第6章B--数据结构课件(吴伟民-严蔚敏编著)

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4. 二叉树的存储结构
一,顺序存储结构 按二叉树的结点" 按二叉树的结点 " 自上而 B 从左至右" 编号, 下 , 从左至右 " 编号 , 用 一组连续的存储单元存储. 一组连续的存储单元存储 . D E
H I A
T[0]一 T[0]一 般不用
C F G
问:顺序存储后能否复原成唯一对应的二叉树形状? 顺序存储后能否复原成唯一对应的二叉树形状? 若是完全/满二叉树则可以做到唯一复原. 答:若是完全/满二叉树则可以做到唯一复原. 而且有规律:下标值为i的双亲, 而且有规律:下标值为i的双亲,其左孩子的下标值必为 性质5 2i,其右孩子的下标值必为2i 2i+ 2i,其右孩子的下标值必为2i+1(即性质5) 例如,对应[2]的两个孩子必为[4] [5],即 [2]的两个孩子必为[4]和 例如,对应[2]的两个孩子必为[4]和[5],即B的左孩子必 是D,右孩子必为E. D,右孩子必为E 右孩子必为
性质5: 对完全二叉树,若从上至下,从左至右编号, 性质5: 对完全二叉树,若从上至下,从左至右编号,
则编号为i 的结点,其左孩子编号必为2i, 则编号为 的结点,其左孩子编号必为 ,其右孩子编号 时为根,除外). 为2i+1;其双亲的编号必为 (i=1 时为根,除外). ;其双亲的编号必为i/2(
1. 2. 3.
二叉树的定义 二叉树的性质 二叉树的存储结构 二叉树的运算见下一节) (二叉树的运算见下一节)
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2. 二叉树的性质
(3+2)
性质1: 在二叉树的第i层上至多有2 个结点(i>0). 性质1: 在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点(i>0). 性质2: 深度为k的二叉树至多有2 个结点(k>0). 性质2: 深度为k的二叉树至多有2k-1个结点(k>0). 性质3: 对于任何一棵二叉树, 度的结点数有n 性质3: 对于任何一棵二叉树,若2度的结点数有n2个, 则叶子数( 必定为n 则叶子数(n0)必定为n2+1 (即n0=n2+1) )
√
D) 度 D )2 k
√ 个结点. 个结点.
√
D ) 2 9 -1
3
对于两种特殊形式的二叉树(满二叉树和完全二叉树), 对于两种特殊形式的二叉树(满二叉树和完全二叉树), 还特别具备以下2个性质: 还特别具备以下2个性质:
性质4: 具有n个结点的完全二叉树的深度必为log2n+1 性质4: 具有n个结点的完全二叉树的深度必为
证明:根据性质2 深度为k的二叉树最多只有2 个结点, 证明:根据性质2,深度为k的二叉树最多只有2k-1个结点,且完全二叉树的定 义是与同深度的满二叉树前面编号相同,即它的总结点数n位于k层和k 义是与同深度的满二叉树前面编号相同,即它的总结点数n位于k层和k-1层满 二叉树容量之间, <n≤2 二叉树容量之间,即 2k-1-1<n≤2k-1 或2k-1≤n<2k 三边同时取对数,于是有: 因为k是整数,所以k= log2 三边同时取对数,于是有:k-1≤log2n<k 因为k是整数,所以k= log2n +1
注:"先,中,后"的意思是指访问的结点D是先于子树 的意思是指访问的结点 是先于子树 出现还是后于子树出现. 出现还是后于子树出现.
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例1: :
A B D E C 先序遍历的结果是: 先序遍历的结果是 : A B D E C 中序遍历的结果是: 中序遍历的结果是 : D B E A C 后序遍历的结果是: 后序遍历的结果是 : D E B C A
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遍历的算法实现:用递归形式格外简单! 遍历的算法实现:用递归形式格外简单!
回忆1 二叉树结点的数据类型定义: 回忆1:二叉树结点的数据类型定义: typedef struct node *tree_pointer; typedef struct node { int data; tree_pointer left_child, right_child; } node; 回忆2: 章自测卷4.2题 回忆 :第1章自测卷 题: 章自测卷 则三种遍历算法可写出: 则三种遍历算法可写出: long int fact(n) //求n! 求 int n; { long f; if(n>1)f=n*fact(n-1); else f=1; return(f); }
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例:
A B C D E
A ^ B^ C^ D ^ ^ E ^
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6.3
遍历二叉树和线索二叉树
一,遍历二叉树(Traversing Binary Tree) 遍历二叉树 )
遍历定义——指按某条搜索路线遍访每个结点且 指按某条搜索路线遍访每个结点且 遍历定义 不重复(又称周游). 不重复(又称周游). 遍历用途——它是树结构插入,删除,修改, 遍历用途——它是树结构插入,删除,修改,查 它是树结构插入 找和排序运算的前提, 找和排序运算的前提,是二叉树一 切运算的基础和核心. 切运算的基础和核心. 遍历方法——牢记一种约定,对每个结点的查看 牢记一种约定, 遍历方法 牢记一种约定 都是"先左后右" 都是"先左后右" .
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[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]
A B C D E F G H I
讨论:不是完全二叉树怎么办? 讨论:不是完全二叉树怎么办? 答:一律转为完全二叉树! 一律转为完全二叉树!
方法很简单,将各层空缺处统统补上"虚结点" 其内容为空. 方法很简单,将各层空缺处统统补上"虚结点",其内容为空. [1] A A [2] B [3] ^ B [4] C C [5] ^ [6] ^ D [7] ^ E [8] D [9] ^ … . 缺点: 浪费空间; 插入, 缺点:①浪费空间;②插入,删除不便 [16] E
第6章 树和二叉树( Tree & Binary Tree ) 章 树和二叉树(
(今日授课内容是本章及本课程的重点) 今日授课内容是本章及本课程的重点)
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
树的基本概念 二叉树 遍历二叉树和线索二叉树 树和森林 赫夫曼树及其应用
上机内容: 上机内容:
Huffman 编/译码器的设计与实现
第i层上的满 结点数为2 结点数为2i-1
另一法:可先求2度结点数,再由此得到叶子总数. 另一法:可先求2度结点数,再由此得到叶子总数. 层的2 255)个结点肯定都是2 完全二叉) 首先, 层的 首先,k-2层的28-1(255)个结点肯定都是2度的(完全二叉) 另外,末层叶子(刚才已求出为489 所对应的双亲也是度= 489) 另外,末层叶子(刚才已求出为489)所对应的双亲也是度=2, 共有489/2 244个 (共有489/2=244个). 所以,全部2度结点数为255 255( 层 244( 层 499个 所以,全部2度结点数为255(k-2层)+244(k-1层)=499个; 总叶子数=2度结点数+1=500个. 总叶子数= 度结点数+1=500个 500
(实验要求参见严题集P149 ) 实验要求参见严题集P149
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6.2
二叉树
的树? 为何要重点研究每结点最多只有两个 "叉" 的树? 二叉树的结构最简单,规律性最强; 二叉树的结构最简单,规律性最强; 可以证明,所有树都能转为唯一对应的二叉树,不失一般性. 可以证明,所有树都能转为唯一对应的二叉树,不失一般性.
课堂练习: 课堂练习: 中各结点的度的最大值称为树T 1. 树T中各结点的度的最大值称为树T的
A) 高度 A )2 k-1 A )2 9 B) 层次 B) log2k B )2 8 C) 深度 C ) 2 k- 1 C )9
. 个.
2.深度为 的二叉树的结点总数 2.深度为k的二叉树的结点总数,最多为 深度为 的二叉树的结点总数, 深度为9 3. 深度为9的二叉树中至少有
口诀 口诀: DLR—先序遍历,即先根再左再右 先序遍历, 先序遍历 LDR—中序遍历,即先左再根再右 中序遍历, 中序遍历 LRD—后序遍历,即先左再右再根 后序遍历, 后序遍历
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例2:用二叉树表示算术表达式 :
+ * * / A B C D E
先序遍历 +* * /AB C DE 前缀表示 中序遍历 A/B*C *D +E 中缀表示 后序遍历 AB/C *D *E+ 后缀表示 层序遍历 +*E*D /CAB
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二,链式存储结构 用二叉链表即可方便表示. 用二叉链表即可方便表示. 一般从根结点开始存储. 一般从根结点开始存储. 相应地, (相应地,访问树中结点时 也只能从根开始) 也只能从根开始)
left_child
data
right_child
data
注:如果需要倒查某结点的 双亲, 双亲,可以再增加一个双亲 right_child left_child 直接前趋)指针, 域(直接前趋)指针,将二 叉链表变成三叉链表. 叉链表变成三叉链表. 二叉树结点数据类型定义: 二叉树结点数据类型定义: typedef struct node *tree_pointer; typedef struct node { int data; tree_pointer left_child, right_child; } node;
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遍历规则——— 遍历规则
二叉树由根,左子树,右子树构成,定义为 , , 二叉树由根,左子树,右子树构成,定义为D, L,R D, L,R的组合定义了六种可能的遍历方案: 的组合定义了六种可能的遍历方案: , , 的组合定义了六种可能的遍历方案 LDR, LRD, DLR, DRL, RDL, RLD 若限定先左后右,则有三种实现方案: 若限定先左后右,则有三种实现方案: DLR LDR LRD 先 (根)序遍历 根 序遍历 中 (根)序遍历 根 序遍历 后(根)序遍历 根 序遍历