二次根式培优(可编辑修改word版)
二次根式培优提高训练
《二次根式》培优一、知识讲解1．根式中的相关概念⑴二次根式：形如)0a ≥的代数式叫做二次根式。
⑵ nn 次根式.其中若n 为偶数，则必须满足0a ≥。
⑶最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含有能开方的因数或因式。
⑷同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，则这几个根式叫做同类二次根式。
时，a c +=+ 2. 二次根式的性质 （1）()20a a =≥. （200 0 0a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩当时，当时，当时.3.二次根式的运算法则：对于二次更是的加减，先把二次根式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可. （1）(a b =+ （2)0,0a b ≥≥（3）)0,0a b =≥> （4）)0ma =≥（5）若0a b >>>4. 分母有理化（1）把分母中的根号化去叫做分母有理化.（2）互为有理数因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则这两个代数式互为有理化因式.互为有理数因式。
分母有理化时，一定要保证有理化因式的值不为0.二、习题讲解基础巩固1.化简：（1） （2（3（4）（5（6） 解：（1）. （23. （3）（43. （5）232-.（6）2. 设y =，求使y 有意义的x 的取值范围.解：由题知2102010x x x -≥⎧⎪-≥⎨⎪->⎩，解得1221x x x ⎧≥⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎩，所以x 的取值范围为122x ≤≤.3.（1）已知最简二次根式ba = ，b = . （2）已知0=，则2mn n +-的倒数的算术平方根为 .解：（1）由题知：2322b a b b a -=⎧⎨=-+⎩，解得02a b =⎧⎨=⎩.（2）因为0≥，2160m -≥0=所以221016040n m m m -+=⎧⎪-=⎨⎪->⎩，解得49m n =-⎧⎨=-⎩.所以15===.所以2mn n +-的倒数的算术平方根为15.4. （1）若m=，试确定m 的值.（2）已知x 、y为实数，13y x =-，求56x y +.解：（1）因为19901990x y x y -+≥⎧⎨--≥⎩，即199199x y x y +≥⎧⎨+≤⎩，所以199x y+=①.所以0=.又因为0≥0≥，所以3520 230 x y m x y m +--=⎧⎨+-=⎩②③.由①，②，③可得：2001m =.5.在、1999有多少个？解：由题知：==19个.6.计算：（1）((1617解：（1）原式((16=⎡⎤⎣⎦()(16=1211-（2）(5+解：原式(()=5555256+-（3）22-解：原式22=⎤⎤+-⎦⎦=⎤⎤+⎦⎦===（4）计算：(1111x x +++解：原式((1111x x ⎡⎤⎡⎤=++-⎣⎦⎣⎦()()()()222311111x x x x x x ⎡⎤=-+-=-++=-⎢⎥⎣⎦（5）(解：原式{}{}⎤⎤⎡⎡=⎦⎦⎣⎣()()523235⎡⎤⎡⎤=--+-⎣⎦⎣⎦=24=.7.化简：=..A. BCD解：()()⎣⎦=⎡⎡+⎣⎣()()222+=-=212==12=+8.计算：.解：原式()()4172x x --=())())417247x x x x --=---)12=-3=-.9.设x =，y =，n 为自然数，如果22219721993x xy y ++=成立，求n的值.解：由题知：()2222197221931993x xy y x y xy ++=++=x y +=22+==42n =+.1xy ==.当x y +==-1xy =时，()224219311993n ++⨯=，即()242900n +=. 因为n 为自然数，所以4230n +=，解得7n =.10. 若正整数a 、m 、n=，则a 、m 、n 的值依次是 . 解：因为0≥0≥，即m n ≥.由题知：22=，即2a m n -=+-所以2a m n =+=.故有8mn=.因为a 、m、n 为正整数，所以8m =，1n =，3a =. 11.（1）)))201220112010121412010--+= .解：原式)))20102112142010⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦)2010151242010⎡⎤=+--+⎣⎦2010=.（2）化简：解：原式==3=3=3==3===.二、拓展提高1.已知x=，y=，求22y xx y+的值.解：由题知：原式()()()()()()()2 22332223x y x y xy x y x xy yy xxy xyxy⎡⎤++-+-++⎣⎦===x y+=22+=10=，1xy==. 当10x y+=，1xy=时，原式()22101031⨯-=970=.2.（1））. 5A-1B-. 5C. 1D（2）代数式.解:（1）=)21=2=，==3=-.所以231=+-=，故答案选D.（2）222=+82818=++=因为0≥==3.若1x =，则54322171816x x x x x +--+-的值为 .解：因为1x =，所以()221x -=，化简的22160x x --=.原式543322216216216x x x x x x x x =+---+++-()()222161x x x x =+--+()201x x =⨯-+0=4. 已知非零实数a 、b 满足等式542b a a b ab b a ++=+的值. 解：由542b a a b ab b a++=+可得：22542b a a b ++=+，即()()22120b a -+-=，解得2a =，1b =.所以原式1===.5.22006= 解：令2006x =，由题知： 原式2x =2x =2x =2x =221x x x =+--1200612005x =-=-=.6. 已知2=的值为 .解：令m =n 22210m n m n -=⎧⎨-=⎩. 所以()()()22210x y x y x y x y -=+-=+=5m n =+=.7.化简：.解：原式=-==2==5=.8.计算：⋅⋅⋅+.解：原式==+⋅⋅⋅+4512025=-1145=-4445=.9.⋅⋅⋅+解：原式=37132612=++⋅⋅⋅1111111112233420102011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⋅⋅++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112010122320102011=+++⋅⋅+⨯⨯⨯111112010122320102011=+-+-+⋅⋅+-1201012011=+-201020102011=。
(完整word)二次根式培优题
二次根式培优题1. 若02=+a a ,则a 的取值范围是___________.2. 若代数式1681222+-++-x x x x 的结果是5—2x ，则x 的取值范围是__________.3. 已知ABC ∆的边长为c b a 、、(c b a 、、为整数),且满足04412=+-+-b b a ，求ABC ∆的周长.4. 若x 满足23)31(2x x --=-，则x 的整数解的个数有_____个.5. 在实数范围内分解因式: (1) 32-a ; （2)742-a ； （3))0,0(2>>++y x y xy x 。
6. 已知实数a 满足()a a a =-+-220072006，那么2006-a 的值是_______.7. 若m 满足等式y x y x m y x m y x --⋅+-=-++--+19919932253，试确定m 的值.8. 要使代数式2113----x x 有意义，实数x 的取值范围是_______________。
9. 比较大小：25 , 32 , 23---.10.化简:(1) )0(48342>+-y y y ;（2)()()()0222222>--+ab b a b a(2)161213b -； （4）23322-; (5）b a 3--;(6) )0(12122>>+-b a bab a a ;(7）32416++⨯。
11。
把下列各式中根号外的因式移到根式内：(1) x y xy -； （2)aa --⋅-11)1(。
12。
计算:(1)3232245-；（2）3612-;(3）)5131(15-÷（3）()()201220112323-⨯+；（4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷7225283212；(5)()()()()13132131322+--++-(6) ()()632632+--+(7) ba b a aba b a a a +----;(8）()()233623346++++13。
《二次根式》培优试题及答案精编版
《二次根式》提高测试（一）判断题：（每小题1分，共5分）1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（）【提示】2)2(-＝|－2|＝2．【答案】×．2．3－2的倒数是3＋2．（）【提示】231-＝4323-+＝－（3＋2）．【答案】×．3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…（）【提示】2)1(-x ＝|x －1|，2)1(-x ＝x －1（x ≥1）．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×． 4．ab 、31b a 3、ba x 2-是同类二次根式．…（ ）【提示】31b a 3、ba x 2-化成最简二次根式后再判断．【答案】√． 5．x 8，31，29x +都不是最简二次根式．（ ）29x +是最简二次根式．【答案】×．（二）填空题：（每小题2分，共20分）6．当x __________时，式子31-x 有意义．【提示】x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9． 7．化简－81527102÷31225a ＝_．【答案】－2aa ．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用． 8．a －12-a 的有理化因式是____________．【提示】（a －12-a ）（________）＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12-a ． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________．【提示】x 2－2x ＋1＝（ ）2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数还是负数？ x －4是负数，x －1是正数．【答案】3．10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________．【提示】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少？12-，12+．【答案】x ＝3＋22．11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222d c ab d c ab +-＝______．【提示】22d c ＝|cd |＝－cd ．【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2)(ab （ab ＞0），∴ ab －c 2d 2＝（cd ab +）（cd ab -）．12．比较大小：－721_________－341．【提示】27＝28，43＝48．【答案】＜．【点评】先比较28，48的大小，再比较281，481的大小，最后比较－281与－481的大小．13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________．【提示】(－7－52)2001＝(－7－52)2000·（_________）[－7－52．] （7－52）·（－7－52）＝？[1．]【答案】－7－52．【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14．若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．【答案】40． 【点评】1+x ≥0，3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时，x ＋1＝0，y －3＝0．15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________．【提示】∵ 3＜11＜4，∴_______＜8－11＜__________．[4，5]．由于8－11介于4与5之间，则其整数部分x ＝？小数部分y ＝？[x ＝4，y ＝4－11]【答案】5．【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了． （三）选择题：（每小题3分，共15分）16．已知233x x +＝－x 3+x ，则………………（ ）（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤0【答案】D ． 【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件，（A ）、（C ）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义． 17．若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝………………………（ ）（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y 【提示】∵ x ＜y ＜0，∴ x －y ＜0，x ＋y ＜0．∴222y xy x +-＝2)(y x -＝|x －y |＝y －x ．222y xy x ++＝2)(y x +＝|x ＋y |＝－x －y ．【答案】C ． 【点评】本题考查二次根式的性质2a ＝|a |．18．若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 等于………………………（）（A ）x 2 （B ）－x 2（C ）－2x （D ）2x【提示】(x －x 1)2＋4＝(x ＋x 1)2，(x ＋x 1)2－4＝(x －x 1)2．又∵ 0＜x ＜1，∴ x ＋x 1＞0，x －x1＜0．【答案】D ．【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质．（A ）不正确是因为用性质时没有注意当0＜x ＜1时，x －x1＜0． 19．化简aa 3-(a ＜0)得………………………………………………………………（）（A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a【提示】3a -＝2a a ⋅-＝a -·2a ＝|a |a -＝－a a -．【答案】C ． 20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ ）（A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a ---【提示】∵ a ＜0，b ＜0，∴ －a ＞0，－b ＞0．并且－a ＝2)(a -，－b ＝2)(b -，ab ＝))((b a --．【答案】C ．【点评】本题考查逆向运用公式2)(a ＝a （a ≥0）和完全平方公式．注意（A ）、（B ）不正确是因为a ＜0，b ＜0时，a 、b 都没有意义． （四）在实数范围内因式分解：（每小题3分，共6分）21．9x 2－5y 2；【提示】用平方差公式分解，并注意到5y 2＝2)5(y ．【答案】（3x ＋5y ）（3x －5y ）．22．4x 4－4x 2＋1．【提示】先用完全平方公式，再用平方差公式分解．【答案】(2x ＋1)2(2x －1)2．（五）计算题：（每小题6分，共24分）23．（235+-）（235--）；【提示】将35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．【解】原式＝(35-)2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215．24．1145-－7114-－732+；【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．【解】原式＝1116)114(5-+－711)711(4-+－79)73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．25．（a 2m n －m ab mn ＋m n nm）÷a 2b 2m n ；【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式． 【解】原式＝（a 2mn－m ab mn ＋m n n m ）·221ba n m＝21bn m m n ⋅－mab 1n m mn ⋅＋22b ma n n m n m ⋅ ＝21b－ab 1＋221b a ＝2221b a ab a +-． 26．（a ＋ba abb +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）．【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分． 【解】原式＝ba ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--＝b a ba ++÷))((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----＝ba b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +．【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐． （六）求值：（每小题7分，共14分）27．已知x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xy x ++-的值．【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值． 【解】∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26，y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26．∴x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1．32234232y x y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy yx +-＝10164⨯＝652． 【点评】本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”．从而使求值的过程更简捷． 28．当x ＝1－2时，求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221ax +的值．【提示】注意：x 2＋a 2＝222)(a x +，∴ x 2＋a 2－x22a x +＝22a x +（22a x +－x ），x 2－x22a x +＝－x （22a x +－x ）．【解】原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-＝)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x -++-+++++-=)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++＝x 1．当x ＝1－2时，原式＝211-＝－1－2．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)11(2222a x x a x +--+－)11(22x x a x --+＋221a x +＝x1．七、解答题：（每小题8分，共16分）29．计算（25＋1）（211+＋321+＋431+＋…＋100991+）．【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算． 【解】原式＝（25＋1）（1212--＋2323--＋3434--＋…＋9910099100--）＝（25＋1）[（12-）＋（23-）＋（34-）＋…＋（99100-）]＝（25＋1）（1100-）＝9（25＋1）．【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法． 30．若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求xy y x ++2－xyy x +-2的值．【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ，y 的值吗？].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 【解】要使y 有意义，必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴ x ＝41．当x ＝41时，y ＝21．又∵x y y x ++2－xyy x +-2＝2)(x y y x +－2)(xy y x - ＝|xy yx +|－|x y y x -|∵ x ＝41，y ＝21，∴yx＜xy ．∴ 原式＝x y y x +－y x xy+＝2yx 当x ＝41，y ＝21时，原式＝22141＝2．【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求出y 的值．。
(完整版)二次根式培优练习题.doc
二次根式培优练习题一．选择题（共14 小题）1．使代数式有意义的自变量 x 的取值范围是（）A． x≥ 3 B． x＞3 且 x≠4 C． x≥ 3 且 x≠4 D．x＞32．若=3﹣a，则 a 与 3 的大小关系是（）A． a＜ 3B． a≤3 C．a＞3 D．a≥33．如果等式（ x+1）0=1 和=2﹣3x 同时成立，那么需要的条件是（）A． x≠﹣ 1 B． x＜且 x≠﹣ 1 C．x≤或 x≠1 D．x≤且 x≠﹣ 14．若 ab＜0，则代数式可化简为（）A． a B．a C．﹣ a D．﹣ a5．已知 xy＜0，则化简后为（）A．B．C．D．6．如果实数 a、b 满足，那么点（ a， b）在（）A．第一象限B．第二象限 C．第二象限或坐标轴上D．第四象限或坐标轴上7．化简二次根式，结果正确的是（）A．B．C．D．8．若 a+ =0 成立，则 a 的取值范围是（）A．a≥0 B．a＞0 C．a≤0 D．a＜ 0 9．如果 ab＞ 0， a+b＜0，那么下面各式：①= ，②× =1，③÷=﹣b，其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③10．下列各式中正确的是（）A．B．=±3 C．（﹣）2=4 D．3 ﹣ =2 11．在二次根式、、、、中与是同类二次根式的有（）A． 2 个 B．3 个 C．4 个 D． 5 个12．若是一个实数，则满足这个条件的 a 的值有（）A． 0 个 B．1 个 C．3 个 D．无数个13．当 a＜0 时，化简的结果是（）A．B．C．D．14 ．下列计算正确的是（） A ．B．C．D．二．填空（共13 小）15．二次根式与的和是一个二次根式，正整数 a 的最小；其和．16．已知 a、b 足=a b+1， ab 的．17．已知 | a 2007|+ =a， a 20072的是．18．如果的是一个整数，且是大于 1 的数，那么足条件的最小的整数a= ．19．已知 mn=5， m +n = ．20．已知 a＜0，那么 | 2a| 可化．21．算：的果．22．若最二次根式与是同二次根式， x= ．．若，x= ；若 2 2， x= ；若（ x 1）2 ，．23 x =（ 3）=16 x=24．化 a 的最后果．25．察分析，探求出律，然后填空：，2，，2 ，，，⋯，（第n 个数）．26．把根号外的因式移到根号内：=27．若 a 是的小数部分， a（a+6）= ．三．解答（共7 小）28．下列解程：= = = = 2；===．回答下列：（1）察上面的解程，直接写出式子=；（2）察上面的解程，直接写出式子=；（3）利用上面所提供的解法，求++++⋯+的．29．一个三角形的三分、、（1）求它的周（要求果化）；（2）你一个适当的x ，使它的周整数，并求出此三角形周的．30．如，数 a、b 在数上的位置，化：．31．先下列的解答程，然后作答：形如的化，只要我找到两个数a、b 使 a+b=m，ab=n，（）2+（）2=m，? = ，那么便有= = ±（ a＞ b）例如：化解：首先把化，里 m=7， n=12；由于 4+3=7，4×3=12，即（）2+（）2=7，? =，∴===2+由上述例的方法化：（1）；（2）；（3）．．已知x=2 ，求代数式（2+（2+ ）x+ 的．32 7+4 ）x33．数 a、b 在数上的位置如所示，化：| a| ．34．察下列各式：；；⋯，你猜想：（1）=，=．（2）算（写出推程）：（3）你将猜想到的律用含有自然数n（n≥1）的代数式表达出来．参考答案一．选择题（共14 小题）1．C；2．B；3．D；4．C；5．B；6．C；7．D；8．C；9．B；10．A；11．B；12．B；13．A；14．D；二．填空题（共13 小题）15．6；﹣；16．±；17．2008；18．1；19．±2；20．﹣3a；21．1；22．0；23．±5；± 3；5 或﹣ 3； 24．﹣ 2；25．2；；26．；27．2；三．解答题（共7 小题）28．﹣；﹣；29．；30．；31．；32．；33．；34．5；6；；。
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二次根式的专题提高一、二次根式的双重非负性例题： 1、使式子x 2有意义的 x 的取值范围是x2、无论 x 取任何实数，x2 6x m 都有意义，则m的取值范围是3、已知yx2 4 8 2x 2，求 x+y 的值4、已知实数a,b,c满足2 a 3 4 b 0 ，c24b 4c 12 0 ，求a+b+c的值。
练习：1、使式子x 1有意义的 x 的取值范围是x 12、若a2 4a b 3 4 ，则 a2 2b =3、若2014 a a 2015 a ，则a 20142 =二、简单的二次根式的化简例题： 1、如果式子( x 1)2 x 2 2 x 3 ，则x的取值范围是12、把( a b)根号外的因式移到根号内的结果为b a练习：1、化简（ 1）a 1（ 2）xx 2 a2x2、已知 a,b,c 为 ?ABC的三边，化简( a b c) 2 (a b c)2 (b a c)2 (c b a)2 的结果为是3、若1 x 1 x ，则(x 1) 2=三、二次根式的运算与规律探究例： 1、察下列各式： 1 1 2 3 4 12 3 1 1 ， 1 2 3 4 5 22 3 2 1，1 3 4 5 6 323 3 1，猜 1 2014 2015 2016 20172、算2015 2016 2017 2018 1 20162的果：1、 n,k 正整数，，，，已知,2、小明做数学,,,,, 按上述律 , 第 n 个等式是3、 S=++⋯ +，求不超S 的最大整数四、分母有理化例：黑白双雄、横江湖；双合璧，天下无．是武侠小中常的描述，其意是指两人合在一起，取短，威力无比．在二次根式中也有种相相成的“ 子”如：，与的不含有根号，我就两个式子互有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是二次根式可以解：，像，通分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决：①的有理化因式是，1分母有理化得12② 算：③ 算：．④已知,,⑤已知 :,,, 试比较 a、b、 c 的大小 .练习：1、计算( 1 1 1 1 )( 2004 1) =2 23 3 2 20031 20042、已知则3、已知实数x,y 满足, 则的值为五、二次根式的计算综合题例题：计算：（1）6 4 3 3 2（ 2）2 6（ 3）2 3 2 217 12 2 ( 6 3)( 3 2) 3 2 5练习：计算（ 1）( 3 1)20012( 3 1)20002( 3 1)19992001（2）（3）（4）863 8 63 （ 5）1 14 59 30 2 3 66 40 2六、二次根式的求值例题： 1、先化简 , 再求值, 其中,.2、设 m>0,x 3x 1 m ,求代数式x 3x 1 的值3、若,, 求 xy.4、设 a=，求a5+2a4-17a3-a2+18a-17的值．5、正数 m,n 满足, 求的值.练习： 1、已知1x 1 ,那么1x 值是x x2、若,, 则3、当时,多项式的值为4、正实数a,b 满足, 且满足, 求的值5、如果, 求的值.。
《二次根式》培优试题及答案[1]
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《二次根式》提高测试(一)判断题：(每小题1分，共5分）1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（ )【提示】2)2(-＝｜－2｜＝2．【答案】×． 2．3－2的倒数是3＋2．（ )【提示】231-＝4323-+＝－(3＋2）．【答案】×．3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…（ ）【提示】2)1(-x ＝|x －1|，2)1(-x ＝x －1（x ≥1)．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×． 4．ab 、31b a 3、b a x 2-是同类二次根式．…（ ）【提示】31b a 3、bax 2-化成最简二次根式后再判断．【答案】√． 5．x 8，31，29x +都不是最简二次根式．（ ）29x +是最简二次根式．【答案】×． （二)填空题:（每小题2分，共20分)6．当x __________时,式子31-x 有意义．【提示】x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9． 7．化简－81527102÷31225a＝_．【答案】－2a a ．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用．8．a －12-a 的有理化因式是____________．【提示】（a －12-a ）(________）＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12-a ．9．当1＜x ＜4时，｜x －4｜＋122+-x x ＝________________．【提示】x 2－2x ＋1＝( ）2，x －1．当1＜x ＜4时,x －4，x －1是正数还是负数? x －4是负数,x －1是正数．【答案】3．10．方程2（x －1)＝x ＋1的解是____________．【提示】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少?12-，12+．【答案】x ＝3＋22． 11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数,化简2222d c ab d c ab +-＝______．【提示】22d c ＝|cd |＝－cd ．【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2)(ab （ab ＞0）,∴ ab －c 2d 2＝（cd ab +)（cd ab -）．12．比较大小：－721_________－341．【提示】27＝28，43＝48．【答案】＜．【点评】先比较28,48的大小，再比较281，481的大小，最后比较－281与－481的大小．13．化简：(7－52)2000·(－7－52）2001＝______________．【提示】（－7－52)2001＝（－7－52)2000·(_________)［－7－52．] （7－52）·(－7－52)＝?［1．]【答案】－7－52．【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14．若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1）2＋（y ＋3)2＝____________．【答案】40． 【点评】1+x ≥0，3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时，x ＋1＝0，y －3＝0．15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________．【提示】∵ 3＜11＜4,∴ _______＜8－11＜__________．［4，5]．由于8－11介于4与5之间，则其整数部分x ＝？小数部分y ＝？[x ＝4，y ＝4－11］【答案】5．【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了． （三）选择题：（每小题3分，共15分）16．已知233x x +＝－x 3+x ，则………………（ ）(A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C)x ≥－3 （D ）－3≤x ≤0【答案】D ． 【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件,（A ）、(C ）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义．17．若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝………………………（ ） （A ）2x (B)2y （C)－2x （D ）－2y 【提示】∵ x ＜y ＜0，∴ x －y ＜0，x ＋y ＜0．∴222y xy x +-＝2)(y x -＝｜x －y ｜＝y －x ．222y xy x ++＝2)(y x +＝｜x ＋y |＝－x －y ．【答案】C ． 【点评】本题考查二次根式的性质2a ＝|a |．18．若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 等于………………………（ )（A ）x 2 （B)－x 2（C ）－2x (D ）2x【提示】(x －x 1)2＋4＝（x ＋x 1)2，(x ＋x 1）2－4＝(x －x 1)2．又∵ 0＜x ＜1，∴ x ＋x 1＞0，x －x1＜0．【答案】D ．【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质．（A ）不正确是因为用性质时没有注意当0＜x ＜1时，x －x1＜0． 19．化简aa 3-(a ＜0)得………………………………………………………………( )（A ）a - (B)－a （C)－a - （D ）a【提示】3a -＝2a a ⋅-＝a -·2a ＝|a |a -＝－a a -．【答案】C ．20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ ） （A)2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a --- 【提示】∵ a ＜0，b ＜0,∴ －a ＞0，－b ＞0．并且－a ＝2)(a -，－b ＝2)(b -,ab ＝))((b a --．【答案】C ．【点评】本题考查逆向运用公式2)(a ＝a （a ≥0）和完全平方公式．注意（A ）、（B ）不正确是因为a ＜0,b ＜0时，a 、b 都没有意义． （四）在实数范围内因式分解：（每小题3分，共6分）21．9x 2－5y 2;【提示】用平方差公式分解，并注意到5y 2＝2)5(y ．【答案】(3x ＋5y ）（3x －5y ）．22．4x 4－4x 2＋1．【提示】先用完全平方公式,再用平方差公式分解．【答案】(2x ＋1)2(2x －1)2． (五）计算题:（每小题6分，共24分）23．(235+-）（235--)；【提示】将35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．【解】原式＝(35-)2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215．24．1145-－7114-－732+；【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．【解】原式＝1116)114(5-+－711)711(4-+－79)73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．25．（a2m n －m ab mn ＋mnn m )÷a 2b 2m n ； 【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式． 【解】原式＝（a2m n －m abmn ＋m nn m ）·221b a nm＝21b n m m n ⋅－mab 1n m mn ⋅＋22bma n n m n m ⋅ ＝21b －ab 1＋221b a ＝2221b a ab a +-．26．（a ＋ba abb +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）(a ≠b )．【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分,然后分解因式并约分． 【解】原式＝ba ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--＝b a b a ++÷))((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----＝b a ba ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +．【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐．（六）求值：（每小题7分，共14分)27．已知x ＝2323-+,y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xy x ++-的值． 【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值． 【解】∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26,y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26．∴ x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1．32234232yx y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +-＝10164⨯＝652． 【点评】本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”．从而使求值的过程更简捷．28．当x ＝1－2时，求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221ax +的值．【提示】注意：x 2＋a 2＝222)(a x +，∴ x 2＋a 2－x 22a x +＝22a x +（22a x +－x ），x 2－x 22a x +＝－x （22a x +－x ）．【解】原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-＝)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x -++-+++++-=)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++ ＝x 1．当x ＝1－2时,原式＝211-＝－1－2．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)11(2222a x x a x +--+－)11(22x x a x --+＋221a x +＝x 1． 七、解答题：（每小题8分，共16分）29．计算(25＋1）（211+＋321+＋431+＋…＋100991+)．【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算． 【解】原式＝（25＋1）（1212--＋2323--＋3434--＋…＋9910099100--）＝(25＋1）［（12-）＋（23-)＋（34-）＋…＋（99100-）] ＝（25＋1）（1100-）＝9（25＋1）．【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法． 30．若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求x y y x ++2－xy y x +-2的值． 【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ,y 的值吗？].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 【解】要使y 有意义，必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴ x ＝41．当x ＝41时,y ＝21．又∵x y y x ++2－xyy x +-2＝2)(x y y x +－2)(xy y x -＝|xy y x +｜－｜x y y x -｜∵ x ＝41，y ＝21,∴ y x ＜x y．∴ 原式＝xy yx +－yx xy +＝2yx 当x ＝41，y ＝21时，原式＝22141＝2．【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求出y 的值．。
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【最新整理，下载后即可编辑】二次根式典型习题训练一、概念（一）二次根式1x、x>0）1x y+（x≥0，y•≥0）．（二）最简二次根式1y>0）化为最简二次根式结果是（）．A（y>0）By>0）C（y>0）D2．（x≥0）3．_________．4. 已知〉xy0，化简二次根式_________．（三）同类二次根式1是同类二次根式的是（）．A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④2、是同类二次根式的有______3．若最简根式3a是同类二次根式，求a、b的值．【最新整理，下载后即可编辑】4.n是同类二次根式，求m、n的值．（四）“分母有理化”与“有理化因式”1.+的有理化因式是________；x-的有理化因式是_________．-的有理化因式是_______．2.把下列各式的分母有理化（1；（2；（3（4．二、二次根式有意义的条件：1．（1）当x在实数范围内有意义？（2）当x是多少时，+11x+在实数范围内有意义？（3）当x2在实数范围内有意义？（4）当__________2.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数3．已知，求xy的值．4．5.若11m +有意义，则m 的取值范围是 。
6．要是下列式子有意义求字母的取值范围（1(2) (3)三、二次根式的非负数性1=0，求a 2004+b 2004的值．2，求x y 的3.2440y y -+=，求xy 的值。
四、⎪⎩⎪⎨⎧==a a a 2 的应用 1． a ≥0，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）．A B C D ．2．先化简再求值：当a=9时，求a ≥0x解答如下：甲的解答为：原式（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．3．若│1995-a│，求a-19952的值．4. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│5．化简）．B C．D．A6．把（a-1a-1）移入根号内得（）．AB C．D．五、求值问题:求x2-xy+y2的值1.当x=2．已知a=3+23.已知4．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y -（x 的值．52.236-（）的值．（结果精确到0.01）6．先化简，再求值．（-（，其中x=32，y=27．7．当（结果用最简二次根式表示）8. 已知2310-+=x x六、大小的比较的大小。
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【最新整理，下载后即可编辑】二次根式的专题提高一、二次根式的双重非负性例题：1、使式子xx 2-有意义的x 的取值范围是2、无论x 取任何实数，m x x +-62都有意义，则m 的取值范围是3、已知22284x x y -+-=，求x+y 的值4、已知实数a,b,c 满足0432=-++b a ，012442=--+c b c ，求a+b+c 的值。
练习： 1、使式子11--x x 有意义的x 的取值范围是2、若4342-=-+-b a a ，则b a 22-=3、若a a a =-+-20152014，则22014-a =二、简单的二次根式的化简例题：1、如果式子322)1(2-=-+-x x x ，则x 的取值范围是 2、把ab b a --1)(根号外的因式移到根号内的结果为练习： 1、化简（1）aa1- （2）22x x x--2、已知a,b,c 为∆ABC 的三边，化简2222)()()()(a b c c a b c b a c b a -----+--+++的结果为是3、若x1，则2)1-1=x+x=(-三、二次根式的运算与规律探究例题：1、观察下列各式：121312+1431⨯+，⨯=⨯⨯+5463333+⨯+，猜测⨯⨯⨯=12++，1542312⨯3⨯⨯2=+12+⨯2015120142016⨯⨯⨯+2017练习：1、设n,k为正整数，，，，已知,则2、小明做数学题时,发现,,,,按上述规律,第n个等式是3、设S=++…+，求不超过S的最大整数四、分母有理化例题：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中常见的描述，其意是指两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”如：，与的积不含有根号，我们就说这两个式子互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是二次根式可以这样解：，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．1分母有理化解决问题：①的有理化因式是，12得②计算：③计算：．④已知,,则⑤已知:,,,试比较a、b、c的大小.21++++3220032004232、已知则3、已知实数x,y满足,则的值为五、二次根式的计算综合题（2）（3）（4）638638-++（5）24066312305941--+++六、二次根式的求值例题：1、先化简,再求值,其中,.2 3、若,,求xy.4、设a=，求a 5+2a 4-17a 3-a 2+18a-17的值．5、正数m,n 满足,求的值.x x2、若,,则3、当时,多项式的值为4、正实数a,b满足,且满足,求的值5、如果,求的值.。
二次根式-培优.doc第一课
第1课时 二次根式培优 学生姓名 家长阅览：1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
非负性：a a ()≥0是一个非负数．2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()() 5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．0,0)a b ≥≥0,0)a b =>≥ （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．类型一：考查二次根式的概念（求自变量取值范围）1、下列各式中，不是二次根式的是（ ）A2、二次根式4122--x x 有意义时的x 的取值范围是 。
3、已知： 122+--++=x x y ，则2001)(y x += 。
类型二：考查二次根式的性质（非负性、化简）4、代数式243x --的最大值是 。
5、实数在数轴上的位置如图1所示，化简1a -= 。
6、把34-的根号外的因式移到根号内得；625-的平方根是 。
7、化简：= ； =-+-+-222)72()57(2)73( 。
(完整word版)二次根式拓展专题培优
二次根式的专题提高一、二次根式的双重非负性例题：1、使式子xx 2-有意义的x 的取值范围是 2、无论x 取任何实数，m x x +-62都有意义,则m 的取值范围是3、已知22284x x y -+-=,求x+y 的值4、已知实数a,b ，c 满足0432=-++b a ，012442=--+c b c ，求a+b+c 的值。
练习：1、使式子11--x x 有意义的x 的取值范围是 2、若4342-=-+-b a a ,则b a 22-=3、若a a a =-+-20152014，则22014-a = 二、简单的二次根式的化简例题：1、如果式子322)1(2-=-+-x x x ，则x 的取值范围是2、把a b b a --1)(根号外的因式移到根号内的结果为 练习: 1、化简（1)a a 1- （2）22xx x --2、已知a ，b ，c 为∆ABC 的三边，化简2222)()()()(a b c c a b c b a c b a -----+--+++的结果为是3、若x x +=-11，则2)1(-x =三、二次根式的运算与规律探究例题：1、观察下列各式：1131432112+⨯+=⨯⨯⨯+,1232543212+⨯+=⨯⨯⨯+，1333654312+⨯+=⨯⨯⨯+，猜测=⨯⨯⨯+201720162015201412、计算2201612018201720162015-+⨯⨯⨯的结果为 练习：1、设n,k 为正整数，,, ,已知，则 2、小明做数学题时，发现,，,,按上述规律,第n 个等式是3、设S=++…+，求不超过S 的最大整数四、分母有理化例题:黑白双雄、纵横江湖;双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中常见的描述,其意是指两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子"如:，与的积不含有根号，我们就说这两个式子互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是二次根式可以这样解：,像这样,通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫做分母有理化．解决问题：①的有理化因式是 ,121分母有理化得 ②计算：③计算：． ④已知，,则⑤已知:,,,试比较a 、b 、c 的大小。
八年级数学二次根式提高题常考题与培优题含解析(可编辑修改word版)
二次根式提高题与常考题型压轴题(含解析)一．选择题（共 13 小题）1. 二次根式中 x 的取值范围是（ ）A ．x ＞3B ．x ≤3 且 x ≠0C ．x ≤3D ．x ＜3 且 x ≠02. 计算： ，正确的是（）A ．4B ．C ．2D ．3. 如图，在长方形 ABCD 中无重叠放入面积分别为 16cm 2 和 12cm 2 的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）cm 2．A ．16﹣8B ．﹣12+8C ．8﹣4D ．4﹣2 4．若 1＜x ＜2，则的值为（）A ．2x ﹣4B ．﹣2C ．4﹣2xD ．25．下列计算正确的是（ ） A ．=2B ． =C ．=x D ． =x6. 下列各式变形中，正确的是（）A ．x 2•x 3=x 6B ．=|x |C ．（x 2﹣）÷x=x ﹣1D ．x 2﹣x +1=（x ﹣）2+7. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A ．B ．C ．D ．8. 化简+ 的结果为（）A ．0B ．2C ．﹣2D ．2﹣﹣﹣9. 已知，ab ＞0，化简二次根式 a 的正确结果是（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣10. 设 a 为的小数部分，b 为的小数部分．则的值为（ ）A ． +﹣1 B ．+1C ．﹣1 D ．++111. 把中根号外面的因式移到根号内的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．12．如果 =2a ﹣1，那么（）A ．aB ．a ≤C ．aD ．a ≥ 13. 已知：a=，b=，则 a 与 b 的关系是（）A ．ab=1B ．a +b=0C ．a ﹣b=0D ．a 2=b 2二．填空题（共 17 小题）14. 如果代数式有意义，那么 x 的取值范围为 ．15. 在数轴上表示实数 a 的点如图所示，化简+|a ﹣2|的结果为．16．计算：= ．17. 观察下列等式：第 1 个等式：a 1== ﹣1， 第 2 个等式：a 2== ，第 3 个等式：a 3==2﹣ ， 第 4 个等式：a 4==﹣2，按上述规律，回答以下问题：﹣ ﹣﹣﹣ ﹣﹣ ﹣ （1）请写出第 n 个等式：a n = ；（2）a 1+a 2+a 3+…+a n =．18. 计算 2 的结果是．19. 计算（+）（ ）的结果等于．20．化简：（0＜a ＜1）=．21. 如果最简二次根式与可以合并，那么使有意义的 x 的取值范围是 ．22. 已知 a ，b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有 对．23. 对正实数 a ，b 作定义 a*b=﹣a ，若 2*x=6，则 x=．24．已知 x +y=，x ﹣y=，则 x 4﹣y 4=．25. 已知=（x ，y 为有理数），则 x ﹣y=．26. 已知是正整数，则实数 n 的最大值为． 27. 三角形的三边长分别为 3、m 、5，化简= ．28. 若实数 m 满足=m +1，且 0＜m ＜，则 m 的值为．29. 计算下列各式的值：；；；．观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得=．30．观察下列各式：=11+3×1+1，=22+3×2+1， =32+3×3+1，猜测：=．三．解答题（共 10 小题） 31．计算 （1）﹣4+÷﹣﹣（2）（1﹣）（1+）+（1+）2．32．若1＜a＜2，求+的值．33．已知x，y 都是有理数，并且满足，求的值．34．先化简，再求值：，其中x=﹣3 ﹣（π﹣3）0．35．（1）已知|2012﹣x|+=x，求x﹣20132的值；（2）已知a＞0，b＞0 且（+ ）=3 （+5 ）．求的值．36．观察下列各式及其验证过程：（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；（2）针对上述各式反应的规律，写出用n（n 为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并说明它成立．37．先化简，再求值：（+）÷，其中a= +1．38.求不等式组的整数解．39.阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p=，则三角形的面积S=．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S=．（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于．（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．﹣40．已知：y= ++ ，求的值．﹣ ﹣二次根式提高题与常考题型压轴题(含解析)参考答案与试题解析一．选择题（共 13 小题） 1．（2017 春•启东市月考）二次根式中 x 的取值范围是（）A ．x ＞3B ．x ≤3 且 x ≠0C ．x ≤3D ．x ＜3 且 x ≠0【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出 3﹣x ≥0 且 x ≠0， 求出即可． 【解答】解：要使有意义，必须 3﹣x ≥0 且 x ≠0，解得：x ≤3 且 x ≠0， 故选 B ．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件等知识点，能根据题意得出 3﹣x ≥0 且 x ≠0 是解此题的关键．2．（2017 春•萧ft 区校级月考）计算： A ．4B ．C ．2D ．，正确的是（ ）【分析】直接化简二次根式进而合并求出答案．【解答】解： =2 =． 故选：D ．【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键． 3．（2017 春•嵊州市月考）如图，在长方形 ABCD 中无重叠放入面积分别为 16cm 2 和 12cm 2 的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm 2．﹣A．16﹣8 B．﹣12+8 C．8﹣4 D．4﹣2【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．【解答】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，∴它们的边长分别为=4cm，=2 cm，∴AB=4cm，BC=（2 +4）cm，∴空白部分的面积=（2+4）×4﹣12﹣16，=8 +16﹣12﹣16，=（﹣12+8 ）cm2．故选B．【点评】本题考查了二次根式的应用，算术平方根的定义，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长．4．（2016•呼伦贝尔）若1＜x＜2，则的值为（）A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2【分析】已知1＜x＜2，可判断x﹣3＜0，x﹣1＞0，根据绝对值，二次根式的性质解答．【解答】解：∵1＜x＜2，∴x﹣3＜0，x﹣1＞0，原式=|x﹣3|+=|x﹣3|+|x﹣1|=3﹣x+x﹣1=2．故选D．【点评】解答此题，要弄清以下问题：1、定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0 时，表示a 的算术平方根；当a=0 时，=0；当a 小于0 时，非二次根式（若根号下为负数，则无实数根）．2、性质：=|a|．5．（2016•南充）下列计算正确的是（）A．=2 B．=C．=x D．=x【分析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案．【解答】解：A、=2 ，正确；B、=，故此选项错误；C、=﹣x ，故此选项错误；D、=|x|，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．6．（2016•杭州）下列各式变形中，正确的是（）A．x2•x3=x6 B．=|x| C．（x2﹣）÷x=x﹣1 D．x2﹣x+1=（x﹣）2+【分析】直接利用二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算法则和分式的混合运算法则分别化简求出答案．【解答】解：A、x2•x3=x5，故此选项错误；B、=|x|，正确；C、（x2﹣）÷x=x﹣，故此选项错误；D、x2﹣x+1=（x﹣）2+，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算和分式的混合运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键． 7．（2016•巴中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案． 【解答】解：A 、=3，与不是同类二次根式，故此选项错误；B 、=，与 ，是同类二次根式，故此选项正确；C 、=2 ，与不是同类二次根式，故此选项错误；D 、==，与 不是同类二次根式，故此选项错误；故选：B ．【点评】此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键．8．（2016•营口）化简+A ．0B ．2C ．﹣2D ．2的结果为（ ）【分析】根据根式的开方，可化简二次根式，根据二次根式的加减，可得答案．【解答】解：+ 故选：D ．=3 +﹣2 =2 ，【点评】本题考查了二次根式的加减，先化简，再加减运算．9．（2016•安徽校级自主招生）已知，ab ＞0，化简二次根式 a 的正确结果是（）A ．B ．C ．﹣D ．﹣【分析】直接利用二次根式的性质进而化简得出答案． 【解答】解：∵ab ＞0，∴a =a × =﹣ ．﹣ ﹣﹣ ﹣ 故选：D ．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用二次根式的性质是解题关键．10．（2016•邯郸校级自主招生）设 a 为的小数部分，b 为﹣的小数部分．则 的值为（）A ． +﹣1B ． +1C ． ﹣1D ．++1【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出 a 、b 对应的小数部分， 然后代、化简、运算、求值，即可解决问题． 【解答】解：∵===∴a 的小数部分=﹣1；∵===，∴b 的小数部分=﹣2，∴ = == =．故选 B ．【点评】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二﹣ ﹣ ﹣ ﹣﹣= ，﹣次根式的运算法则来分析、判断、解答．11．（2016•柘城县校级一模）把中根号外面的因式移到根号内的结果是（）A．B．C．D．【分析】先根据被开方数大于等于0 判断出a 是负数，然后平方后移到根号内约分即可得解．【解答】解：根据被开方数非负数得，﹣＞0，解得a＜0，﹣a ==．故选A．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，先根据被开方数大于等于0 求出 a 的取值范围是解题的关键，也是本题最容易出错的地方．12．（2016•杨浦区三模）如果=2a﹣1，那么（）A．a B．a≤C．a D．a≥【分析】由二次根式的化简公式得到1﹣2a 为非正数，即可求出 a 的范围．【解答】解：∵=|1﹣2a|=2a﹣1，∴1﹣2a≤0，解得：a≥．故选D【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．13．（2016•临朐县一模）已知：a=，b=，则a 与b 的关系是（）A．ab=1 B．a+b=0 C．a﹣b=0 D．a2=b2【分析】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a﹣b、a2、b2，求出每个式子的值，即可得出选项．【解答】解：a= = =2+ ，b= = =2﹣，A、ab=（2+）×（2﹣）=4﹣3=1，故本选项正确；B、a+b=（2+）+（2﹣）=4，故本选项错误；C、a﹣b=（2+ ）﹣（2﹣）=2 ，故本选项错误；D、∵a2=（2+ ）2=4+4 +3=7+4 ，b2=（2﹣）2=4﹣4 +3=7﹣4 ，∴a2≠b2，故本选项错误；故选A．【点评】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．二．填空题（共17 小题）14．（2017•静安区一模）如果代数式有意义，那么x 的取值范围为 x＞﹣2 ．【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得，x+2＞0，解得，x＞﹣2，故答案为：x＞﹣2．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．15．（2016•乐ft）在数轴上表示实数a 的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为 3 ．【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案．﹣ 【解答】解：由数轴可得：a ﹣5＜0，a ﹣2＞0， 则+|a ﹣2|=5﹣a +a ﹣2 =3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确掌握掌握相关性质是解题关键．16．（2016•聊城）计算：= 12 ．【分析】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案． 【解答】解：=3 ×÷ =3=12．故答案为：12．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键． 17．（2016•黄石）观察下列等式：第 1 个等式：a 1= =﹣1， 第 2 个等式：a 2== ， 第 3 个等式：a 3==2﹣ ， 第 4 个等式：a 4==﹣2，按上述规律，回答以下问题：（1） 请写出第 n 个等式：a n == ﹣ ； ；（2）a 1+a 2+a 3+…+a n = ﹣1 ．﹣ ﹣ ﹣ 【分析】（1）根据题意可知，a 1== ﹣1，a 2== =﹣2，…由此得出第 n 个等式：a n ==（2） 将每一个等式化简即可求得答案．【解答】解：（1）∵第 1 个等式：a 1==﹣1，，a 3==2﹣ ，a 4=；第 2 个等式：a 2== ， 第 3 个等式：a 3==2﹣ ， 第 4 个等式：a 4==﹣2， ∴第 n 个等式：a n ==；（2）a 1+a 2+a 3+…+a n=（ ﹣1）+（ =﹣1．）+（2﹣ ）+（﹣2）+…+（）故答案为=；﹣1．【点评】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．18．（2016•哈尔滨）计算 2的结果是 ﹣2 ．【分析】先将各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并求解即可．【解答】解：原式=2×﹣3=﹣3=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键在于掌握二次根式的化简与同类二次根式合并．﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣19．（2016•天津）计算（+）（）的结果等于 2 ．﹣【分析】先套用平方差公式，再根据二次根式的性质计算可得．【解答】解：原式=（）2﹣（）2=5﹣3=2，故答案为：2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是关键．20．（2016•博野县校级自主招生）化简：（0＜a＜1）= ﹣a ．【分析】结合二次根式的性质进行化简求解即可．【解答】解：==|a﹣|．∵0＜a＜1，∴a2﹣1＜0，∴a﹣=＜0，∴原式=|a﹣|=﹣（a﹣）=﹣a．故答案为：﹣a．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的性质及二次根式的化简．21．（2016•绵阳校级自主招生）如果最简二次根式与可以合并，那么使有意义的x 的取值范围是x≤10 ．【分析】根据二次根式可合并，可得同类二次根式，根据同类二次根式，可得 a 的值，根据被开方数是非负数，可得答案．【解答】解：由最简二次根式与可以合并，得3a﹣8=17﹣2a．解得a=5．由有意义，得20﹣2x≥0，解得x≤10，故答案为：x≤10．【点评】本题考查了同类二次根式，利用同类二次根式得出关于a 的方程是解题关键．22．（2016•温州校级自主招生）已知a，b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a，b）共有7 对．【分析】A，B 只能是15n2，然后分别讨论及的取值，最终可确定有序数对的个数．【解答】解：15 只能约分成3，5那么A，B 只能是15n2先考虑A 这边：①，那么B 可以这边可以是1 或者，此时有：（15，60），（15，15），（60，15），②，只能B 这边也是，此时有：（60，60），③，那么B 这边也只能是，∴2×（+ ）=1，此时有：（240，240）④ 的话，那么 B 这边只能是，那么2（ + ）=1，﹣此时有：（135，540），（540，135）．综上可得共有 7 对． 故答案为：7．【点评】本题考查二次根式的化简求值，难度较大，关键是根据题意分别讨论及的取值．23．（2016•福州自主招生）对正实数a ，b 作定义a*b=﹣a ，若2*x=6，则x= 32 ．【分析】根据定义把 2*x=6 化为普通方程，求解即可． 【解答】解： ∵a*b=﹣a ， ∴2*x=﹣2，∴方程 2*x=6 可化为﹣2=6，解得 x=32，故答案为：32【点评】本题主要考查二次根式的化简，利用新定义把方程化为普通方程是解题的关键．24．（2016•黄冈校级自主招生）已知 x +y=，x ﹣y=，则 x 4﹣y 4=．【分析】把所给式子两边平方再相加可先求得 x 2+y 2，再求得 x 2﹣y 2，可求得答案． 【解答】解： ∵x +y=，x ﹣y=， ∴（x +y ）2=x 2+2xy +y 2=（）2=+，（x ﹣y ）2=x 2﹣2xy +y 2=（）2=，∴x 2+y 2=，又 x 2﹣y 2=（ x +y ） （ x ﹣y ） =（） （） =﹣﹣ =1，∴x 4﹣y 4=（x 2+y 2）（x 2﹣y 2）=，故答案为：．【点评】本题主要考查二次根式的化简，利用乘法公式分别求得 x 2+y 2 和 x 2﹣y 2 的值是解题的关键．25．（2016•黄冈校级自主招生）已知=（x ，y 为有理数），则 x ﹣y= 1 ．【分析】把已知条件两边平方，整理可得到 x +y ﹣2，结合 x 、y 均为有理数，可求得 x 、y 的值，可求得答案． 【解答】解：∵=， ∴（）2=（）2，即 2﹣3=x + y ﹣2，∴x +y ﹣2=2﹣ =+﹣2，∵x ，y 为有理数， ∴x +y= +，xy= ×， 由条件可知 x ＞y ， ∴x= ，y= ， ∴x ﹣y=1， 故答案为：1．【点评】本题主要考查二次根式的化简，由条件求得 x 、y 的值是解题的关键．26．（2016 春•固始县期末）已知是正整数，则实数 n 的最大值为 11 ．【分析】根据二次根式的意义可知 12﹣n ≥0，解得 n ≤12，且 12﹣n 开方后是正整数，符合条件的 12﹣n 的值有 1、4、9…，其中 1 最小，此时 n 的值最大．﹣﹣【解答】解：由题意可知 12﹣n 是一个完全平方数，且不为 0，最小为 1， 所以 n 的最大值为 12﹣1=11．【点评】主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．27．（2016•ft 西模拟）三角形的三边长分别为 3、m 、5，化简=2m ﹣10 ．【分析】先利用三角形的三边关系求出 m 的取值范围，再化简求解即可． 【解答】解：∵三角形的三边长分别为 3、m 、5， ∴2＜m ＜8，∴故答案为：2m ﹣10．=m ﹣2﹣（8﹣m ）=2m ﹣10．【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简及三角形三边关系，解题的关键是熟记三角形的三边关系．28．（2016•武侯区模拟）若实数 m 满足=m +1，且 0＜m ＜，则 m 的值为 ．【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出关于 m 的等式即可得出答案． 【解答】解：∵=m +1，且 0＜m ＜，∴2﹣m=m +1， 解得：m=． 故答案为：．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确开平方是解题关键． 29．（2016•龙岩模拟）计算下列各式的值：；； ； ．﹣观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得=102016 ．【分析】直接利用已知数据计算得出结果的变化规律进而得出答案．【解答】解：=10；=100=102；=1000=103；=10000=104，可得=102016．故答案为：102016．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出结果变化规律是解题关键．30．（2016•丹东模拟）观察下列各式：=11+3×1+1，=22+3× 2+1，=32+3× 3+1，猜测：= 20112+3×2011+1 ．【分析】根据题意得出数字变换规律进而得出答案．【解答】解：由题意可得：=20112+3×2011+1．故答案为：20112+3×2011+1．【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确得出数字变化规律是解题关键．三．解答题（共10 小题）31．（2017 春•临沭县校级月考）计算（1）﹣4 + ÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2．【分析】（1）先进行二次根式的除法运算，然后化简后合并即可；（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．【解答】解：（1）原式=3﹣2 +=3 ﹣2 +2=3 ；（2）原式=1﹣5+1+2+5=2+2 ．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．32．（2017 春•沂源县校级月考）若1＜a＜2，求+的值．【分析】根据a 的范围即可确定a﹣2 和a﹣1 的符号，然后根据算术平根的意义进行化简求值．【解答】解：∵1＜a＜2，∴a﹣2＜0，a﹣1＞0．则原式=+=+=﹣1+1=0．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解算术平方根的意义，理解=|a|是关键．33．（2017 春•启东市月考）已知x，y 都是有理数，并且满足，求的值．【分析】观察式子，需求出x，y 的值，因此，将已知等式变形：，x，y 都是有理数，可得，求解并使原式有意义即可．【解答】解：∵，∴．∵x，y 都是有理数，∴x2+2y﹣17 与y+4 也是有理数，∴解得∵有意义的条件是x≥y，∴取x=5，y=﹣4，∴．【点评】此类问题求解，或是转换式子，求出各个未知数的值，然后代入求解．或是将所求式子转化为已知值的式子，然后整体代入求解．34．（2016•锦州）先化简，再求值：，其中x=﹣3﹣（π﹣3）0．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把化简后x 的值代入进行计算即可．【解答】解：，=÷，=×，=．x= ﹣3 ﹣（π﹣3）0，=×4=2= ﹣1．﹣1，﹣1，﹣﹣把x=﹣1 代入得到：== ．即= ．【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．35．（2016•湖北校级自主招生）（1）已知|2012﹣x|+=x，求x﹣20132的值；（2）已知a＞0，b＞0 且（+ ）=3 （+5 ）．求的值．【分析】（1）由二次根式有意义的条件可知x≥2013，然后化简得=2012，由算术平方根的定义可知：x﹣2013=20122，最后结合平方差公式可求得答案．（2）根据单项式乘多项式的法则把（+）=3 （+5）进行整理，得出a﹣2﹣15b=0，再进行因式分解得出（﹣5）（+3）=0，然后根据a＞0，b＞0，得出﹣5 =0，求出a=25b，最后代入要求的式子约分即可得出答案．【解答】解：（1）∵x﹣2013≥0，∴x≥2013．∴x﹣2012+ =x．∴=2012．∴x﹣2013=20122．∴x=20122+2013．∴x﹣20132=20122﹣20132+2013=﹣（2012+2013）+2013=﹣2012．（2）∵（+）=3（+5），∴a+=3 +15b，∴a﹣2 ﹣15b=0，∴（﹣5）（+3）=0，∵a＞0，b＞0，∴﹣5 =0，∴a=25b，∴原式== =2．【点评】本题主要考查的是二次根式的混合运算，用到的知识点是二次根式有意义的条件、绝对值的化简、算术平方根的性质、平方差公式的应用，第（1）题求得x﹣2013=20122，第（2）求出a=25b 是解题的关键．36．（2016•ft西模拟）观察下列各式及其验证过程：（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；（2）针对上述各式反应的规律，写出用n（n 为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并说明它成立．【分析】根据观察，可得规律，根据规律，可得答案．【解答】解：（1）5=验证：5====；（2）n = ，证明：n = = = = ．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，运用n=的规律是解题关键．37．（2016•仙游县校级模拟）先化简，再求值：（+）÷，其中a=+1．【分析】利用通分、平方差公式等将原式化简为，代入a 的值即可得出结论．【解答】解：原式=（+）÷，=•，=•，=．当a= +1 时，原式==．【点评】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是将原式化简成．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，先将原代数式进行化简，再代入数据求值是关键．38．（2016•高邮市一模）求不等式组的整数解．【分析】首先解不等式组，注意系数化“1”时，这两个不等式的系数为负数，不等号的方向要改变．还要注意题目的要求，按要求解题．【解答】解：整理不等式组，得∴∴∴；∴不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0．【点评】此题考查了一元一次不等式组的解法．要注意系数化“1”时，系数是正还是负，正不等号的方向不变，负不等号的方向改变．还要注意审题，根据题意解题．39．（2016•太原一模）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p=，则三角形的面积S=．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S=．（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于 6 ．（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．【分析】（1）把a、b、c 的长代入求出S2，再开方计算即可得解；（2）把a、b、c 的长代入求出S2，再开方计算即可得解．【解答】解：（1）p===9，S===6 ．答：这个三角形的面积等于6．（2）S===== ．答：这个三角形的面积是． 故答案为：6．【点评】本题考查了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用算术平方根的定义计算．40．（2016 春•饶平县期末）已知：y=++ ，求的值．【分析】首先根据二次根式中的被开方数必须是非负数，求出 x 的值是多少，进而求出 y 的值是多少；然后把求出的 x 、y 的值代入化简后的算式即可． 【解答】解：∵+有意义，∴，解得 x=8， ∴y= ++=++=0+0+= ∴=﹣ ﹣ ﹣=== =【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。
(完整word版)培优专题：二次根式
二次根式培优一、 知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件一般地，我们把形如 ・.a(a _0)的式子叫做二次根式，其中a -0「. a _ 0。
根据二次根式的定义，我们知道：被开方数 a 的取值范围是a — 0，由此我们判断下列式子有意义的条件：J ------- J --------------- 1/ _ x~— 1⑴「X - 1 • 「1 - X ——；⑵訂 2；2V x (3)「1 - x - J3 x - 2; (4) —-; (5) 73 - x (X 竺X + 1Jx - 22、也2的化简 教科书中给出：一般地，根据算术平方根的意义可知：'a 二a(a - °)，在此我们可将其拓展为:(1) 、根据二次根式的这个性质进行化简： ① 数轴上表示数a 的点在原点的左边，化简丄5€3_________ | ____________③已知，2 w ，化简 2m -J4m 2 + m+1 -Jm 2 -6m + 9④ i (3 - x)2 二 _______ ；⑤ 若为a,b,c 三角形的三边，则■(a b 审一上“-才二 ------------------- ⑥ 计算：&4 -肩秆十丁(茁7 _5「= ______________. (2) 、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围 ①若B 2 求m 的取值范围1其中a=5②若J(2_x)2+J(6_2x)2=4_x，贝y x的取值范围是________________________③若 a = J2b -14 +J7 —b ,求J a2— 2ab +b2的值；④已知:y=、、2x-5 、、5 -2x -3,求2xy的值。
二.二次根式,a的双重非负性质：①被开方数a是非负数，即a_0②二次根式• a是非负数，即...a 一0 例1.要使J3_x+厂1有意义，则x应满足( ).J2x-1A. 1< x< 3 B . x< 3 且X M丄 C . 1v x v 3 D .丄v x< 32 2 2 2例 2 (1)化简J x _1 + J i -x = ____________ .(2)若.E—.E=(x+ y)2,贝U x —y 的值为()(A) —1. (B)1 . (C)2 . (D)3 .例3(1)若a、b为实数，且满足丨a — 2 | +「b2=0,则b —a的值为()A. 2B. 0C.—2D.以上都不是⑵已知x, y是实数，且(x y -1)2与•. 2x - y • 4互为相反数，求实数y x的倒数三，如何把根号外的式子移入根号内我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的化简更为简单。
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a -1 2 -b
2x -4y
b -a a -b a -b
(1-x)2a2(a -1)2
2 ⨯ 3
3 ⨯ 3
2 ⨯ 5
5 ⨯ 5
6 6
6 + 5
6 + 5 6 5
二次根式
专题一二次根式 a (a ≥ 0) 非负性的综合应用
1.已知实数a, b满足+= 0 ，则a +b =.
2.若y = 3 + 5 + 3 ，求( 5x) y的值.
3.已知+- 2 -2 = 0 ，求x 与y 的值. 专题二利用二次根式的性质将代数式化简
4.把(a -b)
化成最简二次根式正确的结果是（）
A. B. C. - D. -
5.已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则( a - 3)2+ 化简后为（）
A.2
B.-8
C. 8 - 2a
D. -2 - 2a
6.化简：-+ ( x -2)2.
7.已知( a )2<1，化简：.
专题一二次根式的分母有理化
1.阅读下列运算过程：
二次根式的乘除运算
==2 3
，
3
==
2 5
.
5
2
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么化简的结果是（）
A．2 B．6 C．D．
3
1
2.化简：，甲、乙两位同学的解法如下：
甲：1
=
= - ；
4 -2x xy x
-
1
a -b
b -a
(a -5)2
(x + 2)2
2 3
2
5
6
6 - 5
( 6 + 5)( 6 - 5)
6 + 5 6 5 1⨯( 2 -1) ( 2 +1)( 2 -1)
2 3 + 2 1⨯( 3 - 2) ( 3 + 2)( 3 - 2)
3 2
4 + 3
4 3 2 +1
3 + 2
n 2 3 2 + 2 3 2 3 23 3 (23 - 2) + 2 22 -1 2(22 -1) + 2 22 -1 2 + 2 3 乙：
1 = 6 - 5 =（ 6 + 5）（ 6 - 6 + 5
5）
= - .
下列说法正确的是（ ）
A ．甲、乙的解法都正确
B ．甲正确，乙不正确
C ．甲、乙的解法都不正确
D ．乙正确、甲不正确
3.观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
1
=
= 2 -1
1 = = = -1，
= - ，
3 - 2
1 1
1 同理可得：
= - ，… .从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（
+
+
1 1
+…+
）（
+1 ）的值．
2013 + 2012
专题二 二次根式乘除中的规律与方法
4. 计算：（1） ( +1)( -1) =
；（2） ( + 2)( - 2) =
；
（ 3） (2 + 3)(2 - 3) =
；（4） ( + 2)( - 2) =
；
根据以上规律，请写出用 n （ n 为正整数）表示上述规律的式子：
.
5. 已知 a = - n +1 ， b = - （ n > 0 ），试比较 a 、b 的大小.
6. 观察下列各式及其验证过程:
2 = ，验证： 2 = = = =
．
(1) 按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4
（2）针对上述各式反映的规律，写出用 n ( n 为自然数，且 n ≥ 2 )表示的等式，并证明它成立.
6 + 5 2 +1
2 -1
3 - 2
4 + 3
2013 2 2 3 3 5 5 n + 3 n + 2 4
15
2 5 2 ⨯ 4 ⨯ 6 ⨯ 8 +16 16 4 ⨯ 6 ⨯ 8⨯10 +16 (4 ⨯10)2 16 6 ⨯ 8⨯10 ⨯12 +16 (6 ⨯12)2 16 8⨯10 ⨯12 ⨯14 +16 (8⨯14)2 16 2n (2n + 2)(2n + 4)(2n + 6) +16 1 2 + 1
专题 二次根式的加减运算规律与技巧
1.计算： (1 + 3
)(2 - 3)．
2.已知 x = + ， y = - ，求 x 2 - xy + y 2 的值.
3. 观察下列各算式：
① =
+ = 16 + 4 = 20 ；
② = + = 40 + 4 = 44 ；
③ = + = 72 + 4 = 76 ；
④ = + = 112 + 4 = 116 ，…
（1） 根据以上规律计算：
；
（2） 请你猜想
的结果（用含 n 的式子表示）.
4. 如果记 y = x 1 + x = f (x ) ，并且 f ( 1) 表示当 x =
时 y 的值，即 f ( 1) =
= 1
； f ( 2
2) ) 表示当 x =
时 y 的值，即 f ( 2 ) =
； f ( 1
) 表示当 x = 2
时 y 的值，即 f ( 1
) = 2 = ；….
求 f (
1) + f ( + f ( 1
) + f ( 2 3) + f ( 1
) + + f ( 3
100 ) + f ( ) 的值．
5 2 (2 ⨯ 8)2 200
6 ⨯ 2008⨯ 2010 ⨯ 2012 +16 1 1 1 + 1 2 2
1 +
2 1 2 1
2 1 + 1 2
2) 1 100
3 + 2 a b 5 3 2 2 3
专题一 二次根式与乘法公式 二次根式的混合运算
1.计算： (2 + 3)2013
(2 - 3)2014 = .
2. 计算： (
- 2)3 ( + 8)3 ．
3. 已知 a =
， b = ，求 a 3b - ab 3 的值.
专题二 二次根式与新定义运算
4. 对于两个不相等的实数 a 、b ，定义一种新的运算如下： a * b =
a - b
(a + b > 0) ，
如： 3* 2 =
=
3 - 2
，那么6 *(5 * 4) =
.
5. 用“ ⊗ ”定义一种新运算：对任意实数 a 、b ，都有 a ⊗ b =
- (a > b > 0) ，
如： 5 ⊗ 3 = - ，求(16 ⊗ 4) ⊗ (25 ⊗ 9) 的值.
专题三 二次根式与其他知识的综合应用
6. 已知长方形的长为(2 + 3 2) cm ，宽为(2 - 3 2) cm ，则长方形的面积为
cm ².
7. 已知 a =
1 1- 2a + a
2 ，求
- a -1
a 2 - a
的值.
8. 先化简，再求值： b 2 - a 2 ÷ (a + 2ab + b 2
)( 1 + 1 ) ，其中 a = + ， b = - . a 2
- ab a a b
3 12 1
2 -1
1 2 +1 a + b 5 5 5 2 + 3
a 2
- 2a +1 3。