梯形蝴蝶定理

梯形蝴蝶定理
如上图，在梯形中，存在以下关系：
1.相似图形，面积比等于对应边长比的平方S1：S2=a2/b2
2.S1:S2:S3:S4= a2:b2:ab:ab
3.S3=S4
4.S1×S2=S3×S4(由S1/S3=S4/S2推导出)
5.AO:BO=(S1+S3):(S2+S4)
【例】E是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点F，已知三角形AFD的面积是6，三角形DEF的面积是4，求四边形BCEF的面积为多少？
【解】如图，由梯形蝴蝶定理可得△BEF面积等于6，而△ABF的面积为6×6÷4=9
因为△BCD面积等于△ABD，所以△BCE面积为9+6-6-4=5
因此所求四边形面积为5+6=11。

蝴蝶定理的证明：
右上角为A，左下角为B
S1和S2的的三角形是相似的（AAA）~~~所以面积比=边长比的平方即a²：b²
设梯形高为h，S3+S2=1/2 bh=S4+S2。

所以S3=S4
设S3+S1的三角形的AB上的高为h1，可知S3:S1=OB:OA
因为S1和S2的的三角形是相似，S3:S1=OB:OA=b：a
所以S1︰S2︰S3︰S4= a^2︰b^2︰ab︰ab
射影定理
公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）(BD)^2=AD·DC，（2）(AB)^2=AD·AC ，（3）(BC)^2=CD·CA 。

等积式（4）AB×BC=AC×BD(可用“面积法”来证明）
直角三角形射影定理的证明
射影定理简图(几何画板)：
（主要是从三角形的相似比推算来的）
证法一
在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，
∴∠ABD=∠C，
又∵∠BDA=∠BDC=90°
∴△BAD∽△CBD
∴ AD/BD=BD/CD
即BD^2=AD·DC。

其余同理可得可证
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

有射影定理如下：AB^2=AD·AC，BC^2=CD·CA
两式相加得：AB^2+BC^2=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=AC^2 .
即AB^2+BC^2=AC^2（勾股定理结论）。

证法二
已知:三角形中角A=90度，AD是高.
用勾股证射影
∵AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2，
∴2AD^2=AB+AC-BD-CD=BC-BD-CD=(BD+CD)-(BD+CD)=2BD×CD.
故AD^2=BD×CD.
运用此结论可得:AB=BD+AD=BD+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC，AC=CD+AD=CD+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.
综上所述得到射影定理。

同样也可以利用三角形面积知识进行证明。