对一道2014浙江省教师说题比赛试题的探究

Ｂ 一』 ９ （ ０ ＜ ＜－ Ｃ 丌 ， 口 ＋ ＜ 詈） ．
１ ． １ 解三 角形视 角 解法 １ （ 两 角和 正切
公 式）
角形）
如图 ２ ， 过 Ｄ作 Ｄ Ｍ 上
ＡＢ 于 Ｍ ，则 在 Ｒ ｔ △ＡＤＭ
中， Ｄ Ｍ
—
— ＡＤｓ ｉ ｎ ￣ 一
，
讨论 （ １ ） 若 Ｃ Ｄ＝１ ， 如图 １ ， 贝 ０ 由题 ， ｔ ａ ｎ （ ａ ＋ ）
解法 ４ （ 面积转换） 由Ｓ ａ Ａ Ｂ Ｄ一 去Ｂ Ｄ・ Ａ Ｃ
一
告 Ａ Ｄ・ Ａ Ｂ・ ｓ ｉ 即可求解， 也可以根据ｓ △ Ａ Ｂ ｃ
Ｓ ＋Ｓ △ Ａ Ｂ Ｄ进行 求解 ．
１ ． ３ 几何 视 角
解法 ５ （ 构 造 相 似 三
—
化了 计 算． 同时为 书写方便， 记 ／Ｄ Ａ Ｃ— ａ ，
一 一
Ｚ Ｊ
—
＋ Ｉ
＿
又
△ Ｃ
图 ２
√５
３
，
ｔ ａｎａ 一
ｏ
１
，
ｃ ｏ ＡＤ Ｂ Ｍ ，所 以 Ｄ Ｍ 一
因 为
Ｚ
Ｂ Ｄ 即可求 解
图ｌ
．
ｃ ｏ ｓ Ｚ一 ，所 以 ｔ ａ 一
‘
本 题也 可 以过 Ｂ作 Ｂ Ｍ ＿ Ｌ Ａ Ｄ 于Ｍ ， 构 造 相
丢 ， 由 ｔ ａ ｎ （ ａ ＋
平常， 其 实 内涵丰 富 ， 大有挖 掘 价值 ， 美不 胜 收． ２ 拓展 探究
解法 ６ （ 向 量 坐标
法）
一
（ １ ， 一 ｚ） ，
Ｃ Ｄ
．
一
（ ３， 一 ｚ） ，
．
： ： ＝
图３
探 究 １ 点 Ｄ 位 置一般 化 分析 ．
３＋ ｌ ｚ 。．
２ ０ １ ５年 第 ２期
中学数 学教 学
１
对 一道 ２ ０ １ ４浙 江 省 教 师 说 题 比 赛 试 题 的 探 究
浙 江省 宁波 市镇 海 中学 陈雅 雅 （ 邮编 ： ３ １ ５ ２ ０ ０ ）
为 了探 索 新 高 考方 案 下 的 课 程 改 革 对 高 中 数学 教 师 的 专 业 要 求 ， 厚 实 数 学 教 师 的 学 科 底 蕴， 提升 一线 教 师 对 当前 课 程 改 革 的适 应 能 力 ， ２ ０ １ ４年 １ ２月 １ ８日在 宁波 举 办 了“ 浙 江省 高 中数 学第 二届 说 题 比赛 ” ． 该 比赛 由浙 江 省 数 学 会 主 办， 比赛 形式 新颖 ， 以说 题 为 中心 ， 分 个 人 赛 和 团
３— ０ ， 所以 ｚ一 １ 或 ＝ ＝ ＝ ３ ．
Ｄ 和 △ ＤＢ Ｍ， 略． ， 可 得 ｘ ２ － ４ ｘ ＋ 似 三 角形 △ ’
１ ． ４ 向 量 视 角
如图 ３ ， 建立平面直角坐标系 ， 设 Ｃ（ Ｏ ，０ ） ，
２
Ａ（ ０ ， ） ， Ｂ（ ３ ， Ｏ ） ， 则Ｄ
ｚ
一
又 因为 ＡＡ ＢＣ为非 等 腰直 角三 角形 ， 所以 ｚ
一
１ ， ｓ ｉ ｎ ／Ｂ ＡＣ 一 ￣ ／ １ ｏ．
（ ２ ） 若Ｃ Ｄ＝２ ， 则经过同（ １ ） 类 似 的 运算 ， 得 ２ ｘ＋ ６＝ ： ： ０ ， 方 程无 解 ， 故该 情况不 存 在． 所 以点 Ｄ是 Ｂ Ｃ 上 的靠近 点 Ｃ 的三等 分点 ，
体赛． ６ 道 比赛 问题涵盖 了函数 、 三角 、 解析几何 等， 简 约而不 简 单 ， 值 得 深 究． 本 人 特 别对 个 人 赛 的第 ２题做 了如下探 究 ． 题 在 非 等 腰 直 角 ＡＡＢＣ 中 ， 已知 Ｃ 一 ９ Ｏ 。 ， Ｄ是 Ｂ Ｃ 的一个三等分点．
ｏ／ Ｅ
ｓ ｉ 寿 Ｊ 。 ￣ Ｆ ＿ Ａ Ａ Ｂ Ｄ 中 ＇ Ｓ ｉ ｎ Ｂ 一 志 Ｖ Ｔ ， 利 用 正 弦 定 理 ＝ ： ＝ 墨即 可 求 解 ．
解法 ３ （ 余 弦定 理） 在 △ＡＢ Ｄ 中， 利 用余 弦 定理 ＡＤ。 ＋ＡＢ。 一肋 。 一２ ＡＤ ・ ＡＢｃ ０ 即可求 解．
以下 均按 这种 情况 给 出解答 ．
解法 ２ （ 正 弦定 理 ） 由勾 股 定 理 得 ＡＤ 一
、 ／ ， ｉ ＿ ＝ ， Ａ Ｂ一、 ／ ， Ｆ ， 因 为ｃ ｏ 一善， √ ５ 所以
若 ｃ ｏ ｓ Ｂ ＡＤ 一
Ｕ
， 求ｓ ｉ ｎ Ｂ ＡＣ 的值 ．
１ 解 法探 究
将原题 中点 Ｄ 在 Ｂ Ｃ 上的位 置一般 化 ，
＝ ＝ ＝
ｌ
ｌ ・ Ｉ
ｌ ｃ ｏ ｓ ｐ即 可求解 ．
２ ， ∈ （ ０ ， １ ） ， 按解 法 １的方法 ， 可得 ｚ ＋
解法 ７ （ 向量 线性运 算 ）
６ （ 一 １ ） ｚ＋ ９ ２— ０ ，／ Ｘ一 ３ ６ （ ２ 。一 ３ １＋ １ ） ，
１ ． ２ 面积视 角
该 问题 围绕 三 角形 中 的边 角 关 系 ， 可 与 中学 教学 多项 内容 相 互 联 系． 这样 我 们 从 不 同视 角进 行思 考 ， 就能探 索 出多种 解法 ． 本题 首 先要 解 决 的 问题是 判断点 Ｄ 的位置 ． 因为三 等分点 有 两个 ， 故 本题需 分析点 Ｄ 的位置 ， 讨论 进行 求解 ． 特另 ｑ 值得 注意 的是 ， 在 求 解 过 程 中， 将 涉及 ＡＣ、 Ｂ Ｃ两个 长 度变 量 ， 但本题 最终 是求 角 ， 故 在 长度设 定 上 固定 某条线 段 的长度 并不 影 响 问题 原 意 ， 不 妨设 Ｂ Ｃ＝ ３ ， ＡＣ —ｚ （ ｚ ＞０ ） ， 从 而 只 引入 一 个 变 量 ， 大大 简
（ １ ， Ｏ ）
Ｊ
中学数 学教 学
２ ０ １ ５年 第 ２期
两 大基本 思 想 ， 解 法 ８的 复 数 视 角 虽 方 法 不 常 规， 但作 为一 种 方 法 有 必 要 了 解 ， 因 为 复数 往 往 可 以解决 与 长 度 、 旋 转 角有 关 的 问 题． 本 题 看 似