初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题10 最优化_答案[精品]

专题10 最优化

例1. 4 提示：原式=1

12

-

62

-+）（x . 例2. B 提示：由-1≤y ≤1有0≤≤1，则=22

+16+3y 2

=142

+4+3是开口向上，对称轴为7

1

-=x 的抛物线. 例3. 分三种情况讨论：①0≤a

即⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+

-=+-=21322213222

2b a a b 解得⎩⎨⎧==31b a ②a

即⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+-=+-=21322213222

2b b a a 此时满足条件的（a ，b ）不存在. ③a <0

213,b =4

13

,而f ()在=a 或=b 处取最小值2a .∵a <0，则2a <0，又∵f (b )=f (413)=021341321-2>+⨯）（，∴f (a )=2a ，即2a =2132-2+a ，则⎪⎩

⎪

⎨⎧=--=413

172b a 综上，（a ，b ）=(1，3)或（17-2-，

4

13

） 例4. （1）

121≤≤x ，y 2 = 21+216143-2+-）（

x .当=4

3时，y 2

取得最大值1，a =1； 当21=

x 或=1时，y 2取得最小值21，b =22.故a 2+b 2=2

3. (2) 如图，AB =8，设AC =，则BC =8- ，AD =2，CD =42+x ，BE =4，CE =16)-8(2+x

BF =AD =2.

10)24(816)8(4222222=++=+=≥+=+-++EF DF DE CE CD x x

当且仅当D ，C ，E 三点共线时，原式取最小值.此时△EBC ∽△DAC ，有

22

4

===DA EB CA BC , 从而=AC =

3831=AB .故原式取最小值时，=3

8. (3)如图， 原式=

[]

22222

2

2)24()13()32()01(032--0y x y x -+-+-+-+-+）（）（

=AB +BC +CD ≥AD ，其中A （-2,0），B （0，3）,C (1,2y ),D (3,4),并且当点B ，C 在线段AD 上时，原式取得最小值，此时

5423=x ，5

4

32=y .

例5. 由S =ay m y n a 2)(22+--

，得an -S +2ay =a 22n y -，两边平方，经整理得

0)()(4322222=+-+-+m a S an y S an a y a .因为关于y 的一元二次方程有实数解，所以

[][]0)(34)(422222≥+-⨯--m a S an a S an a ，可化为222

3-m a an S ≥）（.

∵S >an ，∴am an S 3-≥，即am an S 3+≥，故S 最小=am an 3+.

例6（1）设1≥1，2≥2，≥，于是1+2+…+≤1+2+…+ = 2003，即

20032

)

1(≤+k k (+1)≤4006，∵62×63=3906<4006<4032=63×64，∴≤62. 当1=1，2=2，…61=61，62=112时，原等式成立，故的最大可能值为62.

（2） 若取⎩⎨⎧=+=-2

22b

a c

b a

c ，则2)1(2

+=b b c 由小到大考虑b ，使2)1(+b b 为完全平方数.当b =8时，c 2=36，则c =6，从而a =28.下表说明c 没有比6更小的正整数解.显然，表中c 4-3

的值均不是完全平方数，故c 的最小值为6.

A 级1．7- 11- 2．1 3．14 提示：y =5－,=4－，原式=3(－3)2

+14． 4．A 提示：原式

=27－(a +b +c )2

． 5．D 6．C 7．(1)y =－+1000(500≤≤800) (2)①S =(－500)(－+1000)=－

2

+1500－500000(500≤≤800);②S －(－750)2

+62500,即销售单价定为750时，公司可获最大毛利润62500元，

此时销量为250件． 8．（1）－4≤m ≤2 （2）设方程两根为1，2，则12+22

=4(m －

34)2+103

4

，由此得12+2

2最小值为10

34，最大值为101． 9．设a 2－ab +b 2=，又a 2+ab +b 2

=1②，由①②得ab =12

(1－)，于是

有（a +b )2

=

12(3－)≥0，∴≤3，从而a +b =．故a ，b 是方程t 2t +12

k -=0的两实根，由Δ

≥0，得133

k ≤≤． 10．设A （1,0)，B （2，0)，其中 1，2是方程a 2

+b +c =0的两根，则有1+2=b a -<0，12=

c

a >0，得1<0，2<0，由Δ=

b 2

－4ac >0，得b >|OA |=|1|<1，|OB |=|2|<1，∴－1<1<0，－1<2<0，于是

c

a

=12<1，c

－b +c >0，a +c >b ．又a ，b ，c 是正整数，有a +c ≥b +1>2

+1，从而a +c >2

+1，则

212>>≥，于是a >4，即a ≥5，故b b ≥5．因

此，取a =5，b =5，c =1，y =52

+5+1满足条件，故a +b +c 的最小值为11． 11．（1）该设备投入使用天，每天平均损耗为

y =

11111

[500000(0500)(1500)(2500)(500)]4444

x x -+⨯++⨯++⨯++++L =

11(1)

[500000500x ]42x x x -++⨯

=

500000749988x x ++． (2)y =500000749988x x ++7749999988≥=．当且仅当5000008

x

x =，

即=2000时，等号成立．故这台设备投入使用2000天后应当报废．

B 级 1．20 提示：a 2

－8b ≥0，4b 2

－4a ≥0，从而a 4

≥64b 2

≥64a ，a ≥4，b 2

≥4． 2．4 提示：构造

方程． 3．提示：设经过t 小时后，A ，B 船分别航行到A 1，B 1，设AA 1=，则BB 1=2，B 1A 1=

4．D 提示：a 2

+b 2

≥2ab ，c 2

+d 2

≥2cd ，∴a 2

+b 2

+c 2

+d 2

≥

2(ab +cd )≥．∴ab +cd ≥2，同理bc +ad ≥2，ac +bd ≥2． 5．A 提示：=s －2≥0,y =5－

4

3

s ≥0，=1－1

3

s ≥0，解得2≤s ≤3，故s 的最大值与最小值的和为5． 6．A 提示：|AB |=

C (2125,24k k k -++-），ABC S V 2+2+5=(+1)2

+4≥4． 7．设此商

品每个售价为元，每日利润为S 元．当≥18时，有S =[60－5（－18)](－10)=－5(－20)2

+500，即当商品提价为20元时，每日利润为500元；当≤18时，S =[60+10（18－)](－10)=－10(－17)2

+490，即当商品降价为17元时，每日利润最大，最大利润为490元，综上，此商品售价应定为每个20元． 8．设

对甲、乙两种商品的资金投入分别为，(3－)万元，设获取利润为s ，则s 15x =s －15x =