初中数学竞赛专题培训(7)：根式及其运算

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数学竞赛试题解根式方程

数学竞赛试题解根式方程
解根式方程的一般步骤如下：
1. 将根式方程化为含根的代数方程。

如果根式方程只存在一个根号，可以采用两边平方的方法将其转化为含根的代数方程。

如果根式方程存在多个根号，可以通过变量替换的方法将其转化为含根的代数方程。

2. 对含根的代数方程进行求解。

对于一次方程，可以直接求解得到解。

对于二次方程，可以使用求根公式求解。

对于高次方程，可以采用因式分解、配方法、求根方法等进行求解。

3. 验证解的可行性。

将求得的解代入原方程中进行验证，判断是否满足原方程。

需要注意的是，根式方程在求解时需要注意方程中根号的运算法则，避免出错。

同时，在根式方程的求解过程中，也要注意合理化简、排除无意义解等问题。

以一个例题为例：
将根式方程√(2x-5) = 3x - 1 进行解答。

1. 化为含根的代数方程：
两边平方得到 2x - 5 = (3x - 1)^2
2. 求解含根的代数方程：
展开方程得到 2x - 5 = 9x^2 - 6x + 1
将方程整理为一元二次方程 9x^2 - 8x + 6 = 0
使用求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
得到两个根x ≈ 0.42 和x ≈ 0.44
3. 验证解的可行性：
将求得的解代入原方程中进行验证，验证结果表明两个解都满足原方程。

因此，根式方程√(2x-5) = 3x - 1 的解为x ≈ 0.42 和x ≈ 0.44。

七年级数学根式知识点

七年级数学根式知识点数学一直是学生们比较头疼的科目之一，而根式是数学中的一大难点。

对于七年级学生来说，根式的学习显得更为重要。

本文将为大家介绍一些七年级数学根式知识点。

一、根式的定义根式是一个数的非负平方根，通常用符号√表示，并把具体数值放在符号下面。

例如，√4=2，√9=3等。

二、根式的运算法则1.根式与根式相加减：同阶根式可以相加减，但阶数和被开方数必须完全相同，这就是同根。

例如：√3+√3=2√3；2√6+3√6=5√6。

2.根式与整数的加减：将根式和整数看成同一类，可以直接相加减。

例如：3+√5+2-√5=5。

3.根式与根式相乘：把根式的底数相乘，指数相加，即可得到结果。

例如：√2×√3=√6；√x×√x=x。

4.根式与根式相除：把被除数，除数同底数的根式，指数相减，即可得到结果。

例如：√4÷√2=√2；√x÷√x=1。

三、根式化简1.对于一个数a，可以把他表示为a=√k×m，其中k是一个最大的完全平方数，m不能再开平方。

例如：48=16×3；45=9×5。

2.根式化简的基本思路是找到能整除的数，然后把它提取出来。

例如：25√3=5×5√3。

四、根式的应用1.勾股定理勾股定理是一个数学定理，得名于古代中国的著名学者“勾股”。

其中最著名的公式就是a²+b²=c²。

2.海伦公式海伦公式常用于求任意三角形的面积。

其中S是三角形的面积，a、b、c是三角形的任意三边，p是三角形半周长。

公式如下：S=√p×(p-a)×(p-b)×(p-c)。

3.圆的周长和面积公式设r为圆的半径，C为圆的周长，S为圆的面积，则圆的周长公式为C=2πr，圆的面积公式为S=πr²。

综上所述，根式是数学中重要的知识点，对于七年级的学生来说，掌握根式的定义、运算法则、化简方法以及应用是必要的。

《根式及其运算》课件

《根式及其运算》PPT课件
本课件将详细介绍根式及其运算，包括定义、运算规则、计算方法、简化、应用等内容。
概述
根式是数学中常见的一种表达方式，它可以表示数字的平方根、立方根等。学习根式的概念和性质，对于深入理解数学有着重要意义。
根式的定义
根式是用符号√来表示的数学符号，它表示某个数的平方根、立方根等。根式由被开方数和根指数组成。
2
利用乘法性质
将根式看成一个整体，利用乘法性质进行简公式进行计算，如除法公式、乘法公式等。
简化根式
化简公式
利用化简公式，将复杂的根式化简为简单的形式。
合并同类项
将相同根指数的根式合并为一个根式，简化计算。
提取公因数
利用公因数的性质，将根式中的公因式提取出来，简化根式。
根式的运算规则
同底同指数
相同底数的根式可以进行加减运算，指数保持不变。
不同底同指数
不同底数的根式无法进行运算，需要进行化简或变形。
同底异指数
相同底数的根式可以进行乘除运算，指数相加或相减。
不同底异指数
不同底数的根式无法进行运算，需要进行化简或变形。
计算根式的方法
1
分解因式
将被开方数分解成完全平方数的乘积，再进行化简计算。
根式的应用
根式在数学和实际生活中都有广泛的应用，如几何中的勾股定理、物理中的速度和加速度等。理解和掌握根式的应用，对提升问题解决能力很有帮助。
总结
本课件通过介绍根式的定义、运算规则、计算方法、简化和应用等内容，希望能够帮助大家更好地理解和掌握根式及其运算。

初中数学竞赛专题培训

第一讲：因式分解(一) (1)第二讲：因式分解(二) (4)第三讲实数的若干性质和应用 (7)第四讲分式的化简与求值 (10)第五讲恒等式的证明 (13)第六讲代数式的求值 (16)第七讲根式及其运算 (19)第八讲非负数 (23)第九讲一元二次方程 (27)第十讲三角形的全等及其应用 (31)第十一讲勾股定理与应用 (35)第十二讲平行四边形 (38)第十三讲梯形 (41)第十四讲中位线及其应用 (45)第十五讲相似三角形(一) (47)第十六讲相似三角形(二) .............................................. 50 第十七讲* 集合与简易逻辑. (54)第十八讲归纳与发现 (59)第十九讲特殊化与一般化 (63)第二十讲类比与联想 (67)第二十一讲分类与讨论 (70)第二十二讲面积问题与面积方法 (74)第二十三讲几何不等式 (77)第二十四讲* 整数的整除性 (81)第二十五讲* 同余式 (84)第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题 (87)第二十七讲列方程解应用问题中的量 (91)第二十八讲怎样把实际问题化成数学问题 (95)第二十九讲生活中的数学(三) ——镜子中的世界 (98)第三十讲生活中的数学(四)──买鱼的学问 (99)第一讲：因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决很多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不但是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维水平，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、使用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．使用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n 为奇数．使用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等准确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题能够稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) =(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的准确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它能够推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n 来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这个技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法实行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍使用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题能够看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，所以拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，因为分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y 来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样能够得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元能够一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．第二讲：因式分解(二)1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也能够用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，能够看作是关于x的二次三项式．对于常数项来说，它是关于y的二次三项式，也能够用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f实行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这个项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，不过当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式实行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．所以，必须对-4的约数逐个代入多项式实行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式能够化为9x2-3x-2，这样能够简化分解过程．总来说之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就能够分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就能够继续对g(x)实行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过度析，能够断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时能够用一些字母来表示待定的系数．因为该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析因为(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式能够分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明因为因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等能够不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法使用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．第三讲实数的若干性质和应用实数是高等数学特别是微积分的重要基础．在初中代数中没有系统地介绍实数理论，是因为它涉及到极限的概念．这个概念对中学生来说，有一定难度．但是，如果中学数学里没有实数的概念及其简单的运算知识，中学数学也将无法继续学习下去了．例如，即使是一元二次方程，只有有理数的知识也是远远不够用的．所以，适当学习一些相关实数的基础知识，以及使用这些知识解决相关问题的基本方法，不但是为高等数学的学习打基础，而且也是初等数学学习所不可缺少的．本讲主要介绍实数的一些基本知识及其应用．用于解决很多问题，例如，不难证明：任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数，或者说，有理数对加、减、乘、除(零不能做除数)是封闭的．性质1 任何一个有理数都能写成有限小数(整数能够看作小数点后面为零的小数)或循环小数的形式，反之亦然．例1分析要说明一个数是有理数，其关键要看它能否写成两个整数比的形式．证设两边同乘以100得②-①得99x=261.54-2.61=258.93，无限不循环小数称为无理数．有理数对四则运算是封闭的，而无理是说，无理数对四则运算是不封闭的，但它有如下性质．性质2 设a为有理数，b为无理数，则(1)a+b，a-b是无理数；有理数和无理数统称为实数，即在实数集内，没有最小的实数，也没有最大的实数．任意两个实数，能够比较大小．全体实数和数轴上的所有点是一一对应的．在实数集内实行加、减、乘、除(除数不为零)运算，其结果仍是实数(即实数对四则运算的封闭性)．任一实数都能够开奇次方，其结果仍是实数；只有当被开方数为非负数时，才能开偶次方，其结果仍是实数．例2分析证所以分析要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事．因为有理数与无理数共同组成了实数集，且二者是矛盾的两个对立面，所以，判定一个实数是无理数时，常常采用反证法．证用反证法．所以p一定是偶数．设p=2m(m是自然数)，代入①得 4m2＝2q2，q2＝2m2，例4 若a1+b1a=a2+b2a(其中a1，a2，b1，b2为有理数，a 为无理数)，则a1=a2，b1=b2，反之，亦成立．分析设法将等式变形，利用有理数不能等于无理数来证明．证将原式变形为(b1-b2)a=a2-a1．若b1≠b2，则反之，显然成立．说明本例的结论是一个常用的重要运算性质．是无理数，并说明理由．整理得：由例4知a＝Ab，1=A，说明本例并未给出确定结论，需要解题者自己发现准确的结有理数作为立足点，以其作为推理的基础．例6 已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，求证：a 与b之间存有着无穷多个有理数(即有理数集具有稠密性)．分析只要构造出符合条件的有理数，题目即可被证明．证因为a＜b，所以2a＜a+b＜2b，所以说明构造具有某种性质的一个数，或一个式子，以达到解题和证明的目的，是经常使用的一种数学建模的思想方法．例7 已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，问是否存有无理数α，使得a＜α＜b成立？即由①，②有存有无理数α，使得a＜α＜b成立．b4+12b3+37b2+6b-20的值．分析因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来，这样涉及无理数小数部分的计算题，往往是先估计它的整数部分(这是容易确定的)，然后再寻求其小数部分的表示方法．14=9+6b+b2，所以b2+6b=5．b4+12b3+37b2+6b-20=(b4+2·6b3+36b2)+(b2+6b)-20=(b2+6b)2+(b2+6b)-20=52+5-20=10．例9 求满足条件的自然数a，x，y．解将原式两边平方得由①式变形为两边平方得例10 设a n是12+22+32+…+n2的个位数字，n=1，2，3，…，求证：0.a1a2a3…a n…是有理数．分析有理数的另一个定义是循环小数，即凡有理数都是循环小数，反之循环小数必为有理数．所以，要证0.a1a2a3…a n…是有理数，只要证它为循环小数．所以本题我们从寻找它的循环节入手．证计算a n的前若干个值，寻找规律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，…发现：a20=0，a21=a1，a22=a2，a23=a3，…，于是猜想：a k+20=a k，若此式成立，说明0.a1a2…a n…是由20个数字组成循环节的循环小数，即下面证明a k+20=a k．令f(n)=12+22+…+n2，当f(n+20)-f(n)是10的倍数时，表明f(n+20)与f(n)有相同的个位数，而f(n+20)-f(n)=(n+1)2+(n+2)2+…+(n+20)2=10(2n2+42·n)+(12+22+…+202)．由前面计算的若干值可知：12+22+…+202是10的倍数，故a k+20=a k成立，所以0.a1a2…a n…是一个有理数．第四讲分式的化简与求值分式的相关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这个性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式实行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．例1 化简分式：分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］说明本题的关键是准确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．例2 求分式当a=2时的值．分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．例3 若abc=1，求分析本题可将分式通分后，再实行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．解法1 因为abc=1，所以a，b，c都不为零．解法2 因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．例4 化简分式：分析与解三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．说明互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．例5 化简计算(式中a，b，c两两不相等)：似的，对于这个分式，显然分母能够分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c)，所以有下面的解法．解说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用例6 已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求分析本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么题目只与x-a，y-a，z-a 相关，为简化计算，可用换元法求解．解令x-a=u，y-a=v，z-a=w ，则分式变为u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0．因为x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u2+v2+w2≠0，从而有说明从本例中能够看出，换元法能够减少字母个数，使运算过程简化．例7 化简分式：适当变形，化简分式后再计算求值．(x -4)2=3，即x 2-8x+13＝0．原式分子=(x 4-8x 3+13x 2)+(2x 3-16x 2+26x)+(x 2-8x+13)+10 =x 2(x 2-8x+13)+2x(x 2-8x+13)+(x 2-8x+13)+10 =10，原式分母=(x 2-8x+13)+2=2，说明本例的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．解法1 利用比例的性质解决分式问题． (1)若a+b+c ≠0，由等比定理有所以a+b -c=c ，a -b+c=b ，-a+b+c=a ，于是有(2)若a+b+c=0，则 a+b=-c ，b+c=-a ，c+a=-b ，于是有说明比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．解法2 设参数法．令则a+b=(k+1)c ，① a+c=(k+1)b ，② b+c=(k+1)a ．③①+②+③有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，所以 (a+b+c)(k -1)=0，故有k=1或 a+b+c=0．当k=1时，当a+b+c=0时，说明引进一个参数k 表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．第五讲恒等式的证明代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，所以代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后实行例题分析．两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般能够把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．1．由繁到简和相向趋进恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)．例1 已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．分析将左边展开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边．证因为x+y+z=xyz，所以左边=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2) =(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx) =xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz=右边．说明本例的证明思路就是“由繁到简”．例2 已知1989x2=1991y2=1993z2，x＞0，y＞0，z＞0，且证令1989x2=1991y2=1993z2=k(k＞0)，则又因为所以所以说明本例的证明思路是“相向趋进”，在证明方法上，通过设参数k，使左右两边同时变形为同一形式，从而使等式成立．2．比较法a=b(比商法)．这也是证明恒等式的重要思路之一．例3 求证：分析用比差法证明左-右=0．本例中，这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b代a，c代b，a代c，则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性，可使轮换式的运算简化．证因为所以所以说明本例若采用通分化简的方法将很繁．像这种把一个分式分解成几个部分分式和的形式，是分式恒等变形中的常用技巧．全不为零．证明：(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．同理所以所以(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．说明本例采用的是比商法．3．分析法与综合法根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法．分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是准确的，这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断言结论准确，即所谓“执果索因”．而综合法正好相反，它是“由因导果”，即从已知条件出发顺向推理，得到所求结论．证要证 a2+b2+c2=(a+b-c)2，只要证a2+b2+c2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc，只要证 ab=ac+bc，只要证 c(a+b)=ab，只要证这最后的等式正好是题设，而以上推理每一步都可逆，故所求证的等式成立．说明本题采用的方法是典型的分析法．例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d．证由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，所以(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．因为(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，所以 (a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．又因为a，b，c，d都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0，所以a＝b，c=d．所以ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0，所以a＝c．故a=b＝c=d成立．说明本题采用的方法是综合法．4．其他证明方法与技巧求证：8a+9b+5c=0．a+b=k(a-b)，b+c=2k(b-c)，(c+a)=3k(c-a)．所以6(a+b)=6k(a-b)，3(b+c)=6k(b-c)，2(c+a)=6k(c-a)．以上三式相加，得6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)=6k(a-b+b-c+c-a)，即 8a+9b+5c=0．说明本题证明中用到了“遇连比设为k”的设参数法，前面的例2用的也是类似方法．这种设参数法也是恒等式证明中的常用技巧．例8 已知a+b+c=0，求证2(a4+b4+c4)＝(a2+b2+c2)2．分析与证明用比差法，注意利用a+b+c=0的条件．左-右=2(a4+b4+c4)-(a2+b2+c2)2=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2=(a2-b2-c2)2-4b2c2=(a2-b2-c2+2bc)(a2-b2-c2-2bc)=[a2-(b-c)2][a2-(b+c)2]=(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a+b+c)=0．所以等式成立．说明本题证明过程中主要是实行因式分解．分析本题的两个已知条件中，包含字母a，x，y和z，而在求证的结论中，却只包含a，x和z，所以能够从消去y着手，得到如下证法．证由已知说明本题利用的是“消元”法，它是证明条件等式的常用方法．例10 证明：(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．分析与证明此题看起来很复杂，但仔细观察，能够使用换元法．令y+z-2x=a，①z+x-2y=b，②x+y-2z=c，③则要证的等式变为a3+b3+c3=3abc．联想到乘法公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)，所以将①，②，③相加有a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，所以 a3+b3+c3-3abc=0，所以(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．说明由本例能够看出，换元法也能够在恒等式证明中发挥效力．例11 设x，y，z为互不相等的非零实数，且求证：x2y2z2=1．分析本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的所以x2y2=1．三元与二元的结构类似．证由已知有①×②×③得x2y2z2=1．说明这种欲进先退的解题策略经常用于探索解决问题的思路中．总来说之，从上面的例题中能够看出，恒等式证明的关键是代数式的变形技能．同学们要在明确变形目的的基础上，深刻体会例题中的常用变形技能与方法，这对以后的数学学习非常重要．第六讲代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．很多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．所以，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．1．利用因式分解方法求值因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很麻烦．我们能够先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．解已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1．说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．例2 已知a，b，c为实数，且满足下式：a2+b2+c2=1，①求a+b+c的值．解将②式因式分解变形如下即所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0．若bc+ac+ab=0，则(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1，所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0，1，-1．说明本题也能够用如下方法对②式变形：即前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式．2．利用乘法公式求值例3 已知x+y=m，x3+y3=n，m≠0，求x2+y2的值．解因为x+y=m，所以m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy，。

三次根式竞赛专题

三次根式竞赛专题介绍本文档将介绍三次根式竞赛的专题内容。

三次根式是数学中的一个重要概念，通过竞赛可以帮助学生更好地理解和掌握这一概念。

竞赛内容三次根式竞赛将涵盖以下几个专题：1. 三次根式的定义首先，竞赛会引导学生了解三次根式的定义。

学生需要掌握如何计算一个数的三次根式，以及三次根式的性质和特点。

2. 三次根式的运算第二个专题将涉及三次根式的运算。

学生需要学会如何进行三次根式的加减乘除运算，并能够应用到实际问题中。

3. 三次根式的简化和化简在第三个专题中，竞赛将要求学生学会简化和化简三次根式。

学生需要掌握简化三次根式的方法和技巧，并能应用到实际计算中。

4. 三次根式的应用最后一个专题将涉及三次根式的应用。

竞赛将给出一些实际问题，要求学生利用三次根式进行求解。

学生需要能够将实际问题转化为数学问题，并进行相应的计算和分析。

竞赛目标通过参与三次根式竞赛，学生可以达到以下目标：1. 掌握三次根式的定义，理解三次根式的含义和性质。

2. 学会进行三次根式的运算，包括加减乘除运算。

3. 熟练运用三次根式的简化和化简方法，提高计算效率。

4. 能够将三次根式应用到实际问题求解中，提高解决实际问题的能力。

参赛要求参与三次根式竞赛需要满足以下要求：1. 参赛者应具备一定的数学基础知识，了解基本的代数概念和运算规则。

2. 参赛者应具备一定的计算能力，能够进行基本的数值计算和推理。

3. 参赛者应具备较强的逻辑思维和解决问题的能力。

4. 参赛者应秉持公平竞争的原则，不得进行作弊和抄袭行为。

竞赛安排具体的竞赛安排将在后续通知中发布。

请参赛者密切关注相关通知，准备好参加三次根式竞赛。

结束语通过参与三次根式竞赛，学生可以巩固和拓展自己对三次根式的理解和应用能力。

希望参赛者能够积极参与，并在竞赛中收获满满！。

人教版数学八年级培优竞赛二次根式的性质与化简求值专题课件

24 x 8 x 24 x 8 x
2
24 x
2
8x
24 x
8 x 16 又有
24 x 8 x 2 ，可得 24 x 8 x 8 ，将这两式相加可得 24 x 5 ，且
8 x 3 ，将 24 x 5 两边平方可解得 x 请你学习小明的方法，解下面的方程：
1，经检验 x
1是原方程的解.
（1）方程 x2 42 x2 10 16的解是
...
...
求满足 an bn cn 2019 3 2 1 的n可以取得的最小整数.
32
由 a1 ＋ b1 ＋ c1 ＝ 2 ＋ 2 3 ＋ 3 ＋2＋1＋ 2 2 ＝3（ 3 ＋ 2 ＋1），a 2 ＋ b2 ＋ c2 ＝9（ 3
＋
2 ＋1），… an ＋ bn ＋ cn ＝ 3（n
3＋
2 ＋1），而 an＋bn＋cn ≥2019×（
16.求代数式 x2 4 12 x 2 9 的最小值.
构造如图所示的图形，BD＝12，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝2，CD＝3，设 PB＝
x，则 AP＋CP＝ x2＋4 ＋ 12－x2＋9 ，当 A，P，C 三点在同一直线上时，上述式
子取最小值，作 AE⊥CD，在△AEC 中，最小值为 AC＝13.
（1）这列数，每 6 个数循环，故，第 50 个数是－1；（2）2018 个数中含有 336 个循环还余第 1，第 2 共 2 个数，而一个循环的和是 0，故从第 1 个数开始的前 2018 个数的和是 0；（3）因为一个循环的平方和为 12，而 520 中含有 43 个 12 且余下 4，并且前面 3 个数的平方和恰好是 4，43×6＋3＝261，共有 261 个数的平方相加.

初中竞赛题数学根式化简

初中竞赛题数学根式化简本篇文章将介绍初中数学竞赛中的根式化简题目。

根式化简是初中数学中的一个重要知识点，也是数学竞赛中必考的题型之一。

首先，我们需要了解一些基本的根式化简规则。

比如：1. 同类项合并：当根号下的数相同时，可以将它们合并为一个根号，并把相同的数乘起来。

2. 化简分子分母：对于分式中的根号，我们可以将分子和分母都乘以一个适当的数，使得分式中的根号被消除或者被化简。

3. 分解质因数：将根号下的数分解为质因数，可以方便进行化简。

接下来，我们看一下一些典型的根式化简题目。

例1：将 $sqrt{50}$ 化简。

$sqrt{50}=sqrt{2times25}=sqrt{2}timessqrt{25}=sqrt{2}times5 =5sqrt{2}$例2：将 $frac{sqrt{27}}{sqrt{3}}$ 化简。

$frac{sqrt{27}}{sqrt{3}}=frac{sqrt{3times9}}{sqrt{3}}=frac{ sqrt{3}timessqrt{9}}{sqrt{3}}=3$例3：将 $frac{3sqrt{2}}{5sqrt{3}}$ 化简。

$frac{3sqrt{2}}{5sqrt{3}}=frac{3sqrt{2}timessqrt{3}}{5sqrt{3}timessqrt{3}}=frac{3sqrt{6}}{15}=frac{sqrt{6}}{5}$ 例4：将 $sqrt{80}-sqrt{45}$ 化简。

$sqrt{80}=sqrt{16times5}=4sqrt{5}$$sqrt{45}=sqrt{9times5}=3sqrt{5}$$sqrt{80}-sqrt{45}=4sqrt{5}-3sqrt{5}=sqrt{5}$ 以上就是一些典型的根式化简题目，希望对初中数学竞赛的学习有所帮助。

根式运算技巧

根式运算技巧一、基本理论1.二次根式的定义，算数平方根、平方根2.奇数次根式和偶次根式的区别3.平方根=本身的数，立方根=本身的数4.9的平方根=？5.根式运算的法则。

强调加减只能合并，没有公式。

6.偶次方根的双重非负性例y y x y x -=-4498416 例y y x y x --=-3478416 例32237828y y x y x -=- 例若0111=-+-xm x x ，求x =? 7. n 次方根的与指数的关系32321a a =- 46425a a a = 与16425 =÷做比较二、根式化简和运算的技巧1．与小学数学有关的根式化简 ①333311112222- ②1336335334333+⨯⨯⨯ ③1431432.分母有理化分母有理化有三种方式3632= 3632= 23231-=+ 3.根式与无理数的关系例：证明2是无理数（反证）4.二次根式的比较大小例比较的大小与13151113--利用分子有理化比较大小。

一般差相等考虑用分母有理化比较大小。

例比较的大小与13151217++5.复合根式的化简例化简6410+ 思路：设()ab b a b a 2242864102++=+=+=+比较等式两边，则有： ⎩⎨⎧==+610ab b a 显然：a 和b 一个为4，一个为6 例化简26221228234832+=+=+=+ 6.无穷根式的处理初中无穷多的处理一般将其设为x例求5 =？设)(015522舍弃或两边平方可得：==∴=∴==x x x x x x例 +++++22222 设 +++++22222=x两边平方可得：)(1222舍去或-==∴+=x x x x7.“共轭”根式的应用共轭根式指的是b a b a -+与或b a b a -+与情况，其恰好对应一元二次方程的解的形式，因此在数学竞赛中是个永恒的考点。

共轭根式的处理，一般要用到共轭根式相乘为整数。

根式运算竞赛专题

根式运算竞赛专题
简介
本文档旨在为根式运算竞赛提供相关信息和建议。

根式运算是
数学中重要的一部分，掌握根式运算技巧对于学生的数学能力有着
重要的影响。

通过竞赛形式的研究和练，可以帮助学生提高根式运
算的能力，并激发他们对数学的兴趣。

竞赛准备
- 熟悉根式运算的基本概念和规则，包括开方、合并同类项、
乘法和除法规则等；
- 研究解决根式运算问题的常用方法和技巧，例如化简、分解、提取公因式等；
- 多做练题，加深对根式运算的理解和熟练掌握；
- 参加模拟竞赛，了解竞赛的形式和要求，磨炼解题能力。

竞赛技巧
- 注意读题，理解题目中所给信息并准确提取关键信息；
- 运用合适的根式运算规则和方法，化繁为简，简化运算过程；
- 注意计算的准确性，避免粗心错误；
- 注意时间管理，合理安排解题时间；
- 多做竞赛题目，积累经验，提高解题速度和准确度。

竞赛注意事项
- 确保在竞赛期间遵守竞赛规则和要求；
- 注意比赛时间和地点，提前做好准备；
- 做题时不要盲目追求速度，准确性和思考过程同样重要；
- 若遇到难题，可以先尝试解决其他问题，再回过头来思考难题；
- 合理利用竞赛时间，将注意力集中在解题上。

结论
通过参加根式运算竞赛，学生能够提高根式运算的能力，培养解决问题的思维方式，同时也增强了对数学的兴趣和热爱。

在竞赛中，学生可以锻炼自己的解题技巧和应对压力的能力，为将来的学习和发展打下坚实的基础。

初中数学重点梳理：根式及其运算

根式及其运算知识定位根式是初中数学的重要内容之一，也是近年各类初中数学竞赛中常常涉及到的知识点.解此类有关根式计算题的关键在于将无理式进行有理化.但是在很多竞赛题中我们遇到的计算式子却非常复杂和灵活，其中对根式的计算要求技巧性较强，因而计算的难度较大.在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．知识梳理二次根式的概念：式子a (a ≥0)叫二次根式。

二次根式的性质：（1）()()02≥=a a a ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==00002a ,a a ,a ,a a a二次根式的运算法则：（1）c )b a (c b c a ±=± (0≥c )；（2）ab b a =⋅ (00≥≥b ,a )；（3）baba =(00>≥b ,a )；（4）()()0≥=a a a m m若0>>b a ，则b a >。

设m ,d ,c ,b ,a 是有理数,且m 不是完全平方数，则当且仅当d b ,c a ==时，m d c m b a +=+ 。

形如b a x +=，b a y -=的这两个根式互称为共轭根式。

当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．例题精讲◆专题一：共轭因式法【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第二试【题目】设0>m ，m x x =--+13，则代数式13-++x x 的值是 (用m 表示).【答案】m4 【解析】观察此题中13--+x x 与13-++x x 恰是共轭因式，因此想到将两式相乘得：()()()()413131322=--+=-++•--+x x x x x x即()433=-++•x x m ,所以mx x 413=-++. 点评：我们把形如b a +、b a -的两个根式互称为共轭因式,共轭因式相乘就恰好将无理式化为有理式，从而此题轻松解决. 【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】2◆专题二：有理化法【试题来源】2008年全国初中数学联赛第一试【题目】已知实数x 、y 满足()()20082008200822=----y y x x ，则2007332322--+-y x y x 的值为( )【选项】(A)－2008 (B) 2008 (C)－1 (D)1 【答案】D 【解析】由已知()()20082008200822=----y y x x 可得：200820081200822--=--y y x x然后将等式左边分子有理化得：()()200820082008200820082222--=-+-+--y y x x x x x x()20082008200820082222--=-+--y y x x x x200820082008200822--=-+y y x x∴ 2008200822--=-+y y x x ①同理可得：2008200822-+=--y y x x ②由①、②得：x = y ∴ ()2008200822=--x x变形得： 20082008200822--=--x x x x将等式的左边分子有理化得：200820082008200822--=-+x x x x∴ 2008200822-+=--x x x x∴020082=-x ,即20082=x∴原式=120072008200720073323222=-=-=--+-x x x x x .故选D.点评：有理化法是解二次根式计算题的常用方法，就其形式来说可分为分母有理化和分子有理化两类.具体方法是在分式的分母(或分子)同时乘以原二次根式的有理化因式，从而达到化无理式为有理式的目的. 【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】2◆专题三：因式分解法常用方法：利用配方法将被开方数配成完全平方式或者立方式【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第二试【题目】计算-++++12862231286223+---，得 .【答案】2-【解析】此题分子、分母均含根式，如果按照通常的做法是先分母有理化，这样计算较繁.若观察到分母可进行因式分解，先将分母因式分解后，再化简.原式()()32432223++++=()()32432223-----()()423223+++=()()423223----421421-++=222222-++-=2-=点评：从此题我们可得到这样的启发：当分子分母均含有根式时，可用因式分解法先将式子化简，再进行计算，这样能起到化繁为简的作用. 【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】化简：2008200820082008100435715337++⎪⎭⎫⎝⎛，得到 . 【答案】1 【解析】解:原式.【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】化简：)23)(36(23346++++,最后得_________【答案】23+【解析】原式633332(32)(63)(63)(32)(63)(32)(32)(63)++===+++++++62【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂练习题【难度系数】3◆专题四：换元法【试题来源】2004年全国初中数学联赛【题目】已知8a ≥1, 则333183131831-+-+-++a a a a a a 的值是( )【选项】 (A)1 (B) 23a (C)a 8 (D)不能确定【答案】A【解析】解析：设318-=a x ,则8132+=x a ,83312+=+x a原式()3228313x x x +++=()3228313xx x +-++3238133+++=x x x 3238133+-+-+x x x ()3381+=x ()3381x -+2121x x -++==1 选A.点评：此题若用常规方法根本无法入手进行解答，此处换元法的运用妙在能达到化无理式为有理式的目的，从而使问题迎刃而解. 【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】2◆专题五：裂项法【试题来源】2003年第十四届“希望杯”全国数学竞赛第二试【题目】对于正整数n,有111111+-=+++n nn n n )n (，若某个正整数k 满足32111433413223121121=+++++++++k k k )k (,则k=______. 【答案】8【解析】解析：由公式111111+-=+++n nn n n )n (，因此有()111433413223121121++++++++++k k k k11131212111+-++-+-=k k111+-=k32111=+-k 3111=+∴k 8=∴k点评：裂项法在很多有关分式和分数的计算题中经常用到，我们仔细观察会发现能应用此方法进行计算的式子都有着某种特殊的规律.常用的裂项形式主要有以下几种： (1)()11111+-=+n n n n .如：200820071431321211⨯++⨯+⨯+⨯ 200812007131212111-++-+-= 200811-= 20082007=(2)()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+k n n k k n n 1111.如：2008200511071741411⨯++⨯+⨯+⨯ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-⨯=2008120051714141131 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=20081131 2008200731⨯= 2008669=(3)111111+-=+++n n n n n )n (.如本题中()111433413223121121++++++++++k k k k11131212111+-++-+-=k k111+-=k .【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】4947474917557153351331++++++++【答案】73 【解析】考虑一般情形(21)(21)(21)(21)2121(2121)n n n n n n n n ==+-+-++-++-(2121)(2121)1(22121(2121)221212121n n n n n n n n n n n n +--+--===+-+-++--+原式11113{()(()2217713354749=+++-=-=【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂练习题【难度系数】3◆专题六：条件转化法【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第一试【题目】已知x ＝22＋1，则分式15119232----x x x x 的值等于__________．【答案】2【解析】由x ＝22＋1得：221=-x两边平方得：()()22221=-x ,即722+=x x所以原式()()1511729272--+--+=x x x x x 154222---=x x()1547222--+-=x x12--==2点评：此题先通过乘方的方法将已知条件中的无理式x ＝22＋1，转化为有理式722+=x x .再代入所求代数式中，通过逐步降次，从而求得代数式的值，因此这种方法称为条件转化法. 【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】设215-=a ,则=-+---+aa a a a a a 3234522 . 【答案】－2 【解析】解:,,因此，本题正确答案是-2.【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂练习题【难度系数】3◆专题七：配方及平方法【试题来源】2008年第十九届“希望杯”数学竞赛第二试【题目】当2>x 时，化简代数式1212--+-+x x x x ，得 .【答案】12-x【解析】法一:解析：应用配方法可得：()112112+-+-=-+x x x x()2211121+•-+-=x x()211+-=x 同理可得：=--12x x ()211--x∴1212--+-+x x x x()()221111--++-=x x1111--++-=x x∵2>x∴原式12-=x .点评：配方法是化简多重根式的常用方法.其根本做法是把被开方式b a 2±配方成完全平方式()2y x ±的形式()0,0≥≥y x ,即是要设法找到两个正数x ，y(x ＞y)，使x+y=a ，xy=b ，则()y x yx xy y x b a ±=±=±+=±222,其中(x ＞y).法二: 对于上面的例子还可以进行另一种思考：由于12-+x x 与12--x x 互为有理化因式(共轭因式)，则有()()2222121212-=--=--•-+x x x x x x x ,因此原式平方后是一个有理式，所以上题还可以用平方法. 解析：设1212--+-+=x x x x y ，则y ＞0.将上式两边分别平方得：()()1212122122--+--•-++-+=x x x x x x x x y()221222--+=x x x44222+-+=x x x ()2222-+=x x222-+=x x∵2>x ，∴442-=x y ∴1244-=-=x x y点评：解答含根式的计算题，关键在于如何将无理式转化成有理式.如果原无理式直接平方后就能从无理式转化为有理式，那么我们不妨用平方法，这种方法的解题思路更加自然流畅，计算过程也更加简便易行.【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】武汉市选拔赛试题【题目】化简22)1(111+++n n ，所得的结果为（）A ．1111+++n nB ．1111++-n nC ．1111+-+n nD ．1111+--n n【答案】C【解析】待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．原式222221*********(1)()()(1)(1)11n n n n n n n n n n n n n ++++-+-+=-=-++++选（C ）【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂练习题【难度系数】3◆专题八：巧用乘法公式解题【试题来源】2004年第十五届“希望杯”数学竞赛第二试【题目】对于任意的自然数n ，有f(n)=323232121121+-+-+++n n n n n , 则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(999)＝ . 【答案】5【解析】注意到f(n)表达式的分母可整理成：()()2333231111-+-•+++n n n n ，形如22b ab a ++的形式，类似于立方差公式的一部份，因此考虑用立方差公式. 由立方差公式：()()2233bab a b a b a ++-=-有()()333311--+n n()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++--+=23332333111111n n n n n n即()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++•--+=233323331111112n n n n n n∴1=()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++•--+2333233311111121n n n n n n将其代入f(n)表达式得：f(n ）=()()()()()23332323332333111111111121-+-•+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++•--+•n n n n n n n n n n=()331121--+•n n∴f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(999)()()()()33333333998100021462124210221-•++-•+-•+-•=()3333333310009989984422021+-++-+-+-= 1021⨯= 5=点评：此题用常规方法无法入手进行解答，已知条件中的表达式也比较复杂，这时我们从表达式的形式上进行分析，得到22b ab a ++的形式，自然联想到立方差公式，然后运用乘法公式将条件进行转化，从而找到解决问题的捷径. 【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】3◆专题九：活用整数、根式的性质解题【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第一试【题目】计算2200612008200720062005-+⨯⨯⨯的结果是__________．【答案】2005【解析】：注意到此题中2005、2006、2007、2008是四个连续的正整数，而四个连续的正整数的积与1的和是一个完全平方数.因此本题有了如下的简便解法：原式()()()2200612200612006200612006-++⨯+⨯⨯-==()[]()()[]2200612200612006120062006-++⨯-⨯+⨯=()()2222006122006200620062006-+-+⨯+()()22222006120062006220062006-++-+= ()2222006120062006--+=222006120062006--+==2005点评：正整数具有这样的性质“四个连续的正整数的积与1的和是一个完全平方数”，而本题恰是灵活运用了正整数的这一性质进行解答的.我们可以看到正整数的某些性质恰是解决有关正整数问题的金钥匙.【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】重庆市竞赛题【题目】已知254245222+-----=xx x x y ，则22y x += ．【答案】6【解析】因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手．二次根式有如下重要性质：(1)0≥a ，说明了a 与a 、n a 2一样都是非负数；(2) a a =2)( (≥a 0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化；(3) a a =2)(，揭示了与绝对值的内在一致性．著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题．提示：22222205420,262045x x x y x y x x⎧-≥⎪⎪-→-==→+=⎨-⎪≥⎪-⎩ 【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】3习题演练【试题来源】【题目】计算：（11014152110141521+--+++；（23151026332185231--+-+++【答案】（1）562- （2）233-【解析】（1）原式101415212(57)3(57)(23)(57)101415212(57)3(57)(23)(57)+--+-+-+==++++++++(23)(32)(526)265==--=（2315102633218(31510)(1826)(332)52315231--+-+-+-+-=++++5(332)23(332)(332)(332)(5231)33252315231-+-+--++===++++【知识点】根式及其运算【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】“希望杯”邀请赛试题【题目】计算223810++ 【答案】24+【解析】原式222108122(2)108(12)108(12)=+++++++2224242(2)(42)42=++=+=【知识点】根式及其运算【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】湖北省孝感市“英才杯”竞赛题【题目】计算1212--+-+a a a a 【答案】见解析【解析】通过配方可以简化一重根号，本题的关键是就a 的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题．原式222222121(1)121(1)(11)(11)a a a a a a =+-+---+-=+---2111112112a a a a a a a ⎧-≤≤≤⎪=--=⎨-->⎪⎩ 当1，即12时当>1，即时【知识点】根式及其运算【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】山东省竞赛题【题目】已知521332412---=----+c c b a b a ，求c b a ++的值．【答案】20【解析】思路点拨已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试．原式可化为：222221[(1)211][(2)2212][(3)2339]2a ab ac c ---+---+=----+即2221(11)(22)]33)02a b c -+-+-=，因此有110a -=，得2a =；220b -=，得6b =330c -=，得12c =。

初中数学竞赛讲座《二次根式》

a a b ab 分母有理化： b b b b
分母有理化一巧用因式分解法
分母有理化
分母有理化一巧用因式分解法
二、乘方法
点评：在化简计算中出现二次根式的被开方数互为共轭根式时，则可采用对整体先平方再开方的方法，这种方法叫做乘方法．须注意的是，平方再开方时应保证符号与原式相同．
数学方法是数学的灵魂，只有掌握了数学思想方法，才能真正地学好数学知识，将知识转化为能力。初中数学竞赛中渗透了不少数学思想方法，下面本章的有关赛题为例，说明数学竞赛中常用的数学方法。
二次根式中的数学方法一换元法
换元法是一种重要的数学方法，它在解题中有着广泛的应用．对于一些复杂的根式运算，通过换元，将其转化为有理式的运算，可以使得运算简便．例1．
赛点归纳
赛点归纳
典题精讲二次根式的意义 C
点评：非负数的有关知识与性质虽然浅显易懂，但用它所能
解决的问题却非常广泛，近几年的各种竞赛中经常出现．有此赛题从题目所给条件中不易看出与非负数有关，比较隐藏，但通过配方，构造方程等方法或对实际问题的分析，却发现可利用非负数的知识求解．
典题精讲二次根式的意义
九年级竞赛辅导
第一讲
二次根式
√a （a≥0）
泰和中周光明
第一讲
二次根式
我们将数的范围扩大到实数的同时，代数式中也就随之引进了根式．根式的研究使我们初步了解了无理数的性质，数与式相辅相成，相互促进，体现了代数知识紧密的联系性，因此，根式问题不但是初中阶段常规试题和竞赛试题的重点和难点之一，同时，对高中乃至更深层的数学学习都有深远的意义．
构造方程与方程组
复合二次根式的化简
【点评】复合二次根式的化简，一般是将二次根式中的被开方数配成完全平方式，然后再求解的方法，这也叫用配方法．配方时有时需要通过几次拼凑方可达到目的．配方法主要用来解竞赛中经常出现的复合二次根式的化简问题和需要用完全平方公式解决的问题．

根式求值竞赛专题

根式求值竞赛专题简介本文档旨在为根式求值竞赛提供专题内容。

根式求值是数学竞赛中常见的一类题型，要求计算给定根式的数值结果。

本文将介绍根式求值的基本概念、解题思路和常见技巧，帮助参赛者在竞赛中取得优异成绩。

根式的定义根式是数学中的一种表示形式，通常由一个根号符号（√）、一个被开方的数（被开方数）和一个指示指数（指数）组成。

根式可以表示为√(被开方数) 或者√^(指数)(被开方数) 的形式。

根式求值的基本步骤1. 确定根式的形式：判断根式是以一次根号还是多次根号表示。

一次根号即常见的平方根，多次根号则需要进一步进行化简。

2. 化简根式：将根式的被开方数和指数进行简化，尽量将根式化为简单的形式。

3. 计算数值：根据化简后的根式形式，进行数值计算，得到最终的结果。

解题思路在根式求值竞赛中，为了取得较好的成绩，可以采用以下解题思路：1. 熟练掌握根式的化简规则：了解根式化简的常见技巧，如合并同类项、分解因式、分配率等，能够快速将复杂的根式化简为简单的形式。

2. 熟悉特殊根式：掌握常见的特殊根式的数值，如平方根的数值边界、常见的立方根和四次根的数值等，可以避免无谓的计算和化简过程。

3. 利用数学性质：应用数学性质和关系，如指数的分配律、乘方的运算法则等，可以简化根式的计算过程。

4. 多做练题：通过大量练题的做题和分析，提高对根式求值问题的理解和解题技巧。

常见技巧以下是一些常见的根式求值技巧：1. 合并同类项：对于可合并的根式，可以将它们合并为一个根式，简化计算。

2. 分解因式：根据根式的特征，进行因式分解，可以将复杂的根式化简为简单的形式。

3. 指数法则：根式求值中，利用指数的运算法则，可以将根式化为更简单的形式。

4. 约分：根据根式的分子和分母的共同因子，进行约分，简化计算。

总结根式求值竞赛专题介绍了根式的基本概念、解题思路和常见技巧。

在根式求值竞赛中，掌握根式的化简规则、熟悉特殊根式的数值、应用数学性质和多做练题，都是取得好成绩的关键。

二次根式的运算竞赛讲义

2．已知最简二次根式是同类二次根式，则a=______，b=_______．
3．计算
（1）（2）
（3）（4）
（5）（6）
（7）（8）
（9）（10）
（11）
4．若，则x满足（）
A．不为零B．任意数C．非负数D．非正数
5．是整数，则正整数的最小值是（）
A．4B．5C．6D．7
6．代数式有意义，则x的范围是_______．
例6．设，其中a，b，c，d是正实数，并且a+b+c+d=1，则( )
A．p＞5B．p＜5C．p＜4D．p＝5
例7．先观察下列等式再回答问题：
①
②
③
（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想
（2）请按照上面各等式反映出来的规律，试写出用（为正整数）表示的等式,并证明.Fra bibliotek例8．计算；
；
；
；
…
猜测．
（3）（4） =_________
例3．化简与计算：
（1）（2）
（3）（4）（5）
（6）（7）
（8）（9）
（10）（11）
例4．计算：
（1）（2）
（3）（4）
（5）（6）
例5．已知，，求下列各式的值：（1）（2）
练习巩固
1．已知为实数，那么等于（）
A． B． C． D．
例1．（1）的算术平方根是；（2）0.16的算术平方根是．
（3） =；（4） =．
（5）的算术平方根是；（6）0.64的平方根是；
（7） =；（8）；
（9）；（10） =；
（11） =；（12） =；