广州市第47中学高二数学竞赛辅导讲义 PAGE 9
高中数学竞赛讲义(免费)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
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全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
三、高中数学竞赛基础知识第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学竞赛教案讲义
高中数学竞赛教案讲义主题：高中数学竞赛备考一、课程目标：1. 提高学生数学逻辑思维能力和解题能力；2. 增强学生对数学知识的理解和应用能力；3. 培养学生团队合作意识和竞赛意识；4. 培养学生学习数学的兴趣和信心。
二、教学内容：1. 数论知识与解题方法；2. 代数知识与解题方法；3. 几何知识与解题方法；4. 概率与统计知识与解题方法。
三、教学重点：1. 突出数学问题解题的逻辑思维；2. 突出数学知识运用的方法；3. 突出解题过程中的技巧与技法。
四、课堂教学安排：第一节课：数论知识与解题方法1. 介绍数论基础知识；2. 讲解数论解题方法；3. 练习数论题目。
第二节课：代数知识与解题方法1. 复习代数基础知识；2. 讲解代数解题方法；3. 练习代数题目。
第三节课：几何知识与解题方法1. 复习几何基础知识；2. 讲解几何解题方法；3. 练习几何题目。
第四节课：概率与统计知识与解题方法1. 介绍概率与统计基础知识；2. 讲解概率与统计解题方法；3. 练习概率与统计题目。
五、课后作业：1. 每节课的课后习题；2. 复习本节课的知识点；3. 复习前几节课的知识点；4. 组织小组讨论解题方法。
六、教学评估：1. 每节课的课堂练习成绩；2. 期中考试成绩；3. 期末考试成绩；4. 学生综合表现与进步情况。
七、教学心得与总结：数学竞赛备考是一个长期的过程，需要坚持不懈和不断努力。
教师要引导学生找到解题的方法，培养学生的数学思维和解题能力。
同时，学生也要积极主动，多加练习，不断提高自己的数学水平。
希望通过我们的共同努力，可以在数学竞赛中获得好的成绩。
广州二中奥数培训讲义第9讲《三角综合问题》
第9讲 三角综合问题一. 本专题学习目的1．熟练掌握正弦定理、余弦定理及其运用； 2．会证明一些三角不等式. 二. 例题选讲例1．在ABC ∆中，记c AB b CA a BC ===,,，若01999222=-+c b a ，求BA Ccot cot cot +的值.点评:“切化弦”，再利用正弦定理或余弦定理把边角化一.变式1. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,, 且B C 2=, 求证: ab b c =-22.变式2. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,, 且C A C B 4,2==, 求证: ab bc ac =+.例2. 在ABC ∆中，角C B A ,,满足条件.cos sin sin sin cos sin C A C B B A -=-若ABC ∆的周长为12, 求其面积的最大值.点评: 利用条件判断三角形的形状,再选择计算面积的方法.变式3. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,若ABC ∆的面积为S ,且()222c b a S -+=,求C tan 的值.变式4. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,已知()()B b a C A sin sin sin 2222-=-,ABC ∆的外接圆的半径为2.(1) 求角C ;(2) 求ABC ∆的面积S 的最大值.ABC ∆的三边长均为有理数,θθ2,3==B A ,判断θ5cos 和θcos 是否为有理数?点评: 在解题时,仔细分析题设和目标式的结构特点,找出解题的桥梁, 此题要充分利用角的关系θθθ23-=, 综合运用正、余弦定理. 例4．已知C B A ,,为锐角，求证：()()()6cot cot tan cot cot tan cot cot tan ≥+++++B A C C A B C B A .πθ<<0, 则()θθcos 12sin+的最大值是 .提示: 化θ为2θ, 再用均值不等式.变式6. 设πθ<<0, 则()θθcos 1sin +的最大值是 .变式7. 在一个定圆中,求所有圆内接等腰三角形中, 面积最大的是哪一个?变式8. 在ABC ∆中, 证明:33tan tan tan ≥++C B A . 提示: 利用C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++.例5. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,ABC ∆的面积为S .求证: ()Sc b a C B A 42cot 2cot 2cot 2++=++. 提示:等式中,既有角,又含有边,因此应设法利用正弦定理、余弦定理等使边角统一.ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,, 面积为S .求证: 2tan 2tan 2tanCB A ++()236c b a S ++≥. 提示:利用(2tan 2tan 2tan C B A ++)(2cot 2cot 2cot CB A ++)9≥.三．巩固练习1．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,C A B +=2，且AC 边上的高a c h -=，求2sin AC -的值.2．在Rt ABC ∆中，︒=90C ，θ=A ，外接圆半径为R ，内切圆半径为r ， 当θ为何值时，rR的值最小，并求出最小值.3．已知ABC ∆的三边c b a ,,和面积S 满足关系式()22c b a S --=,且,8=+c b求S 的最大值.4．在ABC ∆中，34cos cos ,10===a b B A c ，P 为ABC ∆内切圆上的动点， 求222PC PB PA ++的最小值.5．已知锐角ABC ∆中，()()51sin ,53sin =-=+B A B A . （1）求证：B A tan 2tan =； （2）设3=AB ，求AB 边上的高.6．已知ABC ∆的三边c b a ,,满足ac b =2， （1）求证：30π≤<B ；（2）求函数BB By cos sin 2sin 1++=的值域第9讲 三角综合问题参考答案二. 例题选讲例1．解：BA Ccot cot cot +9522cos sin sin sin 222222222=-+=-+⋅=⋅=⋅⋅⋅=c c b a ab c b a c ab C C B A . 变式1.略解:由正弦定理有:()()()ab B A R B C B C R B C R b c ==-+=-=-sin sin 4sin sin 4sin sin 42222222.变式2.略解:由C A C B 4,2==及π=+=C B A , 得74,72,7πππ===A B C .ab R R R bc ac ==⋅=+=+72sin 74sin 47sin 7cos 73sin 247sin )72sin 74(sin4222ππππππππ例2.解:由已知得:(),sin sin cos cos sin C B C B A +=+其中0cos cos =+C B 可得出π=+C B .于是2tan 2cos2cos 22cos2sin2cos cos sin sin sin C B C B C B CB C B C B C B A +=-+-+=++=, 故2cot sin A A =, 即2sin2cos2cos 2sin 2A A A A =. 可得222sin =A ,得2π=A . 设角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,其中a 为斜边,则1222=+++c b c b . 因为bc c b bc c b 2,222≥+≥+.所以1222≤+bc bc , 解得()2262212-=+≤bc .所以()2233621-≤=∆bc S ABC . 所以()()22336max -=∆ABC S . 变式3. 略解:由已知得ab c b a C ab 2sin 222+-+=,又由余弦定理有C ab c b a cos 2222=-+.故()C ab C ab cos 12sin +=, 即()C C cos 12sin +=. 所以2cos 22cos 2sin2C C C =. 由于02cos ≠C, 所以2cos 22sin C C =, 即22tan =C .所以342tan 12tan2tan 2-=-=C C C . : (1)由已知()()B b a C A sin sin sin 2222-=-,ABC ∆的外接圆的半径为2,及正弦定理得()22882222b b a c a ⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-, 即ab c b a =-+222. 所以212cos 222=-+=ab c b a C .因为π<<C 0, 所以3π=C . (2)B A ab C ab S sin 22sin 224343sin 21⨯⨯===()()[]B A B A --+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=cos cos 2132()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=21cos 3B A .当B A =时,233max =S . 例3.解: 设角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,(c b a ,,均为有理数), θπ5-=C .由余弦定理知:()abc b a C 2cos 5cos 5cos 222-+-=-=--=θπθ为有理数.同理可知θθ2cos ,3cos B b A a sin sin =, 即θθ2sin 3sin ba =, 所以θθθθθ2sin 2sin 3sin 2sin 3sin 2==b a θθθ2cos 12sin 3sin 2-=. 所以()θθθ2cos 12sin 3sin 2-=ba 为有理数.所以()θθθθθθθ2sin 3sin 2cos 3cos 23cos cos +=-=为有理数. 例4.证明: 因为C B A ,,为锐角，所以C B A tan ,tan ,tan 均为正数.所以()()()B A C C A B C B A cot cot tan cot cot tan cot cot tan +++++ =⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+B C C B A C C A A B B A tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan 6222=++≥. 变式5.略解: ()θθcos 12sin+9342cos 2cos 2sin 42cos 2sin 22222≤==θθθθθ. 变式6.答:433. ABC 的顶角为A ,两腰为c b ,,且c b =. 所以()A B R A B R A B R A b S ABC sin 22cos 12sin sin 2sin sin 221sin 2122222⋅-⋅====∆ 又,,C B C B A ==++π所以A B -=π2.所以()A A R S ABC sin cos 12+=∆2cos 2cos 2cos 2sin 42cos 2sin42222232AA A A R A A R == 24222222433433142cos 2cos 2cos 2sin 3314R R A A A A R =⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯≤⨯=. 当3π=A 时,等号成立. 变式8. 略.例5. 证明:()A bc a c b A bc a c b A A A A A A sin 2sin 212cos2sin 22cos 22sin 2cos 2cot 222222-+=-++=== ()()Sa cb ac b 4-+++=.同理=2cot B ()()S b c a a c b 4-+++, =2cot C ()()Sc b a c b a 4-+++. 所以()Sc b a C B A 42cot 2cot 2cot 2++=++. 变式9. 证明: 因为(2tan 2tan 2tanC B A ++)(2cot 2cot 2cot CB A ++)9≥, 又()Sc b a C B A 42cot 2cot 2cot 2++=++所以2tan 2tan 2tanCB A ++()()223649c b a S Sc b a ++=++≥. 三．巩固练习 1．答：21 2．答：当︒=45θ时，r R 的值最小值为12+. 3．答：1764max =S .4．答：72. 5．答：（1）略； （2）62+. 6．答：（1）略；（2）(]2,1.。
高中数学竞赛讲义(常考知识点归纳汇总)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n 次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
三、高中数学竞赛基础知识第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
(完整版)高中数学竞赛讲义(九)──不等式
(12)
a>b>0, nCN+=an>bn;⑻a>b>0, nCN+=^^>^/^;
a>0, |x|<aQ -a<x<a, |x|>a= x>a或x<-a;
a, b€ R,则|a|-|b| < |a+b| <|a|+|b|;
a, bC R,贝U (a-b)2a2+b2> 2ab;
x, y, z € R+,则x+y>2*/^, x+y+z—刊Q电
-|b| w b与师以-（|a|+|b|） wa+bq|嘛|雄|a+b| < |a|-+ |b|T面再证（10）的左边，
|a|=|a+b-b| w |a+b|+回所以|a|-|b| w |a+b所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12）
为x+y-2而=（质-6）'>0,所以x+yP历，当且仅当x=y时，等号成立，再证另
工工
… …x+y —f+e一耳+沙，原不等式成立。
(6)放缩法，即要证A>B,可证A>C1, 01>C2,---,Cn-1>Cn, Cn>B(nCN+).
1 +--i--+,+---《厘(用主2).
例8求证：2 3 2*-1
【证明】
因为r: 2而=白+疝+疯>3^c~o~h=3狙瓦，所以原不等式成立。
1
例4已知实数a, b, c满足0<awbwc2,求证：。。一切 却一右)8(1-浦
最新高中数学竞赛全套精品讲义
竞赛讲座01－奇数和偶数整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示，奇数可用2k+1表示，这里k是整数.关于奇数和偶数，有下面的性质：（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；（3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；（4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶；（5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数.以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜.1.代数式中的奇偶问题例1（第2届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？□+□=□，□-□=□，□×□＝□□÷□＝□.解因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数.例2 （第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n是偶数，m是奇数，方程组是整数，那么（A）p、q都是偶数. （B）p、q都是奇数.（C）p是偶数，q是奇数（D）p是奇数，q是偶数分析由于1988y是偶数，由第一方程知p=x=n+1988y，所以p是偶数，将其代入第二方程中，于是11x也为偶数，从而27y=m-11x为奇数，所以是y=q奇数，应选（C）例3 在1，2，3…，1992前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶数.分析因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，所以在题设数字前面都添上正号和负号不改变其奇偶性，而1+2+3+…+1992==996×1993为偶数于是题设的代数和应为偶数.2.与整除有关的问题例4（首届“华罗庚金杯”决赛题）70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，….问最右边的一个数被6除余几？解设70个数依次为a1,a2,a3据题意有a1=0, 偶a2=1 奇a3=3a2-a1, 奇a4=3a3-a2, 偶a5=3a4-a3, 奇a6=3a5-a4, 奇………………由此可知：当n被3除余1时，a n是偶数；当n被3除余0时，或余2时，a n是奇数，显然a70是3k+1型偶数，所以k必须是奇数，令k=2n+1，则a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4.解设十位数，五个奇数位数字之和为a，五个偶数位之和为b(10≤a≤35,10≤b≤35)，则a+b=45，又十位数能被11整除，则a-b应为0，11，22（为什么？）.由于a+b与a-b有相同的奇偶性，因此a-b=11即a=28，b=17.要排最大的十位数，妨先排出前四位数9876，由于偶数位五个数字之和是17，现在8+6=14，偶数位其它三个数字之和只能是17-14=3，这三个数字只能是2，1，0.故所求的十位数是9876524130.例6（1990年日本高考数学试题）设a、b是自然数，且有关系式123456789=（11111+a）（11111-b），①证明a-b是4的倍数.证明由①式可知11111（a-b）=ab+4×617②∵a＞0,b＞0,∴a-b＞0首先，易知a-b是偶数，否则11111(a-b)是奇数，从而知ab是奇数，进而知a、b 都是奇数，可知(11111+a)及(11111-b)都为偶数，这与式①矛盾其次，从a-b是偶数，根据②可知ab是偶数，进而易知a、b皆为偶数，从而ab+4×617是4的倍数，由②知a-b是4的倍数.3.图表中奇与偶例7（第10届全俄中学生数学竞赛试题）在3×3的正方格（a）和（b）中，每格填“+”或“-”的符号，然后每次将表中任一行或一列的各格全部变化试问重复若干次这样的“变号”程序后，能否从一张表变化为另一张表.解按题设程序，这是不可能做到的，考察下面填法：在黑板所示的2×2的正方形表格中，按题设程序“变号”，“+”号或者不变，或者变成两个.表(a)中小正方形有四个“+”号，实施变号步骤后，“+”的个数仍是偶数；但表(b)中小正方形“+”号的个数仍是奇数，故它不能从一个变化到另一个.显然，小正方形互变无法实现，3×3的大正方形的互变，更无法实现.例8（第36届美国中学生数学竞赛试题）将奇正数1，3，5，7…排成五列，按右表的格式排下去，1985所在的那列，从左数起是第几列？（此处无表）解由表格可知，每行有四个正奇数，而1985=4×496+1，因此1985是第497行的第一个数，又奇数行的第一个数位于第二列，偶数行的第一个数位于第四列，所以从左数起，1985在第二列.例9 如图3-1，设线段AB的两个端点中，一个是红点，一个是绿点，在线段中插入n个分点，把AB分成n+1个不重叠的小线段，如果这些小线段的两个端点一个为红点而另一个为绿点的话，则称它为标准线段.证明不论分点如何选取，标准线段的条路总是奇数.分析 n个分点的位置无关紧要，感兴趣的只是红点还是绿点，现用A、B分别表示红、绿点；不难看出：分点每改变一次字母就得到一条标准线段，并且从A点开始，每连续改变两次又回到A，现在最后一个字母是B，故共改变了奇数次，所以标准线段的条数必为奇数.4.有趣的应用题例 10（第2届“从小爱数学”赛题）图3-2是某一个浅湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.（1）如果P点在岸上，那么A点在岸上还是在水中？（2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果有一点B，他脱鞋垢次数与穿鞋的次数和是个奇数，那么B点是在岸上还是在水中？说明理由.解（1）连结AP，显然与曲线的交点数是个奇数，因而A点必在水中.（2）从水中经过一次陆地到水中，脱鞋与穿鞋的次数和为2，由于 A点在水中，氢不管怎样走，走在水中时，脱鞋、穿鞋的次数的和总是偶数，可见B点必在岸上.例11 书店有单价为10分，15分，25分，40分的四种贺年片，小华花了几张一元钱，正好买了30张，其中某两种各5张，另两种各10张，问小华买贺年片花去多少钱？分析设买的贺年片分别为a、b、c、d（张），用去k张1元的人民币，依题意有10a+15b+25c+40d=100k,(k为正整数)即 2a+3b+5c+8d=20k显然b、c有相同的奇偶性.若同为偶数，b-c=10 和a=b=5，不是整数；若同为奇数，b=c=5和a=d=10,k=7.例12 一个矩形展览厅被纵横垂直相交的墙壁隔成若干行、若干列的小矩形展览室，每相邻两室间都有若干方形门或圆形门相通，仅在进出展览厅的出入口处有若干门与厅外相通，试证明：任何一个参观者选择任何路线任意参观若干个展览室（可重复）之后回到厅外，他经过的方形门的次数与圆形门的次数（重复经过的重复计算）之差总是偶数.证明给出入口处展览室记“+”号，凡与“+”相邻的展览室记“-”号，凡与“-”号相邻的展览室都记“+”号，如此则相邻两室的“+”、“-”号都不同.一参观者从出入口处的“+”号室进入厅内，走过若干个展览室又回到入口处的“+”号室，他的路线是+-+-…+-+-，即从“+”号室起到“+”号室止，中间“-”、“+”号室为n+1（重复经过的重复计算），即共走了2n+1室，于是参观者从厅外进去参观后又回到厅外共走过了2n+2个门（包括进出出入口门各1次）.设其经过的方形门的次数是r次，经过圆形门的次数是s，则s+r=2n+2为偶数，故r-s也为偶数，所以命题结论成立.例13 有一无穷小数A=0.a1a2a3…a n a n+1a n+2…其中a i(i=1,2)是数字，并且a1是奇数，a2是偶数，a3等于a1+a2的个位数…，a n+2是a n+a n+1(n=1,2…,)的个位数，证明A 是有理数.证明为证明A是有理数，只要证明A是循环小数即可，由题意知无穷小数A的每一个数字是由这个数字的前面的两位数字决定的，若某两个数字ab重复出现了，即0.…ab…ab…此小数就开始循环.而无穷小数A的各位数字有如下的奇偶性规律：A=0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇……又a是奇数可取1，3，5，7，9；b是偶数可取0，2，4，6，8.所以非负有序实数对一共只有25个是不相同的，在构成A的前25个奇偶数组中，至少出现两组是完全相同的，这就证得A是一循环小数，即A是有理数.练习1.填空题（1）有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最大数与最小数的积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是______.（2）有五个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数和的多18，这五个偶数之和是____.（3）能否把1993部电话中的每一部与其它5部电话相连结？答____.2.选择题（1）设a、b都是整数，下列命题正确的个数是（）①若a+5b是偶数，则a-3b是偶数；②若a+5b是偶数，则a-3b是奇数；③若a+5b是奇数，则a-3b是奇数；④若a+5b是奇数，则a-3b是偶数.（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（2）若n是大于1的整数，则的值（）.（A）一定是偶数（B）必然是非零偶数（C）是偶数但不是2 （D）可以是偶数，也可以是奇数（3）已知关于x的二次三项式ax2+bx+c（a、b、c为整数），如果当x=0与x=1时，二次三项式的值都是奇数，那么a（）（A）不能确定奇数还是偶数（B）必然是非零偶数（C）必然是奇数（D）必然是零3.（1986年宿州竞赛题）试证明11986+91986+81986+61986是一个偶数.4.请用0到9十个不同的数字组成一个能被11整除的最小十位数.5.有n 个整数，共积为n，和为零，求证：数n能被4整除6.在一个凸n边形内，任意给出有限个点，在这些点之间以及这些点与凸n边形顶点之间，用线段连续起来，要使这些线段互不相交，而且把原凸n边形分为只朋角形的小块，试证这种小三我有形的个数与n有相同的奇偶性.7.（1983年福建竞赛题）一个四位数是奇数，它的首位数字泪地其余各位数字，而第二位数字大于其它各位数字，第三位数字等于首末两位数字的和的两倍，求这四位数.8.（1909年匈牙利竞赛题）试证：3n+1能被2或22整除，而不能被2的更高次幂整除.9.（全俄15届中学生数学竞赛题）在1，2，3…，1989之间填上“+”或“-”号，求和式可以得到最小的非负数是多少？练习参考答案１．（１）３０．（最小两位奇数是１１，最大数与最小数同为奇数）（２）１８０．设第一个偶数为ｘ，则后面四个衣次为ｘ＋２，ｘ＋４，ｘ＋６，ｘ＋８．（３）不能．２．Ｂ．Ｂ．Ａ３．１１９８６是奇数１，９１９８６的个位数字是奇数１，而８１９８６，６１９８６都是偶数，故最后为偶数．４．仿例５１２０３４６５８７９．５．设ａ１，ａ２，…，ａｎ满足题设即ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ＝０①ａ１·ａ２……ａｎ＝ｎ②。
高中数学竞赛培训讲义(word版43页)
2011高中数学竞赛培训教材编者：全国特级教师(一)集合与容斥原理集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。
它不仅是高中数学的第一课，而且是整个数学的基础。
对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上，而要随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。
如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组)的解、表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等。
一、学习集合要抓住元素这个关键例1．设A＝{X∣X=a2+b2,a、b∈Z}，X1，X2∈A，求证：X1X2∈A。
分析：A中的元素是自然数，即由两个整数a、b的平方和构成的自然数，亦即从0、1、4、9、16、25……，n2，……中任取两个(相同或不相同)数加起来得到的一个和数，本题要证明的是：两个这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式，即(a2+b2)(c2+d2)=(M)2+(N)2，M,N∈Z 证明：设X1＝a2+b2，X2=c2+d2，a、b、c、d∈Z.则X1X2＝(a2+b2)(c2+d2)＝a2c2+b2d2+b2c2+a2d2＝a2c2+2ac·bd+b2d2+b2c2-2bc·ad+a2d2＝(ac+bd)2+(bc-ad)2又a、b、c、d∈Z，故ac+bd、bc-ad∈Z，从而X1X2∈A练习:1.设两个集合S={x|x=12m+8n,m,n∈Z},T={x|x=20p+16q,p,q∈Z}.求证：S=T。
2.设M={a|a= x2-y2,x,y∈Z}.求证：（1）一切奇数属于M;（2）4k-2(k∈Z)不属于M;（3）M中任意两个数的积仍属于M。
3.已知函数f（x）=x2+ax+b,a,b∈R,且A={x|x=f(x)},B={x|x=f[f(x)]}.(1)求证:A B;(2)若A={-1，3}时，求集合B.二、集合中待定元素的确定例2．已知集合M ＝{X ，XY ，lg(xy)}，S ＝{0，∣X ∣，Y}，且M ＝S ，则(X ＋1/Y)＋(X2＋1/Y2)＋……＋(X2002＋1/Y2002)的值等于( ).分析：解题的关键在于求出X 和Y 的值，而X 和Y 分别是集合M 与S 中的元素。
高中数学竞赛讲义(免费)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
【高二数学竞赛班】二试数论讲义-《欧拉、威尔逊定理》
一、知识点金1．算术基本定理：任何一个正整数n ，都可以唯一分解成素因数乘积的形式，其中1212k k n p p p ααα=⋅⋅⋅。
12,,,k p p p ⋅⋅⋅均为素数，12,,,k ααα⋅⋅⋅为非负整数。
记()n τ是n 的正约数的个数，()n σ是n 的正约数的和，则1()(1)(1)k n ταα=+⋅⋅⋅+，11+1+1111111()(1)(1)11k k k k k k p p n p p p p p p αααασ--=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅--2．n 为平方数的充分必要条件是()n τ为奇数3．完系和缩系：在模m 的m 个剩余类中各任取一个数作为代表，这样的m 个数称为模m 的一个完全剩余系，简称完系。
如果i 和m 互素，则易知同余类i M 中所有数都和m 互素，这样的同余类称为模m 缩同余类，我们将模m 缩同余类的个数记作()m ϕ，称为欧拉函数。
在()m ϕ个缩同余类中各任取一个数作为代表，这样的()m ϕ个数称为模m 的一个缩剩余系，简称缩系（也称简系）。
4．设(,)1a m =，b 是任意整数。
（i ）,2,3,,(1),a a a m a ma ⋅⋅⋅-是模m 的完系。
a 叫做模m 的生成元。
（ii ）若12,,,m c c c ⋅⋅⋅是模m 的完系，则12,,,m ac b ac b ac b ++⋅⋅⋅+也是模m 的完系。
（iii ）若12(),,,m r r r ϕ⋅⋅⋅是模m 的缩系，则12(),,,m ar ar ar ϕ⋅⋅⋅也是模m 的缩系。
证明：(,)1a m =，（i ）假设(mod )ia ja m ≡，j i ≠，则|m ia ja -，因为(,)1a m =，所以|m i j -，矛盾！（ii ）假设(mod )i j ac b ac b m +≡+，j i ≠，则|()i j m a c c -，所以|i j m c c -，矛盾！（iii ）(,)1,(,)1i j ar m ar m ==，假设(mod )i j ar ar m ≡，j i ≠，则|i j m r r -，矛盾！5．欧拉函数()n ϕ，它表示不大于n 且与n 互素的正整数的个数，设1212k aa a k n p p p =⋅⋅⋅，12,,,k p p p ⋅⋅⋅均为素数，则11()(1)ki in n p ϕ==-∏。
高二联赛班秋季第9讲解析几何(2)
本讲的目标是熟练应对一试解析几何大题.近三年来的命题趋势是，一试解几大题难度向高考难度趋近，一般来说是一道圆锥曲线类的综合问题，同时与不等式、向量、数列包括数论（不定方程等）相联系；当与不等式相联系时，一般来说以均值为主；与数论相联系时，往往会给出一些参数，在确定参数过程中可能需要用到不定方程等数论知识； 与数列相联系的问题往往给出的是一个递归定义的图形和式子，问题归结为对某个等比或递归数列求和，最后还有可能与极限相联系，这种问题实际上在高考模拟题中也多有出现；【例1】 椭圆22221x y a b+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥， 则乘积OP OQ ⋅的最小值为 ．【例2】 设曲线C 1:1222=+y ax (a 为正常数)与C 2:y 2=2(x +m )在x 轴上方公有一个公共点P ． ⑴ 实数m 的取值范围（用a 表示）；经典精讲知识点睛第9讲解析几何 （2） 9.1解析几何综合⑵ O 为原点，若C 1与x 轴的负半轴交于点A ，当0<a <21时，试求△OAP 的面积的最大值 （用a 表示）.【例3】 一张纸上画有半径为R 的圆O 和圆内一定点A ，且OA ＝a . 拆叠纸片，使圆周上某一点P刚好与A 点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当P 取遍圆周上所有点时， 求所有折痕所在直线上点的集合．【例4】 如题图，P 是抛物线22210y x y -+-=上的动点，点B C ,在直线1x =-上，圆22(1)1x y ++=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值．【例5】AB为2=-上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值．1y x【例6】 设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【例7】 给定整数2n ≥，设 ),(000y x M 是抛物线12-=nx y 与直线x y =的一个交点. 试证明对于任意正整数m ，必存在整数2k ≥，使),(00m m y x 为抛物线12-=kx y 与直线x y =的一个交点.【例8】 过抛物线22y px =(p 为不等于2的素数)的焦点F,作与x 轴不垂直的直线l 交抛物线于M,N 两点,线段MN 的垂直平分线交MN 于P 点,交x 轴于Q 点.⑴ 求PQ 中点R 的轨迹L 的方程;⑵ 证明:L 上有无穷多个整点,但L 上任意整点到原点的距离均不是整数.【例9】 在x 轴同侧的两个圆：动圆1C 和圆0244422222=+--+b ay abx y a x a 外切 （0,,≠∈a N b a ），且动圆1C 与x 轴相切，⑴ 求动圆1C 的圆心轨迹方程L;⑵ 若直线069584)17(422=-++--a a b ay abx 与曲线L 有且仅有一个公共点，求b a ,之值。
高二数学竞赛班二试讲义
高二数学竞赛班二试讲义第9讲 进位制班级 姓名一、知识要点：1．进位制k 进制数，一般地，若k 是一个大于1的整数，那么以k 为基数的k 进制数可以表示成为一串数字连写在一起的形式110()n n k a a a a - (0n a k <<，10n a -≤，…，1a ，0)a k <．1110()110n n n n k n n a a a a a k a k a k a ---=⨯+⨯⨯+二、例题精析例1．（1）记集合{0,1,2,3,4,5,6}T =，1234(7){()|,1,2,3,4}i M a a a a a T i =∈=，将M 中 的元素按从大到小的顺序排列，则第2008个数是（ ）A ．(7)1100B ．(7)1101C ．(7)5565D ．(7)5566 （2）设{}n a 是递增的正整数数列：1,7,8,49,50,56,57,⋅⋅⋅，它们或者是7的幂，或者是7的不同的幂之和，则1000a = 。
例2．设()P x 是x 的十进制表示的各位数字之积，求2()1022P x x x =--成立的正整数x 。
例3．（1990.第32届IMO 备选题）证明：对任意自然数n ，二项式系数(0)mn C m n ≤≤中，奇数的个数是2的幂。
例4．（99年LS ）(满分50分)给定正整数n ，已知用克数都是正整数的k 块砝码和一台天平可以称出质量为1，2，3，…，n 克的所有物品。
（1）求k 的最小值f (n )； （2）当且仅当n 取什么值时，上述f (n )块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论。
三、精选习题1．设有集合{}3124234|0,1,2,,8,1,2,3,49999i a a a a A a i ⎧⎫=+++∈⋅⋅⋅=⎨⎬⎩⎭，把A 中各数按照从大到小的顺序排列，求第2010个数。
2．正整数n 的b 进制表示是777，求最小的正整数b ，使得n 是某一个整数的四次方。
高二数学竞赛培训讲义6-10套
映射与函数的最值一、基础知识 1．映射的定义设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作:f A B →. 2．单射若:f A B →是一个映射且对任意,x y A ∈，x y ≠，都有()()f x f y ≠，则称之为单射.3．满射若:f A B →是一个映射且对任意y B ∈，都有一个x A ∈，使得()f x y =，则称:f A B →是A 到B 上的满射.4．一一映射一般地，设A ，B 是两个集合，:f A B →是集合A 到集合B 的映射，如果在这个映射下，对于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象，而且B 中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A 到B 上的一一映射.（即:f A B →既是单射又是满射）只有一一映射存在逆映射，即从B 到A 由相反的对应法则1f-构成的映射，记作：1:f B A -→.5．函数设A ，B 都是非空的数集，f 是从A 到B 的一个对应法则.那么，从A 到B 的映射:f A B →就叫做从A 到B 的函数，记做()y f x =，其中x A ∈，y B ∈，原象集合A 叫做函数()f x 的定义域，象的集合C 叫做函数的值域，显然C B ⊆. 6．反函数若函数:f A B →是一一映射，则它的逆映射1:f B A -→叫原函数的反函数，通常记作1()y f x -=.二、基础训练1、在19×93的方格纸上画出主对角线，则它穿过_________个单位方格的内部.【解】主对角线穿过一个方格时，就会在方格内部留下一小段线段，因此每个方格对应于其内的这条小线段.这个网格共有20条竖线和94条横线，主对角线和所有竖线与横线共有112个交点，这112个交点可组成111条小线段.2、函数y =的最大值是_________，最小值是_________【解】导数法.y '==故y 在51[4,]12上单调增，在51[,5]12上单调减，从而max 2y =，min 1y =. 3、设定义在整数集上的函数()f x 满足52000()[(8)]2000n n f n f f n n -≥⎧=⎨+<⎩，则(1993)f =_____【解】(1993)[(19938)](1996)[(19968)](1999)f f f f f f f =+==+=[(19998)](2002)1997f f f =+==.4、求函数y =.AB【解】y =x 轴上点(,0)x到点(1,1)-和(1,1)的距离之和，故值域为)+∞.三、典型例题1、设集合{|011,}M x x x =≤≤∈Z ，集合{(,,,)|,,,F a b c d a b cd M =∈，映射:f F Z →使得(,,,)fa b c d a bc d→-，已知(,,,)39,(,,,)66f fu v x y u y x v →→，求,,,x y u v 的值. 【解】由f 的定义和已知数据，得3966(,,,)uv xy uy xv u v x y M -=⎧⎨-=∈⎩，将两式相加，相减并分别分解因式得()()105y v u x +-=，()()27y v u x -+=，显然，0,0u x y v -≥-≥，在,,,{|011,}x y u v x x x ∈≤≤∈Z 的条件下，011u x ≤-≤，105[]12211y v +≤+≤，即1022y v ≤+≤，但()|105y v +，可见1()15y v +=， 2()21y v +=，对应可知1()7u x -=，2()5u x -=.同理，由011y v ≤-≤，27[12211u x +≤+≤知322u x ≤+≤， 又有1()3u x +=，2()9u x +=.对应地1()9y v -=，2()3y v -=，于是有以下两种可能：（Ⅰ）15,7,9,3;y x u x u x y v +=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪-=⎩ （Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=-=+.3,9,5,21v y x u x u v y由（Ⅰ）解出x =1，y=9，u =8，v =6；由（Ⅱ）解出y=12，它已超出集合M 中元素的范围，因此（Ⅱ）无解. 2、设,x y R +∈，求u =.【解】将已知式变形为：u =222cos30x y xy ++-⋅.构造等腰直角三角形AOD ，如图，||||OA OD ==,OB OC 是AOD ∠的三等分线，||OB x =，||OC y =，则||||||||u AB BC CD AD =++≥= 由等面积法可解得，当3x y ==.3、求函数3422(21)x x y x x -=++的值域.【解法一】由于函数为奇函数，故只需考虑0x ≥的情形.（1）当01x ≤<时，由均值不等式有22222111()8118x x x y x x-+=≤+=++； （2）当1x =时，0y =；（3）当1x >时，222222211111||()2118118x x x x x x y x x x x +--+=⋅⋅≤+=++++，当1x =所以原函数的值域为11[,]88-.【解法二】222121411x x y x x-=⋅⋅++，令tan ,[0,)2x παα=∈，则111sin 4[,]888y α=∈-. 4、若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求u =.【解法一】易证222222222333(),(),()444x y xy x y y z yz z y z x zx x z ++≥+++≥+++≥+，所以[()()()]u x y y z z x ≥=+++++=13x y z ===时取等号）【解法二】设11()2z x y yi =+，21()2z y z zi =++，31()2z z x xi =+，所以123123||||||||u z z z z z z =++≥++【解法三】设1()2A x y y +，31())22B x y z y z +++，3(())2C x y z x y z ++++，则u OA AB BC OC =++≥5、在圆周上给定21(3)n n -≥个点，从中任选n 个点染成黑色，试证一定存在两个黑点，使得以它们为端点的两条弧之一的内部，恰好含有n 个给定的点. 【证明】若不然，从圆周上任何一个黑点出发，沿任何方向的第1n -个点都是白点，因而对于每一个黑点，都可得到两个相应的白点.这就定义了一个由所有黑点到白点的对应，因为每个黑点对应于两个白点，故共有2n 个白点（包括重复计数）.又因为每个白点至多是两个黑点的对应点，故至少有n 个不同的白点，这与共有21n -个点矛盾，故命题成立.6、把△ABC 的各边n 等分，过各分点分别作各边的平行线，得到一些由三角形的边和这些平行线所组成的平行四边形，试计算这些平行四边形的个数.【解】如图Ⅰ－1－2－2所示，我们由对称性，先考虑边不行于BC 的小平行四边形. 把AB 边和AC 边各延长一等分，分别到B ′，C ′，连接B ′C ′. 将A ′B ′的n 条平行线分别延长，与B ′C ′相交， 连同B ′，C ′共有n+2个分点，从B ′至C ′依次记为1，2，…，n+2.图中所示的小平行四边形所在四条线分别交B ′C ′于i ，j ，k ，l .记A={边不平行于BC 的小平行四边形}，{(,,,)|12}B i j k l i j k l n =≤<<<≤+.把小平行四边形的四条边延长且交C B ''边于四点的过程定义为一个映射：:f A B →，下面我们证明f 是A 与B 的一一对应.事实上，不同的小平行四边形至少有一条边不相同，那么交于C B ''的四点亦不全同. 所以，四点组),,,(l k j i 亦不相同，从而f 是A 到B 的1－1的映射.任给一个四点组(,,,)i j k l ，12i j k l n ≤<<<≤+，过i ，j 点作AB 的平行线，过k ，l 作AC 的平行线，必交出一个边不平行于BC 的小平行四边形，所以，映射f 是A 到B 的满射. 总之f 是A 与B 的一一对应，于是有42()()n card A card B C +==.加上边不平行于AB 和AC 的两类小平行四边形，得到所有平行四边形的总数是.342+n C四、课后作业金版奥数教程高一分册P109-116同余（一）知识、技能、方法 一、同余的概念及性质定义：设m 是一个给定的正整数，如果两个整数a ，b 用m 除所得的余数相同，则称a ，b 对模m 同余，记为a ≡b （mod m ）；若所得的余数不相同，称a ，b 对模m 不同余，记为a ≡b （mod m ）.例如，15≡7（mod 4），－23≡12（mod 7）.当0b m ≤<时，a ≡b （mod m ），则称b 是a 对模m 的最小非负剩余.同余有如下两种等价定义法：①若m|a －b ，则称a 、b 对模m 同余；②若a =b+mt （t ∈Z ），则称a 、b 对模m 同余.性质：（1）0(mod )|a m m a ≡⇔； （2）(mod )a a m ≡（反身性）(mod )(mod )a b m b a m ≡⇔≡（对称性） (mod )(mod )(mod )a b m a c m b c m ≡⎫⇒≡⎬≡⎭（传递性）（3）若(mod )a b m ≡，(mod )c d m ≡，则① (mod )a c b d m ±≡±； ② (mod )ac bd m ≡.（4）若(mod ),0,1,2,,i i a b m i n ≡=，则1010(mod )nn n n a x a x a b x b x b m +++≡+++.特别地，设10()()n n i f x a x a x a a Z =+++∈，若(mod )a b m ≡，则()()(mod )f a f b m ≡.（5）若(mod )ac bc m ≡，则(mod)(,)ma b m c ≡.特别地，又若(,)1m c =，则(mod )a b m ≡. 这个性质说明同余式两边的同一非零因数，不能像等式那样“约去”，只有当这非零因数与模互质时，才可“约去”.（6）(mod )a b m ≡，而|(0)d m d >，则(mod )a b d ≡. （7）设(mod )a b m ≡，①若0c >，则(mod )ac bc mc ≡；②d 为a 、b 、m 的任一公约数，则(mod )a b m d d d≡. （8）若1(mod )a b m ≡，2(mod )a b m ≡且12(,)1m m =，则12(mod )a b m m ≡. （9）若(mod )a b m ≡，则(,)(,)a m b m =.（10）每一个整数a 恰与0，1，…，m -1这m 个数中的某一个对模m 同余. 二、剩余类和完全剩余系（1）剩余类：设m ∈N*，把全体整数按其对模m 的余数r （0≤r ≤m －1）归于一类，记为r k ，每一类r k （r=0，1，…，m －1）均称模m 的剩余类（也称为同余类）.根据定义，剩余类具有如下性质：①0121m Z k k k k -=⋃⋃⋃，其中()i j k k i j φ⋂=≠；②对任一数n ∈Z ，有惟一的0r 使0r n k ∈； ③对任意的,a b ∈Z ，,(mod )r a b k a b m ∈⇔≡. （2）完全剩余类：设011,,,m k k k -是模m 的（全部）剩余类，从每个r k 中任取一个数r a ，这m 个数110,,,-m a a a 组成的一个组称为模m 的一个完全剩余系，简称完系.显然，模m 的完全剩余系有无穷多个，但最常用的是下面两种：① 非负数最小完全剩余系：0，1，2，…，m －1； ② 绝对值最小完全剩余系：它随m 的奇偶性不同而略有区别.当21m k =+时为,(1),,1,0,1,,(1),k k k k -----（对称式）当2m k =时为(1),(2),,1,0,1,(1),k k k k ------或,(1),,1,0,1,,(1)k k k ----- 由定义不难得到如下判别完全剩余系的方法：定理一：m 个整数m a a a ,,,21 是模m 的一个完系⇔当i j ≠时，i a ≡)(mod m a j . 定理二：设（b ，m ）=1，c 为任意整数，若12,,,n a a a 为一个完系，则12,,,m ba c ba c ba c +++也是模m的一个完全剩余系.特别地，任意m 个连续整数构成模m 的一个完全剩余系.（3）欧拉函数：设m 为一正整数，用记号()m ϕ表示0，1，…，m －1中与m 互质的数的个数，把()m ϕ称为欧拉函数.（4）简化剩余系：如果一个模m 的剩余类r k 中任一数与m 互质，则称r k 是与模m 互质的剩余类；在与模m 互质的每个剩余类中任取一个数（共)(m ϕ个）所组成的数组，称为模m 的一个简化剩余系. 定理三: 12(),,,m a a a ϕ是模m 的简化剩余系(,)1i a m ⇔=且(mod )(,,1,2,())i j a a m i j i j m ϕ≡≠=.（判别方法）定理四：在模m 的一个完全剩余系中，取出所有与m 互质的数组成的数组，就是一个模m 的简化剩余系. （构造方法） 定理五：设12(),,,m a a a ϕ是模m 的简化剩余系，若（k ，m ）=1，则)(21,,,m ka ka ka ϕ 也是模m 的简化剩余系.三、一次同余方程（1）设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++为x 的整系数多项式，同余式()0(mod )f x m ≡，0(mod )n a m ≡叫做一元n 次同余方程；若c 使得()0(mod )f c m ≡成立，则(mod )x c m ≡叫做同余方程)(mod 0)(m x f ≡的一个解.（2）)(mod m b ax ≡（其中m | a ）称为一次同余方程. 定理一：若(,)1a m =，则)(mod m b ax ≡有一个解.定理二：若(,)1a m d =>，d|b ，则)(mod m b ax ≡无解，其中)(mod 0m a ≡.定理三：若(,)1a m d =>，则)(m o d m b ax ≡有d 个解.并且，若)(m o d 1m x βα=的一个解为1(mod )x r m ≡，则d 个解为：1,,1,0),(mod 1-=+≡d k m km r x ，其中.,,1dm m db da ===βα定理四：对同余方程组⎩⎨⎧≡≡).(mod ),(mod 2211m c x m c x 记.],[,),(2121M m m d m m ==①若d | 21c c -，则此同余方程组无解；②若21|c c d -，则此同余方程组有对模M 的一类剩余解.四、模m 的阶定义：设m>1是一个固定的整数，a 是与m 互素的整数，则存在整数k ，1≤k ＜m ，使得)(mod 1m a k ≡，我们将具有这一性质的最小正整数（仍记为k ）称为a 模m 的阶.性质：①设(,)1a m =，k 是a m 模的阶，ν,u 是任意整数，则(mod )u va a m ≡的充要条件是(mod )u k ν≡.特别地，)(mod 1m a u≡的充分必要条件是k | u .②设a m a ,2),(=模m 的阶为k ，则数列,,,,32 a a a 模m 是周期的，且最小正周期是k ，而k 个数k a a a ,,,2 模m 互不同余.③设(,)1a m =，则a 模m 的阶整除欧拉函数()m ϕ．特别地，若m 是素数p ，则a 模p 的阶整除p －1.（二）例题分析例1、求使21n+能被3整除的一切自然数n .例2、求2999最后两位数字.例3、求证31980+41981能被5整除.例4、证明：正整数a 是9的倍数的充要条件是a 的各位数码之和是9的倍数.例5、设101010a =，计算某星期一后的第a 天是星期几？例6、求所有的素数p ，使241p +与261p +也是素数.例7、求满足|125|7m n -=的全部正整数,m n .例8、连续写出19到80的两位数，问：所得到的数192020……780能被1980整除吗？例9、试判断282726197319721971++能否被3整除？例10、求出所有满足8x +15y =17z 的正整数三元组（x ，y ，z ）.例11、证明：对于任意的非负整数n ，19×8n +17是合数.例12、设p 是一个素数，11k p ≤≤-，试证：1(1)(mod )k kp C p -≡-.例13、设a 和m 都是正整数，a >1，证明：).1(|-m a m ϕ例14、设m,a ,b 都是正整数，m>1，则.1)1,1),(-=--b a b a m m m例15、设1n >，证明：21n-不能被n 整除.数列的求和一、知识回顾本节主要内容有S n 与a n 的关系；两个常用方法：倒写与错项；各种求和：平方和、立方和、倒数和等；∑符号的运用. 掌握数列前n 项和常用求法,数列求和的方法主要有：倒序相加法、错位相减法、转化法、裂项法、并项法等． 1.重要公式①1+2+…+n =21n (n +1) ②12+22+…+n 2=61n (n +1)(2n +1) ③13+23+…+n 3=(1+2+…+n )2=41n 2(n +1)22.数列{a n }前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧≥-=-2,1,11n S S n S n n3. 在等差数列中S m +n =S m +S n +mnd,在等比数列中S m +n =S n +q n S m =S m +q m S n ．4.裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f (n +1)－f (n )，然后累加时抵消中间的许多项．应掌握以下常见的裂项：等)!1(1!1)!1(1④,ctg2ctg 2sin 1③,!)!1(!②,111)1(1①+-=+-=α-+=⋅+-=+n n n ααn n n n n n n n 5.错项相消法6.并项求和法二、基本训练1、数列{}n a 的各项为正数,其前n 项和n S 满足)1(21nn n a a S +=,则n a =______.2、（200 6天津）已知d c b a ,,,都是偶数，且d c b a <<<<0，90=-a d ，若c b a ,,成等差数列，dc b ,,成等比数列，则d c b a +++的值等于 ．3、（2006吉林预赛）对于一个有n 项的数列P=(p 1，p 2，…，p n )，P 的“蔡查罗和”定义为s 1、s 2、…s n 、的算术平均值，其中s k =p 1+p 2+…p k (1≤k≤n )，若数列(p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为 _______4、(集训试题)已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n 。
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∴当 k=-4 时， (x12+x22)max=18.
例 3. 已知 f(x)=x2-2x+2 ，在 x∈[t,t+1] 上的最小值为 g(t) ，求 g(t) 的表达式。
解： f(x)=(x-1)2+1 (1) 当 t+1<1 即 t<0 时， g(t)=f(t+1)=t2+1
(2) 当 t ≤ 1≤ t+1 ，即 0≤ t ≤ 1 时， g(t)=f(1)=1 (3) 当 t>1 时， g(t)=f(t)=t2-2t+2
0
a)
fmin=min{f(p),f(q)}
例 1. 当 x 为何值时，函数 f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+ … +(x-an)2 取最小值。
解：∵ f(x)=(x2-2a1x+a12)+(x2-2a2x+a22)+ …+(x2-2anx+an2)=nx2-2(a1+a2 … +an)x+(a12+a22+ …
中取得，最值情况如下表：
-b/2a ∈ [p,q]
-b/2a [p,q]
a>
fmin=f(-b/2a)=((4ac-b2)/4
0
a)
fmin=min{f(p),f(q)} fmax=max{f(p),f(q)}
fmax=max{f(p),f(q)}
a<
fmax=f(-b/2a)=((4ac-b2)/4
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又 1-x2=2y2 ≥ 0，∴ x2≤1，－ 1≤x≤ 1 . ∴当 x=2/3 时， y=( √10)/6 ，（2x+3y2） max=16/3 ； 当 x=-1 时， y=0， （ 2x+3y2 ） min=－ 2 (2) 由 3x2+2y2=6x ，得 y2=(3/2)x(2-x) ，代入 x2+y2=x2+(3/2)x(2-x)=-1/2 (x-3)2+9/2 又 y2=(3/2)x (2-x) ≥ 0，得 0≤ x≤ 2. 当 x=2，y=0 时，（x2+y2 ）max=4；当 x=0，y=0 时，(x2+y2)min=0 三、二次函数与二次方程 设 f(x)=ax2+bx+c(a ≠ 0) 的二实根为 x1,x2 ， (x1 ＜x2) ，Δ =b2-4ac ，且α、β ( α＜β ) 是预先给定的 两个实数。 1．当两根都在区间 ( α , β ) 内，方程系数所满足的充要条件 ∵α＜ x1 ＜ x2＜β，对应的二次函数 f(x) 的图象有下列两种情形
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应用题专题[重点]1. 与函数、方程、不等式有关的应用问题2. 与数列有关的应用问题[难点]提炼、解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述。
[考点概述]数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，也是考生失分较多的一种题型。
解答这类问题的要害是深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，这就需要建立恰当的数学模型，这当中，函数，数列，不等式，排列组合是较为常见的模型，而三角，立几，解几等模型也应在复习时引起重视。
高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型，另外，估测计算型和信息迁移型也时有出现。
当然，数学高考应用性问题关注当前国内外的政治，经济，文化，紧扣时代的主旋律，凸显了学科综合的特色。
一、求解应用题的一般步骤：1、审清题意：认真分析题目所给的有关材料，弄清题意，理顺问题中的条件和结论，找到关键量，进而明确其中的数量关系(等量或大小关系)2、建立文字数量关系式：把问题中所包含的关系可先用文字语言描述关键量之间的数量关系，这是问题解决的一把钥匙。
3、转化为数学模型：将文字语言所表达的数量关系转化为数学语言，建立相应的数学模型(一般要列出函数式、三角式、不等式、数列、排列组合式、概率以及利用几何图形等进行分析)，转化为一个数学问题。
4、解决数学问题：利用所学数学知识解决转化后的数学问题，得到相应的数学结论。
5、返本还原：把所得到的关于应用问题的数学结论，还原为实际问题本身所具有的意义。
二、应用题的常见题型及对策1、与函数、方程(组)、不等式(组)有关的题型：常涉及物价、路程、产值、环保、土地等实际问题，也常常涉及角度、长度、面积、造价、利润等最优化问题。
解决这类问题一般要利用数量关系，列出有关解析式，然后运用函数、方程、不等式等有关知识和方法加以解决，尤其对函数最值、均值定理用得较多。
2、与数列有关的问题：常涉及到产量、产值、繁殖、利息、物价、增长率、植树造林、土地沙化等有关的实际问题。
解决这类问题常构造等差数列、等比数列(无穷递增等比数列)，利用其公式解决或通过递推归纳得到结论，再利用数列知识求解。
3、与空间图形有关的问题：常与空间观测、面积、体积、地球的经纬度等问题有关。
解决此类问题常利用立体几何、三角方面的有关知识。
4、与直线、圆锥曲线有关的题型：常涉及定位、人造地球卫星、光的折射、反光灯、桥梁、线性规划等实际问题。
常通过建立直角坐标系，运用解析几何知识来解决。
5、与正、余弦定理及三角变换有关的题型：常涉及实地测量、计算山高、河宽、最大视角等。
6、与排列、组合有关的问题：运用排列、组合等知识解决7、与概率、统计有关的应用问题：这是近几年高考(新课程卷)的重点、热点，是必考内容，主要用概率公式和排列组合知识。
对常规型应用题，可使用下列“解题表”：（一）通读全题，初步估计本题属于哪种数学模型；（二）目标是什么?未知是什么?（三）清理题目中所有量：有哪些是已知量?哪些是未知量?哪些是常量?哪些是变量?是否需要设置新的量?（四）能否画个示意图?列个表?（五）条件中有哪些基本关系?是相等关系，还是不等关系？（六）涉及这些关系有哪些数学知识?能否将（三）中的量代入使之成为方程或不等式?（七）能否将上面的代数式化简?能否通过解方程或解不等式求出未知量?（八）完成并检验全题．[例题与练习]1．如图1，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）．Ａ．26 Ｂ．24 Ｃ．20 Ｄ．19图1 图2 图3讲解：这是2001年全国高考题，是一道典型的非常规应用题，所用数学知识甚至小学程度就够了，但许多考生却选择了错误的答案，究其原因，主要是“文字理解”这一关过不了．这些考生按图中“通路”求信息量，求出了3＋5＋12＝20，4＋6＋12＝22，7＋6＋12＝25，6＋8＋12＝26，故选Ａ．这里就是将“连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量”中“通过”没有理解正确．对最上面一条“通路”来说，它最多只能通过“3、5、12”中的最小值3个信息！依次还有4、6、6个，因此从A 出发的信息到B最多有3＋4＋6＋6＝19个．正确答案为Ｄ．2 向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图2所示，那么水瓶的形状是（）．讲解：本题要求根据图2中函数关系的大致图象（粗略的），对图中四个形状容器可能相符的容器作出判断，这里没有数值的运算，甚至没有严格的形式推理，生活常识、图象的变化趋势（性质）是判断的依据．我们可以说：从图可见，若水深H从0变化到（Ｈ／2）时变化状况与（Ｈ／2）变化到H变化状况相比，注水量在减少，符合这一性质的只有选择支Ｂ．3．甲乙两地相距S公里，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／时.已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度ｖ（千米／时）的平方成正比，并且系数为b，固定部分为a元．（1）将全程运输成本y表示成v的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车以多大速度行驶?讲解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为（S／ｖ），全程运输成本为ｙ＝ａ·（S／ｖ）＋ｂｖ２·（S／ｖ）＝S（（ａ／ｖ）＋ｂｖ），所以所求函数及其定义域为ｙ＝S（（ａ／ｖ）＋ｂｖ），ｖ∈（0，ｃ］．（2）由题意知S，ａ，ｂ，ｖ都是正数，故有S（（ａ／ｖ）＋ｂｖ）≥2S．当且仅当（ａ／ｖ）＝ｂｖ，即ｖ＝时上式中等号成立．当ｖ＝≤ｃ，全程运输成本ｙ最小．当＞ｃ，ｖ∈（0，ｃ］时，有S（（ａ／ｖ）＋ｂｖ）－S（（ａ／ｃ）＋ｂｃ） ＝S［（（ａ／ｖ）－（ａ／ｃ））＋（ｂｖ－ｂｃ）］ ＝（S／ｖｃ）（ｃ－ｖ）（ａ－ｂｃｖ）．因为ｃ－ｖ≥0，且ａ＞ｂｃ 2，故有ａ－ｂｃｖ≥ａ－ｂｃ 2＞0．所以S（（ａ／ｖ）＋ｂｖ）≥S（（ａ／ｃ）＋ｂｃ）．且仅当ｖ＝ｃ时，全程运输成本ｙ最小．综上所述，为使全程运输成本y最小，当 ｖ＝≤ｃ时，行驶速度应为ｖ＝；当＞ｃ时，行驶速度应为ｖ＝ｃ．说明：根据生活常识，汽车速度不会是一个无穷大的量，本题题意中“速度不得超过c千米／时”是一个重要的条件，它不仅是在第（1）小题求定义域的依据，更是第（2）小题中分类讨论中分类的标准．故而注意这类实际意义中量所受的制约及在解题中的作用是非常重要的．4．如图3所示，开始时桶1中有a升水，t秒后剩余的水符合指数衰减曲线ｙ１＝ａｅ－ｎｔ，那么桶2中的水就是ｙ２＝ａ－ａｅ－ｎｔ.假定当5分钟后，桶1中的水与桶2中的水相等，那么再过多少分钟桶1中的水只有（ａ／4）．讲解：由题意得ａｅ－5ｎ＝ａ－ａｅ－5ｎ，即ｅ－5ｎ＝（1／2）．①设再过t分钟后桶1中的水只有（ａ／4），那么ａｅ－ｎ（ｔ＋5）＝（ａ／4），ｅ－ｎ（ｔ＋5）＝（1／4）． ②将（1）式平方，得 ｅ－10ｎ＝（1／4）． ③比较②、③，得 －ｎ（ｔ＋5）＝－10ｎ，即ｔ＝5． 所以再过5分钟后桶1中的水只有（ａ／4）．说明：从①式中可以解出ｎ＝－（1／5）ｌｎ（1／2），但这只是题目的一个过渡量，并无一定解出的必要．一些同学解出后，不仅增加了解题步骤，而且有可能陷入繁琐运算使解题夭折．5．若干毫升水倒入底面半径为2ｃｍ的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm ．若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ）．.6A B cmC D6．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）． A 5种 B 6种 C 7种 D 8种解析：设购买软件x 片，x ≥3且x ∈N *，磁盘y 盒，y ≥2且y ∈N *，则60x +70y ≤500，即6x +7y ≤50．①当x =3时，y =2，3，4.有3种选购方式.②当x =4时，y =2，3.有2种选购方式.③当x =5时，y =2.有1种选购方式.④当x =6时，y =2.有1种选购方式。
综上，共有7种选购方式，故选C.评述：此题考查不等式的应用，建模能力，分类讨论思想及应用意识.7.设计一幅宣传画，要求画面面积为4840ｃｍ２，画面的宽与高的比为λ（λ＜1），画图的上、下各留8ｃｍ空白，左、右各留5ｃｍ空白，则当λ＝__________时，宣传画所用纸张面积最小讲解：设画面高为x cm ，宽为λx cm ，则λx 2＝4840.设纸张面积为S ，有S ＝（x ＋16）（λx ＋10）＝λx 2＋（16λ＋10）x＋160，将x ＝λ1022代入上式，得S ＝5000＋4410（8λλ5+）.当8 λ＝λ5，即λ＝85（85＜1)时，S 取得最小值，评述：本题主要考查建立函数关系式、求函数的最小值的方法和运用数学知识解决实际问题的能力．8.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入比上年减少（1／5）．本年度当地旅游业收入估计为400万元．由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加（1／4）．（1）设ｎ年内（本年度为第一年）总投入为ａｎ万元，旅游业总收入为ｂｎ万元，写出ａｎ、ｂｎ的表达式；（2）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入?9. 如图4，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为ｂ米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米，问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．（A 、B 孔的面积忽略不计）图4 图5 图6解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =abk ，其中k ＞0为比例系数，依题意，即所求的a 、b 值使y 值最小.根据题设，有4b +2ab +2a =60（a ＞0，b ＞0） 得b =aa+-230（0＜a ＜30)①于是()k k k k y 30a a ab a 3234a 2a 2a 22a====--+--+++++18264)2(234ka a k=+⋅+-≥当a +2=264+a 时取等号，y 达到最小值.这时a =6，a =－10（舍去） 将a =6代入①式得b =3故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.解法二：依题意，即所求的a 、b 值使ab 最大.由题设知4b +2ab +2a =60（a ＞0，b ＞0）即a +2b +ab =30（a ＞0，b ＞0） ∵a +2b ≥2ab 2 ∴2ab 2＋ab ≤30当且仅当a =2b 时，上式取等号.由a ＞0，b ＞0，解得0＜ab ≤18 即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值为18. ∴2b 2＝18．解得b =3，a =6. 故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.评述：本题考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查利用均值不等式求最值的方法、阅读理解能力、建模能力10. 图5为一台冷轧机的示意图．冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出．（1）输入带钢的厚度为α，输出带钢厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过ｒ0．问冷轧机至少需要安装多少对轧辊? （一对轧辊减薄率＝（输入该对的带钢厚度-从该对输出的带钢厚度／输入该对的带钢厚度）） （2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm.若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为Ｌｋ.为了便于检修，请计算Ｌ１、Ｌ２、Ｌ３并填入下表．（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）解析：本小题主要考查等比数列，对数计算等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力。