111孝昌二中理科检测卷(7)2007.12.16

孝昌二中理科数学知识·数学能力检测卷(七)温馨提示: 慷慨 尤其还兼有谦虚,就会使人赢得好感一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1．在数集},2{2x x x -中，实数x 的取值范围是（★★★）A ),(+∞-∞B ．),0()0,(+∞-∞C ． ),3()3,(+∞-∞D ．),3()3,0()0,(+∞-∞ 2．已知),(,,2121R b a AC b a AB ，b a ∈+=+=λλλλ若是不共线的向量，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为（★★★）A ．121-==λλB ．121==λλC ．0121=-λλD ．1121=+⋅λλ3．如果消息A 发生的概率为()P A ，那么消息A 所含的信息量为()()21log I A P A =。

若王教授正在一个有4排8列座位的小型报告厅里听报告，则发布的以下4条消息中，信息量最大的是（★★★）A ．王教授在第4排B ．王教授在第4排第5列C ．王教授在第5列D ．王教授在某一排 4．若抛物线的顶点坐标是()1,0M ，准线l 的方程是220x y --=，则抛物线的焦点坐标为（★★★）A ．62,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．62,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．42,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．42,55⎛⎫- ⎪⎝⎭5．已知为O 原点，点)sin 2,cos 2(1),(22θθQ ，y x y x P 点上在单位圆=+满足)32,34(-=，则=⋅（★★★）A ．1825B ．2516C ．165D ．3625 6．将数字3，4，5，6，7排成一行，使得相邻两个数都互质，则 可能的排列方法共有（★★★）A ．30种B ．36种C ．42种D ．48种7．若1cos sin =+αα，则对任意实数n ，ααn n cos sin +的取值为（★★★）A ．1B ．区间(0, 1)C ．112n - D ．不能确定8．在△ABC 中，三条边长成等差数列且最小角的正弦值与最大角的正弦值之比为5:3，则△ABC 是（★★★）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．锐角三角形9．已知函数x x x y ++=2331的图象C 上存在一定点P 满足：若过点P 的直线l 与曲线C交于不同于P 的两点M (x 1, y 1)，N (x 2, y 2)，就恒有21y y +的定值为y 0，则y 0的值为（★★★）A ．31-B ．32-C ．34-D ．2-10．可行域30230230x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩的顶点是()()()12,21,33A B C ，，，，()z kx y k =-为常数，若使得z 取的得最大值为4的最优解是唯一的，则k =（★★★）A 、()1,2B 、()2,1C 、()3,3D 、()2,2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.11．若数列}{n a 的通项公式2)1(1+=n a n ，记)1()1)(1(2)(21n a a a n f ---= ，试通过计算)1(f ，)2(f ，)3(f 的值，推测出=)(n f （请把答案填写在答题卷上）.12．椭圆上的点()2,0A -关于直线1y x =-和1y x =-+的对称点分别为椭圆的焦点1F 和2F ，P 为椭圆上任意一点，则12PF PF ⋅的最大值为（请把答案填写在答题卷上）.13．对于函数)(x f ，在使M x f ≤)(恒成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值称为函数)(x f 的“上确界”，则函数1)1()(22++=x x x f 的“上确界”为（请把答案填写在答题卷上）.14．对于)2,0(π∈x ，不等式16cos sin 122≥+xpx 恒成立，则p 的取值范围是（请把答案填写在答题卷上）.15．设""+与""⋅分别为实数集内传统意义的加法与乘法，对实数(),2x y k k Z ππ≠+∈，定义tan tan ,tan tan x y x y x y x y ⊕=+⊗=⋅，在ABC ∆中，23B π∠=，则()A C A C ⊕⋅⊗等于（请把答案填写在答题卷上）.三、解答题：本大题共6个小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）设函数)(),0(2)(1)2sin(x f y x f x =<<-=++ϕπϕ的图象的一条对称轴是直线.8π=x（1）求ϕ；（2）求函数)(x f y =的递减区间；（3）试说明)(x f y =的图象可由x y 2sin 2=的图象作怎样变换得到。

17．（本小题满分12分）已知函数*).(2)(33N m m x x f ∈+=（1）若x 1、x 2:),0(求证，m ∈);2(2)()(2121x x f x f x f +≥+ （2）若;:,,3,1,2,1),(2211--+≥+∈≥-==m m n a a a a N m m m n n f a 求证其中 （3）对于任意的a 、b 、c )(),(),(],32,2[c f b f a f m m 问以∈的值为长的三条线段是否可构成三角形？请说明理由。

18．（本小题满分12分）A 、B 两支兵乓球队进行团体对抗赛，每队各有三名队员，A 队的三名队员是321,,A A A ，B 队的三名队员是321,,B B B ，且i A 对j B 的胜率为)3,1(≤≤+j i ji i.若1A 对2B ，2A 对3B ，3A 对1B ,比赛采用三局二胜制.(1) 求A 队取胜的概率.(2) 如何对阵，A 队的胜率最高？（直接写出最后对阵方式和胜率即可） 19．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，已知平面11ABB A ⊥平面11CBBC ，12AB BB BC ===，01160ABB CBB ∠=∠=，棱AC 的中点为D（1）求1AB 与平面11ACC A 所成角的正弦值； （2）求点D 到平面111A B C 的距离。

20．（本小题满分13分）已知数列}{n a 是首项为1，公差为2的等差数列，对每一个∈k N *，在a k 与a k +1之间插入12k -个2，得到新数列{b n }．设S n ，T n 分别是数列{b n }和数列}{n a 的前n 项和． （1）a 10是数列{b n }的第几项；（2）是否存在正整数m ，使S m ＝2008？若不存在，请说明理由；若存在，求出m 的值． （3）若a m 是数列{b n }的第f (m )项，试比较S f (m )与2T m 的大小，并说明理由．21．（本小题满分14分）已知双曲线),0,(12222b a b a b y a x ≠>=-，P 为双曲线右支上一动点，过P 向两条渐近线x a b y =和x aby -=作垂线，垂足分别为A 和B ，O 为坐标原点.（1）证明：PB PA ⋅为定值.（2）若A 点始终在第一象限内，B 点始终在第四象限内，求双曲线离心率e 的取值范围. （3）在（2）的条件下，求四边形PAOB 的面积最小时，点P 的坐标.孝昌二中理科数学知识·数学能力检测卷(七)参考答案DCBCA BAABC12.18 13.2 14.2115. 16．解：（1）由题意1)82sin(±=+⨯ϕπ 即1)4sin(±=+ϕπ Z k k ∈+=+∴,24πππϕ)(4Z k k ∈+=ππϕ 04<+<-∴πππk 解得,4145-<-k431πϕ-=-=∴即，k …………………………………………5分（2）1)432sin(2)(+-=πx x f x y 2=∴是增函数)(x f y =∴函数的递减区间，即为1)432sin(+-=πx y 的递减区间。

由z k k x k ∈+<-<+,23243222πππππ 解得：8985ππππ+<<+k x k 。

)](89,85[)(Z k k k x f y ∈++=∴ππππ的递减区间为函数………………8分（3）)]83(2sin[1)432sin(2.22)(ππ-+-==x x x f然后个单位的图象向右平移将函数，y x 8322sin π=∴纵坐标扩大为2倍（横坐标不变）得到函数y=f(x)的图象………………………………………12分17. 解：（1）先证33213323312)2(2222m x x m x m x ++⋅≥+++ ①即证：3213231)2(2x x x x +≥+ ②只需证：32122212121)2(2))((x x x x x x x x +≥+-+0),,0(2121>+∈⋅x x m x x 则)(42:221222121212121≥-++=+-∴x x x x x x x x x x 即只需证)2(2)()(2121x x f x f x f +≥+∴…………………………………………4分（2）m=3时显然成立，m>3时，由（1）得：a1+a3>2a2 a2+a4>2a3a3+a5>2a4 am-3+am-1>2am-2各式相加得：a1+am-1≥a2+am-2…………8分 说明：直接用比较法证明同样给分)2()1()1(-≥-+m f m f f（3）26)('x x f =………9分恒成立大于在0]32,2[)('mm x f ∴上为增函数在]32,2[)(m m x f ∴3min 45)2()(m m f x f ==∴ 3m a x 2743)32()(mm f x f ==恒成立33332743254545m m m m >=+∴ m a x m i n )()(2x f x f >∴构成三角形的值为长的三条线段能以)(),(),(c f b f a f ∴………………12分18．（1）解：设321,,A A A 的胜率分别为321,,p p p ，则43,52,31321===p p p ，A 队若取胜，必须胜两局或者三局，则A 队取胜的概率)(A P =)1(321p p p - +)1(132p p p -+321213)1(p p p p p p +-=6029.………………6分 (2)解：对阵方式为231231;;B A B A B A 对对对，……………………………10分A 队取胜的概率为6031．……………………………………………12分19.（1）取1BB 的中点O ，则由题设得：11,AO BB CO BB ⊥⊥∵平面11ABB A ⊥平面11CBBC ，∴AO CO ⊥ 以点O 为坐标原点，分别以直线1,,OC OB OA为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示直角坐标系 ………………… 2分则得()()(())1110,0,0,,,,0,1,0,O A C A B C∴()1,0,2,0AC AA ==∵D 为棱AC 的中点，∴,D OD ==⎝⎭⎝⎭∴10,0OD AC OD AA ⋅=⋅= ，∴1,OD AC OD AA ⊥⊥∴OD ⊥ 平面11ACC A ，(10,1,AB =… 5分∴111cos ,OD AB OD AB OD AB ⋅==⋅6分∴1AB 与平面11ACC A 所成角的正弦值为4………………… 7分 （2）设平面11AB C 的法向量为(),,n x y z =∵)(11111111,0,1,,0,0B C A B n A B n B C ==-⋅=⋅=………………… 8分∴0y y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，取1z =得()1,n = ………………… 10分又∵12,DC =⎝⎭，∴点D 到平面111A B C 的距离为1DC n h n ⋅= …… 12分 20.21.（1）证明：设),(00y x P ，则1220220=-b y a x ，即22202202b a y a x b =-．P 点到渐近线x a by =的距离为2200b a bx ay PA +-=，同理2200ba bx ay PB ++=所以PB PA ⋅＝⋅+-2200ba bx ay 2200b a bx ay ++＝22222222202b a b a b a x b y a +=+-为定值．…3分（２）解：直线PA 的方程为：)(00x x b a y y --=-，与渐近线x aby =联立解得A 点横坐标22002b a aby x a x A ++=，同理B 点横坐标为22002ba aby x a x B +-=．…5分 A 点第一象限，B 点在第四象限，等价于0>A x 且0>B x ，即022002>++ba aby x a 且022002>+-b a aby x a ，所以002aby x a >，即00by ax >，平方得202202y b x a >恒成立． 又22202202b a y a x b =-，则222202222a b a x b b x a -⋅>， 即420242)(b x ab a ->-对于),[0+∞∈a x 恒成立，又b a ≠，因此0242>-ab a ，即b a >，由此可得：.21<<e ……………………9分（３）解：四边形PAOB 的面积为PAB ∆面积与AOB ∆面积和，而PAB ∆面积为APB PB PA ∠⋅sin 21，是定值，所以我们只要考察AOB ∆面积． AOB ∆面积AOB OB OA S ∠⋅=sin 21，而AOB ∠为定值，我们只要考察B A x ab x ab OB OA 22)(1)(1-+⋅+=⋅＝⋅+222a b a 22002b a aby x a ++22002b a aby x a +-⋅＝2222202b a y b x a +-的最小值．由（２）知b a >，且22202202b a y a x b =-，所以 ≥-202202y b x a 22202422ba yb a x a =-4202202)(a y a x b =- 当且仅当00=y ，即P 点坐标为)0,(a 时取等号．所以，四边形PAOB 的面积最小时，点P 的坐标为)0,(a ．…………14分。