勾股定理常见题型
3.1勾股定理(七大题型)(解析版)
（苏科版）八年级上册数学《第3章 勾股定理》3.1 勾股定理●勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2.◆1、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形；◆2、勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边.◆3、勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，则a 2 + b 2 = c 2、 a 2 = c 2 - b 2、b 2 = c 2 - a 2；22b a c +=、22b c a -=、22a c b -=.【拓展】◎1、锐角三角形的三边关系是：在锐角三角形中，若三边长分别为a ，b ，c ，其中c 为最大边，则a 2+b 2＞c 2.◎2、钝角三角形的三边关系是：在钝角三角形中，若三边长分别为a ，b ，c ，其中c 为最大边，则a 2+b 2＜c 2.●通过拼图证明勾股定理的思路：（1）图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变.（2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式.（3）利用等式性质变化验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论.●下面列举几种证明方法：◆1、“赵爽弦图”证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即c2=12ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2．◆2、我国数学家邹元治的证明方法证明：在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即（a+b）2＝c2+12ab×4，化简得：a2+b2＝c2．◆3、美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即12（a+b）（a+b）=12ab×2+12c2，化简得：a2+b2＝c2．【例题1】在直角三角形中，两条直角边的长分别为9和12，则斜边的长为 ．【分析】根据勾股定理直接求出斜边的长即可．【解答】解：∵在直角三角形中，两条直角边的长分别为9和12，=15．故答案为：15．【点评】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．【变式1-1】已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b．（1）如果a＝7，b＝24，求c；（2）如果a＝12，c＝13，求b．【分析】（1）利用勾股定理计算c=（2）利用勾股定理计算b=【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得：c==＝25；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：b==＝5．【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即：如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2．注意勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．【变式1-2】（2022秋•东方期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，AD 平分∠BAC ，则AD 等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【分析】根据等腰三角形的三线合一得到AD ⊥BC ，BD ＝DC =12BC ＝6，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC ，BD ＝DC =12BC ＝6，在Rt △ABD 中，AD 8，故选：C ．【点评】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2．【变式1-3】（2022秋•新泰市期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则点C 到直线AB 的距离是（ ）A ．185B ．3C ．125D ．2【分析】作CD⊥AB于点D，根据勾股定理可以求得AB的长，然后根据面积法，可以求得CD的长．【解答】解：作CD⊥AB于点D，如右图所示，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB=5，∵AC⋅BC2=AB⋅CD2，∴3×42=5CD2，解得CD＝2.4，故选：C．【点评】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答．【变式1-4】（2021春•连州市期中）如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4，则AD等于（ ）A．10B．12C．24D．48【分析】本题主要考查勾股定理运用，解答时要灵活运用直角三角形的性质．【解答】解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∠BAE＝∠DEC＝60°∴∠AEB＝∠CDE＝30°∵30°所对的直角边是斜边的一半∴AE＝6，DE＝8又∵∠AED ＝90°根据勾股定理∴AD ＝10．故选：A ．【点评】解决此类题目的关键是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余，30°所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的性质．【变式1-5】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长（大于12AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ，则CD 的长为 ．【分析】根据勾股定理可以求得AB 的长，然后根据线段垂直平分线的判定方法可以得到MN 为线段AB 的垂直平分线，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到CD 的长．【解答】解：∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ==5，连接NA ，NB ，MA ，MB ，如图所示，∵分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长（大于12AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，∴NA ＝NB ，MA ＝MB ，∴直线MN 垂直平分AB ，∵直线MN 交AB 于点D ，∴点D 为AB 的中点，∴CD 为Rt △ACB 斜边上的中线，∴CD =12AB =52，故答案为：52．【点评】本题考查勾股定理、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式1-6】（2022春•河北区期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．求AB与BC的长．【分析】根据勾股定理求出BC即可；根据勾股定理求出AD，求出AB即可．【解答】解：∵CD⊥AB，AC＝20，CD＝12，BD＝9，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，在Rt△CDB中，由勾股定理得：BC=15，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD=16，∴AB＝AD+DB＝16+9＝25．答：AB的长为25，BC的长为15．【点评】本题考查了勾股定理的应用，关键是对定理的掌握和运用．【变式1-7】如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，CE是AB边上的中线，CD是AB边上的高，且AE＝5．（1）求CD的长；（2）求DE的长．【分析】（1）先证明三角形ABC是直角三角形，再根据等面积法即可求解；（2）根据勾股定理求出BD的长即可求解．【解答】解：（1）∵CE是AB边上的中线，∴AE＝BE＝5，∴AB＝10，又∵AC＝8，BC＝6，∴AC2+BC2＝82+62＝100＝AB2，∴△ABC是直角三角形，又∵CD是△ABC的高，∴S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB=4.8；（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得，BD=3.6，∴DE＝BE﹣BD＝5﹣3.6＝1.4．【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【例题2】勾股定理的验证方法很多，用面积（拼图）证明是最常见的一种方法．如图所示，一个直立的长方体在桌面上慢慢地倒下，启发人们想到勾股定理的证明方法，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，证明中用到的面积相等关系是（ ）A．S△ABC+S△ABD＝S△AFG+S△AEFB．S梯形BCEF＝S△ABC+S△ABF+S△AEFC．S△BDH＝S△FGHD．S梯形BCEF＝S△ABC+S△ABF+S△AEF+S△FGH【分析】通过用两种方法计算梯形BCEF的面积即可证明勾股定理．【解答】解：∵矩形ACBD旋转得出矩形AGFE，∴△ABC≌△FAE，∴AB＝AF，∠BAC＝∠AFE，∵∠AFE+∠EAF＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝90°，∴△ABF是等腰直角三角形，由题意知：S梯形BCEF =12（a+b）•（a+b）=12(a+b)2=12a2+ab+12b2，S△ABC+S△ABF+S△AEF=12ab+12ab+12c2=ab+12c2，∴12a2+ab+12b2=ab+12c2，∴a2+b2＝c2，故选：B．【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，等腰直角三角形的判定，表示出图形面积的不同表达形式，建立等量关系是解题的关键．【变式2-1】（2022春•三门峡期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】由正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A 、大正方形的面积为：c 2，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：12ab ×4+（b ﹣a ）2＝a 2+b 2，∴a 2+b 2＝c 2，故A 选项能证明勾股定理；B 、大正方形的面积为：（a +b ）2，也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a 2+b 2+2ab ，∴（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ，∴B 选项不能证明勾股定理．C 、大正方形的面积为：（a +b ）2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：12ab ×4+c 2＝2ab +c 2，∴（a +b ）2＝2ab +c 2，∴a 2+b 2＝c 2，故C 选项能证明勾股定理；D、梯形的面积为：12（a+b）（a+b）=12（a2+b2）+ab，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：12ab×2+12c2＝ab+12c2，∴12（a2+b2）+ab＝ab+12c2，∴a2+b2＝c2，故D选项能证明勾股定理；故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的证明、正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式，熟练掌握内弦图、外弦图是解题的关键．【变式2-2】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）A．9B．6C．4D．3【分析】分析题意，首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为：a﹣b；接下来根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：12ab=12×8＝4，从图形中可得，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，∴4×12ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3．故选：D．【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式．【变式2-3】（2022春•高安市期中）勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2＝25，②a﹣b＝1，③ab＝12，④a+b＝7．正确的是（ ）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【分析】根据勾股定理和大正方形面积为25，可以判断①；根据小正方形面积为1，可以判断②；根据大正方形面积为25，小正方形面积为1，可以得到四个直角三角形的面积，从而可以得到ab的值，即可判断③；根据完全平方公式可以判断④．【解答】解：由图可得，a2+b2＝c2＝25，故①正确；∵小正方形面积为1，∴小正方形的边长为1，∴a﹣b＝1，故②正确；∵大正方形面积为25，小正方形面积为1，∴12ab＝（25﹣1）÷4，解得ab＝12，故③正确；∵a2+b2＝25，ab＝12，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，∴a+b＝7，故④正确；故选：D．【点评】本题考查勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形的面积，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．【变式2-4】如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC ＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）A ．36B ．76C ．66D ．12【分析】由题意∠ACB 为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC 延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x ，则x 2＝122+52＝169，所以x ＝13，所以这个风车的外围周长是：（13+6）×4＝76．故选：B ．【点评】此题考查了勾股定理的证明，本题是勾股定理在实际情况中的应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．【变式2-5】用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理c 2＝a 2+b 2．（2）如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，AC ＝4，BC ＝3，求CD 的长度；（3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a +b ）2的值（a ＜b ）．【分析】（1）根据大正方形的面积的两种表示方法求解即可；（2）根据直角三角形的面积公式求解即可；（3）根据小正方形的为1得出2ab ＝12，再结合c 2＝13即可求解．【解答】解：（1）如图1，大正方形的面积＝c 2＝4×12ab +(b ―a )2，整理得，c2＝a2+b2；（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB=5，∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB=125；（3）∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，∴c2＝13，（b﹣a）2＝1，∴a2+b2﹣2ab＝1，∴2ab＝12，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝13+12＝25，即（a+b）2的值为25．【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出大正方形的面积的两种表示方法是解题的关键．【变式2-6】（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．【分析】连接BF，由图1可得正方形ACDE的面积为b2，由图2可得四边形ABDF的面积为三角形ABF 与三角形BDF面积之和，再利用正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等即可证明．【解答】证明：如图，连接BF，∵AC ＝b ，∴正方形ACDE 的面积为b 2，∵CD ＝DE ＝AC ＝b ，BC ＝a ，EF ＝BC ＝a ，∴BD ＝CD ﹣BC ＝b ﹣a ，DF ＝DE +EF ＝a +b ，∵∠CAE ＝90°，∴∠BAC +∠BAE ＝90°，∵∠BAC ＝∠EAF ，∴∠EAF +∠BAE ＝90°，∴△BAE 为等腰直角三角形，∴四边形ABDF 的面积为：12c 2+12（b ﹣a ）（a +b ）=12c 2+12（b 2﹣a 2），∵正方形ACDE 的面积与四边形ABDF 的面积相等，∴b 2=12c 2+12（b 2﹣a 2），∴b 2=12c 2+12b 2―12a 2，∴12a 2+12b 2=12c 2，∴a 2+b 2＝c 2．【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握勾股定理的证明方法，一般利用拼图的方法，再利用面积相等证明．【例题3】如图，当正方形B的面积为64，正方形C的面积为100时，正方形A的面积为（ ）A．36B．25C．16D．6【分析】直接根据勾股定理进行解答即可．【解答】解：由图可知，△DEF是直角三角形，∴DE2+DF2＝EF2，∵正方形B的面积＝DF2，正方形C的面积＝EF2，正方形A的面积＝DF2，正方形B的面积为64，正方形C的面积为100，∴正方形A的面积＝100﹣64＝36．故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．【变式3-1】（2022秋•渠县期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为（ ）A．8B．9C．10D．12【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．【解答】解：由勾股定理，得正方形E的面积＝正方形C的面积+正方形D的面积，正方形E的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积，则正方形B的面积＝18﹣6﹣4＝8，故选：A．【点评】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式3-2】（2022秋•南京期末）如图，在等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AB＝AB、AC、BC为直径画半圆，其中所得两个月形图案AFCD和BGCE（图中阴影部分）的面积之和等于（ ）A．8B．4C．2D．【分析】由等腰三角形的性质及勾股定理可求解AC＝CB＝2，进而可求得S△ACB＝2，再利用阴影部分的面积＝以AC为直径的圆的面积+△ACB的面积﹣以AB为直径的半圆的面积计算可求解．【解答】解：在等腰Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝∴AC 2+BC 2＝AB 2＝8，∴AC ＝CB ＝2，∴S △ACB =12AC •BC ＝2，∴S 阴影＝π（AC 2）2+S △ACB ―12π（AB 2）2＝π+2﹣π＝2，故选：C ．【点评】本题主要考查等腰直角三角形，勾股定理，理清阴影部分的面积＝以AC 为直径的圆的面积+△ACB 的面积﹣以AB 为直径的半圆的面积是解题的关键．【变式3-3】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中S A ＝4，S B ＝2，S c ＝2，S D ＝1，则S ＝（ ）A ．25B ．20C ．9D ．5【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可．【解答】解：如图，根据勾股定理的几何意义，可知：S＝S F+S G＝S A+S B+S C+S D＝4+2+2+1＝9；即S＝9；故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式3-4】如图，Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1、S2、S2．如果S2+S1﹣S3＝18，则阴影部分的面积为 ．【分析】由勾股定理得出S2﹣S3＝S1，再根据S2+S1﹣S3＝18即可得出S1的值，即为图中阴影部分的面积．【解答】解：由勾股定理得，BC2﹣AC2＝AB2，即S2﹣S3＝S1，∵S2+S1﹣S3＝18，∴S 1＝9，由图形可知，阴影部分的面积=12S 1，∴阴影部分的面积=92，故答案为：92．【点评】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出S 2﹣S 3＝S 1，是解题的关键．【变式3-5】（2022秋•绿园区校级期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为16cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为 cm 2．【分析】如图根据勾股定理有S 正方形2+S 正方形3＝S 正方形1，S 正方形C +S 正方形D ＝S 正方形3，S 正方形A +S 正方形B ＝S 正方形2，等量代换即可求四个小正方形的面积之和．【解答】解：如右图所示，根据勾股定理可知，S 正方形2+S 正方形3＝S 正方形1，S 正方形C +S 正方形D ＝S 正方形3，S 正方形A +S 正方形B ＝S 正方形2，∴S 正方形C +S 正方形D +S 正方形A +S 正方形B ＝S 正方形2+S 正方形3＝S 正方形1＝162＝256（cm 2）．故答案为：256．【点评】本题考查了勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式3-6】如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．（1）求证：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求证：CD＝BE；②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．【分析】（1）根据直角三角形的定义和垂直的定义，可以证明结论成立；（2）①根据AAS可以证明结论成立；②根据S梯形ADEB＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，代入字母计算即可证明结论成立．【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ADC+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠BCE；（2）①∵AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，由（1）知：∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECB，AC=CB∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD＝BE；②由图可知：S 梯形ADEB ＝S △ADC +S △ACB +S △CEB ，∴(a b )(a b )2=ab 2+c 22+ab 2，化简，得：a 2+b 2＝c 2．【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【例题4】（2022秋•门头沟区期末）已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8．求BC 边上的高的长．【分析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，根据等腰三角形的性质求出BD =12BC ＝4，根据勾股定理求出AD 的长即可．【解答】解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵AB ＝AC ＝5，BC ＝8，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD =12BC ＝4，∴AD==3，即BC 边上的高的长为3．【点评】此题考查了等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定理是解题的关键．【变式4-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E两点，若BE＝5，CE＝3，则AC的长为 ．【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得BE＝AE＝5，然后在Rt△ACE中，利用勾股定理进行计算，即可解答．【解答】解：连接AE，∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE＝5，∵∠C＝90°，CE＝3，∴AC==4，故答案为：4．【点评】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式4-2】（2021春•齐齐哈尔月考）已知：△ABC中，AC＝2，∠C＝30°，∠B＝45°，求AB和BC的长．【分析】作AD⊥BC，得∠ADC＝∠ADB＝90°，根据勾股定理和直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半计算即可．【解答】解：作AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵∠C＝30°，∴AD=12AC＝1，在Rt△ACD，根据勾股定理得，CD=∵∠B＝45°，∴∠DAB＝∠B＝45°，∴BD＝AD＝1，则BC＝1∴AB=【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握勾股定理和直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半，这两个定理的应用是解题关键．【变式4-3】（2022春•阳新县期末）△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长为（ ）A．14B．4C．14或4D．以上都不对【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC＝BD+CD，在钝角三角形中，BC＝CD﹣BD．【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，则BD＝5，在Rt△ABD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，则CD＝9，故BC＝BD+DC＝9+5＝14；（2）钝角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，则BD＝5，在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，则CD＝9，故BC的长为DC﹣BD＝9﹣5＝4．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，把三角形边的问题转化到直角三角形中用勾股定理解答．【变式4-4】如图，Rt△ABC中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点．连接CD，在点D的运动过程中，当△ACD 为等腰三角形时，AD 的长为 ．【分析】分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质，分别求解即可解决问题．【解答】解：①当AD ＝AC 时，△ACD 为等腰三角形，∵AC ＝15，∴AD ＝AC ＝15．②当CD ＝AD 时，△ACD 为等腰三角形，∵CD ＝AD ，∴∠DCA ＝∠CAD ，∵∠CAB +∠B ＝90°，∠DCA +∠BCD ＝90°，∴∠B ＝∠BCD ，∴BD ＝CD ，∴CD ＝BD ＝DA ＝12.5；③当CD ＝AC 时，△ACD 为等腰三角形，如图，作CH ⊥BA 于点H ，则12×AB ×CH =12×AC ×BC ，∵AC ＝15，BC ＝20，AB ＝25，∴CH ＝12，在Rt △ACH 中，AH =9，∵CD ＝AC ，CH ⊥BA ，∴DH ＝HA ＝9，∴AD ＝18，综上所述：AD 的值为15或12.5或18．故答案为：15或12.5或18．【点评】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．【例题5】如图，阴影部分表示以Rt △ABC 的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S 1和S 2．若S 1+S 2＝7，AB ＝6，则△ABC 的周长是（ ）A ．12.5B ．13C ．14D ．15【分析】根据勾股定理得到AC 2+BC 2＝AB 2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可．【解答】解：由勾股定理得，AC 2+BC 2＝AB 2，∵S 1+S 2＝7，∴12×π×（AC 2）2+12×π×（BC 2）2+12×AC ×BC ―12×π×（AB 2）2＝7，∴AC ×BC ＝14，∴（AC +BC ）2＝AC 2+BC 2+2AC •BC ＝62+2×14＝64，∴AC +BC ＝8（负值舍去），∴△ABC 的周长＝AB +AC +BC ＝8+6＝14，故选：C ．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2．【变式5-1】如图，三角形ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于D，DE⊥AB于E，已知CD=3，BD=5，求三角形ABC的周长．【分析】根据角平分线的性质得到DE=CD=3，根据勾股定理求出BE的长，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=3，AC=AE，∵DE⊥AB，DE=3，BD=5，根据勾股定理得，BE=4，∴AC2+82=（AE+4）2，解得AE=6，则AC=6，∴三角形ABC的周长=AC+AB+BC=24．【点评】本题考查的是角平分线的性质和勾股定理的应用，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．【变式5-2】如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于E，若AB＝10cm，AC＝6cm，则△BED周长为（ ）A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC＝AE，可求出BE，再利用勾股定理列式求出BC，最后根据三角形的周长列式计算即可得解．【解答】解：∵AD是∠CAB的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴CD＝DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=ADDC=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE＝6，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，由勾股定理得，BC==8，∴△BDE的周长＝BE+BD+CD＝BE+BD+CD＝BE+BC＝4+8＝12（cm）．故选：B．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记性质并求出三角形全等是解题的关键．【变式5-3】在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，连接AC，点E为AC的中点，连接BE，DE．若DE=132，BC＝12，则△ABE的周长为 ．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一边得到AC＝2BE＝2DE＝2AE＝13，再利用勾股定理求出AB＝5即可得到答案．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为AC的中点，∴AC＝2BE＝2DE＝2AE＝13，∵BC＝12，∴AB=5，∴△ABE的周长为AE+BE+AB=5+2×132=18，故答案为：18．【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．【例题6】（2022春•范县期中）如图，正方形ABCD中，AE⊥BE，且AE＝3，AB＝5，则阴影部分的面积是（ ）A．13B．15C．18D．19【分析】利用正方形的面积减去三角形的面积即可求出阴影部分的面积．【解答】解：∵AE⊥BE，且AE＝3，AB＝5，∴BE=4，∴S△ABE=12AE⋅BE=12×3×4=6，∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，∴S正＝5×5＝25，∴S阴影＝S正﹣S△ABE＝25﹣6＝19．故选：D．【点评】本题主要考查正方形的性质与勾股定理，解题的关键是用割补法求阴影部分的面积．【变式6-1】如图，在△ABC中，AC＝BC＝17，AB＝16，求△ABC的面积．【分析】过C作CD⊥AB于D，根据等腰三角形的性质和勾股定理，以及三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，∵AC＝BC＝17，AB＝16，∴AD＝BD=12AB＝8，∵AD2+CD2＝AC2，∴CD=15，∴S△ABC =12AB•CD=12×16×15=120．【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【变式6-2】（2022春•桐城市期末）如图2，在△ABC 中，AC ＝8，AB ＝4，∠BAC ＝120°，求△ABC 的面积．【分析】过点C 作CD ⊥AB ，交BA 的延长线于点D ，由勾股定理求出CD 的长，利用三角形面积公式可求出答案．【解答】解：过点C 作CD ⊥AB ，交BA 的延长线于点D ，∵∠BAC ＝120°，∴∠DAC ＝60°，∴∠ACD ＝30°，∵AC ＝8，∴AD =12AC ＝4，∴CD =∴S △ABC =12AB •CD =12×=【点评】此题主要考查了勾股定理，三角形面积公式，求得出AB ，CD 的长是解题的关键．【变式6-3】如图在四边形ABCD 中，∠ABC ＝120°，AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，AB ＝4，CD ＝5，求该四边形的面积．【分析】延长DA 和CB 交于O ，求出∠O ＝30°，根据含30度角的直角三角形性质求出OB 和OD ，根据勾股定理求出OA 和OC ，根据三角形面积公式求出即可．【解答】解：延长DA 和CB 交于O ，∵AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，∴∠DAB ＝∠C ＝∠OAB ＝90°，∵∠D ＝60°，∴∠O ＝30°，∵AB ＝4，DC ＝5，∴OB ＝2AB ＝8，OD ＝2DC ＝10，由勾股定理得：OA ==OC =∴四边形ABCD 的面积是:S △OCD ﹣S △OAB =12×OC ×CD ―12×OA ×AB =12×5―12×【点评】本题考查了含30度角的直角三角形性质，勾股定理，三角形的面积的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式6-4】如图，已知在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，BD 平分∠ABC ，AB ＝4，BD ＝10，BC ＝8，求四边形ABCD 的面积．【分析】过点D 作DE ⊥BA 的延长线于点E ，利用勾股定理和角平分线的性质可得出DE ＝DC ＝6，再利用三角形的面积公式结合S 四边形ABCD ＝S △ABD +S △BCD 可求出四边形ABCD 的面积．【解答】解：过点D 作DE ⊥BA 的延长线于点E ，如图所示．∵∠BCD＝90°，BD＝10，BC＝8，∴BD=6，∵BD平分∠ABC，∴DE＝DC＝6，∴S四边形ABCD ＝S△ABD+S△BCD，=12AB•DE+12BC•CD，=12×4×6+12×8×6，＝36．【点评】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出DE＝8是解题的关键．【例题7】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2+CD2＝2AB2．（1）求证：AB＝BC；（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE+CD．【分析】（1）根据勾股定理AB2+BC2＝AC2，得出AB2+BC2＝2AB2，进而得出AB＝BC；（2）首先证明CDEF是矩形，再根据△BAE≌△CBF，得出AE＝BF，进而证明结论．【解答】证明：（1）连接AC．∵∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2．∵CD⊥AD，∴AD2+CD2＝AC2．∵AD2+CD2＝2AB2，∴AB2+BC2＝2AB2，∴BC2＝AB2，∵AB＞0，BC＞0，∴AB＝BC．（2）过C作CF⊥BE于F．∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，∴∠FED＝∠CFE＝∠D＝90°，∴四边形CDEF是矩形．∴CD＝EF．∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴在△BAE与△CBF中∴∠AEB=∠BFC ∠BAE=∠CBF AB=BC，∴△BAE≌△CBF．（AAS）∴AE＝BF．∴BE＝BF+EF＝AE+CD．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及三角形的全等证明，根据已知得出四边形CDEF是矩形以及△BAE≌△CBF是解决问题的关键．【变式7-1】已知AD是△ABC的中线，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，试说明AC2＝AE2﹣BE2．【分析】根据直角三角形的性质和勾股定理可得AE2﹣BE2＝（AD2﹣DE2）﹣（BD2﹣DE2）＝AD2﹣BD2＝AD2﹣CD2＝AC2，从而证明结论．【解答】证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD．∵∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴AE2﹣BE2＝（AD2﹣DE2）﹣（BD2﹣DE2）＝AD2﹣BD2＝AD2﹣CD2＝AC2．故AC2＝AE2﹣BE2．【点评】考查了直角三角形的性质和勾股定理，注意线段相互间的转化．【变式7-2】已知，如图，△ABC中，AB＞AC，AD为BC边上的高，M是AD边上任意一点．求证：AB2﹣AC2＝MB2﹣MC2．。
勾股定理经典题型
勾股定理已知两边求第三边例1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为_____________．例2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．例3．在一个直角三角形中，若斜边长为5cm，直角边的长为3cm，则另一条直角边的长为 .例4． 一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？利用列方程求线段的长例5． 把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好．例6． 如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C 点与A 点重合，则EB 的长是 ．例7． 如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收 购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？例8． 如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站（D 点）的距离为500米，现要在公路上 建一个小商店（C 点），使之与该校A 及车站D 的距离 相等，求商店与车站之间的距离．综合其它考点的应用 例9． 如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm例10． 在直角ΔABC 中，斜边长为2，周长为2+6，求ΔABC 的面积．FED C B AA D EB CA B例11． 已知：如图，△ABC 中，AB ＞AC ，AD 是BC 边上的高．求证：AB 2-AC 2=BC(BD-DC)．例12． 如图∠B=90º，AB ＝16cm ，BC ＝12cm ，AD ＝21cm,CD=29cm求四边形ABCD 的面积．例13． 小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先将旗杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5你能帮它计算一下旗杆的高度．判别一个三角形是否是直角三角形例14． 在△ABC 中，2:1:1::=c b a ，那么△ABC 是 。
勾股定理题型(很全面)
典型例题:一、利用勾股定理解决实际问题例题:水中芦苇梯子滑动1、有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高4.5米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身高1.5米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开?2、如图,公路MN和公路PQ在P点处交汇,点A处有一所中学,AP=160米,点A 到公路MN 的距离为80米,假使拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少?3、如图,南北向MN为我国领海线,即MN以西为我国领海,以东为公海,上午9时50分,我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以每小时6.4海里的速度偷偷向我领海开来,便立即通知正在MN在线巡逻的我国反走私艇B密切注意,反走私A艇通知反走私艇B时,A和C两艇的距离是20海里,A、B两艇的距离是12海里,反走私艇B测得距离C是16海里,若走私艇C的速度不变,最早会在什么时间进入我国领海?二、与勾股定理有关的图形问题1.已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推,第n个等腰直角三角形的斜边长是.2.如图,直线l经过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线l的距离分别是1、2,则正方形的边长是____ _____.3.在直线上依次摆着七个正方形(如图),已知斜放置的三个正方形的面积分别为1,2,3,正放置的四个正方形的面积是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4=______ ___.4.如图,△ABC中,∠C=90°,(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图①),探究S1+S2与S3的关系;(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②),探究S1+S2与S3的关系;(3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③),探究S1+S2与S3的关系.图①图②图③5.如图,设四边形ABCD是边长为1的正方形,以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去…,记正方形ABCD的边长a1=1,依上述方法所作的正方形的边长依次为a1,a2,a3,…,an,根据上述规律,则第n个正方形的边长an=___ _____记正方形AB-CD的面积S1为1,按上述方法所作的正方形的面积依次为S2,S3,……,S n(n为正整数),那么S n=____ ____.6、如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,AB=4,分别以AC、BC为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为.ABCDEFG1FE DAB CA B C D EG F F 三、关于翻折问题1、如图,折叠矩形纸片ABCD ,先折出折痕(对角线)BD ,再折叠,使AD 落在对角线BD 上,得折痕DG ,若AB = 2,BC = 1,求AG.2、如图,把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠,点B 落在点E 处,EC 与AD 相交于点F. (1)求证:△FAC 是等腰三角形;(2)若AB=4,BC=6,求△FAC 的周长和面积.3、如图,将矩形ABCD 沿直线AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上F 点处,已知cm CE 6=,cm AB 16=,求BF 的长.4、如图,一张矩形纸片ABCD 的长AD=9㎝,宽AB=3㎝。
勾股定理知识点+类型+题型有答案版
勾股定理知识点知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。
（3）勾股定理的一些变式：c2=a2+b2, a2=c2-b2， b2=c2-a2， c2=(a+b)2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。
图（1）中，所以。
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。
图（2）中，所以。
方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。
在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。
，所以。
知识点三：勾股定理的作用1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；3．用于证明平方关系的问题；4．利用勾股定理，作出长为的线段。
知识点四：勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。
熟悉下列勾股数，对解题有很大帮助：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．②如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。
勾股定理考查类型类型一：勾股定理的直接用法在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6， c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
完整版)勾股定理知识点与常见题型总结
完整版)勾股定理知识点与常见题型总结勾股定理复勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角三角形的两直角边，c为斜边。
勾股定理的证明常用拼图的方法。
通过割补拼接图形后，根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
常见的证明方法有以下三种：1.通过正方形的面积证明，即4ab + (b-a)^2 = c^2，化简可证。
2.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积，即4ab + c^2 = 2ab + c^2，化简得证。
3.通过梯形的面积证明，即(a+b)×(a+b)/2 = 2ab + c^2，化简得证。
勾股定理适用于直角三角形，因此在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。
勾股定理可用于解决直角三角形中的边长计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题。
在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算。
同时，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解。
勾股定理的逆定理是：如果三角形三边长a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
a^2+b^2=c^2$是勾股定理的基本公式。
如果三角形ABC 不是直角三角形，我们可以类比勾股定理，猜想$a+b$与$c$的关系，并对其进行证明。
勾股定理的实际应用有很多。
例如，在图中，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B 到地面的距离为7m。
现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m。
同时梯子的顶端B下降至B′。
那么BB′的长度是小于1m的（选项A）。
又如，在图中，一根24cm的筷子置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中。
设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7cm ≤ h ≤ 16cm（选项D）。
勾股定理常见题型总结
典型题型题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中,90C ∠=︒．⑴已知6AC =,8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB =⑵8BC =题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,5AB =cm ,3BC =cm ,CD AB ⊥于D ,CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴4AC , 2.4AC BC CD AB⋅== DB A C⑵设两直角边的长分别为3k ,4k ∴222(3)(4)15k k +=,3k ∴=,54S =⑶设两直角边分别为a ,b ,则17a b +=,22289a b +=,可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例３.如图ABC ∆中,90C ∠=︒,12∠=∠, 1.5CD =, 2.5BD =,求AC 的长21E DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E,12∠=∠,90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆AC AE ∴=在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+,222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆,90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树,一棵高8cm ,另一棵高2cm ,两树相距8cm ,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了 mAB C D E分析：根据题意建立数学模型,如图8AB =m ,2CD =m ,8BC =m ,过点D 作DE AB ⊥,垂足为E ,则6AE =m ,8DE =m在Rt ADE ∆中,由勾股定理得10AD答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ,b ,c ,判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =,2b =, 2.5c = ②54a =,1b =,23c =解：①22221.52 6.25a b +=+=,222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=,22516a =,222b c a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ,b ,c 满足10a b +=,18ab =,8c =的三角形是什么形状解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-=,且264c = 222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用 例8.已知ABC ∆中,13AB =cm ,10BC =cm ,BC 边上的中线12AD =cm ,求证：AB AC =证明：D CB AAD 为中线,5BD DC ∴==cm在ABD ∆中,22169AD BD +=,2169AB =222AD BD AB ∴+=, 90ADB ∴∠=︒,222169AC AD DC ∴=+=,13AC =cm ,AB AC ∴=。
勾股定理题型大全
1.已知等腰三角形的周长为24，腰长为x ，则x 的取值范围是 ································ （ ）． A ）x ＞12 （B ）x ＜6 （C ）6＜x ＜12 （D ）0＜x ＜122.如图，等边三角形ABC 中，AD 是BC 上的高，取AC 的中点E ， 连结DE ，则图中与DE 相等的线段有 ····························· （ ）． （A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条3.如图：∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF 等于（ ）。
A 、90° B 、 75° C 、70° D 、60°4.．如图所示，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，那么水泵站应修在河边什么地方，可使所用水管最短？画图并说明理由。
5、（10分）①如图：A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的 同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站， 将河水送到A 、B 两地，问该站建在河边什么地方，•②如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M ，N 表示大学，AO ，BO 表示公路）.现计划修建 一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到 两条公路的距离也相等。
勾股定理解题的十种常见类型习题
05 利用勾股定理求折叠中线段长
利用勾股定理求折叠中线段长·木子老师
06 利用勾股定理求动点中线段长
利用勾股定理求动点中线段长·木子老师
07 利用勾股定理求实际中的距离
利用勾股定理求实际中的距离·木子老师
08 利用勾股定理解传统数学文化
问题
利用勾股定理解传统数学文化问题·木子老师
09 利用勾股定理求最短距离
利用勾股定理求最短距离·木子老师
10 利用勾股定理求解分类中的最
短距离
利用勾股定理求解分类中的最短距离 ·木子老师
谢谢欣赏Leabharlann 勾股定理解题的十种常见题型
授课老师：木子老师
01 利用勾股定理求线段长
利用勾股定理求线段长·木子老师
02 利用勾股定理说明线段相等
利用勾股定理说明线段相等·木子老师
03 利用勾股定理说明线段之间的
平方关系
利用勾股定理说明线段之间的平方关系·木子老师
04 利用勾股定理求四边形中线段
长
利用勾股定理求四边形中线段长·木子老师
勾股定理知识点与题型总结大全
CA BD 勾股定理全章类题总结类型一：等面积法求高【例题】如图，△ABC 中，∠ACB=900,AC=7,BC=24，C D ⊥AB 于D. （1）求AB 的长； （2）求CD 的长.类型二：面积问题【例题】如下左图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。
【练习1】如上右图,每个小方格都是边长为1的正方形， （1)求图中格点四边形ABCD 的面积和周长。
（2）求∠ADC 的度数。
【练习2】如图，四边形ABCD 是正方形，AE ⊥BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是______。
【练习3】如图字母B 所代表的正方形的面积是（ ）A. 12 B 。
13 C 。
144 D 。
194类型三：距离最短问题【例题】 如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧,分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米,且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂,向A 、B 两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ABCD7cmBD EB16925A BCDL【练习1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm ，高ＡＢ为4cm,ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程．【练习2】如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km 北7km 处,他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家。
他要完成这件事情所走的最短路程是多少？类型四：判断三角形的形状【例题】如果ΔABC 的三边分别为a 、b 、c ，且满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，判断ΔABC 的形状.【练习1】已知△ABC 的三边分别为m 2－n 2，2mn ，m 2+n 2（m,n 为正整数，且m ＞n)，判断△ABC 是否为直角三角形。
勾股定理培优---典型题型
典型题型题型一：利用勾股定理解决实际问题例1、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？题型二、与勾股定理有关的图形问题例2．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是____ _____．题型三、关于翻折问题例3、如图，把矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，EC与AD相交于点F.若AB=4，BC=6，求△FAC的周长和面积.例4、如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知=，求BF的长．AB16cmCE6=，cm题型四、关于最短性问题例5、如图1，长方体的长为12cm，宽为6cm，高为5cm，一只蚂蚁沿侧面从A点向B 点爬行，问：爬到B点时，蚂蚁爬过的最短路程是多少？例6、如图壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?题型五、关于勾股定理判定三角形形状例7、已知，△ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC边上的中线AD=15cm，试说明△ABC是等腰三角形。
题型六、关于旋转中的勾股定理的运用：例8、如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△AC P′重合，若AP=3，求PP′的长。
勾股定理及常见题型分类
勾股定理及常见题型分类一、知识要点：1.勾股定理是指直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和。
2.勾股定理的证明方法包括几何证明和代数证明，其中几何证明使用勾股树。
3.勾股定理的逆定理是指若一个三角形的三边满足勾股定理，则该三角形是直角三角形。
4.勾股定理常见题型包括勾股定理的应用、勾股定理的证明和勾股定理的逆定理。
二、典型题题型一：“勾股树”及其拓展类型求面积1.如图所示，正方形A、B、C、D构成了一棵勾股树，求最大正方形E的面积。
2.如图所示，直线l上有三个正方形a、b、c，已知a、c 的边长分别为6和8，求b的面积。
3.如图所示，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，探索三个半圆的面积之间的关系。
4.如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是S1+S2=S3.5.如图所示，依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是4、5、6、7.题型二：勾股定理与图形问题1.如图所示，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是n+1.2.如图所示，求该四边形的面积。
3.如图所示，已知在△ABC中，∠A=45°，AC=2，AB=3+1，则边BC的长为3.4.如图所示，某公司的大门为长方形ABCD，上部为以AD为直径的半圆，已知AB=2.3m，BC=2m，卡车高2.5m，宽1.6m，判断卡车是否能通过公司的大门，并说明理由。
5.如图所示，已知AD=8m，CD=6m，∠D=90°，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。
题型三：已知两边求第三边1.在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm、2cm，则斜边长为√5cm。
2.已知直角三角形的两边长为3cm、2cm，则另一条边长的平方是5cm²。
勾股定理的实际应用【十二大题型】(解析版)
勾股定理的实际应用【十二大题型】【题型1求梯子滑落高度】【题型2求旗杆高度】【题型3求小鸟飞行距离】【题型4求大树折断前的高度】【题型5解一元一次不等式组】【题型6解决水杯中筷子问题】【题型7解决航海问题】【题型8求河宽】【题型9求台阶上地毯长度】【题型10判断汽车是否超速】【题型11选址使到两地距离相等】【题型12求最短路径】【题型1求梯子滑落高度】1(2023春·广东惠州·八年级校考期中)某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图(1)，如图(2)，已知云梯最多只能伸长到15m(即AB=CD=15m)，消防车高3m，救人时云梯伸长至最长，在完成从12m(即BE=12m)高的B处救人后，还要从15m(即DE=15m)高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？(延长AC交DE于点O，AO⊥DE，点B在DE上，OE的长即为消防车的高3m)【答案】消防车从原处向着火的楼房靠近的距离AC为3m【分析】在Rt△ABO中，根据勾股定理得到AO和OC，于是得到结论．【详解】解：在Rt△ABO中, ∵∠AOB=90°，AB=15m，OB=12-3=9(m)，∴AO=AB2-OB2=152-92=12(m)，在Rt△ABO中，∵∠COD=90°，CD=15m，OD=15-3=12(m)，∴OC=CD2-OD2=152-122=9(m)，∴AC=OA-OC=3(m)，答：消防车从原处向着火的楼房靠近的距离AC为3m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．1(2023春·山西晋中·八年级统考期中)如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离OC为0.7米，顶端B距墙顶的距离AB为0.6米若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离OF为1.5米，顶端E距墙项D的距离DE为1米，点A、B、C在一条直线上，点D、E、F在一条直线上，AC⊥CF，DF⊥CF．求：(1)墙的高度；(2)竹竿的长度．【答案】(1)墙高3米(2)竹竿的长2.5米【分析】(1)设墙高x米，在RtΔBCO，RtΔEFO根据勾股定理即可表示出竹竿长度的平方，联立即可得到答案；(2)把(1)中的x代入勾股定理即可得到答案．【详解】(1)解：设墙高x米，∵AC⊥CF，DF⊥CF，∴∠BCO=∠EFO=90°，在RtΔBCO，RtΔEFO根据勾股定理可得，BO2=(x-0.6)2+0.72，OE2=(x-1)2+1.52，∵BO=OE，∴(x-1)2+1.52=(x-0.6)2+0.72，解得：x=3，答：墙高3米；(2)由(1得)，BO2=(x-0.6)2+0.72，x=3，∴BO=(3-0.6)2+0.72=2.5答：竹竿的长2.5米．【点睛】本题考查勾股定理实际应用题，解题的关键时根据两种不同状态竹竿长不变列等式及正确计算．2(2023春·浙江宁波·八年级统考期末)如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面A处，另一端在地面B处，墙角记为点C．(1)若AB=6.5米，BC=2.5米．①竹竿的顶端A沿墙下滑1米，那么点B将向外移动多少米？②竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，请求出移动的距离(保留根号)．(2)若AC=BC，则顶端A下滑的距离与底端B外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端A下滑的距离与底端B外移的距离的大小．【答案】(1)①69-52米；②竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等，理由见解析(2)不可能相等，顶端A下滑的距离大于底端B外移的距离．【分析】(1)先根据勾股定理可得AC=6米，①根据题意得：AA =1m，可得到A C=AC-AA =5米，由勾股定理可得B C的长，即可求解；②设从A处沿墙AC下滑的距离为x米，点B也向外移动的距离为x米，根据勾股定理，列出方程，即可求解；(2)设AC=BC=a，从A处沿墙AC下滑的距离为m米，点B向外移动的距离为n米，则AB=A B =2a，根据勾股定理，列出方程，可得m-n=m2+n22a，即可求解．【详解】(1)解：∠C=90°，AB=A B =6.5米，∴AC=AB2-BC2=6米，①根据题意得：AA =1m，∴A C=AC-AA =5米，∴B C=A B 2-A C2=692米，∴BB =B C-BC=692-2.5=69-52米，即点B将向外移动69-52米；②竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等，理由如下：设从A处沿墙AC下滑的距离为x米，点B也向外移动的距离为x米，根据题意得：6-x2+2.5+x2=6.52，解得：x1=3.5,x2=0(舍去)，∴从A处沿墙AC下滑的距离为3.5米时，点B也向外移动的距离为3.5米，即竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等；(2)解：不可能相等，理由如下：设AC =BC =a ，从A 处沿墙AC 下滑的距离为m 米，点B 向外移动的距离为n 米，则AB =A B =2a ，根据题意得：a -m 2+a +n 2=2a 2，整理得：2a m -n =m 2+n 2，即m -n =m 2+n 22a，∵a 、m 、n 都为正数，∴m -n =m 2+n 22a>0，即m >n ．∴顶端A 下滑的距离大于底端B 外移的距离．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．3(2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中)拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松．如图，一直某种拉杆箱箱体长AB =65cm ，拉杆最大伸长距离BC =35cm ，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A 处，点A 到地面的距离AD =3cm ，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm 到A ′处，求拉杆把手C 离地面的距离(假设C 点的位置保持不变)．【答案】拉杆把手C 离地面的距离为63cm【分析】过C 作CE ⊥DN 于E ，延长AA '交CE 于F ，根据勾股定理即可得到方程652-x 2=1002-(55+x )2，求得A 'F 的长，即可利用勾股定理得到CF 的长，进而得出CE 的长．【详解】如图所示，过C 作CE ⊥DN 于E ，延长AA '交CE 于F ，则∠AFC =90°，设A 'F =x ，则AF =55+x ，由题可得，AC =65+35=100，A 'C =65，∵Rt △A 'CF 中，CF 2=652-x 2，Rt △ACF 中，CF 2=1002-(55+x )2，∴652-x 2=1002-(55+x )2，解得x =25，∴A 'F =25，∴CF =A C 2-A F 2=60(cm )，又∵EF =AD =3(cm )，∴CE =60+3=63(cm )，∴拉杆把手C 离地面的距离为63cm ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．【题型2求旗杆高度】1(2023春·山西临汾·八年级统考期末)同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．爱动脑的小华设计了这样一个方案：如图，将升旗的绳子拉直刚好触底，此时测得绳子末端C到旗杆AB的底端B 的距离为1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5米的点E处，此时测得绳子末端E距离地面的高度DE 为1米．请你根据小华的测量方案和测量数据，求出学校旗杆的高度．【答案】12.5米【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理得出AC2=AB2+BC2，AE2=AF2+EF2，根据AC=AE，得出AB2+12=(AB-1)2+52，求出AB的长即可．【详解】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图所示：由题意可知：四边形BDEF是长方形，△ABC和△AEF是直角三角形，∴DE=BF=1，BD=EF=5，BC=1，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理可得：AC2=AB2+BC2，AE2=AF2+EF2，即AC2=AB2+12，AE2=(AB-1)2+52，又∵AC=AE，∴AB2+12=(AB-1)2+52，解得：AB=12.5．答：学校旗杆的高度为12.5米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理列出关于AB方程AB2+12=(AB-1)2+52．1(2023春·江西景德镇·八年级统考期中)2021年是中国共产党建党100周年，大街小巷挂满了彩旗．如图是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图(单位：cm)．其中长方形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在地面上．旗杆从旗顶到地面的高度为240cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h．【答案】90cm【分析】首先观察题目，作辅助线构造一个直角三角形，如图，连接DE；已知彩旗为长方形，由题意可知，无风的天气里，彩旗自然下垂时，彩旗最低处到旗杆顶部的长度正好是长方形彩旗完全展开时的对角线的长度，根据勾股定理可求出它的长度；然后用旗杆顶部到地面高度减去这个数值，即可求得答案．【详解】彩旗自然下垂的长度就是长方形DCEF的对角线DE的长度，连接DE，在Rt△DEF中，根据勾股定理，得DE=DF2+EF2=1202+902=150．h=240-150=90(cm)．∴彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为90cm．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，此类题的难点在于正确理解题意，结合实际运用勾股定理．2(2023春·八年级课时练习)太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级(1)班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得BD的长为15米(注：BD⊥CE)；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明身高1.7米．(1)求风筝的高度CE．(2)过点D作DH⊥BC，垂足为H，求BH的长度．【答案】(1)风筝的高度CE为21.7米(2)BH的长度为9米【分析】(1)在Rt△CDB中由勾股定理求得CD的长，再加上DE即可；(2)利用等积法求出DH的长，再在Rt△BHD中由勾股定理即可求得BH的长．【详解】(1)在Rt△CDB中，由勾股定理，得：CD=C2-BD2=252-152=20(米)，所以CE=CD+DE=20+1.7=21.7(米)，答：风筝的高度CE为21.7米．(2)由等积法知：12BD×DC=12BC×DH，解得：DH=15×2025=12(米)．在Rt△BHD中，BH=BD2-DH2=9(米)，答：BH的长度为9米．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，正确运用勾股定理是关键，注意计算准确．3(2023春·山西吕梁·八年级统考期中)如图，一根直立的旗杆高8米，一阵大风吹过，旗杆从点C处折断，顶部(B)着地，离旗杆底部(A)4米，工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25米D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？【答案】6【分析】先根据勾股定理求得AC，进而求得AD，根据勾股定理即可求得范围．【详解】由题意可知AC+BC=8,AB=4，则AC2+AB2=BC2，即AC2+42=(8-AC)2，解得AC=3，若下次大风将旗杆从D处吹断，如图，∴AD=AC-1.25=3-1.25=1.75，∴BD=AB-AD=8-1.75=6.25，AB=BD2-AD2= 6.252-1.752=6．∴则距离旗杆底部周围6米范围内有被砸伤的危险．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．【题型3求小鸟飞行距离】1(2023春·陕西咸阳·八年级统考期中)如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB=20米，A点到地面C点(B、C两点处于同一水平面)的距离AC=25米．若小鸟竖直下降12米到达D点(D点在线段AB上)，求此时小鸟到地面C点的距离．【答案】17米【分析】已知AB和AC的长度，根据勾股定理即可求出BC的长度，小鸟下降12米，则BD=AB-12，根据勾股定理即可求出CD的长度．【详解】解：由勾股定理得；BC2=AC2-AB2=252-202=225，∴BC=15(米)，∵BD=AB-AD=20-12=8(米)，∴在Rt△BCD中，由勾股定理得CD=DB2+BC2=82+152=17，∴此时小鸟到地面C点的距离17米．答；此时小鸟到地面C点的距离为17米．【点睛】本题主要考查了勾股定理得实际应用，熟练地掌握勾股定理的内容是解题的关键．1(2023春·八年级课时练习)有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了( )米．A.3B.4C.5D.6【答案】C【分析】此题可以过低树的一端向高树引垂线．则构造了一个直角三角形：其斜边是小鸟飞的路程，一条直角边是4，另一条直角边是两树相差的高度3．根据勾股定理得：小鸟飞了5米．【详解】解：如图所示，AB=6m，CD=3m，BC=4m，过D作DE⊥AB于E，则DE=BC=4m，BE=CD=3m，AE=AB-BE=6-3=3m，在Rt△ADE中，AD=5m．故选：C．【点睛】能够正确理解题意，准确画出图形，熟练运用勾股定理即可．2(2023春·山东枣庄·八年级统考期中)有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？【答案】它至少需要5.2s才能赶回巢中．【分析】根据题意，构建直角三角形，利用勾股定理解答．【详解】解：如图，由题意知AB=3，CD=14-1=13，BD=24．过A作AE⊥CD于E．则CE=13-3=10，AE=24，∴在Rt△AEC中，AC2=CE2+AE2=102+242．∴AC=26，26÷5=5.2(s)．答：它至少需要5.2s才能赶回巢中．【点睛】本题考查了勾股定理的应用．关键是构造直角三角形，同时注意：时间=路程÷速度．3(2023春·贵州贵阳·八年级校考期中)假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝，按照探宝图，他们从A点登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米？【答案】10千米【分析】通过行走的方向和距离得出对应的线段的长度．根据题意构造直角三角形，利用勾股定理求解．【详解】解：过点B作BD⊥AC于点D．根据题意可知，AD=8-3+1=6，BD=2+6=8，在Rt△ABD中，∴AB=AD2+BD2=62+82=10．答：登陆点A到宝藏处B的距离为10千米．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．读懂题意，根据题意找到需要的等量关系，与勾股定理结合求线段的长度是解题的关键．【题型4求大树折断前的高度】1(2023春·八年级课时练习)如图，在倾斜角为45°(即∠NMP=45°)的山坡MN上有一棵树AB，由于大风，该树从点E处折断，其树顶B恰好落在另一棵树CD的根部C处，已知AE=1m，AC=18m．(1)求这两棵树的水平距离CF；(2)求树AB的高度．【答案】(1)3m(2)6m【分析】(1)根据平行的性质，证得AF=CF，根据勾股定理即可求得．(2)在Rt△CEF中，根据勾股定理即可解得．【详解】(1)由题可知MP∥CF，∠F=90°∴∠ACF=∠NMP=45°，∴AF=CF在Rt△ACF中，CF2+AF2=AC2，∴2CF2=18，∴AF=CF=3(m)．即这两棵树的水平距离为3m．(2)在Rt△CEF中，CE2=CF2+EF2∴CE=32+42=5，∴AB=AE+CE=5+1=6(m)．即树AB的高度为6m．【点睛】此题考查了勾股定理，解题的关键是熟悉勾股定理的实际应用．1(2023春·广东云浮·八年级统考期中)海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为()A.10mB.15mC.18mD.20m【答案】C【分析】如图，勾股定理求出AC的长，利用AC+BC求解即可．【详解】解：如图，由题意，得：BC=5,AB=12，BC⊥AB，∴AC=AB2+BC2=13，∴这棵大树在折断前的高度为13+5=18m；故选C．【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2(2023春·山西阳泉·八年级统考期末)我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离PA的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即P C=10尺，秋千踏板离地的距离P B和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为．【答案】(x+1-5)2+102=x2．【分析】根据勾股定理列方程即可得出结论．【详解】解：由题意知：OP'=x，OC=x+1-5，P'C=10，在Rt△OCP'中，由勾股定理得：(x+1-5)2+102=x2．故答案为：(x+1-5)2+102=x2．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和列方程，读懂题意是解题的关键．3(2023春·广东珠海·八年级校考期中)如图，一根直立的旗杆高8m,因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A4m.(1)求旗杆距地面多高处折断；(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？【答案】(1)旗杆距地面3m处折断；(2)距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险．【分析】(1)由题意可知：AC+BC=8米，根据勾股定理可得：AB2+AC2=BC2，又因为AB=4米，即可求得AC的长；(2)易求D点距地面3-1.25=1.75米，BD=8-1.75=6.25米，再根据勾股定理可以求得AB=6米，所以6米内有危险．【详解】(1)由题意可知：AC+BC=8米，∵∠A=90°，∴AB2+AC2=BC2，又∵AB=4米，∴AC=3米，BC=5米，∴旗杆距地面3m处折断；(2)如图，∵D点距地面AD=3-1.25=1.75米，∴BD=8-1.75=6.25米，∴AB=BD2-AD2=6米，∴距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．【题型5判断是否受台风影响】1(2023春·湖北武汉·八年级统考期中)如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，公路PQ 上A处距离O点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为秒．【答案】9【分析】过点A作AC⊥MN，求出最短距离AC的长度，然后在MN上取点B，D，使得AB=AD=150米，根据勾股定理得出BC，CD的长度，即可求出BD的长度，然后计算出时间即可．【详解】解：过点A作AC⊥MN，∵∠QON=30°，OA=240米，OA=120米，∴AC=12在MN上取点B，D，使得AB=AD=150米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，∵AB=150米，AC=120米，∴由勾股定理得：BC=AB2-AC2=1502-1202=90米，CD=AD2-AC2=1502-1202=90米，即BD=180米，∵72千米/小时=20米/秒，∴影响时间应是：180÷20=9秒．故答案为：9．【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于准确找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度．1(2023春·陕西西安·八年级统考期中)为了鼓励大家积极接种新冠疫苗，某区镇政府采用了移动宣讲的形式进行广播宣传．如图，笔直的公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄到公路MN的距离为300m，宣讲车P周围500m以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿MN方向行驶．(1)村庄能否听到广播宣传？请说明理由．(2)已知宣讲车的速度是50m/min，如果村庄能听到广播宣传，那么总共能听多长时间？【答案】(1)能，理由见解析(2)16【分析】(1)根据村庄A到公路MN的距离为300米<500米，即可得出村庄能听到广播宣传．(2)根据勾股定理得到BP=BQ=5002-3002=400(米)，求得PQ=800米，即可得出结果．【详解】(1)村庄能听到广播宣传，理由如下：∵村庄A到公路MN的距离为300米<500米，∴村庄能听到广播宣传．(2)如图：假设当宣传车行驶到P点开始能听到广播，行驶到Q点不能听到广播，则AP=AQ=500米，AB=300米，由勾股定理得：BP=BQ=5002-3002=400(米)，∴PQ=800米，∴能听到广播的时间为：800÷50=16(分钟)，∴村庄总共能听到16分钟的宣传．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，结合生活实际，便于更好地理解题意是解题的关键．2(2023春·山东青岛·八年级校考期末)如图所示，在甲村至乙村的公路AB旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB 是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．【答案】公路AB有危险需要封锁，需要封锁的路段长度为140米【分析】过C作CD⊥AB于D,利用勾股定理算出AB的长度，然后利用三角形的面积公式可求出CD的长，用CD的长和250比较大小即可判断是否需要封锁，最后根据勾股定理求出封锁的长度．【详解】解：公路AB需要暂时封锁，理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D，因为BC=400米，AC=300米，∠ACB=90°，所以根据勾股定理有AB=500米，因为S△ABC=12AB⋅CD=12BC⋅AC，所以CD=BC⋅ACAB=400×300500=240(米)，由于240米<250米,故有危险，封锁长度为：2×2502-2402=140米，因此AB段公路需要暂时封锁，封锁长度为140米．【点睛】本题考查了正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．3(2023春·广东广州·八年级校考期中)如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B 处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？(2)若A城受到这次台风影响，则A城遭受这次台风影响有多长时间？【答案】(1)要，理由见解析(2)6h【分析】(1)由A点向BF作垂线，垂足为C，根据勾股定理求得AC的长，与200km比较即可得结论；(2)BF上分别取D、G，则△ADG是等腰三角形，由AC⊥BF，则C是DG的中点，在Rt△ADC中，解出CD的长，则可求DG长，在GD长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．【详解】(1)解：由A点向BF作垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320km，则AC=160km，因为160<200，所以A城要受台风影响；(2)设BF上点D，DA=200km，则还有一点G，有AG=200km．∵DA=AG，∴△ADG是等腰三角形，∵AC⊥BF，∴AC是DG的垂直平分线，CD=GC，在Rt△ADC中，DA=200km，AC=160km，由勾股定理得，CD=DA2-AC2=2002-1602=120km，则DG=2DC=240km，遭受台风影响的时间是：t=240÷40=6(h)．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及点到直线的距离，构造出直角三角形是解题关键．【题型6解决水杯中筷子问题】1(2023春·河北唐山·八年级统考期中)如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16cm的直吸管露在罐外部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是()A.4<a<5B.3≤a≤4C.2≤a≤3D.1≤a≤2【答案】B【分析】如图，当吸管底部在D点时吸管在罐内部分最短，当吸管底部在B点时吸管在罐内部分最长，此时利用勾股定理在Rt△ADB中求出AB即可．【详解】解：如图，当吸管底部在底面圆心时吸管在罐内部分最短，此时吸管的的长度就是圆柱形的高，即12，∴a=16-12=4，当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分最长，吸管长度=AD2+BD2=122+52=13，∴此时a=16-13=3，所以3≤a≤4．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理的应用，善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键．1(2023春·重庆渝中·八年级重庆市求精中学校校考期中)一根竹竿插到水池中离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，若把竹竿的顶端拉向岸边，则竿顶刚好接触到岸边，并且和水面一样高，问水池的深度为()A.2mB.2.5cmC.2.25mD.3m【答案】A【分析】设水池的深度BC=xm，则AB=(0.5+x)m，根据勾股定理列出方程，进而即可求解．【详解】解：在直角△ABC中，AC=1.5m．AB-BC=0.5m．设水池的深度BC=xm，则AB=(0.5+x)m．根据勾股定理得出：∵AC2+BC2=AB2，∴1.52+x2=(x+0.5)2，解得：x=2．故选：A．【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，根据勾股定理，列出方程，是解题的关键．2(2023春·山东青岛·八年级校考期中)有一个边长为10米的正方形水池，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1米．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问：这个水池水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？【答案】水池水深12米，芦苇长13米【分析】根据题意，构造直角三角形，根据勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：如图：设芦苇BC长为x米，则水深AB为(x-1)米．∵芦苇长在水池中央，×10=5(米)∴AC=12根据勾股定理得：AC2+AB2=BC2，则：52+(x-1)2=x2，解得：x=13，∴x-1=13-1=12，答：水池水深12米，芦苇长13米．【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理的内容，勾股题意构造直角三角形，，根据勾股定理列出方程求解是解题的关键．3(2023春·河南漯河·八年级统考期中)如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面30cm．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为60cm，则水深是cm．【答案】45【分析】设水深h厘米，则AB=h，AC=h+30，BC=60，利用勾股定理计算即可．【详解】红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．设水深h厘米，由题意得：Rt△ABC中，AB=h，AC=h+30，BC=60，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2，即h+302=h2+602，解得h=45．故答案为：45．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确审题，明确直角三角形各边的长是解题的关键．【题型7解决航海问题】1(2023春·重庆巴南·八年级统考期末)在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西54°方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西36°方向上，与C的距离是600海里．(1)求点A与点B之间的距离；(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？(信号传播的时间忽略不计)．【答案】(1)AB=1000海里(2)最多能收到14次信号【分析】(1)由题意易得∠ACB是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离；(2)过点C作CH⊥AB交AB于点H，在AB上取点M，N，使得CN=CM=500海里，分别求得NH、MH的长，可求得此时轮船过MN时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数；【详解】(1)由题意，得：∠NCA=54°，∠SCB=36°；∴∠ACB=90°；∵AC=800，BC=600；∴AB=AC2+BC2=1000海里；(2)过点C作CH⊥AB交AB于点H，在AB上取点M，N，使得CN=CM=500海里．∵CH⊥AB；∴∠CHB =90°；∵S △ABC =12AC ⋅BC =12AB ⋅CH ；∴CH =480；∵CN =CM =500；∴NH =MH =CM 2-CH 2=140；则信号次数为140×2÷20=14(次)．答：最多能收到14次信号．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的判定等知识，涉及路程、速度、时间的关系，熟练掌握勾股定理是关键．1(2023春·河南信阳·八年级统考期末)如图，已知港口A 东偏南10°方向有一处小岛B ，一艘货轮从港口A 沿南偏东40°航线出发，行驶80海里到达C 处，此时观测小岛B 在北偏东60°方向．(1)求此时货轮到小岛B 的距离．(2)在小岛周围36海里范围内是暗礁区，此时轮船向正东方向航行有没有触礁危险？请作出判断并说明理由．【答案】(1)此时货轮到小岛B 的距离为80海里；(2)轮船向正东方向航行没有触礁危险．【分析】(1)先根据题意求出∠BAC =40°、∠ACB =100°，据此得∠ABC =∠ACB =40°，从而得出AC =BC =40海里；(2)作BD ⊥CD 于点D ，由∠BCD =30°、BC =70知BD =12BC =35，从而做出判断．【详解】解：(1)由题意知∠BAC =90°-10°-40°=40°，∠ACB =40°+60°=100°，∴∠ABC =180°-∠BAC -∠ACB =40°，∴∠ABC =∠BAC ，∴BC =AC =80海里，即此时货轮到小岛B 的距离为80海里；(2)如图，作BD ⊥CD 于点D ，在Rt △BCD 中，∵∠BCD =30°、BC =80，∴BD =12BC =40，∵40>36，。
有关勾股定理常见题型
有关勾股定理常见题型（一） 边的计算1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a =6，b =8，则c = ．解：因为222a b c +=，所以c=10。
评论：直接由勾股定理所以得2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则斜边上的高CD 的长为（ ）A ．125BC ．52D ．解：由勾股定理知：AB=5，又因为S △ABC =21A C ×BC=21A B ×CD 即：21×3×4=21×5×CD,所以CD=125评论：通过勾股定理求出斜边，再利用面桥关系求出斜边上的高。
3、若一直角三角形两边的长为12和5，则第三边的长为（ ）A ．13B ．13C ．13或15D ．15解：当12当12对应的边是直角边时，则第三边为斜边，由222a b c +=得第三边的长为13评论：勾股定理结合分类讨论思想，学生要注意这类试题的多解性。
4．Rt △一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt △的周长为（ ）A 、121B 、120C 、132D 、不能确定解：设该Rt △的三边分别为a 、b 、c ，a 、b 为直角边，c 为斜边由勾股定理知：222a b c +=，即：112＋b 2 = c 2所以（b+c ）（c －b ）=121因为b 、c 都为自然数，所以b+c ，c －b ，都为正自然数。
又因为121只有1、11、121这三个正整数因式，所以b+c=121，c －b=1。
所以b=60，c=61评论，本题以直角三角形为载体，同过勾股定理将初中几何知识和代数知识很好地串联起来考察学生的能力。
（二） 直角三角形的判定5、 在△ABC 中中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，给出如下的命题：①若∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，则△ABC 为直角三角形；②若∠A ＝∠C 一∠B ，则△ABC为直角三角形；③若45c a =，35b a =，则△ABC 为直角三角形；④若a ：b ：c ＝5：3：4，则△ABC 为直角三角形；⑤若（a ＋c ）（a －c ）＝b 2，则△ABC 为直角三角形；⑥若(a＋c)2＝2ac ＋b 2，则△ABC 为直角三角形；⑦若ＡＢ＝12,ＡＣ＝9,B Ｃ＝15, 则△ABC 为直D ˊ B D A ˊ B ˊ C ˊ角三角形。
勾股定理知识点归纳和题型归类
勾股定理知识点归纳和题型归类勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可以表示为a²+b²=c²。
证明勾股定理的方法有很多种，其中常见的是拼图法。
拼图法的思路是通过割补拼接图形，使得面积不变，然后根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
常用的拼图法有4S、四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积以及梯形面积等方法。
勾股定理只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。
因此，在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。
勾股定理可以应用于求解直角三角形的任意两边长，求解另一边的长度，或者求解已知一边长，推导出另外两边之间的数量关系。
此外，勾股定理还可以用于解决一些实际问题。
勾股定理的逆定理是指如果三角形三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法。
在运用逆定理时，可以用两小边的平方和a²+b²与较长边的平方c²作比较，若它们相等，则以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若a²+b²c²，则以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形。
2.定理中的$a,b,c$及$a^2+b^2=c^2$只是一种表现形式，不可认为是唯一的。
例如，若三角形三边长$a,b,c$满足$a^2+c^2=b^2$，那么以$a,b,c$为三边的三角形是直角三角形，但$b$为斜边。
3.勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：“当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。
”6.勾股数是能够构成直角三角形的三边长的三个正整数，即$a^2+b^2=c^2$中，$a,b,c$为正整数时，称$a,b,c$为一组勾股数。
记住常见的勾股数可以提高解题速度，例如$3,4,5$；$6,8,10$；$5,12,13$；$7,24,25$等。
初中数学勾股定理典型例题解析
勾股定理典型例题归类总结题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长跟踪练习：1.在ABC ∆中，90C ∠=︒.（1）若a=5,b=12,则c= ;（2）若a:b=3:4,c=15,则a= ,b= .（3）若∠A=30°，BC=2,则AB= ，AC= .2. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 分别对的边为a ，b ，c ，则下列结论正确的是( )A 、B 、C 、D 、3.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为( )A 、2、4、6B 、4、6、8C 、6、8、10D 、3、4、54.等腰直角三角形的直角边为2，则斜边的长为（ ）A 、B 、C 、1D 、25.已知等边三角形的边长为2cm ，则等边三角形的面积为（ ）A 、B 、C 、1D 、6.已知直角三角形的两边为2和3，则第三边的长为___________.7.如图，∠ACB=∠ABD=90°，AC=2，BC=1，，则BD=___________.8.已知△ABC 中，AB=AC=10，BD 是AC 边上的高线，CD=2，那么BD 等于（ ）A 、4B 、6C 、8D 、9.已知Rt △ABC 的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积。
10. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广.(1)如图，以Rt △ABC 的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积1S 、2S 、3S 之间有何关系？并说明理由。
（2）如图，以Rt △ABC 的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积1S 、2S 、3S 之间有何关系？（3）如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180°，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。
勾股定理常考基本题型
DCBA 勾股定理汇总习题一、选择题（每小题3分，共30分）1.直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ). （A ）30 （B ）28 （C ）56 （D ）不能确定2. 直角三角形的斜边比一直角边长 2 cm ，另一直角边长为 6 cm ，则它的斜边长（A ）4 cm （B ）8 cm（C ）10 cm （D ）12 cm3. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）（A ）25 （B ）14 （C ）7 （D ）7或254.等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( )（A ）13 （B ）8 （C ）25 （D ）645.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)6.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) （A ）钝角三角形（B ）锐角三角形（C ）直角三角形（D ）等腰三角形.7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是( )（A ）25（B ）12.5（C ）9（D ）8.58.三角形的三边长为ab cb a 2)(22,则这个三角形是( )（A ）等边三角形（B ）钝角三角形（C ）直角三角形（D ）锐角三角形.9.△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a 元计算，那么共需要资金（）. （A ）50a 元（B ）600a 元（C ）1200a 元（D ）1500a 元10.如图，A B ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC的长为（）. （A ）12 （B ）7 （C ）5（D ）135米3米（第10题）（第11题）（第14题）EABCD二、填空题（每小题3分，24分）11.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米. 12.在直角三角形ABC 中，斜边AB =2，则222ABACBC =______.13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为.14.如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积是____________.（第15题）（第16题）（第17题）15.如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米. 16. 如图，△ABC 中，∠C=90°，AB 垂直平分线交BC 于D若BC=8，AD=5，则AC 等于______________. 17.如图，四边形ABCD 是正方形，AE 垂直于BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是______.18.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2. 三、解答题19. 如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.ABDCE ABCD第18题图7cm25.（14分）△ABC 中，BCa ，ACb ，ABc ，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定理，则222c ba，若△ABC 不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想22b a 与2c 的关系，并证明你的结论.参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1.（D ）；2.（C ）；3.（D ）；4.（B ）；5.（C ）；6.（C ）；7.（B ）；8.（C ）；9.（B ）；10.（D ）；二、填空题（每小题3分，24分）11.7；12.8；13.24；14.258；15. 13；16.4；17.19；18.49；。
勾股定理常考题型
《勾股定理》培优训练1、（1）如图1，AD是△ABC边BC上的高．①求证：AB2-AC2=BD2-CD2；②已知AB=8，AC=6，M是AD上的任意一点，求BM2-CM2的值；（2）如图2，P是矩形ABCD的一点，若P A=3，PB=4，PC=5，求PD的值．2、如图，AD⊥AB，BC⊥AB，且AD=2，BC=3，AB=12，P是线段AB上的一个动点，连接PD，PC（1）设AP=x，用二次根式表示线段PD，PC的长；（2）设y=PD+PC，求当点P在线段AB上运动时，y的最小值；（3）利用（2）的结论，试求代数式29x+2(24)16x的最小值．CDA3、如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC折叠，点D落在D'处．（1）AD′的长度是；（2）求证：AF+D'F=CD；（3）求△AFC的面积是多少？4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，M为AC上一点且AM=BC，过A 点作射线AN⊥CA，A为垂足，若一动点P从A出发，沿AN运动，P点运动的速度为2cm/秒．（1）经过几秒△ABC与△PMA全等；（2）在（1）的条件下，AB与PM有何位置关系，并加以说明．（3）在（1）的条件下，设PM与AB的交点为D，若AD的长为4.8cm，求AB的长．5、a，b，c为三角形ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判别这个三角形的形状．6、已知：如图以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=3，则阴影部分的面积为。
7、如图所示，以Rt△ABC三边向外作三个半圆，则S1、S2、S3之间的关系是8、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，则S1、S2、S3之间的关系9、已知，如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，AE是高，AB＞AC；（1）若AB=12，BC=10，AC=8，求DE（2）求证：AB2-AC2=2BC×DE10、勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国估算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载。
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1２、如图,在直角三角形中,∠ACＢ=9０°,BC=15,AＣ=２0,CD就是斜边AB上得高,则AD—ＢD=。
13、已知正方形ABCD得边长为３,正方形EFGH内接于ABCD,AE=a,AF=b,(a〈ｂ)
且SEFＧH＝5 则ｂ-a=、
规律与小结:
专题二:知识点2勾股定理与折叠,轴对称,动点
典型例题:
17。如图,在Rｔ△ＡBC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,将△ABC折叠,使点Ｂ恰好落在边AＣ上与点Ｂ′重合,AE为折痕,则ＥB=_＿＿_____、
18、矩形ＡBCＤ中,AD=4cｍ ,AＢ=10cm ,按如图方式折叠,使点B与点D重合,折痕为ＥF,
Ａ.２5 B、３１ C.３2 D。40
6.如图,已知在中,,,分别以,为直径作半圆,面积分别记为,,则得值等于＿＿＿___＿_
7。如图,已知直角△ABC得两直角边分别为6,８,分别以其三边为直径作半圆,则图中阴影部分得面积就是___＿_＿__.
8.如图所示为一种“羊头”形图案,其作法就是:从正方形①开始,以它得一边为斜边,向外作等腰直角三角形,然后再以其直角边为边,分别向外作正方形②与②,…,依此类推,若正方形①得面积为64,则正方形⑤得面积为( )
专题一:勾股定理与面积
知识点精讲:
类型一 “勾股树"及其拓展类型求面积
典型例题:
1、如图(16),大正方形得面积可以表示为,又可以表示为,由此可得等量关系_____＿＿__＿＿_＿_＿__＿_＿_＿,整理后可得:_______＿___.
2.图中字母所代表得正方形得面积为144得选项为( )
3.“赵爽弦图”就是四个全等得直角三角形与中间一个正方形拼成得大正方形。如图,每一个直角三角形得两条直角边得长分别就是3与6,则大正方形与小正方形得面积差就是( )
则DE=＿＿__＿__＿.
19.如图,长方形纸片ABＣD沿对角线ＡC折叠,设点Ｄ落在D′处,BC交AＤ′于点E,AＢ＝６cm,BC=８cｍ,则阴影部分得面积＝____＿___、
20。如图所示,正方形ABCD得边长为6,△ABＥ就是等边三角形,
点E在正方形AＢCD内,在对角线ＡC上有一点P,
使PD+PE得与最小,则这个最小值为多少？
A.2ﻩB、4C.8Ｄ、16
规律与小结:
做“勾股树”及其拓展类型得题,把握住以两条直角边为边长或直径延展出来得正方形或圆得面积与,等于以斜边为边长或直径延展出来得正方形或圆得面积。
类型二 构造直角三角形求面积或长度
9、如图,在△ＡBC中,AB＝ＡC＝13,ＢC＝10,点Ｄ为ＢC得中点,
ＤＥ⊥ＡB,垂足为点E,则DE得长为( )
15。如图,若∠ＢAＤ＝∠DBC＝9０°,AB=3,AD＝4,BＣ=１2,则ＣD=( )
A。５ﻩB.１３ ﻩC、17D。18
16．如图所示就是一块地,已知AD＝８米,CD=６米,∠Ｄ＝９0°,AB=26米,BC=24米,则这块地得面积就是_＿＿_＿_＿_.
规律与小结:
将不规则图形利用转化思想转化成规则图形来求面积,此过程中通常需要构造直角三角形,也就就是利用勾股定理得逆定理,判断三边能否满足,从而确定就是否为直角三角形。
A.9 B.３6 C。27 D.３4
4。如图所示得大正方形就是由八个全等得直角三角形与一个小正方形拼接而成,记图中正方形ABCＤ、正方形EFGH、正方形ＭＮKT得面积分别为S1、S2、S3.若正方形ＥFGH得边长为2,则Ｓ１＋Ｓ2+S３＝____＿___。
5、如图,所有三角形都就是直角三角形,所有四边形都就是正方形,已知S1＝4,S2＝9,S３＝8,S4＝１０,则S=( )
牢记常见得勾股数——“3,４,5”、“5,１２,1３"、“８,１5,１7”、“7,24,25”,当三条边同时扩大相同得倍数时,仍然满足勾股定理。
类型四 巧妙割补求面积
１4.如图,点E在正方形AＢCD内,满足∠ＡEＢ＝90°,AＥ=６,ＢE＝8,则阴影部分得面积就是( )
A、48B.60 C.７6 D。８0
2.该种题型通常需要设未知数,将含有未知数得量放在一个直角三角形中,应用勾股定理。
A。B、C. Ｄ.
10。等腰三角形得腰长为10,底边长为１２,则这个等腰三角形得面积为、
规律与小结:
1.学会借助现有得直角,构造直角三角形;
2.等腰三角形“三线合一",一定要牢牢把握、
3.求斜边上得高,要学会先求出直角三角形得面积,再求斜边上Байду номын сангаас高。
类型三 结合乘法公式巧求面积或长度
１1.已知Rｔ△ABC中,∠Ｃ=90°,若ａ+ｂ＝7cm,ｃ=5ｃm,则Rt△ABC得面积就是( )
21、如图,∠ＡOB=９0°,OA=9cm,OB＝3cm,一机器人在点B处瞧见一个小球从点A出发沿着AＯ方向匀速滚向点O,机器人立即从点B出发,沿ＢＣ方向匀速前进拦截小球,恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动得速度与机器人行走得速度相等,那么机器人行走得路程BＣ就是多少？
规律与小结:
1.折叠与对称题型一定要注意折叠之后得边就是对应相等得、