2020年上海市交大附中高考数学考前试卷(附解析)

2020年上海市交大附中高考数学考前试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1. “x ∈[−π2,π2]是“sin(arcsin)=x ”的( )条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要2. 已知F 为抛物线y 2=2px(p >0)的焦点，A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)是抛物线上的不同两点，则下列条件中与“A 、F 、B 三点共线”等价的是( )A. x 1x 2=p 24 B. y 1y 2=−p 2C. 1|FA|+1|FB|=2pD. x 1x 2+y 1y 2=−3p 243. 已知曲线Γ的参数方程为{x =t 3−tcosty =ln(t +√t 2+1)，其中参数t ∈R ，则曲线Γ( )A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于原点对称D. 没有对称性4. 已知数列{a n }与{b n }前n 项和分别为S n ，T n ，且a n >0,2S n =a n 2+a n ,n ∈N ∗，b n =2n +1(2n +a n )(2n+1+a n+1)，对任意的n ∈N ∗，k >T n 恒成立，则k 的最小值是( )A. 1B. 12C. 13D. 16二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 已知集合A ={x||x|≤2,x ∈R}，B ={x|√x ≤4,x ∈Z}，则A ∩B = ______ ．6. 函数y =√3sin2x +cos2x 的最小正周期是______．7. 抛物线y =x 2的准线方程是______．8. 已知方程∣∣∣x−1bx −2∣∣∣=0的一个根是a +2i(其中a ∈R ，i 是虚数单位)，则实数b =______．9. 设x ，y 满足约束条件{2x +3y −3≤02x −3y +3≥0y +3≥0，则z =2x +y 的最小值是____________10. 若a n 是(2+x)n (n ∈N ∗,n ≥2,x ∈R)展开式中x 2项的系数，则n →∞lim(22a 2+23a 3+⋯+2na n)=______．11. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，其三视图是三个全等的等腰直角三角形，则异面直线AC与BD所成的角的余弦值为______．12.为抗击此次疫情，我市某医院从3名呼吸内科医生、4名急诊重症科医生和5名护士中选派5人组成一个抗击疫情医疗小组，则呼吸内科与急诊重症科医生都至少有一人的选派方法种数是______．13.若关于x的方程1|x−1|+|2x+2|−4=a的解集为空集，求实数a的取值范围______．14.已知函数y=f(x)为定义域R上的奇函数，且在R上是单调递增函数，函数g(x)=f(x−3)+x，数列{a n}为等差数列，且公差不为0，若g(a1)+g(a2)+⋯+g(a9)= 27，则a1+a2+⋯+a9=______．15.已知整数数列{a n}共5项，其中a1=1，a5=4，且对任意1≤i≤4，都有|a i+1−a i|≤2，则符合条件的数列个数为______．16.已知点P(0,2)，椭圆x216+y28=1上两点A(x1,y1)，B(x2,y2)满足AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，则|2x1+3y1−12|+|2x2+3y2−12|的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，四棱锥O−ABCD的底面是边长为1的菱形，OA=2，∠ABC=60°，OA⊥平面ABCD，M、N分别是OA、BC的中点．(1)求证：直线MN//平面OCD；(2)求点M到平面OCD的距离．18.某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB进行改建．如图所示，平行四边形OMPN区域为停车场，其余部分建成绿地，点P在围墙AB弧上，点M和点N分别在道路OA和道路OB上，且OA=60米，∠AOB=60°，设∠POB=θ．(1)求停车场面积S关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围；(2)当θ为何值时，停车场面积S最大，并求出最大值(精确到0.1平方米)．19.对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0，满足f(−x0)=−f(x0)，则称f(x)为“M类函数”．(1)已知函数f(x)=2cos(x−π3)，试判断f(x)是否为“M类函数”？并说明理由；(2)若f(x)={log2(x2−2mx)−2,x≥3,x<3为其定义域上的“M类函数”，求实数m取值范围．20.已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点N(√2,√22)．(1)求椭圆M的方程；(2)若斜率为−12的直线l1与椭圆M交于P，Q两点(点P，Q不在坐标轴上)；证明：直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．(3)设直线l2与椭圆M交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求ABC面积的最大值．21.已知f(x)是定义在[0,+∞)上的函数，满足：①对任意x∈[0,+∞)，均有f(x)>0；②对任意0≤x1<x2，均有f(x1)≠f(x2).数列{a n}满足：a1=0，a n+1=a n+1f(a n)，n∈N∗．(1)若函数f(x)=a⋅2x−1(x≥0)，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，求证：对任意正实数M，均存在n0∈N∗，使得n>n0时，均有a n>M；(3)求证：“函数f(x)在[0,+∞)上单调递增”是“存在n∈N∗，使得f(a n+1)<2f(a n)”的充分非必要条件．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵y=arcsinx的定义域为[−1,1]，∴sin(arcsinx)=x⇔x∈[−1,1]，∵x∈[−π2,π2]推不出x∈[−1,1]，x∈[−1,1]⇒x∈[−π2,π2 ]，∴“x∈[−π2,π2]是“sin(arcsin)=x”的必要非充分条件．故选：B．根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．2.【答案】B【解析】解：P(p2,0)，若A，B，F三点共线，设直线AB的方程为：x=my+p2，代入y2=2px可得：y2−2pmy−p2=0，∴y1y2=−p2，∴x1x2=y12y224p =p24．∴x1x2+y1y2=p24−p2=−3p24，又|FA|=x1+p2，|FB|=x2+p2，∴1|FA|+1|FB|=1x1+p2+1x2+p2=x1+x2+px1x2+p2(x1+x2)+p24=x1+x2+pp22+p2(x1+x2)=x1+x2+pp2(x1+x2+p)=2p，设B关于x轴的对称点为B′(x2,−y2)，显然A，F，B′满足条件x1x2=p24，且|FB|=|FB′|，但此时A，F，B′三点不共线，故A，C错误；若x1x2+y⋅y2=−3p24，则y12y224p2+y1y2+3p24=0，解得y1y2=−p2或y1y2=−3p2，故D错误，故选：B．当A，B，F共线时计算各结论，再根据对称点的坐标关系判断是否等价．本题考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．3.【答案】C【解析】 【分析】本题考查曲线的参数方程，属于基础题型．设出当t =t 0时，对应点的坐标为(x 0,y 0)，判断出(−x 0,−y 0)也在曲线上，进而求出结果． 【解答】解：设当t =t 0时，对应点的坐标为(x 0,y 0)， 此时有{x 0=t 03−t 0cost 0y 0=ln(t 0+√t 02+1), 设x =f(t)=t 3−tcost ，y =g(t)=ln(t +√t 2+1)， 对于每一个参数t ，都有唯一对应的x 和y ， 则当t =−t 0时，有{(−t 0)3−(−t 0)cos (−t 0)=−(t 03−t 0cost 0)=−x 0ln[(−t 0)+√(−t 0)2+1]=−ln(t 0+√t 02+1)=−y 0, 即点(−x 0,−y 0)也在曲线Γ上，而点(x 0,y 0)和点(−x 0,−y 0)关于原点对称， 故曲线Γ关于原点对称． 故选：C ．4.【答案】C【解析】解：数列{a n }的前n 项和分别为S n ，且a n >0,2S n =a n 2+a n ,n ∈N ∗， 当n ≥2时，2S n−1=a n−12+a n−1，两式相减得2a n =a n 2−a n−12+a n −a n−1，所以(a n +a n+1)(a n −a n−1−1)=0，整理得a n −a n−1=1(常数)．当n =1时，2a 1=a 12+a 1，解得a 1=1(a 1=0舍去)，故数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列．所以a n =n(首项符合通项)． 所以b n =2n +1(2n +an )(2n+1+an+1)=12n +n −12n+1+n+1，所以T n =(13−16)+(16−111)+⋯+12n +n −12n+1+n+1=13−12n+1+n+1<13， 所以对任意的n ∈N ∗，k >T n 恒成立，只需k ≥13即可． 即k 的最小值为13．故选C．首先利用已知条件利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法、放缩法和恒成立问题的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法和恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．5.【答案】{0,1，2}．【解析】解：∵集合A={x||x|≤2,x∈R}={x|−2≤x≤2}，B={x|√x≤4,x∈Z}={0,1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，∴A∩B={0,1，2}．故答案为：{0,1，2}．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．6.【答案】π【解析】解：y=√3sin2x+cos2x=2(√32sin2x+12cos2x)=2sin(2x+π6)，∵ω=2，∴T=2π2=π．故答案为：π函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期．此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及周期公式，将函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．7.【答案】4y+1=0【解析】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=1，即p=12，所以：p2=14，∴准线方程y=−p2=−14，即4y+1=0．故答案为：4y+1=0．先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=1，再直接代入即可求出其准线方程．本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．8.【答案】5【解析】解：方程∣∣∣x −1b x −2∣∣∣=0可化为 x(x −2)+b =0，把x =a +2i 代入方程，得(a +2i)(a −2+2i)+b =0， 即(a 2−2a −4+b)+(4a −4)i =0，所以{a 2−2a −4+b =04a −4=0， 解得a =1，b =5； 所以实数b =5． 故答案为：5．根据行列式列出方程，把根代入方程，利用复数的运算性质列出方程组求出a 、b 的值． 本题考查了行列式与复数的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．9.【答案】−15【解析】解：x ，y 满足约束条件{2x +3y −3≤02x −3y +3≥0y +3≥0的可行域如图：z =2x +y 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值， 由{y =−32x −3y +3=0，解得A(−6,−3)， 则z =2x +y 的最小值是：−15． 故答案为：−15．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可． 本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．10.【答案】8【解析】解：∵a n 是(2+x)n (n ∈N ∗,n ≥2,x ∈R)展开式中x 2项的系数，又(2+x)n 的展开式的通项公式为T r+1=C n r ⋅2n−r ⋅x r ，令r =2，可得x 2项的系数为C n 2⋅2n−2．∴a n =C n 2⋅2n−2．∴n →∞lim(22a 2+23a 3+⋯+2n a n )=n →∞lim(221+23C n 2⋅2+⋯+2n C n 2⋅2n−2)=n →∞lim(221+22C 32+⋯+22C n 2)=n →∞lim4⋅(11+1C 32+⋯+1C n2)=n →∞lim4⋅(11+22×3+23×4…+2n(n−1))=n →∞lim8⋅(1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1−1n)=n →∞lim8⋅(1−1n)=8，故答案为：8．由题意可得x 2项的系数为C n 2⋅2n−2，即a n =C n 2⋅2n−2.再把要求的式子 n →∞lim(22a 2+23a 3+⋯+2n a n) 化为n →∞lim4⋅(11+1C 32+⋯+1Cn2)，即n →∞lim8⋅(1−1n)，从而得到结果．本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，极限及其运算，属于中档题．11.【答案】√33【解析】解：由三视图可知AB ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，且AB =BD =CD ，以D 为原点建立空间坐标系如图所示：设AB =1，则A(1,0，1)，B(1,0，0)，C(0,1，0)，D(0,0，0)，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，−1)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)， ∴cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗ ||DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−1√3×1=−√33． 设AC 与BD 所成的角为α，则cosα=|cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√33． 故答案为：√33．根据三视图得出三棱锥的结构特征，建立空间坐标系，利用平面向量计算异面直线所成角．本题考查了异面直线所成角的计算，属于基础题．12.【答案】611【解析】解：根据题意，有3名呼吸内科医生、4名急诊重症科医生和5名护士共12人，从中选出5人，有C 125=792种选法，其中没有内科医生的选法有C 95=126种，没有重症科医生的选法有C 85=56种， 内科医生和重症科医生都没有，即只有护士的选法有1种， 则有792−126−56+1=611种选派方法；故答案为：611根据题意，首先计算从12人中选出5人的选法，进而计算其中“没有内科医生”、“没有重症科医生”和“内科医生和重症科医生都没有”的选法，分析可得答案．本题考查排列组合的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论，属于基础题．13.【答案】(−12,0]【解析】解：由已知设y=1|x−1|+|2x+2|−4={13x−3,x≥11 x−1,−1<x<11−3x−5,x≤−1，所以函数的值域为{y|y>0，或y≤−12}，要使1|x−1|+|2x+2|−4=a的解集为空集，只要函数y=1|x−1|+|2x+2|−4与y=a没有交点，所以满足条件的a的取值范围为−12<a≤0．故答案为：(−12,0]．设y=1|x−1|+|2x+2|−4，得到函数的值域，利用y=a在函数值域的补集中即可．本题考查了方程解的个数问题；关键是正确求出函数的值域．14.【答案】27【解析】解：因为函数f(x)为定义域上的奇函数，则f(x)关于(0,0)对称．设ℎ(x)=f(x−3)+x−3，所以ℎ(x)关于(3,0)对称，则ℎ(x)+ℎ(6−x)=0．由g(a1)+g(a2)+⋯…+g(a9)=27可得：f(a1−3)+a1+f(a2−3)+a2+⋯…+f(a9−3)+a9=27，所以f(a1−3)+a1−3+f(a2−3)+a2−3+⋯…+f(a9−3)+a9−3=0即ℎ(a1)+ℎ(a2)+⋯…+ℎ(a9)=0又数列{a n}为等差数列，且ℎ(x)在R上是单调递增函数，所以必有ℎ(a1)+ℎ(a9)=0，则有a1−3+a9−3=0，所以2a5=a1+a9=6，即a5=3所以a1+a2+⋯…+a9=9a5=27故答案为：27．设ℎ(x)=f(x−3)+x−3，则可得ℎ(a1)+ℎ(a2)+⋯…+ℎ(a9)=0，综合等差数列的性质可得；a1+a9=a2+a8=⋯…=a5+a5，再利用函数ℎ(x)的单调性和对称性，即可计算得出．本题主要考查函数综合，函数概念与性质以及等差数列，属于中档题．15.【答案】52【解析】解：根据题意，设x 1=a 2−a 1，x 2=a 3−a 2，x 3=a 4−a 3，x 4=a 5−a 4，x 5=a 5−a 4，∴x 1+x 2+x 3+x 4=3且x 1、x 2、x 3、x 4∈{−2,−1,0，1，2}， 不妨设x 1≤x 2≤x 3≤x 4，则(x 1,x 2,x 3,x 4)=(−2,1，2，2)，(−1,1，1，2)，(−1,0，2，2)，(0,0，1，2)，(0,1，1，1)共五类，则符合条件的数列个数为4C 42C 21+4=52，故答案为：52．根据题意，设x 1=a 2−a 1，x 2=a 3−a 2，x 3=a 4−a 3，x 4=a 5−a 4，x 5=a 5−a 4，可得x 1+x 2+x 3+x 4=3且x 1、x 2、x 3、x 4∈{−2,−1,0，1，2}，再利用组合知识进行求解．本题考查排列组合的应用，涉及数列的表示方法，属于基础题．16.【答案】24【解析】解：如图所示，满足AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，可得：λ∈[3−2√2,1]． 直线l 的方程为：2x +3y −12=0． 点A ，P ，B 到直线l 的距离分别为：d 1=|2x 1+3y 1−12|√13，d 0=√13=√13，d 2=22√13．∴|2x 1+3y 1−12|+|2x 2+3y 2−12|=√13(d 1+d 2).λ=1时，d 1+d 2=2d 0=√13，可得√13(d 1+d 2)=12． λ=3−2√2时，d 1+d 2=√2√13+√3√13=√13.可得√13(d 1+d 2)=24．λ∈[3−2√2,1].可得：d 1+d 2∈[12,24]．则|2x 1+3y 1−12|+|2x 2+3y 2−12|的最大值为24． 故答案为：24．如图所示，满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，可得：λ∈[3−2√2,1].直线l 的方程为：2x +3y −12=0.点A ，P ，B 到直线l 的距离分别为：d 1=11√13，d 0=√13=√13，d 2=22√13.|2x 1+3y 1−12|+|2x 2+3y 2−12|=√13(d 1+d 2).λ=1时，d 1+d 2=2d 0.λ=3−2√2时，可得√13(d 1+d 2)=24.进而得出结论．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】(1)证明：取OD 的中点P ，连接PC 、PM ，∵M 、N 分别是OA 、BC 的中点，∴PM//AD ，且PM =12AD ，NC//AD ，且NC =12AD ，∴PM//NC ，且PM =NC ，则PMNC 是平行四边形，得MN//PC ，∵PC ⊂平面OCD ，MN ⊄平面OCD ， ∴直线MN//平面OCD ；(2)解：连接ON 、ND ，设点M 到平面OCD 的距离为d ， 由(1)得，点N 到平面OCD 的距离为d ，设三棱锥O −CDN 的体积为V ，则V =13×S △CDN ×OA =13×S △OCD ×d ， 依题意，S △CDN =12×CD ×CN ×sin∠BCD =√38， ∵AC =AD =CD =1，∴OC =OD =√5，则S △OCD =12×CD ×√5−14=√194．由13×√38×2=13×√194×d ，得点M 到平面OCD 的距离d =√5719．【解析】(1)取OD 的中点P ，连接PC 、PM ，由三角形的中位线定理可得PMNC 是平行四边形，得MN//PC ，再由直线与平面平行的判定可得直线MN//平面OCD ； (2)连接ON 、ND ，设点M 到平面OCD 的距离为d ，可得点N 到平面OCD 的距离为d ，然后利用等体积法求点M 到平面OCD 的距离．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．18.【答案】解：(1)△OPN 中，由正弦定理得，OPsin2π3=ONsin(π3−θ)，即√32=ONsin(π3−θ)，解得ON =40√3sin(π3−θ)；所以停车场面积S 关于θ的函数关系式为S =40√3sin(π3−θ)⋅60sinθ=2400√3sin(π3−θ)sinθ，其中θ∈(0,π3)；(2)由S =2400√3sin(π3−θ)sinθ=2400√3(√32cosθ−12sinθ)⋅sinθ =1200√3(√3sinθcosθ−sin 2θ) =1200√3(√32sin2θ+12cos2θ−12) =1200√3[sin(2θ+π6)−12]；当2θ+π6=π2，即θ=π6时，停车场面积S 最大，最大值为： 1200√3×(1−12)=600√3=600×1.732=1039.2(平方米)．【解析】(1)由正弦定理求得ON ，再计算停车场面积S 关于θ的函数关系式； (2)化简函数解析式S ，求出S 的最大值以及取最大值时对应θ的值． 本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由题意，函数f(x)在定义域内存在实数x 0，满足f(−x 0)=−f(x 0)，可得2cos(−x 0−π3)=−2cos(x 0−π3)，即cos(−x 0−π3)=−cos(x 0−π3)，整理得√3cosx 0=0，所以存在x 0=π2满足f(−x 0)=−f(x 0)所以函数f(x)=2cos(x −π3)是“M 类函数”．(2)由x 2−2mx >0在x ≥3上恒成立，可得m <32，因为f(x)={log 2(x 2−2mx)−2x ≥3x <3为其定义域上的“M 类函数”，所以存在实数x 0使得f(−x 0)=−f(x 0)，①当x 0≥3时，则−x 0≤−3，所以−2=−log 2(x 02−2mx 0)，所以x 02−2mx 0=4，即m =12x 0−2x 0，因为函数y =12x −4x ，x ≥3为单调增函数，所以m ≥56； ②当−3<x 0<3时，−3<−x 0<3，此时−2=2，不成立；③当x 0≤−3，则−x 0≥3，所以log 2(x 02+2mx 0)=2，所以m =−12x 0+2x 0因为函数y =−12x +4x (x ≤−3)为单调减函数，所以m ≥56； 综上所述，求实数m 取值范围[56,32)．【解析】(1)根据题意只需2cos(−x 0−π3)=−2cos(x 0−π3)有解，即可判断f(x)是否为“M 类函数”．(2)由对数函数的性质可得由x 2−2mx >0在x ≥3上恒成立，即m <32；若是“M 类函数”，则存在实数x 0使得f(−x 0)=−f(x 0)，分①当x 0≥3时，②当−3<x 0<3时，③当x 0≤−3，三种情况分析方程f(−x 0)=−f(x 0)，能否有解，即可得m 的取值范围． 本题考查函数的新定义，“M 类函数”，解题中注意三角形数性质的应用，属于中档题． 20.【答案】解：(1)根据题意，设椭圆的上下顶点为B 1(0,b)，B 2(0,−b)，左焦点为F 1(−c,0)， 则△B 1B 2F 1是正三角形，所以2b =√c 2+b 2=a ，则椭圆方程为x 24b 2+y 2b 2=1．将(√2,√22)代入椭圆方程，可得24b 2+12b 2=1，解得a =2，b =1．故椭圆的方程为x 24+y 2=1．(2)证明：设直线u 的方程为y =−12x +m ，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 由{y =−12x +mx 24+y 2=1，消去y ，得x 2−2mx +2(m 2−1)=0则△=4m 2−8(m 2−1)=4(2−m 2)>0，且x 1+x 2=2m >0，x 1x 2=2(m 2−1)>0； 故y 1y 2=(−12x 1+m)(−12x 2+m) =14x 1x 2−12m(x 1+x 2)+m 2=m 2−12，k OP k OQ =y 1y 2x 1x 2=14x 1x 2−12m(x 1+x 2)+m 2x 1x 2=14=k PQ2． 即直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列．(3)由题意，设直线v 的方程为x =ky +n ，联立{x 24+y 2=1x =ky +n ，消去x 得(k 2+4)y 2+2kny +n 2−4=0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则有y 1+y 2=−2knk 2+4，y 1y 2=n 2−4k 2+4， 因为以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C(2,0)，所以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 由CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2,y 1)，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−2,y 2)，则(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=0， 将x 1=ky 1+n ，x 2=ky 2+n 代入上式并整理得(k 2+1)y 1y 2+k(n −2)(y 1+y 2)+(n −2)2=0， 则(k 2+1)(n 2−4)k +4+−2k 2n(n−2)k +4+(n −2)2=0，化简得(5n −6)(n −2)=0，解得n =65或n =2， 因为直线x =ky +n 不过点C(2,0)，所以n ≠2，故n =65.所以直线l 恒过点D(65,0)． 故S ABC =12|DC||y 1−y 2|=12×(2−65)√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =25√(−125k k 2+4)2−4(3625−4)k 2+4=825√25(k 2+4)−36(k 2+4)2，设t =1k 2+4(0<t ≤14)，则S ABC =825√−36t 2+25t 在t ∈(0,14]上单调递增， 当t =14时，S ABC =825√−36×116+25×14=1625，所以ABC 面积的最大值为1625．【解析】(1)设椭圆的上下顶点为B 1(0,b)，B 2(0,−b)，左焦点为F 1(−c,0)，椭圆方程为x 24b 2+y 2b 2=1．将(√2,√22)代入椭圆方程，解得a ，b ，即可得到椭圆方程．(2)设直线u 的方程为y =−12x +m ，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，由{y =−12x +m x 24+y 2=1，消去y ，得x 2−2mx +2(m 2−1)=0利用韦达定理，转化求解直线的斜率乘积，然后说明直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列．(3)设直线v 的方程为x =ky +n ，联立{x 24+y 2=1x =ky +n，消去x 得(k 2+4)y 2+2kny +n 2−4=0.设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用韦达定理，结合斜率的数量积为0，转化求解n ，得到直线恒过的定点，推出三角形的面积，然后求解最大值．本题考查椭圆方程的求法直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.【答案】解：(1)由f(x)=a ⋅2x −1>0，即a >(12)x 对一切x ∈[0,+∞)恒成立，所以a >1，当a >1时，f(x)在x ∈[0,+∞)上单调递增，所以对任意0≤x 1<x 2，均有f(x 1)≠f(x 2)， 综上，实数a 的取值范围为：a >1；证明(2)：由函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，即对一切x ∈[0,+∞)，均有f(x)≤f(0)， 所以对一切n ∈N ∗，均有f(a n )≤f(0)，可得：a n+1=a n +1f(a n)≥a n +1f(0)，所以：a n =a n −a n−1++a 2−a 1+a 1≥n−1f(0)，对一切n ≥2， 对任意正实数M ，取n 0=[Mf(0)]+2∈N ∗， 当n >n 0时，a n ≥n−1f(0)>n 0−1f(0)>Mf(0)+1−1f(0)=M ；证明：(3)非必要性：取f(x)={x +13−x ，x ∈[0,1]∪[2,+∞)x ∈(1,2)，在[0,+∞)不为增函数，但a 1=0，a 2=a 1+1f(a 1)=1，a 3=a 2+1f(a 2)=32，f(a 2)=2，f(a 3)=32<2f(a 2)，充分性：假设对一切n ∈N ∗，均有f(a n+1)≥2f(a n )>0， 所以：f(a n )≥2n−1f(a 1)=2n−1f(0)，①由递推式a n+1=a n +1f(a n)≤a n +12n−1f(0)≤≤a 1+1f(0)(12n−1++12+1)<2f(0)，因为f 为增函数，所以f(a n+1)≤f(2f(0))，②由①②可知：2n f(0)≤f(2f(0))对一切n ∈N ∗，n ≥2均成立，又A =f(0)>0，B =f(2f(0))>0可知，当n >log 2(AB )时，上述不等式不成立， 所以假设错误，即存在n ∈N ∗，使得f(a n+1)<2f(a n ).【解析】(1)根据定义可得a >(12)x 对一切x ∈[0,+∞)恒成立，即可求出a 的范围； (2)根据函数的单调性可得对一切n ∈N ∗，均有f(a n )≤f(0)，即可证明； (3)分别从必要性和充分性两个方面证明即可．本题考查了数列的函数特征，不等式的证明，充分性和必要性，考查了转化与化归能力，逻辑推理能力，属于难题．。