解题模板12.12 (2)
全国卷高考数学解答题解题模版
数学解答题是高考数学试卷中非常重要的题型，通常有6个大题，分值在70分及以上，例如历年的课标全国卷，解答题为6道题，分值为70分，几乎占总分150分的一半.解答题的考点相对较多、综合性强，所以解答题的区分度高，做解答题时，不仅要得出最后的结论，还要写出关键步骤，并且每步合情合理，因此怎样解答、把握步骤的得分点就非常重要了.我们可以把解数学解答题的思维过程划分为一个个小题来分步解答，总结恰当的“解答题模板”，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，在短时间内取得最高的答题效率.一、三角函数解答题模板：（一）难度、分值及考查内容：1. 难度：以基础、中等题为主.2. 分值：12分（以课标全国卷为例）.3.考查内容：（1）三角函数概念，()siny A xωϕ=+的图象、性质及变换.常见公式的应用：诱导公式、倍角公式、正弦、余弦和差公式、辅助角公式.（2）三角函数与平面向量结合.（3）正余弦定理与三角恒等变换结合等.（二）解题模板：例：【天津理，15】已知函数()4tan sin cos323xf x x xππ⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=.（Ⅰ）求f(x)的定义域与最小正周期；（Ⅱ）讨论f(x)在区间[,44ππ-]上的单调性.（一）本题思维过程：1.解析式化成()sin y A x hωϕ=++的形式：方法如下：（1）利用诱导公式、三角函数关系式等，将不同角化成同角； （2）利用倍角公式等，对三角函数降幂，都降为一次幂； （3）利用辅助角公式，将已知解析式化成()sin y A x hωϕ=++的形式.2.根据三角函数()sin y A x hωϕ=++的性质来求解周期、单调性等.（二）本题解答过程：扫描二维码观看视频讲解. （三）三角函数解题模板：第一步：化简，对已知三角函数式进行化简.一般化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式． 如：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1.第二步：利用()sin y A x hωϕ=++的知识，求周期、最值等.第三步：整体代换，将ωx ＋φ看作一个整体，利用y ＝sin x 的性质来确定题目中所要求解的问题.第四步：求解.例如求解单调性，将ωx ＋φ看作一个整体，代入y ＝sin t 的单调区间内，求解x 的范围.第五步：查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性.练习：【，北京理，15】已知函数2()cos 222x x x f x =． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．二、解三角形解答题模板： （一）难度及分值：1. 难度：以基础、中等题为主.2. 分值：12分（以课标全国卷为例）.3.考查内容：（1）应用正弦定理、余弦定理求角、边，判断三角形形状.（2）结合三角形面积公式考查.（3）在解答题中与三角函数习题共同考查.（4）个别地区的自主命题，会考查解三角形的实际应用.（二）解题模板：例：【全国Ⅰ理，17】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c ABC △=的面积为，求ABC △的周长．（一）本题思维过程：1.将已知等式进行“边化角”；2.利用三角函数的运算化简求出角C 的余弦值，从而求得角C .3.根据面积公式求得边：ab =6，根据角C 相关的余弦定理，求得2213a b +=，从而求得a+b ，求出周长.（二）本题解答过程：扫描二维码观看视频讲解. （三）三角函数解题模板：第一步：确定题目条件，即确定三角形中的已知和所求，可以自己画一个三角形，标注出来，然后确定已知条件的转化方向，“边化角”还是“角化边”．第二步：利用正弦定理或余弦定理，将已知条件进行边角转化，要确定“边化角”还是“角化边”．第三步：边角转化后，进行恒等变形、化简.例如上述例题利用三角变换公式进行化简. 第四步：求值.向已知方向转化，例如已知面积，那么转化方向就是能够利用上面积公式.第五步：反思检查. 练习：1.【山东理，16】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A +=+（Ⅰ）证明：a +b =2c ； （Ⅱ）求cos C 的最小值.2.【四川理，17】在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Cab c +=. （Ⅰ）证明：sin sin sin A B C =；（Ⅱ）若22265b c a bc+-=，求tan B .数学解答题是高考数学试卷中非常重要的题型，通常有6个大题，分值在70分及以上，例如历年的课标全国卷，解答题为6道题，分值为70分，几乎占总分150分的一半.解答题的考点相对较多、综合性强，所以解答题的区分度高，做解答题时，不仅要得出最后的结论，还要写出关键步骤，并且每步合情合理，因此怎样解答、把握步骤的得分点就非常重要了.我们可以把解数学解答题的思维过程划分为一个个小题来分步解答，总结恰当的“解答（一）难度、分值及考查内容：1. 难度：课标全国卷以基础、中等题为主，部分自主命题试卷数列考查难度较大.2. 分值：12分（以课标全国卷为例）.3.考查内容：（1）考查等差、等比数列的通项公式、求和公式基本运算. （2）一般数列的求和、根据递推关系求通项等. 例如错位相减法求和，累加、累乘法求通项等.（3）难度较大的考查：数列、函数、方程、不等式等相关内容的综合问题.（二）解题模板：（以课标全国卷考查难度为例） 模板一：数列的通项、求和问题例：【山东文，19】已知数列的前n 项和，是等差数列，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令.求数列的前n 项和.（一）本题思维过程：1.求出数列的通项，再求数列的通项。
高考数学解答题常考公式及答题模板12
2
（2）三倍角公式： ① sin 3 3sin 4sin3
② cos 3 4 cos3 3cos
③
tan 3
tan3 3 tan 3 tan 2 1
题型二：数列
1、等差数列
2、等比数列
①定义： an1 an d
②通项公式： an a1 (n 1)d
an
am
(n
m)d
d
an n
③
tan( tan(
) )
tan tan 1 tan tan tan tan 1 tan tan
其实，兴趣才是最好的老师！
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立足基础是关键，通则通法要熟练，思想方法再掌握，不怕题目再三变。不怕难题不得分，就怕每题扣点分！
9、基本不等式：① ab a b (a,b R ) 2
bn
an
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（4）累加法：形如 an an1 f (n) ，且 f (n) 可用求和，可用累加法
{an }
a1 1 an an1 2n
an
an an1 2n
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10、不常用的三角函数公式（很少用，可以不记哦^o^）
（1）万能公式：
2 tan
① sin
1
2 tan 2
2
1 tan 2
②
cos
1
tan 2
2
2
2 tan
高中数学：含参 “一元二次不等式”的解法高中数学黄金解题模板
【高考地位】解含参一元二次不等式，常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问题的一个难点. 在高考中各种题型多以选择题、填空题等出现，其试题难度属中高档题.【方法点评】类型一 根据二次项系数的符号分类使用情景：参数在一元二次不等式的最高次项解题模板：第一步 直接讨论参数大于0、小于0或者等于0；第二步 分别求出其对应的不等式的解集； 第三步 得出结论.例1 已知关于x 的不等式2320ax x -+>)(R a ∈.（1）若不等式2320ax x -+>的解集为{|1}或x x x b <>，求,a b 的值．（2）求不等式ax x ax ->+-5232)(R a ∈的解集【答案】（1）1,2a b ==（2）①当0>a 时，a x x 3{>或}1-<x ②当03<<-a 时，}13{-<<x ax ③当3-=a 时，∅④当3-<a 时，}31{ax x <<-⑤ 当0=a 时，原不等式解集为{}1-<x x（2）第一步，直接讨论参数大于0、小于0或者等于0： 不等式为()0332>--+x a ax ，即()()013>+-x ax第二步，分别求出其对应的不等式的解集： 当0=a 时，原不等式的解集为{}1|-<x x ； 当0≠a 时，方程()()013=+-x ax 的根为1,321-==x ax ；所以当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13|x a x x 或； ②当03<<-a 时，13-<a，∴}13{-<<x a x③当3-=a 时，13-=a ，∴∅④当3-<a 时，13->a，∴}31{a x x <<-学*科网第三步，得出结论：综上所述，原不等式解集为①当0>a 时，a x x 3{>或}1-<x ；②当03<<-a 时，}13{-<<x a x ③当3-=a 时，∅；④当3-<a 时，}31{ax x <<-；⑤当0=a 时，原不等式解集为{}1-<x x .考点：一元二次不等式的解法.【点评】（1）本题考察的是一元二次不等式和一元二次方程的关系，由题目所给条件知2320ax x -+=的两根为1x x b ==或，且0a >，根据根与系数的关系，即可求出,a b 的值．（2）本题考察的是解含参一元二次不等式，根据题目所给条件和因式分解化为()()310ax x -+>，然后通过对参数a 进行分类讨论，即可求出不等式的解集．学*科网【变式演练1】【河南省平顶山市2017-2018学年期末调研考试高二理科数学】若不等式对任意实数 均成立，则实数 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【变式演练2】已知p ：1x 和2x 是方程220x mx --=的两个实根，不等式21253||a a x x --≥-对任意实数[]1,1m ∈-恒成立；q ：不等式2210ax x +->有解，若p 为真，q 为假，求a 的取值范围．【答案】1a ≤-∴440a ∆=+>，∴10a -<<， ∴不等式2210ax x +->有解时1a >-， ∴q 假时a 的范围为1a ≤-，②由①②可得a 的取值范围为1a ≤-．学*科网考点：命题真假性的应用类型二 根据二次不等式所对应方程的根的大小分类使用情景：一元二次不等式可因式分解类型解题模板：第一步 将所给的一元二次不等式进行因式分解；第二步 比较两根的大小关系并根据其大小进行分类讨论；第三步 得出结论.例2 解关于x 的不等式01)1(2>++-x a ax （a 为常数且0≠a ）.【答案】0<a 时不等式的解集为)1,1(a ； 10<<a 时不等式的解集为),1()1,(+∞-∞a；1=a 时不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ ；1>a 时不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ a.若1>a ，110<<a ，不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ a学*科网 试题分析：21(1)10()(1)0ax a x a x x a-++>⇔-->,先讨论0a <时不等式的解集；当0a >时，讨论1与1a的大小，即分10<<a ，1=a ，1>a 分别写出不等式的解集即可. 考点：1.一元二次不等式的解法；2.含参不等式的解法.【变式演练3】已知0a <，解关于x 的不等式2(2)20ax a x ---<． 【答案】当2a <-时，2{x | x x 1}a ＜-或＞；当2a =-时，{}1x x ≠；当20a -<<时，2{x |x 1x }a＜或＞-．考点：一元二次不等式．【变式演练4】【2018重庆高三理科数学不等式单元测试卷】已知0<b<1+a ，若关于x 的不等式（x －b ）2>（ax ）2的解集中的整数恰有3个，则（ ）A ． －1<a<0B ． 0<a<1C ． 1<a<3D ． 3<a<6 【答案】C【解析】由()()22x b ax ->，整理可得（1－2a ）2x －2bx+2b >0，由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有1－2a <0，此时2a >1，而0<b<1+a ，故a>1， 由不等式()22212a x bx b -+-<0解得()()222222,2121b ab b ab x a a ---+<<--即111b bx a a -<<<-+要使该不等式的解集中的整数恰有3个，那么－3<1b a --<－2，由1b a --<－2得－b<－2（a －1），则有a<2b +1，即a<2b +1<12a ++1，解得a<3，由－3<1ba --得3a －3>b>0，解得a>1，则1<a<3．学&科网类型三 根据判别式的符号分类使用情景：一般一元二次不等式类型解题模板：第一步 首先求出不等式所对应方程的判别式；第二步 讨论判别式大于0、小于0或等于0所对应的不等式的解集；第三步 得出结论.例3 设集合A={x |x 2＋3k 2≥2k (2x －1)}，B={x |x 2－(2x －1)k ＋k 2≥0}，且A ⊆B ，试求k 的取值范围． 【答案】.010<≤-≥k k 或【解析】第一步，首先求出不等式所对应方程的判别式：B 中的不等式不能分解因式，故考虑判断式k k k k 4)(4422-=+-=∆， (1)当k =0时，R x ∈<∆,0. (2)当k ＞0时，△＜0，x R ∈.(3)当k ＜0时，k k x k k x -+≥--≤>∆或,0.第三步，得出结论：综上所述，k 的取值范围是：.010<≤-≥k k 或【点评】解含参的一元二次不等式，可先分解因式，再讨论求解，若不易分解，也可对∆进行分类，或利用二次函数图像求解.对于二次项系数不含参数且不能因式分解时，则需对判别式∆的符号分类. 【变式演练5】在区间错误!未找到引用源。
解答题的八个答题模板
解答题的八个答题模板【模板特征概述】数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一项重要的内容．本节以著名数学家波利亚的《怎样解题》为理论依据，结合具体的题目类型，来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式，即所谓的“答题模板”．“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零．强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化．模板1 三角变换与三角函数的性质问题已知函数f (x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的最大值及最小值；(3)写出函数f (x )的单调递增区间．审题路线图 不同角化同角→降幂扩角→化f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋h →结合性质求解．规 范 解 答 示 例构 建 答 题 模 板解 f (x )＝2cos x ⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －3sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝2sin x cos x ＋3(cos 2x －sin 2x )＋1＝sin 2x ＋3cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1. (1)函数f (x )的最小正周期为2π2＝π.(2)∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1≤3. ∴当2x ＋π3＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π12＋k π，k ∈Z 时，f (x )取得最大值3；当2x ＋π3＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝－5π12＋k π，k ∈Z 时，f (x )取得最小值－1.(3)由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋第一步 化简：三角函数式的化简，一般化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式． 第二步 整体代换：将ωx ＋φ看作一个整体，利用y ＝sin x ，y ＝cos x 的性质确定条件．第三步 求解：利用ωx ＋φ的范围求条件解得函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 的性质，写出结果．第四步 反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性.k π，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π (k ∈Z ). 已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．解 方法一 (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f (α)＝22×(22＋22)－12＝12.(2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin(2x ＋π4)，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z . 方法二 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin(2x ＋π4)．(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f (α)＝22sin(2α＋π4)＝22sin 3π4＝12.(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z . 模板2 解三角形问题在△ABC 中，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b .(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)求角B 的取值范围．审题路线图 (1)化简变形―→用余弦定理转化为边的关系―→变形证明 (2)用余弦定理表示角―→用基本不等式求范围―→确定角的取值范围规 范 解 答 示 例构 建 答 题 模 板(1)证明 因为a cos 2C 2＋c cos 2A2＝a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ，所以a ＋c ＋(a cos C ＋c cos A )＝3b ，故a ＋c ＋⎝⎛⎭⎫a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3b ， 第一步 定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向．第二步 定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化． 第三步 求结果．整理，得a ＋c ＝2b ，故a ，b ，c 成等差数列． (2)解 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－⎝⎛⎭⎫a ＋c 222ac＝3(a 2＋c 2)－2ac 8ac ≥6ac －2ac 8ac ＝12，因为0<B <π，所以0<B ≤π3.第四步 再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c ，已知BA →·BC →＝2，cosB ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．解 (1)由BA →·BC →＝2得c ·a cos B ＝2.又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B .又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×6×13＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2.因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－(13)2＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b >c ，所以C 为锐角， 因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－(429)2＝79.于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327. 模板3 数列的通项、求和问题(2014·江西)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a n b n ，求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .审题路线图 (1)a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0→a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2→c n ＋1－c n ＝2→c n ＝2n －1 (2)c n ＝2n －1→a n ＝(2n －1)·3n－1――→错位相减法得S n规 范 解 答 示 例构 建 答 题 模 板解 (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0(b n ≠0，n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a nb n ＝2，即c n ＋1－c n ＝2，所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n－1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n －1)·3n －1，3S n ＝1·31＋3·32＋…＋(2n －3)·3n －1＋(2n －1)·3n ， 相减得－2S n ＝1＋2·(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)·3n ＝－2－(2n －2)3n ， 所以S n ＝(n －1)3n ＋1.第一步 找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式． 第二步 求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式．第三步 定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)．第四步 写步骤：规范写出求和步骤． 第五步 再反思：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范.已知点⎝⎛⎭⎫1，13是函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象上的一点．等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c .数列{b n } (b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n －S n －1＝S n ＋S n －1 (n ≥2)． (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为T n ，问满足T n >1 0012 012的最小正整数n 是多少？解 (1)∵f (1)＝a ＝13，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x . 由题意知，a 1＝f (1)－c ＝13－c ，a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－29，a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝－227.又数列{a n }是等比数列，∴a 1＝a 22a 3＝481－227＝－23＝13－c ，∴c ＝1.又公比q ＝a 2a 1＝13，∴a n ＝－23·⎝⎛⎭⎫13n －1＝－2·⎝⎛⎭⎫13n (n ∈N *)． ∵S n －S n －1＝(S n －S n －1)(S n ＋S n －1)＝S n ＋S n －1 (n ≥2)．又b n >0，S n >0，∴S n －S n －1＝1.∴数列{S n }构成一个首项为1、公差为1的等差数列， S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，即S n ＝n 2.当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 当n ＝1时，b 1＝1也适合此通项公式．∴b n ＝2n －1 (n ∈N *)．(2)T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)×(2n ＋1)＝12×⎝⎛⎭⎫1－13＋12×⎝⎛⎭⎫13－15＋12×⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋12×⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝12×⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.由T n ＝n 2n ＋1>1 001 2 012，得n >1 00110，∴满足T n >1 0012 012的最小正整数n 的值为101.模板4 利用空间向量求角问题如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB ＝60°，AB ＝2CD ＝2，M 是线段AB 的中点． (1)求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；(2)若CD 1垂直于平面ABCD 且CD 1＝3，求平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值．审题路线图 (1)M 是AB 中点，四边形ABCD 是等腰梯形――→AB ＝2CDCD ∥AM CD ＝AM ⇒▱AMC 1D 1→C 1M ∥平面A 1ADD 1(2)CA ，CB ，CD 1两两垂直→建立空间直角坐标系，写各点坐标→求平面ABCD 的法向量→将所求两个平面所成的角转化为两个向量的夹角规 范 解 答 示 例构 建 答 题 模 板(1)证明 因为四边形ABCD 是等腰梯形， 且AB ＝2CD ，所以AB ∥DC .又由M 是AB 的中点，因此CD ∥MA 且CD ＝MA .连接AD 1，如图(1)．在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，因为CD ∥C 1D 1，CD ＝C 1D 1，可得C 1D 1∥MA ，C 1D 1＝MA ，所以四边形AMC 1D 1为平行四边形，因为C 1M ∥D 1A .又C 1M ⊄平面A 1ADD 1，D 1A ⊂平面A 1ADD 1，所以C 1M ∥平面A 1ADD 1. (2)解 方法一 如图(2)，连接AC ，MC . 由(1)知CD ∥AM 且CD ＝AM ， 所以四边形AMCD 为平行四边形， 可得BC ＝AD ＝MC ，由题意得∠ABC ＝∠DAB ＝60°，所以△MBC 为正三角形，因此AB ＝2BC ＝2，CA ＝3， 因此CA ⊥CB .以C 为坐标原点，建立如图(2)所示的空间直角坐标系C －xyz ，所以A (3，0,0)，B (0,1,0)，D 1(0,0，3)，第一步 找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线．第二步 写坐标：建立空间直角坐标系，写出特征点坐标． 第三步 求向量：求直线的方向向量或平面的法向量．第四步 求夹角：计算向量的夹角．第五步 得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角.因此M ⎝⎛⎭⎫32，12，0，所以MD 1→＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，3，D 1C 1→＝MB →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0.设平面C 1D 1M 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1C 1→＝0，n ·MD 1→＝0，得⎩⎨⎧3x －y ＝0，3x ＋y －23z ＝0，可得平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(1，3，1)．又CD 1→＝(0,0，3)为平面ABCD 的一个法向量，因此cos 〈CD 1→，n 〉＝CD 1→·n |CD 1→||n |＝55.所以平面C 1D 1M 和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为55. 方法二 由(1)知平面D 1C 1M ∩平面ABCD ＝AB ，过点C 向AB 引垂线交AB 于点N ， 连接D 1N ，如图(3)．由CD 1⊥平面ABCD ， 可得D 1N ⊥AB ，因此∠D 1NC 为二面角C 1－AB －C 的平面角． 在Rt △BNC 中，BC ＝1， ∠NBC ＝60°，可得CN ＝32.所以ND 1＝CD 21＋CN 2＝152. 所以Rt △D 1CN 中，cos ∠D 1NC ＝CN D 1N ＝32152＝55，所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为55.如图所示，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．解 (1)以A 为坐标原点，分别以AB →，AC →，AA 1→为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0,4)，D (1,1,0)，C 1(0,2,4)． 所以A 1B →＝(2,0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4)．所以cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →|×|C 1D →|＝1820×18＝31010.所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2)由题意，知AC →＝(0,2,0)是平面ABA 1的一个法向量．设平面ADC 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，因为AD →＝(1,1,0)，AC 1→＝(0,2,4)，由m ⊥AD →，m ⊥AC 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，2y ＋4z ＝0.取z ＝1，得y ＝－2，x ＝2，所以平面ADC 1的一个法向量为m ＝(2，－2,1)． 设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角为θ，所以|cos θ|＝|cos 〈AC →，m 〉|＝|AC →·m |AC →|×|m ||＝|－42×3|＝23，得sin θ＝53.所以平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53. 模板5 圆锥曲线中的范围问题椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →. (1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的取值范围．审题路线图 (1)设方程→解系数→得结论(2)设l ：y ＝kx ＋m →l ，c 相交Δ>0得m ，k 的不等式→AP →＝3PB →→得m ，k 关系式→代入m ，k 的不等式消k →得m 范围规 范 解 答 示 例构 建 答 题 模 板解 (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，设c >0，c 2＝a 2－b 2，由题意，知2b ＝2，c a ＝22，所以a ＝1，b ＝c ＝22.故椭圆C 的方程为y 2＋x 212＝1，即y 2＋2x 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，l 与椭圆C 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，2x 2＋y 2＝1，得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋(m 2－1)＝0，Δ＝(2km )2－4(k 2＋2)(m 2－1)＝4(k 2－2m 2＋2)>0，(*)x 1＋x 2＝－2km k 2＋2，x 1x 2＝m 2－1k 2＋2.因为AP →＝3PB →，所以－x 1＝3x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2x 2，x 1x 2＝－3x 22.所以3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝0.所以3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km k 2＋22＋4·m 2－1k 2＋2＝0. 整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0，即k 2(4m 2－1)＋(2m 2－2)＝0. 当m 2＝14时，上式不成立；当m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1， 由(*)式，得k 2>2m 2－2，又k ≠0，所以k 2＝2－2m 24m 2－1>0.解得－1<m <－12或12<m <1.即所求m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫12，1. 第一步 提关系：从题设条件中提取不等关系式． 第二步 找函数：用一个变量表示目标变量，代入不等关系式．第三步 得范围：通过求解含目标变量的不等式，得所求参数的范围．第四步 再回顾：注意目标变量的范围所受题中其他因素的制约.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．解 设直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a >1，得到点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b (a －1)a 2＋b 2，同理可得点(－1,0)到直线l 的距离为d 2＝b (a ＋1)a 2＋b 2，于是s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b 2＝2abc . 由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2，可得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0，解得54≤e 2≤5.由于e >1，故所求e 的取值范围是⎣⎡⎦⎤52，5.模板6 解析几何中的探索性问题已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 中点的横坐标是－12，求直线AB 的方程；(2)在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB →为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．审题路线图 设AB 的方程y ＝k (x ＋1)→待定系数法求k →写出方程；设M 存在即为(m,0)→求MA →·MB →→在MA →·MB →为常数的条件下求m .规 范 解 答 示 例构 建 答 题 模 板解 (1)依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，将y ＝k (x ＋1)代入x 2＋3y 2＝5，消去y 整理得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝36k 4－4(3k 2＋1)(3k 2－5)>0， ①x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1. ② 由线段AB 中点的横坐标是－12，得x 1＋x 22＝－3k 23k 2＋1＝－12，解得k ＝±33，适合①.所以直线AB 的方程为x －3y ＋1＝0或x ＋3y ＋1＝0. (2)假设在x 轴上存在点M (m,0)，使MA →·MB →为常数．(ⅰ)当直线AB 与x 轴不垂直时，由(1)知x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－53k 2＋1. ③所以MA →·MB →＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝(x 1－m )(x 2－m )＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－m )(x 1＋x 2)＋k 2＋m 2. 将③代入，整理得MA →·MB →＝(6m －1)k 2－53k 2＋1＋m 2＝第一步 先假定：假设结论成立．第二步 再推理：以假设结论成立为条件，进行推理求解． 第三步 下结论：若推出合理结果，经验证成立则肯定假设；若推出矛盾则否定假设． 第四步 再回顾：查看关键点，易错点(特殊情况、隐含条件等)，审视解题规范性.⎝⎛⎭⎫2m －13(3k 2＋1)－2m －1433k 2＋1＋m 2＝m 2＋2m －13－6m ＋143(3k 2＋1).注意到MA →·MB →是与k 无关的常数，从而有6m ＋14＝0，m ＝－73，此时MA →·MB →＝49.(ⅱ)当直线AB 与x 轴垂直时，此时点A 、B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫－1，23、⎝⎛⎭⎫－1，－23，当m ＝－73时，也有MA →·MB →＝49.综上，在x 轴上存在定点M ⎝⎛⎭⎫－73，0，使MA →·MB →为常数.已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y＝2x ，l 2：y ＝－2x . (1)求双曲线E 的离心率．(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由． 解 (1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以ba ＝2，所以c 2－a 2a ＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝c a ＝ 5.(2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a 2＝1.设直线l 与x 轴相交于点C .当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则|OC |＝a ，|AB |＝4a .又因为△OAB 的面积为8，所以12|OC |·|AB |＝8，因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2，此时双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为x 24－y 216＝1.以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：x 24－y 216＝1也满足条件．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意，得k >2或k <－2，则C (－mk，0)．记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝2x ，得y 1＝2m 2－k ，同理，得y 2＝2m 2＋k .由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|，得12|－m k |·|2m 2－k －2m2＋k |＝8，即m 2＝4|4－k 2|＝4(k 2－4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y 216＝1， 得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0.因为4－k 2<0，所以Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16)＝－16(4k 2－m 2－16)．又因为m 2＝4(k 2－4)，所以Δ＝0，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点． 因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.模板7 离散型随机变量的均值与方差甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23.(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；(2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列及均值． 审题路线图 (1)标记事件→对事件分解→计算概率 (2)确定ξ取值→计算概率→得分布列→求数学期望规 范 解 答 示 例构 建 答 题 模 板解 (1)设甲、乙闯关成功分别为事件A 、B ，则P (A )＝C 14·C 22C 36＝420＝15，P (B )＝(1－23)3＋C 13·23(1－23)2＝127＋29＝727，则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是 1－P (A ·B )＝1－P (A )·P (B )＝1－15×727＝128135.(2)由题意知ξ的可能取值是1,2.P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12＋C 34C 36＝45，则ξ的分布列为ξ 1 2 P1545∴E (ξ)＝1×15＋2×45＝95.第一步 定元：根据已知条件确定离散型随机变量的取值．第二步 定性：明确每个随机变量取值所对应的事件．第三步 定型：确定事件的概率模型和计算公式．第四步 计算：计算随机变量取每一个值的概率．第五步 列表：列出分布列． 第六步 求解：根据均值、方差公式求解其值.随机将1,2，…，2n (n ∈N *，n ≥2)这2n 个连续正整数分成A ，B 两组，每组n 个数，A 组最小数为a 1，最大数为a 2，B 组最小数为b 1，最大数为b 2，记ξ＝a 2－a 1，η＝b 2－b 1.(1)当n ＝3时，求ξ的分布列和数学期望；(2)令C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C 发生的概率P (C )；(3)对(2)中的事件C ，C 表示C 的对立事件，判断P (C )和P (C )的大小关系，并说明理由． 解 (1)当n ＝3时，ξ的所有可能取值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A ，B 两组，不同的分组方法共有C 36＝20(种)，所以ξ的分布列为E (ξ)＝2×15＋3×310＋4×310＋5×15＝72.(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为n －1，n ，n ＋1，…，2n －2. 又ξ和η恰好相等且等于n －1时，不同的分组方法有2种； ξ和η恰好相等且等于n 时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于n ＋k (k ＝1,2，…，n －2)(n ≥3)时，不同的分组方法有2C k 2k 种；所以当n ＝2时，P (C )＝46＝23；当n ≥3时，P (C )＝2(2＋∑k ＝1n －2C k 2k )C n 2n.(3)由(2)，当n ＝2时，P (C )＝13，因此P (C )>P (C )．而当n ≥3时，P (C )<P (C )．理由如下：P (C )<P (C )等价于4(2＋∑k ＝1n －2C k 2k )<C n2n .①用数学归纳法来证明：1°当n ＝3时，①式左边＝4(2＋C 12)＝4(2＋2)＝16， ①式右边＝C 36＝20，所以①式成立．2°假设n ＝m (m ≥3)时①式成立，即4(2＋∑k ＝1m －2C k 2k )<C m 2m 成立，那么，当n ＝m ＋1时，左边＝4(2＋∑k ＝1m ＋1－2C k 2k )＝4(2＋∑k ＝1m －2C k 2k )＋4C m －12(m －1)<C m 2m ＋4C m －12(m －1)＝(2m )！m ！m ！＋4·(2m －2)！(m －1)！(m －1)！＝(m ＋1)2(2m )(2m －2)！(4m －1)(m ＋1)！(m ＋1)！<(m ＋1)2(2m )(2m －2)！(4m )(m ＋1)！(m ＋1)！＝C m ＋12(m ＋1)·2(m ＋1)m (2m ＋1)(2m －1)<C m ＋12(m ＋1)＝右边， 即当n ＝m ＋1时①式也成立．综合1°，2°得：对于n ≥3的所有正整数，都有P (C )<P (C )成立．模板8函数的单调性、极值、最值问题已知函数f(x)＝2ax－a2＋1x2＋1(x∈R)．其中a∈R.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)当a≠0时，求函数f(x)的单调区间与极值．审题路线图规范解答示例构建答题模板解(1)当a＝1时，f(x)＝2xx2＋1，f(2)＝45，又f′(x)＝2(x2＋1)－2x·2x(x2＋1)2＝2－2x2(x2＋1)2，f′(2)＝－625.所以，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－45＝－625(x－2)，即6x＋25y－32＝0.(2)f′(x)＝2a(x2＋1)－2x(2ax－a2＋1)(x2＋1)2＝－2(x－a)(ax＋1)(x2＋1)2.由于a≠0，以下分两种情况讨论．①当a＞0时，令f′(x)＝0，得到x1＝－1a，x2＝a.所以f(x)在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－1a，(a，＋∞)内为减函数，在区间⎝⎛⎭⎫－1a，a内为增函数．函数f(x)在x1＝－1a处取得极小值f⎝⎛⎭⎫－1a，且f⎝⎛⎭⎫－1a＝－a2.函数f(x)在x2＝a处取得极大值f(a)，且f(a)＝1.②当a＜0时，令f′(x)＝0，得到x1＝a，x2＝－1a，所以f(x)在区间(－∞，a)，⎝⎛⎭⎫－1a，＋∞内为增函数，在区间⎝⎛⎭⎫a，－1a内为减函数．函数f(x)在x1＝a处取得极大值f(a)，且f(a)＝1.函数f(x)在x2＝－1a处取得极小值f(－1a)，且f⎝⎛⎭⎫－1a＝－a2.第一步求导数：求f(x)的导数f′(x)．注意f(x)的定义域.第二步解方程：解f′(x)＝0，得方程的根.第三步列表格：利用f′(x)＝0的根将f(x)定义域分成若干个小开区间，并列出表格.第四步得结论：从表格观察f(x)的单调性、极值、最值等.第五步再回顾：对需讨论根的大小问题要特殊注意，另外观察f(x)的间断点及步骤规范性.已知函数f(x)＝a e2x－b e－2x－cx(a，b，c∈R)的导函数f′(x)为偶函数，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c.(1)确定a ，b 的值；(2)若c ＝3，判断f (x )的单调性；(3)若f (x )有极值，求c 的取值范围． 解 (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝2a e 2x ＋2b e－2x－c ，由f ′(x )为偶函数，知f ′(－x )＝f ′(x )恒成立，即2(a －b )·(e 2x －e －2x)＝0恒成立，所以a ＝b .又f ′(0)＝2a ＋2b －c ＝4－c ，故a ＝1，b ＝1. (2)当c ＝3时，f (x )＝e 2x －e －2x－3x ，那么f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x－3≥22e 2x ·2e－2x－3＝1>0，故f (x )在R 上为增函数． (3)由(1)知f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x －c ，而2e 2x ＋2e－2x≥22e 2x ·2e－2x＝4，当x ＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论．当c <4时，对任意x ∈R ，f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x－c >0，此时f (x )无极值； 当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x－4>0，此时f (x )无极值；当c >4时，令e 2x ＝t ，注意到方程2t ＋2t －c ＝0有两根t 1,2＝c ±c 2－164>0，即f ′(0)＝0有两个根x 1＝12ln t 1，x 2＝12ln t 2.当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0；又当x >x 2时，f ′(x )>0，从而f (x )在x ＝x 2处取得极小值．综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．。
高考数学答题模板12个(最新)
高考数学答题模板12个选择填空题1.易错点归纳九大模块易混淆难记忆考点分析，如概率和频率概念混淆、数列求和公式记忆错误等，强化基础知识点记忆，避开因为知识点失误造成的客观性解题错误。
针对审题、解题思路不严谨如集合题型未考虑空集情况、函数问题未考虑定义域等主观性因素造成的失误进行专项训练。
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解答题专题一、三角变换与三角函数的性质问题1、解题路线图①不同角化同角②降幂扩角③化f(x)=Asin(ωx+φ)+h④结合性质求解。
2、构建答题模板①化简：三角函数式的化简，一般化成y=Asin(ωx+φ)+h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。
②整体代换：将ωx+φ看作一个整体，利用y=sin x，y=cos x的性质确定条件。
③求解：利用ωx+φ的范围求条件解得函数y=A sin(ωx+φ)+h的性质，写出结果。
④反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。
专题二、解三角形问题1、解题路线图(1) ①化简变形;②用余弦定理转化为边的关系;③变形证明。
(2) ①用余弦定理表示角;②用基本不等式求范围;③确定角的取值范围。
2、构建答题模板①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。
②定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。
③求结果。
④再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系;二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形。
专题三、数列的通项、求和问题1、解题路线图①先求某一项，或者找到数列的关系式。
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人教版八年级上册12.2全等三角形常见模型讲义设计(2021年整理)
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全等三角形常见模型要点梳理要点一、全等三角形的判定与性质要点二、全等三角形的证明思路SAS HL SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS ⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边类型一:角平分线模型应用1.角平分性质模型：（利用角平分线的性质）辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC一般三角形 直角三角形 判定边角边（SAS ）角边角（ASA)角角边（AAS)边边边(SSS ）两直角边对应相等一边一锐角对应相等斜边、直角边定理（HL ）性质对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等） 备注判定三角形全等必须有一组对应边相等例题解析例1：（1)如图1，在△ABC 中,∠C=90°，AD 平分∠CAB,BC=6cm ，BD=4cm ，那么点D 到直线AB 的距离是 cm 。
(2)如图2，已知，∠1=∠2，∠3=∠4，求证:AP 平分∠BAC 。
图1图2【答案】①2 （提示：作DE ⊥AB 交AB 于点E ）②21∠=∠ ，PN PM =∴，43∠=∠ ,PQ PN =∴，BAC PA PQ PM ∠∴=∴平分,。
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解答题一、三角变换与三角函数的性质问题1、解题路线图①不同角化同角②降幂扩角③化f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h④结合性质求解。
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高考文科数学试卷解答模板
一、选择题解答模板1. 阅读题干，明确题目要求。
2. 分析选项，排除明显错误选项。
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4. 对比选项，确定正确答案。
5. 如有疑问，可返回题干，重新审视。
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三、解答题解答模板1. 阅读题干，明确题目要求。
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4. 每一步计算，保持简洁明了。
5. 注意符号的使用，确保正确。
6. 对比答案，检查解答过程是否完整。
7. 如有疑问，可返回题干，重新审视。
以下为具体解答步骤：一、选择题例题：若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得最大值，则a、b、c的关系为：A. a > 0，b < 0，c > 0B. a < 0，b > 0，c < 0C. a > 0，b > 0，c < 0D. a < 0，b < 0，c > 0解答：1. 题目要求找出a、b、c的关系。
2. 分析选项，排除明显错误选项。
3. 根据二次函数的性质，当a > 0时，函数开口向上，取得最小值；当a < 0时，函数开口向下，取得最大值。
4. 由于题目要求函数在x=1时取得最大值，所以a < 0。
5. 根据二次函数的对称轴公式，对称轴为x = -b/(2a)，当a < 0时，对称轴在y 轴左侧，即b > 0。
6. 由于题目要求函数在x=1时取得最大值，所以c > 0。
7. 综上所述，正确答案为B。
二、填空题例题：若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an = ________。
解答：1. 题目要求求出等差数列的第n项。
高考数学解答题常考公式及答题模板 精编版
例16：某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人。第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
第一种生产方式
由 ，得
.……先写出通项公式的一般式，再带值
又 成等比数列……利用等比中项列出方程
.
（2）由（1）知：
……运用分组求和法
记 ， ，则
.
6、基本不等式：
① ② ③
注意：基本不等式一般在求取值范围或最值问题的时候用到，有时还用于证明数列不等式。
☞答题步骤：
①抄条件：先抄题目所给的条件；（但不要抄题目）
②写公式：写出要用的公式，如等差数列的通项公式或前n项和；
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC， ，且四棱锥P−ABCD的体积为 ，求该四棱锥的侧面积．
证明：（1） ……写出题目的已知条件
①
又 ②……将证明的条件圈出来
……说明清楚线与面的关系
又 .……根据线面垂直的性质，得出结论
（2）过P点作 ，垂足为点M，如图所示：……作辅助线一定要有说明
累加后，得
……利用了公式
故 .
（5）累乘法：形如 ，且 可用求积，可用累乘法
例6：已知数列 中， ， ，求 .
解：已知
累乘后，得
.
（6）取倒数法：形如 （p，q为非零常数）则两边同时取倒数
例7：已知数列 满足 且 ，求 .
解：已知 ……等式两边同时取倒数
……满足等差数列的定义
令 ，则 ……构造等差数列
数学万能答题模板
数学万能答题模板在解答数学问题时，以下是一个通用的答题模板，可以帮助你组织思路并清晰地表达答案：1. 理解问题：首先，你需要明确问题的要求，理解题目的条件和目标。
2. 分析问题：分析问题中给出的信息，找出相关的数学概念和公式。
例如，如果问题是关于三角形的面积，你可能需要使用三角形的面积公式（面积 = 1/2 × 底× 高）。
3. 建立数学模型：根据问题的要求和已知的信息，建立数学方程或表达式。
例如，如果问题是关于两个数的和与积，你可以建立一个方程或表达式来表示这两个数的和与积。
4. 求解数学模型：使用数学方法来求解建立的数学模型。
这可能涉及到代数运算、方程求解、不等式求解等。
5. 验证答案：最后，你需要验证你的答案是否正确。
这可以通过重新检查你的计算过程、使用其他方法来求解问题，或者使用一些简单的测试样例来验证答案。
以下是一个具体的例子：题目：一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求这个直角三角形的斜边长度。
分析：这个问题涉及到勾股定理的应用。
勾股定理是一个关于直角三角形的基本定理，它告诉我们直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
建立数学模型：设直角三角形的斜边长度为c，根据勾股定理，我们有：3^2 + 4^2 = c^2求解数学模型：将数值代入公式中，得到：9 + 16 = c^2c^2 = 25c = 5验证答案：我们可以使用勾股定理的逆定理来验证答案是否正确。
如果三角形的三边满足勾股定理，那么这个三角形就是一个直角三角形。
由于3^2 + 4^2 = 5^2，所以这个三角形是一个直角三角形，斜边长度为5。
高考数学答题模板12个
高考数学答题模板12个1500字高考数学答题模板12个1. 解方程模板：首先列出方程：a(x - m)^2 + n = b然后展开方程：ax^2 - 2amx + am^2 + n = b移项并化简：ax^2 - 2amx + am^2 + n - b = 0将方程视为一元二次方程，使用求根公式：x = （2am ±√(4a(b-n) + 4a^2m^2)）/ (2a)化简并整理得最终答案。
2. 圆的相关模板：圆的标准方程：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2其中，圆心为 (a, b)，半径为 r。
根据题目给出的条件，代入方程中求解。
3. 三角形的模板：勾股定理：a^2 + b^2 = c^2 （三角形中，a、b 为直角边，c 为斜边）根据给出的条件，利用勾股定理求解。
4. 几何图形的模板：首先画出几何图形，标出已知的条件和需要求解的量。
根据已知条件，利用几何定理、相似性原理等，搭建等式或者比例关系，并解方程求解。
5. 求导模板：根据给出的函数关系，利用求导公式对函数进行求导。
注意计算过程的细节，利用链式法则、乘积法则等进行计算。
最后化简求解得结果。
6. 极限求解模板：对于一般的函数极限求解，可以利用函数极限的性质进行求解。
根据题目的要求，利用夹逼准则、洛必达法则等方法求解极限。
7. 统计问题模板：根据题目的要求计算平均数、方差、标准差等统计量。
注意计算过程的细节，并进行适当的整理和化简。
8. 概率问题模板：根据已知的概率模型和条件，利用概率公式计算概率。
注意计算过程的细节，并进行适当的整理和化简。
9. 计算题模板：根据题目给出的计算式和条件，一步一步进行计算。
注意计算的细节，进行适当的化简和整理。
10. 综合题模板：综合题一般包含多个题目要求，根据每个小题的要求进行分析和求解。
先分析每个小题的要求，并给出解题思路。
然后分别解答每个小题，并按照题目要求进行整理和化简。
高考数学解答题解题模板
(2)设 bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，则 b1＝2，b2＝1. 当 n≥3 时，由于 3n－1>n＋2，
故 bn＝3n－1－n－2，n≥3.
设数列{bn}的前 n 项和为 Tn，
则 T1＝2，T2＝3，
当
(2)由余弦定理及 C＝π3得 7＝a2＋b2－2ab·12，即(a＋b)2－3ab＝7， 8 分 得分点⑤ 又 S＝12ab·sin C＝ 43ab＝323， 所以 ab＝6，10 分 得分点⑥ 所以(a＋b)2－18＝7，a＋b＝5，11 分 得分点⑦ 所以△ABC 的周长为 a＋b＋c＝5＋ 7. 12 分 得分点⑧
取 AD 的中点 M，连接 PM，CM， 由 AB＝BC＝12AD 及 BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形 ABCM 为正 方形，则 CM⊥AD. 5 分 得分点③ 因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，平面 PAD∩平 面 ABCD＝AD， 所以 PM⊥AD，PM⊥底面 ABCD，7 分 得分点④
(2)由(1)得 sin Bsin C＝23，cos Bcos C＝16， ∵A＋B＋C＝π ， ∴cos A＝cos(π－B－C)＝－cos(B＋C) ＝sin Bsin C－cos Bcos C＝12， 又∵A∈(0，π)，∴A＝π3，sin A＝ 23， 由余弦定理得 a2＝b2＋c2－bc＝9，① 由正弦定理得 b＝sina A·sin B，c＝sina A·sin C， ∴bc＝sian22A·sin Bsin C＝8，②
于是 AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2 3. 所以四棱锥 P－ABCD 的体积 V＝13×2（2＋ 2 4）×2 3＝4 3.12 分 得分点⑦
模板数学习题解答模板分享
模板数学习题解答模板分享在数学学习中，解答习题是提高自己对知识掌握的重要方式之一。
然而，不同类型的数学习题在解答过程中需要采用不同的方法和步骤，而使用一个统一的模板可以帮助我们更好地解答题目。
本文将分享一种适用于多种数学习题的解答模板，希望能为广大数学学习者提供一些帮助。
一、解答模板介绍1. 题目分析：在解答数学习题之前，我们需要仔细阅读题目，理解题目要求。
这一步是解答题目的基础，可以避免因为对题目理解不清而出现错误。
2. 解题思路：明确解题思路是解答数学习题的重要一步。
可以根据题目的类型、知识点进行思路的理清。
可以将解题思路写在纸上，避免中途迷失方向。
3. 计算步骤：在解答数学习题的过程中，逐步展开计算是必要的。
正确的计算步骤可以让我们更好地理解题目以及中间过程，有助于找出错误和改正。
在解题过程中，我们可以详细写出每一步的计算过程，确保计算的准确性。
4. 结果验证：解答数学习题后，我们需要对结果进行验证。
可以通过逆运算、代入数值等方法来验证结果的正确性。
若在验证过程中出现错误，需要重新检查计算过程和思路。
二、模板应用示例下面以一个数学代数题为例，展示解答模板的应用过程。
题目：求解方程组$$\begin{cases}2x + 3y = 10 \\4x - 5y = -7 \\\end{cases}$$解答过程如下：1. 题目分析：题目要求求解方程组，我们需要找到满足该方程组的x和y的值。
2. 解题思路：我们可以采用消元法来解决该方程组。
首先，通过乘以某个数使第一个方程的系数与第二个方程的系数相等，然后相减消去一个变量，从而求解出另一个变量的值。
3. 计算步骤：我们选择将第二个方程乘以2，使得两个方程的$x$系数相同。
原方程组变为：$$\begin{cases}2x + 3y = 10 \\8x - 10y = -14 \\\end{cases}$$将第二个方程乘以2得到：$2(4x - 5y) = 2(-7)$，即$8x - 10y = -14$。
【高考专辑】【专题34】2015年高三数学(理)【押题精练】解答题的八个答题模板
的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一 项重要的内容．本节以著名数学家波利亚的《怎样 解题》为理论依据，结合具体的题目类型，来谈一 谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答 题格式，即所谓的“答题模板”．
“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把
数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的
π ＝2sin2x＋ ＋1. 3
2π (1)函数 f(x)的最小正周期为 ＝π. 2 π (2)∵－1≤sin2x＋ ≤1， 3
π ∴－1≤2sin2x＋ ＋1≤3. 3
π π π ∴当 2x＋ ＝ ＋2kπ，k∈Z，即 x＝ ＋kπ，k∈Z 时， 3 2 12
7
审题路线图
不同角化同角 降幂扩角
化f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h
结合性质求解．
规范解答示例
解
1 f(x)＝2cos x sin x＋ 2
2
3 2 cos x－ 3sin x＋sin xcos x＋1 2
2
＝2sin xcos x＋ 3(cos x－sin x)＋1＝sin 2x＋ 3cos 2x＋1
2π 所以 T＝ ＝π. 2 π π π 由 2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ ，k∈Z， 2 4 2
3π π 得 kπ－ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z. 8 8
3π π 所以 f(x)的单调递增区间为[kπ－ ，kπ＋ ]，k∈Z. 8 8
1 方法二 f(x)＝sin xcos x＋cos x－ 2 1＋cos 2x 1 1 1 1 ＝ sin 2x＋ － ＝ sin 2x＋ cos 2x 2 2 2 2 2
解题程序和答题格式分步解答，即化整为零．强调解
题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问 题的最佳方案，实现答题效率的最优化．
高考数学解答题的5个解题模板及得分说明
∴在 Rt△ACB1 中，cos∠B1AC＝AABC1＝
2＝ 10
510，
∴直线 AC 和平面 ABB1A1 所成角的余弦值为
10 5.
题型概述
模板展示
模板3 函数与导数问题
(满分 15 分)设函数 f(x)＝emx＋x2－mx. (1)证明：f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增； (2)若对于任意 x1，x2∈[－1，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求 m 的 取值范围.
＝1212cos
2x＋
3 2 sin
2x－12cos
2x(4
分)
＝
3 4 sin
2x－14cos
2x＝12sin2x－π6.(6
分)
所以 f(x)的最小正周期 T＝22π＝π.(7 分)
题型概述
模板展示
(2)因为 f(x)在区间－π3，－π6上是减函数， 在区间－π6，π4上是增函数，(10 分)
题型概述
模板展示
解题模板
第一步 求导数：一般先确定函数的定义域，再求 f′(x). 第二步 定区间：根据 f′(x)的符号确定函数的单调区间. 第三步 寻条件：一般将恒成立问题转化为函数的最值问题. 第四步 写步骤：通过函数单调性探求函数最值，对于最值可能 在两点取到的恒成立问题，可转化为不等式组恒成立. 第五步 再反思：查看是否注意定义域，区间的写法、最值点的 探求是否合理等.
题型概述
模板展示
(2)因为 f(x)在区间－π4，－1π2上是减函数，在区间－1π2，π4上是 增函数， f－π4＝－14，f－1π2＝－12，fπ4＝14， 所以函数 f(x)在闭区间－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.
巧算12点的经典题目及技巧
巧算12点的经典题目及技巧1. 背景介绍在数学领域中，巧算问题是指通过运算符号和给定数字来计算得到特定结果的问题。
巧算问题广泛应用于数学教育和智力训练中，有助于培养人们的思维能力和逻辑推理能力。
本文将介绍一些经典的巧算问题，以及解决这些问题的技巧和策略。
2. 经典巧算问题2.1 用四个4计算得到数字12这是一个经典的巧算问题，要求使用四个数字4和基本的运算符（加法、减法、乘法和除法）来计算得到数字12。
以下是一种可能的解法：(4 + 4) * (4 - 4) = 122.2 组成数字12的运算这个问题要求使用给定的数字（例如1、2、3、4）和基本的运算符，通过组合运算得到数字12。
以下是一些可能的解法：1 +2 +3 +4 + 1 + 1 = 122 * (4 + 1) +3 + 2 = 123. 解题技巧和策略3.1 利用括号和优先级在巧算问题中，运算符的优先级和括号的使用非常重要。
通过合理地使用括号和确定运算符的顺序，可以得到正确的结果。
3.2 利用加法和乘法的交换律加法和乘法具有交换律，即数字的顺序不影响最终的结果。
在解决巧算问题时，可以利用这一性质来改变数字的顺序，使得计算更加简洁。
3.3 利用运算符的特性不同的运算符具有不同的特性，如加法的关联性、减法的补集等。
在解决巧算问题时，可以尝试利用这些特性来简化运算步骤。
4. 总结巧算问题是一种有趣且富有挑战性的数学问题，通过解决这些问题可以提高逻辑推理能力和数学思维能力。
本文介绍了一些经典的巧算问题，并提供了解题的技巧和策略。
希望读者可以通过阅读本文，对巧算问题有更深入的了解，从而提升自己的数学水平。
2012年高考数学解答题万能答题模板
作者： 李太新[1] 蔡小雄[2]
作者机构： [1]浙江省安吉高级中学 [2]浙江省杭州二中
出版物刊名： 求学：理科版
页码： 42-47页
年卷期： 2012年 第6期
主题词： 高考命题 解答题 模板 数学 高考模拟试题 三角函数 立体几何 解析几何
摘要：三角函数、数列、立体几何、解析几何、函数与导数等知识的解答题是近几年高考命题的热点，也是考生获取高分的制高点．因此，长期以来，大家都在苦苦追寻一种“万能”的答题模板．以期快速地解答这些题型从而轻松获取高分!现结合最新的高考模拟试题，总结出一套有点“万能”的答题模板．以飨读者．。
高中万能解题模板
高中万能解题模板引言在高中学习中，解题是一项常见且重要的任务。
不论是数学、物理、化学还是其他科目，学生都需要掌握一些解题技巧和方法。
本文将介绍一些高中万能解题模板，旨在帮助学生更好地解题，提高学习成绩。
解题模板的重要性解题模板是一种系统化的方法，它能够帮助学生理清问题的思路，正确地分析和解决问题。
解题模板不仅可以提高解题的效率，还可以提高解题的准确性。
以下是一些解题模板的例子：数学解题模板1.阅读题目：认真阅读题目，理解题目所给条件和要求。
2.确定解题方法：仔细思考如何解题，可以根据题目的特点选择相应的解题方法。
3.列出解题方程或公式：根据题目给出的条件，列出相应的方程或公式。
4.解方程或公式：解方程或公式，得到解答。
5.检查解答：将解答代入原方程或公式中，检查解答的正确性。
物理解题模板1.阅读题目：细读题目，理解所给条件和问题要求。
2.列出已知量和未知量：将已知量和未知量列出来，建立问题的数学模型。
3.应用物理公式：根据问题要求和已知条件，应用相应的物理公式进行计算。
4.计算并分析结果：进行计算，并对结果进行分析和解释。
5.检查结果：将结果代入原方程或公式中，检查结果的正确性。
化学解题模板1.阅读题目：仔细阅读题目，理解实验条件和问题要求。
2.物质的性质和反应：根据知识掌握，分析物质的性质和反应类型。
3.量的关系：根据题目所给条件，建立量的关系。
4.计算并解答问题：根据量的关系，进行计算并找出答案。
5.检查答案：将答案代入原关系中，检查答案的准确性。
解题模板的优点和局限性解题模板有许多优点，首先它能够帮助学生快速理清问题，确定解题思路。
其次，解题模板能够提高学生解题的准确性，通过系统化的方法可避免遗漏关键步骤。
然而，解题模板也存在一些局限性。
有些问题可能没有明确的模板可供使用，还需要学生根据个人经验和理解进行解题。
解题技巧和方法除了解题模板，还有一些解题技巧和方法可以帮助学生更好地解题：1.预读题目：在阅读题目之前，可以先预读题目，了解问题的大致内容，有助于理清思路。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
页面边距（页边距设置都为2厘米）：
解题编辑要求如下：（下面为选择填空与解答的样本，供参考使用的模版．．
） （1）字体：宋体与Times New Roman
（2）字体大小：五号
（3）行距：1.5倍行距（）
（4）数学公式的输入：一定要用群里大家在用的软件（不用WPS 、word 自带的公式编器）：
MathType 6.9简体中文版(加载&对象型).exe （需要的可以在群里说一下，有人会提供）
MathType 中的字体：10.5（对应word 中5号字体）
（5）方法提供与解析：注意颜色与首行缩进2字符
选择题模板（填空题一样）
5：在空间直角坐标系O xyz -中，O 为坐标原点，若点()1,2,3P -在平面xOz 上的投影为点B ，
则线段OB 的长度为（ ）
A B C D
方法提供与解析：（地区+姓名）
解析1：（概括方法，若无法概括，可空着）
点()1,2,3P -在平面xOz 上的投影为点()1,0,3B ，由距离公式得OB B
解析2：（概括方法，若无法概括，可空着）
……
注：1、题号、编辑解析者信息和“解析”两字都是首行缩进2字符
2、解析正文不需首行缩进2字符
3、最后写上答案（选择题：故选… 填空题：故填…）
解答题模板
22：已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点到直线:210l x y --=． （1）求抛物线的方程；
（2）过点()()0,0P t t >的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，交x 轴于点Q ，若抛物线C 上总存在点M （异于原点O ），使得90PMQ AMB ∠=∠=︒，求实数t 的取值范围． 方法提供与解析：（地区+姓名）
（1）解析1：（概括方法，若无法概括，可空着）
第（1）小题 解析正文…………（若有多种解法，继续
（1）解析2） （2）解析1：（概括方法，若无法概括，可空着）
第（2）小题 解析正文…………（若有多种解法，继续
（2）解析2）。