圆中常用的辅助线
初中数学圆的辅助线八种作法
中考数学圆的辅助线在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。
百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。
添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。
下面以几道题目为例加以说明。
1. 有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。
例1 如图1, O O的弦AB、CD相交于点P,且AC=BD。
求证：PO平分/ APD。
=> OE=OF ]/ OEP= / OFP=90 °=> △OPE^A OPF0OP=OP=> / OPE= / OPF => PO 平分/ APD分析2:如图1-1，欲证PO平分/ APD，即证分析1：由等弦AC=BD可得出等弧AC BD,进一步得出A B = C D，从而可证等弦AB=CD，由同圆中等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线丄CD,易证△ OPE^A OPF,得出PO平分/ APD。
证法1 :作OE丄AB于E, OF丄CD于F(=>(=AB CDAC=BD A C B D=> AB=CDOE丄AB, OF/ OPA= / OPD，可把/ OPA与/ OPD构造在两个三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线即半径OA，OD，因此易证△ ACP^A DBP,得AP=DP，从而易证△ OPAOPDODP B图1-1证法2:连结OA, OD。
/ CAP= / BDP/ APC= / DPB => △ACP^A DBPAC=BD=>AP=DP、OA=O D => △ OPAOPD => / OPA= / OPD =>PO 平分/ APD OP=OP J2. 有直径，可作直径上的圆周角对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。
(完整版)初中几何辅助线——圆常用辅助线
初中几何辅助线——圆常用辅助线题型 1.圆中解决有关弦的问题时，常常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距）这一辅助线，一是利用垂径定理得到平分弦的条件，二是构造直角三角形，利用勾股定理解题.例1如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 二点.求证：AC = BD证明:过O 作OE ⊥AB 于E∵O 为圆心，OE ⊥AB∴AE = BE CE = DE ∴AC = BD练习：如图，AB 为⊙O 的弦，P 是AB 上的一点，AB = 10cm ，P A = 4cm .求⊙O 的半径.题型2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.例2如图，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ,DN ⊥AB ,求证：证明：（一）连结OC 、OD∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点∴OM =12AO 、ON = 12BO ∵OA = OB∴OM = ON∵CM ⊥OA 、DN ⊥OB 、OC = OD ∴Rt △COM ≌Rt △DON ∴∠COA = ∠DOB ∴（二）连结AC 、OC 、OD 、BD∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点 ∴AC = OC BD = OD ∵OC = OD ∴AC = BD∴题型3.有弦中点时常连弦心距例3如图，已知M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点,AB = CD ，求证：∠AMN = ∠CNM证明：连结OM 、ON∵O 为圆心，M 、N 分别是弦AB 、CD 的中点 ∴OM ⊥AB ON ⊥CD ∵AB = CD ∴OM = ON∴∠OMN = ∠ONM∵∠AMN = 90o －∠OMN ∠CNM = 90o－∠ONM ∴∠AMN =∠CNM题型4.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距.例4如图，已知⊙O 1与⊙O 2为等圆，P 为O 1、O 2的中点，过P 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于A 、C 、D 、B .求证：AC = BD证明：过O 1作O 1M ⊥AB 于M ,过O 2作O 2N ⊥AB 于N ，则O 1M ∥O 2N∴1122O M O PO N O P= ∵O 1P = O 2P ∴O 1M = O 2N ∴AC = BD题型5.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：⑴连结过弧中点的半径 ⑵连结等弧所对的弦 ⑶连结等弧所对的圆心角例5如图，已知D 、E 分别为半径OA 、OB 的中点，C 为弧AB 的 中点，求证：CD = CE证明：连结OC∵C 为弧AB 的中点∴»»AB BC = ∴∠AOC =∠BOC∵D 、E 分别为OA 、OB 的中点，且AO = BO∴OD = OE = 12AO = 12BO又∵OC = OC∴△ODC ≌△OEC ∴CD = CE结论1.圆内角的度数等于它所对的弧与它对顶角所对的弧的度数之和的一半. 结论2.圆外角的度数等于它所截两条弧的度数之差的一半.结论3.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题.例6如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC = PC,PB的延长线交⊙O于D，求证：AC = DC 证明：连结AD∵AB为⊙O的直径∴∠ADP = 90o∵AC = PC∴AC = CD =12 AP练习：如图，在Rt△ABC中，∠BCA = 90o ,以BC为直径的⊙O交AB于E，D为AC中点，连结BD交⊙O于F.求证：BC CF BE EF=题型6.有垂直弦时也常作直径所对的圆周角.题型7.有等弧时常作辅助线有以下几种：⑴作等弧所对的弦⑵作等弧所对的圆心角⑶作等弧所对的圆周角练习：1.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，交点为E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M.求证：∠AMD =∠FMC(提示：连结BM)2.如图，△ABC内接于⊙O，D、E在BC边上，且BD = CE，∠1 =∠2，求证：AB = AC（提示如图）题型8.有弦中点时，常构造三角形中位线例7已知，如图，在⊙O中，AB⊥CD，OE⊥BC于E，求证：OE =12 AD证明：作直径CF，连结DF、BF ∵CF为⊙O的直径∴CD⊥FD又∵CD⊥AB∴AB∥DF∴»»AD BF=∴AD = BF∵OE⊥BC O为圆心CO = FO ∴CE = BE∴OE =12 BF∴OE =12ADP2题图A1题图BA题型9.圆上有四点时，常构造圆内接四边形.例8如图，△ABC 内接于⊙O ，直线AD 平分∠F AC ，交⊙O 于E ，交BC 的延长线于D ，求证：AB ·AC= AD ·AE证明：连结BE ∵∠1 =∠3 ∠2 =∠1 ∴∠3 =∠2∵四边形ACBE 为圆内接四边形 ∴∠ACD =∠E ∴△ABE ∽△ADC∴AE AB AC AD∴AB ·AC = AD ·AE题型10.两圆相交时，常连结两圆的公共弦例9如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B ，过A 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于C 、D ，过B 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于E 、F .求证：CE ∥DF证明：连结AB∵四边形为圆内接四边形∴∠ABF =∠C同理可证：∠ABE =∠D∵∠ABF ＋∠ABE = 180o ∴∠C ＋∠D = 180o ∴CE ∥DF题型11.在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：⑴当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可.⑵如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可.例10如图，P 为⊙O 外一点，以OP 为直径作圆交⊙O 于A 、B 两点，连结P A 、PB .求证：P A 、PB 为⊙O 的切线 证明：连结OA ∵PO 为直径∴∠P AO = 90o ∴OA ⊥P A∵OA 为⊙O 的半径 ∴P A 为⊙O 的切线同理：PB 也为⊙O 的切线例11如图，同心圆O ，大圆的弦AB = CD ，且AB 是小圆的切线，切点为E ，求证：CD 是小圆的切线证明：连结OE ，过O 作OF ⊥CD 于F ∵OE 为半径，AB 为小圆的切线∴OE ⊥AB ∵OF ⊥CD , AB = CD∴OF = OE ∴CD 为小圆的切线P练习：如图，等腰△ABC ，以腰AB 为直径作⊙O 交底边BC 于P ，PE ⊥AC 于E , 求证：PE 是⊙O 的切线题型12.当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题.例12如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90o ，AC = 12，BC = 9，D 是AB 上一点，以BD 为直径的⊙O 切AC 于E ，求AD 长.解：连结OE ，则OE ⊥AC∵BC ⊥AC ∴OE ∥BC∴OE AOBC AB=在Rt △ABC 中，AB= 15==∴15915OE AB OB OEAB --==∴OE = OB = 458∴BD = 2OB = 454∴AD = AB －DB = 15－454= 154答：AD 的长为154.练习：如图，⊙O 的半径OA ⊥OB ，点P 在OB 的延长线上，连结AP 交⊙O 于D ，过D 作⊙O 的切线CE 交OP 于C ，求证：PC = CDCC AE。
圆中常见辅助线的作法
圆中常见辅助线的作法正文：在学习圆的内容时，很多同学觉得难学，总是找不到解题的突破口。
觉得难学，很大程度是因为不会画辅助线。
辅助线，就是现有图形的基础上，添加一些线条，以便运用所学知识，化繁为简，达到解决问题的目的。
在解决几何问题的时候，当运用题目给出的条件无法解决问题时，可以通过添加辅助线，形成新图形，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这便是辅助线的作用。
一条巧妙的辅助线常常使一道难题迎刃而解。
在此，对初中几何圆中常见的辅助线的添加思路从以下几个方面进行总结。
一：弦长计算，作弦心距，结合勾股定理和垂径定理。
例：如图，已知⊙O的半径为13，点O到AB的距离是5，则弦AB长是多少？分析：过O作OC⊥AB于C，由垂径定理得AC=BC=AB在Rt△AOC中，由勾股定理得AC=12.所以AB=24.二：切线的证明：1.连半径，证垂直。
例：如图， AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，过D作DE⊥AC交AC延长线于点E，交AB延长线于点F．求证：EF是⊙O的切线；分析：连接OD ，先证OD∥AE，再证OD⊥EF，直线EF经过半径OD的外端点D，并与OD 垂直。
从而可以证明EF是⊙O的切线.2.作垂直，证半径例：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F．求证：CD与⊙O相切；分析：过点O作OG⊥DC，垂足为G．证明△ADO≌△GDO后可以得到OA=OG．从而OG是⊙O的半径，CD经过半径OG的外端点并与半径OG垂直，根据切线的判定可以证明CD与⊙O相切。
三：有直径，作直径所对圆周角。
例：如图，是的外接圆⊙O的直径，若，则．分析：连接，如图，因为AD为的外接圆⊙O的直径，所以∠ABD＝90°,从而可得∠ACB＝∠D＝50°四.弧有中点，连中点圆心，结合垂径定理。
例：如图，在扇形中，已知，，过弧AB的中点作，，垂足分别为、，则图中阴影部分的面积为（）分析：连接OC,因为点C为弧AB的中点，所以∠AOC＝∠BOC,从而可以证明△CDO≌△CEO,于是四边形CDOE为正方形，面积等于1，由扇形面积公式得，故选B。
圆中常见的辅助线
计算弧长
利用半径和直径，可以计算圆中的 弧长，如半圆、四分之一圆等。
证明定理
半径和直径在证明圆的定理中起到 关键作用，如垂径定理、切线长定 理等。
半径和直径的作法
作半径
从圆心出发，用直尺或圆规画出到圆上任意一点的线段。
作直径
通过圆心，用直尺或圆规画出穿过圆上任意两点的线段。
02 弦
定义与性质
弦的作法
01
02
03
04
通过作弦的中垂线来找到弦的 中点；
通过连接圆心和弦的一个端点 来找到弦；
通过作经过圆上两点的切线来 找到弦；
通过作经过圆心的直线来找到 弦。
03 切线
定义与性质
定义
切线是指与圆只有一个公共点的直线。
性质
切线与半径垂直，切线长度与半径相等，切线到圆心的距离为0。
切线在解题中的作用
定义
连接圆上任意两点的线段被称为圆的 弦。
性质
弦与直径垂直时，弦平分直径；同弦 所对的圆周角相等；弦长与半径成正 比。
弦在解题中的作用
利用弦的性质求角度
利用弦的性质证明定理
通过利用弦所对的圆周角相等，可以 求出某些角度。
通过利用弦的性质，可以证明一些与 圆有关的定理。
利用弦的性质求长度
利用弦长与半径的比例关系，可以求 出某些长度。
圆中常见的辅助线
目 录
• 半径和直径 •弦 • 切线 • 割线
01 半径和直径
定义与性质
定义
半径是连接圆心和圆上任意一点 的线段，直径是穿过圆心且两端 点在圆上的线段。
性质
半径长度等于圆的半径，直径长 度等于圆的直径。
半径和直径在解题中的作用
十大辅助线口诀
十大辅助线口诀在进行几何作图时，辅助线的作用是不可忽视的。
正确使用辅助线可以大大提高作图效率，减少错误率，更加准确地画出所需图形。
为了帮助大家更好地理解和掌握辅助线的使用方法，我们整理出了“十大辅助线口诀”，便于大家记忆和应用。
第一大辅助线口诀：“中点万能定位，利用中垂线交点作图”。
这是一个非常实用的口诀，利用中点和中垂线可以快速定位图形的位置和大小。
例如，在画平行四边形时，只需画出其中一条对角线的中垂线，然后在中垂线上取一点作为原点，再利用对角线的中点和原点连线即可准确画出整个平行四边形。
第二大辅助线口诀：“平移移动平行线，平行四边形任意成”。
这个口诀可以帮助我们在画平行四边形时更加方便灵活。
只要确定两条平行线段，就可以通过平移移动其中一条线段使其与另一条平行线段重合，然后连接相应点即可。
第三大辅助线口诀：“圆周角相等，利用等角、同弦定位”。
在画与圆有关的图形时，这个口诀非常实用。
只需利用圆周角相等的性质，画出等角或同弦即可确定圆上的点位置。
第四大辅助线口诀：“切线垂直半径，直角可随便”。
这个口诀是在画圆和圆内的图形时比较常用的。
利用切线垂直半径的性质，可以确定直角位置，使作图更加准确。
第五大辅助线口诀：“直角三角形，利用勾股定位”。
这个口诀是在画直角三角形时非常实用的。
只要确定两条直角边的长度，就可以利用勾股定理求出第三条边的长度，并画出整个三角形。
第六大辅助线口诀：“四边形内对角线，对半分线交于一点”。
这个口诀是在画四边形时非常实用的，只需将对角线对半分，再连接相应线段的中点即可确定四边形的位置和大小。
第七大辅助线口诀：“平行线分段比，适用比例定位”。
这个口诀是在画平行线间的图形时非常实用的，只需利用线段比例的性质来确定每个点的位置。
第八大辅助线口诀：“正多边形内角和，等于360度”。
这个口诀是在画正多边形时非常实用的，只需根据内角和为360度的性质来确定每个角度，即可画出整个正多边形。
第九大辅助线口诀：“等腰三角形，利用对称轴对称”。
初中数学圆的辅助线添加方法总结
例谈圆中常见作辅助线的方法
例谈圆中常见作辅助线的方法圆是初中几何部分的重要内容之一，与圆有关的大部分几何题型都需要添加辅助线来解决。
只要添上合适的辅助线，不仅会使问题迎刃而解，而且还会有效地培养学生的解题能力与创造性思维能力。
通过对实践教学中的归纳与总结，发现添加辅助线的方法有很多，本文就圆中常见作辅助线的方法归纳如下：一、作弦心距（在与弦有关的计算或证明题时，常作辅助线的方法是作弦心距）例1：如图1，ab为⊙o的直径，pq切⊙o于t，ac⊥pq于c，交⊙o于d，ad=2，tc=.求⊙o的半径。
解：过点o作om⊥ac于m，∴am=md=ad/2=1.∵pq切⊙o于t，∴ot⊥pq.又∵ac⊥pq，om⊥ac，∴∠otc=∠act=∠omc=90°，∴四边形otcm为矩形.∴om=tc=，∴在rt△aom中，.即⊙o的半径为2.例2：如图2，已知在以o为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ab 交小圆于c、d两点.求证：ac=bd.证明：过点o作oe⊥ab于e，则ae=be，ce=de，∴ae-ce=be-de.∵ac=ae-ce，bd=be-de.∴ac=bd.二、连半径（与半径和弦有关的简单计算、已知圆中有切线的有关计算和证明时，常作辅助线的方法是连半径）例3：如图3，⊙o的直径cd=20cm，直线l⊥co，垂足为h，交⊙o于a、b两点，ab=16 cm，直线l平移多少厘米时能于⊙o相切？解：连接oa，∵l⊥co，∴oc平分ab∴ah=8cm.在rt△aho中，oh=6cm.∴ch=4cm，dh=16 cm.答：直线l向左平移4cm，或向右平移16cm时能于⊙o相切。
例4：如图4，pa是⊙o的切线，切点是a，过点a作ah⊥op于点h，交⊙o于点b.求证：pb是⊙o的切线.证明：连接oa、ob.∵pa是⊙o的切线，∴∠oap=90°.∵oa=ob，ab⊥op，∴∠aop=∠bop.又∵oa=ob，op=op，∴△aop≌△bop.∴∠opb=∠oap=90°.∴pb是⊙o的切线.三、既作弦心距又连半径（与半径和弦都有关的计算时，常作辅助线的方法是既作弦心距又连半径，利用勾股定理来解决）例5：直径为52厘米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图5，若油最大深度为16厘米.那么油面宽度ab的长是多少厘米？解：连接oa，作oc⊥ab于c，则ac=bc=ab.在rt△oac中，oa=×52=26厘米，oc=26-16=10厘米，∴ac=24厘米.∴ab=2ac=48厘米.四、连弦构造相似三角形或直角三角形（在圆中与弦或其他有关的计算或证明时，常作辅助线的方法是连弦，利用同弧所对的圆周角相等连弦构造相似三角形或利用直径所对的圆周角为直角这个性质连弦构造出直角三角形，从而将问题转化到相似三角形或直角三角形中去计算或证明）例6：已知，如图6，在半径为4的⊙o中，ab，cd是两条直径，m为ob的中点，cm的延长线交⊙o于点e，且em>mc.连结de，de=. （1）求证：am·mb=em·mc；（2）求em的长；（3）求sin∠eob的值.解：（1）连接ac，eb，则∠cam=∠bem.又∠amc=∠emb，∴△amc∽△emb.∴，即am·mb=em·mc.（2）∵dc为⊙o的直径，∴∠dec=90°，ec=∵oa=ob=4，m为ob的中点，∴am=6，bm=2.设em=x，则cm=7-x. 代入（1），得6×2=x（7-x）.解得x1=3，x2=4.但em>mc，∴em=4. （3）由（2）知，oe=em=4，作ef⊥ob于f，则of=mf=ob=1. 在rt△eof中，∴sin∠eob=.例7：如图7所示，△abc是直角三角形，∠abc=90°，以ab为直径的⊙o交ac于点e，点d是bc边的中点，连结de.（1）求证：de与⊙o相切；（2）若⊙o的半径为，de=3，求ae.（1）证明：连结oe，be，∵ab是直径，∴be⊥ac.∵d是bc的中点，∴de=db，∴∠dbe=∠deb.又oe=ob，∴∠obe=∠oeb，∴∠dbe+∠obe=∠dbe+∠oeb.即∠abd=∠oed.又∵∠abc=90°，∴∠oed=90°，∴de是⊙o的切线.（2）解：∵，∴，∴.五、作直径构造直角三角形（在圆中牵涉到三角函数的运算或与直径的计算与证明时，常作辅助线的方法是作直径，利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形，从而将问题转化到直角三角形中去解决）例8：如图8，点a、b、c在⊙o上（ac不过o点），若∠acb=60°，ab=6，求⊙o半径的长。
圆中常用的作辅助线的八种方法
习题课
阶段方法技巧训练（一）
202X
专训2 圆中常用的作辅助 线的八种方法
在解决有关圆的计算或证明题时，往往需要
添加辅助线，根据题目特点选择恰当的辅助线至
关重要．圆中常用的辅助线作法有：作半径，巧
用同圆的半径相等；连接圆上两点，巧用同弧所
对的圆周角相等；作直径，巧用直径所对的圆周
角是直角；证切线时“连半径，证垂直”以及
解：
又∵∠CDB＝∠DBO，DE＝BE，
02
∠CED＝∠OEB，
03
∴△CDE≌△OBE.
∴S△CDE＝S△OBE.
∴S阴影＝S扇形OCB＝ π·62＝6π(cm2)．
证明：
求DE的长． 如图，连接BE. ∵AB是直径， ∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC. ∵△ABC是等边三角形， ∴AE＝EC，即E为AC的中点． ∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线． ∴DE＝ AB＝ ×2＝1. 解：
7 遇切线巧作过切点的半径 方法 8．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°， 点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB.
解：
5
遇弦加弦心距或半径
方法
5．如图所示，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相 垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP 的长为( ) A．3 B．4 C．3 D．4
圆中常作哪些辅助线
CM O N 圆中常作哪些辅助线?通过作辅助线能使复杂问题简单化，圆问题中常用的辅助线是哪些呢？现把一些规律总结如下：弦与弦心距，密切紧相连. 直径对直角，圆心作半径. 已知有两圆，常画连心线. 遇到相交圆，连接公共弦. 遇到相切圆，作条公切线. “有点连圆心，无点作垂线.” 切线证明法，规律记心间.一、作弦心距.在解决有关弦的问题时，常常作弦心距，以利用垂经定理或圆心角、弦、弦心距之间的关系定理及推论.因此“弦与弦心距，密切紧相连.”.例 1.如图，ＡＢ是⊙O 的直径,PO⊥AB 交⊙O 于 P 点，弦 PN 与 AB 相交于点 M，求P证：PM•PN=2PO2.1分析：要证明PM•P N=2PO²，即证明PM•PN =POA B2²，1过 O 点作 OC⊥PN 于 C，根据垂经定理PN =PC，只需证明2。
⨯。
∆PMOPM•PC=PO²，由PO = P M，“三点定型”法可判断需证明 Rt△POC∽Rt△PMO.。
⨯ ∆POCPC PO1证明: 过圆心 O 作 OC⊥PN 于 C，∴PC= PN2∵PO⊥AB, OC⊥PN，∴∠MOP=∠OCP=900.又∵∠OPC=∠MPO，∴Rt△POC∽Rt△PMO.∴ PO = PC PM，即∴PO2= PM•PC. PO1∴PO2= PM•PN，∴PM•PN=2PO2.2二、连结半径圆的半径是圆的重要元素，圆中的许多性质如：“同圆的半径相等”和“过切点的半径与切线相互垂直”都与圆的半径有关.连结半径是常用的方法之一.例 2．已知：△ABC 中，∠B=900，O 是 AB 上一点，以 O 为圆心，以 OB 为半径的圆切 AC 与 D 点，交 AB 与 E 点，AD=2，AE=1.求证:CD 的长. CD 分析：D 为切点，连结 DO，∠ODA=900.根据切线长定理AE O BCD=CB.DO=EO= 半径r，在Rt△ADO 中根据勾股定理或Rt△ADO~ Rt△ABC，求出CD.证明: 连结DO∴OD⊥AC 于 D, ∴∠OCP=900.∵AB 过 O 点, ∠B=900.∴BC 为⊙O 的切线, ∴CD=CB设 CD=CB=x,DO=EO=y在Rt△ADO 中，AO2 =AD2+ DO2，AD=2，AE=13∴(1+y)2=22+y2, ∴ y=23 3在Rt△ABC 中，AC2 =AB2+ BC2，即(2+x)2=(1+ + )2+x2, ∴x=32 2∴CD=3.三、连结公共弦D 在处理有关两圆相交的问题时，公共弦像一把AEBPAE“钥匙”，常常可以打开相应的“锁”，因此“遇到相交圆，连接公共弦.”。
圆的常用辅助线
圆中常见的辅助线1．遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
2．遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。
3．遇到90度的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
作用：利用圆周角的性质，可得到直径。
4．遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角。
5．遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。
（2）常常添加连结圆上一点和切点作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。
6．遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。
作用：若OA=r，则l为切线。
（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）作用：只需证OA⊥l，则l为切线。
（3）有遇到圆上或圆外一点作圆的切线7．遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。
作用：据切线长及其它性质，可得到：①角、线段的等量关系；②垂直关系；③全等、相似三角形。
8．遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。
作用：利用内心的性质，可得：①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；②内心到三角形三条边的距离相等。
9．遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。
10．遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题）常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。
作用：①利用切线的性质；②利用解直角三角形的有关知识。
solidworks圆形中心符号线
Solidworks是一种由Dassault Systèmes开发的三维计算机辅助设计（CAD）软件。
在Solidworks中，圆形中心符号线是指在绘制圆形时所显示的辅助线，在设计中起到了重要的作用。
本文将从以下五个方面来详细介绍Solidworks中的圆形中心符号线。
一、圆形中心符号线的作用在Solidworks中，圆形中心符号线是用于标识圆形的中心点和半径的辅助线。
通过这些符号线，设计者可以更加准确地定位圆形的中心点，确保设计的准确性和精度。
圆形中心符号线还可以帮助设计者在绘制圆形时更加方便地进行操作和调整。
二、Solidworks中圆形中心符号线的显示方式在Solidworks中，当绘制一个圆形时，软件会自动显示圆形的中心符号线，这通常是由一个交叉的加粗线段和一个外接的圆环组成。
交叉的加粗线段表示圆形的中心点，而外接的圆环则表示圆形的半径，通过这些符号线，设计者可以清晰地看到圆形的中心和半径。
在Solidworks中，设计者还可以通过设置来调整圆形中心符号线的显示方式，例如可以改变加粗线段和圆环的颜色和线型，以满足不同的设计需求。
三、使用实例在Solidworks中，设计者可以通过简单的操作来使用圆形中心符号线。
在绘制圆形的过程中，软件会自动显示出圆形的中心符号线，设计者可以通过鼠标操作来移动和调整圆形的中心点和半径，以满足设计要求。
设计者还可以通过设置来改变圆形中心符号线的显示方式，以适应不同的设计环境和需求。
四、圆形中心符号线的优势相对于其他CAD软件，在Solidworks中，圆形中心符号线的显示更加清晰和直观，设计者可以通过这些符号线来更加方便地定位和调整圆形。
Solidworks还提供了丰富的设置选项，设计者可以根据自己的实际需求来调整符号线的显示方式，提高设计的灵活性和效率。
五、小结在Solidworks中，圆形中心符号线是一种非常重要的辅助线，它可以帮助设计者准确地定位和调整圆形，保证设计的准确性和精度。
圆中常见的辅助线
1．遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
例：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 二点.求证：AC = BD证明:过O 作OE ⊥AB 于E∵O 为圆心，OE ⊥AB∴AE = BE CE = DE∴AC = BD练习：如图，AB 为⊙O 的弦，P 是AB 上的一点，AB = 10cm ，PA = 4cm.求⊙O 的半径. 规律89.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.例：如图，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB,DN ⊥AB,求证：AC BD = 证明：（一）连结OC 、OD∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点∴OM =12AO 、ON = 12BO ∵OA = OB∴OM = ON∵CM ⊥OA 、DN ⊥OB 、OC = OD ∴Rt △COM ≌Rt △DON ∴∠COA = ∠DOB∴AC BD = （二）连结AC 、OC 、OD 、BD∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点 ∴AC = OC BD = OD ∵OC = OD ∴AC = BD∴AC BD = 规律90.有弦中点时常连弦心距例：如图，已知M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点,AB = CD ，求证：∠AMN = ∠CNM证明：连结OM 、ON∵O 为圆心，M 、N 分别是弦AB 、CD 的中点 ∴OM ⊥AB ON ⊥CD ∵AB = CD∴OM = ON∴∠OMN = ∠ONM∵∠AMN = 90o－∠OMN∠CNM = 90o－∠ONM ∴∠AMN =∠CNM规律91.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距.例：如图，已知⊙O 1与⊙O 2为等圆，P 为O 1、O 2的中点，过P 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于A 、C 、D 、B.求证：AC = BD证明：过O 1作O 1M ⊥AB 于M,过O 2作O 2N ⊥AB 于N ，则O 1M ∥O 2N∴1122O M O PO N O P=∵O 1P = O 2P∴O 1M = O 2N ∴AC = BD 规律92.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：⑴连结过弧中点的半径 ⑵连结等弧所对的弦 ⑶连结等弧所对的圆心角例：如图，已知D 、E 分别为半径OA 、OB 的中点，C 为弧AB 的中点，求证：CD = CE证明：连结OC∵C 为弧AB 的中点∴AB BC = ∴∠AOC =∠BOC∵D 、E 分别为OA 、OB 的中点，且AO = BO∴OD = OE = 12AO = 12BO又∵OC = OC ∴△ODC ≌△OEC∴CD = CE规律95.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题. 例：如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，P 为AC 延长线上一点，且AC = PC,PB 的延长线交⊙O 于D ，求证：AC = DC 证明：连结AD∵AB 为⊙O 的直径 ∴∠ADP = 90o∵AC = PC∴AC = CD =12APP例（2005年自贡市）如图2，P 是⊙O 的弦CB 延长线上一点，点A 在⊙O 上，且∠=∠BAP C 。
初中数学课件：圆中常见辅助线(2021年浙教版)
F
例4 水平放置的圆形排水管的截面半径是 12cm，其中水面高为6cm，求有水部分弓 形的面积。
E
例5 如图，圆内接正三角形ABC边长为a， 求此三角形外接圆的半径
D
例6 已知⊙O的半径为5cm，弦AB//CD， AB=6，CD=8。求AB与CD之间的距离。
例7 如图，AE是⊙O的直径，AD⊥BC于 Ｄ，求证：∠BAE=∠CAD。
D
19.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于 点E，点M在⊙O上，∠M=∠D． （1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由； （2）若AE=16，BE=4，求线段CD的长； （3）若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数．
20.在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣 弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD． （1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O 的半径r； （2）如图2，若点D与圆心O不重合， ∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．
22、已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C 在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D． (1)如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求 AC，BD，CD的长；
(2)如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
பைடு நூலகம்
例8 如图，ΔABC中，AB=AC，以腰AB 为直径画半圆O，分别并BC、AC于点D、E。 求证：BD=CD。
例9 如图，OB是⊙O的半径，以OB为直径的 ⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，求证：ED=DB。
例例109 如如图图，，在ΔΔAABBCC内内接接于于⊙⊙O，O，∠半B=径45R0=，5， AACC==55，，求求⊙∠OB的。半径。
第3章 《圆的基本性质》复习 ——圆中常用辅助线
例1 如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB和小圆交于C、D。
圆中常用的辅助线试题
圆中常用的辅助线马罗1. 连半径由圆的半径相等，想到：连半径，构造直角三角形或者等腰三角形。
例1. 如图1，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8cm ，OC=5cm ，那么OD 的长是〔 〕图1〔A 〕3cm 。
〔B 〕。
〔C 〕2cm 。
〔D 〕1cm 。
〔05年丰台区中考〕解：连结OA ，那么OA=OC=5cm 。
因为 OC ⊥AB ， 所以AD=12AB=4cm 。
OD=OA AD 22-=5422-=3〔cm 〕。
应选〔A 〕。
例2. 如图2，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 的延长线上的一点，AE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ，且AC 平分∠EAB 。
图2〔1〕求证：DE 是⊙O 的切线； 〔2〕假设AB=6，AE=245，求BD 和BC 的长。
〔05年中考〕证明：〔1〕连接CO ，那么AO=BO=CO ， 所以∠CAO=∠ACO 。
又因为 ∠EAC=∠CAO ， 所以 ∠ACO=∠EAC ， 于是AE ∥OC 。
又 AE ⊥DE ， 所以∠OCD=∠AED=90°，即 OC ⊥DE 。
所以DE 是⊙O 的切线。
〔2〕BD=2，BC=655，过程略。
2. 过圆心，作弦的垂线由垂径定理，想到：过圆心，作弦的垂线，构造直角三角形。
例3. 如图3，在以O 为圆心的两个同心圆中，小圆的半径长为2，大圆的弦AB 与小圆交于点C 、D ，AC=CD ，且∠COD=60°。
图3〔1〕求大圆半径的长；〔2〕假设大圆的弦AE 与小圆切于点F ，求AE 的长。
〔05年中考〕解：〔1〕过O 点作OM ⊥AB ，垂足为M 。
因为 CO=DO ，∠COD=60°， 所以△COD 为等边三角形，即 M 点为CD 的中点， 又 CO=2， 所以OM=323121CO CM CO ===，。
连接AO 。
在Rt △AOM 中，AM=32CD=3CM=3， 所以AO=OM AM 223923+=+=。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角形 ， 利用勾股定理进行计 算． 例 ３ 按 要求 画 图并解 答 下列 问题 ： 以点 ０为 圆 心， 分别 以不 同的长度为半 径 画同心 圆 ， 圆 内任 意一 过 点作一条直线 ， 分别交大 圆与 Ａ 曰两点 ， 、 交小 圆与 ｃ Ｄ 、
两点．
解： 接Ｏ 则 Ｏ 连 Ｂ， Ｂ＝Ｏ ． Ｅ ． Ｂ
．
Ｅ ＝ 厶 ｏＢＥ．
。 ．
ＡＢ ＝ ＯＣ， ∞
．
＝ ＯＣ ，
。 ．
ＡＢ ＝ ＯＢ．
请探究线段 Ａ Ｃ与 Ｂ Ｄ之 间的关
系， 并说 明你 的发 现 是 正 确 的． 解 ： 画 图 如 图 ３所 示 ．
ＡＣ ＝ＢＤ．
‘ ．
．
．
Ａ Ｅ—Ｃ Ｅ＝ＢＥ—ＤＥ， Ａ 即 Ｃ＝ＢＤ．
例 ４ 高 致 病 性 禽 流 感 是 一 种 传 染 性 极 强 的 传 染
病． 为防止禽流感 的蔓延 ， 防疫 部门规定 ： 离疫点 ３千米 范围 内为捕杀区 ， 所有 的禽类全部捕 杀 ； 离疫点 ３～ ５千 米范 围内为免疫 区 ， 有 的禽 类强 制免疫 ； 所 同时对捕杀
ＤＥ ，
‘
图３
故选（ ） Ｂ．
二 、 半径 ， 造 直角 三角 形 作 构 在 圆中 涉 及 弦 长 的计 算 时 ， 常 常 作 过 弦端 点 的 半 也 径 ， 利 用 垂径 定 理 的 同时 ， 造 直 角 三 角 形 ， 而 利 用 在 构 从 勾 股 定 理 进 行 计 算．
。 ． ．
由垂径定理， Ａ — 得 Ｅ： 二
＝ ｓ
ｃ
设 （０的半 径为 ｒ则 Ｏ ｒ １ ３ ， Ｅ： 一 ． 在 Ｒ ＡＯ Ａ中 ， ｔ Ｅ 由勾 股 定 理 ， （ 一１ ＋ ：ｒ， 得 ｒ ） ５ ２ 解之得 ｒ ３ ＝１．
’ ． ．
图２
（ １。 Ａ）０ （ ）０ Ｃ２。
一
锯 锯之 ， 深 一 寸 ， 道 长 一 尺 ， 径几 何 ？ 锯 锯 问 此 题 翻译 成数 学 问题 就 是 ： 图 ２ Ｃ 是 ＱＯ 的 直 如 ，Ｄ
径， Ａ 弦 Ｂ上Ｃ Ｄ于 点 Ｅ，Ｅ＝１Ａ Ｃ ，Ｂ＝１ ， ０
Ｄ
、
作 半径 。 造等 腰 三 角形 构
在 圆中涉及 角 的计算 或证 明角相 等 时 ， 常作 半 常 径， 利用两条半径 相等构 造等腰 三角形 ， 而利用 等要 从 三角形 的性质来寻找解题途 径． 例 １ 如图 １ Ｃ ，Ｄ是半 圆的直 径 ， ０是圆心 ， Ｅ为半
’ ． ．
Ｄ ＝ ＣＤ．
五、 作过切点的半径 在 已知圆的切 线时 ， 常常作 出经 过切点 的半径 ， 利 用切线的性质定理 ， 到垂直 关系 ， 而找到解决 问题 得 从
的方 法 ． 例 ６ 如 图 ６ 已知 Ａ 为 ｏ０ 的直 径 ， Ｄ在 Ａ 的 ， Ｂ 点 Ｂ 延 长 线 上 ， 点 口 作 ００ 的 切 线 ， 点 为 Ｃ， 厶４： 过 切 若
例２ “ 圆材埋壁” 是我 国古代著名数学著作 《 九章 算术》 中的一个 问题 ： 今有 圆材 ， 埋在壁中 ， 不知大 小 ， 以
区和免疫 区的村庄实行全封闭管理． 现有 一条笔直 的公
路Ａ Ｂ通过禽流感病 区． 如图 ４所示 ， ０为疫点 ， 在捕 杀 区内的公路 Ｃ Ｄ长为 ４千米 ， 问这条公路 在免疫 区内有
１
二
又’ Ｄ ． Ｃ是 ００ 的切 线 ， ’
’ ．
．
ＯＣ ＿ Ｊ ＤＣ．
１
二
Ｃ Ｅ＝Ｄ Ｅ：－ Ｃ Ａ ４ Ｄ， ：Ｂ ÷ Ａ Ａ Ｂ ． － Ｅ＝ ，Ｃ＝ Ｄ
在 Ｒ ＡＯ Ｅ 中 ， ｔ Ｃ 因为 Ｏ ３千 米 ，Ｅ＝ Ｃ： Ｃ ２千 米 ， 所以Ｄ ０ Ｅ ＝ Ｅ＝ ｃ 一Ｃ ２ 一 ２： 千米） ．
．
ＡＯ Ａ是等腰 三角形． Ｂ
Ａ ： ＢＯＡ． Ｅ＝ ０ＢＥ ＝２Ｌ Ａ．
‘ ． ．
’ ． ．
‘ ． ．
Ｅ ＯＤ ： Ｅ＋ Ａ ＝３ Ａ ＝４ ０ ５．
Ａ ＝１ ． ５。
‘
．
．
证 明 ： 点 ０作 Ｏ 过 Ｅ上Ａ Ｂ于 Ｅ， 由垂 径 定 理 ， Ａ ：雎 ， Ｅ ： 得 Ｃ
即 ＤＣ Ｏ＝９ ． ０。
‘ ． ．
图６
／ ＤＣ ＝ ／ＤＣＯ ＋／ ＯＣ Ａ Ａ
＝２ 。＋９ ＝１ ５。 ５ ０。 ｌ ．
在 ＡＤ Ｃ 中 ． Ａ
Ｄ ＝１０。一 Ａ 一 ８ ＝ １０ ８ 。一２ 。一１５。＝４ ５ １ ０
２ 。求 Ｄ ５， ．
解
图４
‘
连接 Ｏ ， Ｃ
ＯＣ ＝ ／ Ａ ：２ ． Ａ ５Ｏ
。 ．
ＡＯ ＝ ＣＯ ．
多少 千 米 ？ （ 果 保 留 根号 ） 结
． ．
解 ： 过 圆 心 ０ 作 弦 Ａ 的 垂 线 ， 足 为 Ｅ， 接 Ｂ 垂 连 Ｏ Ｏ 根 据 垂 径 定理 得 Ａ，Ｃ，
．
。．
。＋
。．
．．
．．
。＋
。＋
。．
。＋
。．
。．
。＋
。．
。＋
。＋
。．
。．
． ．
－ 致掌大世界 。。 。 ◆ ． ＋＋＋＋＋＋． ＿． ＋ 。。。。。。 。
＠９ 圆
…
虫墨 吏 兰熊 盟 学…整盘壹
在解决与圆有关 的问题 时 ， 常需要 添加辅 助线 ， 常 下 面 归 纳 几 点 ， 同 学 们 学 习 参 考 供
（ ）５ Ｂ １。 （ ２。 Ｄ）５
００ 的直 径 Ｃ Ｄ的 长 为 ２ ． ６
三 、 圆 心 作 弦 的 垂 线 过
Ｃ Ｏ ． Ｄ
在 圆中证 明线段相等或者涉及弦长计算 时 ， 常常过
圆 心作 弦 的垂 线 ， 用 垂 径 定 理 来 证 明 ； 者 构 造 直 角 利 或
图 １
圆 上 的一 点 ， ／Ｅ Ｄ ＝ ５ ， 且 ＿ Ｏ ４ 。Ａ是 Ｄ ． Ｃ延 长 线 上 的一 点 ， Ａ Ｅ交 半 圆于 Ｂ， Ａ Ｏ 则 厶 ４ 若 Ｂ＝ Ｃ， ＝
— —
求 直径 Ｃ 的长 ． Ｄ
解： 接 Ｏ 连 Ａ，
。
’ ．
Ｃ Ｄ是 ００ 的直 径 ，Ｂ上Ｃ Ａ Ｄ，
１