2011 应用光学-1.3

αγ = β
拉亥不变量J（拉格朗日—亥姆霍兹不变量 亥姆霍兹不变量） 1.3.5 拉亥不变量 （拉格朗日 亥姆霍兹不变量）
nuy = n u y = J
' ' '
--拉格朗日 亥姆霍兹恒等式 --拉格朗日—亥姆霍兹恒等式 拉格朗日
上式表明，在一对共轭平面内，成像的物高y， 成像光束的孔径角u和所在介质的折射率n三者的乘 积是一个常数 常数—J。 常数
n' ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ = β1β 2 n
对A1和A2两物点分别应用
n' n n'−n n' n − = = − l2 ' l2 r l1 ' l1
β1和β2分别为物在 A1和A2两点的垂轴放大率
3、角放大率γ 角放大率γ
u' 令： γ = 称为角放大率 u l n 1 = = ⋅ l ' n' β
三个放大率的关系： 三个放大率的关系：
n' n n'−n − = l' l r
对上式求微分
dl ' nl ' n' 2 = 2= β α= dl n' l n
---只在物体轴向尺寸很小时适用
2
(2) 平均轴向放大率
如果物体轴向尺寸足够 大，如图右则轴向放大率 表示。 用 表示。
α
l2 '−l1 ' α = l2 − l1 l2 '−l1 ' nl1 ' l2 ' α = = l2 − l1 n' l1l2
共轭面上垂轴放大率只与共轭面的位置有关， 而与物在共轭面的位置无关，即同一对共轭面 上垂轴放大率为常数，物像相似。 当β<0时，表示 y ′ 和y异号，成倒像 β 倒像；同时 倒像 l和 l ′异号表示物像处于球面两侧 实物成实 物像处于球面两侧，实物成实 物像处于球面两侧 像，虚物成虚像。 虚物成虚像 当β>0 β>0时， ′ 和y同号，成正像 正像；同时l和 l ′ β>0 正像 y 物像处于球面的同侧，实物成虚像 同号物像处于球面的同侧 实物成虚像，虚 物像处于球面的同侧 实物成虚像， 物成实像。 物成实像
n'−n h LL (8) n' u '− nu = r
n' n n'− n − = LL (9 ) l' l r
表示折射球 面成像时， 面成像时，物 像位置l（物距） 像位置 （物距） 和 l（像距）之 ′ 像距） 间的关系。 间的关系。
1.3.2 焦距及光焦度 如图 ， ′ F 点（轴上无限远物点的像点），称为 像方焦点或第二焦点 球面的像方焦点 第二焦点 OF ' （用 f ′ 表示），称 像方焦点 第二焦点。 为第二焦距 第二焦距。 第二焦距 n' l' = f ' = r n'− n
例1 若空气中一球形透明体能将平行光束会聚 于其背面的顶点上,此透明体的折射率等于多少 此透明体的折射率等于多少? 于其背面的顶点上 此透明体的折射率等于多少 解:
n′ f′= r n′ − n
f′ n n′ = f ′−r
f ′ = 2r
n = 1.00
n′ = 2.00
则有：
xx ′ = ff ′
上式为牛顿公式。
1.3.4 放大率
1、垂轴放大率β 垂轴放大率β 物体经球面折射成像后，通常不仅需要知道像的位置 位置，而 位置 且还希望知道像的大小 虚实 倒正 大小、虚实 倒正。因此，引入垂轴放大率 大小 虚实和倒正 垂轴放大率 β。如图所示。
结论： 结论：
y ' nl ' x' f β= = =− =− y n' l f' x
折射球面两焦距和光焦度之间的关系: 折射球面两焦距和光焦度之间的关系
n′ n =− ϕ= f′ f
1.3.3 高斯公式和牛顿公式
n' f '= r n'− n
n f =− r n'− n
n' n n'− n − = ⇒ l' l r
物距l、像距 l ′ ，物方焦距f以及像方焦距 f ′ 有 以下关系：
放大像； 放大像 β > 1 ，表示为放大像 β < 1 ，表示 为缩小像 缩小像。 缩小像
2、轴向放大率 、
(1)共轭面间轴向放大率 共轭面间轴向放大率 对于有一定体积的物体， 除垂轴放大率外，其轴向也 有尺寸，故还有轴向放大率 轴向放大率 α。
dl F A C -l O l’ F’
dl’ A’ C’
f' f + =1 l' l 上式称为球面折射的高斯公式。
如果物距和像距不以球折射面的顶点为原点， 而分别从物方焦点F和像方焦点F’算起，并用x和x’ 焦物距和焦像距 表示，分别称为焦物距 焦像距，如下图所示。 焦物距 焦像距
−l = − f − x l ′ = f ′ + x′
f' f + =1 l' l
F点称为第一焦点 OF 称为第一焦距 第一焦点， 第一焦点 第 焦距。
n f =− r n'− n
f ' − n' = f n
上式表明，单个球面像方焦距 f ′ 与物方焦距 的比 单个球面像方焦距 与物方焦距f的比 等于相应介质折射率之比。 等于相应介质折射率之比 光焦度 令：
n'−n ϕ= r
对于一定的介质 一定形状 一定的介质及一定形状 一定的介质 一定形状的表面来说， ϕ 是一 个不变量，它表征球面的光学特征 表征球面的光学特征，称之为光焦度 光焦度。 表征球面的光学特征 光焦度 当r以米为单位时， 的单位称为折光度 以字 折光度，以字 折光度 ϕ 表示。 母D表示 表示
1.3 单个折射球面近轴区成像
1.3.1 物象公式
根据前面六个公式可以导出 以下三个公式：
表示近轴光 经球面折射前 后的孔径角u 后的孔径角 和 U′ 的关系 。
1 1 1 1 n − = n' − = Q LL (7 ) r l r l'
表示单个折射球 面，物方和像方的一 些参量具有不变量形 称为阿贝不变量， 式，称为阿贝不变量， 用字母Q表示，Q值的 用字母 表示， 值的 表示 大小只与共轭点的位 置有关。 置有关。