8.5因式分解

合集下载

八年级因式分解常见方法和经典题型(适合基础和提高)

西安乐童教育中心八年级数学因式分解常见方法讲解和经典题型常见方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； (4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。

8.5.1因式分解

孙疃中心学校师生共用讲学稿年级七学科数学主备教师李琬审核人年级组长签名讲学日期班级学生姓名课题：8.5.1因式分解---提取公因法学习目标：1.了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系。

2.能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式。

3.经历从分解因数到分解因式的类比过程，理解因式分解的概念。

4.经历探索多项式各项公因式的过程，以“化归”的思想方法，进行因式分解掌握用提公因式法把多项式分解因式。

学习重、难点与关键1.了解因式分解的意义，掌握用提取公因式法把多项式分解因式2.正确地确定多项式的最大公因式3.在确定多项式各项公因式时，应抓住各项的最大公因式来提公因式．学习过程：一、自主学习1、知识回顾：请同学们完成下列计算，看谁算得又准又快．（1）把630分成质因数的乘积：630=（2）1012-992_____________________________________________通过上面的问题，你能得到什么启示？2、规律探究<1> 把下列多项式写成整式的乘积的形式（1）x2+x=_________（2）x2-1=_________（3）am+bm+cm=__________结论：把一个多项式化成_________的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．<2>、你知道因式分解与整式乘法的关系吗？因式分解左边是________________，而右边是________________整式乘法左边是________________，而右边是________________活动1：①多项式mn+mb中各项含有相同因式吗？②多项式4x2－x和xy2－yz－y含有相同因式吗？③请将上述多项式分别写成两个因式的乘积的形式，并说明理由．mn+mb= 4x2－x= xy2－yz－y=活动2：请同学们认真阅读下面这段文字，了解提公因式法分解因式提公因式法：如果一个多项式的各项含有_________，那么就可以把这个_________提出来，从而将多项式化成两个_________形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．用提公因式法分解因式的技巧：各项有“公”先提“公”，首项有负常提负。

沪科版初中数学教材目录

沪科版初中数学教材总目录七年级上册第1章有理数1.1天气预报中的数 1.2数轴 1.3有理数的大小1.4有理数的加减 1.5 有理数的乘除 1.6有理数的乘方 1.7近似数第2章走进代数2.1用字母表示数 2.2代数式 2.3整式加减第3章一次方程与方程组3.1一元一次方程及其解法 3.2二元一次方程组 3.3消元解方程组3.4用一次方程(组)解决问题第4章直线与角4.1多彩的几何图形 4.2线段、射线、直线 4.3线段的长短比较 4.4角的表示与度量4.5角的大小比较 4.6作线段与角第5章数据收集与整理5.1数据的收集 5.2数据的整理 5.3统计图的选择 5.4从图表中获取信息七年级下册第6章实数6.1平方根、立方根 6.2实数第7章一元一次不等式与不等式组7.1 不等式及其基本性质 7.2一元一次不等式 7.3一元一次不等式组第8章整式乘除与因式分解8.1幂的运算 8.2 整式乘法 8.3 平方差公式与完全平方公式 8.4 整式除法8.5 因式分解第9章分式9.1分式及其基本性质 9.2分式的运算 9.3 分式方程第10章相交线、平行线与平移10.1相交线 10.2平行线的判定 10.3 平行线的性质 10.4 平移第11章数据的集中趋势11.1平均数 11.2中位数与众数 11.3 从部分看总体八年级上册第12章平面直角坐标系12.1平面上的点坐标 12.2图形在坐标中的平移第13章一次函数13.1函数 13.2一次函数 13.3一次函数与一次方程、一次不等式13.4二元一次方程组的图象解法第14章三角形14.1三角形中的边角关系 14.2命题与证明第15章三角形的全等15.1全等三角形 15.2三角形全等的判定第16章轴对称图形与等腰三角形16.1轴对称图形 16.2线段的垂直平分线 16.3等腰三角形 16.4角的平分线第17章数据的离散程度17.1极差 17.2方差、标准差八年级下册九年级上册第23章二次函数与反比例函数23.1二次函数 23.2二次函数y=ax2的图象 23.3二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质23.4二次函数与一元二次方程 23.5二次函数的应用 23.6反比例函数第24章相似形24.1比例线段 24.2相似三角形的判定 24.3相似三角形的性质24.4相似多边形的性质 24.5位似图形第25章解直角三角形25.1锐角的三角函数 25.2锐角的三角函数值 25.3解直角三角形及其应用九年级下册第26章圆26.1 旋转26.2 圆的对称性26.3 圆的确定26.4 圆周角26.5 直线与圆的位置关系26.7 圆与圆的位置关系26.8 弧长与扇形面积第27章投影与视图27.1 投影27.2 三视图第28章概率初步28.1 随机事件28.2 等可能情况下的概率计算28.3 用频率估计概率。

初中因式分解公式大全

初中因式分解公式大全因式分解是初中数学中的一个重要知识点，它是解决代数式的一个重要方法。

因式分解的目的是将一个代数式分解成若干个乘积的形式，从而更容易进行计算和求解。

在初中阶段，因式分解公式是学生们需要掌握的基础知识之一。

下面我们将介绍一些常见的初中因式分解公式，希望能对大家的学习有所帮助。

一、一次因式分解公式。

1. a^2 b^2 = (a + b)(a b)。

这是一个一次因式分解的基本公式，它可以用来分解两个平方数之差。

当我们遇到类似的代数式时，可以利用这个公式来进行因式分解，从而简化计算过程。

二、二次因式分解公式。

1. a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2。

这是一个常见的完全平方公式，它可以用来分解一个完全平方的代数式。

在实际问题中，我们经常会遇到完全平方的情况，因此掌握这个公式对于解题非常有帮助。

2. a^2 2ab + b^2 = (a b)^2。

这是完全平方公式的另一种形式，与上一个公式相对应。

当我们遇到完全平方差的情况时，可以利用这个公式进行因式分解。

三、三次因式分解公式。

1. a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 ab + b^2)。

这是一个常见的立方和公式，它可以用来分解两个立方数的和。

在代数式的计算中，有时会遇到这种情况，因此掌握这个公式对于解题非常有帮助。

2. a^3 b^3 = (a b)(a^2 + ab + b^2)。

这是立方差公式，与上一个公式相对应。

当我们遇到两个立方数的差时，可以利用这个公式进行因式分解，从而简化计算过程。

四、其他常见因式分解公式。

1. a^2 + b^2 = (a + b)(a bi)(a + bi)。

这是一个关于复数的因式分解公式，它可以用来分解两个复数的和。

在高中阶段学习复数时，这个公式会被进一步应用和拓展。

2. a^3 + b^3 + c^3 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 ab ac bc)。

8.5.3因式分解-分组分解法

课题：8.5.2因式分解-分组分解法课型：新授课主备人：江琼主审：陈开之复审：宇标【学习目标】1、会综合运用提公因式法与公式法进行分解因式。

2、初步掌握分组分解法进行因式分解。

3、经历综合利用多种方法进行因式分解的过程，发展学生综合运用知识的能力和逆向思维的习惯，总结因式分解的一般方法【学习重点】1、综合运用提公因式法与公式法进行分解因式。

2、分组分解法进行因式分解。

【学习难点】分组分解法【学习过程】(一)复习提问1．我们学过了几种因式分解的方法？2．(1)ax+ay= (2)x2-y2=(3)ax+ay+x2-y2=(4)a2x-a2y-b2x+b2y=（二）小组讨论如何将多项式a2+2ab+b2-1和a2x-a2y-b2x+b2y分解因式？1、a2+2ab+b2-1=（）-=（）2-=( + )( - )2、a2x-a2y-b2x+b2y= a2( - ) - b2 ( - )=( - ) ( - )=( - ) ( + ) ( - )（想一想：是否还有其他它的分组方法）通过推到你得到什么结论？用自己的语言归纳一下？（三）当堂练习，检测效果1、x2-4xy+4y2-42、4a2+12ab+9b2-c23、x2-y2-x-y4、x2+10xy+25y2+3x+15y（四）小结1、这节课我们学了些什么？你获得哪些收获？还有哪些疑问没有解决？2、通过学习，我们掌握了哪几种因式分解的方法？3、同学们发现我们分解因式的多项式一般都是几项的吗？有三项的吗？三项的如何分解呢？有兴趣的同学可以自学课本P76页的阅读与思考？（五）课后检测(1)20(x+y)+x+y； (2)5m(a+b)－a－b (3)a2＋ab－ac－bc；(4)3a－ax－3b+bx (5)5ax+6by+5ay+6bx； (6)4x2-y2-yz+2xz (7) 4a2－b2+6a－3b； (8)9m2－6m+2n－n2；(9)x2－y2－z2+2yz；(10)xy-xz+y-z； (11)ax-2bx+ay-2by (12)4xy-3xz+8y-6z；(13)x3+3x2+3x+9 (14)3xy-2x-12y+8； (15)x3y+3x-2x2y2-6y(16)6ax+15b2y2-6b2x-15ay2；(17)7x2-3y+xy-21x；(18)3a2+bc-3ac-ab (19)a2m+bn-an-abm (20)1-m2-n2+2mn ；(21)x3y-xy3； (22) 4x2-y2+2x-y；（23）x4y+2x3y2-x2y-2xy2；（五）、教学反思。

初二因式分解公式大全

初中因式分解的公式1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)因式分解原则：1、分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。

2、分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。

3、每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。

4、结果最后只留下小括号，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

5、结果的多项式首项一般为正。

在一个公式内把其公因子抽出，即透过公式重组，然后再抽出公因子。

6、括号内的首项系数一般为正。

7、如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。

如(b+c)a要写成a (b+c)。

8、考试时在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数。

口诀：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。

8.5.4因式分解之分组分解法

因式吗？
三．例题.
把下列多项式分解因式：
1.按字母特征分组
（1）（2）a2－ab＋ac－bc
2.按系数特征分组
（1）（2）
3.按指数特点分组
（1）（2）
4.按公式特点分组
（1）a2－2ab＋b2－c2（2）
四．总结规律
1.合理分组（2+2型）；2.组内分解（提公因式、平方差公式）3.组间再分解（整体提因式）
A．1种B.2种C.3种D.4种
2.用分组分解a2－b2－c2＋2bc的因式，分组正确的是（）
3．填空：
（1）ax＋ay－bx－by= (ax＋ay)－()
= () ()
（2）x2－2y－4y2＋x= 4c2＋4bc= ()－()
= () ()
4．把下列各式分解因式
4.如果一个多项式中有三项是一个完全平方式或通过提取负号是一个完全平方式，一般就选用“三一分组”的方法进行分组分解。因此在分组分解过程中要特别注意符号的变化.
五．试一试
你能把分解因式吗？
练一练
把下列多项式分解因式
六、作业
P78T 6（1、2）P85C组T1
七、自我检测
1．用分组分解法把ab－c＋b－ac分解因式分组的方法有（）
孙疃中心学校师生共用讲学稿
年级七学科数学主备教师王景英审核人
年级组长签名讲学日期班级学生姓名
课题：8.5.3因式分解之分组分解法
学习目标
1.理解分组分解法的概念和意义；
2.掌握分组分解法中使用“二二”、“一三”分组的不同题型的解题方法；
3.渗透化归数学思想和局部、整体的思想方法.
学习重点
1.分组分解法中筛选合理的分组方案，掌握分组的规律与方法；

八年级数学(上册)-因式分解的方法汇总

（3）原式=
x4 2x2 1 2x(x2 1) x2 (x2 1)2 2x(x2 1) x2 (x2 x 1)2
方法八：待定系数法
对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达形式（含待定的字母系数），然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种方法叫待定系数法，用待定系数法解题目的一般步骤是：
解法三：将三次项 x3 拆成 9x3 8x3
解法四：添加两项 x2 x2
对应练习
分解因式：
（1）x9 x6 x 3 3
（2）(m2 1)(n2 1) 4mn
方法七：配方法
把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法。配方法的关键是通过拆项或添项，将原多项式配上某些需要的项，以便得到完全平方式，然后在此基础上分解因式。
(1999x 1)(x 1999)
（5）原式= (x y)2 2(x y) 2xy(x y) 4xy (xy)2 2xy 1
(x y xy)2 2(x y xy) 1 (x y xy 1)2 (x 1)2 ( y 1)2
因式分解的方法
一、提公因式法；二、公式法；三、十字相乘法；四、换元法；五、分组分解法；六、拆项、添项法；七、配方法；八、待定系数法。
方法一：提分因式法
这是因式分解的首选方法。也是最基本的方法。在分解因式时一定要首先认真观察等分解的代数式，尽可能地找出它们的分因数（式）
方法二：公式法

=a(m+n)+b(m+n)

=(a+b)(m+n)

8.5因式分解2---公式法

课题：8.5 因式分解（2）第二课时公式法主备人：王刚喜审核人：杨明使用时间：2011年月日年级班姓名：学习目标：1、会直接用平方差公式和完全平方公式分解因式。

2、通过学生们自己对公式的正向和逆向应用的探究，发展自己的逆向思维能力和推理能力。

3、通过自主探究，培养学生逆向思维能力，亲身感受数学知识的整体性。

学习重点：会直接用平方差公式和完全平方公式分解因式。

学习难点：1、准确理解公式中字母“a ”、“b ”的广泛含义。

2、把多项式写成具备公式的特征。

一、学前准备1、回忆公式（1）完全平方公式：（2）平方差公式： 2、把下列整式写成另一个整式的平方（1）16= （2）16x 2 = （3）0.04m 2=（4）2291b a = （5）36(m-n)2= （6）2)2(4925y x +=3、把下列各式因式分解（1）a 2－a ＝（2）5ab －15ac ＝（3）4a 2b －8ab 2＝（4）()()x y y y x x ---=二、探究活动〖一〗探究一：利用平方差公式分解因式【议一议】（1）x 2－y 2 （2）x 2+y 2 （3）－x 2－y 2 （4）－x 2+y 2 （5）64x 2－9y 2 2．总结平方差公式的特点：1.左边特征是： .2.右边特征是： . 【例题分析】例1.把下列多项式分解因式：（1） 36－25x 2 （2） 16a 2－9b 2 （3）49m 2－0.01n 2例2.观察公式a 2－b 2 =(a +b )(a －b )，你能抓住它的特征吗？公式中的字母a 、b 不仅可以表示数，而且都可以表示代数式.尝试把下列各式分解因式（1）(x ＋p )2－(x ＋q )2 （2）16(m －n )2－9(m ＋n )2（3）9x 2－(x －2y ) 2 （4）－4(x ＋2y )2＋9(2x －y )2【练一练】 1.填空（1）x 2－16 ＝ ( )( ) （2）9－4y 2＝( )( ) （3）1－19a 2 ＝( )( )2.把下列各式分解因式：（1）4a 2－(b ＋c )2 （2）(3m ＋2n )2－(m －n )2（3）(4x －3y )2－16y 2 （4）－(x ＋2y )2＋25(x －2y )2〖二〗探究二：利用完全平方公式分解因式【议一议】(1) a 2+2ab+b 2 (2) a 2－2ab+b 2 (3) a 2－ab+b 2 (4) a 2－2ab+4b 22．完全平方式的特点：左边：①项数必须是_________项；右边：____________________ ②其中有两项是___________________；③另一项是__________________ ___.口诀： .【例题分析】例1. 议一议：判断下列各式是完全平方式吗？（1）a 2－4a +4 （2）x 2+4x +4y 2 （3）4a 2+2ab +14b 2（4）a 2－ab +b 2 （5）x 2－6x －9 （6）a 2+a +0.25 例2. 把下列多项式分解因式：（1） x 2＋10x ＋25 （2） 4a 2＋36ab ＋81b 2 （3）－4xy －4x 2－y 2例3.把下列各式分解因式（1）(x ＋y )2－18(x ＋y )＋81 （2）4－12(x －y )＋ 9(x －y )2【练一练】1.请补上项，使下列多项式成为完全平方式：（1）4m 2＋＋n 2＝(2m ＋ )2；（2）x 2－＋16y 2＝( )2；（3）4a 2＋9b 2＋＝( )2；（4）＋2pq ＋1＝( )2. 2.分解下列因式：（1）9m 2－6mn ＋n 2 （2）49x 2＋y 2－43xy（3）a 2－12ab ＋36b 2 （4）a 2b 2－2ab ＋1三、自我测试1. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A .22b a +-B .22b a --C .22b a +D .33b a - 2. (x ＋1)2－y 2分解因式应是（）A . (x ＋1－y )(x ＋1＋y )B . (x ＋1＋y )(x －1＋y )C . (x ＋1－y )(x －1－y )D . (x ＋1＋y )(x －1－y ) 3．下列各式中能用完全平方公式分解的是（） ①442+-x x ②1362++x x ③1442+-x x ④2224yxy x ++ ⑤2216209yxy x +-A .①③B .①②C .②③D .①⑤ 4．若x 2-2mx +1是一个完全平方式，则m 的值为； 5.把下列各式分解因式：（1）2161211mm +-（2）16－24(a －b )＋ 9(a －b )2(3) 2249x y - （4）()224y x z +-四、应用与拓展1.已知y x ,互为相反数，且的值求y x y x ,,4)2()2(22=+-+．。

8.5因式分解(3)

8.5因式分解(3)
---提公因式法、公式法因式分解
五河二中汪海丰
1.你还记得前面学的完全平方公式吗？
a b
2
a 2ab b
2 2
2
a b
2
a 2ab b
2
2
a bபைடு நூலகம்
2
a 2ab b
2
2.你还记得前面学的平方差公式吗？
（a+b)(a-b)=(a² -b² )
在我们现学过的因式分解方法中，先考虑提取公因式，再考虑用公式法。
请同学们完成导学案中的合作探究.
请同学们完成导学案中的达标检测.
课堂小结
本节课我们学习了那些内容？你还有哪些困惑？
布置作业
课本练习题完成；同步作业相应练习完成.
在因式分解的过程中，有时提取公因式法与公式法两种方法同时使用. 例1：分解下列因式（1）ab² -ac² （2）3ax² +24axy+48ay²
解：（1）ab² -ac²
=a（b² -c² ）（提取公因式法） =a（b+c）（b-c) （平方差公式）
解：（2）3ax² +24axy+48ay² =3a（x² +8xy+16y² ）（提取公因式）
=3a（x+4y）²
（平方差公式）
例2：一题多解
x2 – x6
= x2 – (x3)2
= (x+x3)(x–x3) = x·(1+x2)·x·(1–x2)
= x2(1+x2)(1+x)(1–x)
一题多解
2 x
–
6 x 4 (1–x )
=

8.5因式分解4---复习

课题：8.5 因式分解（4）第三课时复习课主备人：王刚喜审核人：杨明使用时间：2011年月日年级班姓名：学习目标：1．复习分解因式的意义，复习分解因式的几种方法：提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接用公式不超过两次）、分组分解因式（指数是正整数）等．2.通过乘法公式的逆向变形，进一步发展学生观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力学习重点：1、通过复习，提高分解因式的技能，发展代数式的变形能力学习难点：能灵活运用不同的方法进行分解因式。

根据题目的形式和特征恰当选择方法进行分解，以提高综合解题能力。

一、知识梳理1．分解因式：把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．3．分解因式的步骤：（1）分解因式时，首先考虑是否有公因式可提（2）考虑使用公式法在用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项，可考虑用完全平方公式；（3）若多项式是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式。

4.注意事项：二、分知识点复习〖知识点一〗分解因式的意义【例题分析】例1．下列各式从左到右的变形中，哪些是因式分解？为什么？（1）12x 3y 2=3x 3·4y 2 （2）bc ac b a c -=-)( （3）222()2a b a ab b +=++ （4）))((22b a b a b a -+=- （5）222)1)(1(1y x x y x +-+=+- （6）⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++x x x x x 45452（7）()()()22112-+=++-+b a b a b a【点拨：左边是多项式．．．，右边是等式乘积．．．．的形式】例2．如果多项式2x ax b ++可以分解为(8)(3)x x +-，则,.a b ==〖知识点二〗提公因式法【例题分析】例1．给下列各式分解因式（1）mn m 842- （2）a axy ax 3632+-（3）xy y x y x +--223 （4）()()m n b n m a ---（5）()()32a b y b a x -+- （6）()()236a b a b ++--例2．已知已知5,12a b ab -==，求b a ab 2233-的值〖知识点三〗公式法：平方差公式和完全平方公式【例题分析】例1．填空：选用合适的公式分解因式（1）4a² - 25b²= （2）x²y 2 – 49m²= （3）m 2＋m ＋41= （4）x 2＋32x ＋256=（5）4x 2－20x ＋25= （6） a 2－8ab ＋16b 2= （7）x 2 –(a-b)2 = （8）(a ＋b)2＋4(a ＋b)c ＋4c 2= （9）(a －b)2－8x(b －a)＋16x 2= 【练一练】1、在括号前面填上“＋”或“－”号，使等式成立：（1）22)()(y x x y -=-；（2）)2)(1()2)(1(--=--x x x x 。

8.5.2因式分解

学习内容：8.5.2平方差公式因式分解学习目标：1．了解运用平方差公式来分解因式的意义；2．能熟练使用平方差公式进行因式分解；3．经历通过理解平方差公式的意义，弄清平方差公式的形式和特点；知道把乘法公式反过来就可以得到相应的因式分解；发展我们的逆向思考问题的能力和推理能力．学习重点：会用平方差公式法进行因式分解．学习难点：体会平方差公式的形式和特点．一、学前准备1．填空：(1)a 4=( )2; (2) 25b 2=( )2; (3) m 8n 10=( )2; (4) 425x 4=( )2 ; (5) 0.25a 2n =( )2; (6) 4(x -a )2=( )22.把下列各式分解因式：（1）3a （x +y ）- 2b （x +y ）（2） a 2(x -5)+4(5-x )3.一个长方形的面积是（x 2－9）平方米，其长为（x ＋3）米，用含有x 的整式表示它的宽为多少米？4．预习疑难摘要：．二、自主探究探究方案：1．计算(1) (a -2)(a +2)2．填空： (1) a 2-4=a 2-22=(a +b )( ) (2)25a 2-9b 2=(5a )2-(3b )2 请回顾什么是因式分解？(2)(5a +3b )(5a -3b )(3) (a +b )(a -b )思考：(1)对比1、2两组算式,两者之间有联系吗？对应的两组算式和结果各有什么特点？(2)把乘法公式(a +b )(a -b )=a 2-b 2反过来，就得到：a 2-b 2= 这个等式的左边是两数的，右边是与的积，它就是平方差公式，可以把形式是平方差的多项式分解因式．(3)当一个多项式具有什么特点时可用平方差公式因式分解？应用尝试：1．填空：(1)a 2－16 =a 2－( )2=( a ＋ )( a － )(2)64－b 2=( )2－b 2 =( +b )( －b )2．下列哪些多项式可以用平方差公式分解因式？(1) a 2+4b 2; (2) 4a 2-b 2; (3) a 2-(-b)2; (4) –4+a 2;(5) –4-a 2; (6) x 2-41; (7) x 2n+2-x 2n三、师生交流例1 把下列各式（利用平方差公式）分解因式：(1)22549x - （2）16)2(2-+x(3) 22)(4n m n +- (4) 22)()(b y a x --+(5) 22)(4)(25a x a x --+ （6）3x 3-12x例2 在边长为16.4cm 的正方形纸片的4角各剪去一边长为1.8cm 的正方形，求余下纸片的面积．（用今天所学知识解题．）应用尝试：把下列各式分解因式．(1) -25x 2+4y 2 (2) 36(x +y )2-25(x -y )2 (3) 814-a四、学习体会1．本节课你有哪些收获？2．预习时的疑难解决了吗？你还有哪些疑惑？3．你认为老师上课过程中还有哪些需要注意或改进的地方？五、自我测试1．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A 22b a +B 21a +-C 22b a --D c ab -22．下列各式不是因式分解的是（）A )1)(1(12-+=-a a aB )2(22b a a ab a -=-C )5)(5(25)(2--+-=--n m n m n mD 1)1)(1(2-=+-y y y3．把下列各式分解因式．(1) a 2-4 (2) 81a 2-25b 4 (3) 16(a -2b )2-9(a +2b )24．用简便方法计算：81.52-78.52六、拓展提高分解因式2x 2-21y 2．感谢您的阅读，祝您生活愉快。

七年级数学下册 8.5 因式分解教案1 沪科版(2021学年)

安徽省固镇县七年级数学下册8.5 因式分解教案1 (新版)沪科版编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(安徽省固镇县七年级数学下册8.5 因式分解教案１（新版）沪科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为安徽省固镇县七年级数学下册8.5 因式分解教案1 (新版)沪科版的全部内容。

因式分解教学目标知识与能力:了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系;能确定多项式各项的公因式,会用提公因式法将多项式分解因式.过程与方法：经历从分解因数到分解因式的类比过程,理解因式分解概念情感态度价值观:培养学生分析、类比以及化归的思想,培养学生有条理地思考、表达的能力重难点重点：了解因式分解的意义,掌握用提公因式法把多项式分解因式.难点:正确确定多项式的最大公因式教学一、导入新课、揭示目标(1－２分钟)１.了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系;2.能确定多项式各项的公因式,会用提公因式法将多项式分解因式.二、学生自学,质疑问难（10分钟左右)自学提纲:阅读课本第72－-—73页。

解决问题1.交流：（1）什么是因式分解？它与整式乘法有什么关系？(2）什么是公因式?怎样确定公因式?用提取公因式法分解因式的步骤有哪些?2如何检验因式分解的正误?。

3、自学例1,例2讨论补充记录过程教４.把下列各式分解因式:（１）—24x3＋28x２-12x(２）-2０x2y２—15xｙ2＋25y3三、合作探究，解决疑难(15分钟左右)（一) 下列代数式变形中,哪些是因式分解?哪些不是？为什么？(1）x2-３x+１=x(x-3）+1 ；(２）(m＋n)(a＋b)＋(ｍ+n）（x＋y）＝(ｍ＋n)（a＋b+x+y）;（3)２m(ｍ－n)=2ｍ2—2mn;(4)4x２—4ｘ+1=(2ｘ—1）2；（二)。

8.5 因式分解

课题:8.5 因式分解学习目标1、了解因式分解的意义以及它与正式乘法的关系。

2、能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法分解因式。

学习重点：能用提公因式法分解因式。

学习难点：确定因式的公因式。

学习关键，在确定多项式各项公因式时，应抓住各项的公因式来提公因式。

学习过程一．自主学习（一）前期目标检测1、计算（1）、n（n+1）（n-1）（2）、（a+1）（a-2）（3）、m（a+b）（4）、2ab（x-2y+1）（二）、探索新知阅读课文内容，并回答问题：1、（1）知识点一：把一个多项式化为几个整式的__________的形式叫做____________，也叫做把这个多项式__________。

（2）、知识点二：由m（a+b+c）=ma+mb+mc可得ma+mb+mc= m（a+b+c）我们来分析一下多项式ma+mb+mc的特点;它的每一项都含有一个相同的因式m，m叫做各项的_________。

如果把这个_________提到括号外面，这样ma+mb+mc就分解成两个因式的积m（a+b+c），即ma+mb+mc= m（a+b+c）。

这种________的方法叫做________。

2、（1）m(a-b)=ma-mb (2)a(x-y+2)=ax-ay+2a，由上可知，整式乘法是一种变形，左边是几个整式乘积形式，右边是一个多项式。

、3、（1）ma-mb=m(a-b) (2) ax-ay+2a= a(x-y+2),由此可知，因式分解也是一种变形，左边是_____________，右边是_____________。

4、尝试应用下列是由左到右的变形，哪些属于整式乘法，哪些属于因式分解？（1）（a+b）(a-b)= a - b （2）a +2ab+b =(a+b）(3)-6 x3+18x2-12x=-16(x2-3x+2) (4)(x-1)(x+1)= x2-1填空（1）a2b-ab2=ab(________)(2)-4 a2b+8ab-4b分解因式为__________________（3）分解因式4x2+12x3+4x=__________________（4）__________________=-2a(a-2b+3c)5、方法归纳准确地确定公因式时提公因式法分解因式的关键，确定公因式可分两步进行：（1）确定公因式的数字因数，当各项系数都是整数时，他们的最大公约数就是公因式的数字因数。

数学：8.5《分解因式》课件

x2 25 9x2 y2
完全平方公式： a2 2abb2 (ab)2
a2 2abb2 (ab)2
平方差公式： a2b2(ab)(ab)
利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解的方法叫做公式法
观察下列各式，他们有什么共同特征？
（1）x225 9 x 2 y 2 1 9a 2
（ 2）x24xy4
a 2 2 a b b 2 ( a b ) 2
(2) 9a230ab25b2 (3 a)22 3 a5 b(5 b )2(3a5b)2
(3) x281x292(x9)(x9)
a 2 b 2 （ a b )(a b )
(4 ) 3 6 a 2 2 5 b 2 (6 a )2 (5 b )2 (6a5b)(6a5b)
随堂练习： 1、填空（把下列各式写成完全平方的形式）
(1 )2 5 a 2 ( 5 a )2 (2 )0 .8 1 x2 (0.9 x)2(3 )1 6m 2 n 4 ( 4 m n 2 )2
2 5
5
(4 )y2 8 y 1 6 ( y 4
x )2 (5 )x2 x1 (
4
2、把下列各式分解因式
(3 )1 6y 9y2(3y 1 )2 (4 )1 3 6 n 2 (1 6 n )(1 6 n )
( 5 )9 n 2 6 4 m 2 4 8 m n ( 3 n 8 m )2
(6 ) 1 6 a 2 b 2 (a b 4 )(a b 4 )
例2、把下列各式分解因式
(1 )(m n)26(m n)9
8.5分解因式
1、什么是因式分解？它与整式乘法有什么关系？
把一个多项式化为几个整式的积的的形式叫因式分解。它与整式乘法互为逆运算。

8.4.5因式分解的综合应用

8.4.5因式分解的综合应用课题第2课时公式法第3课时因式分解的综合应用授课人教学目标知识技能会用平方差公式和完全平方公式进行因式分解.数学思考通过整式乘法逆向运算，引导学生得出用公式法分解因式的方法，发展学生的逆向思维和思考问题的能力.问题解决体会“化归”与“逆向思维”的思想方法，形成灵活的应用能力及推理能力.情感态度培养学生灵活地运用知识的能力和积极思考的良好习惯，体会因式分解在数学学科中的地位与价值，感受数学的简洁美.教学重点用平方差公式和完全平方公式进行分解因式.教学难点平方差公式和完全平方公式中字母a，b的广义理解.授课类型新授课课时教具多媒体课件教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.用提公因式法分解因式需要注意些什么？2．叙述乘法公式并填空：(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝________．(2)完全平方公式：(a＋b)2＝________；(a－b)2复习已学知识，为新课作铺垫.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】问题：1.看谁算得又快又准确．(1)65.52－34.52；(2)5×552－5×452；(3)1012－2×101×1＋1；(4)482＋48×24＋122.2．观察上述问题，你觉得用什么方法可以进行快速计算？以实际问题激发学生的好奇心和探究问题的热情.活动二：实践探究交流新知【探究1】学生活动：因为(65.5－34.5)(65.5＋34.5)＝65.52－34.52，所以65.52－34.52＝(65.5－34.5)×(65.5＋34.5)＝31×100＝3100；因为5(55－45)(55＋45)＝5×552－5×452，所以5×552－5×452＝5×(55－45)×(55＋45)＝5×10×100＝5000.教师活动：因为把一个多项式化为几个整式的乘积形式，叫做因式分解，因此我们可以用因式分解的方法快速计算上述问题．所以我们得到因式分解的一个公式：平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．【探究2】学生活动：逆用完全平方公式我们得到：1012－2×101×1＋1＝(101－1)2＝10000.482＋48×24＋122＝482＋2×48×12＋122＝(48＋12)2＝3600.教师活动：我们得到因式分解的又一个公式：完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.教师活动：注意：平方差公式、完全平方公式中的字母a，b既可以表示数，也可以表示含字母的代数式(单项式、多项式)．综上可知，整式乘法与因式分解是互为逆运算关系：通过问题培养学生逆向思维的能力，经历思考、交流归纳出公式.活动三：开放训练体现应用【应用举例】例1[教材P75例3]把下列各式分解因式：(1)x2＋14x＋49；(2)9a2－30ab＋25b2；(3)x2－81；(4)36a2－25b2.【变式训练】1．分解因式2x2－32的结果是()A．2(x2－16)B．2(x＋8)(x－8)C．2(x＋4)(x－4)D．(2x＋8)(x－8)2．下列各式属于正确分解因式的是()【应用举例】充分发挥例题的作用，要学生熟悉解题步骤与格式．【变式训A ．1＋4x 2＝(1＋2x)2B ．6a －9－a 2＝－(a －3)2C ．1＋4m －4m 2＝(1－2m)2D ．x 2＋xy ＋y 2＝(x ＋y)2 3．下列从左到右的变形，属于正确的分解因式的是( ) A ．(y ＋2)(y －2)＝y 2－4 B ．a 2＋2a ＋1＝a(a ＋2)＋1 C ．b 2＋6b ＋9＝(b ＋3)2D ．x 2－5x －6＝(x －1)(x ＋6)4．代数式－9m 2＋4n 2分解因式的结果是________．5．已知9x 2－6xy ＋k 是完全平方式，则k 的值是________． 6．已知一个长方形的面积是a 2－b 2(a>b)，其中长为a ＋b ，则宽是________．7．已知x ＝－19，y ＝12，求代数式4x 2＋12xy ＋9y 2的值. 例2 [教材P76例4] 把下列多项式分解因式： (1)ab 2－ac 2；(2)3ax 2＋24axy ＋48ay 2. 【变式训练】1．对于多项式3a 2－13的因式分解，下列说法或结果不正确的是( )A ．不能分解B ．3⎝⎛⎭⎫a ＋13⎝⎛⎭⎫a －13 C.13(3a ＋1)(3a －1) D.⎝⎛⎭⎫a ＋13(3a －1) 2．下列各题中，因式分解正确的是( )①x 2－4x ＋4＝(x －2)2；②9a 2－12ab ＋4b 2＝(3a －2)2；③y 3－y ＝y(y ＋1)(y －1)；④a 2＋2ab ＋b 2－1＝(a ＋b)2。