考试吧跨考版：2011年考研数学三真题(图片版)
2011年考研数学三真题及答案解析
2011年考研數學（三）真題及答案詳解一．選擇題1.已知當错误！未找到引用源。
0x →時，函數()3sin sin3f x x x =-错误！未找到引用源。
與kcx 是等價無窮小，則（A ） 1,4k c == （B ）1,4k c ==-（C ） 错误！未找到引用源。
（D ）3,4k c ==-2．已知()f x 在0x =處可導，且()00f =，則()()2332limx x f x f x x→-=（A ）()'20f - （B ）()'0f -(C) ()'0f (D)0 3．設{}n u 是數列，則下列命題正確の是 （A ）若1nn u∞=∑收斂，則()2121n n n uu ∞-=+∑收斂（B ）若()2121n n n uu ∞-=+∑收斂，則1n n u ∞=∑收斂（C ）若1nn u∞=∑收斂，則()2121n n n uu ∞-=-∑收斂（D ）若()2121n n n uu ∞-=-∑收斂，則1n n u ∞=∑收斂4．設4440ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx πππ===⎰⎰⎰，則,,I J K の大小關係是（A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << （D ）K J I <<5．設A 為3階矩陣，將A の第二列加到第一列得矩陣B ，再交換B の第二行與第一行得單位矩陣.記1100110001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,2100001010P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,則A =（A ）12PP （B ）112P P -（C ）21P P （D ）121P P -6．設A 為43⨯矩陣，123,,ηηη是非齊次線性方程組Ax β=の3個線性無關の解，12,k k 為任意常數，則Ax β=の通解為 （A ）()231212k ηηηη++- （B ）()232212k ηηηη-+-（C ）()()231312212k k ηηηηηη++-+- （D ）()()232213312k k ηηηηηη-+-+- 7．設()()12,F x F x 為兩個分佈函數，其相應の概率密度()()12,f x f x 是連續函數，則必為概率密度の是（A ）()()12f x f x （B ）()()212f x F x（C ）()()12f x F x （D ）()()()()1221f x F x f x F x + 8．設總體X 服從參數為λ()0λ>の泊松分佈，()12,,,2n X X X n ≥ 為來自總體の簡單隨機樣本，則對應の統計量111n i i T X n ==∑，121111n in i T X X n n-==+-∑ （A ）1212,ET ET DT DT >> （B ）1212,ET ET DT DT >< （C ）1212,ET ET DT DT <> （D ）1212,ET ET DT DT <<二、填空題9．設0()lim (13)xtt f x x t →=+，則()f x '=10．設函數(1)xy xz y=+，則(1,0)dz =11．曲線tan()4y x y e π++=在點(0,0)處の切線方程為12．曲線y =2x =及x 軸所圍成の平面圖形繞x 軸旋轉所成の旋轉體の體積為13．設二次型123(,,)T f x x x x Ax =の秩為1，A 中行元素之和為3，則f 在正交變換下x Qy =の標準為14．設二維隨機變數(,)X Y 服從22(,;,;0)N μμσσ，則2()E XY =三、解答題15．求極限0x →16.已知函數(,)f u v 具有連續の二階偏導數，(1,1)2f =是(,)f u v の極值，[](),(,)z f x y f x y =+。
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)真题及解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则 ( )(A ) k=1, c =4 (B ) k=1,c =-4 (C ) k=3,c =4 (D ) k=3,c =-4 (2) 已知函数()f x 在x =0处可导，且()0f =0，则()()2332limx x f x f x x →-= ( )(A) -2()0f ' (B) -()0f ' (C) ()0f ' (D) 0.(3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 ( ) (A)若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=+∑收敛 (B) 若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛(C) 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=-∑收敛 (D) 若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛(4) 设40ln sin I x dx π=⎰，4ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I <<(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A = ( )(A) 12P P (B) 112P P - (C) 21P P (D) 121-P P(6) 设A 为43⨯矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为( )(A)23121()2k ηηηη++-(B)23121()2k ηηηη-+-(C) 23121231()()2k k ηηηηηη++-+- (D)23121231()()2k k ηηηηηη-+-+-(7) 设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是 ( )(A) 1()f x 2()f x (B) 22()f x 1()F x(C) 1()f x 2()F x (D) 1()f x 2()F x +2()f x 1()F x (8) 设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量111n i i T X n ==∑和121111n i n i T X X n n -==+-∑，有 ( )(A) 1ET >2ET ,1DT >2DT (B) 1ET >2ET ,1DT <2DT (C) 1ET <2ET ,1DT >2DT (D) 1ET <2ET ,1DT <2DT二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()()0lim 13xtt f x x t →=+，则()f x '= .(10) 设函数1x yx z y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()1,1=dz .(11) 曲线tan 4yx y e π⎛⎫++= ⎪⎝⎭在点()0,0处的切线方程为 . (12)曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为 .(13) 设二次型()123,,T f x x x x Ax =的秩为1，x Q y =下的标准形为 .(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布(,μN三、解答题：15~23小题，共94分.证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分)求极限0x →(16) (本题满分10分)已知函数(),f u v 具有连续的二阶偏导数，()1,12f =是(),f u v 的极值，()(,,)z f x y f x y =+.求()21,1zx y∂∂∂(17) (本题满分10分)求不定积分(18) (本题满分10分)证明方程44arctan 03x x π-+=恰有两个实根.(19)(本题满分10分)设函数()f x 在区间[]0,1具有连续导数，(0)1f =，且满足'()()+=⎰⎰⎰⎰ttD D f x y dxdy f t dxdy , {}(,)0,0(01)=≤≤-≤≤<≤tD x y y t x x t t ，求()f x 的表达式.(20) (本题满分11分)设向量组()11,0,1Tα=，()20,1,1T α=，()31,3,5T α= 不能由向量组()11,1,1β=T,()21,2,3T β=,()33,4,β=Ta 线性表出.(I)求a 的值 ；(II)将1β，2β，3β用1α，2α，3α线性表出. (21) (本题满分11分)A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(I) 求A 的所有特征值与特征向量;(II) 求矩阵A . (22)(本题满分11分)设随机变量与的概率分布分别为且22()1P X Y ==.(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ. (23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0,2x y x y -=+=与0y =所围成的三角形区域.(I) 求X 的概率密度()X f x ； (II) 求条件概率密度|(|)X Y f x y .2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与kcx 是等价无穷小，则 ( )(A ) k=1, c =4 (B ) k=1,c =-4 (C ) k=3,c =4 (D ) k=3,c =-4 【答案】 (C)【详解】本题涉及到的主要知识点： 当0x →时，sin x x 在本题中，03sin sin 3limk x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2limkx x x x x xcx →--= ()20sin 3cos 22cos limkx x x x cx →--=2103cos 22cos lim k x x xcx -→--= ()22132cos 12cos limk x x xcx -→---=22110044cos 4sin lim lim k k x x x x cx cx --→→-== 304lim 14,3k x c k cx -→==⇒==，故选择(C).(2) 已知函数()f x 在x =0处可导，且()0f =0，则()()2332limx x f x f x x→-= ( )(A) -2()0f ' (B) -()0f ' (C) ()0f ' (D) 0. 【答案】(B)【详解】本题涉及到的主要知识点： 导数的定义 0000()()lim ()x f x x f x f x x→+-'=在本题中，()()()()()()232233320220limlimx x x f x f x x f x x f f x f xx→→---+=()()()()()()()33000lim 20200x f x f f x f f f f x x →⎡⎤--'''⎢⎥=-=-=-⎢⎥⎣⎦故应选(B)(3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 ( )(A)若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=+∑收敛 (B) 若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛(C) 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=-∑收敛 (D) 若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛【答案】(A)【详解】本题涉及到的主要知识点： 级数的基本性质 若级数1nn u∞=∑收敛，则不改变其项的次序任意加括号，并把每个括号内各项的和数作为一项，这样所得到的新级数仍收敛，而且其和不变. 在本题中，由于级数2121()n n n uu ∞-=+∑是级数1n n u ∞=∑经过加括号所构成的，由收敛级数的性质：当1nn u∞=∑收敛时，2121()n n n uu ∞-=+∑也收敛，故（A ）正确.(4) 设4ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I << 【答案】(B)【详解】本题涉及到的主要知识点： 如果在区间[,]a b 上，()()f x g x ≤，则()()bbaaf x dxg x dx ≤⎰⎰()a b <在本题中，如图所示： 因为04x π<<，所以0sin cos 1cot <<<<x x x又因ln x 在(0,)+∞是单调递增的函数，所以lnsin lncos lncot x x x << (0,)4x π∈4440ln sin ln cos ln cot x dx x dx x dx πππ⇒<<⎰⎰⎰即I K J <<.选（B ）.(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A = ( )(A) 12P P (B) 112P P - (C) 21P P (D) 121-P P 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点：设A 是一个m n ⨯矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.在本题中，由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110,001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭即111,AP B A BP -==故由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭即2,P B E =故122,B P P -==因此，1112121,A P P P P ---==故选(D)(6) 设A 为43⨯矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为( )(A)23121()2k ηηηη++-(B)23121()2k ηηηη-+-(C) 23121231()()2k k ηηηηηη++-+-(D) 23121231()()2k k ηηηηηη-+-+-【答案】(C)【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）如果1ξ，2ξ是Ax b =的两个解，则12ξξ-是0Ax =的解； （2）如n 元线性方程组Ax b =有解，设12,,,t ηηη是相应齐次方程组0Ax =的基础解系，0ξ是Ax b =的某个已知解，则11220t t k k k ηηηξ++++是Ax b =的通解（或全部解），其中12,,,t k k k 为任意常数.在本题中，因为123,,ηηη是Ax β=的3个线性无关的解，那么21ηη-，31ηη-是0Ax =的2个线性无关的解.从而()2n r A -≥，即3()2()1r A r A -≥⇒≤ 显然()1r A ≥，因此()1r A =由()312n r A -=-=，知（A ）（B ）均不正确. 又232311222A A A ηηηηβ+=+=，故231()2ηη+是方程组Ax β=的解.所以应选（C ）.(7) 设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是 ( )(A) 1()f x 2()f x (B) 22()f x 1()F x(C) 1()f x 2()F x (D) 1()f x 2()F x +2()f x 1()F x 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点： 连续型随机变量的概率密度()f x 的性质：()1f x dx +∞-∞=⎰在本题中，由于1()f x 与2()f x 均为连续函数，故它们的分布函数1()F x 与2()F x 也连续.根据概率密度的性质，应有()f x 非负，且()1f x dx +∞-∞=⎰.在四个选项中，只有（D ）选项满足[]1221()()()()f x F x f x F x dx +∞-∞+⎰2112()()()()F x dF x F x dF x +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰121212()()()()()()F x F x F x dF x F x dF x +∞+∞+∞-∞-∞-∞=-+⎰⎰1=故选（D ）.(8) 设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量111n i i T X n ==∑和121111n i n i T X X n n -==+-∑，有 ( ) (A) 1ET >2ET ,1DT >2DT (B) 1ET >2ET ,1DT <2DT (C) 1ET <2ET ,1DT >2DT (D) 1ET <2ET ,1DT <2DT 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点： （1）泊松分布()XP λ 数学期望EX λ=，方差DX λ=（2）()E cX cEX =，()E X Y EX EY +=+，2()D cX c DX =，()D X Y DX DY +=+（X 与Y 相互独立） 在本题中，由于12,,,n X X X 独立同分布，且0i i EX DX λ==>，1,2,,i n =，从而()()111111()()n ni i i i E T E X E X n E X n n nλ=====⋅⋅=∑∑，()112111111()()11--==⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭∑∑n n i n in i i E T E X X E X E X n n n n 11(1)()()1=⋅-+-i n n E X E X n n ()()111λ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭E X E X n n 故()()12<E T E T又()()1121((11))λ===⋅⋅==∑n i i D T D n D X D X n n X n n，()12221111()(1)1(1)n i n i D T D X X n n n n n λλ-==+=⋅-⋅+--∑12()1D T n n n λλλ=+>=-，故选（D ）.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()()0lim 13xtt f x x t →=+，则()f x '= .【答案】()313xex +【详解】本题涉及到的主要知识点： 重要极限公式 10lim(1)xx x e →+=在本题中，()()()31300lim 13lim 13x t xtt tt t f x x t x t ⋅→→⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦3x x e =⋅所以有()()313'=+xf x ex .(10) 设函数1x yx z y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()1,1=dz .【答案】()()12ln 2dx dy +- 【详解】用对数求导法.两边取对数得ln ln(1)x x z y y=+， 故11[ln(1)]z x x z x y y x y ∂=++∂+，21[ln(1)]z x x x z y y y x y∂=-++∂+ 令1x =，1y =，得(1,1)2ln 21z x ∂=+∂，(1,1)(2ln 21)zy ∂=-+∂， 从而()()(1,1)12ln 2dz dx dy =+-(11) 曲线tan 4yx y e π⎛⎫++= ⎪⎝⎭在点()0,0处的切线方程为 . 【答案】2y x =- 【详解】方程变形为arctan()4y x y e π++=，方程两边对x 求导得211yye y y e ''+=+，在点(0,0)处(0)2y '=-，从而得到曲线在点(0,0)处的切线方程为2y x =-.(12)曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为 . 【答案】43π【详解】本题涉及到的主要知识点： 设有连续曲线()y f x =()a x b ≤≤，则曲线()y f x =与直线x a =，x b =及x绕x 轴旋转一周产生的旋转体的体积2(bx aV f π=⎰在本题中，()222223111141().33V y dx x dx x x ππππ==-=⋅-=⎰⎰(13) 设二次型()123,,T f x x x x Ax =的秩为1，A 中各行元素之和为3，则f 在正交变换x Q y =下的标准形为 .【答案】213y【详解】本题涉及到的主要知识点： 任给二次型,1()nij ijijji i j f a x x aa ===∑，总有正交变换x Py =，使f 化为标准形2221122n n f y y y λλλ=+++，其中12,,,n λλλ是f 的矩阵()ij A a =的特征值.在本题中，A 的各行元素之和为3，即1112131112132122232122233132333132333,13113,1313113113a a a a a a a a a a a a A a a a a a a ++=⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=⇒=⇒=⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩ 所以3λ=是A 的一个特征值.再由二次型Tx Ax 的秩为10λ⇒=是A 的2重特征值. 因此，正交变换下标准形为：213y .(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0μμσσN ，则()2E XY = .【答案】22()μμσ+【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）如果随机变量X 和Y 的相关系数0XY ρ=，则称X 与Y 不相关.（2）若随机变量X 与Y 的联合分布是二维正态分布，则X 与Y 独立的充要条件是X 与Y不相关.（3）如果随机变量X 与Y 相互独立，则有()E XY EXEY = 在本题中，由于(),X Y 服从正态分布()22,;,;0μμσσN，说明X ，Y 独立同分布，故X与2Y 也独立.由期望的性质有22()E XY EX EY =⋅，又EX μ=，2222()EY DY EY σμ=+=+，所以222()()E XY μμσ=+三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分)求极限x →【详解】本题涉及到的主要知识点： 当0x →时，ln(1)x x +在本题中，0x →201lim x x x →-=000x x x →→→===01.2x x →→==-=-(16) (本题满分10分)已知函数(),f u v 具有连续的二阶偏导数，()1,12f =是(),f u v 的极值，()(,,)z f x y f x y =+.求()21,1zx y∂∂∂【详解】本题涉及到的主要知识点：极值存在的必要条件 设(,)z f x y =在点00(,)x y 具有偏导数，且在点00(,)x y 处有极值，则必有00(,)0x f x y '=，00(,)0y f x y '=. 在本题中，(,(,))z f x y f x y =+121(,(,))(,(,))(,)zf x y f x y f x y f x y f x y x∂'''=+++⋅∂ 2111221(,(,))(,(,))(,)(,)zf x y f x y f x y f x y f x y f x y x y∂''''''=++++∂∂ ()21222212[(,(,))(,(,))(,)](,(,)),f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y ''''''''+++++⋅()1,12f =为(),f u v 的极值 ()()121,11,10f f ''∴==211212(1,1)2,2(2,2)(1,1)z f f f x y ∂'''''∴=+⋅∂∂(17) (本题满分10分)求不定积分【详解】本题涉及到的主要知识点： （1）()x t ϕ=，1()[()]()()[()]f x dx f t t dt G t C G x C ϕϕϕ-'==+=+⎰⎰；（2）udv uv vdu =-⎰⎰； （3）[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰.在本题中，令t =,2x t =,2dx tdt =∴2arcsin ln 2t t tdt t +=⋅⎰()22arcsin ln t t dt =+⎰ 2222arcsin 22ln 2tt t t t t dt t=⋅-+⋅-⋅⎰222arcsin 2ln 4t t t t t=⋅+⋅+-22arcsin 2ln 4t t t t t C=⋅+⋅++x C =+，其中C 是任意常数.(18) (本题满分10分)证明方程44arctan 03x x π-+=恰有两个实根. 【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）零点定理 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号（即()()0f a f b ⋅<），那么在开区间(,)a b 内至少有一点ξ，使()0f ξ= （2）函数单调性的判定法 设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导. ①如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； ②如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少.在本题中，令4()4arctan 3f x x x π=-+-，'24()11f x x=-+当x >'()0f x <，()f x 单调递减；当x <时，'()0f x >，()f x 单调递增.4(4arctan((03f π=-+=.当x <()f x 单调递减,∴(,x ∈-∞,()0f x >；当x <<()f x 单调递增,∴(x ∈,()0f x >x ∴=()f x在(-∞上唯一的零点.又因为48033f ππ==-> 且()4lim lim 4arctan .3x x f x x x π→+∞→+∞⎛=-+-=-∞ ⎝∴由零点定理可知，)0x ∃∈+∞，使()00f x =,∴方程44arctan 03x x π-+=恰有两个实根.(19)(本题满分10分)设函数()f x 在区间[]0,1具有连续导数，(0)1f =，且满足'()()+=⎰⎰⎰⎰ttD D f x y dxdy f t dxdy , {}(,)0,0(01)=≤≤-≤≤<≤tD x y y t x x t t ，求()f x 的表达式.【详解】本题涉及到的主要知识点： 一阶线性微分方程()()dyP x y Q x dx+=的通解()()(())P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰. 在本题中，因为()()tt t xD f x y dxdy dx f x y dy -''+=+⎰⎰⎰⎰，令x y u +=，则()()()()t xtx f x y dy f u du f t f x -''+==-⎰⎰()(()())()()tttD f x y dxdy f t f x dx tf t f x dx '+=-=-⎰⎰⎰⎰201()()()()2ttD tf t f x dx f t dxdy t f t ∴-==⎰⎰⎰.两边对t 求导，得 2()()02'+=-f t f t t ,解齐次方程得212()(2)--⎰==-dt t C f t Ce t由(0)1f =，得4C =. 所以函数表达式为24()(01)(2)f x x x =≤≤-.(20) (本题满分11分)设向量组()11,0,1T α=，()20,1,1T α=，()31,3,5T α= 不能由向量组()11,1,1β=T,()21,2,3T β=,()33,4,β=Ta 线性表出.(I)求a 的值 ；(II)将1β，2β，3β用1α，2α，3α线性表出. 【详解】本题涉及到的主要知识点： 向量组12,,,l b b b 能由向量组12,,,m a a a 线性表示的充分必要条件是 121212(,,,)(,,,,,,,)m m l r a a a r a a a b b b =(I)因为123101,,01310115ααα==≠，所以123,,ααα线性无关.那么123,,ααα不能由123,,βββ线性表示⇒123,,βββ线性相关，即123113113,,1240115013023a aa βββ===-=-，所以5a =(II)如果方程组112233(1,2,3)j x x x j αααβ++==都有解，即123,,βββ可由123,,ααα线性表示.对123123,,,,,αααβββ（）作初等行变换，有123123,,,,,αααβββ（）=101113013124115135⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭1002150104210001102⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭ 故112324βααα=+-，2122βαα=+，31235102βααα=+-(21) (本题满分11分)A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(I) 求A 的所有特征值与特征向量;(II) 求矩阵A .【详解】本题涉及到的主要知识点： （1）(0)A αλαα=≠λ为矩阵A 的特征值，α为对应的特征向量（2）对于实对称矩阵，不同特征值的特征向量互相正交. （I ）因()2r A =知0A =，所以0λ=是A 的特征值.又111000111A -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，110011A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以按定义1λ=是A 的特征值，1(1,0,1)Tα=是A 属于1λ=的特征向量；1λ=-是A 的特征值，2(1,0,1)T α=-是A 属于1λ=-的特征向量.设3123(,,)Tx x x α=是A 属于特征值0λ=的特征向量，作为实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，因此131323130,0,T Tx x x x αααα⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩ 解出3(0,1,0)Tα= 故矩阵A 的特征值为1,1,0-；特征向量依次为123(1,0,1),(1,0,1),(0,1,0)T T Tk k k -，其中123,,k k k 均是不为0的任意常数.(II)由12312(,,)(,,0)A ααααα=-，有1112123*********(,,0)(,,)000001000110110100A ααααα---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦.(22)(本题满分11分)且22()1P X Y ==.(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ. 【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）协方差 ()()()()cov ,X Y E XY E X E Y =-⋅ （2）相关系数cov ,XY X Y ρ=(I)设(,)X Y 的概率分布为根据已知条件{}221P XY ==，即{}{}{}0,01,11,11P X Y P X Y P X Y ==+==-+===，可知1221231p p p ++=，从而110p p p ===，1p p p ===，即(,)X Y 的概率分布为(II) Z XY =的所有可能取值为-1，0，1 .{}{}111,13P Z P X Y =-===-={}{}111,13P Z P X Y ====={}{}{}101113P Z P Z P Z ==-=-=-=Z XY =的概率分布为(3) 23EX =，0EY =，0EXY =，故(,)0Cov X Y EXY EX EY =-⋅=，从而0XY ρ=.(23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0,2x y x y -=+=与0y =所围成的三角形区域.(I) 求X 的概率密度()X f x ； (II) 求条件概率密度|(|)X Y f x y . 【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）X 、Y 是连续型随机变量，边缘概率密度为()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰，()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰；（2）在Y y =的条件下X 的条件概率密度(,)()()X Y Y f x y f x y f y =； （3）设G 是平面上的有界区域，其面积为A .若二维随机变量(,)X Y 具有概率密度1,(,),(,)0,x y G f x y A ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他则称(,)X Y 在G 上服从均匀分布.(I)(,)X Y 的联合密度为1,(,),(,)0,(,).x y G f x y x y G ∈⎧=⎨∉⎩当01x ≤<时，0()(,)1x X f x f x y dy dy x +∞-∞===⎰⎰； 当12x ≤≤时，20()(,)12x X f x f x y dy dy x +∞--∞===-⎰⎰；当0x <或2x >时，()0X f x =.所以 , 01,()2, 12,0, X x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它.(II)|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =当01y ≤<时，2()122yY yf y dx y -==-⎰；当0y <或1y ≥时，()0Y f y =.所以|1, 2,01,22(|)0, X Y y x y y y f x y ⎧<<-≤<⎪-=⎨⎪⎩其他.。
2011年全国考研数学三真题及答案解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
(1) 已知当0x →时，函数()3sin sin3f x x x =-与是k cx 等价无穷小，则(A) 1,4k c == (B) 1,4k c ==- (C) 3,4k c == (D) 3,4k c ==-(2) 已知()f x 在0x =处可导，且(0)0f =,则2330()2()lim x x f x f x x→-= (A) '2(0)f - (B) '(0)f - (C) '(0)f (D) 0 (3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是(A) 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=+∑收敛(B) 若2121()n n n uu ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛(C) 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=-∑收敛(D) 若2121()n n n uu ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛(4) 设40ln(sin )I x dx π=⎰,4ln(cot )J x dx π=⎰,40ln(cos )K x dx π=⎰ 则I ,J ,K 的大小关系是(A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I << (5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵记为1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A = (A)12P P (B)112P P - (C)21P P (D) 121P P -(6) 设A 为43⨯矩阵,1η, 2η , 3η 是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，1k ,2k 为任意常数，则Ax β=的通解为(A)23121()2k ηηηη++-(B) 23221()2k ηηηη-+-(C) 23131221()()2k k ηηηηηη++-+-(D) 23221331()()2k k ηηηηηη-+-+-(7) 设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x , 1()f x 是连续函数，则必为概率密度的是(A) 12()()f x f x (B)212()()f x F x(C) 12()()f x F x (D) 1221()()()()f x F x f x F x +(8) 设总体X 服从参数λ(0)λ>的泊松分布，11,,(2)n X X X n ≥ 为来自总体的简单随即样本，则对应的统计量111ni i T X n ==∑，121111n in i T X X n n -==+-∑ (A)1212,ET ET DT DT >> (B)1212,ET ET DT DT >< (C)1212,ET ET DT DT <> (D) 1212,ET ET DT DT <<二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 设0()lim (13)xtt f x x t →=+，则'()f x =______.(10) 设函数(1)xy xz y=+，则(1,1)|dz =______.(11) 曲线tan()4y x y e π++=在点(0,0)处的切线方程为______.(12)曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积______.(13) 设二次型123(,,)T f X X X x Ax =的秩为1，A 中行元素之和为3，则f 在正交变换下x Qy =的标准型为______.(14) 设二维随机变量(,)X Y 服从22(,;,;0)N μμσσ，则2()E XY =______. 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分)求极限0x →.(16) (本题满分10分)已知函数(,)f u v 具有连续的二阶偏导数，(1,1)2f =是(,)f u v 的极值，[](),(,)z f x y f x y =+。
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案
(5) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第二列加到第一列得矩阵 B ，再交换 B 的第二行与第三行得
⎛1 0 0⎞
⎛1 0 0⎞
单位矩阵，记
P1
=
⎜ ⎜
1
1
0
⎟ ⎟
，
P2
=
⎜ ⎜
0
0
1
⎟ ⎟
，则
A
=
(
)
⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
⎜⎝ 0 1 0 ⎟⎠
(A) P1P2
(B) P1 −1P2
(C) P2P1
两个线性无关的解，即 Ax = 0 的基础解系中至少有 2 个线性无关的解，所以可排除 A，B
选项.
又因为 Aη2 −η3 = 0 ，所以 η2 −η3 是 Ax = 0 的解，不是 Ax = β 的解，故排除 D 选项，
2
2
因此选 C.
事实上，由于η1,η2 ,η3 是 Ax = β 的三个线性无关的解，所以η3 −η1,η2 −η1 是 Ax = 0 的
两个线性无关的解，即 Ax = 0 的基础解系中至少有 2 个线性无关的解，亦即 3 − r( A) ≥ 2 ，
故 r( A) ≤ 1.由于 A ≠ 0 ，所以 r( A) ≥ 1，故 r( A) = 1.这样， Ax = 0 的基础解系中正好有 2
个线性无关的解，由此知η3 −η1,η2 −η1 是 Ax = 0 的一个基础解系.
数学(三)试题 第 5页 (共 4 页)
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(11)
曲线
tan
⎛ ⎜
⎝x+来自y+π 4
⎞ ⎟ ⎠
=
e
y
在点
(
0,0
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案详解
【详解一】 lim
x →0
1 + 2sin x − x − 1 1 + 2sin x − x − 1 = lim x →0 x ln(1 + x) x2
cos x − 1 + 2sin x cos x − 1 + 2sin x = lim x →0 x →0 2x 2 x 1 + 2sin x 1 cos x 1 )=− = lim(− sin x − 2 x →0 2 1 + 2sin x = lim
(B)
+ k2 (η 2 − η1 ) ; 2 η − η3 (D) 2 + k1 (η3 − η1 ) + k2 (η 2 − η1 ) . 2
η 2 − η3
η3 − η1，η 2 − η1 为 AX = 0 的基础解系.非齐次线性方程组解的线性组合若系数和为 1 是非
齐次线性方程组解，从而
η 2 + η3
2 2 2
.
【答案】 μ ( μ + σ )
2 2
【详解】 由题知 X 与 Y 的相关系数 ρ XY = 0 ， 即 X 与 Y 不相关.在二维正态分布条件下，X 与 Y 不相关与 X 与 Y 独立等价，所以 X 与 Y 独立，则有
EX = EY = μ , DX = DY = σ 2 EY 2 = DY + ( EY ) = μ 2 + σ 2
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【详解二】 lim
x →0
1 + 2sin x − x − 1 1 + 2sin x − ( x + 1) 2 = lim x →0 2 x ln(1 + x) x 1 + 2sin x − x − 1
2011年全国考研数学三真题及答案解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
(1) 已知当0x →时，函数()3sin sin3f x x x =-与是k cx 等价无穷小，则(A) 1,4k c == (B) 1,4k c ==- (C) 3,4k c == (D) 3,4k c ==-(2) 已知()f x 在0x =处可导，且(0)0f =,则2330()2()lim x x f x f x x→-= (A) '2(0)f - (B) '(0)f - (C) '(0)f (D) 0 (3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是(A) 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=+∑收敛(B) 若2121()n n n uu ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛(C) 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=-∑收敛(D) 若2121()n n n uu ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛(4) 设40ln(sin )I x dx π=⎰,4ln(cot )J x dx π=⎰,40ln(cos )K x dx π=⎰ 则I ,J ,K 的大小关系是(A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I << (5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵记为1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A = (A)12P P (B)112P P - (C)21P P (D) 121P P -(6) 设A 为43⨯矩阵,1η, 2η , 3η 是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，1k ,2k 为任意常数，则Ax β=的通解为(A)23121()2k ηηηη++-(B) 23221()2k ηηηη-+-(C) 23131221()()2k k ηηηηηη++-+-(D) 23221331()()2k k ηηηηηη-+-+-(7) 设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x , 1()f x 是连续函数，则必为概率密度的是(A) 12()()f x f x (B)212()()f x F x(C) 12()()f x F x (D) 1221()()()()f x F x f x F x +(8) 设总体X 服从参数λ(0)λ>的泊松分布，11,,(2)n X X X n ≥ 为来自总体的简单随即样本，则对应的统计量111ni i T X n ==∑，121111n in i T X X n n -==+-∑ (A)1212,ET ET DT DT >> (B)1212,ET ET DT DT >< (C)1212,ET ET DT DT <> (D) 1212,ET ET DT DT <<二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 设0()lim (13)xtt f x x t →=+，则'()f x =______.(10) 设函数(1)xy xz y=+，则(1,1)|dz =______.(11) 曲线tan()4y x y e π++=在点(0,0)处的切线方程为______.(12)曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积______.(13) 设二次型123(,,)T f X X X x Ax =的秩为1，A 中行元素之和为3，则f 在正交变换下x Qy =的标准型为______.(14) 设二维随机变量(,)X Y 服从22(,;,;0)N μμσσ，则2()E XY =______. 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分)求极限0x →.(16) (本题满分10分)已知函数(,)f u v 具有连续的二阶偏导数，(1,1)2f =是(,)f u v 的极值，[](),(,)z f x y f x y =+。
2011-2013考研数学_三_真题及答案详解
X1 − X 2 的分布 | X3 + X4 − 2 |
(A) N（0,1） (B) t(1)
二、填空题：9 ∼ 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸 指定位置上. ．．． (9) lim ( tan x ) cos x −sin x =
x→ 1
π
4
(10)设函数 f ( x ) = ⎨
x →0
1 + 2sin x − x − 1 x ln(1 + x)
16. 已 知 函 数 f (u , v) 具 有 连 续 的 二 阶 偏 导 数 ， f (1,1) = 2 是 f (u , v) 的 极 值 ，
z = f [ ( x + y ), f ( x, y ) ] 。求
∂2 z ∂x∂y (1,1)
4 0 0
π
π
（A） I < J < K （B） I < K < J （C） J < I < K （D） K < J < I 5．设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第二列加到第一列得矩阵 B ，再交换 B 的第二行与第一行得单位矩阵.
⎡1 0 0 ⎤ ⎡1 0 0 ⎤ ⎢ 1 0 ⎥ , P = ⎢ 0 0 1 ⎥ ,则 A = 记P 1 = ⎢1 ⎥ 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 1 0 1 0 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( λ > 0 ) 的泊松分布，X 1 , X 2 ,
, X n ( n ≥ 2 ) 为来自总体的简单随机样本，
1 n 1 n −1 1 X ， T = Xi + Xn ∑ ∑ i 2 n i =1 n − 1 i =1 n
（A） ET1 > ET2 , DT1 > DT2 （B） ET1 > ET2 , DT1 < DT2 （C） ET1 < ET2 , DT1 > DT2 （D） ET1 < ET2 , DT1 < DT2
2011考研数三真题及解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．) (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则( ) (A) 1,4k c ==. (B) 1,4k c ==-. (C) 3,4k c ==. (D) 3,4k c ==-.(2) 已知函数()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则()()2332limx x f x f x x →-=( )(A) -2()0f '. (B) -()0f '. (C) ()0f '. (D) 0. (3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是( ) (A) 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=+∑收敛. (B) 若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛.(C) 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=-∑收敛. (D) 若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛.(4) 设4ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<．(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A =( ) (A) 12PP ． (B) 112P P -． (C) 21P P ． (D) 121P P -．(6) 设A 为43⨯矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为( )(A)23121()2k ηηηη++-．(B)23121()2k -+-ηηηη． (C) 23121231()()2k k ++-+-ηηηηηη．(D) 23121231()()2k k -+-+-ηηηηηη．(7) 设1()F x ，2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x ，2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )(A) 12()()f x f x ． (B) 212()()f x F x ．(C) 12()()f x F x ． (D) 1221()()()()f x F x f x F x +．(8) 设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥ 为来自总体X 的简单随机样本，则对应的统计量111,n i i T X n ==∑ 121111n i n i T X X n n -==+-∑( )(A) 12()()E T E T >，12()()D T D T >． (B) 12()()E T E T >，12()()D T D T >． (C) 12()()E T E T <，12()()D T D T <． (D) 12()()E T E T <，12()()D T D T <． 二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上．) (9) 设()()0lim 13x tt f x x t →=+，则()f x '= .(10) 设函数1x yx z y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()1,1=dz .(11) 曲线tan 4yx y e π⎛⎫++= ⎪⎝⎭在点()0,0处的切线方程为 . (12)曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为 .(13) 设二次型()123,,Tf x x x x Ax =的秩为1，A 的各行元素之和为3，则f 在正交变换x Q y =下的标准形为 ．(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0N μμσσ，则()2E X Y = ．三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)(15) (本题满分10分)求极限0x →．(16) (本题满分10分) 已知函数(),fu v 具有连续的二阶偏导数，()1,12f =是(),f u v 的极值，(),,=+⎡⎤⎣⎦z f x y f x y ，求()21,1zx y∂∂∂.(17) (本题满分10分)求. (18) (本题满分10分)证明44arctan 03x x π-+=恰有2实根. (19) (本题满分10分)设函数()f x 在[]0,1有连续导数，(0)1f =，且()()ttD D f x y dxdy ft dxdy '+=⎰⎰⎰⎰, {}(,)0,0(01)=≤≤-≤≤<≤t D x y y t x x t t ，求()f x 的表达式.(20) (本题满分11分)设向量组123(1,0,1),(0,1,1),(1,3,5)T T T ααα===，不能由向量组1(1,1,1)Tβ=，2(1,2,3)T β=，3(3,4,)T a β=线性表示．(I) 求a 的值；(II) 将123,,βββ由123,,ααα线性表示． (21) (本题满分11分)A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2，即()2r A =，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．(I) 求A 的特征值与特征向量；(II) 求矩阵A ．(22) (本题满分11分)设随机变量X 与Y 的概率分布分别为且{}221P X Y ==．(Ｉ)求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II)求Z XY =的概率分布； (III)求X 与Y 的相关系数XY ρ． (23) (本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0,2x y x y -=+=与0y =所围成的区域．(I)求边缘概率密度()X f x ； (II)求条件密度函数|(|)X Y f x y ．2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．) (1)【答案】(C)． 【解析】因为03sin sin3limk x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2limk x x x x x xcx →--= ()20sin 3cos 22cos limkx x x x cx →--=2103cos 22cos lim k x x xcx -→--= ()22132cos 12cos limk x x xcx -→---=22110044cos 4sin lim limk k x x x xcx cx --→→-== 304lim1k x cx -→==．所以4,3c k ==，故答案选(C). (2)【答案】(B)． 【解析】()()2332limx x f x f x x →-()()()()22330220limx x f x x f f x f x→--+=()()()()33000lim 2x f x f f x f x x →⎡⎤--⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦()()()0200f f f '''=-=-．故答案选(B).(3)【答案】(A).【解析】方法1：数项级数的性质：收敛级数任意添加括号后仍收敛，故(A)正确. 方法2：排除法，举反例． 选项(B)取(1)nn u =-，这时21211()0n n n n uu ∞∞-==+=∑∑收敛，但11(1)n n n n u ∞∞===-∑∑发散，故选项(B)错误；选项(C)取1(1)n n u n --=，这时111(1)n n n n u n -∞∞==-=∑∑收敛，但212111()n n n n u u n∞∞-==-=∑∑发散，故选项(C)错误；选项(D)取1n u =，这时21211()0n n n n uu ∞∞-==-=∑∑收敛，但111n n n u ∞∞===∑∑发散，故选项(D)错误．故正确答案为(A).(4)【答案】(B)．【解析】因为04x π<<时， 0sin cos 1cot x x x <<<<，又因ln x 是单调递增的函数，所以lnsin lncos lncot x x x <<．故正确答案为(B)． (5)【答案】 (D)．【解析】由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即1AP B =，11A BP -=．由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即2,P B E =故122B P P -==．因此，121A P P -=，故选(D)．(6)【答案】(C)．【解析】由于123,,ηηη是Ax β=的3个线性无关的解，所以3121,ηηηη--是0Ax =的两个线性无关的解，即0Ax =的基础解系中至少有2个线性无关的解，所以可排除(A)、(B)选项．又因为2302A ηη-=，所以232ηη-是0Ax =的解，不是Ax β=的解，故排除(D)选项，因此选(C)．事实上，由于123,,ηηη是Ax β=的三个线性无关的解，所以2131,--ηηηη是0Ax =的两个线性无关的解，即0Ax =的基础解系中至少有2个线性无关的解，亦即3()2r A -≥，故()1r A ≤．由于A O ≠，所以()1r A ≥，故()1r A =．这样，0Ax =的基础解系中正好有2个线性无关的解，由此知2131,--ηηηη是0Ax =的一个基础解系．Born to win因为123,,ηηη是Ax β=的解，所以23,A A ηβηβ==，因此232A ηηβ+=，所以232ηη+是Ax β=的一个特解．由非齐次线性方程组解的结构，可知Ax β=的通解为23121231()()2k k ++-+-ηηηηηη．(7)【答案】(D)． 【解析】选项(D)1122()()()()f x F x f x F x dx +∞-∞⎡⎤+⎣⎦⎰2211()()()()F x dF x F x dF x +∞-∞⎡⎤=+⎣⎦⎰21()()d F x F x +∞-∞⎡⎤=⎣⎦⎰12()()|F x F x +∞-∞=1=． 所以1221()()f F x f F x +为概率密度. (8)【答案】(D)．【解析】因为12,,,()n X X X P λ ，所以()i E X λ=，()i D X λ=，从而有()()()1111()11()n ni i i i X E X E T n n n nE E X E X λ===⋅⋅====∑∑()112111111()()11--==⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭∑∑n n i n i n i i E T E X X E X E X n n n n()()111λ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭E X E X n n ．因为111n<+，所以()()12<E T E T ．又因为 ()()1121((11))λ===⋅⋅==∑n i i D T D n D X D X n n X n n．()11221121111()()1(1)()--==+⋅+--==∑∑n n i n i n i i X X D X D n n D n D X n T2211(111)()1D X D X n n n n λ=⋅+⋅-⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭ ．由于当2≥n 时，21111<+-n n n，所以()()12D T D T <． 二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上．) (9)【答案】()313xex +.【解析】因为()()()31300lim 13lim 13x t xtttt t f x x t x t ⋅→→⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦3x x e =⋅，所以，()()313'=+xf x e x .(10)【答案】()()12ln 2dx dy +-.【解析】ln(1)(1)xxxy y yx z e y+=+=,11(1)ln(1)1x ydz x x x y x dx y y y y y ⎡⎤⎢⎥=+++⋅⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦,22(1)ln(1)1xy x dz x x x x y x dy y y y y y ⎡⎤-⎢⎥=+-++⋅⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，所以，(1,1)2ln 21dz dx =+，(1,1)12ln 2dzdx =--， 从而 ()()()1,112ln 212ln 2dzdx dy =+-+或()()()1,112ln 2dzdx dy =+-.(11)【答案】2y x =-.【解析】方程tan 4yx y e π⎛⎫++= ⎪⎝⎭的两端对x 求导，有 ()2sec 14y x y y e y π⎛⎫''++⋅+= ⎪⎝⎭，将0,0x y ==代入上式，有()211cos4y y π''+=，解得()0,02y '=-，故切线方程为：2y x =-.(12) 【答案】43π. 【解析】如图２所示：221V y dx π=⎰()2211x dx π=-⎰43π=．(13)【答案】213y ．【解析】因为A 的各行元素之和为3，所以1113111A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故3为矩阵A 的特征值．由()1r A =知矩阵A 有两个特征值为零，从而1233,0===λλλ．由于二次型在正交变换下标准形前面的系数即为二次型所对应矩阵的特征值，所以二次型在正交变换下的标准形为213y ．(14)【答案】()22μμσ+．【解析】根据题意，二维随机变量(),X Y 服从()22,;,;0N μμσσ．因为0xy ρ=，所以由二维正态分布的性质知随机变量,X Y 独立，所以2,X Y ．从而有()()()()()()22222E XY E X E Y D Y E Y μμμσ⎡⎤==+=+⎣⎦． 三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)(15) (本题满分10分)【解析】00x x →→=0x →=x →=0001.2x x x →→→===-=-(16) (本题满分10分) 【解析】121[(),(,)][(),(,)](,)zf x y f x y f x y f x y f x y x∂'''=+++⋅∂ ()()()()()()()(){}()()()211122212221212,1,(,),,(,)(,),,zf x y f x y x yf x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y ∂''=++⋅⎡⎤⎣⎦∂∂'''+++⋅⎡⎤⎣⎦''''''++++++⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦'''+++⋅⎡⎤⎣⎦由于()1,12f =为(),f u v 的极值，故()()121,11,10f f ''==，所以，()()()2112122,22,21,1.zf f f x y∂'''''=+⋅∂∂(17) (本题满分10分)【解析】令t =，则2x t =,2dx tdt =，所以2arcsin ln 2t t tdt t +=⋅⎰()22arcsin ln t t dt =+⎰2222arcsin 22ln 2t t t t t t dt t =⋅-+⋅-⋅⎰ 222arcsin 2ln 4t t t t t =⋅++⋅-22arcsin 2ln 4t t t t t C =⋅+⋅-+.x C =+(18) (本题满分10分)【解析】设4()4arctan 3f x x x π=-+-则 24()11f x x '=-=+令()0f x '=，解得驻点12x x ==所以，当x <()0f x '<，故()f x 单调递减；当x <<()0f x '>，故()f x 单调递增；当x >()0f x '<，故()f x 单调递减.又当(,(x ∈-∞ 时()0f x >，且(0f =，故(x ∈-∞时只有一个零点；又803f π=->，()4lim lim 4arctan 03x x f x x x π→+∞→+∞⎛=-+-=-∞< ⎝，由零点定理可知，存在)0x ∈+∞，使()00f x =；所以，方程44arctan 03x x π-+-=恰有两实根. (19) (本题满分10分) 【解析】21()()2tD f t dxdy t f t =⎰⎰，000()()(()())()()tt t xD t tf x y dxdy dx f x y dyf t f x dx tf t f x dx-''+=+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰由题设有 201()()()2ttf t f x dx t f t -=⎰，上式两端求导，整理得(2)()2()t f t f t '-=，为变量可分离微分方程，解得2()(2)Cf t t =-， 带入(0)1f =，得4C =. 所以，24(),01(2)f x x x =≤≤-.(20) (本题满分11分)【解析】(I)由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，对123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：123123113101(,,,,,)12401313115a ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭βββααα113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭． 当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r ββββββα=≠=，此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故123,,ααα不能由123,,βββ线性表示．(II)对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换：123123101113(,,,,,)013124115135⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αααβββ101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭ 1002150104210001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭， 故112324βααα=+-，2122βαα=+，31235102βααα=+-．(21) (本题满分11分)【解析】(I)由于111100001111A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，设()()121,0,1,1,0,1T T αα=-=，则()()1212,,A αααα=-，即1122,A A αααα=-=，而120,0αα≠≠，知A 的特征值为121,1λλ=-=，对应的特征向量分别为()1110k k α≠，()2220k k α≠．由于()2r A =，故0A =，所以30λ=．由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()3123,,Tx x x α=，则13230,0,T T⎧=⎨=⎩αααα即13130,0x x x x -=⎧⎨+=⎩． 解此方程组，得()30,1,0Tα=，故30λ=对应的特征向量为()3330k k α≠．(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0T T Tαααβββααα==-====． 令()123,,Q βββ=，则110TQ AQ -⎛⎫⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭，T A Q Q =Λ2210011001022⎛-⎛⎫⎪⎪-⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭220012200000002210001022⎛-⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．(22) (本题满分11分)【解析】(I)因为{}221P X Y==，所以{}{}222210≠=-==P X Y P X Y．即{}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y==-=======．利用边缘概率和联合概率的关系得到{}{}{}{}1 0,000,10,13P X Y P X P X Y P X Y====-==--===；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y==-==--==-=；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y====-===．即,X Y的概率分布为(II)Z的所有可能取值为1,0,1-．Born to win{}{}111,13P Z P X Y =-===-=．{}{}111,13P Z P X Y =====．{}{}{}101113P Z P Z P Z ==-=-=-=． Z XY =的概率分布为(III)因为XY Cov XY E XY E X E Y ρ-⋅==，其中()()1111010333E XY E Z ==-⋅+⋅+⋅=，()1111010333E Y =-⋅+⋅+⋅=．所以()()()0-⋅=E XY E X E Y ，即X ，Y 的相关系数0ρ=XY ．(23) (本题满分11分)【解析】二维连续型随机变量(,)X Y 的概率密度为1,01,2,(,)0,.y y x y f x y <<<<-⎧=⎨⎩其它(Ｉ)当01x <<时，0()(,)1xX f x f x y dy dy x +∞-∞===⎰⎰．当12x ≤<时，20()(,)12x X f x f x y dy dy x +∞--∞===-⎰⎰．X 的边缘概率密度为, 01,()2, 12,0, X x x f x x x <<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它.(II)当01y <<时，Y 的边缘概率密度为2()(,)122yY yf y f x y dx dx y +∞--∞===-⎰⎰．当01y <<时，|(|)X Y f x y 有意义，条件概率密度|1, 2,(,)22(|)()0, X Y Y y x y f x y y f x y f y ⎧<<-⎪-==⎨⎪⎩其它.。
2011年考研数学三真题及答案
2011年考研数学三真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。
下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)已知当x→0时，f(x)=3sinx−sin3x与cx k是等价无穷小，则(A)k=1,c=4 (B) k=1,c=−4(C)k=3,c=4 (D) k=3,c=−4【答案】C。
【解析】【方法一】lim x→03sinx−sin3xcx=limx→03cosx−3cos3xckx(洛必达法则)=3limx→0−sinx+3sin3xck(k−1)x k−2(洛必达法则)=1c(limx→0−sinx2x+limx→03sin3x2x) (k=3)=1c(−12+92)=1由此得c=4。
【方法二】由泰勒公式知sinx=x−x3+o(x3)sin3x=3x−(3x)33!+ o(x3)则f(x)=3sinx−sin3x=3x−x 32−3x+(3x)33!+ o(x3)=4x3+ o(x3)~4x3 (x→0)故k=3,c=4。
【方法三】lim x→03sinx−sin3xcx k=limx→03sinx−3x+3x−sin3xcx k=1c[limx→03(sinx−x)x k+limx→03x−sin3xx k]=1c[limx→03?(−16x3)x k+limx→016(3x)3x k]=1c(−12+92) (k=3)=82c=1故c=4综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算高等数学—一元函数微分学—洛必达(L'Hospital)法则(2)已知f(x)在x=0处可导，且f(0)=0,则limx→0x2f(x)−2f(x3)x=(A)−2f′(0) (B)−f′(0) (C) f′(0) (D)0【答案】B。
【解析】【方法一】加项减项凑x=0处导数定义lim x→0x2f(x)−2f(x3)3=limx→0x2f(x)−x2f(0)−2f(x3)+2f(0)3=limx→0f(x)−f(0)−2f(x3)−f(0)3=f′(0)−2f′(0)=−f′(0)【方法二】拆项用导数定义lim x→0x2f(x)−2f(x3)x3=limx→0f(x)x−2limx→0f(x3)x3由于f(0)=0，由导数定义知lim x→0f(x)x=f′(0), limx→0f(x3)x3=f′(0)所以limx→0x2f(x)−2f(x3)x=f′(0)−2f′(0)=−f′(0)【方法三】排除法：选择符合条件的具体函数f(x)=x,则lim x→0x2f(x)−2f(x3)x3=limx→0x3−2x3x3=−1而对于f(x)=x.f′(0)=1,显然选项(A)(C)(D)都是错误的，故应选(B)【方法四】由于f(x)在x=0处可导，则f(x)=f(0)+f′(0)x+o(x)=f′(0)x+o(x)f(x3)=f′(0)x3+o(x3)lim x→0x2f(x)−2f(x3)3=limx→0x2[f′(0)x+o(x)]−2[f′(0)x3+o(x3)]x3=f′(0)−2f′(0)=−f′(0)综上所述，本题正确答案是B。
2011年考研数学三真题及解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与kcx 是等价无穷小，则（ ）（A ）k=1, c =4 （B ） k=1,c =-4 （C ） k=3,c =4 （D ） k=3,c =-4 【答案】 （C ）【考点】无穷小量的比较，等价无穷小，泰勒公式 【难易度】★★★ 【详解】解析：方法一：当0x →时，sin x x03sin sin 3limk x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2lim k x x x x x xcx→--= ()20sin 3cos 22cos limkx x x x cx →--=2103cos 22cos lim k x x xcx -→--= ()22132cos 12cos limk x x xcx -→---=22110044cos 4sin lim lim k k x x x x cx cx--→→-== 304lim14,3k x c k cx -→==⇒==，故选择（C ）.方法二：当0x →时，33sin ()3!x x x o x =-+ )(4)](!3)3(3[)](!3[33sin sin 3)(333333x o x x o x x x o x x xx x f +=+--+-=-=故3,4==k c ，选（C ）.（2）已知函数()f x 在x =0处可导，且()0f =0，则()()2332limx x f x f x x →-= （ ）（A ） -2()0f ' （B ） -()0f ' （C ） ()0f ' （D ） 0. 【答案】（B ）【考点】导数的概念 【难易度】★★ 【详解】解析：()()()()()()2333300200limlim 2x x x f x f x f x f f x f x x x →→⎡⎤---⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦()()()0200f f f '''=-=-.故应选（B ）（3）设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 （ ） （A ）若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=+∑收敛 （B ）若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛（C ） 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=-∑收敛 （D ）若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛【答案】（A ）【考点】级数的基本性质 【难易度】★★ 【详解】 解析：由于级数2121()n n n uu ∞-=+∑是级数1n n u ∞=∑经过加括号所构成的，由收敛级数的性质：当1n n u ∞=∑收敛时，2121()n n n uu ∞-=+∑也收敛，故（A ）正确.（4）设4ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是（ ） （A ） I J K << （B ） I K J << （C ） J I K << （D ） K J I <<【答案】（B ）【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★ 【详解】解析：如图所示，因为04x π<<时，20sin cos cot 2x x x <<<<，因此lnsin lncos lncot x x x << 444ln sin ln cos ln cot xdx xdx xdx πππ<<⎰⎰⎰，故选（B ）（5）设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩π/4阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A = （ ）（A ） 12P P （B ） 112P P - （C ） 21P P （D ） 121-P P【答案】（D ）【考点】矩阵的初等变换 【难易度】★★ 【详解】解析：由初等矩阵与初等变换的关系知1AP B =，2P B E =，所以111112121A BP P P P P ----===，故选（D ）（6）设A 为43⨯矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为（ ） （A ）23121()2k ηηηη++-（B ）23121()2k ηηηη-+-（C ） 23121231()()2k k ηηηηηη++-+- （D ） 23121231()()2k k ηηηηηη-+-+-【答案】（C ）【考点】线性方程组解的性质和解的结构；非齐次线性方程组的通解 【难易度】★★★ 【详解】解析：1213,ηηηη--为0=Ax 的解，因为321,,ηηη线性无关，故1213,ηηηη--线性无关，232ηη+为β=Ax 的解，故β=Ax 的通解为)()(212213132ηηηηηη-+-++k k 所以应选（C ）.（7）设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是 （ ）（A ）1()f x 2()f x （B ）22()f x 1()F x（C ）1()f x 2()F x （D ）1()f x 2()F x +2()f x 1()F x 【答案】（D ）【考点】连续型随机变量概率密度 【难易度】★★ 【详解】解析：[]1221()()()()f x F x f x F x dx +∞-∞+⎰2112()()()()F x dF x F x dF x +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰121212()()()()()()F x F x F x dF x F x dF x +∞+∞+∞-∞-∞-∞=-+⎰⎰1=故选（D ）.（8）设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量111n i i T X n ==∑和121111n in i T X X n n-==+-∑，有 （ ） （A ）1ET >2ET ,1DT >2DT （B ）1ET >2ET ,1DT <2DT （C ）1ET <2ET ,1DT >2DT （D ）1ET <2ET ,1DT <2DT 【答案】（D ）【考点】随机变量函数的数学期望；随机变量的数学期望的性质 【难易度】★★★ 【详解】解析：由于12,,,n X X X 是简单随机样本，0i i EX DX λ==>，1,2,,i n =，且12,,,n X X X 相互独立，从而()()111111()()n ni i i i E T E X E X n E X n n nλ=====⋅⋅=∑∑，()112111111()()11--==⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭∑∑n n i n in i i E T E X X E X E X n n n n 11(1)()()1=⋅-+-i n n E X E X n n ()()111λ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭E X E X n n 故()()12<E T E T又()()1121((11))λ===⋅⋅==∑n i i D T D n D X D X n n X n n，()12221111()(1)1(1)n i n i D T D X X n n n n n λλ-==+=⋅-⋅+--∑12()1D T n n n λλλ=+>=-，故选（D ）.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9） 设()()0lim 13x tt f x x t →=+，则()f x '= .【答案】()313x e x + 【考点】重要极限公式 【难易度】★★ 【详解】解析：()()()31300lim 13lim 13x t xtttt t f x x t x t ⋅→→⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦3x x e =⋅所以有()()313'=+x f x e x .（10） 设函数1x yx z y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()1,1=dz .【答案】()()12ln 2dx dy +- 【考点】多元复合函数的求导法 【难易度】★★ 【详解】解析：两边取对数得ln ln(1)x xz y y=+， 由一阶微分形式不变性，两边求微分得dy y xy y x y x y x z dx y x y x y x y z dz dy yx yxdx y x y y x dy y x dx y y x yx d y x y x d y x dz z ])()1ln([])()1ln(1[)111()1)(1ln()]1[ln()()1ln(122222+-+-++++=+-+++-+=+++=将1x =，1y =，2)1,1(=z 代入得()()(1,1)12ln 2dz dx dy =+-（11） 曲线tan 4yx y e π⎛⎫++= ⎪⎝⎭在点()0,0处的切线方程为 . 【答案】2y x =- 【考点】隐函数微分法【详解】解析：两边对x 求导得y e y y x y '='+++)1)(4(sec 2π，所以在点(0,0)处(0)2y '=-，从而得到曲线在点(0,0)处的切线方程为2y x =-. （12） 曲线21y x =-，直线2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为 . 【答案】43π 【考点】定积分的应用 【难易度】★★ 【详解】 解析：()222223111141().33V y dx x dx x x ππππ==-=⋅-=⎰⎰（13） 设二次型()123,,T f x x x x Ax =的秩为1，A 中各行元素之和为3，则f 在正交变换x Q y =下的标准形为 .【答案】213y【考点】用正交变换化二次型为标准形 【难易度】★★★ 【详解】解析：A 的各行元素之和为3，即1113111A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以13λ=是A 的一个特征值.又因为二次型Tx Ax 的秩1)(==A r 230λλ⇒==. 因此，二次型的标准形为：213y .（14）设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0μμσσN ，则()2E XY = .【答案】22()μμσ+【考点】数学期望的性质；相关系数的性质x2y1【详解】 解析：因为(),~X Y ()22,;,;0μμσσN ，所以2~(,)X N μσ，~Y,2222)(,σμμ+=+==EY DY EY EX又因为0=ρ，所以X ，Y 相互独立.由期望的性质有22()E XY EX EY =⋅22()μμσ=+。
2011年考研数学三真题及答案
2011年考研数学三真题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。
下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)已知当时，与是等价无穷小，则(A)(B)(C)(D)【答案】C。
【解析】【方法一】(洛必达法则)(洛必达法则)()由此得。
【方法二】由泰勒公式知则故。
【方法三】故综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算高等数学—一元函数微分学—洛必达(L'Hospital)法则(2)已知在处可导，且,则(A)(B)(C)(D)0【答案】B。
【解析】【方法一】加项减项凑处导数定义【方法二】拆项用导数定义由于，由导数定义知所以【方法三】排除法：选择符合条件的具体函数,则而对于,显然选项(A)(C)(D)都是错误的，故应选(B)【方法四】由于在处可导，则综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数和微分的四则运算(3)设是数列，则下列命题正确的是(A)若收敛，则收敛。
(B)若收敛，则收敛。
(C)若收敛，则收敛。
(D)若收敛，则收敛。
【答案】A。
【解析】若收敛，则该级数加括号后得到的级数仍收敛综上所述，本题正确答案是A。
【考点】高等数学—无穷级数—级数的基本性质与收敛的必要条件(4)设,则的大小关系为(A)(B)(C)(D)【答案】B。
【解析】同一区间上定积分的大小比较最常用的思想就是比较被积函数大小，由于当时，又因为为上的单调增函数，所以,故即综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质(5)设为3阶矩阵，将第2列加到第1列得矩阵,再交换的第2行和第3行得单位矩阵，记,,则(A)(B)(C)(D)【答案】D。
【解析】本题是常规的初等变换、初等矩阵的考题矩阵的初等行变换是左乘初等矩阵，矩阵的初等列变换是右乘初等矩阵按题意，从而，从而所以【考点】线性代数—矩阵—矩阵的初等变换，初等矩阵(6)设为矩阵，是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意常数，则的通解为(A)(B)(C)(D)【答案】C。
2011年考研数学三真题及解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与kcx 是等价无穷小，则（ ）（A ）k=1, c =4 （B ） k=1,c =-4 （C ） k=3,c =4 （D ） k=3,c =-4 【答案】 （C ）【考点】无穷小量的比较，等价无穷小，泰勒公式 【难易度】★★★ 【详解】解析：方法一：当0x →时，sin x x :03sin sin 3limk x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2lim k x x x x x xcx→--= ()20sin 3cos 22cos limkx x x x cx →--=2103cos 22cos lim k x x xcx -→--= ()22132cos 12cos limk x x xcx -→---=22110044cos 4sin lim lim k k x x x x cx cx --→→-== 304lim14,3k x c k cx -→==⇒==，故选择（C ）.方法二：当0x →时，33sin ()3!x x x o x =-+ )(4)](!3)3(3[)](!3[33sin sin 3)(333333x o x x o x x x o x x xx x f +=+--+-=-=故3,4==k c ，选（C ）.（2）已知函数()f x 在x =0处可导，且()0f =0，则()()2332limx x f x f x x→-= （ ）（A ） -2()0f ' （B ） -()0f ' （C ） ()0f ' （D ） 0. 【答案】（B ）【考点】导数的概念 【难易度】★★ 【详解】解析：()()()()()()2333300200limlim 2x x x f x f x f x f f x f x x x →→⎡⎤---⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦()()()0200f f f '''=-=-.故应选（B ）（3）设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 （ ） （A ）若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=+∑收敛 （B ）若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛（C ） 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=-∑收敛 （D ）若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛【答案】（A ）【考点】级数的基本性质 【难易度】★★ 【详解】 解析：由于级数2121()n n n uu ∞-=+∑是级数1n n u ∞=∑经过加括号所构成的，由收敛级数的性质：当1n n u ∞=∑收敛时，2121()n n n uu ∞-=+∑也收敛，故（A ）正确.（4）设4ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是（ ） （A ） I J K << （B ） I K J << （C ） J I K << （D ） K J I <<【答案】（B ）【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★ 【详解】解析：如图所示，因为04x π<<时，0sin cos cot 2x x x <<<<，因此lnsin lncosx x <<444ln sin ln cos ln cot xdx xdx xdx πππ<<⎰⎰⎰，故选（B ）（5）设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A = （ ）（A ） 12P P （B ） 112P P - （C ） 21P P （D ） 121-P P【答案】（D ）【考点】矩阵的初等变换 【难易度】★★ 【详解】解析：由初等矩阵与初等变换的关系知1AP B =，2P B E =，所以111112121A BP P P P P ----===，故选（D ）（6）设A 为43⨯矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为（ ）（A ）23121()2k ηηηη++-（B ）23121()2k ηηηη-+- （C ） 23121231()()2k k ηηηηηη++-+- （D ） 23121231()()2k k ηηηηηη-+-+-【答案】（C ）【考点】线性方程组解的性质和解的结构；非齐次线性方程组的通解 【难易度】★★★ 【详解】解析：1213,ηηηη--为0=Ax 的解，因为321,,ηηη线性无关，故1213,ηηηη--线性无关，232ηη+为β=Ax 的解，故β=Ax 的通解为)()(212213132ηηηηηη-+-++k k 所以应选（C ）.（7）设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是 （ ）（A ）1()f x 2()f x （B ）22()f x 1()F x（C ）1()f x 2()F x （D ）1()f x 2()F x +2()f x 1()F x 【答案】（D ）【考点】连续型随机变量概率密度 【难易度】★★ 【详解】解析：[]1221()()()()f x F x f x F x dx +∞-∞+⎰2112()()()()F x dF x F x dF x +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰121212()()()()()()F x F x F x dF x F x dF x +∞+∞+∞-∞-∞-∞=-+⎰⎰1=故选（D ）.（8）设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥L 为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量111n i i T X n ==∑和121111n i n i T X X n n -==+-∑，有 （ ）（A ）1ET >2ET ,1DT >2DT （B ）1ET >2ET ,1DT <2DT （C ）1ET <2ET ,1DT >2DT （D ）1ET <2ET ,1DT <2DT 【答案】（D ）【考点】随机变量函数的数学期望；随机变量的数学期望的性质 【难易度】★★★ 【详解】解析：由于12,,,n X X X L 是简单随机样本，0i i EX DX λ==>，1,2,,i n =L ， 且12,,,n X X X L 相互独立，从而()()111111()()n ni i i i E T E X E X n E X n n nλ=====⋅⋅=∑∑，()112111111()()11--==⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭∑∑n n i n in i i E T E X X E X E X n n n n 11(1)()()1=⋅-+-i n n E X E X n n ()()111λ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭E X E X n n 故()()12<E T E T又()()1121((11))λ===⋅⋅==∑n i i D T D n D X D X n n X n n，()12221111()(1)1(1)n i n i D T D X X n n n n n λλ-==+=⋅-⋅+--∑12()1D T n n n λλλ=+>=-，故选（D ）.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9） 设()()0lim 13x tt f x x t →=+，则()f x '= .【答案】()313x e x + 【考点】重要极限公式 【难易度】★★ 【详解】解析：()()()31300lim 13lim 13x t xtttt t f x x t x t ⋅→→⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦3x x e =⋅所以有()()313'=+x f x e x .（10） 设函数1x yx z y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()1,1=dz .【答案】()()12ln 2dx dy +- 【考点】多元复合函数的求导法 【难易度】★★ 【详解】解析：两边取对数得ln ln(1)x xz y y=+， 由一阶微分形式不变性，两边求微分得dyy xy y x y x y x z dx y x y x y x y z dz dy yx yxdx y x y y x dy y x dx y y x yx d y x y x d y x dz z ])()1ln([])()1ln(1[)111()1)(1ln()]1[ln()()1ln(122222+-+-++++=+-+++-+=+++=将1x =，1y =，2)1,1(=z 代入得()()(1,1)12ln 2dz dx dy =+-（11） 曲线tan 4yx y e π⎛⎫++= ⎪⎝⎭在点()0,0处的切线方程为 . 【答案】2y x =- 【考点】隐函数微分法【详解】解析：两边对x 求导得y e y y x y '='+++)1)(4(sec 2π，所以在点(0,0)处(0)2y '=-，从而得到曲线在点(0,0)处的切线方程为2y x =-. （12）曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为 . 【答案】43π 【考点】定积分的应用 【难易度】★★ 【详解】 解析：()222223111141().33V y dx x dx x x ππππ==-=⋅-=⎰⎰（13） 设二次型()123,,T f x x x x Ax =的秩为1，A 中各行元素之和为3，则f 在正交变换x Q y =下的标准形为 .【答案】213y【考点】用正交变换化二次型为标准形 【难易度】★★★ 【详解】解析：A 的各行元素之和为3，即1113111A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以13λ=是A 的一个特征值.又因为二次型Tx Ax 的秩1)(==A r 230λλ⇒==. 因此，二次型的标准形为：213y .（14）设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0μμσσN ，则()2E XY = .【答案】22()μμσ+【考点】数学期望的性质；相关系数的性质【详解】 解析：因为(),~X Y ()22,;,;0μμσσN ，所以2~(,)X N μσ，~Y,2222)(,σμμ+=+==EY DY EY EX又因为0=ρ，所以X ，Y 相互独立.由期望的性质有22()E XY EX EY =⋅22()μμσ=+。
2011年考研数学三真题及全面解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与kcx 是等价无穷小，则（ ）（A ）k=1, c =4 （B ） k=1,c =-4 （C ） k=3,c =4 （D ） k=3,c =-4 【答案】 （C ）【考点】无穷小量的比较，等价无穷小，泰勒公式 【难易度】★★★ 【详解】解析：方法一：当0x →时，sin x x03sin sin 3limk x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2lim kx x x x x xcx →--=()20sin 3cos 22cos limkx x x x cx →--=2103cos 22cos lim k x x xcx -→--= ()22132cos 12cos limk x x xcx -→---=22110044cos 4sin lim lim k k x x x x cx cx--→→-== 304lim14,3k x c k cx -→==⇒==，故选择（C ）.方法二：当0x →时，33sin ()3!x x x o x =-+ )(4)](!3)3(3[)](!3[33sin sin 3)(333333x o x x o x x x o x x xx x f +=+--+-=-=故3,4==k c ，选（C ）.（2）已知函数()f x 在x =0处可导，且()0f =0，则()()2332limx x f x f x x →-= （ ）（A ） -2()0f ' （B ） -()0f ' （C ） ()0f ' （D ） 0. 【答案】（B ）【考点】导数的概念 【难易度】★★ 【详解】解析：()()()()()()2333300200limlim 2x x x f x f x f x f f x f x x x →→⎡⎤---⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦()()()0200f f f '''=-=-.故应选（B ）（3）设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 （ ） （A ）若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=+∑收敛 （B ）若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛（C ） 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=-∑收敛 （D ）若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛【答案】（A ）【考点】级数的基本性质 【难易度】★★ 【详解】 解析：由于级数2121()n n n uu ∞-=+∑是级数1n n u ∞=∑经过加括号所构成的，由收敛级数的性质：当1n n u ∞=∑收敛时，2121()n n n uu ∞-=+∑也收敛，故（A ）正确.（4）设4l n s i n I x d x π=⎰，4ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是（ ）（A ） I J K << （B ） I K J << （C ） J I K << （D ） K J I <<【答案】（B ）【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★ 【详解】解析：如图所示，因为04x π<<时，0sin cos cot x x x <<<<，因此ln sin ln cos lnx x <<444lnsin ln cos ln cot xdx xdx xdx πππ<<⎰⎰⎰，故选（B ）（5）设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A = （ ）（A ） 12P P （B ） 112P P - （C ） 21P P （D ） 121-P P【答案】（D ）【考点】矩阵的初等变换 【难易度】★★ 【详解】解析：由初等矩阵与初等变换的关系知1AP B =，2P B E =，所以111112121A BP P P P P ----===，故选（D ）（6）设A 为43⨯矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为（ ）（A ）23121()2k ηηηη++-（B ）23121()2k ηηηη-+-（C ） 23121231()()2k k ηηηηηη++-+- （D ） 23121231()()2k k ηηηηηη-+-+- 【答案】（C ）【考点】线性方程组解的性质和解的结构；非齐次线性方程组的通解 【难易度】★★★ 【详解】解析：1213,ηηηη--为0=Ax 的解，因为321,,ηηη线性无关，故1213,ηηηη--线性无关，232ηη+为β=Ax 的解，故β=Ax 的通解为)()(212213132ηηηηηη-+-++k k 所以应选（C ）.（7）设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是 （ ）（A ）1()f x 2()f x （B ）22()f x 1()F x（C ）1()f x 2()F x （D ）1()f x 2()F x +2()f x 1()F x 【答案】（D ）【考点】连续型随机变量概率密度 【难易度】★★ 【详解】解析：[]1221()()()()f x F x f x F x dx +∞-∞+⎰2112()()()()F x dF x F x dF x +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰121212()()()()()()F x F x F x dF x F x dF x +∞+∞+∞-∞-∞-∞=-+⎰⎰1=故选（D ）.（8）设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量111n i i T X n ==∑和121111n in i T X X n n-==+-∑，有 （ ） （A ）1ET >2ET ,1DT >2DT （B ）1ET >2ET ,1DT <2DT （C ）1ET <2ET ,1DT >2DT （D ）1ET <2ET ,1DT <2DT 【答案】（D ）【考点】随机变量函数的数学期望；随机变量的数学期望的性质 【难易度】★★★ 【详解】解析：由于12,,,n X X X 是简单随机样本，0i i EX DX λ==>，1,2,,i n =，且12,,,n X X X 相互独立，从而()()111111()()n ni i i i E T E X E X n E X n n nλ=====⋅⋅=∑∑，()112111111()()11--==⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭∑∑n n i n in i i E T E X X E X E X n n n n 11(1)()()1=⋅-+-i n n E X E X n n ()()111λ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭E X E X n n故()()12<E T E T又()()1121((11))λ===⋅⋅==∑n i i D T D n D X D X n n X n n，()12221111()(1)1(1)n i n i D T D X X n n n n n λλ-==+=⋅-⋅+--∑12()1D T n n n λλλ=+>=-，故选（D ）.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9） 设()()0lim 13x tt f x x t →=+，则()f x '= .【答案】()313x e x + 【考点】重要极限公式 【难易度】★★ 【详解】解析：()()()31300lim 13lim 13x t xtttt t f x x t x t ⋅→→⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦3x x e =⋅所以有()()313'=+x f x e x .（10） 设函数1x yx z y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()1,1=dz .【答案】()()12ln2dx dy +- 【考点】多元复合函数的求导法 【难易度】★★ 【详解】解析：两边取对数得ln ln(1)x xz y y=+， 由一阶微分形式不变性，两边求微分得dy y xy y x y x y x z dx y x y x y x y z dz dy yx yxdx y x y y x dy y x dx y y x yx d y x y x d y x dz z ])()1ln([])()1ln(1[)111()1)(1ln()]1[ln()()1ln(122222+-+-++++=+-+++-+=+++=将1x =，1y =，2)1,1(=z 代入得()()(1,1)12ln 2dz dx dy =+-（11） 曲线tan 4yx y e π⎛⎫++= ⎪⎝⎭在点()0,0处的切线方程为 . 【答案】2y x =- 【考点】隐函数微分法【详解】解析：两边对x 求导得y e y y x y '='+++)1)(4(sec 2π，所以在点(0,0)处(0)2y '=-，从而得到曲线在点(0,0)处的切线方程为2y x =-. （12）曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为 . 【答案】43π 【考点】定积分的应用 【难易度】★★ 【详解】 解析：()222223111141().33V y dx x dx x x ππππ==-=⋅-=⎰⎰（13） 设二次型()123,,Tf x x x x Ax =的秩为1，A 中各行元素之和为3，则f 在正交变换x Q y=下的标准形为 . 【答案】213y【考点】用正交变换化二次型为标准形 【难易度】★★★ 【详解】解析：A 的各行元素之和为3，即1113111A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以13λ=是A 的一个特征值.又因为二次型Tx Ax 的秩1)(==A r 230λλ⇒==. 因此，二次型的标准形为：213y .（14）设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0μμσσN ，则()2E X Y = .【答案】22()μμσ+【考点】数学期望的性质；相关系数的性质【详解】解析：因为(),~X Y ()22,;,;0μμσσN ，所以2~(,)X N μσ，,2222)(,σμμ+=+==EY DY EY EX又因为0=ρ，所以X ，Y 相互独立.由期望的性质有22()E XY EX EY =⋅22()μμσ=+。
2011【考研数三】真题及解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题 项符合题目要求, （1〜8小题，每小题 4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.） (1) 已知当 X T 0时，f （x ）=3si nx —si n3x 与cx k 是等价无穷小，则（） (A) k =1,^=4. (B)k = 1,c = —4. (C) k =3,c = 4 . (D) k = 3,c = —4 . 已知函数f （x ）在x=0处可导，且f （0）=0，则limx __屮2 3 xf e fxL () x 3(A)-2 r(o )•(B)-f '(0). (C) (D)0.设｛山｝是数列，则下列命题正确的是 （(A) 若无U n 收敛,n iZ (U 2n 」+U 2n )收敛.n 吕(B)若无(U 2njL +U 2n )收敛, n =1 则2 u n 收敛.n 占n i ndn=1(4)设 1 = f 4 In sin J = r Incotxdx , K = f 4In cosxdx % ・0 ・0 系疋（） (A) 1 v j c K . (B) 1 cK c J . (C) J c 1 c K . (D)K c J c l . （5）设A 为3阶矩阵，将 A 的第2列加到第 1列得矩阵B ，再交换 『1 0 0 3 (1 0 0* 单位矩阵，记P =]1 1 0 ,F2 = 1。
0 1 j ，则 A =()1 10 0 1丿10 1 0 丿则 (C) (D) (B) P 花- (A) PP . B 的第2行与第3行得 □C Z (U 2n 」—U 2n )收敛. 若无U n 收敛, (C) P 2R . oC 若无（U 2n 」—U 2n ）收敛， □C则£ U n 收敛.n=a(D)⑹ 设A 为4咒3矩阵，3：213是非齐次线性方程组 Ax = P 的3个线性无关的解，k1,k2为 任意常数，贝y Ax = P 的通解为（）(A) (C)k1 d —*1)•(B) 十 2 —nj •2 2+n3m _n3^2^伙"2」1)卄2(口3八)•(D) ^y^+k f2-5*2(5」1)•设F1（x），F2（X）为两个分布函数，其相应的概率密度f1（x），f2（x）是连续函数，则必为概率密度的是（）(A) f i(X)f2(X)•(B) 2f2(x)F i(x) •(C) f i(x)F2(x) •(D) f i(x)F2(x) + f2(x)F i(x) •（8）设总体X服从参数为几仏：>0）的泊松分布，X1,X2」l（,X n（ n>2）为来自总体X的简单随机样本，则对应的统计量T ,=1T.X i,n 7(A) E(T I)>E(T2), D(T I)>D(T2)•(C) E(T I)C E(T2), D(T I)<D(T2)•填空题（9〜14小题，每小题4分,1 n」 1T2 = —Z Xi + — Xn( )n -1 7 n(B) E(T1)>E仃2), D(T1)>D(T2)•(D) E(T1)€E(T2), D(T1)C D(T2)•24分，请将答案写在答题纸指定位置上. 共)(9) (10) X设f (X )=1叮x(1 +3t y，则f'( X )=X(x y设函数z = H +仝［，则dzI y丿(11) 曲线tan "x + y+-〕=e y在点（0,0 ）处的切线方程为I 4 J(12) 曲线y = J x2 -1，直线X = 2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为（13）设二次型f （x j,X2,X3 ）= X T Ax的秩为1, A的各行元素之和为3,贝U f在正交变换X = Qy下的标准形为（14）设二维随机变量（X,Y ）服从正态分布N（巴巴cr2,cr2;0 ），则E（X Y 2）=三、解答题（15〜23小题，共94分•请将解答写在答题纸.指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）J 1 + 2sin X -x -1 lim 期 x _0(15)( 本题满分10分) (16)( 本题满分10分)已知函数f(u V 具有连续的二阶偏导数，f (1,1) = 2 是 f (u,v )的极值，C 2zz= f ［x +y ,f (x,川，求歸(17)(本题满分10分)1,1v求严sin密fXdx .v x(18) (本题满分10分) 、 4J T ■ 证明 4arctan x - x + — - 丁3 = 0 恰有 2 实根. 3 (19) (本题满分10分)设函数f (x)在［0,1］有连续导数，f ( 0> 1 且 JJ f '(X + y )dxdy = JJ f ( dxdy , D t D t D t ={(x,y) 0 <y <t-x,0 <x <t }(0 C t <1)，求 f (x)的表达式. (20)(本题满分11分) 设向量组 a^(1,0,1)T /x^(0,1,1)T a^(1,3,5)T,不能由向量组 S,P 2 =(123)T ，p3=(3,4,a)T 线性表示. (I) 求a的值; (II)将叫，02,^3由务,％,%线性表示. (21)(本题满分11分) f 1A 为三阶实对称矩阵， A 的秩为2,即r (A ) = 2，且A 0 冷0 0 11丿(I) 求A 的特征值与特征向量； (II) 求矩阵A . (22)(本题满分11分)设随机变量X 与丫的概率分布分别为求极限 xin (1 +x )且P{x2 = Y2}=1 •(I )求二维随机变量(X, Y)的概率分布;(II)求Z =XY的概率分布;(III)求X与Y的相关系数P xY.(23)( 本题满分11分)设二维随机变量(X, Y)服从区域G上的均匀分布，其中G是由x-y=0,x + y=2与y=0所围成的区域.(I)求边缘概率密度f x(X);(II)求条件密度函数f x Y(x|y).2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案一、选择题(1〜8小题，每小题4分，共32分•下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.).丽出、m 、/ 3sin X —sin3x3sin x —sin xcos2x —cosxsin 2x【解析】因为lim ------- r - lim Tcx k7所以c =4,k =3，故答案选(C).(2)【答案】(B) •(B)错误;选项(C)错误;=1，这时S (U 2nJ —U2n ) =S 0收敛，但送U n =S 1发散，故选项(D)错误.故 n zi 心 nzi n#正确答案为(A).kcx k cx2sin x(3-cos2x-2cos x ) = lim x _0k cx 3 — cos2x —2cos 2X=lim x #cx k」 2 23-(2cos x -1)-2cos x kJ . cx= lim 4-4cos 2xcx k」 =lim^^04sin 2 x 【解析】limX2f(x)—2f (x 3) X Tx 3= lim xfx "f(0)-2f(^0x 3)+2f (0)3Xf (X )-f (0) c f (X 3)- f (0)一2 3Xf (0)-2厂(0)=-厂(0 )•故答案选(B).⑶【答案】(A).【解析】方法1:数项级数的性质：收敛级数任意添加括号后仍收敛，故方法2:排除法，举反例.(A)正确.选项(B)取 U n=(—1)n ，这时送(U 2n 4+U 2n )=2 0 收敛，但送 U n nAn 二□c=z (-1)n发散，故选项n 吕选项(C)取 U n(—1)2，这时送U nn#收敛，但 S (U 2n_ln#nnA-U 2n )=Z 1发散，故n 二 n选项(D)取 U n兀【解析】因为0<x 吒二时，0<sinx CCOSX c ! ccotx ,4又因In x 是单调递增的函数，所以 Insin x < In cos x < Incot 故正确答案为(B) • ⑸【答案】(D) •【解析】由于将 A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故(1即 AR =B , A =BR 」.由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵,B =E , ⑹【答案】(C) •【解析】由于厲仆^:儿是Ax = P 的3个线性无关的解，所以个线性无关的解，即 Ax=o 的基础解系中至少有 2个线性无关的解，所以可排除(A)、(B)选项. n _n n_n …又因为A ——— =0,所以———3是Ax=0的解，不是 Ax = P 的解，故排除(D)选项，2 2因此选(C) •事实上，由于^巴巴是Ax=P 的三个线性无关的解，所以*2-口1儿—n 是Ax = 0的两 个线性无关的解，即Ax =0的基础解系中至少有2个线性无关的解，亦即3-r(A) > 2，故r(A) <1 •由于A H0，所以r(A) >1，故r(A) =1 •这样，Ax =0的基础解系中正好有 2个线性无关的解，由此知 巧-"仆匕是Ax = 0的一个基础解系.因为是Ax = P 的解，所以A S = P ,A 3 = P ,因此A —— = P ，所以 一32 2是Ax = P 的一个特解.由非齐次线性方程组解的结构，可知 Ax = P 的通解为0)10 I 10 即F 2B =E,故B =卩2」=卩2 •因此,=P Z R'，故选(D) •*3 —叫巴―*1是Ax = 0的两T| +T|23*(“2—3)卅2(5—3) •⑺【答案】（D ）. 【解析】选项（D ）J ：［f 1（x ）F 2（x ） + f 2（x ）F 1（x ）中X = J ；［F 2（x ）dF 1（x ） + F 1（x ）dF 2（x ）］=O d [F 1(X )F 2(X )] = F 1(X )F 2(X )|签=1 •所以f i F 2（x ）+ f 2F i （x ）为概率密度.（8）【答案】（D ）.【解析】因为Xi,X2/-',Xn 」P （A ）所以 E(Xi) = A , D(Xi) = A ,= E {X } + 1E {X ^\1 n V1因为 1 <1 +—，所以 E(T 1 )V E (T2 )• n11 1又因为 D (T J=D ^ X i H — n ”D(X) = —D ( X }=- n y n1+—，所以 D CT J )<D (T2 )• n、填空题（9〜14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸 指定位置上.）(9)【答案】e3x(l +3x ).从而有1 nE(T 1 )=E(-Z ： n i 吕 1Xi H-E(ZnX i )n E X )= E ( XE(T 2 ) = En 4送X iy.n 一1 ynJ丿n -11E(S X i )+-E(X n ) y nn411 1 D(T 2 )=D(— S X i +-X n) =n(n-1)21心任 X i )+—D(X n ) nnJi=1n JX)丄1f 1+yD (x ) = | — I n T由于当n >2时,【解析】因为f (X ) = 1迪x (1 +3t 卩=xl t im [(1 +3t 严J所以，f '(X )=e 3x (1 +3x )•(10)【答案】(1+21 n2)(dx -dy ).【解析】= (1+2ln 2)dx —(1+21 n 2 )dy 或dz (“)=(1+2In 2)(dx-dy ).(11)【答案】y = —2x .f 兀\I 解析】方程怡屮+厂彳7的两端对X 求导，有sec2[x +y+4}(n ,故切线方程为：y=-2x .4(12)【答案】-H3【解析】如图2所示:V =兀 f y 2dx'1 Jx 乎=(1异/ dx yx,乎=(1+与 dy y2 -x 2ln(1+»「y xyy y[y .[y .「1x3t (t3x I = x e所以，dx(1,1)=21 n 2+1 , dZdx =-1 -2ln2 ,从而dz 将X =0, y =0代入上式，有12兀COS —(1 + /)=y '，解得 y [(o,o 厂-2,2=兀 t (x2T )dx 4=—兀3正交变换下的标准形为 3y 2 •(14) 【答案】4( 42 + CT 2).【解析】根据题意，二维随机变量(X,Y )服从N (巴巴cr 2,cr 2；0 ).因为Pxy=O ,所以由2二维正态分布的性质知随机变量 X,丫独立，所以X,Y •从而有E (XY 2 )=E (X )E (Y 2 )= k [D (Y )+E 2(Y )卜巩卩2 +十).三、解答题(15〜23小题，共94分•请将解答写在答题纸.指定位置上，解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)【解析】lim 近逐丘士1xTxl n (1+x )$ ------- ”2cosxT = lim -------- T 2x cosx - J 1 +2sin x =lim ----- 丿 —xT 2X 5+ 2si nxI【解析】因为 A 的各行元素之和为 3，所以A1 =311 1 ，故3为矩阵A 的特征值I1丿由r(A) =1知矩阵A 有两个特征值为零，从而>1 = 3,^2 =為=0 •(13)【答案】Syf .由于二次型在正交变换下标准形前面的系数即为二次型所对应矩阵的特征值,所以二次型在j 1+2sin X -x -1 =lim 2T x 2-2 c z&勺= f 「[(x +y ),f (x +y )]1+f12T(x +y ),f (x +y n f2(x,y)+{ f2^(x +y ), f (X + y )]+ f2^(x + y ),f (X +y )]f2(x,y)}f(x,y) +f H(x +y ) f (X +y )}f j(x,y )由于 f (1,1 )=2 为 f (u,v )的极值，故 仏'(1,1)= f2'(1,1 )=0 ,尸2z所以，=时'(2,2 ) +f2'(2,2 )讦12”(1,1 )•<x c y(17)(本题满分10分)【解析】令t = T x ，则X =t 2, dx =2tdt ，所以arcsin迄+ lnX dx=「arcs in^l ntv x2-*2tdt =2j(arcsint +ln t 2dt =2tt 2arcsint-2 f( dt +2t Tn t -2ft7-12.=2tarcsint + fd(1 t+2t Tn t 2-4t山-12=2tarcsint +2J 1 -t 2 +2t ”lnt 2-4t + C =W x arcsin 仮 + 2奴ln x +2J 1 -x -4仮 + 0cosX - +2sin x2x cosx-Sin X 1 +2sin X2cosx(16)(本题满分10分)F z【解析】一=f 1[(x +y), f (x, y)] + f^Kx + y), f(x,y)]十1(x,y)e x=_ lim —fx -02J 1 +2sin x 1 =——(18) (本题满分10分)【解析】设f(x) =4arctanx —x +竺-亦，3f '(X)=0，解得驻点 X — J 3, x 2 =.所以，当x < -73 时， f'(X)v0，故 f (x)单调递减；当一 J 3<X €J 3 时，f'(X)A0，f(x)单调递增；当x >J 3时，f'(x)v0，故f (x)单调递减.又当 X N ，,—J 3)U (-73,J 3)时 f(x)>0,且 f(-J 3)=0，故 迟(亠,J 3)时只有一个零点;点定理可知，存在 x 0 畑)，使 f (X0 ) = 0 ；所以，方程4arctanx —x +空—J 3 = 0恰有两实根. 3 (19) (本题满分10分)f(x 」」-x)(Q x)1+x1+x I 2又 f (胎)=寸—2>/3 A0，j mf (x )=>im (“ 4兀 厂4arctan x-x + — -v 3 3 =虫< 0，由零 J；；f (x + y)dxdy1tip(x + y)dyt= .0(f(t)-f(x))dxt1 2由题设有 tf (t) 一 f (x)dxf(t)， 上式两端求导，整理得(2-t)f ⑴=2f(t),为变量可分离微分方程，解得f(t)(t -2)24带入f(0)=1，得C=4•所以，f(x)=E,0兰XH(20)(本题满分11分)对(P l, P2, 4,8,02,03)进行初等行变换:Ct i,Ct2,Ct3不能由P i,P2,P3线性表示.(II)对(8,5,5, P i, P2, P3)进行初等行变换:©02,03, P i, P2, P3)= "1J1 i13M5"3、45><01 !13i1■I4i、0 1!1 1 3、T0 1 3i1 2 4/0 011-1 0 -2>122342I100 ' 2I0\ 41丨-1510-2>故=2% +4^2 —a+ 10^2(21)(本题满分11分) f l【解析】(I)由于A I 0IIT、匚1 i]= 0 07J i>11，设a 1 =(1,0, —1)T02=(1,0,1 )'，则【解析】(I)由于Ct i,Ct2,Ct3不能由P i, P2, P3线性表示，3 (P i, P2, 6,01,02,5)= 1 3!4ebb 3 !I I1 i I Ia-5 11-121-1r,20>当a =5时，r( P i, p2, P3)=2 H r(P i, P2,亠,8) =3，此时, %不能由P l, P2, P3线性表示，故2,722 2 00 逅 丘 22丘 丘 2 2 0 0丘2眨2 0<72 2返2 02旦2 02返2 0= -1^2 =1，对应的特征向量分别为k i ot i (k i 工0 ), k ^2 (k ^0).令Q = (P i, d , p 3 )，贝y QTAQ =AA =QAQ TA g ,% ) = (-«1,(/2 )，即二七"A t 2=a 2，而 ％ 工0,(/2 工0 ,知A 的特征值为由于r (A )= 2，故l A =0，所以 由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设 h=0对应的特征向量为4 =(X 1,X 2, X 3丨，则 “ T 阴3 =0,即!X 1-X 3=0, =0, 01 + X 3 = 0. 解此方程组，得a 3 =(0,1,0$ ，故為=0对应的特征向量为 k 3a^ k 30 ).(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化: P i - 1(1,0,—1$，卩2 =1 T n 二逅(1,0,1)川3T= (0,1,0).5122/(22)(本题满分11分)【解析】(I)因为P {x2= Y2}=1，所以P {X2H Y2}=1-p{x2= Y2}=0 .即p{x =0,Y = —= p{x =0,Y =1} = p{x =1,Y=0} = 0 .利用边缘概率和联合概率的关系得到1 p{x =0,Y =0} =p{x =0}-P {x =0,Y =-1}-P{x =0,Y = 1}=—；31p{x =1, Y = —1} = P{Y = —1}-P{X =0, Y = -1}=—;31p{x =1,Y =1} = p{Y =1}-p{x =0,Y = 1}=-.3即(X,Y )的概率分布为-11/3其中1/3 0(II) Z的所有可能取值为-1,0,1.P fe = —1} = P {x =1,Y = —1}=—.1 p{z =1} = p{x =1, Y =1}=-3p{z = 0}=1-p{z 二讣-p{z i1Z = XY的概率分布为-11/31/3(III)因为P XY- CMXY) -E(X Y)-E(X)口Y)—J D(X)7D I Y J D(X)7D G1 1E(XY )=E(Z )=—1 丄+0 丄+13 31 1 1 1 严，E(Y lyoj1丁0.所以E(XY )—E(X ) E(Y ) = 0, 即x , Y的相关系数P xY = 0 .（23）（ 本题满分11分）【解析】二维连续型随机变量（X,Y ）的概率密度为f （x y ） =F ,0 w y"y <x <2-y, [0,其它.,,乂x(I )当 0 e x <1 时，f x (X)= J f (x, y)dy = 01dy = x •2 _x当 1<x v 2时，fx(x) = r f(x, y)dy = f "gy =2-x •-_oC-0X 的边缘概率密度为fx （X ）= <2 —x,L0,（II ）当Ocyd 时，丫的边缘概率密度为-be2」f Y (y)= j f(x,y)dx= J 1dx = 2-2y •"" y当Ocycl 时，f xY （x|y ）有意义，条件概率密度I 9f xYg yjfx^ 才右, 〔0,y<x<2-y,f Y (y) 其它.X,0< x<1, 1<x<2,其它.【解析】JJ f (t)dxdy = — t f (t)，2D t。
2011年考研数学三真题及答案解析
2011年考研数学（三）真题及答案详解一．选择题1.已知当错误!未找到引用源。
0x →时，函数()3sin sin3f x x x =-错误!未找到引用源。
与kcx 是等价无穷小，则（A ） 1,4k c == （B ）1,4k c ==- （C ） 错误!未找到引用源。
（D ）3,4k c ==-2．已知()f x 在0x =处可导，且()00f =，则()()2332limx x f x f x x→-=（A ）()'20f- （B ）()'0f -(C) ()'0f(D)03．设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 （A ）若1nn u∞=∑收敛，则()2121n n n uu ∞-=+∑收敛（B ）若()2121n n n uu ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛（C ）若1nn u∞=∑收敛，则()2121n n n uu ∞-=-∑收敛（D ）若()2121n n n uu ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛4．设4440ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx πππ===⎰⎰⎰，则,,I J K 的大小关系是（A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << （D ）K J I <<5．设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得单位矩阵.记1100110001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,2100001010P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则A =（A ）12P P （B ）112P P - （C ）21P P （D ）121PP - 6．设A 为43⨯矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为 （A ）()231212k ηηηη++- （B ）()232212k ηηηη-+-（C ）()()231312212k k ηηηηηη++-+- （D ）()()232213312k k ηηηηηη-+-+-7．设()()12,F x F x 为两个分布函数，其相应的概率密度()()12,f x f x 是连续函数，则必为概率密度的是（A ）()()12f x f x （B ）()()212f x F x（C ）()()12f x F x （D ）()()()()1221f x F x f x F x + 8．设总体X 服从参数为λ()0λ>的泊松分布，()12,,,2n X X X n ≥为来自总体的简单随机样本，则对应的统计量111n i i T X n ==∑，121111n in i T X X n n-==+-∑ （A ）1212,ET ET DT DT >> （B ）1212,ET ET DT DT >< （C ）1212,ET ET DT DT <> （D ）1212,ET ET DT DT <<二、填空题9．设0()lim (13)xtt f x x t →=+，则()f x '=10．设函数(1)xy xz y=+，则(1,0)dz =11．曲线tan()4y x y e π++=在点(0,0)处的切线方程为12．曲线21y x =-2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为13．设二次型123(,,)T f x x x x Ax =的秩为1，A 中行元素之和为3，则f 在正交变换下x Qy =的标准为14．设二维随机变量(,)X Y 服从22(,;,;0)N μμσσ，则2()E XY =三、解答题15．求极限012sin 1x x x →+--16.已知函数(,)f u v 具有连续的二阶偏导数，(1,1)2f =是(,)f u v 的极值，[](),(,)z f x y f x y =+。
2011数三考研真题
2011数三考研真题2011年的数学三科考研真题涉及了多个知识点和题型，包括线性代数、概率统计、微分方程、实变函数等。
本文将按照真题的顺序，逐一进行分析和解答。
1.线性代数题目1：已知n阶方阵A满足A²+A+E=O，则下列哪个判断必为真？选项：A. A为满秩方阵B. det(A)≠0C. 0为A的特征值D. A可对角化解答：根据已知条件，我们可以对方程A²+A+E=O进行求解。
首先，根据矩阵乘法的定义，我们可以得到A²+A=E-A。
然后，我们将方程两边同时加上E，得到A²+A+E=E。
再进一步移项，可得A(A+I)=O。
由于方阵A与单位矩阵I可互相抵消，所以有A(A+I)=O可以推出A+I=O。
因此，A的行列式det(A)=(-1)^n det(A+I)=0。
由行列式为0可知A不是满秩方阵，所以选项A错误。
又因为矩阵A的行列式为0，所以选项B正确。
由推导过程可知0不是A的特征值，所以选项C错误。
最后，由于A不是满秩方阵，所以A不可对角化，所以选项D错误。
综上所述，选项B是正确答案。
2. 概率统计题目2：设X1，X2，…，Xn为来自总体X—泊松分布，参数λ（λ＞0），X1，X2，…，Xn相互独立。
已知X1+X2+…+Xn=k(k为正整数)，则X1，X2，…，Xn的最大似然估计为选项：A. kλ/nB. nλ/kC. k/nD. λ/n解答：根据题目所给条件，我们可以确定样本X1，X2，…，Xn来自泊松分布。
而泊松分布的概率密度函数为P(X=k)=e^(-λ)λ^k/k!。
根据最大似然估计的原理，我们需要找到能使得样本观测值出现概率最大的参数值。
对于泊松分布来说，参数λ即为泊松分布的均值和方差。
所以，我们需要找到使λ最大的值。
而已知样本X1，X2，…，Xn的总和为k，因此λ=k/n。
所以最大似然估计为λ/n，即选项D为正确答案。
3. 微分方程题目3：已知微分方程dy/dx+x(1+y²)=0的特解y=y(x)满足y(0)=0，若x(x≠0)时，y(x)的表达式为选项：A. x/(1+x²)B. 1/(1+x²)C. 1/xD. x解答：根据已知的微分方程，我们可以使用分离变量的方法进行求解。