河北省衡水中学2021届高三下学期2月月考数学(理)试题

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河北省衡水市枣强中学2021年高三数学理月考试题含解析

河北省衡水市枣强中学2021年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，集合A为偶数集，若命题则为（）A. B.C. D.参考答案：D略2. 设集合，，则（）A. (－1,+∞)B.(－1,1)C. (0,1)D. (0,+∞)参考答案：A3. 已知函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为（）A．3 B．6 C．9 D．12参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．【解答】解：f（x）的周期T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以=k?，k∈Z．令k=1，可得ω=6．故选：B．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．4. 已知函数的图像与x恰有两个公共点，则c＝（）A：-2或2 B： -9或3 C： -1或1 D： -3或1参考答案：A略5. 已知等差数列{a n}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是()A. 15B. 30C. 31D. 64参考答案：A【分析】根据等差数列性质解得，再根据等差数列性质得结果.【详解】因为故选:A【点睛】本题考查等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.6. 圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为（）A． B.C． D.参考答案：A7. 已知双曲线的右焦点F，直线与其渐近线交于A，B两点，且△为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是A. （）B. （1，）C. （）D. （1，）参考答案：D略8. 已知向量，，则A. 2B. 3C.D. 4参考答案：A略9. 函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的区间是（e≈2.71828）（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，3）参考答案：A【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数的解析式可得 f（0）=1﹣2=﹣1＜0，f（）=﹣＞0，再根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的区间解：由于函数f（x）=e x+x﹣2，∴f（0）=1﹣2=﹣1＜0，f（）=﹣＞0，∵f（0）?f（）＜0∴函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的区间是（0，），故选A【点评】本题主要考查函数零点的判定定理的应用，求函数的值，属于基础题10. 执行如图所示的程序框图，欲使输出的S>11，则输入整数n的最小值为(A)3 (B)4(C)5 (D)6参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成角的大小为．参考答案：60°【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1，∴三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故答案为：60°．【点评】本小题主要考查直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．12. 在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q|≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝．参考答案：1113. 在如图的程序框图中，输出的值为，则，= .参考答案：514. 已知函数的导函数为，若，则参考答案：15. 在的展开式中，含项的系数是，若，则参考答案：16. 若非负数变量满足约束条件，则的最大值为________.参考答案：417. 求值：= ．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

【新高考】2021届河北省衡水中学高三二调数学试题(解析版)

8 5
，
a1 0, d 1时， S4 0 1 2 3 6 ，
a1 8, d 5 时， S4 8 (3) 2 7 2 ．
故选：C．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式基本量的计算以及等差数列前 n 项和公式，属于基础题.
5.
已知
sin
3
3 3
，则
cos
2
3
（
）
A. 3 3
理解掌握水平.
7. 已知 min{m, n}表示实数 m，n 中的较小数，若函数 f (x) min 3 log 1 x, log2 x ，当 0 a b 时，
4
有 f a f b ，则 a b 的值为（）
A. 6
B. 8
C. 9
D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】
首先画出函数 f x 的图象，由图象确定当有 f a f b 时，即 log2 a log1 b 3 ，再根据对数运算公 4
的图象，属于中档题型.
8. 设 Sn 为数列
an
的前
n
项和， Sn
(1)n an
1 2n
,n N*
，则
S1
S2
S100
（
）
A.
1 3
1 2
100
1
B.
1 3
1 2
98
1
C.
1 3
1 2
50
1
D.
1 3
1 2
49
1
【答案】A 【解析】
【分析】
由递推式求出数列的首项,当
n
2
时分 n
B. 6 3
1
C.
3

(优辅资源)河北省衡水中学高三下学期二调数学试卷(理科) Word版含解析

2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）二调数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x＜2}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，则A∩B=（）A．（﹣∞，3）B．[2，3） C．（﹣∞，2）D．（﹣1，2）2．已知复数z=1﹣i（i为虚数单位），则的共轭复数是（）A．1﹣3i B．1+3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i3．有一长、宽分别为50m、30m的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同．一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（）A．B．C． D．4．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n=1+2a n（n≥2），且a1=2，则S20（）A．219﹣1 B．221﹣2 C．219+1 D．221+26．已知圆C：x2+y2=4，点P为直线x+2y﹣9=0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点（）A．B．C．（2，0） D．（9，0）7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8．设函数，，若不论x2取何值，f（x1）＞g（x2）对任意总是恒成立，则a的取值范围为（）A．B．C．D．9．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…P10，记m i=（i=1，2，…，10），则m1+m2+…+m10的值为（）A．180 B．C．45 D．10．已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，且对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），若动点P（x，y）满足等式f（x2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0，则x+y 的最大值为（）A．2﹣5 B．﹣5 C．2+5 D．511．数列{a n}满足a1=，a n﹣1=a n（a n﹣1）（n∈N*）且S n=++…+，则+1S n的整数部分的所有可能值构成的集合是（）A．{0，1，2}B．{0，1，2，3}C．{1，2}D．{0，2}12．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px（p＞0），O为抛物线的顶点，OA⊥OB，△AOB的面积是16，抛物线的焦点为F，若M是抛物线上的动点，则的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．某校今年计划招聘女教师x人，男教师y人，若x、y满足，则该学校今年计划招聘教师最多人．14．已知函数的两个零点分别为m、n（m＜n），则=．15．已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上，AB=AC=5，BC=8，AD⊥底面ABC，G为△ABC的重心，且直线DG与底面ABC所成角的正切值为，则球O的表面积为．16．已知是定义在R上的函数，且满足①f（4）=0；②曲线y=f（x+1）关于点（﹣1，0）对称；③当x∈（﹣4，0）时，，若y=f（x）在x∈[﹣4，4]上有5个零点，则实数m的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知向量，，设函数+b．（1）若函数f（x）的图象关于直线对称，且ω∈[0，3]时，求函数f（x）的单调增区间；（2）在（1）的条件下，当时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围．18．如图，已知四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，且SA=AB=BC=2CD=2，E是边SB的中点．（1）求证：CE∥平面SAD；（2）求二面角D﹣EC﹣B的余弦值大小．19．某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择，若投资甲项目一年后可获得的利润为ξ1（万元）的概率分布列如表所示：且ξ1的期望E（ξ1）=120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否受第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立，且调整的概率分别为p（0＜p＜1）和1﹣p，乙项目产品价格一年内调整次数X（次）与ξ2的关系如表所示：（1）求m，n的值；（2）求ξ2的分布列；（3）根据投资回报率的大小请你为公司决策：当p在什么范围时选择投资乙项目，并预测投资乙项目的最大投资回报率是多少？（投资回报率=年均利润/投资总额×100%）20．如图，曲线Γ由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．21．设f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：ln（4n+1）≤16（n∈N*）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1，C2各有一个交点，当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合．（Ⅰ）分别说明C1，C2是什么曲线，并求a与b的值；（Ⅱ）设当α=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=﹣时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求直线A1 A2、B1B2的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|，a＜0．（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）二调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x＜2}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，则A∩B=（）A．（﹣∞，3）B．[2，3） C．（﹣∞，2）D．（﹣1，2）【考点】交集及其运算．【分析】由指数函数的值域和单调性，化简集合B，再由交集的定义，即可得到所求．【解答】解：集合A={x|x＜2}=（﹣∞，2），B={y|y=2x﹣1，x∈A}，由x＜2，可得y=2x﹣1∈（﹣1，3），即B={y|﹣1＜y＜3}=（﹣1，3），则A∩B=（﹣1，2）．故选：D．2．已知复数z=1﹣i（i为虚数单位），则的共轭复数是（）A．1﹣3i B．1+3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把z代入，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z=1﹣i，∴=，∴的共轭复数为1﹣3i．故选：A．3．有一长、宽分别为50m、30m的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同．一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（）A．B．C． D．【考点】几何概型．【分析】由题意可知所有可能结果用周长160表示，事件发生的结果可用两条线段的长度和60表示，即可求得．【解答】解：当该人在池中心位置时，呼唤工作人员的声音可以传，那么当构成如图所示的三角形时，工作人员才能及时的听到呼唤声，所有可能结果用周长160表示，事件发生的结果可用两条线段的长度和60表示，．故选B．4．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选C．5．已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n=1+2a n（n≥2），且a1=2，则S20（）A．219﹣1 B．221﹣2 C．219+1 D．221+2【考点】数列的求和．【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式求和公式即可得出．【解答】解：∵S n=1+2a n（n≥2），且a1=2，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=1+2a n﹣（1+2a n ），化为：a n=2a n﹣1，﹣1∴数列{a n}是等比数列，公比与首项都为2．∴S20==221﹣2．故选：B．6．已知圆C：x2+y2=4，点P为直线x+2y﹣9=0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点（）A．B．C．（2，0） D．（9，0）【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意设P的坐标为P（9﹣2m，m），由切线的性质得点A、B在以OP为直径的圆C上，求出圆C的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦AB所在的直线方程，再求出直线AB过的定点坐标．【解答】解：因为P是直线x+2y﹣9=0的任一点，所以设P（9﹣2m，m），因为圆x2+y2=4的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，则点A、B在以OP为直径的圆上，即AB是圆O和圆C的公共弦，则圆心C的坐标是（，），且半径的平方是r2=，所以圆C的方程是（x﹣）2+（y﹣）2=，①又x2+y2=4，②，②﹣①得，（2m﹣9）x﹣my+4=0，即公共弦AB所在的直线方程是：（2m﹣9）x ﹣my+4=0，即m（2x﹣y）+（﹣9x+4）=0，由得x=，y=，所以直线AB恒过定点（，），故选A．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图左下角的三角形为底面的三棱锥和一个以俯视图右上角的三角形为底面的三棱柱相加的组合体，代入棱锥和棱柱的体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得：该几何体是一个以俯视图左下角的三角形为底面的三棱锥和一个以俯视图右上角的三角形为底面的三棱柱相加的组合体，棱锥和棱柱的底面面积均为：S==，高均为h=3，故组合体的体积V=Sh+Sh=4，故选：A8．设函数，，若不论x2取何值，f（x1）＞g（x2）对任意总是恒成立，则a的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】函数恒成立问题．【分析】利用三角恒等变换化简得g（x）=2sin（x+）≤2，依题意可得f（x1）＞g（x2）max=2，即当≤x≤时，0＜ax2+2x﹣1＜恒成立，通过分类讨论，min即可求得a的取值范围．【解答】解：∵函数，====2sin（x+）≤2，即g（x）max=2，因为不论x2取何值，f（x1）＞g（x2）对任意总是恒成立，所以f（x1）min＞g（x2）max，即对任意，＞2恒成立，即当≤x≤时，0＜ax2+2x﹣1＜恒成立，1°由ax2+2x﹣1＜得：ax2＜﹣2x，即a＜﹣=（﹣）2﹣，令h（x）=（﹣）2﹣，因为≤≤，所以，当=时，[h（x）]min=﹣，故a＜﹣；2°由0＜ax2+2x﹣1得：a＞﹣，令t（x）=﹣=（﹣1）2﹣1，因为≤≤，所以，当x=即=时，t（）=（﹣1）2﹣1=﹣；当x=，即=时，t（）=（﹣1）2﹣1=﹣，显然，﹣＞﹣，即[t（x）]max=﹣，故a＞﹣；综合1°2°知，﹣＜a＜﹣，故选：D．9．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…P10，记m i=（i=1，2，…，10），则m1+m2+…+m10的值为（）A．180 B．C．45 D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得，然后把m i=转化为求得答案．【解答】解：由图可知，∠B2AC3=30°，又∠AC3B3=60°，∴，即．则，∴m1+m2+…+m10=18×10=180．故选：A．10．已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，且对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），若动点P（x，y）满足等式f（x2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0，则x+y 的最大值为（）A．2﹣5 B．﹣5 C．2+5 D．5【考点】抽象函数及其应用．【分析】由条件可令x=y=0，求得f（0）=0，再由f（x）为单调函数且满足的条件，将f（x2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0化为f（x2+y2+2x+8y+5）=0=f（0），可得x2+y2+2x+8y+5=0，配方后，再令x=﹣1+2cosα，y=﹣4+2sinα（α∈（0，2π）），运用两角差的余弦公式和余弦函数的值域，即可得到所求最大值．【解答】解：对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=0，y=0，都有f（0+0）=f（0）+f（0）⇒f（0）=0，动点P（x，y）满足等式f（x2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0，即有f（x2+y2+2x+8y+5）=0=f（0），由函数f（x）是定义在R上的单调函数，可得x2+y2+2x+8y+5=0，化为（x+1）2+（y+4）2=12，可令x=﹣1+2cosα，y=﹣4+2sinα（α∈（0，2π）），则x+y=2（cosα+sinα）﹣5=2cos（α﹣）﹣5，当cos（α﹣）=1即α=时，x+y取得最大值2﹣5，故选：A．11．数列{a n}满足a1=，a n﹣1=a n（a n﹣1）（n∈N*）且S n=++…+，则+1S n的整数部分的所有可能值构成的集合是（）A．{0，1，2}B．{0，1，2，3}C．{1，2}D．{0，2}【考点】数列递推式．【分析】数列{a n}满足a1=，a n+1﹣1=a n（a n﹣1）（n∈N*）．可得：a n+1﹣a n=＞0，可得：数列{a n}单调递增．可得a2=，a3=，a4=.=＞1，=＜1．另一方面：=﹣，可得S n=++…+=3﹣，对n=1，2，3，n≥4，分类讨论即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=，a n+1﹣1=a n（a n﹣1）（n∈N*）．﹣a n=＞0，∴a n+1＞a n，因此数列{a n}单调递增．可得：a n+1则a2﹣1=，可得a2=，同理可得：a3=，a4=．=＞1，=＜1，另一方面：=﹣，∴S n=++…+=++…+=﹣=3﹣，当n=1时，S1==，其整数部分为0；当n=2时，S2=+=1+，其整数部分为1；当n=3时，S3=++=2+，其整数部分为2；当n≥4时，S n=2+1﹣∈（2，3），其整数部分为2．综上可得：S n的整数部分的所有可能值构成的集合是{0，1，2}．故选：A．12．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px（p＞0），O为抛物线的顶点，OA⊥OB，△AOB的面积是16，抛物线的焦点为F，若M是抛物线上的动点，则的最大值为（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设等腰直角三角形OAB的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），利用OA=OB 可求得x1=x2，进而可求得AB=4p，从而可得S△OAB．设过点N的直线方程为y=k （x+1），代入y2=4x，过M作准线的垂线，垂足为A，则|MF|=|MA|，考虑直线与抛物线相切及倾斜角为0°，即可得出p．设M 到准线的距离等于d，由抛物线的定义，化简为==，换元，利用基本不等式求得最大值．【解答】解：设等腰直角三角形OAB的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=2px1，y22=2px2．由OA=OB得：x12+y12=x22+y22，∴x12﹣x22+2px1﹣2px2=0，即（x1﹣x2）（x1+x2+2p）=0，∵x1＞0，x2＞0，2p＞0，∴x1=x2，即A，B关于x轴对称．∴直线OA的方程为：y=xtan45°=x，与抛物线联立，解得或，故AB=4p，=×2p×4p=4p2．∴S△OAB∵△AOB的面积为16，∴p=2；焦点F（1，0），设M（m，n），则n2=4m，m＞0，设M 到准线x=﹣1的距离等于d，则==．令m+1=t，t＞1，则=≤（当且仅当t=3时，等号成立）．故的最大值为，故选C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．某校今年计划招聘女教师x人，男教师y人，若x、y满足，则该学校今年计划招聘教师最多10人．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，则目标函数为z=x+y，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：设z=x+y，作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．但此时z最大值取不到，由图象当直线经过整点E（5，5）时，z=x+y取得最大值，代入目标函数z=x+y得z=5+5=10．即目标函数z=x+y的最大值为10．故答案为：10．14．已知函数的两个零点分别为m、n（m＜n），则=．【考点】定积分；函数零点的判定定理．【分析】先求出m，n，再利用几何意义求出定积分．【解答】解：∵函数的两个零点分别为m、n（m＜n），∴m=﹣1，n=1，∴===．故答案为．15．已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上，AB=AC=5，BC=8，AD⊥底面ABC，G为△ABC的重心，且直线DG与底面ABC所成角的正切值为，则球O的表面积为．【考点】球的体积和表面积．【分析】求出△ABC外接圆的直径，利用勾股定理求出球O的半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：由题意，AG=2，AD=1，cos∠BAC==﹣，∴sin∠BAC=，∴△ABC外接圆的直径为2r==，设球O的半径为R，∴R==∴球O的表面积为，故答案为．16．已知是定义在R上的函数，且满足①f（4）=0；②曲线y=f（x+1）关于点（﹣1，0）对称；③当x∈（﹣4，0）时，，若y=f（x）在x∈[﹣4，4]上有5个零点，则实数m的取值范围为[﹣3e﹣4，1）∪{﹣e﹣2} ．【考点】函数零点的判定定理．【分析】可判断f（x）在R上是奇函数，从而可化为当x∈（﹣4，0）时，，有1个零点，从而转化为xe x+e x﹣m=0在（﹣4，0）上有1个不同的解，再令g（x）=xe x+e x﹣m，从而求导确定函数的单调性及取值范围，从而解得．【解答】[﹣3e﹣4，1）∪{﹣e﹣2}解：∵曲线y=f（x+1）关于点（﹣1，0）对称；∴曲线y=f（x）关于点（0，0）对称；∴f（x）在R上是奇函数，∴f（0）=0，又∵f（4）=0，∴f（﹣4）=0，而y=f（x）在x∈[﹣4，4]上恰有5个零点，故x∈（﹣4，0）时，有1个零点，x∈（﹣4，0）时f（x）=log2（xe x+e x﹣m+1），故xe x+e x﹣m=0在（﹣4，0）上有1个不同的解，令g（x）=xe x+e x﹣m，g′（x）=e x+xe x+e x=e x（x+2），故g（x）在（﹣4，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数；而g（﹣4）=﹣4e﹣4+e﹣4﹣m，g（0）=1﹣m=﹣m，g（﹣2）=﹣2e﹣2+e﹣2﹣m，而g（﹣4）＜g（0），故﹣2e﹣2+e﹣2﹣m﹣1＜0＜﹣4e﹣4+e﹣4﹣m﹣1，故﹣3e﹣4≤m＜1或m=﹣e﹣2故答案为：[﹣3e﹣4，1）∪{﹣e﹣2}三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知向量，，设函数+b．（1）若函数f（x）的图象关于直线对称，且ω∈[0，3]时，求函数f（x）的单调增区间；（2）在（1）的条件下，当时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据平面向量数量积运算求解出函数+b，利用函数f（x）的图象关于直线对称，且ω∈[0，3]时，求解ω，可求函数f（x）的单调增区间．（2）当时，求出函数f（x）的单调性，函数f（x）有且只有一个零点，利用其单调性求解求实数b的取值范围．【解答】解：向量，，函数+b．则==．（1）∵函数f（x）图象关于直线对称，∴（k∈Z），解得：ω=3k+1（k∈Z），∵ω∈[0，3]，∴ω=1，∴，由，解得：（k∈Z），所以函数f（x）的单调增区间为（k∈Z）．（2）由（1）知，∵，∴，∴，即时，函数f（x）单调递增；，即时，函数f（x）单调递减．又，∴当或时函数f（x）有且只有一个零点．即sin≤﹣b﹣＜sin或，所以满足条件的．18．如图，已知四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，且SA=AB=BC=2CD=2，E是边SB的中点．（1）求证：CE∥平面SAD；（2）求二面角D﹣EC﹣B的余弦值大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取SA中点F，连结EF，FD，推导出四边形EFDC是平行四边形，由此能证明CE∥面SAD．（2）在底面内过点A作直线AM∥BC，则AB⊥AM，以AB，AM，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣EC﹣B 的余弦值．【解答】证明：（1）取SA中点F，连结EF，FD，∵E是边SB的中点，∴EF∥AB，且EF=AB，又∵∠ABC=∠BCD=90°，∴AB∥CD，又∵AB=2CD，且EF=CD，∴四边形EFDC是平行四边形，∴FD∥EC，又FD⊂平面SAD，CE⊄平面SAD，∴CE∥面SAD．解：（2）在底面内过点A作直线AM∥BC，则AB⊥AM，又SA⊥平面ABCD，以AB，AM，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（1，2，0），D（1，2，0），E （1，0，1），则=（0，2，0），=（﹣1，0，1），=（﹣1，0，），=（﹣1，﹣2，1），设面BCE的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），同理求得面DEC的一个法向量为=（0，1，2），cos＜＞==，由图可知二面角D﹣EC﹣B是钝二面角，∴二面角D﹣EC﹣B的余弦值为﹣．19．某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择，若投资甲项目一年后可获得的利润为ξ1（万元）的概率分布列如表所示：且ξ1的期望E（ξ1）=120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否受第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立，且调整的概率分别为p（0＜p＜1）和1﹣p，乙项目产品价格一年内调整次数X（次）与ξ2的关系如表所示：（1）求m，n的值；（2）求ξ2的分布列；（3）根据投资回报率的大小请你为公司决策：当p在什么范围时选择投资乙项目，并预测投资乙项目的最大投资回报率是多少？（投资回报率=年均利润/投资总额×100%）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用概率和为1，期望值列出方程组求解即可．（2）ξ2的可能取值为41.2，117.6，204.0，求出概率，得到ξ2的分布列；（3）利用期望关系，通关二次函数求解最值即可．【解答】解：（1）由题意得：，得：m=0.5，n=0.1．（2）ξ2的可能取值为41.2，117.6，204.0，P（ξ2=41.2）=（1﹣p）[1﹣（1﹣p）]=p（1﹣p）P（ξ2=204.0）=p（1﹣p）所以ξ2的分布列为（3）由（2）可得：=﹣10p2+10p+117.6根据投资回报率的计算办法，如果选择投资乙项目，只需E（ξ1）＜E（ξ2），即120＜﹣10p2+10p+117.6，得0.4＜p＜0.6．因为，所以当时，E（ξ2）取到最大值为120.1，所以预测投资回报率的最大值为12.01%．20．如图，曲线Γ由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由F2（2，0），F3（﹣6，0），可得，解出即可；（2）曲线C2的渐近线为，如图，设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），设直线l：y=，与椭圆方程联立化为2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0，利用△＞0，根与系数的关系、中点坐标公式，只要证明，即可．（3）由（1）知，曲线C1：，点F4（6，0）．设直线l1的方程为x=ny+6（n＞0）．与椭圆方程联立可得（5+4n2）y2+48ny+64=0，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出．【解答】（1）解：∵F2（2，0），F3（﹣6，0），∴，解得，则曲线Γ的方程为和．（2）证明：曲线C2的渐近线为，如图，设直线l：y=，则，化为2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0，△=4m2﹣8（m2﹣a2）＞0，解得．又由数形结合知．设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则x1+x2=m，x1x2=，∴=，．∴，即点M在直线y=﹣上．（3）由（1）知，曲线C1：，点F4（6，0）．设直线l1的方程为x=ny+6（n＞0）．，化为（5+4n2）y2+48ny+64=0，△=（48n）2﹣4×64×（5+4n2）＞0，化为n2＞1．设C（x3，y3），D（x4，y4），∴，．∴|y3﹣y4|==，===，令t=＞0，∴n2=t2+1，∴===，当且仅当t=，即n=时等号成立．∴n=时，=．21．设f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：ln（4n+1）≤16（n∈N*）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，结合f'（1）=1列式求得a值；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a值代入函数解析式，由f（x）≤m（x﹣1）得到，构造函数，即∀x∈[1，+∞），g（x）≤0．然后对m分类讨论求导求得m的取值范围；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当x＞1时，m=1时，成立．令，然后分别取i=1，2，…，n，利用累加法即可证明结论．【解答】（Ⅰ）解：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由题设f'（1）=1，∴，即a=0；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）解：，∀x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1），即，设，即∀x∈[1，+∞），g（x）≤0．，g'（1）=4﹣4m．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①若m≤0，g'（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾；②若m∈（0，1），当，g（x）单调递增，g（x）＞g（1）=0，与题设矛盾；③若m≥1，当x∈（1，+∞），g'（x）≤0，g（x）单调递减，g（x）≤g（1）=0，即不等式成立；综上所述，m≥1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当x＞1时，m=1时，成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣不妨令，∴，即，，，…，．累加可得：ln（4n+1）≤16（n∈N*）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1，C2各有一个交点，当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合．（Ⅰ）分别说明C1，C2是什么曲线，并求a与b的值；（Ⅱ）设当α=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=﹣时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求直线A1 A2、B1B2的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=1，C1是以（0，0）为圆心，以1为半径的圆，曲线C2的直角坐标方程为=1，C2是焦点在x轴上的椭圆．当α=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），由此能求出a，b．（Ⅱ）C1，C2的普通方程分别为x2+y2=1和，当时，射线l与C1的交点A1的横坐标为，与C2的交点B1的横坐标为，当时，射线l与C1，C2的交点A2，分别与A1，B1关于x轴对称，由此能求出直线A1 A2和B1B2的极坐标方程．【解答】（本题满分10分）【选修4﹣4 坐标系统与参数方程】解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程为（φ为参数），∴曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=1，∴C1是以（0，0）为圆心，以1为半径的圆，∵曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），∴曲线C2的直角坐标方程为=1，∴C2是焦点在x轴上的椭圆．当α=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），∵这两点间的距离为2，∴a=3…当时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），∵这两点重合，∴b=1…（Ⅱ） C 1，C 2的普通方程分别为x 2+y 2=1和…当时，解方程组，得A 1（，），即射线l 与C 1的交点A 1的横坐标为，解方程组，得B 1（，），与C 2的交点B 1的横坐标为当时，射线l 与C 1，C 2的交点A 2，分别与A 1，B 1关于x 轴对称因此，直线A 1 A 2、B 1B 2垂直于极轴，故直线A 1 A 2 和B 1B 2的极坐标方程分别为，…[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）=|x ﹣a |，a ＜0．（Ⅰ）证明f （x ）+f （﹣）≥2；（Ⅱ）若不等式f （x ）+f （2x ）＜的解集非空，求a 的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；其他不等式的解法．【分析】（Ⅰ）运用绝对值不等式的性质和基本不等式，即可得证；（Ⅱ）通过对x 的范围的分类讨论去掉绝对值符号，转化为一次不等式，求得（f （x ）+f （2x ））min 即可．【解答】（Ⅰ）证明：函数f （x ）=|x ﹣a |，a ＜0，则f （x ）+f （﹣）=|x ﹣a |+|﹣﹣a |=|x ﹣a |+|+a |≥|（x ﹣a ）+（+a ）|=|x +|=|x |+≥2=2．（Ⅱ）解：f （x ）+f （2x ）=|x ﹣a |+|2x ﹣a |，a ＜0．当x ≤a 时，f （x ）=a ﹣x +a ﹣2x=2a ﹣3x ，则f （x ）≥﹣a ；当a ＜x ＜时，f （x ）=x ﹣a +a ﹣2x=﹣x ，则﹣＜f （x ）＜﹣a ；当x时，f （x ）=x ﹣a +2x ﹣a=3x ﹣2a ，则f （x ）≥﹣．则f （x ）的值域为[﹣，+∞），不等式f （x ）+f （2x ）＜的解集非空，即为＞﹣，解得，a ＞﹣1，由于a ＜0，则a 的取值范围是（﹣1，0）．精品文档2017年4月27日试卷。

【精编精校卷】2021届河北省衡水中学全国高三下学期第二次联合考试(II卷)数学(理)试题(解析版)

2021届河北省衡水中学全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{0,1,2,3,4,5},{2,4,5},{0,2,4}U A B ===，则()UA B =（）A ．{5}B ．{2,4}C ．{0,2,5}D ．{0,2,4,5}【答案】A【分析】利用集合的交、补运算即可求解.【详解】由题意得{1,3,5}U B =，所以(){5}U A B ⋂=．故选：A2．已知sin 0,cos 0αα><，则（） A ．sin20α> B ．cos20α<C ．tan02α> D ．sin02α<【答案】C【分析】由条件得到角α所在的象限，从而得到2α所在的象限，这样就可以得到答案. 【详解】由sin 0,cos 0αα><知，α为第二象限角，所以2α为第一或第三象限角，所以tan 02α>．故选：C.3．已知复数(1)()z a a i a =+-∈R ，则||z 的最小值为（）A ．12 B C D ．1【答案】B【分析】转化为求二次函数的最值即可【详解】因为(1)z a a i =+-，所以12||22z ==，所以||z 故选：B4．直线21y x =-被过点(0,1)和(2,1) ）A B C D 或21455【答案】B【分析】先根据题意求出圆的方程，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后由弦、弦心距和半径的关系可求得答案【详解】解：设圆心为(,)a b ，则由题意可得 2222(0)(1)(2)(1)5a b a b -+-=-+-=，解得11a b =⎧⎨=-⎩或13a b ==⎧⎨⎩，所以圆心为(1,1)-或(1,3)所以圆方程为22(1)(1)5x y -++=或22(1)(3)5x y -+-=，则圆心到直线21y x =-的距离为22|211|2552(1)d +-==+-或22|231|2552(1)d --==+-，则弦长222521052(5)55⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭．故选：B5．已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为（）A 5B 5C 10D ．12【答案】C【分析】首先根据三视图还原几何体，且同时还原几何体的棱长；找出最长的侧棱，并找出最长的侧棱与底面所成的角.【详解】设该四棱锥为P ABCD -，则由题意可知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，平面PDC ⊥平面ABCD ，且3,4,2PC PD AB AD ====，如图，过点P 作PE CD ⊥交CD 于点E ，则PE ⊥平面ABCD ，连接AE ，可知PAE ∠为直线PA 与平面ABCD 所成的角，则225PE PD DE =-=，2222AE AD DE =+=，所以510tan 422PE PAE AE ∠===．故选：C.6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点(c,0)F 3，且点3)在双曲线上，则双曲线的方程为（）A ．22193x y -=B ．221123y x -=C ．221312x y -=D ．22139x y -=【答案】D【分析】求出双曲线的渐近线，利用点到直线的距离公式可得2234b c =，再由222c a b =+，解得223b a =，将点3)代入双曲线方程即可求解.【详解】双曲线22221x y a b -=的焦点(c,0)F 到渐近线0bx ay ±=的距离为223a b =+，解得3b =，所以2234b c =．又222c a b =+，所以223b a =．因为点3)在双曲线上，所以22431a b-=，所以223,9a b ==，所以双曲线的方程为22139x y -=．故选：D7．异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“∧”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输出1，反之输出0．如十进制下的数10与9表示成二进制分别是1010，1001（即321032101012021202,912020212=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯），那么109101010010011∧=∧=，现有运算1211000001m n ∧=∧=，则m 的值为（）A ．7B ．9C ．11D ．13【答案】D【分析】根据异或运算和十进制与二进制的转化求解. 【详解】因为1211000001m n ∧=∧=，所以1101n =，所以32101212021213⨯+⨯+⨯+⨯=，即13m =，故选：D ．8．已知奇函数()f x 的定义域为R ，且满足(2)(2)f x f x +=-，以下关于函数()f x 的说法：①()f x 满足(8)()0f x f x -+= ②8为()f x 的一个周期 ③()sin4xf x π=是满足条件的一个函数 ④()f x 有无数个零点其中正确说法的个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】利用的周期性定义以及函数为奇函数可得(8)(4)()f x f x f x +=-+=，可判断①、②；由正弦函数的性质可判断③；根据(0)0f =且函数为奇函数可判断④. 【详解】因为(2)(2)f x f x +=-，所以(4)()f x f x +=-．因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(4)()f x f x +=-，所以(8)(4)()f x f x f x +=-+=，所以8为()f x 的一个周期，故②正确；由(8)()f x f x +=可得(8)()()f x f x f x -=-=-，所以(8)()0f x f x -+=，故①正确；()sin4xf x π=为奇函数满足()()0f x f x +-=，且一条对称轴为直线2x =，故③正确；由()f x 为奇函数且定义域为R 知，(0)0f =，又()f x 为周期函数，所以()f x 有无数个零点，故④正确．故选：D9．已知三棱锥P ABC -的高为1，底面ABC 为等边三角形，PA PB PC ==，且P ，A ，B ，C 都在体积为323π的球O 的表面上，则该三棱锥的底面ABC 的边长为（）A B C ．3 D ．【答案】C【分析】利用球的体积公式求出球的半径，画出图形，设点1O 为ABC 的外心，则1OO ⊥平面ABC ．求解13AO =．通过求解三角形推出AB 即可．【详解】设球O 的半径为R ，由球的体积为323π可得，343233R ππ=，解得2R =．因为三棱锥P ABC -的高h 为1，所以球心O 在三棱锥外．如图，设点1O 为ABC 的外心，则1OO ⊥平面ABC ．在Rt △1AO O 中，由22211AO OA OO =-，且11OO R h =-=，得13AO =．因为ABC 为等边三角形，所以123sin 6033AO AB AB =⋅︒=，所以133AB AO ==．故选：C ．10．甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n 次由甲掷的概率为n P ，则10P 的值为（）A ．5111024B ．12C ．5131024D ．257512【答案】A【分析】抛掷两颗正四面体骰子观察底面上的数字之和为5的概率为14，第n 次由甲掷有两种情况：一是第1n -次由甲掷，第n 次由甲掷，概率为114n P -；二是第1n -次由乙掷，第n 次由甲掷，概率为()1314n P --，由已知得11324n n P P -=-+，可得到数列12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12-为公比的等比数列，由此可得解.【详解】抛掷两颗正四面体骰子观察底面上的数字之和为5有4种情况，得点数之和为5的概率为41164=，第n 次由甲掷有两种情况：一是第1n -次由甲掷，第n 次由甲掷，概率为114n P -；二是第1n -次由乙掷，第n 次由甲掷，概率为()1314n P --．这两种情况是互斥的，所以()1113144n n n P P P --=+-，即11324n n P P -=-+，所以1111222n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即数列12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以11122P -=为首项，12-为公比的等比数列，所以1111222n n P -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以9101115112221024P ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭．故选：A【点睛】方法点睛：本题考查概率的求法，互斥事件概率加法公式，等比数列的性质，在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠），可以利用构造法求数列的通项公式：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1bm k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；11．若()P n 表示正整数n 的个位数字，()2(2)n a P n P n =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2021S =（） A ．1- B ．0 C ．1009 D ．1011【答案】C【分析】根据题意可判断数列{}n a 为周期数列，且周期为10，即可求解.【详解】由题意得11a =-，20a =，33a =，42a =-，55a =，64a =，75a =，82a =-，97a =-，100a =，111a =-，120a =……所以数列{}n a 为周期数列，且周期为10．因为105S =，所以20215202(1)1009S =⨯+-=．故选：C.12．已知函数()()3()ln ||,(ln3),(ln3),3,x e f x e x a f b f c f d f e ==-===，则a ，b ，c ，d 的大小顺序为（） A ．a b c d >>> B ．d c b a >>> C ．c d b a >>> D ．c d a b >>>【答案】B【分析】对,a b 化简变形得ln(ln 3),3ln(ln 3)3a b ==，从而可得a b <，而函数()ln ||x f x e x =在区间(0,)+∞上单调递增，所以b ，c ，d 中b 最小，然后构造函数()ln g x x e x =-，利用导数判断其在区间[),e +∞上单调递增，从而可得(3)3ln3()0g e g e =->=，3ln3e >，于是可比较出c ，d 的大小【详解】因为ln3ln3ln(ln3)(ln3)ln(ln3),(ln3)ln(ln3)3ln(ln3)3a f eb f e -=-=====，所以a b <．因为函数()ln ||x f x e x =在区间(0,)+∞上单调递增，且1ln32<<，332,2e e >>，所以b ，c ，d 中b 最小．构造函数()ln g x x e x =-，则()x eg x x-'=，当x e 时，()0g x '，所以()g x 在区间[),e +∞上单调递增，所以(3)3ln3()0g e g e =->=，所以3ln3e >．所以33e e >，所以d c >，所以d c b a >>>．故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查函数值大小的比较，解题的关键是构造函数()ln g x x e x =-，利用导数判断其在区间[),e +∞上单调递增，从而可比较出c ，d 的大小，考查计算能力，属于较难题二、填空题13．若向量a ，b 满足()()cos ,sin ,2a b θθθ=∈=R ，则2a b -的取值范围为_________．【答案】[0,4]【分析】依题意可知1a =，又2b =，设a 与b 的夹角为α，则()2288cos a bα-=-．由[0,]απ∈可得结果.【详解】依题意可知1a =，又2b =，设a 与b 的夹角为α，则()22224488cos a ba b a b α-=+-⋅=-．因为[0,]απ∈，所以088cos 16α-，所以024a b -．故答案为：[]0,4.14．在一次去敬老院献爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊5名同学比带队老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到．若他们说的都为真话，从上述回答分析，5人可能到的先后顺序的不同情况种数为___________．【答案】48【分析】结合已知条件，对可能出现的情况进行讨论，然后运用排列的知识进行求解. 【详解】按乙到达的名次顺序进行分类：乙第二个到达有1222A A 种，乙第三个到达有112222A A A 种，乙第四个到达有2232A A 种，乙最后到达有44A 种，所以不同的情况种数为121122242222232448A A A A A A A A +++=．故答案为：4815．已知等差数列{}n a 满足23a =，3a 是1a 与9a 的等比中项，则21ni i a =∑的值为_________．【答案】3n 或()312n n +【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件求出d 的值，再利用等差数列的求和公式可求得结果.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为3a 是1a 与9a 的等比中项，所以()()()22227a d a d a d +=-+，即()()()23337d d d +=-+，整理得2230d d -=，解得0d =或32d =．当0d =时，224213ni n i a a a a n ==+++=∑；当32d =时，()2322n a a n d n =+-=，则23n a n =， ()()22421333122ni ni n n n n a a a a =++=+++==∑．故答案为：3n 或312n n.16．在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AB AD AA =+=，E 为棱11C D 上任意一点，给出下列四个结论： ①1BD 与AC 不垂直；②长方体1111ABCD A B C D -外接球的表面积最小为3π；③E 到平面11A B D 的距离的最大值为2； ④长方体1111ABCD A B C D -的表面积的最大值为6．其中所有正确结论的序号为__________．【答案】②③④【分析】根据正方体的性质，取正方体即可否定①；设AD x =，可求得长方体长方体的对角线，利用二次函数性质求得对角线最小值，进而求得外接球的表面积最小值，可判定②；利用等体积法求得点E 到平面11A B D 的距离为h 关于x 的表达式，利用基本不等式可求得其最大值，进而判定③；求得表面积关于x 的表达式，利用二次函数的性质求得最大值，可判定④.【详解】对于①，当长方体为正方体时，1BD AC ⊥，故①错误；对于②，如图，设AD x =，则12(02)AA x x =-<<，所以1BD 当1x =时，1BD1111ABCD A B C D -最小值为3π，故②正确；对于③，设点E 到平面11A B D 的距离为h ，如图，由1111E A DB D A B E V V --=可得111111133A DB A B E Sh S DD ⋅=⋅，所以由②可知，h =，其中22(2)12x x x x +-⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当且仅当2x x =-，即1x =时等号成立，2[(22x +=2x x =-，即1x =时等号成立，所以22h，当且仅当2x x =-，即1x =时，等号成立，故③正确；对于④，该长方体的表面积为2222(2)2(2)4422(1)6S x x x x x x x =+-+-=+-=--+，当1x =时，S 的最大值为6，故④正确．故答案为：②③④【点睛】关键是设出AD 的长度，求得相应的函数表达式，然后利用基本不等式或二次函数的性质求最值.另外，在正方体中，体对角线是与个面上的与之不相连的面对角线垂直的，这点不难用线面垂直的判定定理证明，也是应当熟记的结论；等体积法求点到平面的距离也是常用的方法，要熟练掌握.三、解答题17．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，ABD △为等边三角形，2,7,1BD AC BC ===．（1）求CBD ∠的大小；（2）求ADE 的面积．【答案】（1）3π；（2）233. 【分析】（1）在ABC 中，由余弦定理可得ABC ∠，进而可得CBD ∠；（2）先证得//BC AD ，由此可得2DE BE =，进而可得ADE 的面积. 【详解】（1）在ABC 中，2,7,1AB AC BC ===，由余弦定理得22222221(7)1cos 22212AB BC AC ABC AB BC +-+-∠===-⨯⨯⨯．因为0ABC π<∠<，所以23ABC π∠=，从而233CBD ABD ππ∠=-∠=．（2）由3CBD ADB π∠==∠知，//BC AD ，所以BCE DAE ∽，所以12BC BE AD DE ==，所以2DE BE =．因为2BD =，所以43DE =．所以11423sin 2sin 22333ADESAD DE ADE π=⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=．18．为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“312++”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A 组合：物理、化学、生物，B 组合：历史、政治、地理，C 组合：物理、化学、地理根据选课数据得到，选择A 组合的概率为35，选择B 组合的概率为15，选择C 组合的概率为15，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．（1）求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；（2）记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及数学期望．【答案】（1）18125；（2）分布列见解析，65. 【分析】（1）用i A 表示第i 位同学选择A 组合，用i B 表示第i 位同学选择B 组合，用iC 表示第i 位同学选择C 组合，1,2,3i =，则由题意可得()()()311,,555i i i P A P B P C ===，而三位同学恰好选择不同组合共有336A =种情况，每种情况的概率相同，从而可求出概率；（2）由题意知η的所有可能取值为0，1，2，3，且2~3,5B η⎛⎫⎪⎝⎭，然后求出各自所对应的概率，从而可得η的分布列及数学期望【详解】解：用i A 表示第i 位同学选择A 组合，用i B 表示第i 位同学选择B 组合，用i C 表示第i 位同学选择C 组合，1,2,3i =．由题意可知，,,i i i A B C 互相独立，且()()()311,,555i i i P A P B P C ===．（1）三位同学恰好选择不同组合共有336A =种情况，每种情况的概率相同，故三位同学恰好选择不同组合的概率()()()()12312331118666555125P P A B C P A P B P C =⨯=⨯=⨯⨯⨯=．（2）由题意知η的所有可能取值为0，1，2，3，且2~3,5B η⎛⎫⎪⎝⎭，所以03032327(0)55125P C η⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12132354(1)55125P C η⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，21232336(2)55125P C η⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3033238(3)55125P C η⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以η的分布列为η0 1 2 3P27125 54125 36125 8125所以27543686()01231251251251255E η=⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．如图，两个全等的梯形ABCD 与BAFE 所在的平面互相垂直，,//,,2AB AD AD BC AB AD BC AD ⊥==，P 为CF 的中点．（1）证明：//DP 平面ABFE ；（2）求平面DEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（26【分析】（1）取BF 的中点Q ，连接,PQ AQ ，证得//DP AQ ，结合线面平行的判定定理，即可证得//DP 平面ABFE ．（2）以B 为原点，以,,BA BC BF 所在直线为x ，y ，z 轴建立的空间直角坐标系，设2BC =，分别求得平面DEF 和平面BCF 的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）如图所示，取BF 的中点Q ，连接,PQ AQ ，因为P ，Q 为,CF BF 的中点，所以//PQ BC ，且12PQ BC =．又因为//,2AD BC BC AD =，所以//PQ AD ，且PQ AD =，所以四边形ADPQ 为平行四边形，所以//DP AQ ，又由AQ ⊂平面ABFE ，DP ⊄平面ABFE ，所以//DP 平面ABFE ．（2）因为平面ABCD ⊥平面BAEF ，平面ABCD 平面,BAEF AB FB AB =⊥，且FB ⊂平面BAEF ，所以FB ⊥平面ABCD ，又因为BC ⊂平面ABCD ，所以FB BC ⊥，又由,AB FB AB BC ⊥⊥，以B 为原点，以,,BA BC BF 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设2BC =，则(1,1,0),(1,0,2),(0,0,1),(1,0,0)D E F A ，可得(1,1,1),(0,1,2)FD ED =-=-设平面DEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n FD n ED ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令1z =，可得(121)n ,,=-，又由平面BCF 的一个法向量为(1,0,0)m BA ==，所以16cos ,6||||16m n m n m n ⋅-〈〉===-⨯．所以平面DEF 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值为66．20．已知曲线C 2222(1)(1)4x y x y ++-+=．（1）求曲线C 的离心率；（2）设曲线C 的右焦点为F ，斜率为k 的动直线l 过点F 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，证明：||||PF AB 为定值．【答案】（1）12；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意可知点(,)x y 到点(1,0),(1,0)-的距离之和为4，且42>，所以曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，且长轴长为4，焦距为2，从而可求出离心率；（2）由（1）可求得曲线C 的方程为22143x y +=，则(1,0)F ，所以直线l 为(1)y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系，从而可表示出AB 的中点坐标，则可得线段AB 的垂直平分线的方程，则可表示出点P 的坐标，从而可表示出||PF ，再利用弦长公式表示出||AB ，进而可得||||PF AB 的值【详解】（14=可知，点(,)x y 到点(1,0),(1,0)-的距离之和为4，且42>，根据椭圆的定义可知，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆．设椭圆的长轴长为2a ，焦距为2c ，则24,22a c ==，所以曲线C 的离心率为12c e a ==．（2）证明：设椭圆的短轴长为2b ，由（1）可得2223b a c =-=，所以曲线C 的方程为22143x y +=，则(1,0)F ．由题意可知，动直线l 的方程为(1)y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，由221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ 得()()2222348430kxk x k +-+-=，所以()22121222438,3434k k x x x x k k-+==++．设AB 的中点为()00,Q x y ，则212024234x x k x k+==+，()0023134k y k x k -=-=+．当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线的方程为2223143434k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，得2234k x k =+，所以()222231||13434k k PF k k +=-=++，||AB =()2212134k k+=+，所以()()222231||134||412134k PF k AB k k ++==++．当0k =时，l 的方程为0y =，此时，||1||24,||1,||4PF AB a PF c AB =====．综上，||||PF AB 为定值． 21．已知函数2()ln ,(),x f x x a x g x x e a =+=∈R ．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当2a =时，方程()()g x mf x =有两个实根，求实数m 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）(,)e +∞.【分析】（1）先求出函数()f x 的定义域，然后对函数求导，再分0a ，0a <判断导数的正负，从而可得函数的单调区间；（2）方程()()g x mf x =有两个实根，转化为函数2()(2ln )x h x x e m x x =-+有两个零点，而22ln ()(2ln )(2ln )x x x h x x e m x x e m x x +=-+=-+，令2ln t x x =+，由（1）得t 是关于x 的单调递增函数，且t ∈R ，所以只需函数()t u t e mt =-有两个零点，令()0u t =，得1t tm e=，令()t t t e ϕ=，然后利用导数求出函数()t ϕ的单调区间和极值，画出函数图像，结合图像求解即可【详解】解：（1）由题意知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为()ln ,f x x a x a =+∈R ，所以()1a x a f x x x+'=+=． ①当0a 时，()0f x '>在区间(0,)+∞上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间． ②当0a <时，令()0f x '>，得x a >-，令()0f x '<，得0x a <<-，所以函数()f x 的单调递增区间为(,)a -+∞，单调递减区间为(0,)a -．（2）方程()()g x mf x =有两个实根，即关于x 的方程2e (2ln )0x x m x x -+=有两个实根，即函数2()(2ln )x h x x e m x x =-+有两个零点．又22ln ()(2ln )(2ln )x x x h x x e m x x e m x x +=-+=-+，令2ln t x x =+，由（1）得t 是关于x 的单调递增函数，且t ∈R ，所以只需函数()t u t e mt =-有两个零点．令()0u t =，得1tt m e =，令()t t t eϕ=，则1()t tt e ϕ-'=，易知当(,1)t ∈-∞时，()t ϕ单调递增，当(1,)t ∈+∞时，()t ϕ单调递减，所以当1t =时，()t ϕ取得最大值1(1)eϕ=．又因为当0t <时，()0t ϕ<，当0t >时，()0t ϕ>，(0)0ϕ=，则函数()ttt e ϕ=的图象如图所示，所以当110,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即(,)m e ∈+∞时，函数()h x 有两个零点．所以实数m 的取值范围为(,)e +∞【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数解决函数零点问题，解题的关键是方程()()g x mf x =有两个实根，转化为函数22ln ()(2ln )(2ln )x x x h x x e m x x e m x x +=-+=-+有两个零点，结合（1）转化为函数()t u t e mt =-有两个零点，再利用导数求解，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为12cos ,12sin x y αα=+⎧⎨=-⎩（α为参数）以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos (0,02,)42b πρθρθπ⎛⎫+=<∈ ⎪⎝⎭R ．（1）求曲线1C 的普通方程及曲线2C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 上存在点P 到曲线2C 的距离为1，求b 的取值范围．【答案】（1）22(1)(1)4x y -+-=，0x y b --=；（2）[-.【分析】（1）由12cos ,12sin x y αα=+⎧⎨=-⎩（α为参数），消去参数α即可；由cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin θθ-=，再将cos ,sin x y ρθρθ==代入求解；（2）设(12cos ,12sin )P αα+-，根据曲线1C 上存在点P 到直线0x y b --=的距离为1，1=有解，利用三角函数的性质求解.【详解】（1）由12cos ,12sin x y αα=+⎧⎨=-⎩（α为参数），消去参数α，得曲线1C 的普通方程为22(1)(1)4x y -+-=．由cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin θθ=，令cos ,sin x y ρθρθ==，得x y b -=，所以曲线2C 的直角坐标方程为0x y b --=．（2）设(12cos ,12sin )P αα+-，因为点P 到直线0x y b --=的距离为1， 1=，化简得4b πα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ ①．若关于α的方程①有解，则曲线1C 上存在点P 到曲线2C 的距离为1，所以4b πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭②或4b πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由②得232b ，由③得22b-，所以b 的取值范围为[-．23．已知函数()|2|||,,f x x a x b a b =-++∈R ．（1）当4,1a b ==时，求不等式()9f x 的解集；（2）当0ab >时，()f x 的最小值为1，证明：1292a b +．【答案】（1）[2,4]-；（2）证明见解析.【分析】（1）用零点分段法去绝对值后再解不等式即可；（2）根据三角不等式得到12ab +=，再用基本不等式即可证明. 【详解】（1）解：由题意得()|24||1|f x x x =-++，当2x 时，原不等式可化为339x -，解得4x ，故24x ；当12x -<时，原不等式可化为59x -，解得4x -，故12x -<；当1x <-时，原不等式可化为339x -+，解得2x -，故21x -<-．综上，不等式()9f x 的解集为[2,4]-．（2）证明：因为()|2|||2||||()12222aaa af x x a x b x x b x x b x x b b =-++=-++-++--+=+=，且0ab >，所以121255922222a a ba b a b a b b a b +=++=+++=，当且仅当23a b ==或23a b ==-时等号成立，故原不等式得证．。

(优辅资源)河北省衡水高三下学期二调数学试卷(理科) Word版含解析

2015-2016学年河北省衡水中学高三（下）二调数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={1，3，4，5}，集合B={x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B的子集个数为（）A．2 B．4 C．8 D．162．如图，复平面上的点Z1，Z2，Z3，Z4到原点的距离都相等，若复数z所对应的点为Z1，则复数z•i（i是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（）A．Z1B．Z2C．Z3D．Z43．下列四个函数，在x=0处取得极值的函数是（）①y=x3②y=x2+1③y=|x|④y=2x．A．①②B．②③C．③④D．①③4．已知变量x，y满足：：，则z=（）2x+y的最大值为（）A．B．2C．2 D．45．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．5 B．6 C．7 D．86．两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为（）A．45：13 B．3：1 C．80：27 D．2：17．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布，（σ＞0），若ξ在（80，120）内的概率为0.8，则落在（0，80）内的概率为（）A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.28．函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（1）+f（2）+f（3）+…+fA．0 B．3C．6D．﹣9．若（1+x）（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a1+a2+…+a7的值是（）A．﹣2 B．﹣3 C．125 D．﹣13110．已知圆C1：x2+2cx+y2=0，圆C2：x2﹣2cx+y2=0，c是椭圆C： +=1的半焦距，若圆C1，C2都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（）A．[，1） B．（0，）C．[，1）D．（0，]11．定义在R上的函数f（x）对任意x1、x2（x1≠x2）都有＜0，且函数y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2），则当1≤s≤4时，的取值范围是（）A．[﹣3，﹣） B．[﹣3，﹣]C．[﹣5，﹣）D．[﹣5，﹣]12．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为（）A．7πB．19πC．πD．π二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为．14．已知向量与的夹角为60°，且，若，且，则实数λ的值为．15．已知双曲线的半焦距为c，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线y2=4cx的准线被双曲线截得的弦长是（e为双曲线的离心率），则e的值为．16．用g（n）表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数；例如：9的因数有1，3，9，g （9）=9，10的因数有1，2，5，10，g（10）=5，那么g（1）+g（2）+g（3）+…+g=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在锐角△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a=，b=3，sinB+sinA=2．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积．18．某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a=b=3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n，比较m，n 的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a=1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）19．如图，在边长为4 的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE 折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图．（1）求证：A1E⊥平面BCDE；（2）求二面角E﹣A1B﹣C的余弦值；（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．20．如图，已知椭圆： +y2=1，点A，B是它的两个顶点，过原点且斜率为k的直线l 与线段AB相交于点D，且与椭圆相交于E、F两点．（Ⅰ）若=6，求k的值；（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．21．设函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；（3）若方程f（x）=c有两个不相等的实数根x1，x2，求证：．四.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB，并延长与直线PQ相交于点Q．（Ⅰ）求证：QC•BC=QC2﹣QA2；（Ⅱ）若AQ=6，AC=5．求弦AB的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系x Oy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P坐标为，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．（1）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|，求x的取值范围，使f（x）为常函数；（2）若x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，求m=x+y+z的最大值．2015-2016学年河北省衡水中学高三（下）二调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={1，3，4，5}，集合B={x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B的子集个数为（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】交集及其运算．【分析】求出集合B，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：B={x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}=B={x∈Z|﹣1＜x＜5}={0，1，2，3，4}，则A∩B={1，3，4}，故A∩B的子集个数为23=8个，故选：C2．如图，复平面上的点Z1，Z2，Z3，Z4到原点的距离都相等，若复数z所对应的点为Z1，则复数z•i（i是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（）A．Z1B．Z2C．Z3D．Z4【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】判断复数的几何意义，利用复数的乘法运算法则，推出结果即可．【解答】解：由题意可知复数z所对应的点为Z1，是虚部大于0的纯虚数，则复数z•i是负实数，对应点在x负半轴，即Z2，共轭复数是Z2．故选：B．3．下列四个函数，在x=0处取得极值的函数是（）①y=x3②y=x2+1③y=|x|④y=2x．A．①②B．②③C．③④D．①③【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】结合极值的定义，分别判断各个函数是否满足（﹣∞，0）与（0，+∞）有单调性的改变，若满足则正确，否则结论不正确．【解答】解：①y′=3x2≥0恒成立，所以函数在R上递增，无极值点②y′=2x，当x＞0时函数单调递增；当x＜0时函数单调递减且y′|x=0=0②符合③结合该函数图象可知在（0，+∞）递增，在（﹣∞，0]递减，③符合④y=2x在R上递增，无极值点故选B4．已知变量x，y满足：：，则z=（）2x+y的最大值为（）A．B．2C．2 D．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设m=2x+y，利用线性规划的知识求出m的最大值即可求出z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设m=2x+y得y=﹣2x+m，平移直线y=﹣2x+m，由图象可知当直线y=﹣2x+m经过点A时，直线y=﹣2x+m的截距最大，此时m最大．由，解得，即A（1，2），代入目标函数m=2x+y得z=2×1+2=4．即目标函数z=（）2x+y的最大值为z=（）4=4．故选：D．5．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据判断条件依次写出每次循环得到的n，i的值，当n=475时满足条件n＞123，退出循环，输出i的值为6．【解答】解：模拟执行程序框图，可得n=12，i=1满足条件n是3的倍数，n=8，i=2，不满足条件n＞123，不满足条件n是3的倍数，n=31，i=3，不满足条件n＞123，不满足条件n是3的倍数，n=123，i=4，不满足条件n＞123，满足条件n是3的倍数，n=119，i=5，不满足条件n＞123，不满足条件n是3的倍数，n=475，i=6，满足条件n＞123，退出循环，输出i的值为6．故选：B．6．两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为（）A．45：13 B．3：1 C．80：27 D．2：1【考点】等差数列的性质．【分析】直接把两等差数列第7项之比化为前13项和的比得答案．【解答】解：设两个等差数列分别为{a n}，{b n}，它们的前n项和分别为S n，T n，则=，∴．故选：B．7．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布，（σ＞0），若ξ在（80，120）内的概率为0.8，则落在（0，80）内的概率为（）A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.2【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据ξ服从正态分布N，得到曲线的对称轴是直线x=100，利用ξ在（80，120）内取值的概率为0.8，即可求得结论．【解答】解：∵ξ服从正态分布N∴曲线的对称轴是直线x=100，∵ξ在（80，120）内取值的概率为0.8，∴ξ在（0，100）内取值的概率为0.5，∴ξ在（0，80）内取值的概率为0.5﹣0.4=0.1．故选：B．8．函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（1）+f（2）+f（3）+…+fA．0 B．3C．6D．﹣【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由已知中的函数的图象，我们易求出函数的解析式，进而分析出函数的性质，根据函数是一个周期函数，我们可以将f（1）+f（2）+…+f=8=，故解得：ω=，可得函数解析式为：f（x）=2sin x，所以，有：f（1）=f（2）=2f（3）=f（4）=0f（5）=﹣f（6）=﹣2f（7）=﹣f（8）=0f（9）=…观察规律可知函数f（x）的值以8为周期，且f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）=0，由于2015=251*8+7，故可得：f（1）+f（2）+f（3）+…+f+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f （6）+f（7）=0．故选：A．9．若（1+x）（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a1+a2+…+a7的值是（）A．﹣2 B．﹣3 C．125 D．﹣131【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理可知，对已知关系式中的x赋值0与1即可求得a1+a2+…+a8的值．【解答】解：∵（1+x）（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，∴a8=•（﹣2）7=﹣128．令x=0得：（1+0）（1﹣0）7=a0，即a0=1；令x=1得：（1+1）（1﹣2）7=a0+a1+a2+…+a7+a8=﹣2，∴a1+a2+…+a7=﹣2﹣a0﹣a8=﹣2﹣1+128=125．故选C．10．已知圆C1：x2+2cx+y2=0，圆C2：x2﹣2cx+y2=0，c是椭圆C： +=1的半焦距，若圆C1，C2都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（）A．[，1） B．（0，）C．[，1）D．（0，]【考点】椭圆的简单性质．【分析】首先把圆的方程转化成标准形式，进一步利用椭圆与圆的关系，求出圆心到椭圆的右顶点的距离与圆的半径的关系式，最后利用e的范围求出结果．【解答】解：已知圆C1：x2+2cx+y2=0，转化成标准形式为：（x+c）2+y2=c2，圆C2：x2﹣2cx+y2=0，转化成标准形式为：（x﹣c）2+y2=c2，圆C1，C2都在椭圆内，所以：（c，0）到（a，0）的距离大于c则：|c﹣a|＞c解得：a＞2c由于：e=所以：e，由于椭圆的离心率e∈（0，1）则：0＜e＜．故选：B．11．定义在R上的函数f（x）对任意x1、x2（x1≠x2）都有＜0，且函数y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2），则当1≤s≤4时，的取值范围是（）A．[﹣3，﹣） B．[﹣3，﹣]C．[﹣5，﹣）D．[﹣5，﹣]【考点】函数单调性的性质．【分析】根据已知条件便可得到f（x）在R上是减函数，且是奇函数，所以由不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2）便得到，s2﹣2s≥t2﹣2t，将其整理成（s﹣t）（s+t﹣2）≥0，画出不等式组所表示的平面区域．设，所以得到t=，通过图形求关于s的一次函数的斜率范围即可得到z的范围，从而求出的取值范围．【解答】解：由已知条件知f（x）在R上单调递减，且关于原点对称；∴由f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2）得：s2﹣2s≥t2﹣2t；∴（s﹣t）（s+t﹣2）≥0；以s为横坐标，t为纵坐标建立平面直角坐标系；不等式组所表示的平面区域，如图所示：即△ABC及其内部，C（4，﹣2）；设，整理成：；；∴，解得：；∴的取值范围是[]．故选：D．12．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为（）A．7πB．19πC．πD．π【考点】球的体积和表面积．【分析】三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可．【解答】解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱中，底面△BDC，BD=CD=1，BC=，∴∠BDC=120°，∴△BDC的外接圆的半径为=1由题意可得：球心到底面的距离为，∴球的半径为r==．外接球的表面积为：4πr2=7π故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】首先根据三视图把平面图转换成立体图形，进一步利用几何体的体积公式求出结果．【解答】解：根据三视图得知：该几何体是以底面边长为2的正方形，高为的四棱锥，所以：V==故答案为：14．已知向量与的夹角为60°，且，若，且，则实数λ的值为1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积以及向量垂直的定义和关系建立方程关系即可得到结论．【解答】解：∵向量与的夹角为60°，且，∴向量•=||||cos60°=2×2×=2，∵，且，∴•=（λ+）•=0，即λ•+•=0，则λ•（﹣）+•（﹣）=0，即λ•﹣λ2+2﹣•=0，则2λ﹣4λ+4﹣2=0，2λ=2，解得λ=1，故答案是：1．15．已知双曲线的半焦距为c，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线y2=4cx的准线被双曲线截得的弦长是（e为双曲线的离心率），则e的值为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线，根据准线和双曲线相交的弦长关系建立方程，得出a和c的关系，从而求出离心率的值．【解答】解：∵抛物线y2=4cx的准线：x=﹣c，它正好经过双曲线C：﹣=1（a＞b＞0）的左焦点，∴当x=﹣c时，﹣=1，即=﹣1==，即y=±，即准线被双曲线C截得的弦长为：，∵抛物线y2=4cx的准线被双曲线截得的弦长是，∴=be2，即：c2=3ab，∴2c4=9a2（c2﹣a2），∴2e4﹣9e2+9=0∴e=或，又过焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，∴渐近线y=x的斜率＜1，即b＜c，则b2＜c2，即c2﹣a2＜a2，则c2＜2a2，c＜a，则e=＜∴e=．故答案为：16．用g（n）表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数；例如：9的因数有1，3，9，g（9）=9，10的因数有1，2，5，10，g（10）=5，那么g（1）+g（2）+g（3）+…+g=．【考点】数列的求和．【分析】本题解决问题的关键是利用累加法和信息题型的应用，即利用出题的意图求数列的和．【解答】解：根据g（n）的定义易知当n为偶数时，g（n）=g（n），且若n为奇数则g（n）=n，令f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2n﹣1）则f（n+1）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2n+1﹣1）=1+3+…+（2n+1﹣1）+g（2）+g（4）+…+g（2n+1﹣2）=+g（1）+g（2）+…+g（2n﹣1）=4n+f（n）即f（n+1）﹣f（n）=4n分别取n为1，2，…，n并累加得f（n+1）﹣f（1）=4+42+…+4n=（4n﹣1）又f（1）=g（1）=1，所以f（n+1）=+1所以f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2n﹣1）=（4n﹣1﹣1）+1令n=2015得g（1）+g（2）+g（3）+…+g=．故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在锐角△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a=，b=3，sinB+sinA=2．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）锐角△ABC 中，由条件利用正弦定理求得sinB=3sinA，再根据sinB+sinA=2，求得sinA的值，可得角A 的值．（Ⅱ）锐角△ABC 中，由条件利用余弦定理求得c的值，再根据△ABC的面积为bc•sinA，计算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）锐角△ABC 中，由条件利用正弦定理可得=，∴sinB=3sinA，再根据sinB+sinA=2，求得sinA=，∴角A=．（Ⅱ）锐角△ABC 中，由条件利用余弦定理可得a2=7=c2+9﹣6c•cos，解得c=1 或c=2．当c=1时，cosB==﹣＜0，故B为钝角，这与已知△ABC为锐角三角形相矛盾，故不满足条件．当c=2时，△ABC 的面积为bc•sinA=•3•2•=．18．某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a=b=3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n，比较m，n 的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a=1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图，可得甲、乙组数据的平均数，甲型号电视机的“星级卖场”数量为m=5，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n=5，可得结论；（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a=1，b=0时，s2达到最小值．【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图，可得甲组数据的平均数为=24，乙组数据的平均数为=26.5，甲型号电视机的“星级卖场”数量为m=5，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n=5，所以m=n；（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴Eξ=0×+1×+2×=1．（Ⅲ）若a=1，b=0时，s2达到最小值．19．如图，在边长为4 的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE 折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图．（1）求证：A1E⊥平面BCDE；（2）求二面角E﹣A1B﹣C的余弦值；（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明DC⊥平面A1DE，可得DC⊥A1E，利用A1E⊥DE，DC∩DE=D，可得A1E⊥平面BCDE；（2）以EB，ED，EA1分别为x，y，z轴，建立坐标系，求出平面A1BE、平面A1BC的一个法向量，利用向量的夹角公式求二面角E﹣A1B﹣C的余弦值；（3）设P（t，0，0）（0≤t≤2），求出平面A1DP的法向量，利用平面A1DP⊥平面A1BC，可得结论．【解答】（1）证明：∵DE⊥BE，BE∥DC，∴DE⊥DC，∵A1D⊥DC，A1D∩DE=D，∴DC⊥平面A1DE，∴DC⊥A1E，∵A 1E ⊥DE ，DC ∩DE=D ， ∴A 1E ⊥平面BCDE ；（2）解：由题意，以EB ，ED ，EA 1分别为x ，y ，z 轴，建立坐标系，则DE=2，A 1（0，0，2），B （2，0，0），C （4，2，0），D （0，2，0），∴=（﹣2，0，2），=（2，2，0），平面A 1BE 的一个法向量为=（0，1，0），设平面A 1BC 的一个法向量为=（x ，y ，z ），则，∴=（﹣，1，﹣），∴cos ＜，＞=，∴二面角E ﹣A 1B ﹣C 的余弦值为﹣；（3）解：在线段EB 上不存在一点P ，使平面A 1DP ⊥平面A 1BC ，设P （t ，0，0）（0≤t ≤2），则=（t ，0，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面A 1DP 的法向量为=（a ，b ，c ），则，∴=（2，，t ），∵平面A 1DP ⊥平面A 1BC ，∴﹣2+﹣t=0，∴t=﹣3， ∵0≤t ≤2，∴在线段EB 上不存在一点P ，使平面A 1DP ⊥平面A 1BC ．20．如图，已知椭圆：+y 2=1，点A ，B 是它的两个顶点，过原点且斜率为k 的直线l与线段AB 相交于点D ，且与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若=6，求k 的值；（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的方程可得A ，B 的坐标，设直线AB ，EF 的方程分别为x +2y=2，y=kx ，D （x 0，kx 0），E （x 1，kx 1），F （x 2，kx 2），且x 1，x 2满足方程（1+4k 2）x 2=4，进而求得x 2的表达式，进而根据=6，求得x 0的表达式，由D 在AB 上知x 0+2kx 0=2，进而求得x 0的另一个表达式，两个表达式相等求得k ．（Ⅱ）由题设可知|BO |和|AO |的值，设y 1=kx 1，y 2=kx 2，进而可表示出四边形AEBF 的面积，进而根据基本不等式的性质求得最大值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆：+y 2=1，A （2，0），B （0，1），直线AB ，EF 的方程分别为x +2y=2，y=kx （k ＞0）．如图，设D （x 0，kx 0），E （x 1，kx 1），F （x 2，kx 2），其中x 1＜x 2，且x 1，x 2满足方程（1+4k 2）x 2=4，故x 2=﹣x 1=．①由=6，知x 0﹣x 1=6（x 2﹣x 0），得x 0=（6x 2+x 1）=x 2=，由D 在AB 上知x 0+2kx 0=2，得x 0=，所以=，化简得24k 2﹣25k +6=0，解得k=或k=．（Ⅱ）由题设，|BO |=1，|AO |=2．由（Ⅰ）知，E （x 1，kx 1），F （x 2，kx 2），不妨设y 1=kx 1，y 2=kx 2，由①得x 2＞0，根据E 与F 关于原点对称可知y 2=﹣y 1＞0，故四边形AEBF 的面积为S=S △OBE +S △OBF +S △OAE +S △OAF=|OB |•（﹣x 1）+|OB |•x 2+|OA |•y 2+|OA |•（﹣y 1）=|OB |（x 2﹣x 1）+|OA |（y 2﹣y 1）=x 2+2y 2==≤=2，当x2=2y2时，上式取等号．所以S的最大值为2．21．设函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；（3）若方程f（x）=c有两个不相等的实数根x1，x2，求证：．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；不等式的证明．【分析】（1）对a分类讨论，利用导数与函数单调性的关系即可得出；（2）由（1）可得，若函数f（x）有两个零点，则a＞0，且f（x）的最小值，即．可化为h（a）=．利用单调性判断其零点所处的最小区间即可得出；（3））由x1，x2是方程f（x）=c得两个不等实数根，由（1）可知：a＞0．不妨设0＜x1＜x2．则，．两式相减得+alnx2=0，化为a=．由，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0．故只要证明即可，即证明，令换元，再利用导数即可证明．【解答】解：（1）x∈（0，+∞）．==．当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞0上单调递增，即f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．当a＞0时，由f′（x）＞0得；由f′（x）＜0，解得．所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由（1）可得，若函数f（x）有两个零点，则a＞0，且f（x）的最小值，即．∵a＞0，∴．令h（a）=a+﹣4，可知h（a）在（0，+∞）上为增函数，且h（2）=﹣2，h（3）==，所以存在零点h（a0）=0，a0∈（2，3），当a＞a0时，h（a）＞0；当0＜a＜a0时，h（a）＜0．所以满足条件的最小正整数a=3．又当a=3时，f（3）=3（2﹣ln3）＞0，f（1）=0，∴a=3时，f（x）由两个零点．综上所述，满足条件的最小正整数a的值为3．（3）∵x1，x2是方程f（x）=c得两个不等实数根，由（1）可知：a＞0．不妨设0＜x1＜x2．则，．两式相减得+alnx2=0，化为a=．∵，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0．故只要证明即可，即证明x1+x2＞，即证明，设，令g（t）=lnt﹣，则=．∵1＞t＞0，∴g′（t）＞0．∴g（t）在（0，1）上是增函数，又在t=1处连续且g（1）=0，∴当t∈（0，1）时，g（t）＜0总成立．故命题得证．四.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB，并延长与直线PQ相交于点Q．（Ⅰ）求证：QC•BC=QC2﹣QA2；（Ⅱ）若AQ=6，AC=5．求弦AB的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由已知得∠BAC=∠CBA，从而AC=BC=5，由此利用切割线定理能证明QC•BC=QC2﹣QA2．（2）由已知求出QC=9，由弦切角定理得∠QAB=∠ACQ，从而△QAB∽△QCA，由此能求出AB的长．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣1：几何证明选讲 1证明：（1）∵PQ与⊙O相切于点A，∴∠PAC=∠CBA，∵∠PAC=∠BAC，∴∠BAC=∠CBA，∴AC=BC=5，由切割线定理得：QA2=QB•QC=（QC﹣BC）•QC，∴QC•BC=QC2﹣QA2．（2）由AC=BC=5，AQ=6 及（1），知QC=9，∵直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∴∠QAB=∠ACQ，又∠Q=∠Q，∴△QAB∽△QCA，∴=，∴AB=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系x Oy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P坐标为，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）先利用两方程相加，消去参数t即可得到l的普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，利用参数的几何意义，求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分又由得ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣）2=5；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得（3﹣t）2+（t）2=5，即t2﹣3t+4=0设t1，t2是上述方程的两实数根，所以t1+t2=3又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分．[选修4-5：不等式选讲]24．（1）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|，求x的取值范围，使f（x）为常函数；（2）若x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，求m=x+y+z的最大值．【考点】柯西不等式的几何意义；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）去绝对值号可得f（x）=|x﹣1|+|x+3|=，从而确定使f （x）为常函数时x的取值范围；（2）由柯西不等式可得（x2+y2+z2）（++）≥（x+y+z）2；从而解得．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣1|+|x+3|=，故当x∈[﹣3，1]时，f（x）为常数函数；（2）由柯西不等式可得，（x2+y2+z2）（++）≥（x+y+z）2；即（x+y+z）2≤9；故x+y+z≤3；故m=x+y+z的最大值为3．2016年10月18日。

2019学年河北省衡水中学高三(下)2月月考数学试卷(理科)(含解析)

2018-2019学年河北省衡水中学高三（下）2月月考数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A＝{x|x＜3}，B＝{x|≤2}，则A∩B＝（）A．{x|x＜3}B．{x|0≤x＜3}C．{x|0＜x＜3}D．{x|x≤4}2．（5分）已知i为虚数单位，若a为实数，且a≠0，则＝（）A．a+i B．a﹣i C．i D．﹣i3．（5分）如图，网格纸上每个小正方形的边长为10cm，粗实线画出的是某蛋糕店制作的一款生日蛋糕的三视图，则该蛋糕的体积为（）A．3π×103cm3B．7π×103cm3C．9π×103cm3D．10π×103cm3 4．（5分）已知α∈（﹣），且cos2α＝2sin2α﹣1，则tanα＝（）A．B．C．﹣2D．25．（5分）在（x2﹣）5的展开式中，xy3的系数为（）A．20B．10C．﹣10D．﹣206．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）摆线最早出现于公元1501年出版的C•鲍威尔的一本书中．摆线是这样定义的：一个圆沿一条直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线，圆滚动一周，动圆上定点描画出摆线的第一拱；再向前滚动一周，动圆上定点描画出第二拱；继续滚动，可得第三拱、第四拱、……设圆的半径为r，圆滚动的圈数为c，摆线的长度为l，执行如图所示程序框图，若输入的r＝2，c＝2，则输出摆线的长度为（）A．12πB．16πC．32D．968．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，b＝2，c＝，C＝60°，则sin A的值为（）A．B．C．D．9．（5分）某车站在某一时刻有9位旅客出站，假设每位旅客选择共享单车继续出行的概率都为，且各位旅客之间互不影响．设在这一时刻9位旅客中恰好有k人骑行共享单车的概率为P（X＝k），则（）A．P（X＝4）＝P（X＝5）B．P（X＝4）＞P（X＝5）C．P（X＝5）＜P（X＝6）D．P（X＝5）＝P（X＝6）10．（5分）在边长为8的等边△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点，现将△ADE沿DE 折起到△A′DE的位置，使得A'B＝2，则直线A'B与底面BCDE所成角的正弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为抛物线C上异于顶点O的一点，点B 的坐标为（a，b）（其中a，b满足b2﹣4a＜0）当|AB|+|AF|最小时，△ABF恰好正三角形，则a＝（）A．1B．C．D．212．（5分）已知函数f（x）＝若f（x）≤|x﹣a|对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，3]B．[2，4]C．[1，2]D．[﹣1，1]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量＝（﹣2，1），＝（3，2），若（+）⊥，则实数λ＝．14．（5分）函数f（x）＝x2﹣ln|x|的图象在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为．15．（5分）将函数f（x）＝2cos2（πx+）﹣1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移1个单位长度，最后得到的图象对应的函数设为g（x），则g（x）在区间[﹣1，1]上的所有零点的和为．16．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与C交于A、B（其中A在x轴上方）两点，且满足＝λ，若C的离心率为，直线l的倾斜角为120°，则实数λ的值是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知等比数列{a n}是递减数列，a1a4＝3，a2+a3＝4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝2n﹣2a n+1+n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，在多面体ABCDFE中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，四边形ABEF是直角梯形，∠F AB＝90°，AF∥BE，AF＝AB＝2BE＝2．（1）证明：CE∥平面ADF．（2）若平面ABCD⊥平面ABEF，H为DF的中点，求平面ACH与平面ABEF所成锐二面角的余弦值．19．（12分）为了解高三学生的“理科综合”成绩是否与性别有关，某校课外学习兴趣小组在本地区高三年级理科班中随机抽取男、女学生各100名，然后对这200名学生在一次联合模拟考试中的“理科综合”成绩进行统计规定：分数不小于240分为“优秀”小于240分为“非优秀”．（1）根据题意，填写下面的2×2列联表，并根据列联表判断是否有90%以上的把握认为“理科综合”成绩是否优秀与性别有关．（2）用分层抽样的方法从成绩优秀的学生中随机抽取12名学生，然后再从这12名学生中抽取3名参加某高校举办的自主招生考试，设抽到的3名学生中女生的人数为X，求X 的分布列及数学期望．附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，|AB|＝．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l过点（1，0）且倾斜角为钝角，P为弦AB的中点，当∠OPB最大时，求直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝x2e ax﹣1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＞e时，求证：f（x）＞lnx．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数），点P的坐标为（﹣2，0）．（1）当cosα＝时，设直线l与曲线C交于A，B两点，求|P A|•|PB|的值；（2）若点Q在曲线C上运动，点M在线段PQ上运动，且＝2，求动点M的轨迹方程．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x|．（1）在给出的平面直角坐标系中作出函数f（x）的图象，并解不等式f（x）≥2；（2）若不等式f（x）+|x﹣1|≥5﹣k对任意的x∈R恒成立，求证：k+≥5．2018-2019学年河北省衡水中学高三（下）2月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A＝{x|x＜3}，B＝{x|≤2}，则A∩B＝（）A．{x|x＜3}B．{x|0≤x＜3}C．{x|0＜x＜3}D．{x|x≤4}【分析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：B＝{x|0≤x≤4}；∴A∩B＝{x|0≤x＜3}．故选：B．【点评】考查描述法的定义，不等式的性质，以及交集的运算．2．（5分）已知i为虚数单位，若a为实数，且a≠0，则＝（）A．a+i B．a﹣i C．i D．﹣i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：＝．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（5分）如图，网格纸上每个小正方形的边长为10cm，粗实线画出的是某蛋糕店制作的一款生日蛋糕的三视图，则该蛋糕的体积为（）A．3π×103cm3B．7π×103cm3C．9π×103cm3D．10π×103cm3【分析】直接利用三视图的转换求出几何体，进一步利用体积的公式的应用求出结果．【解答】解：根据几何体得三视图：转换为几何体为：下面为一个半径为2，高为2的圆柱，上面为一个半径为1，高为1的小圆柱，故：V＝π•202•20+π•102•10＝9π×103cm3故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．4．（5分）已知α∈（﹣），且cos2α＝2sin2α﹣1，则tanα＝（）A．B．C．﹣2D．2【分析】由已知利用二倍角公式可得cos2α＝2sinαcosα，又cosα≠0，利用同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：∵α∈（﹣），且cos2α＝2sin2α﹣1，可得：2cos2α﹣1＝4sinαcosα﹣1，∴cos2α＝2sinαcosα，∵cosα≠0，∴cosα＝2sinα，∴tanα＝＝．故选：B．【点评】本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．5．（5分）在（x2﹣）5的展开式中，xy3的系数为（）A．20B．10C．﹣10D．﹣20【分析】在二项展开式的通项公式中，令y的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中xy3的系数．【解答】解：在（x2﹣）5的展开式中，通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•x10﹣3r•y r，令r ＝3，可得xy3的系数为﹣10，故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．6．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性，以及函数值的符号，进行排除即可．【解答】解：f（x）＝＝（e x+e﹣x），则f（﹣x）＝﹣（e x+e﹣x）＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，当x＞0时，f（x）＞0，排除B，故选：A．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性以及函数值的符号的对应性利用排除法是解决本题的关键．7．（5分）摆线最早出现于公元1501年出版的C•鲍威尔的一本书中．摆线是这样定义的：一个圆沿一条直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线，圆滚动一周，动圆上定点描画出摆线的第一拱；再向前滚动一周，动圆上定点描画出第二拱；继续滚动，可得第三拱、第四拱、……设圆的半径为r，圆滚动的圈数为c，摆线的长度为l，执行如图所示程序框图，若输入的r＝2，c＝2，则输出摆线的长度为（）A．12πB．16πC．32D．96【分析】根据程序框图进行模拟运算即可．【解答】解：若输入的r＝2，c＝2，则1≤2是，则l＝0+16，n＝2，2≤2是，则l＝16+16＝32，n＝3，3≤2否，输出l＝32，故选：C．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．比较基础．8．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，b＝2，c＝，C＝60°，则sin A的值为（）A．B．C．D．【分析】由已知利用余弦定理可求a的值，根据正弦定理可求sin A的值．【解答】解：∵b＝2，c＝，C＝60°，∴由余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得：7＝a2+4﹣2×，可得：a2﹣2a﹣3＝0，∴解得：a＝3，或﹣1（舍去），∴由正弦定理可得：sin A＝＝＝．故选：D．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．9．（5分）某车站在某一时刻有9位旅客出站，假设每位旅客选择共享单车继续出行的概率都为，且各位旅客之间互不影响．设在这一时刻9位旅客中恰好有k人骑行共享单车的概率为P（X＝k），则（）A．P（X＝4）＝P（X＝5）B．P（X＝4）＞P（X＝5）C．P（X＝5）＜P（X＝6）D．P（X＝5）＝P（X＝6）【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出结果．【解答】解：某车站在某一时刻有9位旅客出站，假设每位旅客选择共享单车继续出行的概率都为，且各位旅客之间互不影响．设在这一时刻9位旅客中恰好有k人骑行共享单车的概率为P（X＝k），则P（X＝4）＝，P（X＝5）＝＝，P（X＝6）＝＝，∴P（X＝4）＝P（X＝5）＞P（X＝6），故选：A．【点评】本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．（5分）在边长为8的等边△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点，现将△ADE沿DE 折起到△A′DE的位置，使得A'B＝2，则直线A'B与底面BCDE所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】取DE的中点M，可通过勾股定理证明A′M⊥BM，进而得出A′M⊥平面BCDE，在△A′BM中，计算sin∠A′BM即可．【解答】解：分别取DE，BC的中点M，N，连接A′M，MN，MB，则A′M＝MN＝2，BN＝4，故MB＝2，∴BM2+A′M2＝A′B2，∴A′M⊥BM，又A′M⊥DE，BM∩DE＝M，故A′M⊥平面BCDE，∴∠A′BM为直线A′B与平面BCDE所成的角，∴sin∠A′BM＝＝＝．故选：B．【点评】本题考查了线面垂直的判定，直线与平面所成角的计算，属于中档题．11．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为抛物线C上异于顶点O的一点，点B 的坐标为（a，b）（其中a，b满足b2﹣4a＜0）当|AB|+|AF|最小时，△ABF恰好正三角形，则a＝（）A．1B．C．D．2【分析】由题意可得B在抛物线的开口之内，设A在准线x＝﹣1上的射影为M，运用抛物线的定义和三点共线取得最小值，可得A（，b），再由正三角形的性质可得a，b 的方程，解方程可得a的值．【解答】解：点B的坐标为（a，b）（其中a，b满足b2﹣4a＜0），可得B在抛物线的开口之内，设A在准线x＝﹣1上的射影为M，由抛物线的定义可得|AF|＝|AM|，当M，A，B三点共线时，|AB|+|AF|取得最小值，即有A（，b），F（1，0），△ABF恰好正三角形，可得a+＝2，b＝（a﹣），解得a＝，故选：C．【点评】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及正三角形的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）＝若f（x）≤|x﹣a|对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，3]B．[2，4]C．[1，2]D．[﹣1，1]【分析】作出y＝f（x）和y＝|x﹣a|的图象，由题意可得不等式等价为y＝f（x）的图象在y＝|x﹣a|的图象的下方，通过图象观察可得所求范围．【解答】解：作出函数f（x）＝的图象，。

2021年高三第二次月考数学(理)试题 Word版含答案

2021年高三第二次月考数学（理）试题 Word 版含答案一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 把答案填在答题卡．．．中对应题号的框框内.） 1．已知集合集合则等于（） A 、 B 、 C 、 D 、答案：B2．若均是非空集合，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件答案：B3．已知，且，则的值为 ( B )A ．－255B.255C ．±255D.524．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱面，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的侧视图面积为( ) A. B. C. D.4 答案：A5．已知向量满足：，与的夹角为，则= （）A B C D 答案：A6．设，满足约束条件，则目标函数的最小值为，A ．B ．C ．D ．答案：C7．设定义如下面数表，满足，且对任意自然数均有，则的值为（ 1 2 3 4 54 13 5 2A ．4B ．1C ．3D ．2答案：B8．如图，长沙河西先导区某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开辟出三块形状大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道。

已知三块绿化区的总面积为800平方米，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为（）平方米。

A． B. C. D.答案：D答案：C10．设定义在R上的偶函数满足，是的导函数。

当时，的值域是；当且时，．则方程根的个数为A．12 B．1 6 C．18 D．20答案：C二．填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

（一）选做题（请考生在第11、12、13题中任选两题作答，如果全做，则按前两题给分）11．（几何证明选讲）如图，切于点，割线经过圆心，弦于点，已知的半径为，，则_________. 答案.参数），直线的极坐标方程为，它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为___________．【答案】13．（不等式选讲）已知集合，则集合_______.【答案】（二）必做题（14~16题）14．设（其中e为自然对数的底数），则的值为。

2019届河北省衡水中学高三下学期2月月考数学(理)试题

绝密★启用前2019届河北省衡水中学高三下学期2月月考数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合{|3},{2}A x x B x =<=，则A B =I （）A ．{|3}x x <B ．{|03}x x ≤<C ．{|03}x x <<D ．{}|4x x ≤答案：B可求出集合B ，然后进行交集的运算即可．解：∵{|04}B x x =≤≤， ∴{|03}A B x x ⋂=≤<．故选：B ．点评：考查描述法的定义，不等式的性质，以及交集的运算． 2．已知i 为虚数单位，若a 为实数，且0a ≠，则1aia i-=+（） A ．a i + B ．a i -C ．iD ．i -答案：D直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵221(1)()(1)()()1ai ai a i a ii a i a i a i a ----+===-++-+. 故选：D ．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．如图，网格纸上每个小正方形的边长为10cm ，粗实线画出的是某蛋糕店制作的一款生日蛋糕的三视图，则该蛋糕的体积为（）A ．33310cm π⨯B ．33710cm π⨯C ．33910cm π⨯D ．331010cm π⨯答案：C直接利用三视图的转换求出几何体，进一步利用体积的公式的应用求出结果．解：根据几何体得三视图，转换为几何体为：下面为一个半径为2，高为2的圆柱，上面为一个半径为1，高为1的小圆柱，故：223320*********V cm πππ=⋅⨯+⋅⨯=⨯ 故选：C ．点评：本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 4．已知,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且cos22sin 21αα=-，则tan α=（） A ．12-B ．12C ．2-D ．2答案：B由已知利用二倍角公式可得2cos 2sin cos ααα=，又cos 0α≠，利用同角三角函数基本关系式即可求解．解：,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭Q ，且cos22sin 21αα=-，可得：22cos 14sin cos 1ααα-=-2cos 2sin cos ααα=，cos 0α≠Qcos 2sin αα∴=，sin 1tan cos 2ααα==．故选：B ．点评：本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．5．在52y x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3xy 的系数为（） A ．20 B ．10C ．10-D ．20-答案：C在二项展开式的通项公式中，令y 的幂指数等于3，求出r 的值，即可求得展开式中3xy 的系数．解：在52y x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，通项公式为10315(1)r r r rr T C xy -+=-，令3r =，可得3xy 的系数为10-. 故选：C ．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．6．函数21()x xe f x xe+=的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．答案：A判断函数的奇偶性，以及函数值的符号，进行排除即可．解：∵211()()x x xxe f x e e xe x-+==+， ∴211()()()x x xx e f x e e f x xe x---+-==-+=--，则函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除,C D ，当0x >时，()0f x >，排除B . 故选：A ．点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性以及函数值的符号的对应性利用排除法是解决本题的关键．7．摆线最早出现于公元1501年出版的C •鲍威尔的一本书中．摆线是这样定义的：一个圆沿一条直线缓缓地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线，圆滚动一周，动圆上定点描画出摆线的第一拱；再向前滚动一周，动圆上定点描画出第二拱；继续滚动，可得第三拱、第四拱、……设圆的半径为r ，圆滚动的圈数为c ，摆线的长度为l ，执行如图所示程序框图，若输入的r ＝2，c ＝2，则输出摆线的长度为（）A ．12πB ．16πC ．32D ．96答案：C根据程序框图进行模拟运算即可．解：若输入的2,2r c ==，则12≤是，则016,2l n =+=，22≤是，则161632,3l n =+==，32≤否，输出32l =.故选：C ．点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．比较基础．8．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，2,60b c C ︒===，则sin A 的值为（）A ．7B ．7C ．14D ．14答案：D由已知利用余弦定理可求a 的值，根据正弦定理可求sin A 的值．解：2,60b c C ︒===Q ，∴由余弦定理2222cos c a b ab C =+-可得：2230a a --= ∴解得：3a =，或1-（舍去），∴由正弦定理可得：sin sin a C A c ⋅==．故选：D ．点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．9．某车站在某一时刻有9位旅客出站，假设每位旅客选择共享单车继续出行的概率都为12，且各位旅客之间互不影响．设在这一时刻9位旅客中恰好有k 人骑行共享单车的概率为()p X k =，则（） A ．(4)(5)p X p X ===B ．(4)(5)p X p X =>=C ．(5)(6)p X p X =<=D ．(5)(6)p X p X ===答案：A利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式能求出结果．解：设在这一时刻9位旅客中恰好有k 人骑行共享单车的概率为(=)p X k ，则9445499111(=4)()()222p X C C ⎛⎫== ⎪⎝⎭，9554499111(=5)()()222p X C C ⎛⎫== ⎪⎝⎭，9663399111(=6)()()222p X C C ⎛⎫== ⎪⎝⎭， (4)(5)(6)p X p X p X ∴===>=.故选：A ．点评：本题考查概率的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．在边长为8的等边ABC ∆中，,D E 分别为,AC AB 的中点，现将ADE ∆沿DE 折起到'A DE ∆的位置，使得'210A B =，则直线'A B 与底面BCDE 所成角的正弦值为（）A 10B 30C ．70 D 21 答案：B取DE 的中点M ，可通过勾股定理证明A M BM '⊥，进而得出A M '⊥平面BCDE ,在A BM '∆中，计算sin A BM '∠即可．解：分别取,DE BC 的中点,M N 连接,,A M MN MB '，则23,4A M MN BN '===，故27MB =， ∴222MB A M A B ''+=，∴A M BM '⊥又A M DE '⊥，BM DE M ⋂=，故A M '⊥平面BCDE ， ∴A BM '∠为直线A B '与平面BCDE 所成的角， ∴30sin 10A BM '∠=．故选：B ．点评：本题考查了线面垂直的判定，直线与平面所成角的计算，属于中档题．11．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，A 为抛物线C 上异于顶点O 的一点，点B 的坐标为(),a b （其中,a b 满足240b ac -<）当AB AF +最小时，ABF ∆恰好正三角形，则a =（） A ．1 B ．43C ．53D ．2答案：C由题意可得B 在抛物线的开口之内，设A 在准线1x =-上的射影为M ，运用抛物线的定义和三点共线取得最小值，可得2(,)4b A b ,再由正三角形的性质可得,a b 的方程，解方程可得a 的值．解：点B 的坐标为(,)a b （其中,a b 满足240b a -<），可得B 在抛物线的开口之内，设A 在准线1x =-上的射影为M ，由抛物线的定义可得AF AM =,当,,M A B三点共线时，AB AF +取得最小值，即有2(,)4b A b ，(1,0)F ，ABF ∆恰好正三角形，可得224b a +=，23()4b b a =-，解得53a =，故选：C ．点评：本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及正三角形的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12．已知函数ln(2)2()0,2ln(2),2x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪-<⎩若()||f x x a ≤-对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[1,3] B ．[2,4]C ．[1,2]D ．[1,1]-答案：A作出()y f x =和||y x a =-的图象，由题意可得不等式等价为()y f x =的图象在||y x a =-图象的下方，通过图象观察可得所求范围．解：作出函数()y f x =的图象，以及函数||y x a =-|的图象，由||y x a =-的图象关于直线x a =对称，()||f x x a ≤-对任意的x ∈R 恒成立，即为()y f x =的图象在||y x a =-的图象的下方，由图象可得13a ≤≤时，()y f x =的图象在||y x a =-的图象的下方，故选：A ．点评：本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用数形结合思想方法，以及图象平移特点，属于中档题．二、填空题13．已知向量(2,1),(3,2)a b =-=r r，若()a b a λ+⊥r r r ，则实数λ=_____．答案：54根据题意，由向量加法的坐标公式可得(23,12)a b λλλ+=-++r r，又由()a b a λ+⊥r r r 可得()(2)(23)(12)0a b a λλλ+⋅=-⨯-+++=r r r，解得λ的值，即可得答案．解：根据题意，向量(2,1),(3,2)a b =-=r r，则(23,12)a b λλλ+=-++r r，若()a b a λ+⊥r r r ，则()(2)(23)(12)0a b a λλλ+⋅=-⨯-+++=r r r，解得54λ=；故答案为：54．点评：本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积的计算公式，属于基础题．14．函数2()ln ||f x x x =-的图象在点()1,(1)f --处的切线方程为_____．答案：0x y +=求得0x <时，()f x 的解析式和导数，可得切线的斜率，以及切点，由点斜式方程可得切线方程．解：当0x <时，函数2()ln()f x x x =--的导数为1()2f x x x'=-，可得切线的斜率为211-+=-，切点为()1,1-，则切线的方程为1(+1y x -=-），即为0x y +=．故答案为：0x y +=．点评：本题考查导数的运用：求切线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 15．将函数2()2cos ()13f x x ππ=+-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移1个单位长度，最后得到的图象对应的函数设为()g x ，则()g x 在区间[1,1]-上的所有零点的和为_____．答案：23根据条件得到()g x 的解析式，然后令()0g x =，求出()g x 在[1,1]-上的零点即可．解：∵22()2cos ()1cos(2)33f x x x ππππ=+-=+， ∴变换后得2()cos()cos()33g x x x ππππ=+=--, 令()0g x =，则32x k ππππ-=+，所以56x k =+，k Z ∈，所以()g x 在[1,1]-上的零点为51,66-，所以512663-=，故答案为：23．点评：本题考查倍角公式、三角函数的图象变换和函数零点的求法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属基础题．16．已知双曲线2222:1(0,0) xyC a ba b-=>>的左、右焦点分别为12,F F，过2F的直线l与C交于,A B(其中A在x轴上方）两点，且满足22AF F Bλ=u u u u r u u u u r,若C的离心率为32，直线l的倾斜角为120︒，则实数λ的值是_____．答案：17根据双曲线的第二定义和直角三角形的性质，即可求出．解：如图，设准线l为2axc=，作11,AA l BB l⊥⊥，1AM BB⊥，设11,AA x BB y==,由双曲线的第二定义可得2233,22x yAF BF==，则MB y x=-，在Rt AMB∆中，∵60MBA︒∠=°，∴2AB MB=，∴332()22x y y x+=-，∴7y x=，312372xyλ∴==.故答案为：17点评：本题考查双曲线的定义和简单性质，考查运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．三、解答题17．已知等比数列{}n a是递减数列，14233,4a a a a=+=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设212n n n b a n-+=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．答案：（1）313n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）n T 921[1](1)232nn n ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭（1）运用等比数列的性质和通项公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；（2）求得22122()3n n n n b a n n --+=+=+，运用数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．解：（1）等比数列{}n a 是递减数列，14233,4a a a a =+=，即有233a a =，解得231,3a a ==，（舍去），或233,1a a ==，可得公比23111,3333n n n q a --⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（2）22122()3n n n n b a n n --+=+=+，则前n 项和2321233221[1](1)2233213nn nn T n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+++⋅⋅⋅+=++ ⎪⎝⎭-921[1](1)232nn n ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭. 点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，化简运算能力，属于基础题．18．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，3ABC π∠=，四边形ABEF是直角梯形，2FAB π∠=，AF BE P ，22AF AB BE ===.（Ⅰ）证明：CE P 平面ADF .（Ⅱ）若平面ABCD ⊥平面ABEF ，H 为DF 的中点，求平面ACH 与平面ABEF 所成锐二面角的余弦值. 答案：（I ）见解析；（II ）7（Ⅰ）取AF 的中点M ，连接DM ，EM ，结合已知条件，得四边形ABEM 为平行四边形，进而得DCEM 为平行四边形，由线面平行的判定定理得CE ∥平面ADF ．（Ⅱ）取CD 中点N ，以A 为原点，AN 为x 轴，AB 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ACH 与平面ABEF 所成锐二面角的余弦值．解：（Ⅰ）取AF 的中点M ，连接DM ，EM ，如图所示，因为2AF BE =，四边形ABEF 是直角梯形，得AM BE =且AM BE P ，所以四边形ABEM 为平行四边形，即ME AB =且ME AB P .又因为四边形ABCD 是菱形，所以AB CD P ，进而CD ME P ，得DCEM 为平行四边形，即有DM CE P ，又DM ⊂平面ADF ，CE ⊄平面ADF ，所以CE P 平面ADF .（Ⅱ）取CD 的中点N ，在菱形ABCD 中，ABC 60∠=︒，可得AN CD ⊥.因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =，AF ⊂平面ABEF ，AF AB ⊥，所以AF ⊥平面ABCD .以A 为坐标原点，AN 为x 轴，AB 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示. 故()A 0,0,0，)C3,1,0，)D3,1,0-，()F 0,0,2，31H ,12⎫-⎪⎪⎝⎭，31,,12AH ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v ，()3,1,0AC u u u v =.设平面ACH 的一个法向量为(),,n x y z =v，则有00n AH n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即 3102230x y z x y ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩令x 1=可得()1,3,3n =--v. 易知平面ABEF 的一个法向量为()1,0,0m =v. 设平面ACH 与平面ABEF 所成的锐二面角为θ，则7cos θ1133m n m n ⋅===⨯++v vv v ,即所求二面角的余弦值为7. 点评：本题考查线面平行的判定定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．19．为了解高三学生的“理科综合”成绩是否与性别有关，某校课外学习兴趣小组在本地区高三年级理科班中随机抽取男、女学生各100名，然后对这200名学生在一次联合模拟考试中的“理科综合”成绩进行统计规定：分数不小于240分为“优秀”小于240分为“非优秀”．（1）根据题意，填写下面的2×2列联表，并根据列联表判断是否有90%以上的把握认为“理科综合”成绩是否优秀与性别有关．性别优秀非优秀总计男生 35 女生 75 总计（2）用分层抽样的方法从成绩优秀的学生中随机抽取12名学生，然后再从这12名学生中抽取3名参加某高校举办的自主招生考试，设抽到的3名学生中女生的人数为X，求X的分布列及数学期望．附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．答案：（1）见解析，没有0090以上的把握认为“理科综合”成绩是否优秀与性别有关；（2）见解析，5 4（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）用分层抽样法求出抽取的男、女生人数，知X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，求出数学期望值．解：（1）根据题意，填写2×2列联表如下；计算22200(35752565)2.38110010060140K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，且2.381 2.706<，所以没有0090以上的把握认为“理科综合”成绩是否优秀与性别有关；（2）用分层抽样的方法从成绩优秀的学生中随机抽取12名学生，男生有7人，女生有5人，从这12名学生中抽取3人，抽到的3人中女生的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3；计算373127(0)44C P X C ===，125731221(1)44C C P X C ⋅===， 215731214(2)44C C P X C ⋅===， 353122(3)44C P X C ===，所以X 的分布列为：数学期望为7211425()0123444444444E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 点评：本题考查独立性检验的应用问题、离散型随机变量的应用问题，是基础题．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，直线l 和椭圆C 交于A ，B 两点，当直线l 过椭圆C 的焦点，且与x 轴垂直时，23AB =. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点(1,0)且倾斜角为钝角，P 为弦AB 的中点，当OPB ∠最大时，求直线l 的方程.答案：（1）2219x y +=；（2）310x y +-= （1）由题意列方程组可得29a =，21b =，据此可得椭圆方程；（2）设()1,0M ，直线l 的方程为：1(0)x my m =+<，联立直线方程与椭圆方程可得229,99m P m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，结合向量知识可得cos OPB ∠=45≥-，由等号成立的条件可得直线方程. 解：（1）由题意：222222119c a c a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩，∴29a =，21b =，∴椭圆C 的标准方程为：2219x y +=；（2）设()1,0M ，直线l 的方程为：1(0)x my m =+<，联立方程22991x y x my ⎧+=⎨=+⎩可得：()229280m y my ++-=，∴229,99m P m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，取OP 的方向向量为()9,m OP m λ==-u u u v v ，取MP 的方向向量为(),1n MP m μ==u u u v v，∴,m n cos OPB cos m n m n v vv v v v ⋅∠==== 45≥-，当且仅当2281m m=，即：3m =-时取等号，此时OPB ∠最大，直线l 的方程为：310x y +-=. 点评：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 21．已知函数2()1axf x x e =-．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当13a e >时，求证：()ln f x x >．答案：（1）见解析;（2）见解析（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出，（2）()ln f x x >，只要证明即3ln 1ax e x x x+>，分别根据构造函数3ln 1(),()axx e g x h x x x+==，利用导数求出函数的最值，即可证明．解：（1）∵2()1axf x x e =-∴2()2(+2ax ax axf x xe ax e x ax e '=+=），①当0a =时，2()1f x x =-，则函数()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，令()0f x '=，解得20,x x a ==- ②当0a <时，则当0x <或2x a >-时，()0f x '<，当20x a<<-时，()0f x '>，∴函数()f x 在(),0-∞，2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，③当0a >时，则当0x >或2x a <-时，()0f x '>，当20x a-<<时，()0f x '<, ∴函数()f x 在2,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()0,∞+上单调递增，在2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，（2）证明：由()ln f x x >，可得2ln 1ax x e x >+，即3ln 1ax e x x x +>，设3ln 1()x g x x+=， ∴23443ln 23()(ln ln )x g x x e x x-+'=-=--，当230x e-<<时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当23x e->时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， ∴23max1()3g x g e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭，设(),0ax e h x x x =>∴2(1)1(),3ax e ax h x a e x -'=>，令()0h x '=，解得1x a=，当1x a>时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当10x a<<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， ∴2min 1()3h x ae e =>综上所述()ln f x x >．点评：本题考查导数和函数的单调性和最值的关系，考查运算求解能力，转化与化归能力，分类讨论的能力，属于难题．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），点P 的坐标为()2,0-．（1）当12cos 13α=时，设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求PA PB ⋅的值；（2）若点Q 在曲线C 上运动，点M 在线段PQ 上运动，且2PM MQ =u u u u r u u u u r，求动点M 的轨迹方程．答案：（1）3（2）2224()39x y ++=（1）化曲线C 的参数方程为普通方程，求出12cos 13α=时直线l 的参数方程，代入曲线C 的普通方程，化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系求PA PB ⋅的值；（2）设(cos ,sin )Q θθ，(,)M x y ，由向量等式得322cos 32sin x y θθ+=⎧⎨=⎩，消去θ，得点M的轨迹方程．解：（1）由cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，得曲线C 的普通方程为221x y +=．当12cos 13α=时，直线l 的参数方程为12213513t x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入为221x y +=，得21348390t t -+=． ∴PA PB ⋅123t t ==.（2）设(cos ,sin )Q θθ，(,)M x y则由2PM MQ =u u u u r u u u u r，得(2,)2(cos ,sin )x y x y θθ+=--，即323cos 32sin x y θθ+=⎧⎨=⎩，消去θ，得2224()39x y ++=，∴点M 的轨迹方程为2224()39x y ++=．点评：本题考查参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程中参数t 的几何意义及其应用，着重考查了运算与求解能力，是中档题． 23．已知函数()|1||2|f x x x =-+．（1）在给出的平面直角坐标系中作出函数()f x 的图象，并解不等式()2f x ≥；（2）若不等式()|1|5f x x k +-≥-对任意的x ∈R 恒成立，求证：65k k+≥．答案：（1）1{|1}2x x x ≤-≥或；（2）见解析（1）对()f x 去绝对值后画出图象，然后根据图象可得不等式()2f x ≥的解集；（2）不等式()|1|5f x x k +-≥-对任意的x ∈R 恒成立，min 5[()|1|]k f x x -≤+-, 解出()|1|f x x +-的最小值，然后用作差法证明65k k+≥. 解：（1）21,1()121,0121,0x x f x x x x x x x ->⎧⎪=-+=+≤≤⎨⎪-+<⎩在面直角坐标系中作出函数()f x 的图象如下：∵当12x =-时，()2f x =，当1x =时，()2f x =， ∴根据图象可得解不等式()2f x ≥，的解集为1{|1}2x x x ≤-≥或；（2）()|1||22||2||222|2f x x x x x x +-=-+≥--=，当且仅当（(22)(2)0,01x x x -≤≤≤时取等号，∴()|1|f x x +-的最小值为2，∵不等式()|1|5f x x k +-≥-对任意的x ∈R 恒成立，∴只需min 5[()|1|]k f x x -≤+-2=，∴3k ≤， ∵2656(2)(3)50k k k k k k k k-+--+-==≥， ∴65k k+≥. 点评：本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式恒成立问题，考查转化思想和数形结合思想，属中档题．。

河北省衡水中学高三数学下学期二调考试试题理新人教A版

数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知R 是实数集，2{|1},{|11}M x N y y x x=<==-+，则=M C N R ( )A ．)2,1(B ．[]2,0C.∅ D ．[]2,12.在复平面内，复数i i4332-+-（i 是虚数单位）所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.31cos10sin170-=（） A ．4 B ．2 C ．2- D ．4-4.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（）①利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；③调查剧院中观众观后感时，从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法；④已知随机变量X 服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X>4)等于0.158 7 ⑤某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人。

A ．2B ．3C ．4D ．55.已知等比数列{an}的前n 项和为Sn ，若S 2n =4（a1+a3+a5+…+a2n -1）, a1a2a3=27,则a6=（）A.27B.81C. 243D.7296.已知某几何体的三视图如右图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（） A. B. C. D.7. 程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是（）A ．2B ．13C ．3-D ． 12-设锐角ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、8.b 、c ，且 1=a ，A B 2=, 则b 的取值范围为（） A.()3,2 B. ()3,1 C.()2,2 D. ()2,09. 在ABC △所在的平面内，点P P 、0满足=B P 041AB ，AB λ=PB ，且对于任意实数λ，恒有≥⋅PC PB C P B P 00⋅，则（）A ．︒=∠90ABCB ．︒=∠90AC BC ．B C AC =D ．AC AB =10.在平面直角坐标系中，记抛物线2y x x =-与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机抛掷一点P ，若点P 落在区域A 内的概率为827，则k 的值为（）A.13B.23C.12D.3411.如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，设内层椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>> ，若直线AC 与BD 的斜率之积为14- ，则椭圆的离心率为（）A. 1 2B.22 C.3D.3412.已知函数1()()2(),f x f x f xx=∈满足当[1,3]，()lnf x x=，若在区间1[,3]3内，函数()()g x f x ax=-与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（）A.1(0,)e B.1(0,)2e C.ln31[,)3e D.ln31[,)32e第Ⅱ卷（非选择题共90分）填空题（每题5分，共20分。

河北省衡水中学高三下学期二调考试数学(理)试题2

河北省衡水中学2021 -2021学年度下学期高三年级二调考试理科试卷第一卷〔共60分〕一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}1,3,4,5A =，集合{}2|450B x Z x x =∈--<，那么AB 的子集个数为〔〕A ．2B ．4C ．8D ．162.如，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的间隔都相等，假设复数z 所对应的点为1Z ，那么复数z i ⋅〔i 是虚数单位〕的共轭复数所对应的点为〔〕 A ．1Z B ．2Z C ．3Z D ．4Z3.以下四个函数中，在0x =处获得极值的函数是〔〕 ①3y x =；②21y x =+；③y x =；④2x y =A ．①②B ．①③C ．③④D ．②③5.执行如下的程序框，输出的结果是〔〕 A ．5 B ．6 C ．7 D ．86.两个等差数列的前n 项和之比为51021n n +-，那么它们的第7项之比为〔〕A ．2B ．3C ．4513D ．70277.在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布()()21000，σσ>，假设ξ在〔80,120〕内的概率为0.8，那么落在〔0,80〕内的概率为〔〕A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．8.函数()()sin 0,0f x A x A ωω=>>的局部象如下，()()()()1232015f f f f +++⋅⋅⋅+的值为〔〕A ．0B ．32C ．62D ．2-9.假设()()7280128112x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，那么127a a a ++⋅⋅⋅+的值是〔〕 A ．-2 B ．-3 C ．125 D ．-13110.圆221:20C x cx y ++=，圆222:20C x cx y -+=，椭圆2222:1x y C a b+=〔0a b >>，焦距为2c 〕，假设圆12,C C 都在椭圆内，那么椭圆离心率的范围是〔〕 A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．102，⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．202，⎛⎤⎥ ⎝⎦11.定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的象关于〔1,0〕成中心对称，假设,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，那么当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是〔〕 A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 12.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的间隔为3，此时四面体ABCD 外接球外表积为〔〕A ．7πB ．19πC ．776π D ．19196π 第二卷〔共90分〕二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13.一个几何体的三视如下，该几何体体积为 .14.向量AB 与AC 的夹角为60°，且||||2AB AC ==，假设AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，那么实数λ的值为 .15.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的半焦距为c ，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，假设抛物线24y cx =的准线被双曲线截得的弦长是2223be 〔e 为双曲线的离心率〕，那么e 的值为 .16.用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，()99,10g =的因数有1,2,5,10，()105g =，那么()()()()201512321g g g g +++⋅⋅⋅+-= . 三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17.(本小题总分值12分)在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，7,3,7sin sin 23a b B A ==+=.(1)求角A 的大小； (2)求ABC ∆的面积. 18. (本小题总分值12分)某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量〔单位：台〕，并根据这10个卖场的销售情况，得到如下的茎叶.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场〞.(1)当3a b ==时，记甲型号电视机的“星级卖场〞数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场〞数量为n ，比拟m ，n 的大小关系；(2)在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场〞的个数，求X 的分布列和数学期望；(3)假设1a =，记乙型号电视机销售量的方差为2s ，根据茎叶推断b 为何值时，2s 到达最小值.(只需写出结论)19. (本小题总分值12分)如1，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，DE AB ⊥于点E ，将ADE∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D DC ⊥，如2. (1)求证：1A E ⊥平面BCDE ； (2)求二面角1E A B C --的余弦值；(3)判断段EB 上是否存在一点P ，使平面1A DP ⊥平面1A BC ？假设存在，求出EPPB的值；假设不存在，说明理由.20. (本小题总分值12分)如，椭圆：2214x y +=，点,A B 是它的两个顶点，过原点且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交于点D ，且与椭圆相交于,E F 两点. (1)假设6ED DF =，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值.21. (本小题总分值12分)设函数()()22ln f x x a x a x =---. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)假设函数()f x 有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值； (3)假设方程()()f x c c R =∈有两个不相等的实数根12,x x ，比拟12'2x x f +⎛⎫⎪⎝⎭与0的大小.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，假如多做，那么按所做的第一题记分.22. (本小题总分值10分)选修4-1：几何证明选讲如，直线PQ 与⊙O 相切于点,A AB 是⊙O 的弦，PAB ∠的平分线AC 交⊙O 于点C ，连接CB ，并延长与直线PQ 相交于Q 点.(1)求证：22QC BC QC QA ⋅=-； (2)假设6,5AQ AC ==，求弦AB 的长.23. (本小题总分值10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为232252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数〕，在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C 的方程为25sin ρθ=. (1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)假设点P 坐标()3,5，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求|||PB |PA +的值. 24. (本小题总分值10分)选修4-5：不等式选讲(1)函数()13f x x x =-++，求x 的取值范围，使()f x 为常函数； (2)假设222,,z R,x 1x y y z ∈++=，求225m x y z =++的最大值.参考答案及解析一、选择题1. C2.B3.D4.D5.B6.B7.B8.A9.C 10.B 11.D 12.A 二、填空题13. 433 14.1 15. 6216. 2015413-三、解答题17.解：(1)在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b A B =，得73sin sin A B=，即7sin 3sin B A =.(3分) 又因为7sin sin 23B A +=，所以3sin 2A =. (5分)当1c =时，因为2227cos 0214a c b B ac +-==-<，所以角B 为钝角，不符合题意，舍去.当2c =时，因为2227cos 0214a cb B ac +-==>，又,,b c b a B C B A >>⇒>>，所以ABC ∆为锐角三角形，符合题意.所以ABC ∆的面积11333sin 322222S bc A ==⨯⨯⨯=. (12分) 18.解：(1)根据茎叶，得2数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=.(1分)乙组数据的平均数为1018202223313233334326.510+++++++++=.(2分) 由茎叶，知甲型号电视剧的“星级卖场〞的个数5m =，乙型号电视剧的“星级卖场〞的个数5n =，所以m n =. (4分)(2)由题意，知X 的所有可能取值为0,1,2. (5分)且()025*******C C P X C ===，()()11025555221010521299，C C C C P X P X C C ======，〔8分〕所以X 的分布列为X 0 1 2P所以()2520121999+=E X =⨯+⨯⨯. 〔10分〕〔3〕当0b =时，2s 到达最小值. (12分)：〔1〕∵DE BE ⊥，//BE DC ，∴DE DC ⊥，又∵1A D DC ⊥，1A D DE D =，∴DC ⊥平面1A DE .∴1DC A E ⊥，又∵1A E DE ⊥，DCDE D =，∴1A E ⊥平面BCDE ；(4分)〔2〕∵1A E ⊥平面BCDE ，DE BE ⊥，∴以EB ，ED ，1EA 分别为x 轴，y 轴和z 轴，如建立空间直角坐标系，易知23DE =，那么1(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(4,23,0)C ，(0,23,0)D ，∴1(2,0,2)BA =-，(2,23,0)BC =，平面1A BE 的一个法向量(0,1,0)n =，设平面1A BC 的法向量(,,)m x y z =，由10BA m ⋅=，0BC m ⋅=，得2202230x z x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1y =，得(3,1,3)m =--，∴7cos ,7||||m n m n m n ⋅<>==⋅，由，得二面角1E A B C --为钝二面角，∴二面角1E A B C --的余弦值为77-；〔8分〕〔3〕假设段EB 上存在一点P ，使得平面1A DP ⊥平面1ABC ，设(,0,0)(02)P t t ≤≤，那么1(,0,2)A P t =-，1(0,23,2)A D =-，设平面1A DP 的法向量为111(,,)p x y z =，由10A D p ⋅=，10A P p ⋅=，得1111232020y z tx z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令12x =，得(2,,)3t p t =，∵平面1A DP ⊥平面1A BC ，∴0m p ⋅=，即23303tt -+=，解得3t =-， ∵02t ≤≤，∴ 段EB 上不存在点P ，使得平面1A DP ⊥平面1ABC ．(12分 ) 29592920.解：(1)依题设得椭圆的顶点()()2,0,0,1A B ，那么直线AB 的方程为220x y +-=.(1分) 设直线EF 的方程为()0y kx k =>.设()()()001122,,,,，D x kx E x kx F x kx ，其中12x x <.联立直线l 与椭圆的方程2214x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得方程()22144k x +=.(3分)故212214x x k=-=+，由6ED DF =知，()02206x x x x -=-，得()021221510677714x x x x k=+==+，由点D 段AB 上，知00220x kx +-=，得0212+x k =，所以221012714=++k k ，化简，得2242560k k -+=，解得23k =或38k =.〔6分〕 (2)根据点到直线的间隔公式，知点,A B 到线段EF 的间隔分别为122221,1414k h h kk==++，又2241||14k EF k +=+，所以四边形AEBF 的面积为()()212222121144||221414k k kS EF h h k k+++=+==++ 2442121221144k+kk k==+≤++，当且仅当14k k =，即12k =时，取等号.所以四边形AEBF 面积的最大值为22.(12分)：(1) ()()()22221'220-（）（)(）a x a x a x a x f x x a x x x x---+=---==>．当0a ≤时 ()'0f x >函数()f x 在()0,+∞上单调递增，所以函数()f x 的单调增区间为()0,+∞，无单调减区间．当0a >时，由()'0f x >，得2a x >；由()'0f x <，得02a x <<. 所以函数()f x 的单调增区间为,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.〔4分〕(2)由(1)得，假设函数()f x 有两个零点，那么0a >，且()f x 的最小值02a f ⎛⎫<⎪⎝⎭，即244ln02a a a a -+-<.因为0a >，所以4ln 402aa +->. 令()4ln42ah a a =+-，显然()h a 在()0,+∞上为增函数，且 ()()381220,34ln1ln 10216h h =-<=-=->，所以存在()()002,3,0a h a ∈=. 当0a a >时，()0h a >；当00a a <<时，()0h a <.所以满足条件的最小正整数3a =. 又当3a =时，()()()332ln30,10f f =->=，所以3a =时，()f x 有两个零点．综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3.(3)证明：因为12,x x 是方程()f x c =的两个不等实根，由(1)知0a >.不妨设120x x <<，那么()()22111222-2ln ,-2ln ,x a x a x c x a x a x c --=--= 两式相减得()()221112222ln 2ln 0x a x a x x a x a x ----+-+=，即()2211221122112222ln ln ln ln x x x x ax a x ax a x a x x x x +--=+--=+--．所以221122112222ln ln ＋－－＋－－x x x x a x x x x =.因为'02a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，故只要证122x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋> 2a即可，即证明22112211221222ln ln ＋－－＋－－x x x x x x x x x x +>，即证明()()22221212121122ln ln 22x x x x x x x x x x -++-<+--，即证明11221222ln－＋x x x x x x <.设t ＝()1201xt t x =<<．令()22ln 1－＋t g t t t =-，那么()()()222114'11（）t g t t t t t -=-=++.因为0t >，所以()'0g t ≥，当且仅当1t =时，()'0g t =，所以()g t 在()0,+∞上是增函数．又()10g =，所以当()()0,1,0t g t ∈<总成立．所以原题得证．〔12分〕22. 解：(1)∵PQ 与⊙O 相切于点A ,∴由切割线定理得()2QA QB QC QC BC QC =⋅=-⋅，∴22QC BC QC QA ⋅=-.(5分)(2)∵PQ 与⊙O 相切于点A ,∴PAC CBA ∠=∠,∵,PAC BAC BAC CBA ∠=∠∴∠=∠,∴5AC BC ==.由6AQ =及(1)知，9QC =.由QAB QCA ∠=∠，知QAB QCA ∆=∆，∴AB QACA QC =，∴103AB =.(10分) 23. 解：(1)由232252x ty t⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得直线l 的普通方程为350x y ---=.(2分)又由25sin ρθ=得圆C 的直角坐标方程为22250x y y +-=，即()2255x y +-=.(5分) 〔2〕把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22223522t t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23240t t -+=，由于()2324420∆=-⨯->，故可设12,t t 是上述方程的两实数根，所以1212324t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，又直线l 的过点()3,5，,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，所以12|||PB||||t |32PA t +=+=.(10分)24.解：(1) ()22,3134,3122,1x xf x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩.(4分)那么当[]3,1x ∈-时，()f x 为常函数.(5分) 〔2〕由柯西不等式得()()()()()2222222x 225225y z x y z ⎡⎤++++≥++⎢⎥⎣⎦，所以32253x y z -≤++≤，当且仅当222x y z ==，即225,,333x y z ===时，取最大值，因此m 的最大值为3.〔10分〕。

2021年高三下学期第二次月考数学(理)试题含答案

2021年高三下学期第二次月考数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分．共50分． 1.已知全集{}{}(),1,3U U R A x x B x x C A B ==≥=<⋂，则等于 A.B. C. D.2.i 是虚数单位，则= A.B.C.D.3. 将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是（A ）（B ）（C ）（D ）4. 用反证法证明命题：“已知为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（A ）方程没有实根（B ）方程至多有一个实根（C ）方程至多有两个实根（D ）方程恰好有两个实根5.设是空间三条直线，是两个平面，则下列命题为真命题的是A.若B.若C.若D.若6. 设函数f (x )＝｜x +1｜+｜x -a ｜的图象关于直线x ＝1对称，则a 的值为(A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1 7.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的结果是 A. B. C. D.8.某工厂对一批产品进行了抽样检测.有图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96， 98），[98，100), [100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是(A ）90 (B ）75 (C ） 60 (D ）45 9. 设双曲线96 98 100 102 104 106 0.1500.125 0.100 0.075 0.050克频率/组距第8题图的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为(A ） (B ） 5 (C ） (D ） 10. 设二元一次不等式组所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是（A ）[1,3] (B)[2,] (C)[2,9] (D)[, 9]第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 设二项式的展开式中的系数为A ，常数项为B ，若B=4A ，则 ▲ . 12. 设函数f (x )=ax 2+c (a ≠0)，若，0≤x 0≤1，则x 0的值为 . 13. 在中，已知，当时，的面积为 .14. 如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是_________. 15.已知函数，现有四个命题： ①； ②；③对于恒成立；④不存在三个点()()()()()()111222333,,,,,P x f x P x f x p x f x ，使得为等边三角形. 其中真命题的序号为_________.（请将所有真命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）在中，内角A,B,C 的对边为a,b,c .已知. （I ）求角C 的值；（II ）若，且的面积为，求. 17.（本小题满分12分）xx 年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：福娃名称贝贝晶晶欢欢迎迎妮妮数量11123（Ⅰ）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；（Ⅱ）若完整地选取奥运会吉祥物记10分；若选出的5只中仅差一种记8分；差两种记6分；以此类推．设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列及数学期望． 18.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，,E ，F 分别是BC , PC 的中点.（Ⅰ）证明：AE⊥PD;（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E—AF—C的余弦值.19.（本小题满分12分）已知数列是公差不为零的等差数列，其前n项和为.满足，且恰为等比数列的前三项.(I)求数列，的通项公式(II)设是数列的前n项和.是否存在，使得等式成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.20.（本小题满分13分）已知函数.（I）求函数的单调区间；（II）若函数在区间上不是单调函数，求实数t的取值范围；（III）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.21.（本小题满分14分）设椭圆E: （a,b>0）过M（2，），N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

河北省衡水中学高三数学下学期二调考试试题理(2021年整理)

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河北省衡水中学2017届高三下学期二调考试理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{|2}A x x =<，{|21,}x B y y x A ==-∈，则A B =（） A ．(,3)-∞ B ．[2,3) C ．(,2)-∞ D ．(1,2)-2.已知复数1z i =-（i 为虚数单位)，则22z z-的共轭复数的虚部是（ )A ．13i -B ．13i +C ．13i -+D ．13i --3。

有一长、宽分别为50m 、30m 的矩形游泳池，一名工作人员在池边巡逻，某时刻出现在池边任一位置可能性相同，一人在池中心(对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出152m ，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（）A ．34B ．38C ．316πD ．12332π+4。

宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生"的问题：松长五尺,竹长五尺，松日自半，竹日自倍,松竹何日而长等,下图是源于其思想的一个程序框图,若输入的,a b 分别为5、2，则输出的n =（）A ． 2B ． 3C 。

4D ．55.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12(2)n n S a n =+≥，且12a =，则20S =（） A ．1921- B ．2122- C 。

2021年河北省衡水市武强县中学高三数学理月考试卷含解析

2021年河北省衡水市武强县中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合M={y|y=﹣x2+4}，N={x|y=log2x}，则M∩N=（）A．[4，+∞）B．（﹣∞，4] C．（0，4）D．（0，4]参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合M和N，由此利用交集性质求出M∩N．【解答】解：∵集合M={y|y=﹣x2+4}={y|y≤4}，N={x|y=log2x}={x|x＞0}，∴M∩N={x|0＜x≤4}=（0，4]．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2. 已知函数（其中）的部分图象如右图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（）（A）向右平移个长度单位（B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位（D）向左平移个长度单位参考答案：A 由图象知，所以。

又所以。

此时函数为。

，即，所以，即，解得，所以。

又，所以直线将向右平移个单位就能得到函数的图象，选A.3. 阅读如图所示的程序框图，则输出结果的值为A. B. C.D.参考答案：D4. 在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则三角形外接圆的半径为（）A．B．2 C．2D．4参考答案：B【考点】正弦定理．【分析】由条件求得 c=2=b，可得B的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R的值．【解答】解：△ABC中，∵b=2，A=120°，三角形的面积S==bc?sinA=c?，∴c=2=b，故B==30°．再由正弦定理可得=2R==4，∴三角形外接圆的半径R=2，故选：B．5. 设底面为正三角形的直棱柱体积为V,那么表面积最小时,底面边长为 ( )Ａ.Ｂ. Ｃ. Ｄ. 2参考答案：C6. 抛物线y2=4x的焦点为F，经过F的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，与准线l交于点B，且AK⊥l于K，如果|AF|=|BF|，那么△AKF的面积是（）A．4 B．3C．4D．8参考答案：C【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，运用抛物线的定义和条件可得△AKF为正三角形，F到l的距离为d=2，结合中位线定理，可得|AK|=4，根据正三角形的面积公式可得到答案．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，由抛物线的定义可得|AF|=|AK|，由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可得|FK|=|AF|，即有△AKF为正三角形，由F到l的距离为d=2，则|AK|=4，△AKF的面积是×16=4．故选：C．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质和直线和抛物线的综合问题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的热点要重视．7. 设集合，B={－2,－1,0,1,2,3}，则A∩B=（）A. {1}B. {1,2}C. {－2,－1,0,1}D. {－2}参考答案：B【分析】首先求得集合A，然后进行交集运算即可.【详解】求解对数不等式可得，结合题意和交集的定义可知：.故选：B.【点睛】本题主要考查对数不等式的解法，交集的运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8. 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。