第14章 线性动态电路的复频率分析
合集下载
第14章线性动态电路的复频域分析
1F - uC
10
10
时域电路
返回 上页 下页
•
20 + 50V -
+ iL 0.5H
1F - uC
10
10
5 UC(s)
20
1/s +
25/s -
IL(s) 0.5s -
2.5V
+ 5
注意附加电源
t >0 运算电路
返回 上页 下页
•
例11
电路原处于稳态，t 法求电流 i(t)。
S 2
3
4s 5 K2 s 2 7 s3
返回 上页 下页
•
解法2
K1
N ( p1) D' ( p1)
4s 5 2s 5
s 2
3
K2
N ( p2 ) D' ( p2 )
4s 5 2s 5
s 3
7
f (t) 3e2t (t) 7e3t (t)
L
1 2j
(e
j
t
e
j
t
)
1 1
2
j
s
j
s
1
j
s2
2
返回 上页 下页
• 例3 利用导数性质求下列函数的象函数
(1) f (t) cos( t)的象函数
解 dsin( t) cos(t)
dt
cos(t) 1 d(sint) dt
K21
d ds
[(s
1) 2
F
第14章线性动态电路的复频域分析
18
(3) 电容C
时域形式：u(t)
=
1 C
t
i(t) dt + u(0-)
0-
取拉氏变换并应用线性和积分性质
得运算形式：U(s)
=
1
sC
I(s)
+
u(0-)
s
或者写为： I(s) = sCU(s) - Cu(0-)
1/sC称为C的运算阻抗。 I(s)
sC为C的运算导纳。 + 1
u(0-)为C的初始电压。 U(s)
0-
0-
(3)指数函数 f(t) = eat (a为实数)
ℒ [d(t)]=1
F(s) =
∞
eat e-st dt =
0-
∞
e-(s-a)t dt =
0-
1 -(s-a)
e-
(s-a)t
∞ 0-
ℒ [eat]=
1 s-a
2024年1月27日星期六
6
§14-3 拉氏反变换的部分分式展开
用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把 求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由 象函数求原函数的方法有
得运算形式：U(s) = sLI(s)-Li(0-)
或者写为：
I(s)
=
1
sL
U(s)
+
i(0-)
s
sL称为L的运算阻抗
I(s)
1/sL称为运算导纳 +
I(s)
i(0-) 为L的初始电流 U(s) 由上式得电感L的
运算电路如图。
-
sL
+
- U(s)
Li(0-) +
-
1
sL i(0-)
第14章线性动态电路的复频域分析2012讲解
1
§14. 1 拉普拉斯变换的定义
拉普拉斯变换的应用在线形动态电路中的应用概述：
对于具有多个动态元件的复杂电路，用直接求解高阶 微分方程的方法(经典法)比较困难，工作量较大,见第七章。 积分变换法：通过积分变换，把已知的时域函数（微分 方程） 频域函数（代数方程），求出频域函数后，再做 反变换，返回时域。求解时不需确定积分常数。 拉普拉斯变换和傅里叶变换都是积分变换，但拉普拉斯 变换比傅里叶变换有更广泛的适用性，所以拉普拉斯变换 法是求解高阶复杂动态电路的有效而重要的方法。
c
j
F
(
s)e
st
ds
2 j c j
4
二、运算法 (复频域分析方法)
F(s) f (t)estdt 0
积分的结果不再是 t 的函数，而是复变量 s
的函数。 所以拉氏变换是把一个时间域的函数f(t)变
换到 s 域内的复变函数F(s)。 变量 s 称为复频率。 应用拉氏变换法进行电路分析称为电路的一
若
L[f(t)] = F(s)
则
L[f ’(t)] = sF(s) - f(0-
)
例：利用导数性质求以下函数的象函数：
（1）f(t) = cos(ωt) （2）f(t) =δ(t)
12
解：（1） f(t)=cos(ωt)
cos(t) 1 d sin(t)
dt L[sin(t)]
s2 2
L[cos(t)] L1
有如下关系:
若
L[f(t)]= F(s)
则
L
t 0
f
(
)d
F (s) s
15
积分性质
L
t 0
f
(
)d
§14. 1 拉普拉斯变换的定义
拉普拉斯变换的应用在线形动态电路中的应用概述：
对于具有多个动态元件的复杂电路，用直接求解高阶 微分方程的方法(经典法)比较困难，工作量较大,见第七章。 积分变换法：通过积分变换，把已知的时域函数（微分 方程） 频域函数（代数方程），求出频域函数后，再做 反变换，返回时域。求解时不需确定积分常数。 拉普拉斯变换和傅里叶变换都是积分变换，但拉普拉斯 变换比傅里叶变换有更广泛的适用性，所以拉普拉斯变换 法是求解高阶复杂动态电路的有效而重要的方法。
c
j
F
(
s)e
st
ds
2 j c j
4
二、运算法 (复频域分析方法)
F(s) f (t)estdt 0
积分的结果不再是 t 的函数，而是复变量 s
的函数。 所以拉氏变换是把一个时间域的函数f(t)变
换到 s 域内的复变函数F(s)。 变量 s 称为复频率。 应用拉氏变换法进行电路分析称为电路的一
若
L[f(t)] = F(s)
则
L[f ’(t)] = sF(s) - f(0-
)
例：利用导数性质求以下函数的象函数：
（1）f(t) = cos(ωt) （2）f(t) =δ(t)
12
解：（1） f(t)=cos(ωt)
cos(t) 1 d sin(t)
dt L[sin(t)]
s2 2
L[cos(t)] L1
有如下关系:
若
L[f(t)]= F(s)
则
L
t 0
f
(
)d
F (s) s
15
积分性质
L
t 0
f
(
)d
第十四章 线性动态电路的复频域分析 电路第五版 邱广源.
R、L、C等元件 电源 uS(t)、iS(t)
U(S)=SLI(S)–Li(0-) 1 U(S)= I(S)+ u(0-) SC S 运算阻抗(或导纳)和附加电源 US(S)、IS(S) 运算电路
(频域电路)
£
时域电路
14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路
一、KCL与KVL的运算形式
1、KCL Ik(S)=0 i1 i3
i2
I1(S) I3(S) I2(S)
– I1(S) +I2(S) –I3(S) =0
2、KVL Uk(S)=0
电路元件模型的回顾 时域 相量法
= RI U
I
u(t)=Ri(t)
R + L
i(t) R u(t) -
S=pi
设n>m m m–1 N(S) bmS + bm–1S + • • • + b1S + b0 F (S)= = D(S) anSn + an–1Sn–1 + • • • + a1S + a0 令D(s)=anSn + an–1Sn–1 + … + a1S + a0=0可得根为 p1, p2,…, pn （1） D(S)有n个实数单根 K2 Ki Kn K1 • • • • • • F(S)= S –p + S –p + + S –p + S –p + 2 i n 1 f(t)=
K2=K1*
令 K1= K1 ej 则 K2= K1 e–j f(t)= K1 eje(+j)t + K1 e–je(–j)t + • • •
= K1 et [ej(t + ) + e–j(t + ) ] + • • • =2 K1 et cos(t+ ) + • • • 注意K1是虚部为正的极点对应的那个常数
线性动态电路的复频域分析
第11页/共38页
§14 —3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
例1：
例2：
L–1[(1–2e–s +e–2s )/s2]
=t–2(t–)(t–)+(t–2)(t–2)
第12页/共38页
部分分式展开法
F(s)s
N(s)、 D(s)s
F(s)( n>m)
p1、p2、‥‥‥ pnD(s)=0F(s)极点
第24页/共38页
3、电感
U(s)=sLI(s)–Li(0–)
u= i
U(s)=I(s)
第25页/共38页
5、含有耦合电感的电路
U1(s)=sL1I1(s)–L1i1(0–)+sMI2(s)–Mi2(0–)
自感电压
自感附加电压源
互感电压
互感附加电压源
U2(s)=sL2I2(s)–L2i2(0–)+sMI1(s)–Mi1(0–)
第13页/共38页
一、F(s)的极点为各不相等的实数根
p1p2‥‥‥pnp1、p2‥‥‥pn
L–1[F(s)]
k
(s–p1)
令s=p1
第14页/共38页
例1:
第15页/共38页
例2:
L–1[F(s)]=(t)+(t)–3e–2t+7e–3t
第16页/共38页
二、F(s)有共轭复极点
=sF(s)–f(0–)
L[f (t)]=s2F(s) – sf(0–)–f (0–)
L[fn(t)]=snF(s) – sn–1f(0–)–sn–2f (0–) ……f(n–1)(0–)
第6页/共38页
例：
uc(t)
第7页/共38页
电路第14章 线性动态电路的复频域分析
L[ d (t)]
dt
s 1 (t)
s
0
1
07:14
14
三. 积分性质
设：L[ f (t)] F (s)
证
L[ t f ( )d ] 1 F(s)
0
s
应用微分性质
0
例
L[t] L[ t ( )d ] 0
L[ (t)] 1
s s2
07:14
象函数的一般形式：
F(s)
F1 ( s ) F2 ( s)
a0sm a1sm1 am b0sn b1sn1 bn
(n m)
07:14
20
F(s)
F1 ( s ) F2 ( s)
a0sm a1sm1 am b0sn b1sn1 bn
15
四.延迟性质 (时域平移) f(t)(t)
f(t-t0)(t-t0)
t
设：L[ f (t)] F (s)
t t0
L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F(s)
07:14
16
证
例：
f(t) 1
Tt
07:14
est0 延迟因子
f (t) (t) (t T)
一.积分变换法 采用经典法列解微分方程去分析动态电路时，必须知道变量
及其各阶导数(直至n-1阶)在t=0+时刻的值，即变量的初始条件 。而电路中给定的初始状态是各电感电流和电容电压在t=0+时 刻的值，从这些值求得所需变量的初始条件工作量很大，也很 困难，高阶动态电路中尤为突出。
积分变换法是通过积分变化，把已知的时域函数变换为频域函 数，从而把时域的微分方程化为频域函数的代数方程。求出函数 的频域解后，再做反变换，返回时域，求出满足电路初始条件的 原微分方程的时域解，而不需要确定变量的初始条件，即积分常 数。拉普拉斯变换和傅立叶变换都是积分变换，但拉普拉斯变换 比傅立叶变换有更广泛的适用性，所以拉普拉斯变换法是求解任 意激励下高阶线性动态电路的有效而重要的方法之一。
第14章_线性动态电路的复频域分析
1 L[e ] sa
at
8
§13. 2 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性性质
设 f1(t) 和 f2(t) 是两个任意的时间函数，它们 的象函数分别为F1(s) 和F2(s) ，A1和A2是两个任意 实常数，则: L[A1 f1(t)+ A2 f2(t)] = A1L [f1(t) ] + A2L[f2(t)] = A1 F1(s) + A 2F2(s)
解：
f(t)= f ’(t)+ f ’’(t)
=Aε(t) - Aε(t-T)
L[f(t)]= A/s - A/s · -sT e
O t
f ’’(t)
O t
18
五、位移性质
求函数 f(t) 与 eat 乘积的象函数:
若 则
L[f(t)]= F(s) L[f (t) eat] = F(s-a)
位移性质
m
m 1
用部分分式展开真分式时， 需要对分母多项式作因式分解， 求出D(s)=0的根。 D(s)=0的根可能是 单根 共轭复根 重根 针对三种情况分别进行分析。
28
• D(s)=0 具有单根的情况
N (s) F (s ) D(s)
如果D(s)=0有n个单根，假设n个单根分别是p1 、 p2 、…、pn 。 于是F(s)可以展开为
则
t f ( )d F ( s ) L 0 s
15
积分性质
t f ( )d F ( s ) L 0 s
例：利用积分性质求函数 f(t) = t 的象函数
解：f(t) = t
( )d
0
t
1 1 L[f(t)] = s s 1 2 s
电路课件 电路14 线性动态电路复频域分析
14
例14-4
利用积分性质求函数f(t)＝t的象函数。 解 由于
f(t)t0t()d,
所以
2020/4/17
14-2 拉普拉斯变换的基本性质-5
第十四章 线性动态电路的复频域分析
15
4．延迟性质
函数f(t)的象函数与其延迟函数f(t-t0)的象 函数之间有如下关系 若 £[f(t)]＝F(s) 则 £[f(t-t0)]＝e-st0F(s) 其中，当t＜t0时，f(t-t0)＝0。
其余为单根，F(s)可分解为
对于单根，仍采用
公式计算。
为了确定K11、K12和K13，将式(13-7)两边乘以(s-pi)3， 则K11被单独分离，即
则
K11＝(s-p1)3F(s)|s＝p1
2020/4/17
14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开-8
第十四章 线性动态电路的复频域分析
27
D(s)＝0具有重根 (2)
2020/4/17
14-2 拉普拉斯变换的基本性质-7
第十四章 线性动态电路的复频域分析
17
常用函数的拉氏变换表
2020/4/17
14-2 拉普拉斯变换的基本性质-8
第十四章 线性动态电路的复频域分析
18
14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
用拉氏变换求线性电路时域响应，需拉氏反变 换为时间函数。
第十四章 线性动态电路的复频域分析
23
例14-6
求 解 因为
的原函数f(t)。
所以：D(s)＝0的根为 p1＝0，p2＝-2，p3＝-5 D'(s)＝3s2&同理求得： 所以
2020/4/17
K2＝0.5
K3＝-0.6
第14章 线性动态电路的复频域分析
0
s
证
令
t
L[ f (t)dt] (s)
0
应用微分性质
L[ f (t)] L
d dt
t 0 t
f
(t)dt
0
F (s) s(s) 0 f (t)dt t0
(s) F (s)
s
返回 上页 下页
例 求: f (t) t ( t)和f (t) t2 (t)的象函数
解
L t (t)
解 dsin( t) cos(t)
dt
cos(t) 1 d(sint) dt
L[cos
t]
L1
d dt
(sin(
t
)
1
s
s2
2
0
s2
s
2
返回 上页 下页
(2) f (t) δ( t)的象函数
解 (t) d (t)
dt
L[ (t)] 1
s
L (t) L[d (t)] s 1 0 1
pi )
lim N '(s)(s pi ) N (s)
spi
D' (s)
Ki
N ( pi ) D' ( pi )
例 求 F(s) 4s 5 的原函数
s2 5s 6
解法1
F (s) 4s 5 K1 K2 s2 5s 6 s 2 s 3
4s 5 K1 s 3 S2 3
返回 上页 下页
待定常数的确定： 方法1
Ki F (s)(s pi ) s pi i 1、2、3、 n
(s
令s
p1 ) F (s)
= p1
K1
(s
p1)
s
K2 p2sKn pn源自方法2求极限的方法
第14章线性动态电路的复频率剖析
(2)对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数 (3)把F(s)分解为简单项的组合
F (s) F1 (s) F2 (s) Fn (s)
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f n (t )
部分分式 展开法
N ( s) a0 s a1s am F ( s) (n m) n n 1 D( s) b0 s b1s bn
t
e s
st 0
0
e st f (t ) dt s
1 f (t ) e st dt s 0 0 1 只要s的实部σ取足够大 F (s) s
t e f ( )d 0 s
0 st
例 求
解
f (t ) t 的象函数
2. 拉氏变换的定义 定义 [ 0 , ∞)区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式： F ( s ) f (t )e st dt 正变换 0 1 c j st f ( t ) F ( s ) e ds 反变换 c j 2 πj
F(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为F(s)的原函数。 拉氏变换把一个时间域的函数f(t)变换到s域的复 变函数F(s) 。
st
st
1 st 1 e 0 s s
(2)单位冲激函数的象函数
f (t ) (t )
F ( s) L[ (t )] (t ) e dt (t )e dt 0
st
0
st
e
s0
1
0
(3)指数函数的象函数
s 6
F (s) F1 (s) F2 (s) Fn (s)
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f n (t )
部分分式 展开法
N ( s) a0 s a1s am F ( s) (n m) n n 1 D( s) b0 s b1s bn
t
e s
st 0
0
e st f (t ) dt s
1 f (t ) e st dt s 0 0 1 只要s的实部σ取足够大 F (s) s
t e f ( )d 0 s
0 st
例 求
解
f (t ) t 的象函数
2. 拉氏变换的定义 定义 [ 0 , ∞)区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式： F ( s ) f (t )e st dt 正变换 0 1 c j st f ( t ) F ( s ) e ds 反变换 c j 2 πj
F(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为F(s)的原函数。 拉氏变换把一个时间域的函数f(t)变换到s域的复 变函数F(s) 。
st
st
1 st 1 e 0 s s
(2)单位冲激函数的象函数
f (t ) (t )
F ( s) L[ (t )] (t ) e dt (t )e dt 0
st
0
st
e
s0
1
0
(3)指数函数的象函数
s 6
理学线性动态电路的复频域分析
0
注：此例说明拉氏变
0
(t)es0dt
1
0
换式可以计及t=0时f(t) 所包含的冲激。
6
§14-2 拉普拉斯变换的基本性质
本节介绍一些分析线性非时变电路时有用的基本性质。 利用它们可以容易求得较复杂的原函数的象函数。
性质 1 唯一性
象函数F(s)与定义在区间 [0, ] 上的时域函数f(t)存在
一一对应的关系。 注：唯一性这一性质对于拉氏变换的所有应用都适用。
1 (s a)n1
原函数f(t)
sint
ebt sint sin(t )
1 t neat n!
象函数F(s) 原函数f(t)
s
s2 2
s b
(s b)2 2
cost
ebt cost
s cossin s2 2
e t0s s
cos(t )
(t t0 )
18
§14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
(s
3 1)3
3 s 2
k2
(s 1)F(s)
s 1
s4 (s 2)3
3 s 1
因此查拉氏变换表可得：
f (t) 3e2t 3te2t t e2 2t 3et
30
§14-4 运算电路
本节的主要内容是利用拉氏变换把求解线性微分方程转 化为求解线性代数方程。
一、R，L(M)，C 等电路元件的运算形式。
p1, p2, … pn 。F(s)可以展开为：
F (s) k1 k2 ... kn
s p1 s p2
s pn
注：式中 ki 是待定系数，可按下述二方法确定：
方法一
ki s pi F(s) spi
第14章1 线性动态电路的复频域分析
at
∞
[e ] = ∫
at
0
e e dt
at
st
1 ( sa )t ∞ 1 e = = s+a 0 s a
返 回 上 页 下 页
13.2 拉普拉斯变换的基本性质
1.线性性质 1.线性性质
若
则
[A f ( t ) + A f ( t )] = A [ f ( t )] + A [ f ( t )]
1 1 2 2
0
∞
= ∫t f (t t0 )e
0
∞
0
f (t t0 )estdt
s( t t0 ) st0
e dt
st0
e
st0
∫
∞
0
f (τ )e dτ = e F(s)
e 延迟因子
返 回 上 页 下 页
st0
sτ
例1 解
求矩形脉冲的象函数
f(t) 1 T f(t) T T t
f (t ) = ε (t ) ε (t T)
2
象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s),U(s). 用大写字母表示, 象函数 , . 原函数f(t) 用小写字母表示,如 i(t), u(t). 用小写字母表示, 原函数 .
3
象函数F(s) 存在的条件: 存在的条件: 象函数
∞ ∫0
f (t )e dt < ∞
st
est为收敛因子
返 回 上 页 下 页
第13章 拉普拉斯变换 13章
重点 (1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质 (2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电 路的方法和步骤 (3) 电路的时域分析变换到频域分析 的原理
返 回
下 页
线性动态电路的复频域分析
3. 重根
K 13 N ( s) K 12 K 11 K2 F ( s) 3 2 3 ( s p1 ) ( s p2 ) s p1 ( s p1 ) ( s p1 ) s p2
( s p1 )3 F ( s ) K 13 ( s p1 )2 K 12 ( s p1 ) K 11
+ u1 L1
M
i2
+ L2 u2 -
di1 di 2 u1 L1 dt M dt u L di2 M di1 2 2 dt dt
U 1 ( s ) sL1 I 1 ( s ) L1 i1 (0 ) sMI2 ( s ) Mi2 (0 ) U 2 ( s ) sL2 I 2 ( s ) L2 i2 (0 ) sMI1 ( s ) Mi1 (0 )
L[ε( t )] 1 2 L[t ] L[0 ε( )d ] s s
t
4. 时域延迟性质
f(t-t0)(t-t0) f(t)(t-t0)
f(t)(t)
t t0
t t0
st0
t
L[ f (t )] F ( s )
L[ f (t t0 )ε(t t0 )] e
I1(s) + U1(s) L1i1(0-) + sM I2(s) +
sL1 Mi2(0-) + -
sL2 Mi1(0-) +
L2i2(0-) +
U2(s)
-
1 uC uC (0 ) C
t
0
iC dt
iC
+ uC IC(s)
+ 1/sC uC(0-)/s + -
《电路》第14章线性动态电路的复频域分析PPT课件
相
量
... I1 + I2 = I
时域的正弦运 算变换为复数 运算。
13.11.2020
4
③拉氏变换
对应
f(t) (时域原函数)
F(s) (频域象函数)
结束
拉氏变换法的核心是把 f(t)与 F(s)联系起来，把 时域问题通过数学变换化为复频域问题。
2.两个特点
①把时间域的高阶微分方程变换为复频域的 代数方程；
第十四章 线性动态电路的复频域分析
结束
拉氏变换
网络函数
反变换
运算电路
运算法求 复频域解
13.11.2020
部分分式 展开
定义与类型 零、极点
与冲激响 应的关系
与频率响 应的关系
知识结构框图
1
重点
结束
①KL、元件VCR的运算形式，运算电路； ②运算法的求解步骤； ③网络函数的定义与类型、极点与零点的概念； ④网络函数与冲激响应、频率响应的关系。
1 2
(1+ e-t cost-e-t sint) A
13.11.2020
21
例2 稳态时闭合S。求 t≥0时的 uL(t)。
(t=0) S R1 5 R2 5
③画运算电路
结束
+
iL(t)
us1
L
- 2e–2t V 1H
++ uL us2 - - 5V
解：①求初值
iL(0-)
=
us2 R2
=1A
②求激励的象函数
ℒ [10 ] = 10/s
I(s) 2
0.3s
1.5V -+
3
+ 10
s
第十四章线性动态电路的复频域分析
f (t )e st dt
则L[af1 (t ) bf2 (t )] aF1 ( s ) bF2 ( s )
证： [af1 (t ) bf2 (t )]e dt 0 af1 (t )e dt 0 bf2 (t )e dt
st
st st
0
第十四章
线性动态电路的复频域分析
重点：
1.拉普拉斯变换的定义及基本性质 2.运算电路
3.应用拉普拉斯变换法分析线性电路
目
14-3 14-4 14-5 14-6 14-7 14-8 14-9
录
14-1 拉普拉斯变换的定义 14-2 拉普拉斯变换的基本性质 拉普拉斯反变换的部分分式展开 运算电路 应用拉普拉斯变换分析线性电路 网络函数的定义 网络函数的极点和零点 极点、零点和冲激响应 极点、零点和频率响应
s为复频率
s j
F( s )
0
f ( t )e st dt
st st 0
f(t)与F(s)一 一对应
f ( t )e dt
0
0
f ( t )e dt
f(t)=(t)时此项 0
F ( s ) f ( t )e st dt 正变换 F ( s ) L f ( t ) 0 简写 1 f ( t ) L F ( s ) 1 j st f (t ) F ( s )e ds 反变换 j 2j
0 t
1 f ( t )dt] F ( s ) s
F ( s) ( s ) s
例1：L[t ( t )] L[
2 例2：L[t (t )] 3 s
第14章 线性动态电路的复频域分析-再精简
+
-
S(t=0) R + uR – US C i
S
10i1 +
iC + uC –
4A ( t 0) i1 4Ω
i
2H
思考：如何求解图中的电流i ？学过哪些方法？ 学过的 求解一阶动态电路响应的方法？
（1）时域解微分方程 （2）三要素法（公式）
y( t ) y() [ y(0+ ) y()]e ( t 0+ )
UL ( s ) sL IL ( s ) L iL (0)
线性电 容元件 VAR：
duC (t ) duC (t ) iC (t ) C L iC (t ) L C d(t ) d(t )
IC ( s ) C sUC ( s) uC (0)
Z ( s ) sL Y ( s ) 1 sL
电感的L的运算 阻抗、运算导纳
I(s )
+
U(s)
-
（3）电容C的运算形式 时域形式： i( t) + C u ( t) 1/sC Cu(0-) I(s ) + U(s) -
du( t ) i(t ) C dt 取拉氏变换,由微分性质得
I ( s ) sCU ( s ) Cu(0 )
f (t ) δ(t )
F ( s) L [δ(t )] δ(t ) e dt δ(t )e dt 0
st ∞
0
st
e
s 0
1
0
(3)指数函数的象函数
at ∞
f (t ) e
at
F ( s) L e 0 e e dt
-
S(t=0) R + uR – US C i
S
10i1 +
iC + uC –
4A ( t 0) i1 4Ω
i
2H
思考：如何求解图中的电流i ？学过哪些方法？ 学过的 求解一阶动态电路响应的方法？
（1）时域解微分方程 （2）三要素法（公式）
y( t ) y() [ y(0+ ) y()]e ( t 0+ )
UL ( s ) sL IL ( s ) L iL (0)
线性电 容元件 VAR：
duC (t ) duC (t ) iC (t ) C L iC (t ) L C d(t ) d(t )
IC ( s ) C sUC ( s) uC (0)
Z ( s ) sL Y ( s ) 1 sL
电感的L的运算 阻抗、运算导纳
I(s )
+
U(s)
-
（3）电容C的运算形式 时域形式： i( t) + C u ( t) 1/sC Cu(0-) I(s ) + U(s) -
du( t ) i(t ) C dt 取拉氏变换,由微分性质得
I ( s ) sCU ( s ) Cu(0 )
f (t ) δ(t )
F ( s) L [δ(t )] δ(t ) e dt δ(t )e dt 0
st ∞
0
st
e
s 0
1
0
(3)指数函数的象函数
at ∞
f (t ) e
at
F ( s) L e 0 e e dt
线性动态电路的复频域分析(精)
U
s
1 sC
I
s
1 s
u0
或 I (s) sCU (s) Cu(0 )
1 sC
和
SC 分别为
C
的运算阻抗和运算导纳。
u(0 ) s
和
Cu (0
)分别为反映
u(0 )
的附加电压源电压和附加
电流源电流。
④ 耦合电感的运算电路
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
又 D' (s) 3s2 14s 10
k1
N (s) D(s)
s p1
3s
2
2s 1 14s 10
s0
0.1
同理
k2 0.5, k3 0.6
故 f (t) 0.1 0.5 e2t 0.6 e5t
② D(s) = 0 具有共轭复根，p1 = + j , p2 = - j , 则
现设 D(s) = 0 中含有 ( s - p1)m 的因式，其余为单根， F(s)可 分解为
F
s
k1m s p1
k1( m1) (s p1)2
k11 (s p1)m
n i2
ki s pi
(n n m)
这里
ki
N (s) D(s)
s pi
② 拉氏变换是一种积分变换，把 f(t) 与 e-s t 构成的乘积由 t = 0-到 ∞对 t 进行积分，定积分的值不再是 t 的函数，而是复 变数 s 的函数。
③ 拉氏变换把时域函数 f(t) 变换到 s 域复变函数 F(s) 。
DL14线性动态电路的复频域分析
H (s)的极点为 p1 1
33 p2,3 2 j 2
j
。。
-1 2 4
14.8.极点、零点与冲激响应
e(t) 零
状
激励 态
R(s) H(s)E(s)
r(t) 当e(t) (t)时，E(s) 1,
响应
R(s) H(s), r(t) h(t)
h(t) [1 H(s)]，h(t)称为冲激响应
。
零、极点分布图
例 H (s) 2s2 12s 16 绘出其极零点图 s3 4s2 6s 3
解 N(s) 2s2 12s 16 2(s 2)(s 4)
H(s)的零点为z1 2，z2 4
D(s) s3 4s2 6s 3 (s 1)(s 3 j 3 )(s 3 j 3 ) 22 22
相量模型
令 : sL jωL 1 1 U(s) U sC jωC
得 : U1 H1( jω)I U 2 H2( jω)I
I(s) I
H(s)中令s jω得正弦稳态下的网络函数
H ( j )
R( j ) E( j )
R E
响应相量 激励相量
14.7网络函数的极点和零点
1.复平面（或s平面）
2.网络函数的应用
1) 单位冲激响应与网络函数的关系
单位冲激响应
E(S)=L[(t)]=1 ，那么 H(S) = R(S) = L[h(t)] = L[h(t)]. E(S) L[δ(t)]
所以，当激励为单位冲激函数时,它产生的响应为 ： h(t)=L1 [H(S)]
结论：网络函数等于单位冲激响应的拉氏变换（象函数）。
H0
H0
jω 1/ RC jω p1
H(
j )
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
st0
证 L f (t t0 ) (t t0 ) f (t t0 ) (t t0 )e st dt
f (t t0 )e st dt
t0
令 t t0
d e
e
st0
0
f ( )e
0
s ( t0 )
0
0
df (t ) st st e dt e df (t ) 0 dt
0
f (t )( se st )dt
0
f (0 ) sF ( s)
若足够大
返 回 上 页 下 页
例 利用导数性质求下列函数的象函数
(1) f (t ) cos( t )的象函数
1 o
f( t) ... T/2 T
L[ f1 (t )] F1 (s)
f1 (t 2T ) (t 2T )
t
f (t ) f1 (t ) f1 (t T ) (t T )
L[ f (t )] F1 (s) e F1 (s) e
F1 (s)[e
解
dsin( t ) cos(t ) dt 1 d(sint ) cos(t ) dt
1 d L[cos t ] L (sin( t ) dt s 1 s 2 0 2 2 2 s s
返 回 上 页 下 页
用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把 求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。 由象函数求原函数的方法：
1 c j st (1)利用公式 f (t ) F (s)e ds c j 2πj
(2)对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数 (3)把F(s)分解为简单项的组合
F (s) F1 (s) F2 (s) Fn (s)
5.拉普拉斯的卷积定理
1 L[ f (t )] F1 ( s) sT 1 e
若： L[ f1 (t )] F1 (s) L[ f 2 (t )] F2 (s)
返 回 上 页 下 页
则： L[ f1 (t ) f 2 (t )] L f1 (t ) f 2 ( )d
1 f ( )d ] F (s) s
应用微分性质
F ( s) s ( s) f (t )dt
0
d t L[ f (t )] L f (t )dt dt 0 0
t t 0
F (s) (s) s
返 回 上 页 下 页
例 求 : f (t ) t ( t )和f (t ) t 2 (t )的象函数
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f n (t )
部分分式 展开法
上 页 下 页
返 回
N ( s) a0 s a1s am F ( s) (n m) n n 1 D( s) b0 s b1s bn
sT
sT
2 sT
F1 (s)
e
2 sT
e
3 sT
1 F (s) ] sT 1 1 e
返 回
上 页
下 页
T 对于本题脉冲序列 f1 (t ) (t ) (t ) 2 1 1 sT / 2 F1 (s) ( e ) s s 1 1 1 sT / 2 1 1 ) ( e ) ( L[ f (t )] sT / 2 sT s 1 e 1 e s s
令 x t 0
0
0
f1 ( x) ( x) f 2 ( )e e
sx 0
s sx
d dx d
上 页 下 页
f1 ( x) ( x)e dx f 2 ( )e
s
F1 (s) F2 (s)
返 回
14.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
正变换 反变换
s
复频率
s j
返 回 上 页 下 页
注意
① 积分域 0 积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。
0 积分下限从0 + 开始，称为0 + 拉氏变换 。 0
今后讨论的均为0 拉氏变换。
F (s) 0 f (t )e dt 0 f (t )e dt 0 f (t )e dt
解
1 n 1 s F ( s ) s f ( 0 ) f (0 ) L[ ] n dt
返 回
上 页
下 页
3.积分性质
若：L[ f (t )] F (s)
t 0
则： L[
t
0
证 令 L[ f (t )dt ] (s)
(2) f (t ) δ ( t )的象函数
1 L[ (t )] s d (t ) 1 L (t ) L[ ] s 0 1 dt s 2 d f ( t ) ' 推广：L[ ] s[sF (s) f (0 )] f (0 ) 2 dt 2 ' s F (s) sf (0 ) f (0 )
解
1 1 1 L t (t ) L[ 0 (t )dt ] 2 s s s t 2 L[t (t )] L[2 tdt ] 23 0 s
返 回
上 页
下 页
4.延迟性质 若： L[ f (t )] F (s)
则： L[ f (t t0 ) (t t0 )] e F (s)
at
例2
解
求 : f (t ) sin( t )的象函数
F (s) Lsin (ωt )
1 1 1 2 2 j s j s j s 2
K K Ka s s a s( s a)
1 j t j t L (e e ) 2j
本章重点
首页
重点 (1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质 (2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电 路的方法和步骤 (3) 网络函数的概念 (4) 网络函数的极点和零点
返 回
14.1 拉普拉斯变换的定义
1. 拉氏变换法
拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是 把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域 问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶 微分方程变换为频域的代数方程以便求解。应用 拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法， 又称运算法。
st
L[ f 2 (t )] F2 (s)
证 L A1 f1 (t ) A2 f 2 (t ) A1 f1 (t ) A2 f 2 (t ) e st dt
A1 f1 (t )e dt A2 f 2 (t )e dt
st 0 0
0
0
t
F1 ( s) F2 ( s)
t dt 证 L[ f1 (t ) f 2 (t )] e f ( t ) f ( ) d 1 2 0 0 st e f1 (t ) (t ) f 2 ( ) d dt 0 0 st
st
( s c ) t
M dt sc
则f(t)的拉氏变换式F(s)总存在，因为总可 以找到一个合适的s 值使上式积分为有限值。 ③象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s) 原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)
返 回
上 页
下 页
3.典型函数的拉氏变换
F ( s) 0 f (t )e dt
A1F1 (s) A2 F2 (s)
返 回 上 页 下 页
结论 根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数
相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各 函数的象函数再进行相乘及加减计算。
例1 求 : f (t ) K (1 e at )的象函数
解
F (s) L[ K ] - LKe
0
f ( )e d
s
e
st0
F ( s)
st0
延迟因子
返 回 上 页 下 页
例1 求矩形脉冲的象函数
解
f (t ) (t ) (t T )
1 o
f(t)
1 1 根据延迟性质 F (s) e sT s s
例2 求三角波的象函数
解
T f( t)
t
T
返 回 上 页 下 页
2. 拉氏变换的定义
定义 [ 0 , ∞)区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式：
简写 F (s) L f (t ) ， f (t ) L F (s)
-1
F ( s ) f (t )e st dt 0 1 c j st F ( s ) e d s f (t ) c j 2 πj
F ( s) L[ (t )] (t ) e dt (t )e dt 0
st
0
st
e
s0
1
0
(3)指数函数的象函数
f (t ) e
at
F ( s) L e
at
1 ( s a ) t e e e dt 0 0 sa 1 sa
o T
f (t ) t[ (t ) (t T )]
1 1 sT T sT F (s) 2 2 e e s s s
f (t ) t (t ) (t T ) (t T ) T (t T )