山西省阳泉市高三数学第二次调研考试试题 理 新人教A版

山西省阳泉市2013高三第二次调研考试试题理科数学一、选择题1．已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1≤x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤1 B ．a <1 C ．a ≥2 D ．a >22. 复数z ＝2(1)1i i＋－（i 是虚数单位）则复数z 的虚部等于（ ）A ．1B ．iC ．2D ．2i 3．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示， 则其侧视图的面积为（ ） AC．2D．4. 已知随机变量ξ服从密度函数为()()()2222x f x x R σ--=∈的正态分布，其中参数0σ>，如果()40.8P ξ<=，则()02P ξ<<=（ ）A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.55. 已知圆22:230(0)M x y mx m ++-=<的半径为2，椭圆222:13x y C a +=()0a >的左焦点 为(,0)F c -，若垂直于x 轴且经过F 点的直线与圆M 相切，则a 的值为（ ）A ．34B ．4C ．1D ．26. 下列结论错误的是（ ）A ．命题“若p ，则q ”与命题“若非q ，则非p ”互为逆否命题 B．命题sin cos q x R x x ∀∈-：，q ⌝是假命题 C ．为得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移4π个长度单位D ．若函数()f x 的导函数为0(),()f x f x '为()f x 的极值的充要条件是0()0f x '=7. 已知函数()()()2log030xx xf xx>⎧⎪=⎨≤⎪⎩，且函数()()F x f x x a=+-有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是( )A. (],1-∞- B. (],0-∞ C. (],1-∞ D.[]1,1-8. 在ABC∆中，a，b，c分别为∠A．∠B．∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B=30°，ABC∆的面积为23，那么b等于（）A．231+B．31+C．232+D．32+9. 若1212(,),(,)a a ab b b==，定义一种向量积：1122(,)a b a b a b⊗=，已知1(2,(,0)23m nπ==，且点(,)P x y在函数s i ny x=的图象上运动，点Q在函数()y f x=的图象上运动，且点P和点Q满足：OQ m OP n=⊗+（其中O为坐标原点），则函数()y f x=的最大值A及最小正周期T分别为A．2,πB．2,4πC．1,2πD．1,42π10. 过双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点)0)(0,(>-ccF，作圆2224ax y+=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若1()2OE OF OP=+，则双曲线的离心率为（）A B C11. 利用随机模拟方法可估计某无理数m的值，为此设计如右图所示的程序框图，其中rand( )表示产生区间(0,1)上的随机数, P为s与n之比值，执行此程序框图，输出结果P是m的估计值，则m是 ( )A.1eB.1πC. ln2D. lg312．已知ln ()ln ,()1xf x x f x x=-+在0x x =处取最大值，以下各式正确的序号为 （ ） ①00()f x x < ②00()f x x = ③00()f x x > ④01()2f x < ⑤01()2f x >A ．①④B ．②④C ．②⑤D ．③⑤二、填空题13．已知∈⎪⎭⎫ ⎝⎛n a n(N *1()()n nN a +∈的展开式中含2a 的项为第3项，则n 的值为 ． 14．设x ，y 满足约束条件112210x y x x y ≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩，向量)1,1(),,2(-=-=b m x y a ，且//,则m的最小值为 .15. .如果一个n 位十进制数n a a a a 321的数位上的数字满足“小大小大 小大”的顺序，即满足： 654321a a a a a a <><><，我们称这种数为“波浪数”；从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中任取一个五位数abcde ，这个数为“波浪数”的概率16.如图，在平行四边形ABCD 中，90ABD ∠=︒,2224AB BD +=,若将其沿BD 折成直二面三、解答题17 （本小题满分12 分）已知各项都不相等的等差数列{}n a 的前6项和为60，且6a 为1a 和21a 的等比中项． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；ABCA 1C 1B 1DE（Ⅱ）若数列{}n b 满足()1n n n b b a n N *+-=∈，且13b =，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）.空气质量指数 2.5PM (单位：3/g m μ)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，根据现行国家标准GB3095 – 2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米 ~ 75毫克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标。

从某自然保护区2012年全年每天的PM2.5监测值数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：（Ⅰ）从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽取3天，求恰有1天空气质量达到一级的概率；（Ⅱ）以这10天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量状况，则一年（按366天算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级；（精确到整数）（Ⅲ）从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列和数学期望求.19.（本题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 是边长为2的等边三角形，1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别是1CC ，AB 的中点.(Ⅰ)求证：CE ∥平面1A BD ；(Ⅱ)若H 为1A B 上的动点，当CH 与平面1A AB 求平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值.20.（本题满分12分）已知点11(,)A x y ，22(,)B x y 是抛物线24y x =上相异两点，且满足122x x +=． （Ⅰ）若AB 的中垂线经过点(0,2)P ，求直线AB 的方程； （Ⅱ）若AB 的中垂线交x 轴于点M ，求AMB ∆的面积的最大值.21. (本小题满分12分) 已知函数()()022ln xf x t dt a x =++⎰（Ⅰ）当4a =-时，求函数)(x f 的最小值；(Ⅱ) 当1t ≥时，不等式()()2123f t f t -≥-恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何证明选讲】如图，直线AB 过圆心O ，交⊙O 于,A B ，直线AF 交⊙O 于F ,(不与B 重合)，直线l 与⊙O 相切于C ,交AB 于E ,且与AF 垂直，垂足为G ,连结AC .求证：（Ⅰ）BAC CAG ∠=∠； (Ⅱ)2AC AE AF =∙.23. (本小题满分10分)选修4—4：极坐标和参数方程 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ty tx 32 (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为12cos 2=θρ（Ⅰ）求曲线C 的普通方程；(Ⅱ)求直线l 被曲线C 截得的弦长. 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数|2|)(|,1|)(-=-=x x g x x f . (Ⅰ）解不等式2)()(<+x g x f ；(Ⅱ）对于实数y x ,，若1)(,1)(≤≤y g x f ，求证5|12|≤+-y x ．参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C AABDDCBDACB二、填空题13. 10 14. 6- 15. 215 16.43π 三、解答题17（本小题满分12 分）解：（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，则()()1211161560,205,a d a a d a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩ 解得12,5,d a =⎧⎨=⎩ 23n a n ∴=+. …………………4分(2) 由()1n n n b b a n N *+-=∈， ∴()112,n n n b b a n n N *---=≥∈，()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+1211n n a a a b --=++++()()()11432n n n n =--++=+．∴()()2n b n n n N *=+∈ ， …………………………8分∴()11111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 111111123242n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭()()21311352212412n n n n n n +⎛⎫=--=⎪++++⎝⎭. (12)分18．（本小题满分12分）.解析：（Ⅰ）记“从10天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A ，123731021()40C C P A C ⋅==. ………………………… 4分 （Ⅱ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为710P =，一年中空气质量达到一级或二级的天数为η，则η~(366,0.7)B , ………………………… 6分 3660.7256.2256E η∴=⨯=≈，∴一年中平均有256天的空气质量达到一级或二级。

…………………………8分（Ⅲ）依据条件，ξ服从超几何分布：其中10,3,3N M n ===，ξ的可能值为0,1,2,3，其分布列为：()()3373100,1,2,3k kC C P k k C ξ-=== ， …………………………10分A 721719012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=。

…………………………12分19.（本题满分12分）(Ⅰ)证明：取1A B 的中点F ，连接DF 、EF .∵E 为AB 的中点，∴EF ∥1AA ， 且112EF AA =. ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ，∴EF ∥CD ，EF =CD . ∴四边形EFDC 是平行四边形. ∴CE ∥DF . ∵DF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ，∴CE ∥平面1A BD . ……………………………4分(Ⅱ)解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥CE ∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点， ∴CE AB ⊥，CE AB == ∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A =，∴CE ⊥平面1A AB , ∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角.∵CE =Rt △CEH 中，tan CE EHC EH ∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………6分 ∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH EH∠===2.∴EH =. 在Rt △EHB中，BH ==∵Rt △EHB ∽Rt △1A AB ， ∴1EH BHAA AB =，即1552AA =.∴14AA =.………8分 以A 为原点，与AC 垂直的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -.则()000A ,,，1A ()004,,，B )10,，D ()02,,2.∴1AA =()004,,，1A B=)14,-，1A D =()02,,-2.设平面A BD 1的法向量为n =()x y z ,,，由n 10A B?，n 10A D?，得40220y z y z .ìï+-=ïíï-=ïî 令1y =，则1z x ==,∴平面A BD 1的一个法向量为n=)11,. ………………………10分∵1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA =()004,,是平面ABC 的一个法向量.∴cos 111,⋅==n AA n AA n AA ∴平面1A BD 与平面ABC ………………………12分20. （本题满分12分）解析：（I ）当AB 垂直于x 轴时，显然不符合题意，所以可设直线AB 的方程为y kx b =+，代入方程24y x =,得222(24)0k x kb x b +-+=,∴122422kbx x k -+==………………2分 得：2b k k=-, ∴直线AB 的方程为2(1)y k x k=-+. ∵AB 中点的横坐标为1，∴AB 中点的坐标为2(1,)k . …………4分∴AB 的中垂线方程为1213(1)y x x k k k k=--+=-+, ∵AB 的中垂线经过点(0,2)P ，故32k =，得32k =.∴直线AB 的方程为3126y x =-. ……………………6分 （Ⅱ）由（I ）可知AB 的中垂线方程为13y x k k=-+，∴M 点的坐标为(3,0),因为直线AB 的方程为2220k x ky k -+-=, ∴M 到直线AB的距离d ==由222204k x ky k y x⎧-+-=⎨=⎩ 得，222204k y ky k -+-=， …………………8分 212122482,k y y y y k k -+=⋅=,12||||AB y y =-=∴214(1AMB S k ∆=+t =,则01t <<，…………………10分 234(2)48S t t t t =-=-+，2'128S t =-+，由'0S =，得t =, 348S t t =-+在上递增，在上递减，当t =时，S 有最大值.当k =时，max S =…………12分21（本题满分12分）解：（Ⅰ）由题知函数()f x 的定义域为()0,+∞，当4a =-时，()224ln f x x x x =+-，()24224'22x x f x x x x+-=+-=，令()'0f x =解得1x =或2x =-（舍）.当01x <<时，()'0f x <，此时函数()f x 单调递减， 当1x >时，()'0f x >， 此时函数()f x 单调递增，()f x ∴的极小值为()13f =， 此即为函数的最小值. ……………………………4分(Ⅱ) 由不等式()()2123f t f t -≥-可得：()()()()2221221ln 2122ln 3t t a t t t a t -+-+-≥++-，化简得：()22242ln ln 21t t a t a t -+≥--， ……………………………6分 ()()222ln 221ln 21t a t t a t ∴-≥---，构造函数()2ln g x x a x =- ()1x ≥ ………. ………8分 221t t ≥- ∴只需()2ln g x x a x =-在[)1,+∞为增函数即可， ………. ………10分 即()'20a g x x=-≥在[)1,+∞上恒成立， 即min (2)a x ≤， 2a ∴≤。