初中数学竞赛专题培训
中学数学竞赛培训方案
中学数学竞赛培训方案数学竞赛作为一项重要的学科竞赛活动，不仅可以激发学生对数学学科的兴趣，还能培养他们的逻辑思维和问题解决能力。
中学数学竞赛培训是一项系统性的学习和训练过程，为学生提供了优秀的数学知识和解题技巧。
本文将从课程设置、教学方法、考试模拟等方面介绍中学数学竞赛培训方案。
一、课程设置中学数学竞赛培训的课程设置要兼顾基础知识的学习和解题技巧的培养。
首先，基础知识的学习应该包括数学的各个分支，如代数、几何、数论等。
学生应该掌握清晰的数学概念，并能够熟练地运用相关知识解决问题。
其次，解题技巧的培养是培训课程中的重要环节。
学生应该学会分析问题、寻找规律、运用适当的方法解决问题。
此外，课程还应包括一些经典的数学竞赛试题，通过解析这些题目，学生能够加深对数学知识的理解和应用。
二、教学方法培训过程中的教学方法也是十分重要的。
中学数学竞赛培训应该注重理论与实践的结合，注重培养学生的问题解决能力。
首先，教师应该讲授数学知识时，结合实际问题，从生活中的例子入手，让学生感受到数学知识的实用性和生动性。
其次，教师应该鼓励学生进行探究和自主学习。
培训班可以设置小组活动，并由学生在小组内自主探讨和解决问题。
此外，教师还应为学生提供一定的合作学习机会，通过学生之间的讨论和合作，促进彼此之间的思维碰撞和思想的交流。
三、考试模拟中学数学竞赛培训的重要目标之一是提高学生在竞赛中的成绩。
为了达到这个目标，培训班应该定期组织模拟考试。
模拟考试是对学生所学知识和解题能力的检验，也是学习效果的检测。
通过模拟考试，可以帮助学生更好地了解竞赛的考试形式和要求，培养学生的应试能力和考试心态。
同时，模拟考试还能帮助学生发现自己的不足之处，及时调整学习计划，加强薄弱环节的学习。
四、名师辅导中学数学竞赛培训中，名师的辅导是非常重要的。
名师经验丰富，善于总结归纳，能够敏锐地洞察学生的问题，并提供针对性的解决方案。
名师辅导可以通过集中讲座的形式进行，也可以设置小组辅导，让名师和学生进行交流和互动。
初中数学竞赛培训教案
初中数学竞赛培训教案年级：八年级学科：数学课时：1课时教材：《数学竞赛教程》教学目标：1. 提高学生的数学思维能力；2. 培养学生解决数学问题的技巧；3. 帮助学生掌握数学竞赛的基本题型和解题方法；4. 培养学生的团队合作意识和竞争意识。
教学内容：1. 数论基础；2. 几何题型；3. 函数与方程；4. 逻辑推理；5. 数学竞赛技巧。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾数学基础知识，如数论、几何、函数等；2. 介绍数学竞赛的背景和意义，激发学生的学习兴趣。
二、数论基础（10分钟）1. 复习数论基本概念，如质数、合数、最大公约数等；2. 通过例题讲解数论在数学竞赛中的应用，如数字推理、质因数分解等。
三、几何题型（10分钟）1. 复习几何基本概念，如点、线、面、角等；2. 讲解几何题型的解题方法，如勾股定理、相似三角形、平行四边形等；3. 分析几何题型的常见陷阱，提醒学生注意。
四、函数与方程（10分钟）1. 复习函数和方程的基本概念和解法；2. 讲解函数和方程在数学竞赛中的应用，如函数图像分析、方程求解等；3. 引导学生掌握函数和方程的解题技巧。
五、逻辑推理（10分钟）1. 讲解逻辑推理的基本方法和技巧，如递推、归纳、逆向思维等；2. 通过例题让学生练习逻辑推理，提高解题能力；3. 培养学生分析问题和解决问题的逻辑思维。
六、数学竞赛技巧（10分钟）1. 讲解数学竞赛的解题技巧，如分类讨论、转化求解等；2. 分析数学竞赛中的常见错误，提醒学生注意避免；3. 引导学生培养良好的解题习惯和思维方式。
七、总结与反思（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，巩固知识点；2. 学生分享自己的学习心得和收获；3. 教师总结课堂教学，提出改进措施。
教学评价：1. 课堂讲解是否清晰易懂，学生是否能跟上教学进度；2. 学生是否能掌握数论、几何、函数等基本知识；3. 学生是否能运用逻辑推理和竞赛技巧解决实际问题；4. 学生是否能积极参与课堂讨论，表现出团队合作意识和竞争意识。
数学竞赛培训计划(免费
数学竞赛培训计划(免费一、培训目的数学竞赛培训旨在通过系统性的教学和训练，提高学生的数学解题能力和数学思维能力，为参加数学竞赛提供扎实的数学基础，培养学生的数学思维和创造力。
二、培训对象本培训计划适用于对数学竞赛感兴趣的中学生，在数学方面有一定基础的学生。
三、培训内容1. 培养解题能力通过训练解题技巧和方法，培养学生的数学解题能力。
2. 提高数学思维通过多种数学问题的训练，培养学生的数学思维能力，锻炼学生的逻辑思维和创造力。
3. 提升数学知识水平系统学习基础数学知识，包括代数、几何、概率、组合数学等方面的知识，提高学生的数学基础。
四、培训计划本培训计划为期10周，每周2次课，每次2小时，具体内容如下：第一周：解题方法的介绍和训练1. 解题思路的培养2. 解题方法的讲解和演练3. 解题技巧的培养和训练第二周：基础代数知识的学习1. 一元一次方程与一元一次不等式2. 二项式定理3. 多项式的运算和因式分解第三周：基础几何知识的学习1. 直线，角和三角形2. 圆和圆周角3. 三角形的相似关系第四周：概率与统计知识的学习1. 概率的概念与性质2. 组合与排列的概率3. 统计学中的数据分析第五周：组合数学的学习1. 排列与组合的基本概念2. 组合数学的应用3. 鸽笼原理和容斥原理第六周：数列与数论的学习1. 等差与等比数列的性质2. 递推数列的求解3. 质数与整数因数的性质第七周：特殊数学问题的解决方法1. 数学归纳法的应用2. 递推关系的求解3. 未知数的推导和求解第八周：模拟竞赛模拟竞赛是培训过程中非常重要的一环，通过模拟竞赛，让学生在实战中提高解题能力和应试能力。
第九周：模拟竞赛反馈和训练针对模拟竞赛的表现进行反馈和指导，根据实际情况进行重点训练和弱项补强。
第十周：总结与复习对整个培训过程进行总结，复习重点知识和技巧，为参加数学竞赛做最后的准备。
五、培训方式1. 集体授课培训班采用集体授课的方式，通过讲解和示范，让学生更好地理解数学知识和解题方法。
初中数学竞赛培训方案
初中数学竞赛培训方案数学竞赛在初中阶段的学习过程中起着至关重要的作用。
它不仅可以帮助培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，还可以促进学生对数学的兴趣和热爱。
为了提高初中生在数学竞赛中的表现，制定一个科学合理的培训方案非常关键。
本文将从教学内容、教学方法和实施计划三个方面展开，为初中数学竞赛培训方案进行探讨。
一、教学内容1.难度适宜的数学题目教学内容应根据学生的实际水平选取，避免过于简单或过于复杂。
题目的难度宜适中，太简单容易失去兴趣，太难则会造成挫败感。
2.综合性的数学知识培训计划应综合考虑初中数学各个方向的知识点，包括代数、几何、概率等。
同时，注重培养学生对数学知识的整体把握和应用能力。
3.拓展与创新对于优秀学生而言，培训计划还应包括更深入、更广泛的数学知识和题目。
通过培养学生的拓展思维能力和创新能力，激发他们对数学的热情。
二、教学方法1.启发式教学通过提问、讨论等方式，引导学生主动思考和探索，培养他们的逻辑思维和问题解决能力。
在解题过程中，教师可以提供一些提示和指导，但不应垂直地告诉学生答案。
2.巩固性训练在培训计划中应设置每个知识点的巩固性练习环节，学生可以通过反复练习，巩固理论知识，提高解题技巧和速度。
3.团队合作鼓励学生互相合作，进行小组讨论和互助学习。
通过团队合作，学生可以在合作中学习，互相交流，共同进步。
三、实施计划1.合理分配时间培训计划应合理制定时间表，保证每个知识点都能得到充分的学习和提高。
同时，合理分配时间可以避免过度压缩时间导致学生学习效果不佳。
2.定期测评在培训计划中安排定期测评，以检验学生学习的效果和进展。
通过测评反馈，及时调整教学内容和方法，以提高培训效果。
3.个性化辅导针对学生个体差异，提供个性化辅导。
了解学生的学习特点和问题，针对性地提供帮助和指导，让每位学生都能在培训中得到有效的提高。
总结初中数学竞赛培训方案的实施需要兼顾教学内容、教学方法和实施计划。
教学内容要适宜难度，综合性强，同时注重拓展与创新；教学方法要启发学生思维，巩固知识，鼓励团队合作；实施计划要合理安排时间，定期测评和个性化辅导。
初三数学教学中的数学竞赛培训方法
初三数学教学中的数学竞赛培训方法数学竞赛是提高学生数学素养、培养解决问题的能力的重要途径之一。
在初三数学教学中，如何有效地进行数学竞赛培训，使学生能够在竞赛中取得好成绩，并且充分发展其数学潜力，是一个值得探讨的问题。
一、制定培训计划在初三数学竞赛培训中，制定一个合理的培训计划非常重要。
培训计划应该根据学生的实际情况和数学竞赛的要求，合理分配培训时间，并设定明确的培训目标。
例如，可以将培训内容分为基础知识的学习和应用技巧的训练两个方面，每周分别安排相应的时间进行培训。
二、强化基础知识学习初三数学竞赛的成功离不开扎实的基础知识。
因此，在培训过程中，要注重对学生基础知识的温故与巩固。
可以通过每周进行一次知识点梳理和复习，以及不定期的阶段性测试，来检查学生的学习情况并发现问题。
同时，可以选用一些优质的教材和习题，帮助学生理解和掌握数学知识。
三、注重应用技巧训练数学竞赛中，除了基础知识的应用外，还需要学生具备一定的解题技巧和思维方法。
因此，在培训过程中，应注重对学生应用技巧的培养。
可以选用一些经典的竞赛试题，引导学生运用数学方法解决问题，并对解题过程和思路进行指导。
此外，还可以设置小组竞赛或模拟比赛，让学生在实际竞赛场景下进行训练，提高其竞赛应试能力。
四、提供资源支持为了有效进行数学竞赛培训，学校和教师应充分利用各种资源来支持学生的竞赛备考。
可以邀请专业的数学竞赛教师或数学爱好者进行培训讲座，给学生分享竞赛经验和解题技巧。
同时，可以组织学生参加数学竞赛相关的活动和交流，拓宽学生的数学视野，激发他们的学习兴趣。
五、激励学生兴趣和动力对于初三学生来说，数学竞赛可能会成为额外的负担。
因此，在培训中，要注重激发学生的兴趣和动力，让他们乐于参与数学竞赛。
可以设置一些有趣的数学游戏或挑战，吸引学生积极参与；还可以开展小组合作学习，让学生互相学习和竞争，增加学习的动力和乐趣。
结语：初三数学教学中的数学竞赛培训方法对于学生的数学素养和解决问题的能力的发展非常重要。
初三数学教师如何进行数学竞赛培训
初三数学教师如何进行数学竞赛培训数学竞赛作为一种提高学生数学素养和创造力的教学方式，受到越来越多学生和家长的青睐。
作为初三数学教师，如何有效地进行数学竞赛培训，以帮助学生充分发展他们的潜力呢？本文将从教师的角度出发，给出一些建议。
一、了解数学竞赛的特点和要求在进行数学竞赛培训之前，初三数学教师首先需要了解数学竞赛的特点和要求。
数学竞赛强调解题思路、方法和逻辑推理能力，对学生的数学基础和综合应用能力有一定的要求。
因此，教师在培训过程中应注重培养学生的解题思维和问题分析能力。
二、合理安排培训时间和内容针对初三学生的特点，数学竞赛培训不宜过于长时间地进行，一般以集中短期的形式为主。
教师应根据学生的学习情况和数学竞赛的要求，合理安排培训课程的时间和内容。
可以将培训课程分为基础知识讲解、解题技巧训练和模拟竞赛等环节，有针对性地帮助学生提高数学素养和应试能力。
三、注重培养数学思维能力数学竞赛培训不仅仅是单纯灌输知识，更重要的是培养学生的数学思维能力。
教师可以通过启发式教学方法，引导学生主动思考、独立解决问题。
同时，教师还可以组织一些拓展性的数学活动和竞赛，激发学生学习数学的兴趣和积极性。
四、结合实际案例讲解和讨论为了使学生更好地理解和应用数学知识，教师可以结合实际案例进行讲解和讨论。
通过分析真实的数学问题和解决方法，可以帮助学生更好地理解抽象的数学概念，并提高他们的问题解决能力。
五、提供个性化辅导和指导在数学竞赛培训中，不同学生可能存在着不同的问题和困惑。
教师应提供个性化的辅导和指导，针对学生的学习特点和问题进行针对性的解答和帮助。
同时，也可以将学生分组，组织小组合作学习和竞赛，培养他们的团队合作和协作能力。
六、鼓励学生参加实践活动和竞赛数学竞赛不仅仅是培训的目标，更是一个学生实践能力和综合素质的展示舞台。
教师应鼓励学生积极参加各类数学竞赛，并及时提供支持和指导。
通过竞赛的实践经验，学生可以更好地锻炼自己的能力，提高数学水平。
初中数学竞赛专题培训
第一讲：因式分解(一) (1)第二讲：因式分解(二) (4)第三讲实数的若干性质和应用 (7)第四讲分式的化简与求值 (10)第五讲恒等式的证明 (13)第六讲代数式的求值 (16)第七讲根式及其运算 (19)第八讲非负数 (23)第九讲一元二次方程 (27)第十讲三角形的全等及其应用 (31)第十一讲勾股定理与应用 (35)第十二讲平行四边形 (38)第十三讲梯形 (41)第十四讲中位线及其应用 (45)第十五讲相似三角形(一) (47)第十六讲相似三角形(二) .............................................. 50 第十七讲* 集合与简易逻辑. (54)第十八讲归纳与发现 (59)第十九讲特殊化与一般化 (63)第二十讲类比与联想 (67)第二十一讲分类与讨论 (70)第二十二讲面积问题与面积方法 (74)第二十三讲几何不等式 (77)第二十四讲* 整数的整除性 (81)第二十五讲* 同余式 (84)第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题 (87)第二十七讲列方程解应用问题中的量 (91)第二十八讲怎样把实际问题化成数学问题 (95)第二十九讲生活中的数学(三) ——镜子中的世界 (98)第三十讲生活中的数学(四)──买鱼的学问 (99)第一讲：因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决很多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不但是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维水平，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、使用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．使用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n 为奇数．使用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等准确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题能够稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) =(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的准确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它能够推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n 来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这个技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法实行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍使用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题能够看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，所以拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，因为分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y 来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样能够得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元能够一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．第二讲：因式分解(二)1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也能够用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，能够看作是关于x的二次三项式．对于常数项来说，它是关于y的二次三项式，也能够用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f实行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这个项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，不过当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式实行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．所以，必须对-4的约数逐个代入多项式实行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式能够化为9x2-3x-2，这样能够简化分解过程．总来说之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就能够分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就能够继续对g(x)实行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过度析，能够断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时能够用一些字母来表示待定的系数．因为该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析因为(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式能够分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明因为因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等能够不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法使用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．第三讲实数的若干性质和应用实数是高等数学特别是微积分的重要基础．在初中代数中没有系统地介绍实数理论，是因为它涉及到极限的概念．这个概念对中学生来说，有一定难度．但是，如果中学数学里没有实数的概念及其简单的运算知识，中学数学也将无法继续学习下去了．例如，即使是一元二次方程，只有有理数的知识也是远远不够用的．所以，适当学习一些相关实数的基础知识，以及使用这些知识解决相关问题的基本方法，不但是为高等数学的学习打基础，而且也是初等数学学习所不可缺少的．本讲主要介绍实数的一些基本知识及其应用．用于解决很多问题，例如，不难证明：任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数，或者说，有理数对加、减、乘、除(零不能做除数)是封闭的．性质1 任何一个有理数都能写成有限小数(整数能够看作小数点后面为零的小数)或循环小数的形式，反之亦然．例1分析要说明一个数是有理数，其关键要看它能否写成两个整数比的形式．证设两边同乘以100得②-①得99x=261.54-2.61=258.93，无限不循环小数称为无理数．有理数对四则运算是封闭的，而无理是说，无理数对四则运算是不封闭的，但它有如下性质．性质2 设a为有理数，b为无理数，则(1)a+b，a-b是无理数；有理数和无理数统称为实数，即在实数集内，没有最小的实数，也没有最大的实数．任意两个实数，能够比较大小．全体实数和数轴上的所有点是一一对应的．在实数集内实行加、减、乘、除(除数不为零)运算，其结果仍是实数(即实数对四则运算的封闭性)．任一实数都能够开奇次方，其结果仍是实数；只有当被开方数为非负数时，才能开偶次方，其结果仍是实数．例2分析证所以分析要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事．因为有理数与无理数共同组成了实数集，且二者是矛盾的两个对立面，所以，判定一个实数是无理数时，常常采用反证法．证用反证法．所以p一定是偶数．设p=2m(m是自然数)，代入①得 4m2＝2q2，q2＝2m2，例4 若a1+b1a=a2+b2a(其中a1，a2，b1，b2为有理数，a 为无理数)，则a1=a2，b1=b2，反之，亦成立．分析设法将等式变形，利用有理数不能等于无理数来证明．证将原式变形为(b1-b2)a=a2-a1．若b1≠b2，则反之，显然成立．说明本例的结论是一个常用的重要运算性质．是无理数，并说明理由．整理得：由例4知a＝Ab，1=A，说明本例并未给出确定结论，需要解题者自己发现准确的结有理数作为立足点，以其作为推理的基础．例6 已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，求证：a 与b之间存有着无穷多个有理数(即有理数集具有稠密性)．分析只要构造出符合条件的有理数，题目即可被证明．证因为a＜b，所以2a＜a+b＜2b，所以说明构造具有某种性质的一个数，或一个式子，以达到解题和证明的目的，是经常使用的一种数学建模的思想方法．例7 已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，问是否存有无理数α，使得a＜α＜b成立？即由①，②有存有无理数α，使得a＜α＜b成立．b4+12b3+37b2+6b-20的值．分析因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来，这样涉及无理数小数部分的计算题，往往是先估计它的整数部分(这是容易确定的)，然后再寻求其小数部分的表示方法．14=9+6b+b2，所以b2+6b=5．b4+12b3+37b2+6b-20=(b4+2·6b3+36b2)+(b2+6b)-20=(b2+6b)2+(b2+6b)-20=52+5-20=10．例9 求满足条件的自然数a，x，y．解将原式两边平方得由①式变形为两边平方得例10 设a n是12+22+32+…+n2的个位数字，n=1，2，3，…，求证：0.a1a2a3…a n…是有理数．分析有理数的另一个定义是循环小数，即凡有理数都是循环小数，反之循环小数必为有理数．所以，要证0.a1a2a3…a n…是有理数，只要证它为循环小数．所以本题我们从寻找它的循环节入手．证计算a n的前若干个值，寻找规律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，…发现：a20=0，a21=a1，a22=a2，a23=a3，…，于是猜想：a k+20=a k，若此式成立，说明0.a1a2…a n…是由20个数字组成循环节的循环小数，即下面证明a k+20=a k．令f(n)=12+22+…+n2，当f(n+20)-f(n)是10的倍数时，表明f(n+20)与f(n)有相同的个位数，而f(n+20)-f(n)=(n+1)2+(n+2)2+…+(n+20)2=10(2n2+42·n)+(12+22+…+202)．由前面计算的若干值可知：12+22+…+202是10的倍数，故a k+20=a k成立，所以0.a1a2…a n…是一个有理数．第四讲分式的化简与求值分式的相关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这个性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式实行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．例1 化简分式：分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］说明本题的关键是准确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．例2 求分式当a=2时的值．分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．例3 若abc=1，求分析本题可将分式通分后，再实行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．解法1 因为abc=1，所以a，b，c都不为零．解法2 因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．例4 化简分式：分析与解三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．说明互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．例5 化简计算(式中a，b，c两两不相等)：似的，对于这个分式，显然分母能够分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c)，所以有下面的解法．解说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用例6 已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求分析本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么题目只与x-a，y-a，z-a 相关，为简化计算，可用换元法求解．解令x-a=u，y-a=v，z-a=w ，则分式变为u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0．因为x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u2+v2+w2≠0，从而有说明从本例中能够看出，换元法能够减少字母个数，使运算过程简化．例7 化简分式：适当变形，化简分式后再计算求值．(x -4)2=3，即x 2-8x+13＝0． 原式分子=(x 4-8x 3+13x 2)+(2x 3-16x 2+26x)+(x 2-8x+13)+10 =x 2(x 2-8x+13)+2x(x 2-8x+13)+(x 2-8x+13)+10 =10，原式分母=(x 2-8x+13)+2=2，说明 本例的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．解法1 利用比例的性质解决分式问题． (1)若a+b+c ≠0，由等比定理有所以a+b -c=c ，a -b+c=b ，-a+b+c=a ，于是有(2)若a+b+c=0，则 a+b=-c ，b+c=-a ，c+a=-b ， 于是有说明 比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解． 解法2 设参数法．令则a+b=(k+1)c ，① a+c=(k+1)b ，② b+c=(k+1)a ．③①+②+③有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)， 所以 (a+b+c)(k -1)=0， 故有k=1或 a+b+c=0． 当k=1时，当a+b+c=0时，说明 引进一个参数k 表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．第五讲恒等式的证明代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，所以代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后实行例题分析．两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般能够把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．1．由繁到简和相向趋进恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)．例1 已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．分析将左边展开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边．证因为x+y+z=xyz，所以左边=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2) =(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx) =xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz=右边．说明本例的证明思路就是“由繁到简”．例2 已知1989x2=1991y2=1993z2，x＞0，y＞0，z＞0，且证令1989x2=1991y2=1993z2=k(k＞0)，则又因为所以所以说明本例的证明思路是“相向趋进”，在证明方法上，通过设参数k，使左右两边同时变形为同一形式，从而使等式成立．2．比较法a=b(比商法)．这也是证明恒等式的重要思路之一．例3 求证：分析用比差法证明左-右=0．本例中，这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b代a，c代b，a代c，则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性，可使轮换式的运算简化．证因为所以所以说明本例若采用通分化简的方法将很繁．像这种把一个分式分解成几个部分分式和的形式，是分式恒等变形中的常用技巧．全不为零．证明：(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．同理所以所以(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．说明本例采用的是比商法．3．分析法与综合法根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法．分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是准确的，这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断言结论准确，即所谓“执果索因”．而综合法正好相反，它是“由因导果”，即从已知条件出发顺向推理，得到所求结论．证要证 a2+b2+c2=(a+b-c)2，只要证a2+b2+c2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc，只要证 ab=ac+bc，只要证 c(a+b)=ab，只要证这最后的等式正好是题设，而以上推理每一步都可逆，故所求证的等式成立．说明本题采用的方法是典型的分析法．例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d．证由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，所以(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．因为(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，所以 (a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．又因为a，b，c，d都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0，所以a＝b，c=d．所以ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0，所以a＝c．故a=b＝c=d成立．说明本题采用的方法是综合法．4．其他证明方法与技巧求证：8a+9b+5c=0．a+b=k(a-b)，b+c=2k(b-c)，(c+a)=3k(c-a)．所以6(a+b)=6k(a-b)，3(b+c)=6k(b-c)，2(c+a)=6k(c-a)．以上三式相加，得6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)=6k(a-b+b-c+c-a)，即 8a+9b+5c=0．说明本题证明中用到了“遇连比设为k”的设参数法，前面的例2用的也是类似方法．这种设参数法也是恒等式证明中的常用技巧．例8 已知a+b+c=0，求证2(a4+b4+c4)＝(a2+b2+c2)2．分析与证明用比差法，注意利用a+b+c=0的条件．左-右=2(a4+b4+c4)-(a2+b2+c2)2=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2=(a2-b2-c2)2-4b2c2=(a2-b2-c2+2bc)(a2-b2-c2-2bc)=[a2-(b-c)2][a2-(b+c)2]=(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a+b+c)=0．所以等式成立．说明本题证明过程中主要是实行因式分解．分析本题的两个已知条件中，包含字母a，x，y和z，而在求证的结论中，却只包含a，x和z，所以能够从消去y着手，得到如下证法．证由已知说明本题利用的是“消元”法，它是证明条件等式的常用方法．例10 证明：(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．分析与证明此题看起来很复杂，但仔细观察，能够使用换元法．令y+z-2x=a，①z+x-2y=b，②x+y-2z=c，③则要证的等式变为a3+b3+c3=3abc．联想到乘法公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)，所以将①，②，③相加有a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，所以 a3+b3+c3-3abc=0，所以(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．说明由本例能够看出，换元法也能够在恒等式证明中发挥效力．例11 设x，y，z为互不相等的非零实数，且求证：x2y2z2=1．分析本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的所以x2y2=1．三元与二元的结构类似．证由已知有①×②×③得x2y2z2=1．说明这种欲进先退的解题策略经常用于探索解决问题的思路中．总来说之，从上面的例题中能够看出，恒等式证明的关键是代数式的变形技能．同学们要在明确变形目的的基础上，深刻体会例题中的常用变形技能与方法，这对以后的数学学习非常重要．第六讲代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．很多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．所以，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．1．利用因式分解方法求值因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很麻烦．我们能够先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．解已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1．说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．例2 已知a，b，c为实数，且满足下式：a2+b2+c2=1，①求a+b+c的值．解将②式因式分解变形如下即所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0．若bc+ac+ab=0，则(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1，所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0，1，-1．说明本题也能够用如下方法对②式变形：即前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式．2．利用乘法公式求值例3 已知x+y=m，x3+y3=n，m≠0，求x2+y2的值．解因为x+y=m，所以m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy，。
中学数学竞赛培训计划
中学数学竞赛培训计划一、教学主题数学竞赛培训的主题是通过系统性、深入的学习和训练，提升学生的数学素养、创造力、思维能力和解决问题的能力，为他们参加数学竞赛打下坚实的基础。
二、活动安排1. 普及知识点：通过讲解和示范，普及竞赛相关的数学知识点，帮助学生掌握基础概念和解题技巧。
2. 解题训练：a. 经典题目分析：每节课选取数学竞赛中的经典题目进行深入解析，分析解题思路和方法，引导学生培养思维的灵活性和创新性。
b. 训练题目演练：组织学生进行大量的题目演练，包括选择题、填空题和解答题等，提高学生的解题速度和准确度。
3. 讨论与交流：a. 小组讨论：鼓励学生在小组中合作解题，培养他们的团队合作意识和交流能力，相互促进、共同进步。
b. 知识分享：学生将他们解题的思路和方法分享给全班，借鉴和学习他人的解题思路和技巧，提高自己的解题能力。
4. 模拟竞赛：a. 模拟赛准备：在一定周期内组织模拟竞赛，让学生体验真实的比赛氛围，熟悉竞赛规则和要求。
b. 模拟赛分析：对学生的模拟竞赛成绩进行详细分析，指出不足之处，帮助他们找到问题所在，并提供相应的解决方案和建议。
三、教材使用1. 教材选择：根据数学竞赛的内容和要求，选择与竞赛契合的教材，如《中学数学竞赛教程》，内容丰富、题型多样，可以满足学生的不同需求。
2. 教材使用：a. 精讲精练：根据教材的章节分类，对每个知识点进行详细讲解，并布置相应的练习题，让学生不断巩固和提高。
b. 拓展延伸：针对学生中的优秀者，提供教材以外的拓展习题和学习资料，满足他们对更高难度题目的需求。
四、课外辅导1. 个别辅导：针对竞赛中遇到的难题和错误，教师进行个别辅导，找出学生的问题所在，并给予相应的解题指导。
2. 答疑解惑：教师设置固定的答疑时间，回答学生在学习中遇到的问题，解惑解题过程中的困惑，帮助学生理清思路，提高解题能力。
综上所述，中学数学竞赛培训计划旨在提高学生的数学竞赛水平，通过系统和深入的学习、训练，提升他们的数学素养和解题能力。
初中数学竞赛培训(15)(含答案)-
初中数学竞赛培训（初二）（15）一、填空题1．计算（13+）2005－2（13+）2004－2（13+）2003+2005=_________.2．一个正整数，如果加上100后是一个平方数，如果加上168后又是另一个平方数，则这个正整数是_________.3．在四边形ABCD 中，AD=DC ，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB 于E ，若四边形ABCD 的面积为8，则DE 的长为___________.4.在△ABC 中，AB=AC ，腰上的高BD=2，底边上的高AE=4，则tanC 的值为_________.5．已知a 、b 、c 、d 均为质数，且满足10＜c ＜d ＜20，又c －a 也是非偶质数， d 2－c 2=a 3b(a+b)，则ab(c+d)的值为___________.6．如图，在等边△ABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，D 为MN 上任意一点，BD 、CD 的延长线分别交AC 、AB 于点E 、F ，若311=+BF CE ，则S △ABC =__________. 二、简答题1．已知非零实数a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2=1，3)11()11()11(-=+++++b a c c a b c ba ，求a+b+c 的值.2．甲、乙两班同时从学校A出发去距离学校75km的军营B军训，甲班学生步行速度为4km/h，乙班学生步行速度为5km/h，学校有一辆汽车，该车空车速度为40km/h，载人时的速度为20km/h，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？初中数学竞赛培训（15）答 案一、填空题1．2005解：设x=13+ 则x －1=3 ∴ x 2－2x －2=0原式=x 2005－2x 2004－2x 2003+2005=x 2003(x 2－2x －2)+2005=20052． 156解：设所求正整数为x ， 则x+100=m 2， x+168=n 2，其中m 、n 都是正整数 ∴n 2－m 2=68(n －m)(n+m)=22×17∵n －m 、n+m 具有相同的奇偶性∴⎩⎨⎧⨯=+=-1722m n m n 解得⎩⎨⎧==1816n m ∴x=156 3． 22解：把△ADE 绕A 点旋到△DCF 处，使AD 与CD 重合则△DCF ≌△ADE∴DF=DE ， ∠DCF=∠A∵∠A+∠DCB=180°∴∠DCF=∠DCB=180°∴F 、C 、B 三点共线∴S ABCD =S DEBF易证DEBF 是正方形 ∴DE 2=8 ∴DE=224．15解：∵AC ·BD=BC ·AE ，AE=4， BD=2 ∴AC=2BC由三线合一可知 CE=21BC ∴AC=4CE ∴tan C=15=CE AE 5． 180解：因为a 、b 、c 、d 均为质数，且10＜c ＜d ＜20所以c 、d 只能为11、13、17或19，且c ≠19又c －a 也是非偶质数，所以a=2分别取c=11，13，17，则c －a=9，11，15，只有c=13符合要求把c=13，a=2代入d 2－c 2=c 3b(a+b)得d 2－132=8b(2+b)（1）若d=17，则b 2+2b －15=0 解得b=3或b=－5（舍去）（2）若d=19，则b 2+2b －24=0 解得b=4或b=－6 都不舍∴a=2，b=3，c=13，d=17∴ab(c+b)=6×30=1806．43 解：过点D 作DS ∥BM ，DT ∥CN 交BC 于S 、T ，易证MDSB 、NDTC 都是平行四边形△DCT 是等边三角形DS ∥BM ⇒BCSC BF DS = DT ∥CN ⇒BC BT CE DT = ∴BC BC BC BC ST BC BT CS BF CE 3212311=•=•+=+ ∴3BC=3， BC=1∴S △ABC =43 二、简答题1．解：∵abc ≠0∴对第二个等式两边同乘abc ，得a 2(c+b)+b 2(a+c)+c 2(b+a)=－3abca 2c+a 2b+b 2a+b 2c+c 2b+c 2a+3abc=0ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)+abc+abc+abc=0(a+b+c)(ab+bc+ac)=0∴a+b+c=0 或ab+bc+ac=0当ab+bc+ac=0时，由（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac=1得 a+b+c=±1∴a+b+c=0 ,1 ,－12．解：设甲班学生从学校A 乘汽车出发至E 处下车步行，乘车akm ，空车返回至C 处，乙班同学于C 处上车，此时已步行了bkm.则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=-+47520754054020a b b a b b a a 解得a=60 b=20 ∴至少需要4364152060=+（h ）。
八年级数学暑假竞赛培训讲义
第一讲：如何做几何证明题【知识梳理】1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。
几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。
这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。
3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。
在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。
【例题精讲】【专题一】证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。
很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。
证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
【例1】已知：如图所示，∆ABC 中，∠=︒===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。
求证：DE ＝DFFEDCBA【巩固】如图所示，已知∆ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE ＝BD ，连结CE 、DE 。
求证：EC ＝ED【例2】已知：如图所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。
求证：∠E ＝∠F【专题二】证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。
初中数学奥赛培训计划
初中数学奥赛培训计划
一、培训目标：
1. 帮助学生掌握初中数学的基本知识和解题技巧；
2. 培养学生分析问题、解决问题的能力；
3. 提高学生对数学的兴趣和自信心；
4. 培养学生的团队合作精神和竞争意识。
二、培训内容：
1. 初中数学知识的系统复习和提高；
2. 经典数学题目的讲解和分析；
3. 解题技巧和方法的训练；
4. 组队讨论和比赛实战训练。
三、培训时间表：
1. 星期一至星期五，每天下午3点到5点进行培训；
2. 每周安排一次全校模拟竞赛，用以检测学生的学习情况和竞赛准备情况；
3. 每周末组织学生进行小组讨论，解决数学难题。
四、培训方法：
1. 教师讲解与学生练习相结合；
2. 学生之间的合作讨论和交流；
3. 大量解题实例和模拟竞赛训练；
4. 组织学生进行小组比赛，培养团队精神。
五、培训资源：
1. 选用优质教材和试题；
2. 利用互联网资源进行拓展和辅助教学；
3. 组织邀请校外数学专家进行讲座和指导；
4. 鼓励学生积极参加校内外数学竞赛活动。
六、培训评估：
1. 每次培训之后，进行学生的作业、测试和考试评比；
2. 结合学生的学习情况，进行个别辅导和提高；
3. 定期召开学生家长座谈会，和家长交流学生的学习情况和表现；
4. 每学期末进行一次综合测试，对学生的成绩进行总结和评价。
七、培训总结：
1. 在培训结束后，进行一次总结和反思，对数学奥赛培训进行总结和评价；
2. 对于培训中出现的问题和不足，进行改进和提高；
3. 精选出表现优秀的学生，进行进一步的培训和选拔，组建数学竞赛队伍。
初中数学竞赛培训
初中数学竞赛培训在当今的教育环境中，初中数学竞赛培训逐渐受到了越来越多的关注和重视。
对于那些对数学有着浓厚兴趣和天赋的学生来说，参加数学竞赛培训不仅能够提升他们的数学能力，还能够培养他们的逻辑思维、创新能力和解决问题的能力。
那么，初中数学竞赛培训到底是怎样的呢？首先，我们来了解一下为什么要进行初中数学竞赛培训。
初中阶段是学生数学思维发展的关键时期，通过参与竞赛培训，可以接触到更深入、更广泛的数学知识，拓展数学视野。
竞赛题目往往具有较高的难度和创新性，需要学生运用灵活的思维方式和独特的解题技巧。
在解决这些难题的过程中，学生能够锻炼自己的逻辑推理能力、分析问题能力和综合运用知识的能力。
而且，数学竞赛培训对于培养学生的学习兴趣和自信心也有着重要的作用。
当学生在竞赛中取得好成绩时，会获得极大的成就感和满足感，从而进一步激发他们对数学的热爱。
同时，在与其他优秀学生交流和竞争的过程中，能够促使学生不断自我提升，形成积极向上的学习态度。
初中数学竞赛培训的内容通常涵盖了多个方面。
一是基础知识的深化和拓展。
这包括对代数、几何、数论等核心知识的深入讲解，让学生不仅知其然，更知其所以然。
例如，在代数方面，会涉及到更复杂的方程和不等式的求解，以及函数的性质和应用；在几何方面，会研究更复杂的图形性质和证明方法。
二是解题方法和技巧的训练。
竞赛题目往往需要巧妙的解题思路和方法，培训中会教授学生各种常见的解题技巧，如数学归纳法、反证法、构造法等。
通过大量的练习和实例分析，让学生熟练掌握并能够灵活运用这些方法。
三是思维能力的培养。
鼓励学生从不同的角度思考问题，培养创新思维和发散思维。
例如，通过数学谜题、开放性问题的探讨，激发学生的创造力和想象力。
然而，要想在初中数学竞赛培训中取得良好的效果，并非易事。
这需要学生具备一定的基础和素质。
首先，学生要有扎实的数学基础知识，对基本的概念、定理和公式能够熟练掌握和运用。
其次，要有较强的逻辑思维能力和分析问题的能力，能够迅速理清问题的思路，找到解决问题的关键。
初中数学竞赛辅导资料(总24页)
初中数学竞赛辅导资料-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一篇 一元一次方程的讨论第一部分 基本方法1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
一元方程的解也叫做根。
例如：方程 2x ＋6＝0， x （x －1）=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解 分别是： x =－3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数，无解。
2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后， 讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x =ab ； 当a =0且b ≠0时，无解；当a =0且b ＝0时，有无数多解。
（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立）3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解当a ｜b 时，方程有整数解；当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解；当a 、b 同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax =b第二部分 典例精析例1 a 取什么值时，方程a (a －2)x =4(a －2) ①有唯一的解②无解③有无数多解④是正数解例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。
问a和b应满足什么关系？例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？第三部分 典题精练1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：① (x +1)=0, ②x 2=9, ③|x |=9， ④|x |=－3,⑤3x +1=3x －1, ⑥x +2=2+x2. 关于x 的方程ax =x +2无解，那么a __________3. 在方程a (a －3)x =a 中，当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解；当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a ＿＿＿＿时,解是负数。
八年级数学数学竞赛培训讲义
目录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。
注重中考与竞赛的有机结合，重点落实在与中考中难以上题，奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。
本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。
另外在本次培训中，内容的编排大多大于80分钟的容量，因此在实际教学过程中可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和选择内容。
由于《相似三角形》与其他知识的衔接较多，因此本讲义补充了初三的《相似三角形》，可根据实际情况进行必要的讲解。
注：有(*) 标注的为选做内容。
本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲分式的运算第二讲分式的化简求值第三讲分式方程及其应用第四讲二次根式的运算第五讲二次根式的化简求值第六讲相似三角形（基础篇）第七讲相似三角形（提高篇）第八讲平行四边形（基础篇）第九讲平行四边形（提高篇）第十讲梯形、中位线及其应用第十一讲结业考试（未装订在内，另发）第十二讲试卷讲评第一讲：分式的运算【知识梳理】一、分式的意义 形如BA （B A 、为整式），其中B 中含有字母的式子叫分式。
当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。
二、分式的性质（1）分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=（其中M 是不为零的整式）。
（2）分式的符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。
（3）倒数的性质：1、()()011011>=⋅≠=⋅a aa a a a ，； 2、若11=⋅a a ，则11=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n n a a （0≠a ，n 是整数）； 3、()021>≥+a aa 。
三、分式的运算分式的运算法则有：bdbc ad d c b a c b a c b c a ±=±±=±，； n nn ba b a bc ad d c b a bd ac d c b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛=÷=⋅，，（n 是正整数）。
中学生数学竞赛培训方案
中学生数学竞赛培训方案1. 引言：数学竞赛在中学教育中占据重要地位中学生数学竞赛是培养学生综合数学能力、激发学生数学兴趣的有效途径之一，拥有广泛的参与群体和良好的普及性。
设计一套科学有效的培训方案，对提升中学生数学竞赛水平具有重要意义。
2. 对象定位：针对不同竞赛级别和学生特点制定培训方案中学生数学竞赛的级别多种多样，例如国家级、省市级、校际性竞赛等。
针对不同级别，培训方案需要根据学生的数学基础和能力特点制定。
3. 基础知识巩固：构建扎实的数学基础（1）针对中学数学课程要点，设计一套完整、系统的基础知识巩固教学计划，帮助学生掌握基础概念、方法和技巧；（2）结合实际应用，引导学生理解数学公式和定理的意义，增强数学的实用性。
4. 题型训练：提高解题技巧和速度（1）熟悉各类竞赛常见题型，帮助学生掌握解题方法和技巧；（2）逐渐增加难度，设置合理的训练计划，提高学生解题速度和准确率。
5. 模拟演练：增强应试能力和心理素质（1）定期组织模拟竞赛，让学生体验真实竞赛环境，增强应试能力；（2）引导学生正确面对挑战和失败，培养良好的心理素质，提高抗压能力。
6. 团队合作：培养学生合作精神和团队意识（1）组建竞赛小组，鼓励学生合作讨论、共同解题；（2）进行组内组间比赛，培养学生合作精神和团队意识。
7. 创新思维：培养学生的创新意识和问题解决能力（1）设置开放性数学问题，引导学生进行独立思考和探索；（2）培养学生的逻辑思维和创造力，鼓励解题的多样性和奇思妙想。
8. 名师指导：请教数学竞赛专家提供指导（1）邀请数学竞赛专家为学生提供专业指导和辅导；（2）定期组织交流会、座谈会等形式的活动，让学生与专家面对面交流，激发学习兴趣和思维碰撞。
9. 实践应用：将数学知识与实际问题结合（1）设计数学建模课程，将学习到的数学知识应用于实际问题中；（2）引导学生进行实际观察和调研，提高数学解决实际问题的能力。
10. 赛事经验总结：总结经验教训，改进培训方案（1）定期总结各项竞赛的成绩和经验教训，为制定更有效的培训方案提供参考；（2）通过学生反馈和评估，不断优化和改进培训内容和方法。
初中数学竞赛培训教案模板
1. 知识与技能目标：- 系统掌握初中数学竞赛的相关知识点，如代数、几何、数论等。
- 提高学生运用数学知识解决复杂问题的能力。
- 培养学生的逻辑思维、空间想象和创新能力。
2. 过程与方法目标：- 通过竞赛题型分析和解题技巧讲解，提高学生的解题速度和准确性。
- 通过小组讨论和合作学习，培养学生的团队协作能力。
3. 情感态度与价值观目标：- 增强学生对数学学习的兴趣和信心。
- 培养学生积极进取、勇于挑战的精神。
二、教学重难点1. 教学重点：- 竞赛数学的基本概念和性质。
- 常见竞赛题型的解题方法和技巧。
2. 教学难点：- 高难度题目的分析和解决。
- 学生思维定势的突破和创新能力的培养。
三、教学方法1. 讲授法：系统讲解竞赛数学的基本知识和解题技巧。
2. 讨论法：通过小组讨论，培养学生的合作能力和创新思维。
3. 案例分析法：通过分析典型竞赛题目，帮助学生掌握解题思路。
4. 练习法：通过大量练习，提高学生的解题速度和准确性。
（一）导入1. 介绍初中数学竞赛的意义和重要性。
2. 分析参加竞赛对学生数学能力提升的益处。
（二）新授1. 代数部分：- 讲解代数式的基本概念和运算规则。
- 分析代数方程、不等式、函数等竞赛题型的解题方法。
2. 几何部分：- 讲解平面几何、立体几何的基本概念和性质。
- 分析几何证明题、几何构造题等竞赛题型的解题方法。
3. 数论部分：- 讲解数论的基本概念和性质。
- 分析数论中的趣味题目、构造题目等竞赛题型的解题方法。
（三）练习1. 布置针对性的练习题，巩固所学知识。
2. 组织小组讨论，解答练习中的疑难问题。
（四）总结1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。
2. 鼓励学生在课后继续练习，提高自己的竞赛水平。
五、教学评价1. 通过学生的练习和测试，评价学生对竞赛数学知识的掌握程度。
2. 通过观察学生的课堂表现，评价学生的合作能力和创新能力。
1. 分析教学过程中遇到的问题和不足，及时调整教学策略。
初中数学竞赛培训的有效途径
初中数学竞赛培训的有效途径在初中阶段，数学竞赛培训不仅能够激发学生对数学的浓厚兴趣，培养其逻辑思维和创新能力，还为学生未来的学术发展打下坚实基础。
然而，要实现有效的初中数学竞赛培训并非易事，需要综合考虑多个方面，并采取切实可行的途径。
一、选拔合适的学生参与初中数学竞赛培训的学生应具备扎实的数学基础、强烈的学习兴趣和较高的学习能力。
选拔过程要科学合理，可以通过学校组织的数学考试、老师的推荐以及学生的自主报名等方式，综合考量学生的数学成绩、课堂表现、解题能力等因素。
同时，也要关注学生的学习态度和毅力，因为竞赛培训往往需要付出大量的时间和精力，只有具备坚韧不拔品质的学生才能够坚持到底。
二、配备优秀的师资师资力量是决定初中数学竞赛培训效果的关键因素之一。
培训教师不仅要具备深厚的数学专业知识，还要熟悉竞赛的命题规律和解题技巧，能够为学生提供针对性的指导。
此外，优秀的教师还应具有良好的教学方法和沟通能力，能够激发学生的学习热情，引导学生积极思考，培养学生的自主学习能力。
为了提高教师的教学水平，可以组织教师参加专业的培训课程，与其他优秀的竞赛培训教师交流经验，不断更新教学理念和方法。
同时，学校也可以邀请数学专家来校开展讲座，为教师和学生提供更前沿的数学知识和竞赛信息。
三、制定合理的教学计划一个合理的教学计划是初中数学竞赛培训有序进行的保障。
教学计划应根据学生的实际情况和竞赛的要求，分阶段、有重点地进行安排。
在基础阶段，要注重巩固学生的数学基础知识，包括代数、几何、数论等方面的基本概念和定理。
通过系统的讲解和练习，让学生打牢基础，为后续的学习做好准备。
在提高阶段，要针对竞赛中常见的题型和考点进行专项训练，如数学建模、逻辑推理、综合应用等。
引导学生掌握解题的方法和技巧，提高解题速度和准确性。
在冲刺阶段，要进行模拟考试和真题演练，让学生熟悉考试环境和节奏，提高应试能力。
同时，对学生在模拟考试中出现的问题进行有针对性的辅导和强化训练。
初中数学竞赛培训教学计划
初中数学竞赛培训教学计划1.引言初中数学竞赛培训是提升学生数学综合素质、培养创新思维和解决问题能力的有效途径之一。
为了帮助学生在竞赛中取得好成绩，我们制定了以下教学计划，并根据教学主题、活动安排和教材使用等方面进行详细论述。
2.教学主题本次竞赛培训的主题是提高学生的数学思维能力。
我们将通过多种教学方法，培养学生的逻辑推理、问题解决和抽象思维能力，为他们在竞赛中取得好成绩打下坚实的基础。
3.活动安排（1）第一阶段：基础知识巩固与扩展在第一阶段，我们将安排常规课堂教学，帮助学生巩固和扩展基础知识。
教师将根据学生的学习情况，针对性地进行讲解和习题演练，强化学生对基本概念和定理的理解和应用能力。
（2）第二阶段：解题技巧与策略训练在第二阶段，我们将重点培养学生的解题技巧与策略。
除了课堂授课外，我们还将组织模拟竞赛和小组讨论等活动。
通过自主学习和探究，学生将提高解题速度和准确性，锻炼出良好的数学思维习惯。
（3）第三阶段：实战训练和竞赛指导在第三阶段，我们将组织实战训练和竞赛指导，帮助学生熟悉竞赛的环境和要求。
教师将根据竞赛规则和命题思路，针对性地进行指导，帮助学生从容应对竞赛中的各类题型和难题，提高解题效率和答题准确性。
4.教材使用在教材选择上，我们将根据培训目标和教学大纲，合理选用适当的教材。
主要有《新课标必修教材》、《竞赛试题集》以及其他相关资源。
教师将根据学生的水平和需求，有针对性地进行教学内容的选择和安排，确保教学质量和效果。
5.总结本次初中数学竞赛培训教学计划旨在提高学生的数学思维能力，培养他们的创新思维和解决问题能力。
通过系统的培训和教学安排，我们将帮助学生在竞赛中取得好成绩，并为他们未来的学习和发展打下坚实的基础。
同时，我们也将根据实际教学情况和学生的需求，不断优化和改进教学策略，提高教学效果和学生的参与度。
初三数学教师如何进行数学思维竞赛培训
初三数学教师如何进行数学思维竞赛培训数学思维竞赛培训对于初三学生来说，是提高数学思维能力、培养解决问题的能力和提升整体数学素养的重要途径。
作为数学教师，如何进行有效的数学思维竞赛培训，是一个需要认真思考和准备的问题。
本文将从培训内容、培训方法和培训评估三个方面探讨初三数学教师进行数学思维竞赛培训的策略和方法。
一、培训内容1. 强化基础知识数学思维竞赛培训的首要任务是巩固和强化学生的基础数学知识。
初三学生需要通过掌握基础知识来确保解题时的自信心。
教师可以通过提供系统的基础知识讲解、编写习题和组织小组讨论等形式来帮助学生巩固知识。
2. 培养问题解决能力数学思维竞赛培训的核心目标是培养学生的问题解决能力。
教师可以通过提供一系列的挑战性数学问题，引导学生思考和解决问题的方法。
同时，教师还应该鼓励学生发表自己的见解，培养他们的探究精神和团队合作精神。
3. 培养创新能力数学思维竞赛培训应该注重培养学生的创新能力。
教师可以引导学生思考非常规解题方法，鼓励他们尝试新的思路和动手实践，给予他们充分的自由度。
同时，教师还可以组织一些创新型的比赛或活动，激发学生的创造力。
二、培训方法1. 使用多媒体教学多媒体教学是一种高效的教学方式。
教师可以使用课件、视频等多媒体资源来讲解概念、解题技巧和解题方法，使学生更加直观地理解数学的思路和逻辑。
此外，教师还可以通过展示一些数学思维竞赛的优秀解答和解题过程，激发学生学习数学思维竞赛的兴趣。
2. 开展小组讨论小组讨论是培养学生合作意识和解题能力的重要方法。
教师可以组织学生分成小组，让他们在小组内相互交流、讨论数学问题。
通过小组讨论，学生可以互相启发和促进，充分发挥每个人的优势，培养团队合作精神。
3. 组织模拟比赛组织模拟比赛是培养学生竞赛思维和应试能力的有效方式。
教师可以定期组织模拟比赛，让学生在竞赛的环境下解题。
通过模拟比赛，学生可以提高解题速度和抗压能力，同时还能了解数学竞赛的规则和要求。
全国初中数学竞赛辅导
全国初中数学竞赛辅导
全国初中数学竞赛辅导是帮助学生准备全国性的初中数学竞赛的一种教学辅导。
这种辅导通常包括针对竞赛中可能出现的各种题型和知识点的讲解和练习，以及一些竞赛策略的指导。
以下是一些建议，以帮助学生准备全国初中数学竞赛：
1. 基础知识掌握：确保学生对初中数学的基础知识有深入的理解和掌握，包括代数、几何、概率统计等。
2. 解题技巧训练：通过大量的练习和解析，让学生掌握各种题型的解题技巧和方法，提高解题速度和准确率。
3. 模拟考试：定期进行模拟考试，让学生熟悉竞赛的考试形式和难度，发现自己的不足之处，并及时调整备考策略。
4. 策略指导：为学生提供一些竞赛策略的指导，例如在考试中如何分配时间、如何取舍题目等。
5. 名师指导：请一些有丰富教学经验和竞赛经验的老师来指导学生，他们的经验和技巧会对学生有很大的帮助。
总之，全国初中数学竞赛辅导需要全面、系统地准备，需要学生、老师和家长的共同努力。
通过科学的备考策略和大量的练习，相信学生一定能够在竞赛中取得优异的成绩。
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初中数学竞赛专题培训第一讲：因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解(1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c 时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解(1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明(4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．练习一1．分解因式：(2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．分解因式：(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+323．3．分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．初中数学竞赛专题培训第二讲：因式分解(二)1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；解(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m 和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；(2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)x4+5x3+15x-9．初中数学竞赛专题培训第三讲实数的若干性质和应用实数是高等数学特别是微积分的重要基础．在初中代数中没有系统地介绍实数理论，是因为它涉及到极限的概念．这一概念对中学生而言，有一定难度．但是，如果中学数学里没有实数的概念及其简单的运算知识，中学数学也将无法继续学习下去了．例如，即使是一元二次方程，只有有理数的知识也是远远不够用的．因此，适当学习一些有关实数的基础知识，以及运用这些知识解决有关问题的基本方法，不仅是为高等数学的学习打基础，而且也是初等数学学习所不可缺少的．本讲主要介绍实数的一些基本知识及其应用．用于解决许多问题，例如，不难证明：任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数，或者说，有理数对加、减、乘、除(零不能做除数)是封闭的．性质1 任何一个有理数都能写成有限小数(整数可以看作小数点后面为零的小数)或循环小数的形式，反之亦然．例1分析要说明一个数是有理数，其关键要看它能否写成两个整数比的形式．证设两边同乘以100得②-①得99x=261.54-2.61=258.93，无限不循环小数称为无理数．有理数对四则运算是封闭的，而无理是说，无理数对四则运算是不封闭的，但它有如下性质．性质2 设a为有理数，b为无理数，则(1)a+b，a-b是无理数；有理数和无理数统称为实数，即在实数集内，没有最小的实数，也没有最大的实数．任意两个实数，可以比较大小．全体实数和数轴上的所有点是一一对应的．在实数集内进行加、减、乘、除(除数不为零)运算，其结果仍是实数(即实数对四则运算的封闭性)．任一实数都可以开奇次方，其结果仍是实数；只有当被开方数为非负数时，才能开偶次方，其结果仍是实数．例2分析证所以分析要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事．由于有理数与无理数共同组成了实数集，且二者是矛盾的两个对立面，所以，判定一个实数是无理数时，常常采用反证法．证用反证法．所以p一定是偶数．设p=2m(m是自然数)，代入①得4m2＝2q2，q2＝2m2，例4 若a1+b1a=a2+b2a(其中a1，a2，b1，b2为有理数，a为无理数)，则a1=a2，b1=b2，反之，亦成立．分析设法将等式变形，利用有理数不能等于无理数来证明．证将原式变形为(b1-b2)a=a2-a1．若b1≠b2，则反之，显然成立．说明本例的结论是一个常用的重要运算性质．是无理数，并说明理由．整理得：由例4知a＝Ab，1=A，说明本例并未给出确定结论，需要解题者自己发现正确的结有理数作为立足点，以其作为推理的基础．例6 已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，求证：a与b之间存在着无穷多个有理数(即有理数集具有稠密性)．分析只要构造出符合条件的有理数，题目即可被证明．证因为a＜b，所以2a＜a+b＜2b，所以说明构造具有某种性质的一个数，或一个式子，以达到解题和证明的目的，是经常运用的一种数学建模的思想方法．例7 已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，问是否存在无理数α，使得a＜α＜b成立？即由①，②有存在无理数α，使得a＜α＜b成立．b4+12b3+37b2+6b-20的值．分析因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来，这样涉及无理数小数部分的计算题，往往是先估计它的整数部分(这是容易确定的)，然后再寻求其小数部分的表示方法．14=9+6b+b2，所以b2+6b=5．b4+12b3+37b2+6b-20=(b4+2·6b3+36b2)+(b2+6b)-20=(b2+6b)2+(b2+6b)-20=52+5-20=10．例9 求满足条件的自然数a，x，y．解将原式两边平方得由①式变形为两边平方得例10 设a n是12+22+32+…+n2的个位数字，n=1，2，3，…，求证：0.a1a2a3…a n…是有理数．分析有理数的另一个定义是循环小数，即凡有理数都是循环小数，反之循环小数必为有理数．所以，要证0.a1a2a3…a n…是有理数，只要证它为循环小数．因此本题我们从寻找它的循环节入手．证计算a n的前若干个值，寻找规律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，…发现：a20=0，a21=a1，a22=a2，a23=a3，…，于是猜想：a k+20=a k，若此式成立，说明0.a1a2…a n…是由20个数字组成循环节的循环小数，即下面证明a k+20=a k．令f(n)=12+22+…+n2，当f(n+20)-f(n)是10的倍数时，表明f(n+20)与f(n)有相同的个位数，而f(n+20)-f(n)=(n+1)2+(n+2)2+…+(n+20)2=10(2n2+42·n)+(12+22+…+202)．由前面计算的若干值可知：12+22+…+202是10的倍数，故a k+20=a k成立，所以0.a1a2…a n…是一个有理数．练习三1．下列各数中哪些是有理数，哪些是无理数？为什么？5．设α，β为有理数，γ为无理数，若α+βγ=0，求证：α=β=0．初中数学竞赛专题培训第四讲分式的化简与求值分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．例1 化简分式：分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．例2 求分式当a=2时的值．分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．例3 若abc=1，求分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．解法1 因为abc=1，所以a，b，c都不为零．解法2 因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．例4 化简分式：分析与解三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．说明互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．例5 化简计算(式中a，b，c两两不相等)：似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法．解说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用例6 已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求分析本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么题目只与x-a，y-a，z-a有关，为简化计算，可用换元法求解．解令x-a=u，y-a=v，z-a=w ，则分式变为u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0．由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u2+v2+w2≠0，从而有说明从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化．例7 化简分式：适当变形，化简分式后再计算求值．(x-4)2=3，即x2-8x+13＝0．原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10=10，原式分母=(x2-8x+13)+2=2，说明本例的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．解法1 利用比例的性质解决分式问题．(1)若a+b+c≠0，由等比定理有所以a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，于是有(2)若a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，于是有说明比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．解法2 设参数法．令则a+b=(k+1)c，①a+c=(k+1)b，②b+c=(k+1)a．③①+②+③有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，所以(a+b+c)(k-1)=0，故有k=1或a+b+c=0．当k=1时，当a+b+c=0时，说明引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．练习四1．化简分式：的值．2．计算：3．已知：(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2=(x+y-2z)2+(y+z-2x)2+(z+x-2y)2，初中数学竞赛专题培训第五讲恒等式的证明代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后进行例题分析．两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．1．由繁到简和相向趋进恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)．例1 已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．分析将左边展开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边．证因为x+y+z=xyz，所以左边=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2)=(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)=xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz=右边．说明本例的证明思路就是“由繁到简”．。