可知，当直线z ＝3x ＋2y 过点A (2，2)时，z 取得最大值，z max ＝6＋4＝10.故选C ．4．(2025届贵阳摸底)已知实数x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥4，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最小值为( )A ．11B ．9C ．8D ．3解析：选C 依据不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－3x 并平移，则当直线y ＝－3x ＋z 过点B 时，z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即B (2，2)，故z 的最小值为3×2＋2＝8.故选C ．5．(2025届昆明市质检)若x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －3y －3≤0，且z ＝x ＋2y ，则( )A ．z 有最小值也有最大值B ．z 无最小值也无最大值C ．z 有最小值无最大值D ．z 有最大值无最小值解析：选C 作出可行域如图中阴影部分所示，z ＝x ＋2y 可变形为y ＝－12x ＋z2，所以z的几何意义为直线y ＝－12x ＋z2的纵截距的两倍，结合图形可知，当直线z ＝x ＋2y 过A 点时，z 取最小值，无最大值．6．(2025届郑州市其次次质量预料)设变量x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则目标函数z ＝⎝⎛⎭⎫133x ＋y的最大值为( ) A ．⎝⎛⎭⎫1311B ．⎝⎛⎭⎫133C ．3D ．4解析：选C 可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝⎝⎛⎭⎫133x ＋y，设u ＝3x ＋y ，欲求z＝⎝⎛⎭⎫133x ＋y的最大值，等价于求u ＝3x ＋y 的最小值．u ＝3x ＋y 可化为y ＝－3x ＋u ，该直线的纵截距为u ，作出直线y ＝－3x 并平移，当直线y ＝－3x ＋u 经过点B (－1，2)时，纵截距u 取得最小值u min ＝3×(－1)＋2＝－1，所以z ＝⎝⎛⎭⎫133x ＋y 的最大值z max ＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3.故选C ．7．设x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( )A ．[1，5]B ．[2，6]C ．[2，10]D ．[3，11]解析：选D 设z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2（y ＋1）x ＋1＝1＋2·y ＋1x ＋1，设z ′＝y ＋1x ＋1，则z ′的几何意义为动点P (x ，y )与定点D (－1，－1)连线的斜率．画出可行域如图中阴影部分所示，易知B (0，4)，A ⎝⎛⎭⎫127，127，则z ′∈[k DA ，k DB ]，又k DB ＝4＋10＋1＝5，k DA ＝127＋1127＋1＝1，∴z ′∈[1，5]，所以z ＝1＋2z ′∈[3，11]．8．(2025届济南市高考模拟)已知变量x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －4≤0，－2≤x <2，y ≤1，若z ＝2x －y ，则z 的取值范围是( )A ．[－5，6)B ．[－5，6]C ．(2，9)D ．[－5，9]解析：选A 作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，作出直线y＝2x ，并平移，可知当直线经过点A (－2，1)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－2)－1＝－5；当直线经过点B (2，－2)时，z 取得最大值，z max ＝2×2＋2＝6.由于点B 不在可行域内，所以z ∈[－5，6)，故选A ．9．已知实数x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ＋1，y ≥－x ＋4，x ≥3，则z ＝1－y －3x 的最大值为________．解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋4，x ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即B (3，1)．由图可知，直线z ＝1－y －3x 经过点B (3，1)时，z 取得最大值，z max ＝1－1－3×3＝－9.答案：－910．已知x ，y 满意⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有多数个，则a的值等于________．解析：先依据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝ax ＋y 能和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有多数个，∴－a ＝k AB ＝1，∴a ＝－1.答案：－1B 级·素养提升 |练实力|11.(2025届成都摸底)若实数x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2≤0，x －1≥0，y ≥0，则z ＝x －2y 的最小值为( )A ．0B ．2C ．4D ．6解析：选A 解法一：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z ，作出y ＝12x 并平移，由图可知，当动直线y ＝12x －12z 经过点A 时，z 取得小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋2y －2＝0，得A 1，12，即z min ＝1－2×12＝0，故选A ．解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝12，此时z ＝0；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，此时z ＝2；由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，此时z ＝1.综上所述，z 最小值为0，故选A ． 12．(2025届南昌市重点中学测试)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －5≥0，x －2y ＋1≤0的解集为D ，若∀(x ，y )∈D ，不等式a ≤2x ＋y 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．[3，＋∞)C ．(－∞，6]D ．(－∞，8]解析：选C不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －5≥0，x －2y ＋1≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，设z ＝2x ＋y ，作出直线2x ＋y ＝0，并平移，由图知目标函数z ＝2x ＋y 取得最小值的最优解为A (1，4)，所以目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为6.因为∀(x ，y )∈D ，不等式a ≤2x ＋y 恒成立，所以a ≤6，故选C ．13．(2025届江西五校联考)设点M 是⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0，x －2y ＋6≥0，x ＋2y ＋2≥0表示的区域Ω1内任一点，点N 是区域Ω1关于直线l ：y ＝x 的对称区域Ω2内的任一点，则|MN |的最大值为( )A ． 2B ．2 2C ．4 2D ．5 2解析：选D不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0，x －2y ＋6≥0，x ＋2y ＋2≥0表示的区域Ω1如图中阴影部分所示，因为区域Ω1与区域Ω2关于直线y ＝x 对称，并且M 是区域Ω1内任一点，N 是区域Ω2内任一点，所以当点M 到直线y ＝x 的距离最大，并且点N 为M 关于直线y ＝x 的对称点时，|MN |最大，最大值为点M 到直线y ＝x 距离的2倍，因此转化为求区域Ω1内的点到直线y ＝x 的距离的最大值，由图可知点A (－4，1)到直线y ＝x 的距离最大，为522，所以|MN |的最大值为5 2.14．设实数x ，y 满意⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，y －12x ≥0，x －1≥0，则u ＝y x －xy的取值范围为( )A ．⎣⎡⎦⎤12，2 B ．⎣⎡⎦⎤－23，2 C ．⎣⎡⎦⎤－23，32 D ．⎣⎡⎦⎤－32，32 解析：选D 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，令yx ＝t ，由图可得k BO ≤t ≤k OA ，而12≤t ≤2，则u ＝t －1t 在⎣⎡⎦⎤12，2上明显是增函数，所以当t ＝12时，u min ＝－32；当t ＝2时，u max ＝32，因此u ＝y x －xy的取值范围为⎣⎡⎦⎤－32，32.15．设x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，3x －y ≥1，y ≥x ＋1，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最小值为2，则ab 的最大值为( )A ．1B ．12C ．14D ．16解析：选D 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线ax ＋by ＝0(a >0，b >0)并平移，可知在点A (2，3)处，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最小值2，故2a ＋3b ＝2≥22a ×3b ，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝12，b ＝13时取等号，所以ab ≤16，故选D ．16．(2025届河北五个一名校联盟模拟)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的限量如表所示．假如生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )甲 乙 原料限量 A /吨 3 2 12 B /吨128A ．16万元B ．17万元C ．18万元D ．19万元解析：选C 设该企业每天生产x 吨甲产品，y 吨乙产品，可获得利润为z 万元，则z ＝3x ＋4y ，且x ，y 满意不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，可知当直线经过点A (2，3)时，z 取得最大值，z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．故选C ．。
2023年高考数学一轮复习单元检测二函数含解析文
单元检测(二) 函数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12的定义域是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 2．下列四个函数：①y ＝3－x ；②y ＝2x －1(x >0)；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ≤0），1x（x >0）.其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5的图象过点P (－1，11)，且其对称轴是直线x ＝1，则a ＋b 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．24．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3（x ＋1），x ≥0，g （x ），x <0，则g [f (－8)]＝( )A ．－1B ．－2C ．1D ．25．[2022·湖北武汉武昌调研]函数f (x )＝x 2e x|x |的图象大致为( )6．已知函数y ＝f (x ＋1)是定义域为R 的偶函数，且f (x )在[1，＋∞)上单调递减，则不等式f (2x －1)>f (x ＋2)的解集为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1B ．[1，3)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，3D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3 7．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫67－14，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7615，c ＝log 278，定义在R 上的奇函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0，则f (a )，f (b )，f (c )的大小顺序为( )A ．f (b )>f (a )>f (c )B ．f (c )>f (b )>f (a )C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (b )>f (c )>f (a )8．某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x (正常情况下0≤x ≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y (元)，要求绩效工资不低于500元，不设上限，且让大部分教职工的绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少，则下列函数最符合要求的是( )A ．y ＝(x －50)2＋500B ．y ＝10x25＋500 C ．y ＝11000(x －50)3＋625 D ．y ＝50[10＋lg (2x ＋1)]9．在实数的原有运算法则(“·”“－”仍为通常的乘法和减法)中，我们定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则当x ∈[－2，2]时，函数f (x )＝(1⊕x )·x －(2⊕x )的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．1210．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，g (x )为定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝x 2－2x －5.若f [g (a )]≤2，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[0，22－1]B ．[－1，22－1]C ．(－∞，－1]∪(0，3]D ．[－1，3]11．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f (x )＝2x ＋11＋2x－13，则函数y ＝[f (x )]的值域是( ) A ．{0，1}B ．{－1，1} C ．{－1，0}D ．{－1，0，1}12．已知函数f (x )是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立，且f (3)＝－1，当x 1，x 2∈[0，2]，且x 1≠x 2时，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0.则给出下列命题：①f (2017)＝－1；②函数y ＝f (x )图象的一条对称轴方程为x ＝－4；③函数y ＝f (x )在[－6，－4]上为减函数；④方程f (x )＝0在[－6，6]上有4个根．其中正确的命题个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．函数y ＝log a (x －1)＋4的图象恒过点P ，点P 在幂函数f (x )的图象上，则f (3)＝________．14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（2－x ），x <1，2x ，x ≥1，则f (－2)＋f (log 23)的值是________．15．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________.16．若直角坐标平面内不同两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上，②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )可看成同一个“伙伴点组”).已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k （x ＋1），x <0，x 2＋1，x ≥0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是________________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝log 3(ax 2－x ＋3)，a ∈R . (1)若函数f (x )的定义域为R ，求a 的取值范围；(2)已知集合M ＝[1，3]，方程f (x )＝2的解集为N ，若M ∩N ≠∅，求a 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x . (1)求函数f (x )在R 上的解析式；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知定义域为R 的函数f (x )＝b －2x2x ＋a是奇函数，其中a ，b 为实数．(1)求实数a ，b 的值；(2)用定义证明f (x )在R 上是减函数；(3)若对于任意的t ∈[－2，2]，不等式f (t 2－2t )＋f (－2t 2＋k )<0恒成立，求实数k 的取值范围．20．(本小题满分12分)中国“一带一路”战略构思提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x 台，需另投入成本c (x )(万元)，当年产量不足80台时，c (x )＝12x 2＋40x (万元)；当年产量不小于80台时，c (x )＝101x ＋8100x－2180(万元).若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．(1)求年利润y (万元)关于年产量x (台)的函数关系式；(2)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？21．(本小题满分12分)已知关于x 的函数f (x )＝2x＋(a －a 2)·4x，其中a ∈R . (1)当a ＝2时，求满足f (x )≥0的实数x 的取值范围；(2)若当x ∈(－∞，1]时，函数f (x )的图象总在直线y ＝－1的上方，求a 的整数值．22．(本小题满分12分)函数f (x )＝2x －a x(a ∈R )的定义域为(0，1]. (1)当a ＝－1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)若函数y ＝f (x )在定义域上是减函数，求a 的取值范围；(3)求函数y ＝f (x )在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取得最值时x 的值．单元检测（二） 函数1．答案：C解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12∈[0，2]，x －12∈[0，2]，即⎩⎪⎨⎪⎧x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，52，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32. 2．答案：B解析：①y ＝3－x 的定义域和值域均为R ，②y ＝2x －1（x >0）的定义域为（0，＋∞），值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，③y ＝x 2＋2x －10的定义域为R ，值域为[－11，＋∞），④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ≤0），1x（x >0）的定义域和值域均为R .所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个．3．答案：A解析：因为二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋5的图象的对称轴是直线x ＝1，所以－b2a＝1 ①.又f （－1）＝a －b ＋5＝11，所以a －b ＝6 ②.联立①②，解得a ＝2，b ＝－4，所以a ＋b ＝－2.4．答案：A解析：因为函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （－x ）＝－f （x ）.因为f （8）＝log 3（8＋1）＝2，所以f （－8）＝－2，所以g （f （－8））＝g （－2）＝f （－2）＝－f （2）＝－log 3（2＋1）＝－1.5．答案：A解析：因为x <0时，f （x ）＝x 2e x －x ＝－x e x>0，所以排除选项C 、D.因为x >0时，f （x ）＝x 2e x x＝x e x ，所以f ′（x ）＝e x ＋x e x ＝e x （x ＋1）>0，所以f （x ）在（0，＋∞）上单调递增，排除选项B.6．答案：D解析：因为函数y ＝f （x ＋1）是定义域为R 的偶函数，所以函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称．又因为f （x ）在[1，＋∞）上单调递减，所以不等式f （2x －1）>f （x ＋2）等价于|2x －1－1|<|x ＋2－1|，两边平方整理得3x 2－10x ＋3<0，解得13<x <3.7．答案：B解析：根据题意，函数f （x ）满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞）且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0，则f （x ）在[0，＋∞）上为减函数，又f （x ）为定义域R 上的奇函数，所以函数f （x ）在（－∞，0）上为减函数，所以函数f （x ）在R 上为减函数．因为c ＝log 278<0，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫67－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7614，而b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7615，所以a >b >0，所以f （c ）>f （b ）>f （a ）.8．答案：C解析：由题意知，拟定函数应满足：①是单调递增函数，且增长速度先快后慢再快；②在x ＝50左右增长速度较慢，最小值为500.A 中，函数y ＝（x －50）2＋500先减后增，不符合要求；B 中，函数y ＝10x25＋500是指数型函数，增长速度越来越快，不符合要求；D 中，函数y ＝50[10＋lg （2x ＋1）]是对数型函数，增长速度越来越慢，不符合要求；而C 中，函数y ＝11000（x －50）3＋625是由函数y ＝x 3经过平移和伸缩变换得到的，符合要求．9．答案：C解析：由已知得1⊕x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤1，x 2，x >1，2⊕x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ≤2，x 2，x >2，所以f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≤1，x 3－2，1<x ≤2，x 3－x 2，x >2.当x ≤1时，函数的最大值是f （1）＝－1；当1<x ≤2时，函数的最大值是f （2）＝6.所以当x ∈[－2，2]时，函数f （x ）＝（1⊕x ）·x －（2⊕x ）的最大值等于6.10．答案：A解析：由题意可知g （0）＝0，设x >0，则－x <0，g （x ）＝－g （－x ）＝－x 2－2x ＋5.∵f [g （a ）]≤2，f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，∴g （a ）≥－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a 2－2a －5≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a 2－2a ＋5≥－2或a ＝0， 解得a ≤－1或0≤a ≤22－1. 11．答案：D解析：函数f （x ）＝2x ＋11＋2x －13＝53－21＋2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，53，当－13<f （x ）<0时，y ＝[f （x ）]＝－1；当0≤f （x ）<1时，y ＝[f （x ）]＝0；当1≤f （x ）<53时，y ＝[f （x ）]＝1，所以函数y ＝[f （x ）]的值域是{－1，0，1}．12．答案：D解析：令x ＝－2，由f （x ＋4）＝f （x ）＋f （2），得f （－2）＝0，因为函数y ＝f （x ）是R 上的偶函数，所以f （2）＝f （－2）＝0，所以f （x ＋4）＝f （x ），即函数y ＝f （x ）是以4为周期的周期函数．所以f （2017）＝f （504×4＋1）＝f （1）.因为f （3）＝－1，所以f （－3）＝－1，所以f （1）＝f （－3）＝－1，从而f （2017）＝－1；因为函数y ＝f （x ）的图象关于y 轴对称，周期为4，所以函数y ＝f （x ）图象的一条对称轴方程为x ＝－4；当x 1，x 2∈[0，2]，且x 1≠x 2时，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，设x 1<x 2，则f （x 1）<f （x 2），故函数y ＝f （x ）在[0，2]上是增函数．根据对称性，易知函数y ＝f （x ）在[－2，0]上是减函数，再根据周期性，可知函数y ＝f （x ）在[－6，－4]上为减函数；f （2）＝f （－2）＝0，结合单调性及周期性，可知在[－6，6]上有且仅有f （2）＝f （－2）＝f （6）＝f （－6）＝0，即方程f （x ）＝0在[－6，6]上有4个根．综上所述，4个命题都正确．13．答案：9解析：函数y ＝log a （x －1）＋4的图象恒过点P ，则P （2，4），设幂函数f （x ）＝x α，则2α＝4，解得α＝2，所以f （x ）＝x 2，所以f （3）＝32＝9.14．答案：5解析：∵函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（2－x ），x <1，2x ，x ≥1，∴f （－2）＝log 24＝2，f （log 23）＝2log 23＝3，∴f （－2）＋f （log 23）＝2＋3＝5.15．答案：9解析：∵f （x ）＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f （m ）＝f （n ），∴－log 3m ＝log 3n ，∴mn ＝1.∵f （x ）在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f （x ）在[m 2，1）上是减函数，在（1，n ]上是增函数，∴－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，则m ＝13，n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意；同理，若log 3n ＝2，则n ＝9，m ＝19，此时－log 3m 2＝4>2，不满足题意．综上可知，m ＝13，n ＝3，此时nm＝9.16．答案：（2＋22，＋∞）解析：设点（m ，n ）（m >0）是函数y ＝f （x ）的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点（－m ，－n ）必在该函数图象上，故⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m 2＋1，－n ＝k （－m ＋1），消去n ，整理得m 2－km ＋k ＋1＝0.若函数f （x ）有两个“伙伴点组”，则该方程有两个不相等的正实数根，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝k 2－4（k ＋1）>0，k >0，k ＋1>0，解得k >2＋2 2.故实数k 的取值范围是（2＋22，＋∞）. 17．解析：（1）因为函数的定义域为R ，所以ax 2－x ＋3>0恒成立， 当a ＝0时，－x ＋3>0不恒成立，不符合题意； 当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－12a <0，解得a >112.综上所述，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫112，＋∞.（2）由题意可知，ax 2－x ＋3＝9在[1，3]上有解， 即a ＝6x 2＋1x在[1，3]上有解．设t ＝1x ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1，则a ＝6t 2＋t .因为y ＝6t 2＋t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1上单调递增，所以y ∈[1，7].所以a ∈[1，7].18．解析：（1）x <0时，－x >0，f （－x ）＝－（－x ）2－2x ＝－x 2－2x 又f （x ）为R 上的奇函数，∴f （x ）＝－f （－x ）＝x 2＋2x 又∵当x ＝0时，f （0）＝0∴f （x ）的解析式为f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x <0.（2）由（1）知：f （x ）＝－x 2＋2x （x ≥0）在[0，1]上单调递增．f （x ）＝x 2＋2x （x <0）在[－1，0）上单调递增，∴f （x ）在[－1，1]上单调递增，又f （x ）在[－1，a －2]上单调递增，∴[－1，a －2]⊆[－1，1]，∴－1<a －2≤1，1<a ≤3. 即a 的取值范围是（1，3].19．解析：（1）∵f （x ）是R 上的奇函数，∴f （0）＝0，可得b ＝1. 又f （－1）＝－f （1），∴1－2－12－1＋a ＝－1－22＋a，解得a ＝1.经检验，当a ＝1且b ＝1时，f （x ）＝1－2x2x ＋1，满足f （x ）是R 上的奇函数．（2）由（1）得f （x ）＝1－2x2x ＋1＝－1＋22x ＋1.任取实数x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝22x 1＋1－22x 2＋1＝2（2x 2－2x 1）（2x 1＋1）（2x 2＋1）.∵x 1<x 2，∴2x 1<2x 2，且（2x 1＋1）（2x 2＋1）>0， ∴f （x 1）－f （x 2）>0，即f （x 1）>f （x 2）， ∴函数f （x ）在R 上为减函数．（3）由（1）和（2）知，函数f （x ）是奇函数且在R 上为减函数， ∴不等式f （t 2－2t ）＋f （－2t 2＋k ）<0恒成立， 即f （t 2－2t ）<－f （－2t 2＋k ）＝f （2t 2－k ）恒成立， 故t 2－2t >2t 2－k 对任意的t ∈[－2，2]恒成立， 即k ＞t 2＋2t 对任意的t ∈[－2，2]恒成立， 令h （t ）＝t 2＋2t ＝（t ＋1）2－1，t ∈[－2，2]， 易知当t ＝2时，h （t ）取得最大值8，∴k >8. 故实数k 的取值范围是（8，＋∞）.20．解析：（1）当0<x <80时，y ＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋40x －500＝－12x 2＋60x －500；当x ≥80时，y ＝100x －⎝⎛⎭⎪⎫101x ＋8100x－2180－500＝1680－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8100x . ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋60x －500，0<x <80，x ∈N *，1680－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8100x ，x ≥80，x ∈N *.（2）当0<x <80时，y ＝－12（x －60）2＋1300，∴当x ＝60时，y 取得最大值，最大值为1300万元；当x ≥80时，y ＝1680－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋8100x ≤1680－2x ·8100x ＝1500，当且仅当x ＝8100x，即x ＝90时，y 取得最大值，最大值为1500万元．11 综上，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备生产中所获利润最大，最大利润为1500万元．21．解析：（1）当a ＝2时，f （x ）＝2x －2·4x ≥0，即2x ≥22x ＋1，所以x ≥2x ＋1，解得x ≤－1.故实数x 的取值范围是（－∞，－1].（2）由题意知f （x ）>－1在x ∈（－∞，1]上恒成立， 即a －a 2>－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在x ∈（－∞，1]上恒成立． 因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在x ∈（－∞，1]上均单调递减， 所以y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在（－∞，1]上单调递增， 最大值为－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝－34. 因此a －a 2>－34，解得－12<a <32.故实数a 的整数值是0，1. 22．解析：（1）由题意知，f （x ）＝2x ＋1x ≥22，当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时等号成立，所以函数y ＝f （x ）的值域为[22，＋∞）.（2）若函数y ＝f （x ）在定义域上是减函数，则任取x 1，x 2∈（0，1]，且x 1<x 2，都有f （x 1）>f （x 2）成立，即f （x 1）－f （x 2）＝（x 1－x 2）⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a x 1x 2＝（x 1－x 2）·a ＋2x 1x 2x 1x 2>0成立，只要a ＋2x 1x 2<0，即a <－2x 1x 2成立．由x 1，x 2∈（0，1]，得－2x 1x 2∈（－2，0），所以a ≤－2，故a 的取值范围是（－∞，－2].（3）当a ≥0时，函数y ＝f （x ）在（0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a ；由（2）知，当a ≤－2时，y ＝f （x ）在（0，1]上单调递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ；当－2<a <0时，函数y ＝f （x ）在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－2a 2，1上单调递增，无最大值，当x ＝－2a 2时，取得最小值2－2a .。
高考数学一轮复习专题二不等式3基本不等式与不等式的综合应用专题检测含解析新人教A版
基本不等式与不等式的综合应用专题检测1.(2020山东师大附中第一次月考,12)下列不等式一定成立的是( ) A.lg (x 2+14)>lg x (x >0) B.sin x +1sin x ≥2(x ≠k π,k ∈Z) C.x 2+1≥2|x |(x ∈R) D.1x 2+1>1(x ∈R)答案 C 本题主要考查应用基本不等式求最值,考查的核心素养是逻辑推理.对于A,由于x 2+14≥2√x 2·14=x ,当且仅当x =12时,取“=”,故A 不正确;对于B,当x ∈(π,2π)时,sin x <0,sin x +1sin x ≤-2,故B 不正确;对于C,x 2+1-2|x |=(|x |-1)2≥0恒成立,故C 正确; 对于D,当x =0时,1x 2+1=1,故D 不正确.2.(2020西南四省八校9月联考,12)若x >0,y >0,x +2y =1,则xx2x +x 的最大值为 ( ) A.14 B.15 C.19 D.112 答案 C xx 2x +x =12x +1x,∵x >0,y >0,x +2y =1,∴1x +2x =(1x +2x )·1=(1x +2x )(x +2y )=5+2x x +2xx≥5+2√2x x ·2x x =5+4=9,当且仅当{2x x =2xx ,x +2x =1,即x =y =13时,取“=”,∴12x +1x≤19,故xx 2x +x的最大值为19,选C . 3.(2020山东青岛期初调研,8)函数f (x )=x 2+x +2x +4x 2(x >0)的最小值为 ( )A.4+2√2B.4√2C.8D.√2+2 答案 A ∵x >0,∴f (x )=x 2+x +2x +4x 2=x 2+4x 2+x +2x ≥2√x 2·4x 2+2√x ·2x =4+2√2,当且仅当{x 2=4x 2,x =2x ,即x =√2时取“=”,∴f (x )min =4+2√2,故选A .4.(2018福建厦门外国语中学模拟,10)已知实数a >0,b >0,1x +1+1x +1=1,则a +2b 的最小值是( )A.3√2B.2√2C.3D.2答案 B ∵a >0,b >0,∴a +1>1,b +1>1,又∵1x +1+1x +1=1,∴a +2b =[(a +1)+2(b +1)]-3=[(a +1)+2(b +1)]·(1x +1+1x +1)-3=1+2(x +1)x +1+x +1x +1+2-3≥2√2(x +1)x +1·x +1x +1=2√2,当且仅当2(x +1)x +1=x +1x +1时取“=”,故选B .5.(2018河北大名一中月考)已知关于x 的不等式x 2-4ax +3a 2<0(a <0)的解集为(x 1,x 2),则x 1+x 2+xx1x 2的最大值是 ( )A.√63B.2√33C.4√33D.-4√33答案 D 由题意知x 1,x 2是方程x 2-4ax +3a 2=0的两根. 由根与系数的关系得x 1x 2=3a 2,x 1+x 2=4a ,∴x 1+x 2+x x 1x 2=4a +13x ,∵a <0,∴-(4x +13x )≥2√4x ·13x=4√33,即4a +13x≤-4√33,当且仅当4a =13x,即a =-√36时,取“=”,故x 1+x 2+x x1x 2的最大值为-4√33.故选D.6.(2019晋冀鲁豫名校期末联考,10)已知函数f (x )=x 2e x,若a >0,b >0,p =f (x 2+x 22),q =f ((x +x 2)2),r =f (ab ),则( )A.q ≤r ≤pB.q ≤p ≤rC.r ≤p ≤qD.r ≤q ≤p 答案 D 因为x 2+x 22-(x +x 2)2=2x 2+2x 24-x 2+x 2+2xx 4=(x -x )24≥0,所以x 2+x 22≥(x +x 2)2,又x +x 2≥√xx (a >0,b >0),所以(x +x 2)2≥ab.易得函数f (x )=x 2e x在(0,+∞)上单调递增,所以f (ab )≤f ((x +x 2)2)≤f (x 2+x 22),即r ≤q ≤p.7.(2020河南濮阳第二次检测,9)已知a >2,b >2,则x 2x -2+x 2x -2的最小值为 ()A.2B.4C.6D.16答案 D 因为a >2,b >2,所以a -2>0,b -2>0. 令x =b -2,y =a -2,则x >0,y >0. 原式=(x +2)2x+(x +2)2x≥2√(x +2)2x·(x +2)2x =2√[xx +2(x +x )+4]2xx≥2√(xx +4√xx +4)2xx =2√(√xx +√xx)2=2√(√xx √xx4)2≥2√(2√√xx ·√xx+4)2=16.当且仅当x =y =2时取等号.故选D .思路分析 利用换元思想,设x =b -2,y =a -2,则x >0,y >0,将原式化为(x +2)2x+(x +2)2x,两次使用基本不等式求解.8.(2019新疆昌吉教育共同体联考,9)在1和17之间插入(n -2)个数,使这n 个数成等差数列,若这(n -2)个数中第一个为a ,第(n -2)个为b ,当1x +25x 取最小值时,n 的值为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9答案 D 由已知得a +b =18,则1x +25x =(1x +25x )×x +x 18=118(1+25+x x +25xx)≥118×(26+10)=2,当且仅当b =5a 时取等号,此时a =3,b =15,可得n =9.故选D.9.(2019辽宁沈阳东北育才学校五模,9)已知函数f (x )=2x -12x +1+x +sin x ,若正实数a ,b 满足f (4a )+f (b -9)=0,则1x +1x 的最小值是 ( )A.1B.92 C.9 D.18答案 A 因为f (x )=2x -12x +1+x +sin x ,所以f (-x )=2-x -12-x +1-x -sin x =-(2x -12x +1+x +sin x )=-f (x ),所以函数f (x )为奇函数,易知f (x )单调递增,又正实数a ,b 满足f (4a )+f (b -9)=0,所以4a +b -9=0,所以1x +1x =19(1x +1x )(4a +b )=194+x x +4x x +1=19(5+x x +4xx)≥19×(5+2√4)=1,当且仅当x x =4xx,即b =2a =3时,取等号.故选A .10.(2020黑龙江道里检测,10)设a ,b ,c ,d 均为大于零的实数,且abcd =1,令m =a (b +c +d )+b (c +d )+cd ,则a 2+b 2+m 的最小值为( )A.8B.4+2√3C.5+2√3D.4√3 答案 B ∵a ,b ,c ,d 均大于零且abcd =1,m =a (b +c +d )+b (c +d )+cd ,∴a 2+b 2+m =a 2+b 2+(a +b )(c +d )+ab +cd ≥2ab +2√xx ·2√xx +ab +cd =4+3ab +cd ≥4+2√3xxxx =4+2√3,当且仅当a =b ,c =d ,3ab =cd ,即a =b =(13)14,c =d =314时取等号,∴a 2+b 2+m 的最小值为4+2√3.故选B . 11.(多选题)(2020山东烟台期中,11)下列结论正确的是 ( )A.若a >b >0,c <d <0,则一定有x x >xx B.若x >y >0,且xy =1,则x +1x >x2x >log 2(x +y ) C.设{a n }是等差数列,若a 2>a 1>0,则a 2>√x 1x 3D.若x ∈[0,+∞),则ln(1+x )≥x -18x 2答案 AC 对于A,∵c <d <0,∴-c >-d >0,∴-1x >-1x >0, 又∵a >b >0,∴-x x >-x x >0,∴x x >xx ,故A 正确;对于B,∵x >y >0,且xy =1,∴可取x =2,y =12,此时x +1x =4,x2x =124=18,log 2(x +y )=log 252>log 22=1,故不满足x +1x >x2x >log 2(x +y ),故B 不正确;对于C,∵{a n }是等差数列,∴a 2=x 1+x 32.又∵a 3-a 2=a 2-a 1>0,∴a 3>a 2>a 1>0,∴x 1+x 32>√x 1x 3,即a 2>√x 1x 3,故C 正确;对于D,令f (x )=ln(1+x )-x +18x 2,x ≥0,则f'(x )=11+x -1+14x =1-(1+x )+14x (1+x )1+x=14x 2-34x 1+x=x 2-3x4(1+x ),x >0,令f'(x )>0,可得x >3,令f'(x )<0,可得0<x <3,因此函数f (x )=ln(1+x )-x +18x 2在[0,3)上为减函数,在[3,+∞)上为增函数, ∵f (0)=ln1-0+0=0,∴当x ∈(0,3]时,f (x )<0恒成立,故当x ∈[0,+∞)时,ln(1+x )≥x -18x 2不恒成立,故D 不正确,故选AC .12.(2019湖北黄冈元月调研,15)若关于x 的不等式x +4x -x ≥5在x ∈(a ,+∞)上恒成立,则实数a 的最小值为 . 答案 1解析 关于x 的不等式x +4x -x ≥5在x ∈(a ,+∞)上恒成立,即x -a +4x -x ≥5-a 在x ∈(a ,+∞)上恒成立,由x >a 可得x -a >0,则x -a +4x -x ≥2√(x -x )·4x -x =4,当且仅当x -a =2,即x =a +2时,上式取得最小值4,则5-a ≤4,可得a ≥1,故a 的最小值为1. 13.(2020上海复旦大学附中9月综合练,8)已知x 2+2x +2x ≤4x 2-x+1对于任意的x ∈(1,+∞)恒成立,则a 的取值范围是 . 答案 [-3,1] 解析 由已知x 2+2x +2x ≤4x 2-x+1对于任意的x ∈(1,+∞)恒成立可知,a 2+2a +2≤4x -1+x 对于任意的x ∈(1,+∞)恒成立,令g (x )=4x -1+x ,x >1,则g (x )=4x -1+x -1+1≥2√4x -1·(x -1)+1=5,当且仅当x =3时取“=”,∴a 2+2a +2≤g (x )min =5,∴a 2+2a -3≤0,∴-3≤a ≤1,故答案为[-3,1].14.(2019安徽黄山八校联考,16)不等式(a cos 2x -3)sin x ≥-3对任意x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是 . 答案 [-32,12]解析 令g (x )=(a cos 2x -3)sin x ,sin x =t ,-1≤t ≤1,则原函数化为g (t )=(-at 2+a -3)t ,即g (t )=-at 3+(a -3)t ,由-at 3+(a -3)t ≥-3整理得(t -1)[-at (t +1)-3]≥0,由t -1≤0知,-at (t +1)-3≤0,即a (t 2+t )≥-3,当t =0,-1时该不等式恒成立,当0<t ≤1时,0<t 2+t ≤2,a ≥(-3x 2+x )max=-32;当-1<t <0时,-14≤t 2+t <0,a ≤(-3x 2+x)min=12,从而可知-32≤a ≤12.。
人教A版高三数学文科一轮复习滚动检测试卷(二)含答案
高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测二第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(·浏阳联考)设全集U ＝R ，A ＝{x |2x (x－2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |x ≤1}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |1≤x <2}2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ≤0，f (x －1)＋1，x >0，则f (43)＋f (－43)的值为( ) A.12 B ．－12C ．－1D ．1 3．(·湖北荆州中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋1，x ≥1，ax 2＋x ＋1，x <1，则－2≤a ≤1是f (x )在R 上单调递增的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．(·山东枣庄八中阶段检测)若方程|x 2＋4x |＝m 有实数根，则所有实数根的和可能是( )A ．－2，－4，－6B ．－4，－5，－6C ．－3，－4，－5D ．－4，－6，－85．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的大致图象为( )6．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝⎛⎭⎫π6，则f ⎝⎛⎭⎫π3与f ⎝⎛⎭⎫－π3的大小关系是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π3 C ．f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π3 D ．不确定7．(·渭南质检一)已知函数f (x )满足f (－x )＝f (x )和f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝1－x ，则关于x 的方程f (x )＝(13)x 在x ∈[0,4]上解的个数是( ) A ．5B ．4C ．3D ．28．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( )A ．f (x 1)＋f (x 2)<0B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x 1)－f (x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<010．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3]B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]11．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋32)，且f (1)＝2，则f (2 017)等于( ) A ．－1B ．2C ．－2 D.312．(·济源模拟)函数f (x )的定义域为A ，若当x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时，总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如：函数f (x )＝2x ＋1 (x ∈R )是单函数．给出下列结论：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②指数函数f (x )＝2x (x ∈R )是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中正确结论的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设函数f (x )＝1＋(－1)x 2(x ∈Z )，给出以下三个结论：①f (x )为偶函数；②f (x )为周期函数；③f (x ＋1)＋f (x )＝1，其中正确结论的序号是________．14．关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题： ①其图象关于y 轴对称；②当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )是减函数；③f (x )的最小值是lg 2；④f (x )在区间(－1,0)，(2，＋∞)上是增函数；⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是________．15．(·江西省五校协作体高三期中)下列四个命题：①∃x ∈(0，＋∞)，(12)x >(13)x ； ②∃x ∈(0，＋∞)，log 2x <log 3x ；③∀x ∈(0，＋∞)，(12)x >log 12x ； ④∀x ∈(0，13)，(12)x <log 13x . 其中正确命题的序号是________．16．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)． ①f (x )＝sin x ＋cos x ；②f (x )＝ln x －2x ；③f (x )＝－x 3＋2x －1；④f (x )＝x e x .三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(·黄冈中学月考)若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )满足f (x ＋1)－f (x )＝4x ＋1，且f (0)＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>6x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．18．(12分)定义在[－1,1]上的奇函数f (x )，已知当x ∈[－1,0]时的解析式为f (x )＝14x －a 2x (a ∈R )． (1)写出f (x )在(0,1]上的解析式；(2)求f (x )在(0,1]上的最大值．19.(12分)(·哈尔滨三中第一次测试)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )对任意正数m ，n 都有f (mn )＝f (m )＋f (n )－12，当x >1时，f (x )>12，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0. (1)求f (2)的值；(2)解关于x 的不等式f (x )＋f (x ＋3)>2.20．(12分)经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t (天)的函数，且日销售量近似地满足g (t )＝－13t ＋1123(1≤t ≤100，t ∈N )，前40天价格为f (t )＝14t ＋22(1≤t ≤40，t ∈N )，后60天价格为f (t )＝－12t ＋52(41≤t ≤100，t ∈N )，试求该商品的日销售额s (t )的最大值和最小值．21.(12分)(·广东阳东一中模拟)已知函数f (x )＝ax ＋x ln|x ＋b |是奇函数，且图象在点(e ，f (e))处的切线斜率为3(e 为自然对数的底数)．(1)求实数a 、b 的值；(2)若k ∈Z ，且k <f (x )x －1对任意x >1恒成立，求k 的最大值．22．(12分)(·沈阳质检)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值；(2)讨论g (x )与g ⎝⎛⎭⎫1x 的大小关系；(3)令h (x )＝g (x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ，若对任意x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，1，存在a ∈[1，e]，使h (x )>m －f (a )成立，求实数m 的取值范围．答案解析1．D 2.D 3.B4．D [若方程|x 2＋4x |＝m 有实数根，先讨论根的个数，可能为2个，3个，4个．易求所有实数根的和可能为－4，－6，－8.故选D.]5．C [∵当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)，∴设x ≤0，得－x ≥0，f (－x )＝ln(－x ＋1)，又∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即当x ≤0时，f (x )＝ln(－x ＋1)．当x ≥0时，原函数由对数函数y ＝ln x 图象左移一个单位而得，当x ≥0时函数为增函数，函数图象是上凸的，故选C.]6．C [依题意得f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6，∴f ′⎝⎛⎭⎫π6＝12. ∴f (x )＝cos x ＋x ，则f ⎝⎛⎭⎫π3＝cos π3＋π3＝12＋π3， f ⎝⎛⎭⎫－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－π3－π3＝12－π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫π3>f ⎝⎛⎭⎫－π3.]7．A [因为f (－x )＝f (x )，故f (x )为偶函数；因为f (x ＋2)＝f (x )，故T ＝2.作出f (x )在[0,4]上的图象如图所示，再作出g (x )＝(13)x 的图象，可知f (x )和g (x )在[0,4]上有5个交点，即方程f (x )＝(13)x 在[0,4]上解的个数为5，故选A.]8．D [f ′(x )＝k －1x ，由已知得f ′(x )≥0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，故k ≥1x在(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x<1， 故k 的取值范围是[1，＋∞)．]9．D [函数f (x )的图象如图所示：且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数．又0<|x 1|<|x 2|，∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0.]10．C [不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变形为ax 3≥x 2－4x －3.当x ＝0时，0≥－3恒成立，故实数a 的取值范围是R .当x ∈(0,1]时，a ≥x 2－4x －3x 3恒成立，记f (x )＝x 2－4x －3x 3， f ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－(x －9)(x ＋1)x 4>0，故函数f (x )单调递增，则f (x )max ＝f (1)＝－6，故a ≥－6.当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3x 3恒成立， 记f (x )＝x 2－4x －3x 3， 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝9(舍去)，当x ∈[－2，－1)时，f ′(x )<0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，故f (x )min ＝f (－1)＝－2，则a ≤－2.综上所述，实数a 的取值范围是[－6，－2]．]11．B [∵f (x )＝－f (x ＋32)， ∴f (x ＋3)＝f [(x ＋32)＋32]＝－f (x ＋32)＝f (x )． ∴f (x )是以3为周期的周期函数，则f (2 017)＝f (672×3＋1)＝f (1)＝2.]12．A [由单函数的定义可知，函数值相同则自变量也必须相同．依题意可得①不正确，②正确，③正确，④正确．]13．①②③解析 对于x ∈Z ，f (x )的图象为离散的点，关于y 轴对称，①正确；f (x )为周期函数，T ＝2，②正确；f (x ＋1)＋f (x )＝1＋(－1)x ＋12＋1＋(－1)x 2＝1＋(－1)x ＋1＋(－1)x 2＝1，③正确． 14．①③④解析 根据已知条件可知f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)为偶函数，显然利用偶函数的性质可知命题①正确；对真数部分分析可知最小值为2，因此命题③成立；利用复合函数的性质可知命题④成立；命题②，单调性不符合复合函数的性质，因此错误；命题⑤，函数有最小值，因此错误，故填写①③④.15．①②④解析 ①∃x ∈(0，＋∞)，(12)x >(13)x 是真命题，如x ＝2，14>19成立； ②∃x ∈(0，＋∞)，log 2x <log 3x 是真命题，如x ＝12， log 212＝－1，log 312>log 313＝－1， 即∃x ∈(0，＋∞)，log 2x <log 3x ；③∀x ∈(0，＋∞)，(12)x >log 12x 是假命题， 如x ＝12，log 1212＝1>(12)12； ④∀x ∈(0，13)，(12)x <log 13x 是真命题，因为∀x ∈(0，13)，(12)13<(12)x <1，log 13x >1. 16．①②③解析 ①中，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4<0在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立；②中，f ′(x )＝1x －2(x >0)，f ″(x )＝－1x 2<0在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立；③中，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上恒小于0.故①②③为凸函数．④中，f ′(x )＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝2e x ＋x e x ＝e x (x ＋2)>0在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立，故④中函数不是凸函数． 17．解 (1)由f (0)＝3，得c ＝3.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3.又f (x ＋1)－f (x )＝4x ＋1，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4x ＋1， 即2ax ＋a ＋b ＝4x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝4，a ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1.∴f (x )＝2x 2－x ＋3.(2)f (x )>6x ＋m 等价于2x 2－x ＋3>6x ＋m ，即2x 2－7x ＋3>m 在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝2x 2－7x ＋3，x ∈[－1,1]，则g (x )min ＝g (1)＝－2，∴m <－2.18．解 (1)设x ∈(0,1]，则－x ∈[－1,0)，f (－x )＝14－x －a 2－x ＝4x －a ·2x ， 又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝a ·2x －4x ，x ∈(0,1]．(2)因为f (x )＝a ·2x －4x ，x ∈(0,1]，令t ＝2x ，t ∈(1,2]，所以g (t )＝at －t 2＝－(t －a 2)2＋a 24， 当a 2≤1，即a ≤2时，g (t )<g (1)＝a －1，此时f (x )无最大值；当1<a 2<2，即2<a <4时，g (t )max ＝g (a 2)＝a 24； 当a 2≥2，即a ≥4时，g (t )max ＝g (2)＝2a －4. 综上所述，当a ≤2时，f (x )无最大值，当2<a <4时，f (x )的最大值为a 24， 当a ≥4时，f (x )的最大值为2a －4.19．解 (1)f (1)＝f (1)＋f (1)－12，解得f (1)＝12. f ⎝⎛⎭⎫2×12＝f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12－12，解得f (2)＝1. (2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1－12.因为x 1<x 2，所以x 2x 1>1，则f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1>12，f (x 2)－f (x 1)>0， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．因为f (4)＝f (2)＋f (2)－12＝32， 所以f (x )＋f (x ＋3)＝f (x 2＋3x )＋12>2， 即f (x 2＋3x )>32＝f (4)． 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x ＋3>0，x 2＋3x >4，解得x ∈(1，＋∞)．20．解 当1≤t ≤40，t ∈N 时，s (t )＝g (t )f (t )＝(－13t ＋1123)(14t ＋22) ＝－112t 2＋2t ＋112×223＝－112(t －12)2＋2 5003， 所以768＝s (40)≤s (t )≤s (12)＝112×223＋12＝2 5003. 当41≤t ≤100，t ∈N 时，s (t )＝g (t )f (t )＝(－13t ＋1123)(－12t ＋52) ＝16t 2－36t ＋112×523＝16(t －108)2－83， 所以8＝s (100)≤s (t )≤s (41)＝1 4912. 所以s (t )的最大值为2 5003，最小值为8. 21．解 (1)由f (x )＝ax ＋x ln|x ＋b |＝x (a ＋ln|x ＋b |)是奇函数，则y ＝a ＋ln|x ＋b |为偶函数，∴b ＝0.又x >0时，f (x )＝ax ＋x ln x ，∴f ′(x )＝a ＋1＋ln x ，∵f ′(e)＝3，∴a ＝1.(2)当x >1时，令g (x )＝f (x )x －1＝x ＋x ln x x －1， ∴g ′(x )＝x －2－ln x (x －1)2，令h (x )＝x －2－ln x ， ∴h ′(x )＝1－1x ＝x －1x>0， ∴y ＝h (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴h (1)＝－1<0，h (3)＝1－ln 3<0，h (4)＝2－ln 4>0，∴存在x 0∈(3,4)，使得h (x 0)＝0，则x ∈(1，x 0)，h (x )<0，g ′(x )<0，y ＝g (x )为减函数．x ∈(x 0，＋∞)，h (x )>0，g ′(x )>0，y ＝g (x )为增函数．∴g (x )min ＝g (x 0)＝x 0＋x 0ln x 0x 0－1＝x 0. ∴k <x 0，又x 0∈(3,4)，k ∈Z ，∴k max ＝3.22．解 (1)由题设知f (x )＝ln x ，g (x )＝ln x ＋1x，定义域为(0，＋∞)． 所以g ′(x )＝x －1x 2，令g ′(x )＝0得x ＝1， 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调递减区间．当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间． 所以g (x )最小值＝g (1)＝1.综上，g (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)，最小值为1.(2)g ⎝⎛⎭⎫1x ＝－ln x ＋x .设h (x )＝g (x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ＝2ln x －x ＋1x， 则h ′(x )＝－(x －1)2x 2≤0， 因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减．又h (1)＝0，当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫1x ；当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g ⎝⎛⎭⎫1x ；当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g ⎝⎛⎭⎫1x .(3)由(2)知h (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，1上单调递减，∴h (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，1上的最小值为h (1)＝0，又对任意x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，1，使h (x )>m －f (a )成立，则m －f (a )<h (x )最小值＝h (1)＝0，即m <f (a )． 又存在a ∈[1，e]，使m <f (a )成立， 又f (x )＝ln x 是增函数， 所以m <f (a )最大值＝f (e)＝1. 所以m <1.。
2023年新高考数学一轮复习2-3 二次函数与一元二次方程、不等式(真题测试)解析版
专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（真题测试）一、单选题1．（2021·河北·沧县中学高一阶段练习）函数()()()[]224,,21,2,2,1x x x f x x x ∞∞⎧--+∈--⋃+⎪=⎨-+∈-⎪⎩的值域为（ ）A ．(],4∞-B ．(],2-∞C ．[)1,+∞D ．(),4-∞【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数的性质求解. 【详解】解：()()()[]224,,21,2,2,1x x x f x x x ∞∞⎧--+∈--⋃+⎪=⎨-+∈-⎪⎩, 当[]2,1x ∈-，()[]21,4f x x =-+∈，当()()1,,2x ∈+∞⋃-∞-，()()2154f x x =-++<，所以()(,4]∈-∞f x ， 故选：A2．（2008·江西·高考真题（文））已知函数2()2(4)4f x x m x m =+-+-，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 A ．[4,4]- B ．(4,4)-C ．(,4)-∞D ．(,4)-∞-【答案】C 【解析】 【详解】当2160m ∆=-<时，显然成立当4,(0)(0)0m f g ===时，显然不成立； 当24,()2(2),()4m f x x g x x =-=+=-显然成立；当4m <-时12120,0x x x x +，则()0f x =两根为负，结论成立故4m <,故选C.3．（2014·北京·高考真题（文））加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足函数关系p=at 2+bt+c （a ，b ，c 是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟【答案】B 【解析】 【详解】由图形可知，三点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函数2p at bt c =++的图象上，所以930.7{1640.82550.5a b c a b c a b c ++=++=++=，解得0.2, 1.5,2a b c =-==-，所以20.2 1.52p t t =-+-=215130.2()416t --+，因为0t >，所以当153.754t ==时，p 取最大值， 故此时的t=3.75分钟为最佳加工时间，故选B.4．（2022·河南·焦作市第一中学高二期中（文））设p ：二次函数()()210f x ax ax a =++≠的图象恒在x 轴的上方，q ：关于x 的方程22210x ax a -+-=的两根都大于－1，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】 由p 可得20Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，由q 可得1111a a ->-⎧⎨+>-⎩，进而判断两集合关系，即可得到答案. 【详解】由p ，则2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<；由q ，方程22210x ax a -+-=的两根为11x a =-，21x a =+，则1111a a ->-⎧⎨+>-⎩，解得0a >，因为{}04a a << {}0a a > ，所以p 是q 的充分不必要条件， 故选：A5．（2022·陕西·长安一中高一期中）设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，(1)1f -=-．若函数()221f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，则当[1,1]a ∈-时，t 的取值范围是（ ） A ．22t -≤≤B ．1122t -≤≤C ．2t ≤-，或0=t ，或2t ≥D ．12t ≤-，或0=t ，或12t ≥【答案】C 【解析】 【分析】求出函数()f x 在[1,1]-上的最大值，再根据给定条件建立不等关系，借助一次型函数求解作答. 【详解】因奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，(1)1f -=-，则max ()(1)(1)1f x f f ==--=， 依题意，[1,1]a ∈-，22211()20t at g a ta t -+≥⇔=-+≥恒成立，则有22(1)20(1)20g t t g t t ⎧-=+≥⎨=-≥⎩，解得2t ≤-或0=t 或2t ≥， 所以t 的取值范围是2t ≤-或0=t 或2t ≥. 故选：C6．（2016·浙江·高考真题（文））已知函数f(x)=x 2+bx ，则“b ＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由题意知222()()24b b f x x bx x =+=+-，最小值为24b -．令2=+t x bx ，则2222(())()(),244b b b f f x f t t bt t t ==+=+-≥-，当0b <时，(())f f x 的最小值为24b-，所以“0b <”能推出“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”；当0b =时，4(())=f f x x 的最小值为0，()f x 的最小值也为0，所以“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”不能推出“0b <”．故选A ．7．（2022·广东佛山·二模）设,,R a b c ∈且0a ≠，函数2(),()(2)()g x ax bx c f x x g x =++=+，若()()0f x f x +-=，则下列判断正确的是（ ） A ．()g x 的最大值为-a B ．()g x 的最小值为-a C ．()()22g x g x +=- D ．()()2g x g x +=-【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，用a 表示b ，c ，再结合二次函数的性质求解作答. 【详解】依题意，232()(2)()(2)(2)2f x x ax bx c ax a b x b c x c =+++=+++++，因()()0f x f x +-=，则()f x 是奇函数，于是得2020a b c +=⎧⎨=⎩，即2,0b a c =-=， 因此，22()2(1)g x ax ax a x a =--=-，而0a ≠，当0a >时，()g x 的最小值为-a ，当0a <时，()g x 的最大值为-a ，A ，B 都不正确；2(2)(1)g x a x a +=+-，2(2)(1)g x a x a -=-+-，22()(1)(1)g x a x a a x a -=---=+-，即()()22g x g x +≠-，()()2g x g x +=-，因此，C 不正确，D 正确. 故选：D8．（2022·浙江金华第一中学高一阶段练习）当11x -时，21ax bx c ++恒成立，则（ ）A ．当2a =时，||||1b c +=B ．当2a =时，||||2b c +=C ．当1b =时，||0a c +=D ．当1b =时，||||0a c +=【答案】AC 【解析】 【分析】先举出反例，排除BD 选项，对于A 选项，根据绝对值三角不等式，得到11b -≤≤，31c -≤≤-，再根据14b f ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭得到288c b ≥-，综合得到88c =-，288b -=-，求出1c =-，0b =，从而判断出A 正确；D 选项，利用类似方法得到0a c +=，验证后得到结论. 【详解】当2a =时，221x bx c ++在11x -上恒成立，可取0,1b c ==-，验证可知符合题意，此时2b c +≠，B 错误；当1b =时，21ax x c ++在11x -上恒成立，可取11,44a c ==-，验证可知符合题意，故D 错误；对于A 选项，令()22f x x bx c =++，必有()()11,11f f ≤-≤，即21,21b c b c ++≤-+≤，则222222b c b c b c b c b ≥+++-+≥++-+-=， 解得：11b -≤≤，则()f x 的对称轴1,144b x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，同理：2222222b c b c b c b c c ≥+++-+≥+++-+=+， 所以21c +≤，解得：31c -≤≤-，于是()1f x ≤要满足()()28114811212111b c b f f b c b c f ⎧⎧⎛⎫--≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪-≤⇒-+≤⎨⎨⎪⎪++≤≤⎪⎪⎪⎪⎩⎩①②③，由①知：288c b ≥-，因为11b -≤≤，故2888c b ≥-≥-④， 因为31c -≤≤-所以88c ≤-⑤，综合④⑤，可知：88c =-， 解得：1c =-，此时288b -=-，解得：0b =，所以()221f x x =-，经验证满足题意，且||||1b c +=，A 正确；对于C 选项，令()2g x ax x c =++，由()111g a c =++≤，()111g a c -=-+≤可得：2002a c a c -≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，故0a c +=， 则()2g x ax x a =+-，所以211ax x a -≤+-≤恒成立，即211x ax a x --≤-≤-，易知：1122a -≤≤即可，故C 正确 故选：AC 【点睛】对于含有绝对值不等式的二次不等式问题，要充分考虑函数图象，以及对称轴和端点值的取值范围，结合绝对值三角不等式进行求解. 二、多选题9．（2021·江西·丰城九中高二阶段练习）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为1x =，点B 坐标为()10-，，则下面结论中正确的是（ ） A ．20a b += B ．420a b c -+＜C ．240b ac -＞D ．当0y ＜时，1x -＜或4x ＞【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和二次函数的性质，可以判断各个小题的结论是否成立，即可求出答案.【详解】因为二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象的对称轴为1x =，所以12bx a=-=得20a b +=，故A 正确； 当2x =-时，420y a b c =-+＜，故B 正确；该函数图象与x 轴有两个交点，则240b ac -＞，故C 正确；因为二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象的对称轴为1x =，点B 坐标为()10-，，所以点A 的坐标为()3,0，所以当0y ＜时，1x -＜或x 3＞，故D 错误. 故选：ABC.10．（2022·全国·模拟预测）已知二次函数()()241230f x mx mx m m =-+-<，若对任意12x x ≠，则（ ）A ．当124x x +=时，()()12f x f x =恒成立B ．当124x x +>时，()()12f x f x <恒成立C ．0x ∃使得()00f x ≥成立D ．对任意1x ，2x ，均有()()831,2i f x m i ≤-=恒成立 【答案】AD 【解析】 【分析】二次函数开口向下，对称轴为2x =，结合二次函数的性质对选项逐一判断即可. 【详解】依题意，二次函数()()241230f x mx mx m m =-+-<的对称轴为422-=-=mx m. 因为0m <，所以其函数图象为开口向下的抛物线，对于A 选项，当124x x +=时，1x ，2x 关于直线2x =对称， 所以()()12f x f x =恒成立，所以A 选项正确；对于B 选项，当124x x +>，若12x x >，则不等式可化为1222x x ->-， 所以()()12f x f x <；若12x x <，则不等式可化为2122x x ->-，所以()()21f x f x <，所以B 选项错误； 对于C 选项，因为0m <，所以()()224412332120m m m m m ∆=---=-+<，所以二次函数()()241230f x mx mx m m =-+-<的图象开口向下，且二次函数与x 轴无交点，所以不存在0x 使得()00f x ≥成立，所以C 选项错误；对于D 选项，()()max 24812383f x f m m m m ==-+-=-，所以对任意1x ，2x ，均有()()831,2i f x m i ≤-=恒成立，所以D 选项正确， 故选：AD.11．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．()30-，B ．(]30-，C ．()31--，D ．()3∞-+，【答案】AC 【解析】 【分析】先求命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题的等价条件，再结合充分不必要的定义逐项判断即可.【详解】因为23,208x R kx kx ∀∈+-<为真命题，所以0k =或230k k k <⎧⎨+<⎩30k ⇔-<≤， 所以()30-，是命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题充分不必要条件，A 对， 所以(]30-，是命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题充要条件，B 错， 所以()31--，是命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题充分不必要条件，C 对， 所以()3∞-+，是命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题必要不充分条件，D 错， 故选：AC12．（2021·江苏·高一单元测试）已知函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，且对于()()y f x x R =∈，当12,(,0)x x ∞∈-时，()()12210f x f x x x -<-恒成立，若()()2221f ax f x <+对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的范围可以是下面选项中的（ ）A ．()B ．(),1-∞C ．(0D ．)+∞【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意求得函数()f x 为偶函数，且在()0-∞，上为减函数，在()0+∞，上为增函数，把不等式转化为2221ax x <+，得到不等式4224(44)10x a x +-+>恒成立，设20t x =≥，令()224(44)1g t t a t =+-+，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数()1y f x =-的图象关于1x =对称， 可得函数()f x 关于y 轴对称，即()f x 为偶函数，又当12,(,0)x x ∞∈-时，()()12210f x f x x x -<-恒成立，所以()f x 在()0-∞，上为减函数，则()f x 在()0+∞，上为增函数， 又因为()()2221f ax f x <+，所以2221ax x <+，即22424441a x x x <++恒成立，即4224(44)10x a x +-+>恒成立，设20t x =≥，令()224(44)1g t t a t =+-+，即()0g t >在区间[0,)+∞上恒成立，当2102a t -=≤时，即11a -≤≤时，()g t 在[0,)+∞为单调递增函数，则满足()min (0)10g t g ==>，符合题意；当当2102a t -=>时，即1a <-或1a >时，要使得()0g t >在区间[0,)+∞上恒成立，则满足22(44)160a ∆=--<，解得a <0a ≠，即1a <<-或1a <<综上可得，实数a 的取值范围是(， 结合选项，选项A 、C 符合题意. 故选：AC.三、填空题13．（2012·江苏·高考真题）已知函数的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为__________． 【答案】9． 【解析】 【详解】∵f(x)＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，∴b －24a ＝0，∴f(x)＝x 2＋ax ＋14a 2＝12x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2.又∵f(x)＜c 的解集为(m ，m ＋6)，∴m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋24a－c ＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得()226{64m a a m m c +=-+=-解得c ＝9.14．（2022·天津·耀华中学二模）已知不等式28(8)0x x a a -+-<的解集中恰有五个整数，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】[)(]1,26,7⋃ 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合已知分类讨论进行求解即可. 【详解】28(8)0()[(8)]0x x a a x a x a -+-<⇒---<，当4a =时，原不等式化为2(4)0x -<，显然x ∈∅，不符合题意； 当4a >时，不等式的解集为8a x a -<<，其中解集中必有元素4，若五个整数是0,1,2,3,4时，可得18045a a -≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集，若五个整数是1,2,3,4,5时，08156a a ≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集，若五个整数是2,3,4,5,6时，18267a a ≤-<⎧⎨<≤⎩67a ⇒<≤，若五个整数是3,4,5,6,7时，28378a a ≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集，若五个整数是4,5,6,7,8时，38489a a ≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集；当4a <时，不等式的解集为8a x a <<-，其中解集中必有元素4，若五个整数是0,1,2,3,4时，可得10485a a -≤<⎧⎨<-≤⎩，此时解集为空集，若五个整数是1,2,3,4,5时，01586a a ≤<⎧⎨<-≤⎩，此时解集为空集， 若五个整数是2,3,4,5,6时，1212687a a a ≤<⎧⇒≤<⎨<-≤⎩， 若五个整数是3,4,5,6,7时，23788a a ≤<⎧⎨<-≤⎩，此时解集为空集， 五个整数是4,5,6,7,8时，38489a a ≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集， 故答案为：[1,2)(6,7].15．（2015·湖北·高考真题（文））a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()h a . 当=a _________时，()h a 的值最小.【答案】2．【解析】【详解】因为函数2()||f x x ax =-，所以分以下几种情况对其进行讨论：①当0a ≤时，函数22()f x x ax x ax =-=-在区间[0,1]上单调递增，所以max ()()1f x g a a ==-；②当02a <<时，此时22()()2224a a a a f a =-⨯=，(1)1f a =-，而22(2)(1)2044a a a +--=-<，所以max ()()1f x g a a ==-； ③当22a ≤<时，22()f x x ax x ax =-=-+在区间(0,)2a 上递增，在(,1)2a 上递减．当2a x =时，()f x 取得最大值2()24a a f =； ④当2a ≥时，22()f x x ax x ax =-=-+在区间[0,1]上递增，当1x =时，()f x 取得最大值(1)1f a =-，则()21,2{,2241,2a a a h a a a a -<=≤<-≥在(,2)-∞上递减，2,)+∞上递增，即当2a =时，()g a 的值最小．故答案为：2．16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知()283f x ax x =++，对于给定的负数a ，有一个最大的正数()M a ，使得()0,x M a ∈⎡⎤⎣⎦时，都有()5f x ≤，则()M a 的最大值为___________.【解析】【分析】二次函数配方得到()f x 的含有参数的最大值，研究二次函数最值与5的大小关系，分类讨论，求出()M a 的最大值.【详解】()22416833f x ax x a x a a ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭，当1635a ->，即80a -<<时，要使()5f x ≤在()0,x M a ∈⎡⎤⎣⎦上恒成立，要使()M a 取得最大值，则()M a 只能是2835ax x ++=的较小的根，即()M a =当1635a-≤，即8a ≤-时，要使()M a 取得最大值，则()M a 只能是2835ax x ++=-的较大的根，即()M a =当80a -<<时，()12M a ==<，当8a ≤-时，()M a =()M a .四、解答题17．（2022·山西运城·高二阶段练习）已知函数2()2(0)f x ax ax b a =-+>的定义域为R ，且在区间[0,3]上有最大值5，最小值1．(1)求实数a ，b 的值；(2)若函数()()22g x f x mx m =-+-，求()0>g x 的解集．【答案】(1)1,2a b ==(2)答案见解析【解析】【分析】（1）由二次函数的性质可知函数在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，则()()11,35,f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩从而可求出a ，b 的值，（2）由（1）得2()(2)2(2)()g x x m x m x x m =-++=--，然后分2m =，2m >和2m <三种情况解不等式(1)∵22()2(1)(0)f x ax ax b a x b a a =-+=-+->，在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，∴()()11,35,f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩即21,965,a a b a a b -+=⎧⎨-+=⎩解得1,2.a b =⎧⎨=⎩ (2)由（1）知2()(2)2(2)()g x x m x m x x m =-++=--，①2m =时，()0>g x 的解集为{}2x x ≠；②2m >时，()0>g x ，则x m >或2m <，故2m >时，()0>g x 的解集为{x x m >或2}x <；③2m <时，()0>g x ，则2x >或x m <，故2m <时，()0>g x 的解集为{2x x >或}x m <．综上，当2m =时，解集为{}2x x ≠；当2m >时，解集为{x x m >或2}x <；当2m <时，解集为{2x x >或}x m <． 18．（2015·浙江·高考真题（理））已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是()f x 在区间[1,1]-上的最大值.（1）证明：当2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤，求a b +的最大值.【答案】（1）详见解析；（2）3.【解析】【详解】（1）分析题意可知()f x 在[1,1]-上单调，从而可知{}(,)max (1),(1)M a b f f =-，分类讨论a 的取值范围即可求解.；（2）分析题意可知,0{,0a b ab a b a b ab +≥+=-<，再由(,)2M a b ≤可得1(1)2a b f ++=≤，1(1)2a b f -+=-≤，即可得证.试题解析：（1）由22()()24a a f x xb =++-，得对称轴为直线2a x =-，由2a ≥，得 12a -≥，故()f x 在[1,1]-上单调，∴{}(,)max (1),(1)M a b f f =-，当2a ≥时，由 (1)(1)24f f a --=≥，得{}max (1),(1)2f f -≥，即(,)2M a b ≥，当2a ≤-时，由(1)(1)24f f a --=-≥，得{}max (1),(1)2f f --≥，即(,)2M a b ≥，综上，当2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）由(,)2M a b ≤得1(1)2a b f ++=≤，1(1)2a b f -+=-≤，故3a b +≤，3a b -≤，由,0{,0a b ab a b a b ab +≥+=-<，得3a b +≤，当2a =，1b =-时，3a b +=，且221x x +-在[1,1]-上的最大值为2，即(2,1)2M -=，∴a b +的最大值为3.19．（2014·辽宁·高考真题（文））设函数()211f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（1）求M ；（2）当x M N ∈⋂时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤. 【答案】（1）4|03M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）详见解析. 【解析】【详解】试题分析：（1）由所给的不等式可得当1x ≥时，由()331f x x =-≤，或 当1x <时，由()11f x x =-≤，分别求得它们的解集，再取并集，即得所求．（2）由4g x ≤（） ，求得N ，可得3{|0}4M N x x ⋂=≤≤．当x ∈M∩N 时，f （x ）=1-x ，不等式的左边化为211()42x --，显然它小于或等于14，要证的不等式得证． （1）33,[1,)(){1,(,1)x x f x x x -∈+∞=-∈-∞ 当1x ≥时，由()331f x x =-≤得43x ≤，故413x ≤≤； 当1x <时，由()11f x x =-≤得0x ≥，故01x ≤<；所以()1f x ≤的解集为4{|0}3M x x =≤≤.（2）由2()16814g x x x =-+≤得2116()4,4x -≤解得1344x -≤≤，因此13{|}44N x x =-≤≤，故3{|0}4M N x x ⋂=≤≤. 当x M N ∈⋂时，()1f x x =-，于是22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +=+2111()(1)()424xf x x x x ==-=--≤. 20．（2021·河北·沧县中学高一阶段练习）已知二次函数()()223R f x x kx k =-+∈．(1)若()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，求实数k 的取值范围；(2)若()2f x ≥在()0,x ∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)1k ≤(2)1k ≤【解析】【分析】（1）利用二次函数的单调性求解；（2）将()2f x ≥在()0,x ∈+∞上恒成立，转化为12k x x≤+在()0,x ∈+∞恒成立求解． (1)解：因为()f x 在()1,x ∈+∞单调递增，所以()212k --≤， 解得1k ≤；(2)因为()2f x ≥在()0,x ∈+∞上恒成立，所以2210x kx -+≥在()0,x ∈+∞恒成立， 即12k x x≤+在()0,x ∈+∞恒成立．令()1g x x x =+，则()12g x x x =+≥=， 当且仅当1x =时等号成立．所以1k ≤．21．（2021·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第1年到第n 年(*)n ∈N 花在该台运输车上的维护费用总计为2(5)n n +万元，该车每年运输收入为25万元.(1)该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）(2)若该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由.【答案】(1)3年(2)方案①较为合算【解析】【分析】（1）由22549(5)0n n n --+≥，能求出该车运输3年开始盈利.（2）方案①中，22549(5)4920()6n n n n n n--+=-+≤.从而求出方案①最后的利润为59（万)；方案②中，2222549(5)2049(10)51y n n n n n n =--+=-+-=--+，10n =时，利润最大，从而求出方案②的利润为59（万)，比较时间长短，进而得到方案①较为合算.(1)由题意可得22549(5)0n n n --+≥，即220490n n -+≤，解得1010n ≤≤3n ∴≥，∴该车运输3年开始盈利.；(2)该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，22549(5)4920()6n n n n n n--+=-+≤， 当且仅当7n =时，取等号，∴方案①最后的利润为：25749(4935)1759⨯--++=（万)；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，2222549(5)2049(10)51y n n n n n n =--+=-+-=--+，10n ∴=时，利润最大，∴方案②的利润为51859+=（万)，两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短， ∴方案①较为合算.22．（2009·江苏·高考真题）设a 为实数，函数2()2()f x x x a x a =+--.(1)若(0)1f ≥，求a 的取值范围；(2)求()f x 的最小值；(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.【答案】（1） （2）22min 2,0(){2,03a a f x a a -≥=<(3) 当26(,)22a ∈时，解集为(,)a +∞;当62(,)22a ∈--时，解集为223232(,][,)33a a a a a --+-⋃+∞; 当[a ∈时，解集为)+∞. 【解析】【详解】(3)。
高考数学一轮复习第二章不等式第三节绝对值不等式学案解析版
第三节 绝对值不等式1．绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值不等式|x |＜a 与|x |＞a 的解法： 不等式 a ＞0 a ＝0a ＜0|x |＜a {}x |－a ＜x ＜a ∅∅ |x |＞a{}x |x ＞a 或x ＜－a{}x |x ∈R 且x ≠0R(2)|ax ＋b |≤c (c ＞0)和|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法： ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c . [小题体验]1．不等式|2x －1|＞3的解集为________． 答案：{x |x ＜－1或x ＞2}2．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集为________． 答案：{}x |x ≥13．函数y ＝|x －4|＋|x ＋4|的最小值为________． 解析：∵|x －4|＋|x ＋4|≥|(x －4)－(x ＋4)|＝8， 即函数y 的最小值为8. 答案：81．对形如|f (x )|＞a 或|f (x )|＜a 型的不等式求其解集时，易忽视a 的符号直接等价转化造成失误．2．绝对值不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |中易忽视等号成立的条件．如|a －b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≤0时等号成立，其他类似推导．[小题纠偏]1．设a ，b 为满足ab ＜0的实数，那么( )A ．|a ＋b |＞|a －b |B ．|a ＋b |＜|a －b |C ．|a －b |＜||a |－|b ||D ．|a －b |＜|a |＋|b |解析：选B ∵ab ＜0， ∴|a －b |＝|a |＋|b |＞|a ＋b |.2．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|， 要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3， ∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4. 答案：[－2,4]考点一 绝对值不等式的解法基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，13，则实数a ＝________. 解析：由|ax －2|＜3，得－1＜ax ＜5， ∵－53＜x ＜13，∴a ＝－3.答案：－32．解不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6.解：法一：当x ＞12时，原不等式转化为4x ≤6⇒12＜x ≤32；当－12≤x ≤12时，原不等式转化为2≤6，恒成立；当x ＜－12时，原不等式转化为－4x ≤6⇒－32≤x ＜－12.综上知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32. 法二：原不等式可化为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12≤3，其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x＝32或x ＝－32时，到12，－12两点的距离之和恰好为3，故当－32≤x ≤32时，满足题意，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32.3．已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|＞1的解集．解：(1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1＜x ≤32，－x ＋4，x ＞32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}，f (x )＜－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞5. 所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5. [谨记通法]解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式； (2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．考点二 绝对值不等式的证明重点保分型考点——师生共研[典例引领](2019·成都外国语学校模拟)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)解不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8； (2)若|a |＜1，|b |＜1，a ≠0，求证：f ab |a |＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a . 解：(1)f (2x )＋f (x ＋4)＝|2x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －2，x ＜－3，－x ＋4，－3≤x ＜12，3x ＋2，x ≥12，当x ＜－3时，由－3x －2≥8，解得x ≤－103；当－3≤x ＜12时，－x ＋4≥8无解；当x ≥12时，由3x ＋2≥8，解得x ≥2.所以不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－103或x ≥2. (2)证明：f ab |a |＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 等价于f (ab )＞|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，即|ab －1|＞|a －b |. 因为|a |＜1，|b |＜1，所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)＞0， 所以|ab －1|＞|a －b |.故所证不等式成立．[由题悟法]证明绝对值不等式主要的3种方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，数形结合进行证明．[即时应用]已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.证明：∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|.∴由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y |≤1.考点三 绝对值不等式的综合应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥3，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－x ≥3－a 2.又⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－x min ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－a 2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－a 2≥3－a 2，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞)．[由题悟法](1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．(2)f (x )＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a .f (x )＞a 恒成立⇔f (x )min ＞a .[即时应用]已知定义域为R 的奇函数f (x )＝x |x ＋m |. (1)解不等式f (x )≥x ；(2)若对任意的x 1，x 2∈[1,1＋a ]，恒有|f (x 1)－f (x 2)|≤2成立，求实数a 的取值范围． 解：因为f (x )＝x |x ＋m |是定义域为R 的奇函数， 所以m ＝0，即f (x )＝x |x |.(1)由x |x |≥x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x 2≥x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x 2≥x ，即x ≥1或－1≤x ≤0，所以不等式f (x )≥x 的解集为[－1,0]∪[1，＋∞)．(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，则f (x )在R 上单调递增，所以f (x )在[1,1＋a ]上单调递增，所以f (1＋a )－f (1)≤2，即(1＋a )|1＋a |－1≤2，又1＋a ＞1，故可得0＜a ≤ 3－1，所以实数a 的取值范围是(0，3－1]．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知a ，b ∈R ，则使不等式|a ＋b |＜|a |＋|b |一定成立的条件是( ) A ．a ＋b ＞0 B ．a ＋b ＜0 C ．ab ＞0D ．ab ＜0解析：选D 当ab ＞0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，当ab ＜0时，|a ＋b |＜|a |＋|b |，故选D.2．设集合A ＝{x ||4x －1|＜9，x ∈R}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪xx ＋3≥0，x ∈R ，则(∁R A )∩B ＝( ) A ．(－∞，－3)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞B ．(－3，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，52C ．(－∞，－3]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ D ．(－3，－2]解析：选A 由题意得A ＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，52，B ＝(－∞，－3)∪[0，＋∞)，∴(∁R A )∩B ＝(－∞，－3)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞.3．不等式|x ＋2|＞3x ＋145的解集是( )A ．(－3，－2)B ．(－2,0)C ．(0,2)D ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)解析：选D 不等式即为5(x ＋2)＞3x ＋14或5(x ＋2)＜－(3x ＋14)，解得x ＞2或x ＜－3，故选D.4．不等式|x －1|－|x －5|＜2的解集为____________． 解析：不等式|x －1|－|x －5|＜2等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，－x －1＋x －5＜2或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤5，x －1＋x －5＜2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞5，x －1－x －5＜2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，－4＜2或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤5，2x ＜8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞5，4＜2，故原不等式的解集为{x |x ＜1}∪{x |1≤x ＜4}∪∅＝{x |x ＜4}． 答案：{x |x ＜4}5．不等式|x (x －2)|＞x (x －2)的解集为________．解析：不等式|x (x －2)|＞x (x －2)的解集即x (x －2)＜0的解集，解得0＜x ＜2. 答案：{x |0＜x ＜2}二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·台州联考)不等式(1＋x )(1－|x |)＞0的解集是( ) A ．{x |0≤x ＜1} B ．{x |x ＜0且x ≠－1} C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |x ＜1且x ≠－1}解析：选D 不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x 2＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，1＋x 2＞0，解得0≤x ＜1或x ＜0且x ≠－1.故选D.2．已知a ，b ∈R ，则“|a |＋|b |＞1”是“b ＜－1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 令a ＝0，b ＝2，则|a |＋|b |＞1成立，但推不出b ＜－1；反之，若b ＜－1，则|b |＞1，又|a |≥0，所以|a |＋|b |＞1.所以“|a |＋|b |＞1”是“b ＜－1”的必要不充分条件．3．不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是( ) A ．[－5,7]B ．[－4,6]C. (－∞，－5]∪[7，＋∞)D. (－∞，－4]∪[6，＋∞)解析：选D 当x ≤－3时，|x －5|＋|x ＋3|＝5－x －x －3＝2－2x ≥10，即x ≤－4，∴x ≤－4.当－3＜x ＜5时，|x －5|＋|x ＋3|＝5－x ＋x ＋3＝8≥10，不成立，∴无解．当x ≥5时，|x －5|＋|x ＋3|＝x －5＋x ＋3＝2x －2≥10，即x ≥6，∴x ≥6.综上可知，不等式的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)．4．不等式x 2－|x －1|－1≤0的解集为( ) A ．{x |－2≤x ≤1} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |1≤x ≤2}D ．{x |－1≤x ≤1}解析：选A 当x －1≥0时，原不等式化为x 2－x ≤0，解得0≤x ≤1.∴x ＝1； 当x －1＜0时，原不等式化为x 2＋x －2≤0， 解得－2≤x ≤1.∴－2≤x ＜1. 综上，－2≤x ≤1.所以原不等式的解集为{x |－2≤x ≤1}，故选A.5．(2018·长沙六校联考)设f (x )＝1ax 2－bx ＋c ，不等式f (x )＜0的解集是(－1,3)，若f (7＋|t |)＞f (1＋t 2)，则实数t 的取值范围为( )A ．(－3,1)B ．(－3,3)C ．(－1,3)D ．(－1,1)解析：选B ∵f (x )＜0的解集是(－1,3)， ∴a ＞0，f (x )的对称轴是x ＝1，且ab ＝2. ∴f (x )在[1，＋∞)上单调递增． 又∵7＋|t |≥7,1＋t 2≥1，∴由f (7＋|t |)＞f (1＋t 2)，得7＋|t |＞1＋t 2. ∴|t |2－|t |－6＜0，解得－3＜t ＜3. 故选B.6．已知函数f (x )＝|x ＋6|－|m －x |(m ∈R)，若不等式f (x )≤7对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围为________．解析：由绝对值三角不等式得f (x )＝|x ＋6|－|m －x |≤|x ＋6＋m －x |＝|m ＋6|，由题意得|m ＋6|≤7，则－7≤m ＋6≤7，解得－13≤m ≤1，故m 的取值范围为[－13,1]．答案：[－13,1]7．设|x －2|＜a 时，不等式|x 2－4|＜1成立，则正数a 的取值范围为____________． 解析：由|x －2|＜a 得2－a ＜x ＜a ＋2， 由|x 2－4|＜1，得3＜x 2＜5， 所以－5＜x ＜－3或3＜x ＜ 5. 因为a ＞0，所以由题意得⎩⎨⎧3≤2－a ，a ＋2≤ 5.解得 0＜a ≤5－2，故正数a 的取值范围为(0，5－2]． 答案：(0，5－2]8．(2018·杭州五校联考)已知不等式|x 2－4x ＋a |＋|x －3|≤5的x 的最大值为3，则实数a 的值是____________．解析：∵x ≤3，∴|x －3|＝3－x .若x 2－4x ＋a ＜0，则原不等式化为x 2－3x ＋a ＋2≥0. 此不等式的解集不可能是集合{x |x ≤3}的子集， ∴x 2－4x ＋a ＜0不成立． 于是，x 2－4x ＋a ≥0，则原不等式化为x 2－5x ＋a －2≤0.∵x ≤3，令x 2－5x ＋a －2＝(x －3)(x －m )＝x 2－(m ＋3)x ＋3m ，比较系数，得m ＝2，∴a＝8.答案：89．已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]． (1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |＜m ，求证：|x |＜|a |＋1.解：(1)不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1， 解得1≤x ≤2，所以m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.(2)证明：若|x －a |＜1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |＜|a |＋1.即|x |＜|a |＋1. 10．(2018·杭州质检)已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R)的最小值为a . (1)求实数a 的值； (2)解不等式f (x )≤5.解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ， 从而解得a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ≤4，2x －6，x ＞4.故当x ≤2时，令－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2，当2＜x ≤4时，显然不等式成立， 当x ＞4时，令2x －6≤5，得4＜x ≤112，故不等式f (x )≤5的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤112. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·金丽衢十二校联考)设a ，b 为实数，则“|a －b 2|＋|b －a 2|≤1”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122≤32”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122≤32⇔a 2－a ＋14＋b 2－b ＋14≤32⇔a 2－a ＋b 2－b ≤1⇔b 2－a＋a 2－b ≤1，令b 2－a ＝x ，a 2－b ＝y ，则|x |＋|y |≥|x ＋y |≥x ＋y ，所以|x |＋|y |≤1⇒x ＋y ≤1，故充分性成立，必要性不成立，故选A.2．已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |(a ＞1)．(1)若不等式f (x )≥2的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤12或x ≥52，求a 的值； (2)若对任意的x ∈R ，都有f (x )＋|x －1|≥1，求实数a 的取值范围． 解：(1)f (x )＝|x －1|＋|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a －1，x ≥a ，a －1，1≤x ＜a ，－2x ＋a ＋1，x ＜1，当x ≥a 时，由2x －a －1≥2，解得x ≥a ＋32＝52；当x ＜1时，由－2x ＋a ＋1≥2，解得x ≤a －12＝12. 综上得a ＝2.(2)由x ∈R ，f (x )＋|x －1|≥1，可得2|x －1|＋|x －a |≥1.当x ≥a 时，只需3x －2－a ≥1恒成立即可，此时只需3a －2－a ≥1⇒a ≥32；当1≤x ＜a 时，只需x －2＋a ≥1恒成立即可，此时只需1－2＋a ≥1⇒a ≥2；当x ＜1时，只需－3x ＋2＋a ≥1恒成立即可，此时只需－3＋2＋a ≥1⇒a ≥2.综上可得，a 的取值范围为[2，＋∞)．。
天津专用2020届高考数学一轮复习考点规范练2不等关系及简单不等式的解法含解析新人教A版
所以不等式(ax+b)(x-3)>0 可化为(x+1)(x-3)<0,
解得-1<x<3.故所求解集是(-1,3).
11
4.C 解析因为a < b<0,a<0,b<0,则 a+b<0,ab>0,
1
1
所以a + b < ab,故①正确;
令 a=-1,b=-2,则|a|+b=1-2=-1<0,所以②错误;
2
三、高考预测
18.已知函数 f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a,b∈R),对任意实数 x 都有 f(1-x)=f(1+x)成立,当 x∈[-1,1] 时,f(x)>0 恒成立,则 b 的取值范围是( )
A.-1<b<0
B.b>2
C.b<-1 或 b>2
D.不能确定
考点规范练 2 不等关系及简单不等式的解法
A.12 元
B.16 元
C.12 元到 16 元之间 D.10 元到 14 元之间
16.若关于 x 的不等式 x2-4x-2-a>0 在区间(1,4)内有解,则实数 a 的取值范围是 .
17.若对一切 x∈(0,2],不等式(a-a2)(x2+1)+x≤0 恒成立,则 a 的取值范围是 .
①当 m=2 时,对任意 x∈R,不等式都成立;
②当 m≠2 时,由关于 x 的不等式(m-2)x2+2(m-2)x-4<0 在 x∈R 上恒成立,
{ m - 2 < 0,
可知 4(m - 2)2 + 16(m - 2) < 0,
浙江专版2020届高考数学一轮复习单元检测二不等式单元检测含解析
单元检测二不等式（时间：120分钟满分：150分） 第I 卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分•在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的）1 • （2018 •宁波九校联考）已知a >b ,则下列不等式成立的是 （ ）1 1 A. a <bB . 2 — a <2 — b2 2C. a >bD. ac > bc答案 B1 1解析 A 中，当a = 2, b =— 3时，一<匸不成立；B 中，由a >b ,得一a < — b ,所以2 — a <2 — b,a b故B 正确；C 中，当a = 1, b =— 1时，a 2>b 2不成立；D 中，当c <0时，ac > bc 不成立，故选 B.2. （2018 •杭州质检）若关于x 的不等式mx- 2>0的解集是｛x |x >2｝，则实数m 等于（ ）A . — 1B.— 2C. 1D. 2当m= 0时，不等式显然不成立,因为不等式的解集为｛x | x >2｝, 所以n >0且2= 2,解得m= 1，故选C. m3. （2019 •诸暨模拟）已知| x — a |<h , | y — a |<2 h ，则下列结论正确的是 （ ）A . | x — y |< hB . | x — y |<3 h B. |x + y |< hD. | x + y |<3 h答案 C 解析2当 m>0 时，由 mx- 2>0 得 x >m当n <0时，由mx- 2>0得x 2<m答案B解析依题意得| x—y| =|( x—a) —(y —a)| <| x—a| + | y —a|< h+ 2h= 3h,即|x —y|<3 h,故选B.4. (2018 •嘉兴第五高级中学期中)不等式x—2y + 6>0表示的区域在直线x—2y+ 6= 0的( )A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方答案B解析点(0,0)满足x —2y + 6>0,且点(0,0)在直线x—2y + 6= 0的右下方，所以不等式x —2y+ 6>0表示的平面区域在直线x —2y + 6 = 0的右下方，故选B.x一y》0,5. (2018 •湖州、衢州、丽水三地市质检)已知实数x, y满足* 则2y—x的x+ y —2< 0,最大值是()A. —2B.—1C. 1D. 2答案C解析在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包含边界)，由图易得当目标函数z = 2y —x经过平面区域内的点A(1,1)时,z= 2y —x取得最大值，所以2y —x的最大值为2X 1—1 = 1,故选C.6 .已知集合M= ｛( x, y)| x—y w 0, x+ y>0, y< a｝，其中a>0,若平面点集N= ｛( x+ y, x —y)|( x, y) € M所表示的平面区域的面积为2,贝V a的值为()A. 1B. 2C. 3D. 4答案A解析设x + y=X, x —y= Y,所以平面点集N可化为｛( X, Y)| Y w0, X>0, X—Yw2a｝，它1 所表示的平面区域如图所示，其为一个等腰直角三角形，腰长为2a( a>0)，故其面积S= 2= X2ax2a，解得a= 1.[x - y w 0,7.已知a >1, x , y 满足约束条件Jax — y >0,若目标函数z =-^的最大值小于1,7ax +1[x + y — 1w 0,则实数a 的取值范围为( )A . (1,2)B . (1,1 + 2) C. (1 +2 ,+s )D. (2 ,+s)答案 B的几何意义为可行域内的点与C — -, 0连线的斜率，连接 AC 此时直线的斜率最大,1ax +aa1+ a a 2 由k Ac =i -=<1,1 + a +a8 .已知正数x , y 满足x + 2y = xy ，则2丰：十2[ — 1 q 的最大值是（x + 4xy + 4y — 1A.9B. 1Q C.8D.答案 A 2 1 n x 4y解析 方法一x + 2y = xy 可化为 + y = 1, x + 2y = (x + 2y ) • &+勺=4 + " + =》4+2、•空=8，当且仅当x = 2y = 4时等号成立，令t = x + 2y — 1(t >7),则2 :十约—1彳 丫y xx + 4xy + 4y — 1x + 2y — 1 t 1 1 , = 2_- = 2_- = w -.故选 A. (x + 2y 2— 1 (t + 1 2— 1 t + 2 9方法二 xy = x + 2y >2 x ・2 y ,得 xy >8, 当且仅当x = 2y = 4时等号成立，x + 2y — 1 _ x +2y — 1 _ xy — 111x 2+ 4xy + 4y 2— 1_ (x + 2y ) — 1 — (xy )— 1_ xy + 1 w9，故解析 由已知约束条件作出可行域如图中阴影部分 （含边界）所示，而目标函数ayax + 1a >1,贝U 1<a <1 + 2，故选 B.16A.—B . 土 2C. — 2D. 2 5 答案 D解析 由于目标函数z = x 2+ y 2+ 4y = x 2 + (y + 2)2- 4,故当x 2 + y + 2 2（即点A （0，— 2）到可行域内点的距离）取得最小值时，z 取得最小值，即x + y + 2 2的最小值为 —.当一1 w a w0时，作出不等式组所表示的平面区域，如图 （1）中阴影部分所示，点 A （0，— 2）在可行域内，所以，x 2 + y + 2 2的最小值为0, 当a <— 1时，作出不等式组所表示的平面区域，如图（2）中阴影部分所示，点 行域内，所以 x 2 + y + 2 2的最小值为0，不符合题意.当a >0时，作出不等式组所表示的平面区域，如图（3）中的阴影部分所示，过直线x + ay = 0,垂足为B,此时p x 2+ （y + 2 j 的最小值为 4根据题意，| AB| = —p ,它5x >0, y >0, x + 4y = 2 2，若芮+矿(">0)的最小值为1,[X + y w 2,9 •已知实数x , y 满足不等式组 x -y >0,x + ay > 0,4若z = x + y + 4y 有最小值一5贝U a 等于不符合题意.A （0，-2）在可A 作AB 垂直于I AB ,答案 C由点到直线的距离公式得, 又a >0,所以 a = 2.故选 D.；'1+a 2所以a =± 2,10.已知实数 则m 等于（）A . 1B. 2C . 2D. 2 2厂 4解析•/ x + 4y = 2 2, x + 4y = (x + 1)+ m (m 什 1)— •••(X + 1) + mmy + 1) = 2 2 + 1 + 1x +1+ my +14 x + 1 4 my +1 44=1 + + + _• > 1 + 一 + 2 --m my +1 m x +1 m : m(当且仅当 mx + 1)2= 4(my + 1)2时取等号),1 1 —+》4 -22+ 1+m1+ m J m根据题意，知 -=1,得m= 2. 2电 + (1+m J第n 卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共36分•把答案填在题 中横线上）|x 2— 2x — 3|> x 2— 2x — 3,11 •不等式组｛ 2的解集为x + | x | — 2>0答案｛x |1<x <3｝ 解析根据题意，| x 2— 2x — 3|> x 2— 2x — 3,因为不等式组2|x + | x | — 2>0,则可知x 2 — 2x — 3<0等价于—1<x <3,2同时 x + |x | — 2>0 等价于（| x | + 2）（| x | — 1）>0 等价于 | x |>1 , 根据绝对值不等式以及二次不等式，可知1<x <3.x + y > 2,12. 若实数x , y 满足不等式组 2x — y <4,x — y > 0,的取值范围是 __________ . 答案 12||9, 41 1二由［（x + 1）+ 和什 1）］ 则2x + y 的最大值为2z八x + (y +1)3 + x1 Z < —3 x值有0和2；u<—3可转化为3一xx <0 或%一x尸一3,第一个不等式组无x>0,解析作出不等式组表示的平面区域，如图中的△ABC区域(含边界),其中点A(2,0)，B(1,1)，C(4,4),当2x+ y过点C(4,4)时，取得最大值2X 4+ 4 = 12.而z = x2+ (y+ 1)2表示可行域内的点(x, y)到点M O，—1)的距离的平方.| 一1 —21 3•••点M到直线x+ y —2= 0的距离为d= 2 2 = ,< 9 --Z min= d = 2・2 2 2 2 2 . .观察△ ABC 可以发现，Z max= | M(C = 4 + [4 一( 一1)] = 41，—x + (y + 1)的取值范围是"3 + xI -----, x<0,13. (2018 •金华质检)设函数f (x) = 3一x4x 1—x , x>0,等式f(f(x)) <0的解集为_________________ .答案 1 Q 1Q -||,+R )解析由已知得f(1) = 0,所以f(f(1)) = f (0) = 1.作出函数f (x)的图象(如图)，令u= f (x),一3OR X若f ( u) < 0,贝U u<—3 或u》1,1由f (x)的图象知，f (x)的最大值为1,且当x = 0或x = ?时，取到最大值，所以满足u》l的则f(f(1)) = ______________ ;不-3 、解，第二个不等式组的解集为2，+m /（1-3 \综上，不等式f（f（x））<0的解集为巾,2卍［|,+m.'2x》n ,14. 在平面直角坐标系中，x, y满足不等式组叫2x+ y<3 n , 其表示的平面区域的面_2x—2y<3 n，x+ y积为___________ , sin的取值范围为__________________ .答案2n2-£1解析画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分（含边界）所示，易知A 寺,2 n, B 专，一n, C3^, 0,1 3 2所以平面区域的面积S\AB E2^ |2 n —( —n )| X n = q n令z = x + y,作出直线x + y = 0,平移该直线，则当直线过点B时，z取得最小值，当直线过点A时，z取得最大值，n 一—一5n n 一x+y一5n所以一—< z< , 一— < < —,2 2 ' 4 2 4 ?2孑• x+y所以一—< sin < 1,2 2即sin字的取值范围为一」，1 .15. _________________________________________________________________ 设实数x, y满足4x2—2xy+ y2= 8,贝U 4x2+ y2的取值范围为_______________________________, 2x + y的最大值为_________ .答案 |詈,16 I 4边2 2解析令4x + y = t,则4X2+ y2= t >2 4x2y2= 4| xy| = 2| t —8| ,解关于t的不等式t > 2|t —8|，可得t €163，16所以4X 2+ y 2的取值范围为136, 16 . 方法一令2x + y = m将y = m- 2X 代入方程 4x 2— 2xy + y 2 = 8可得2 24X — 2X ( m — 2X ) + ( m — 2X ) = 8,22整理可得 12X — 6mx+ m — 8 = 0, 由△= ( — 6m)2 — 4x 12( m — 8)》0, 得 一 4 計 2W m^4 J 2, 所以2X + y 的最大值为4\!2.方法二 由 4X 2 — 2xy + y 2= 8配方可得 ?x — y ,2+ 4y 2 = 8,=4 2sin( 0 + 0 )淇中 tan $ =当sin( 0 + $ ) = 1时2X + y 取得最大值，最大值为 4,2.16 .已知 a , b , c € R,若 | a cos X — b sin X + C | <1 对 X € R 恒成立，则 | a cos x — b | 的最大值为答案 2解析取X = 0,得| a + C | < 1, 取 X =—专，得 |b + C | < 1,利用三角换元可令则 2X + y = 2=6 :' 2sin0 + 2COS 0sin0 + ,2COS 0+「"sin 30 + 2 2COS 0则 -sin 3 4：2sin 03-23y = 22取 x =nn ，得 i b —c i 三 1. 由绝对值不等式知， | a — b | = | a + c —b —c | w | a + c | + | b + c | <2,| a + b | = | a + c + b — c | a + c | + | b — c | w 2, | a cos x — b | max = max{| a — b | max, 1 a + b | max } = 2. 17•已知卜—x )+ [y — y ) = 4,则Q x 2 + y 2的最大值为 答案 3解析 由'x — -)+ 'y — 2) = 4,I x /匕y 丿得 x + y? ++ 2= 10,即-2+ 2= 10 — (x + y 2),x y x yz 2 2 2 2、—(x + y )] = (x + y ) •2 2 2 2y 4x y 4x =5 + 2 + -T > 9,当且仅当 —=—T 时等号成立. x yx y令 x 2+ y 2 = t ，得 t 2 — 10t + 9<0,解得 1w t w 9,所以 1w .x 2+ y 2w 3, 即.x 2 + y 2的最大值为3.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18.（14分）已知不等式 ax 2 — 3x + 6>4的解集为{x |x <1或x >b }.(1)求 a , b ；x — c⑵解不等式>0（ c 为常数）. ax — b解（1）由题意知1, b 为方程ax 2 — 3x + 2 = 0的两根,⑵ 不等式等价于(x — c )( x — 2)>0 ,当c >2时，解集为{x | x >c 或x <2}; 当c <2时，解集为{x | x >2或x <c }; 当 c = 2 时，解集为{x |x z 2, x € R}.19. (15 分)设函数 f (x ) = |2x — a | + 5x ，其中 a >0.3 1+b= a••• a = 1, b = 2.x 2+ 72 2则(x + y )[10⑴ 当a = 3时，求不等式f (x ) >5x + 1的解集；⑵ 若不等式f (x ) <0的解集为｛x |x w — 1｝，求a 的值.解 ⑴ 当 a = 3 时，f (x ) >5x + 1 可化为 |2 x — 3| > 1. 由此可得x >2或x < 1.故不等式f (x ) >5x + 1的解集为｛x |x < 1或x >2｝. (2)由 f (x ) <0 得 |2x — a | + 5x < 0,此不等式化为不等式组ax >2，2x —a +或汽，—2x — a + 5x < 0,ax<2， 或ax< — 3,因为a >0,所以不等式组的解集为 jx x < — 3由题设可得—|=— 1,故a = 3.20. (15分)(2019 •温州调研)已知函数f (x ) = x + |x + 2|. (1)求不等式f (x ) >6的解集M⑵ 记(1)中集合M 中元素最小值为m 若a , b 是正实数，且a +b = m 求小值.解 (1) f (x ) > 6,即为 x + |x + 2| > 6,...x <— 2,或 x >-2, x — x — 2>6x + x + 2>6,解得 x >2,. M= {x | x >2}.b 3a 3 =亦+2 不+2 = (2)由(1)知m= 2, 即卩a + b = 2，且a , b 是正实数, 5 3 > 5+厂当且仅当b =a ，即a =b =1时，a +1 b +1取得最小值4. 21 • (15 分)已知函数 f (x ) = (3 X — 1) a — 2X + b . 20(1) 若f 云=，且a >0, b >0,求ab 的最大值；炉丿3a +b + 2(2) 当X € [0,1]时，f (X ) wi 恒成立，且2a + 3b >3,求z =的取值范围.a + 1 ｛2\ 20解(1)因为 f(x) =(3a -2)x + b -a ，f 3 = 丁 所以 a +b — 4=晋，即 a + b = 8. 因为 a >0, b >0,所以a + b >2 ab ,即4》ab,所以ab w 16, 当且仅当a = b = 4时等号成立， 所以ab 的最大值为16.(2)因为当 x € [0,1]时，f (x ) wi 恒成立，且 2a + 3b >3, b — a w 1,且 2a + 3b >3, 即卩 b + 2a w 3,2a + 3b > 3,作出此不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示 (含边界)•由图可得经过可行域内的点(a , b )与点(一1,— 1)的直线的斜率的取值范围是a b 2 b + 1所以z =石+ 1的取值范围是 22 • (15分)已知数列｛X n ｝满足X 1= 1, X n+1 = 2・.X n + 3，求证: (1)0< X n <9；(2) X n <X n+1；证明(1)(数学归纳法)当n = 1时，因为X 1= 1, 所以0钦<9成立.所以f 1::h+2a=32a+^33-2(3) X n 》9 — 8 •假设当n = k 时，0<X k <9成立， 则当 n = k + 1 时，X k+1= 2 X k + 3. 因为 X k >0，所以 2 X k + 3>0,即卩 X k+1>0, 由 X k+1 — 9 = 2 X k — 6= 2( X k — 3)<0，得 X k+1<9, 所以0<X k + 1 <9也成立.故 0<X n <9.⑵因为0<X n <9，所以0< X n <3,所以 X n+ 1 — X n =— X n + 2"』X n + 3 =—(X n — 2 X n ) + 3 = — (\,；X n — 1) + 4>0. 所以 X n <X n + 1.⑶因为0<X n <9，所以一*〉^^ 从而 X n+ 1= 2 X n + 3>|x n + 3.3 所以 2即 9 — X n+ 1<3(9 — X n ). 所以 9- X n< 2 n -1(9- X 1)(n >2).当 n = 1 时，X 1= 1 = 9 — 8X = 1, 综上,X n > 9— 8 • f l )1.1 1又 X 1= 1，故 X n >9 — 8 •辭1(心 2). X n+ 1—X n —9)。
高考数学一轮复习 第二章 不等式 第6课 二次函数的最值 文(含解析)-人教版高三全册数学试题
第6课 二次函数的最值基本方法：数形结合。
配方→画图象→结合单调性及图象求解1．定义域为R 时例1．求函数2()23f x x x =--的最值【解析】2()(1)4f x x =--，对称轴为1x =当1x =时，min ()(1)4f x f ==，()f x 无最小值变式：求函数2()23f x x x =-++的最值解：2()(1)4f x x =--+，对称轴为1x =当1x =时，max ()(1)4f x f ==，()f x 无最小值 小结：当0a >时，2()f x ax bx c =++有最小值244ac b a -；当0a <时，2()f x ax bx c =++有最大值244ac b a- 2．定义域为闭区间的不含参数问题例2．求函数223y x x =--，[2,2]x ∈-的最大值和最小值．【解析】2()(1)4f x x =--，对称轴为1x = 22x -≤≤，∴当1x =时，min ()(1)4f x f ==；当1x =时，max ()(2)5f x f =-=变式：求函数223y x x =-++，[1,2]x ∈-的最大值和最小值．【解析】2()(1)4f x x =--，对称轴为1x = 12x -≤≤，∴当1x =-时，min ()(1)0f x f =-=当1x =时，max ()(1)4f x f ==小结：首先将二次函数式化为h k x a y +-=2)(的形式，若顶点的横坐标在给定的区间上，则当0a >时，在顶点处取得最小值，在离对称轴较远的端点处取得大值．3．定义域为闭区间的含参数问题例3．已知二次函数2()21f x x ax =--，当[0,2]x ∈上有最小值()h a ，最大值为()g a 求（1）()h a 的解析式（2）()g a 的解析式【解析】（1）22()()1f x x a a =---，对称轴为x a =①当0a <时，()f x 在[0,2]上递增，min ()()(0)1h a f x f ===-；②当02a ≤≤时，()f x 在[0,]a 上递减，在[,2]a 上递增，2min ()()()1h a f x f a a ===--； ③当2a >时，()f x 在[0,2]上递减，min ()()(2)34h a f x f a ===-所以()h a 的解析式为210()102342a h a a a a a -<⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩（2）()f x 的最大值只能是(0)f 或(2)f ，不能是()f a而(0)1f =-，(2)34f a =-①当(0)(2)f f >，即1a >时，max ()()(0)1g a f x f ===-；②当(0)(2)f f ≤，即1a ≤时，max ()()(2)34g a f x f a ===-所以()g a 的解析式为11()341a g a a a ->⎧=⎨-≤⎩ 小结：求2()(0)f x ax bx c a =++>的最小值时，考虑对称轴在区间的左、中、右三种情况即可；求它的最大值时，只需根椐区间端点函数值讨论即可变式：已知221y x ax a =-++-在[0,1]x ∈时有最大值2，求a 的值【解析】二次函数的对称轴是x a =（1）当0a <时，则0x =时，max 12y a =-=，解得1a =-．（2）当01a ≤≤时，则x a =时，2max 12y a a =-+=，无解． （3）当1a >时，则1x =时，max 2y a ==，有2a =．综上可知，1a =-，或2a =．第6课：二次函数的最值作业1. 函数2()2f x x x =-的最值情况（ ）A ．有最大值1-，无最小值B 。
2020版高考数学大一轮复习第二章不等式第3节基本不等式习题含解析
第3节 基本不等式：ab ≤a ＋b2考试要求 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知 识 梳 理1.基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0..时取等号b ＝a 等号成立的条件：当且仅当(2)(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数.2.几个重要的不等式.时取等号b ＝a ，当且仅当)R ∈b ，a (ab 2≥2b ＋2a (1) (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(3)a2＋b22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号..时取等号b ＝a ，当且仅当)同号b ，a (2≥ab＋b a (4)3.利用基本不等式求最值已知x ≥0，y ≥0，则).：积定和最小简记值是小有最y ＋x 时，y ＝x ，那么当且仅当p 是定值xy 如果积(1) ).简记：和定积最大(s24值是大有最xy 时，y ＝x ，那么当且仅当s 是定值y ＋x 如果和(2)[常用结论与易错提醒]1.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a2＋b22，ab ≤a ＋b 2≤a2＋b22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.2.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.4.基本不等式的一般形式：1n(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )≥na1a2…an (其中a 1，a 2，a 3，…，a n ∈(0，＋∞)，当且仅当a 1＝a 2＝a 3＝…＝a n 时等号成立).基 础 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)当a ≥0，b ≥0时，a ＋b2≥ab .( )(2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的.( )(3)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( )(4)函数f (x )＝sin x ＋4sin x的最小值为4.( )(5)x ＞0且y ＞0是x y ＋y x≥2的充要条件.( )解析 (2)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ；不等式a ＋b2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0.(3)函数y ＝x ＋1x值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(4)函数f (x )＝sin x ＋4sin x无最小值. (5)x >0且y >0是x y ＋y x≥2的充分不必要条件. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×2.设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A.80B.77C.81D.82解析 xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时取等号.答案 C3.若直线x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A.2B.3C.4D.5解析 因为直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2a b ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.答案 C4.若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A.1＋2B.1＋3C.3D.4解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2（x －2）×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，即a ＝3，选C.答案 C5.(必修5P100A2改编)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为______m ，宽为________m 时菜园面积最大.解析设矩形的长为x m ，宽为y m.则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号.答案 151526.已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则x －y 的取值范围为________，1x ＋xy的最小值为________.解析 ∵正数x ，y 满足x ＋y ＝1，∴y ＝1－x ，0<x <1，∴－y ＝－1＋x ，∴x －y ＝2x －1，又0<x <1， ∴0<2x <2，∴－1<2x －1<1，即x －y 的取值范围为(－1，1).1x ＋x y ＝x ＋y x ＋x y ＝1＋y x ＋x y ≥1＋2y x ·x y ＝1＋2＝3，当且仅当x ＝y ＝12时取“＝”；∴1x ＋xy的最小值为3.答案 (－1，1) 3考点一 配凑法求最值【例1】 (1)已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为__________； (2)已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋3y ＝42，则xy ＋5x ＋4y 的最小值为________.解析 (1)因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤ －2（5－4x ）15－4x ＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立. 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(2)因为正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋3y ＝42，所以y ＝42－2x3＋x>0且x >0，解得0<x <21.则xy ＋5x ＋4y ＝3x ＋y ＋42＝3x ＋42－2x 3＋x ＋42＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3＋x ）＋163＋x ＋31≥3×2（3＋x ）·163＋x＋31＝55，当且仅当x ＝1，y ＝10时取等号.所以xy ＋5x ＋4y 的最小值为55.答案 (1)1 (2)55规律方法 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.【训练1】 (1)函数y ＝x2＋2x －1(x >1)的最小值为________.(2)(2019·台州质量评估)当x >0时，x ＋ax ＋1(a >0)的最小值为3，则实数a 的值为________.解析 (1)y ＝x2＋2x －1＝（x2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立.(2)因为当x >0，a >0时，x ＋a x ＋1＝x ＋1＋a x ＋1－1≥2a －1，当且仅当x ＋1＝a x ＋1时，等号成立，又x ＋ax ＋1(a >0)的最小值为3，所以2a －1＝3，解得a ＝4.答案 (1)23＋2 (2)4考点二 常数代换或消元法求最值易错警示【例2】 (1)已知复数z 满足(2＋i)z ＝m ＋n i(m ，n ∈R )，且|z |＝1，则m ，n 满足的关系为________，1m2＋1＋12n2＋4的最小值为________.(2)(一题多解)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________.解析 (1)z ＝m ＋ni 2＋i ＝2m ＋n 5＋2n －m 5i ，则|z |＝15（2m ＋n ）2＋（2n －m ）2 ＝155m2＋5n2＝1，解得m 2＋n 2＝5，1m2＋1＋12n2＋4＝1m2＋1＋12·1n2＋2＝18(m 2＋1＋n 2＋2)·⎝⎛⎭⎪⎫1m2＋1＋12·1n2＋2＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋12·m2＋1n2＋2＋n2＋2m2＋1≥18⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋212·m2＋1n2＋2·n2＋2m2＋1＝3＋2216，当且仅当m 2＝2n 2＋22－1时等号成立，所以1m2＋1＋12n2＋4的最小值为3＋2216.(2)由已知得x ＝9－3y1＋y.法一 (消元法)因为x ＞0，y ＞0，所以0＜y ＜3，所以x ＋3y ＝9－3y1＋y＋3y＝121＋y＋3(y ＋1)－6≥2121＋y·3（y ＋1）－6＝6， 当且仅当121＋y＝3(y ＋1)，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6.法二 ∵x ＞0，y ＞0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时等号成立.设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2＋12t －108≥0，∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t ＞0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6.答案 (1)m 2＋n 2＝53＋2216(2)6 规律方法 条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.易错警示 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.【训练2】 (1)(一题多解)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________.(2)(2019·绍兴适应性考试)已知正数x ，y 满足2x ＋y ＝2，则当x ＝________时，1x－y 取得最小值为________.解析 (1)法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎪⎫15y ＋35x＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，∴3x ＋4y 的最小值是5.法二 由x ＋3y ＝5xy ，得x ＝3y5y －1，∵x >0，y >0，∴y >15，∴3x ＋4y ＝9y 5y －1＋4y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋95＋45－4y5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋4y ＝135＋95·15y －15＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15≥135＋23625＝5，当且仅当x ＝1，y ＝12时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5.(2)∵x ，y 为正数，则2x ＋y ＝2⇒y ＝2－2x >0⇒0<x <1，所以1x －(2－2x )＝1x＋2x －2≥22－2，当且仅当1x ＝2x ，即x ＝22时等号成立.答案 (1)5 (2)2222－2考点三 一般形式的基本不等式的应用(选用)【例3】 (一题多解)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________.解析 法一 因为f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，所以f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝4cos 2x ＋2cos x －2＝4⎝⎛⎭⎪⎫cos x －12(cos x ＋1)，由f ′(x )≥0得12≤cos x ≤1，即2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，由f ′(x )≤0得－1≤cos x ≤12，即2k π＋π3≤x ≤2k π＋π或2k π－π≤x ≤2k π－π3，k ∈Z ，所以当x ＝2k π－π3(k ∈Z )时，f (x )取得最小值，且f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3＝－332.法二 因为f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )＝4sin x2cos x 2·2cos 2x 2＝8sin x 2cos3x 2＝833sin2x 2cos6x 2，所以[f (x )]2＝643×3sin 2x 2cos 6x 2≤643·⎝⎛⎭⎪⎪⎫3sin2x 2＋cos2x 2＋cos2x 2＋cos2x 244＝274，当且仅当3sin 2x2＝cos 2x 2，即sin 2x 2＝14时取等号， 所以0≤[f (x )]2≤274，所以－332≤f (x )≤332，所以f (x )的最小值为－332.法三 因为f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )，所以[f (x )]2＝4sin 2x (1＋cos x )2＝4(1－cos x )(1＋cos x )3，设cos x ＝t ，则y ＝4(1－t )(1＋t )3(－1≤t ≤1)，所以y ′＝4[－(1＋t )3＋3(1－t )(1＋t )2]＝4(1＋t )2(2－4t )，所以当－1<t <12时，y ′>0；当12<t <1时，y ′<0.所以函数y ＝4(1－t )(1＋t )3(－1≤t ≤1)在⎝⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减.所以当t ＝12时，y max ＝274；当t ＝±1时，y min ＝0.所以0≤y ≤274，即0≤[f (x )]2≤274，所以－332≤f (x )≤332，所以f (x )的最小值为－332. 法四 因为f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )，所以[f (x )]2＝4sin 2x (1＋cos x )2＝4(1－cos x )(1＋cos x )3≤43·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3（1－cos x ）＋（1＋cos x ）＋（1＋cos x ）＋（1＋cos x ）44＝274，当且仅当3(1－cos x )＝1＋cos x ，即cos x ＝12时取等号，所以0≤[f (x )]2≤274，所以－332≤f (x )≤332， 所以f (x )的最小值为－332.答案 －332规律方法 (1)三角函数式拆项时要注意满足平方关系.(2)拆项时要满足各项都相等这个条件成立.【训练3】 已知θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin 2θ cos θ的最大值.解 ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴si n 2θ cos θ>0，而(sin 2θ cos θ)2＝4·⎝⎛⎭⎪⎫12sin2θ）·⎝⎛⎭⎪⎫12sin2θ·cos 2θ≤4⎝⎛⎭⎪⎪⎫12sin2θ＋12sin2θ＋cos2θ33＝427，当且仅当12sin 2θ＝cos 2θ，即cos θ＝33，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时等号成立.∴sin 2θ cos θ的最大值为239.基础巩固题组一、选择题1.下列不等式一定成立的是( )A.lg ⎝⎛⎭⎪⎫x2＋14>lg x (x >0)B.sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x2＋1＜1(x ∈R )解析 当x ＞0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎪⎫x2＋14≥lg x (x ＞0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；显然选项C 正确；当x ＝0时，有1x2＋1＝1，选项D 不正确.答案 C2.若2x ＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A.[0，2]B.[－2，0]C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]解析 22x ＋y ≤2x＋2y＝1，所以2x ＋y≤14，所以x ＋y≤－2. 答案 D3.若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( )A.43B.53C.2D.54解析 由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，当且仅当x ＝3，y ＝233时取等号，∴xy 的最大值为2.答案 C4.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为( )A.4B.22C.8D.16解析 由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab，得ab ＝1，则1a ＋2b ≥21a ·2b ＝22.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立.故选B.答案 B5.若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A.1ab ≤14B.1a ＋1b≤1 C.ab ≥2D.a 2＋b 2≥8解析 4＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，即ab ≤2，ab ≤4，1ab ≥14，选项A ，C 不成立；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab≥1，选项B 不成立；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝16－2ab ≥8，选项D 成立. 答案 D6.若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A.2B.2C.22D.4解析 依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b≥22ab ＝22ab，当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a 时，“＝”成立.因为1a ＋2b ＝ab ，所以ab ≥22ab，即ab ≥22(当且仅当a ＝214，b ＝254时等号成立)，所以ab 的最小值为22，故选C.答案 C7.已知a ，b ，c ，d ≥0，a ＋b ＝c ＋d ＝2，则(a 2＋c 2)(b 2＋d 2)的最大值是( )A.4B.8C.16D.32解析 ∵（a2＋c2）（b2＋d2）≤a2＋c2＋b2＋d22≤（a ＋b ）2＋（c ＋d ）22＝4，∴(a 2＋c 2)(b 2＋d 2)≤16，当a ＝d ＝2，b ＝c ＝0或b ＝c ＝2，a ＝d ＝0时取到等号，故选C.答案 C8.(2019·杭州高级中学测试)若正数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则2x ＋y 的最小值是( )A.22B.2C.32D.3 解析 由x 2＋2xy －1＝0，得y ＝12x －x 2，所以2x ＋y ＝2x ＋12x －x 2＝32x ＋12x ＝12×⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≥3x·1x ＝3，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时等号成立，此时y ＝33，符合题意，所以2x＋y 的最小值为3，故选D.答案 D9.(2019·丽水测试)已知x ＋y ＝1x ＋4y＋8(x ，y >0)，则x ＋y 的最小值为( )A.53B.9C.4＋26D.10解析 由x ＋y ＝1x ＋4y＋8得x ＋y －8＝1x ＋4y，则(x ＋y －8)(x ＋y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y (x ＋y )＝5＋y x ＋4x y≥5＋2y x ·4x y ＝9，当且仅当y x ＝4x y，即y ＝2x 时，等号成立，令t ＝x ＋y ，所以(t －8)·t ≥9，解得t ≤－1或t ≥9，因为x ＋y >0，所以x ＋y ≥9，所以x ＋y 的最小值为9，故选B.答案 B二、填空题10.(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b的最小值为________.解析 由a －3b ＋6＝0，得a ＝3b －6，所以2a＋18b＝23b －6＋123b ≥223b －6×123b＝2×2－3＝14，当且仅当23b －6＝123b，即a ＝－3，b ＝1时等号成立.答案1411.已知两个正数x ，y 满足x ＋4y ＋5＝xy ，则xy 取最小值时，x 的值为__________，y 的值为__________.解析 ∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋4y ＋5＝xy ≥24xy ＋5，即xy －4xy －5≥0，可求得xy ≥25，当且仅当x ＝4y 时取等号，即x ＝10，y ＝52.答案 105212.(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________.解析 因为∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，所以∠ABD ＝∠CBD ＝60°，由三角形的面积公式可得12ac sin 120°＝12a ×1×sin 60°＋12c ×1×sin 60°，化简得ac ＝a ＋c ，又a >0，c >0，所以1a ＋1c＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c≥5＋2c a ·4ac＝9，当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a ＋c 的最小值为9.答案 913.(2019·镇海中学模拟)若实数x ，y 满足4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，则S ＝2x ＋2y的取值范围是________.解析 因为4x ＋4y ＝(2x ＋2y )2－2·2x ·2y ，2x ＋1＋2y ＋1＝2(2x ＋2y )，设2x ＋2y＝t (t >0)，则由题意得t 2－2·2x·2y＝2t ，即2·2x·2y＝t 2－2t .因为0<2·2x·2y≤2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y 22，即0<t 2－2t ≤t22，当且仅当2x ＝2y ，即x ＝y ＝1时等号成立，解得2<t ≤4，即S ＝2x ＋2y的取值范围是(2，4].答案 (2，4]14.(一题多解)若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，x 2＋4y 2＋9z 2＝1，则z 的最小值是________.解析 法一 因为1－9z 2＝(x ＋2y )2－2·x ·2y ≥(x ＋2y )2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，又x ＋2y ＝1－3z ，则1－9z 2≥12(1－3z )2，解得－19≤z ≤13，即z 的最小值为－19.法二 由x 2＋(2y )2＝1－9z 2，设x ＝1－9z2cos θ，2y ＝1－9z2sin θ，则1－3z ＝1－9z2(cos θ＋sin θ)＝2（1－9z2）sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，由三角函数的有界性，得|1－3z |≤2（1－9z2），解得－19≤z ≤13，即z 的最小值为－19.答案 －19能力提升题组15.设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A.0B.1C.94D.3 解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*)则xy z ＝xy x2－3xy ＋4y2＝1x y ＋4yx－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1.答案 B16.(2019·宁波模拟)已知x ，y 均为非负实数，且x ＋y ≤1，则4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，4B.[1，4]C.[2，4]D.[2，9]解析 因为x ≥0，y ≥0，所以（x ＋y ）22≤x 2＋y 2≤(x ＋y )2，则4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2＝4(x 2＋y 2)＋[1－(x ＋y )]2≤4(x ＋y )2＋[1－(x ＋y )]2＝5(x ＋y )2－2(x ＋y )＋1，又因为0≤x ＋y ≤1，所以4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2≤5(x ＋y )2－2(x ＋y )＋1≤4，当且仅当xy ＝0且x ＋y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1时，等号成立；另一方面4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2＝4(x 2＋y 2)＋[1－(x ＋y )]2≥2(x ＋y )2＋[1－(x ＋y )]2＝3(x ＋y )2－2(x ＋y )＋1，又因为0≤x ＋y ≤1，所以4x 2＋4y2＋(1－x －y )2≥3(x ＋y )2－2(x ＋y )＋1≥23，当且仅当x ＝y 且x ＋y ＝13，即x ＝y ＝16时，等号成立.综上所述，4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，4，故选A.答案 A17.(一题多解)(2017·北京卷改编)已知x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的最小值为________，最大值为________.解析 法一 ∵x ≥0，y ≥0且x ＋y ＝1，∴2xy ≤x ＋y ＝1，当且仅当x ＝y ＝12时取等号，从而0≤xy ≤14，因此x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ＝1－2xy ，所以12≤x 2＋y 2≤1.法二 ∵x ＋y ＝1，x ≥0，y ≥0，∴y ＝1－x ，x ∈[0，1]，∴x 2＋y 2＝x 2＋(1－x )2＝2x 2－2x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12，对称轴为x ＝12，故x ＝12时，有最小值为12，x ＝0或x ＝1时有最大值为1.法三 可转化为线段AB 上的点到原点距离平方的范围.AB 上的点到原点距离的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，则x 2＋y 2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.答案12118.(2019·绍兴一中模拟)已知x ，y >0，且x ＋y ＋1x ＋12y ＝194，则3x －716y的最小值是________. 解析 因为x ＋y ＋1x ＋12y ＝194，所以3x －716y ＝3x －716y ＋x ＋y ＋1x ＋12y －194＝x ＋4x ＋y ＋116y －194≥92－194＝－14，当且仅当x ＝4x ，y ＝116y ，即x ＝2，y ＝14时，取等号.答案 －1419.设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a|＋|a|b取得最小值为________. 解析 由于a ＋b ＝2，所以12|a|＋|a|b ＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋b 4|a|＋|a|b，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a|＋|a|b ≥2b 4|a|·|a|b ＝1，因此当a >0时，12|a|＋|a|b 的最小值是14＋1＝54.当a <0时，12|a|＋|a|b 的最小值是－14＋1＝34.故12|a|＋|a|b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧b 4|a|＝|a|b ，a<0，即a ＝－2.答案 －23420.已知a ，b ，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝10，则ab ＋ac ＋bc 的最大值是________，ab ＋ac ＋2bc的最大值是________.解析 因为ab ＋ac ＋bc ≤2a2＋2b2＋2c22＝10，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，又因为12a 2＋xb 2≥2x ab (0≤x ≤1)，12a 2＋yc 2≥2y ac (0≤y ≤1)，(1－x )b 2＋(1－y )c 2≥2（1－x ）（1－y ）bc ，令2x ＝2y ＝（1－x ）（1－y ），即x ＝y ＝2－3，故此时有a 2＋b 2＋c 2≥(3－1)(ab ＋ac ＋2bc )，即ab ＋ac ＋2bc ≤53＋5，当且仅当22a ＝(2－3)b ＝(2－3)c 时取等号.答案 10 53＋5。
中职高考数学一轮复习讲练测第二章不等式检测题(测)(含详解)
不等式检测题一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．某人月收入x 不高于2 000元可表示为“x ＜2 000”B ．小明的身高x ，小华的身高y ，则小明比小华矮表示为“x ＞y ”C ．某变量x 至少是a 可表示为“x ≥a ”D ．某变量y 不超过a 可表示为“y ≥a ” 2．下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2＋1＞2a B ．a 2＋1＞2a C ．a 2＋b 2≥2(a －b －1)D ．a 2＋b 2＞ab3．设b <a ，d <c ，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －c <b －d B ．ac <bd C ．a ＋c >b ＋dD ．a ＋d >b ＋c4．若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.若a ,b ,c ∈R,且a>b ,则下列不等式成立的是 ( )A.1a <1b B.a 2>b 2 C.ac 2+1>b c 2+1D.a |c|>b |c|6.不等式x 2-3x+2<0的解集是 ()A .{x|x<-2或x>-1} B.{x|x<1或x>2} C.{x|1<x<2} D.{x|-2<x<-1}7．如果关于x 的不等式x 2＜ax ＋b 的解集是{x |1＜x ＜3}，那么b a 等于( ) A ．－81 B ．81 C ．－64D ．648.不等式x -1x≥2的解集为 ( )A.{x|-1≤x<0}B.{x|x ≥-1}C.{x|x ≤-1}D.{x|x ≤-1或x>0} 9．与不等式x －32－x ≥0同解的不等式是( )A ．(x －3)(2－x )≥0B ．0＜x －2≤1C ．2－x x －3≥0D ．(x －3)(2－x )＞010. .不等式127x ≤-≤的解集为（ ）A ． (,][3,)-∞-+∞B ．[1,3]C ．[5,1)[3,9)-D ．[5,9)-二、填空题1.已知x<1,则x 2+2与3x 的大小关系为 .2.已知a ,b 为实数,则(a+3)(a -5) (a+2)(a -4).(填“>”“<”或“=”)3 .不等式-x 2-3x+4>0的解集为 . 4.若不等式(x -a)(x -b)<0的解集为{x|1<x<2},则a+b 的值为 .5. .不等式x+1x>3的解集为.6 .已知一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为-2,3,a<0,那么ax 2+bx+c>0的解集为 8.设集合A={x|x 2-5x+6>0},B={x|x -1<0},则A ∩B= .9.已知集合M={x|-9x 2+6x -1<0},N={x|x 2-3x -4<0},则M ∩N= .10.不等式2x -13x+1>1的解集是.11. 11x -≤的解集是 三、解答题1.解不等式组214101x x x x ≥-⎧⎨+>+⎩①②2.设{2||2},{|280}A x x a B x x x =-≤=--≥且AB φ=，求实数a 取值范围。
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单元检测二 不等式(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(·宁波九校联考)已知a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．2－a <2－bC ．a 2>b 2D ．ac ≥bc答案 B解析 A 中，当a ＝2，b ＝－3时，1a <1b不成立；B 中，由a >b ，得－a <－b ，所以2－a <2－b ，故B 正确；C 中，当a ＝1，b ＝－1时，a 2>b 2不成立；D 中，当c <0时，ac ≥bc 不成立，故选B.2．(·杭州质检)若关于x 的不等式mx －2>0的解集是{x |x >2}，则实数m 等于( ) A ．－1B ．－2C ．1D ．2 答案 C解析 当m >0时，由mx －2>0得x >2m；当m <0时，由mx －2>0得x <2m；当m ＝0时，不等式显然不成立， 因为不等式的解集为{x |x >2}， 所以m >0且2m＝2，解得m ＝1，故选C.3．(·诸暨模拟)已知|x －a |<h ，|y －a |<2h ，则下列结论正确的是( ) A ．|x －y |<h B ．|x －y |<3h C ．|x ＋y |<h D ．|x ＋y |<3h答案 B解析 依题意得|x －y |＝|(x －a )－(y －a )|≤|x －a |＋|y －a |<h ＋2h ＝3h ，即|x －y |<3h ，故选B.4．(·嘉兴第五高级中学期中)不等式x －2y ＋6>0表示的区域在直线x －2y ＋6＝0的( ) A ．右上方B ．右下方C ．左上方D ．左下方 答案 B解析 点(0,0)满足x －2y ＋6>0，且点(0,0)在直线x －2y ＋6＝0的右下方，所以不等式x －2y ＋6>0表示的平面区域在直线x －2y ＋6＝0的右下方，故选B.5．(·湖州、衢州、丽水三地市质检)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，则2y －x 的最大值是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 C解析 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包含边界)，由图易得当目标函数z ＝2y －x 经过平面区域内的点A (1,1)时，z ＝2y －x 取得最大值，所以2y －x 的最大值为2×1－1＝1，故选C.6．已知集合M ＝{(x ，y )|x －y ≤0，x ＋y ≥0，y ≤a }，其中a >0，若平面点集N ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈M }所表示的平面区域的面积为2，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 设x ＋y ＝X ，x －y ＝Y ，所以平面点集N 可化为{(X ，Y )|Y ≤0，X ≥0，X －Y ≤2a }，它所表示的平面区域如图所示，其为一个等腰直角三角形，腰长为2a (a >0)，故其面积S ＝2＝12×2a ×2a ，解得a ＝1.7．已知a >1，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，ax －y ≥0，x ＋y －1≤0，若目标函数z ＝ayax ＋1的最大值小于1，则实数a 的取值范围为() A ．(1,2)B ．(1,1＋2)C ．(1＋2，＋∞)D ．(2，＋∞)答案 B解析 由已知约束条件作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，而目标函数z ＝ayax ＋1＝y x ＋1a的几何意义为可行域内的点与C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a，0连线的斜率，连接AC ，此时直线的斜率最大，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1，a 1＋a ，由k AC ＝a1＋a 11＋a ＋1a＝a 21＋2a <1，a >1，则1<a <1＋2，故选B.8．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝xy ，则x ＋2y －1x 2＋4xy ＋4y 2－1的最大值是( )A.19B.110C.18D.24 答案 A解析 方法一 x ＋2y ＝xy 可化为2x ＋1y＝1，x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋x y ＋4y x≥4＋2x y ·4y x ＝8，当且仅当x ＝2y ＝4时等号成立，令t ＝x ＋2y －1(t ≥7)，则x ＋2y －1x 2＋4xy ＋4y 2－1＝x ＋2y －1(x ＋2y )2－1＝t (t ＋1)2－1＝1t ＋2≤19.故选A. 方法二 xy ＝x ＋2y ≥2x ·2y ，得xy ≥8， 当且仅当x ＝2y ＝4时等号成立，x ＋2y －1x 2＋4xy ＋4y 2－1＝x ＋2y －1(x ＋2y )2－1＝xy －1(xy )2－1＝1xy ＋1≤19，故选A.9．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x －y ≥0，x ＋ay ≥0，若z ＝x 2＋y 2＋4y 有最小值－45，则a 等于( )A.165B ．±2C．－2D ．2 答案 D解析 由于目标函数z ＝x 2＋y 2＋4y ＝x 2＋(y ＋2)2－4，故当x 2＋(y ＋2)2(即点A (0，－2)到可行域内点的距离)取得最小值时，z 取得最小值，即x 2＋(y ＋2)2的最小值为45.当－1≤a ≤0时，作出不等式组所表示的平面区域，如图(1)中阴影部分所示，点A (0，－2)在可行域内，所以x 2＋(y ＋2)2的最小值为0，不符合题意． 当a <－1时，作出不等式组所表示的平面区域，如图(2)中阴影部分所示，点A (0，－2)在可行域内，所以x 2＋(y ＋2)2的最小值为0，不符合题意．当a >0时，作出不等式组所表示的平面区域，如图(3)中的阴影部分所示，过A 作AB 垂直于直线x ＋ay ＝0，垂足为B ，此时x 2＋(y ＋2)2的最小值为|AB |， 根据题意，|AB |＝45，由点到直线的距离公式得，|AB |＝|0＋a ×(－2)|1＋a 2＝45，所以a ＝±2， 又a >0，所以a ＝2.故选D.10．已知实数x >0，y >0，x ＋4y ＝22，若1x ＋1＋1my ＋1(m >0)的最小值为1，则m 等于( ) A ．1B.2C ．2D ．2 2 答案 C解析 ∵x ＋4y ＝22，x ＋4y ＝(x ＋1)＋4m(my ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4m ，∴(x ＋1)＋4m(my ＋1)＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4m >0，∴由[(x ＋1)＋4m (my ＋1)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋1my ＋1＝1＋4m ＋x ＋1my ＋1＋4m ·my ＋1x ＋1≥1＋4m＋24m(当且仅当m (x ＋1)2＝4(my ＋1)2时取等号)，得1x ＋1＋1my ＋1≥1＋4m ＋4m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4m . 根据题意，知1＋4m＋4m22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4m ＝1，得m ＝2.第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ |x 2－2x －3|>x 2－2x －3，x 2＋|x |－2>0的解集为________．答案 {x |1<x <3} 解析 根据题意，因为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x 2－2x －3|>x 2－2x －3，x 2＋|x |－2>0，则可知x 2－2x －3<0等价于－1<x <3，同时x 2＋|x |－2>0等价于(|x |＋2)(|x |－1)>0等价于|x |>1， 根据绝对值不等式以及二次不等式，可知1<x <3.12．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，2x －y ≤4，x －y ≥0，则2x ＋y 的最大值为________，x 2＋(y ＋1)2的取值范围是________．答案 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤92，41解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中的△ABC 区域(含边界)，其中点A (2,0)，B (1,1)，C (4,4)，当2x ＋y 过点C (4,4)时，取得最大值2×4＋4＝12.而z ＝x 2＋(y ＋1)2表示可行域内的点(x ，y )到点M (0，－1)的距离的平方． ∵点M 到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|－1－2|12＋12＝32， ∴z min ＝d 2＝92.观察△ABC ，可以发现，z max ＝|MC |2＝42＋[4－(－1)]2＝41，∴x 2＋(y ＋1)2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤92，41. 13．(·金华质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋x 3－x ，x ≤0，4x (1－x )，x >0，则f (f (1))＝____________；不等式f (f (x ))≤0的解集为____________．答案 1 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析 由已知得f (1)＝0，所以f (f (1))＝f (0)＝1. 作出函数f (x )的图象(如图)，令u ＝f (x )，若f (u )≤0，则u ≤－3或u ≥1，由f (x )的图象知，f (x )的最大值为1，且当x ＝0或x ＝12时，取到最大值，所以满足u ≥1的x 值有0和12；u ≤－3可转化为⎩⎪⎨⎪⎧3＋x 3－x ≤－3，x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧4x (1－x )≤－3，x >0，第一个不等式组无解，第二个不等式组的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 综上，不等式f (f (x ))≤0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.14．在平面直角坐标系中，x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ≥π，2x ＋y ≤3π，2x －2y ≤3π，其表示的平面区域的面积为__________，sinx ＋y2的取值范围为____________．答案 32π2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1解析 画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，易知A ⎝⎛⎭⎪⎫π2，2π，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－π，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，所以平面区域的面积S △ABC ＝12×|2π－(－π)|×π＝32π2.令z ＝x ＋y ，作出直线x ＋y ＝0，平移该直线，则当直线过点B 时，z 取得最小值，当直线过点A 时，z 取得最大值，所以－π2≤z ≤5π2，－π4≤x ＋y 2≤5π4，所以－22≤sin x ＋y 2≤1， 即sinx ＋y2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1. 15．设实数x ，y 满足4x 2－2xy ＋y 2＝8，则4x 2＋y 2的取值范围为____________，2x ＋y 的最大值为________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤163，16 4 2解析 令4x 2＋y 2＝t ，则4x 2＋y 2＝t ≥24x 2y 2＝4|xy |＝2|t －8|，解关于t 的不等式t ≥2|t －8|，可得t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤163，16，所以4x 2＋y 2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤163，16.方法一 令2x ＋y ＝m ，将y ＝m －2x 代入方程4x 2－2xy ＋y 2＝8可得 4x 2－2x (m －2x )＋(m －2x )2＝8， 整理可得12x 2－6mx ＋m 2－8＝0， 由Δ＝(－6m )2－4×12(m 2－8)≥0， 得－42≤m ≤42， 所以2x ＋y 的最大值为4 2.方法二 由4x 2－2xy ＋y 2＝8配方可得⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －y 22＋34y 2＝8，利用三角换元可令⎩⎪⎨⎪⎧2x －y2＝22cos θ，32y ＝22sin θ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23sin θ＋2cos θ，y ＝423sin θ，则2x ＋y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫23sin θ＋2cos θ＋423sin θ＝623sin θ＋22cos θ＝42sin(θ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝33， 当sin(θ＋φ)＝1时2x ＋y 取得最大值，最大值为4 2.16．已知a ，b ，c ∈R ，若|a cos 2x －b sin x ＋c |≤1对x ∈R 恒成立，则|a cos x －b |的最大值为________． 答案 2解析 取x ＝0，得|a ＋c |≤1， 取x ＝－π2，得|b ＋c |≤1，取x ＝π2，得|b －c |≤1.由绝对值不等式知，|a －b |＝|a ＋c －b －c |≤|a ＋c |＋|b ＋c |≤2， |a ＋b |＝|a ＋c ＋b －c |≤|a ＋c |＋|b －c |≤2， |a cos x －b |max ＝max{|a －b |max ，|a ＋b |max }＝2.17．已知⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2y 2＝4，则x 2＋y 2的最大值为________．答案 3解析 由⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2y 2＝4，得x 2＋y 2＋1x 2＋4y 2＝10，即1x 2＋4y2＝10－(x 2＋y 2)，则(x 2＋y 2)[10－(x 2＋y 2)]＝(x 2＋y 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋4y 2＝5＋y 2x 2＋4x 2y 2≥9，当且仅当y 2x 2＝4x 2y2时等号成立．令x 2＋y 2＝t ，得t 2－10t ＋9≤0， 解得1≤t ≤9，所以1≤x 2＋y 2≤3， 即x 2＋y 2的最大值为3.三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(14分)已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }． (1)求a ，b ； (2)解不等式x －cax －b>0(c 为常数)． 解 (1)由题意知1，b 为方程ax 2－3x ＋2＝0的两根， 即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，1＋b ＝3a，∴a ＝1，b ＝2.(2)不等式等价于(x －c )(x －2)>0， 当c >2时，解集为{x |x >c 或x <2}； 当c <2时，解集为{x |x >2或x <c }； 当c ＝2时，解集为{x |x ≠2，x ∈R }．19．(15分)设函数f (x )＝|2x －a |＋5x ，其中a >0.(1)当a ＝3时，求不等式f (x )≥5x ＋1的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 解 (1)当a ＝3时，f (x )≥5x ＋1可化为|2x －3|≥1. 由此可得x ≥2或x ≤1.故不等式f (x )≥5x ＋1的解集为{x |x ≤1或x ≥2}． (2)由f (x )≤0得|2x －a |＋5x ≤0， 此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a 2，2x －a ＋5x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a 2，－(2x －a )＋5x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a2，x ≤a7或⎩⎪⎨⎪⎧x <a 2，x ≤－a3，因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a3. 由题设可得－a3＝－1，故a ＝3.20．(15分)(·温州调研)已知函数f (x )＝x ＋|x ＋2|. (1)求不等式f (x )≥6的解集M ；(2)记(1)中集合M 中元素最小值为m ，若a ，b 是正实数，且a ＋b ＝m ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b＋1的最小值．解 (1)f (x )≥6，即为x ＋|x ＋2|≥6，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，x －x －2≥6或⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，x ＋x ＋2≥6，解得x ≥2，∴M ＝{x |x ≥2}．(2)由(1)知m ＝2，即a ＋b ＝2，且a ，b 是正实数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2b ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫b 2a ＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋32＝52＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b≥52＋34×2b a ×ab＝4，当且仅当a b ＝b a ，即a ＝b ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1取得最小值4. 21．(15分)已知函数f (x )＝(3x －1)a －2x ＋b .(1)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝203，且a >0，b >0，求ab 的最大值； (2)当x ∈[0,1]时，f (x )≤1恒成立，且2a ＋3b ≥3，求z ＝a ＋b ＋2a ＋1的取值范围． 解 (1)因为f (x )＝(3a －2)x ＋b －a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝203， 所以a ＋b －43＝203，即a ＋b ＝8. 因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ，即4≥ab ，所以ab ≤16，当且仅当a ＝b ＝4时等号成立，所以ab 的最大值为16.(2)因为当x ∈[0,1]时，f (x )≤1恒成立，且2a ＋3b ≥3，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)≤1，f (1)≤1，且2a ＋3b ≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧ b －a ≤1，b ＋2a ≤3，2a ＋3b ≥3，作出此不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示(含边界)．由图可得经过可行域内的点(a ，b )与点(－1，－1)的直线的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤25，2， 所以z ＝a ＋b ＋2a ＋1＝b ＋1a ＋1＋1的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤75，3. 22．(15分)已知数列{x n }满足x 1＝1，x n ＋1＝2x n ＋3，求证：(1)0<x n <9；(2)x n <x n ＋1；(3)x n ≥9－8·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. 证明 (1)(数学归纳法)当n ＝1时，因为x 1＝1，所以0<x 1<9成立．假设当n ＝k 时，0<x k <9成立， 则当n ＝k ＋1时，x k ＋1＝2x k ＋3. 因为x k >0，所以2x k ＋3>0，即x k ＋1>0， 由x k ＋1－9＝2x k －6＝2(x k －3)<0，得x k ＋1<9， 所以0<x k ＋1<9也成立．故0<x n <9.(2)因为0<x n <9，所以0<x n <3， 所以x n ＋1－x n ＝－x n ＋2x n ＋3 ＝－(x n －2x n )＋3＝－(x n －1)2＋4>0. 所以x n <x n ＋1.(3)因为0<x n <9，所以x n >x n 3.从而x n ＋1＝2x n ＋3>23x n ＋3.所以x n ＋1－9>23(x n －9)，即9－x n ＋1<23(9－x n )．所以9－x n <⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1(9－x 1)(n ≥2)．又x 1＝1，故x n >9－8·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1(n ≥2)．当n ＝1时，x 1＝1＝9－8×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝1，综上，x n ≥9－8·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1.。