【金版学案】高一数学人教版必修1习题训练：2.3.1 幂函数的图像、性质与应用 Word版含解析[ 高考]

基础梳理

1．形如y ＝x α(α∈R)的函数叫做________，其中α为常数，只研究α为有理数的情形．

例如：函数y ＝x 2，y ＝x 4的幂函数，而函数y ＝2x 2不是幂函数．

2．幂函数y ＝x ，y ＝x 1

2，y ＝x 2，y ＝x －1，y ＝x 3的图象，如下图所示．

3．幂函数的性质．

(1)过定点：y ＝x α恒过定点______．当α＞0时，所有幂函数都过定点____________．

(2)单调性：当α＞0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调____；当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调____．

(3)奇偶性：当α为整数且为奇数时，y ＝x α为______；当α为整数且为偶数时，y ＝x α为______；当x 为分数时可将y ＝x α化为根式再判断．

基础梳理

1．幂函数 3.(1)(1，1) (0，0)和(1，1) (2)递增 递减

(3)奇函数 偶函数

,思考应用

1．我们知道，形如y ＝x α(其中幂指数α是常数)的函数叫幂函数，而形如y ＝a x (其中a 是大于0且不为1的常数)的函数叫指数函数，

那么指数函数与幂函数的区别在哪里？

解析：这两个函数都具有幂指数m n 的形式，但幂函数y ＝x α中，自变量在底数的位置，而指数函数y ＝a x 中，自变量在幂指数的位置，这两个函数的自变量所在的位置不同．

2．从幂函数的形式：y ＝x α来看，它的表达式中只含有一个常数字母，确定一个待定系数通常只要一个条件．若已知幂函数y ＝x α过某个定点，你能确定这个幂函数吗？

解析：一般来说， 由幂函数y ＝x α所经过的定点，可以确定这个幂函数．但若只告诉幂函数过原点，那我们只能判断幂指数α>0；若只告诉幂函数过点(1，1)，那告诉的这个点没有任何作用，因为所有的幂函数都过点(1，1)；若只告诉幂函数过点(－1，1), 那我们只能判断这个幂指数的图象关于y 轴对称，这个幂指数是偶函数．除这三个点之外，由幂函数所经过的定点，可以确定这个幂函数的表达式．

3．如何根据幂函数的图象确定幂指数的大小？

解析：作直线x ＝t (t >1)，它与各幂函数图象相交，交点在第一象限，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 自测自评

1．下列函数中，定义域是R 的是( )

A ．y ＝x －2

B ．y ＝x 1

2

C ．y ＝x 2

D ．y ＝x －1

2．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )

A ．幂函数

B ．对数函数

C ．指数函数

D ．正比例函数

3．已知幂函数f (x )的图象经过点(2，2)，则f (4)＝____

自测自评

1．解析：函数y ＝x －2，y ＝x －1的定义域为{x |x ∈R ，x ≠0}，函

数y ＝x 12的定义域为{x |x ≥0}，函数y ＝x 2的定义域为R.故选C.

答案：C

2．解析：本题考查幂的运算性质f (x )f (y )＝a x a y ＝a x ＋y ＝f (x ＋y ). 答案：C

3．解析：设f (x )＝x n ，则2＝2n ，解得n ＝12

.∴f (x )＝x 12f (4)＝2.

答案：2

►基础达标

1．下列所给出的函数中，属于幂函数的是( )

A ．y ＝－x 3

B ．y ＝x －3

C ．y ＝2x 3

D ．y ＝x 3－1

1．解析：由幂函数定义知选B.

答案：B

2．已知函数：①y ＝x x ，②y ＝－x 2，③y ＝x 0，④y ＝2x ，⑤y ＝x 2＋1，⑥y ＝x ，其中幂函数的个数是( )

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

2．解析：由幂函数定义知③⑥是幂函数．故选A.

答案：A

3．函数y ＝x －2在区间⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12，2上的最大值是( )

3．解析：∵y ＝x －2在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12，2上是单调递减函数， ∴当x ＝12

时，y 有最大值4. 答案：C

A.14 B ．－14

C ．4

D ．－4 4．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：

①2.33434 ②0.3165____0.3565

③(2)－32____(3)－32； ④1.1－12____0.9－12

. 4．①＜ ②＜ ③＞ ④＜

5．下图是幂函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )

A ．－1＜n ＜0＜m ＜1

B ．n ＜－1，0＜m ＜1

C ．－1＜n ＜0，m ＞1

D ．n ＜－1，m ＞1

5．解析：利用幂函数图象的性质及图象的关系知n ＜－1，0＜m ＜1.故选B.

答案：B

6．(2013·上海卷)函数f (x )＝x －12的大致图象是( )

6．解析：∵y ＝x －12

定义域为(0，＋∞)，故选A. 答案：A

7．求下列幂函数的定义域：

(1)y ＝x 3；

(2)y ＝x 13；

(3)y ＝x 12

(4)y ＝x －2；

(5)y ＝x －12

. 7．分析：含分数指数幂的要化归为根式的形式．

解析：(1)y ＝x 3，定义域是R.

(2)y ＝x 13＝3x ，定义域是R.