第7章超静定结构与弯矩分配法

A MAB
多结点的弯矩分配 ——渐近运算
B
C C
B
MBA MBC
MCB
MCD
D
第一节 超静定结构和静定结构的差别
一、几何组成分析 静定梁：
几何可变
静定结构是没有多余约束的几何不变体系
超静定梁：
有多余支座
超静定结构是有多余约束的几何不变体系
二、超静定结构的优缺点
1.超静定结构的优点 1）超静定结构在抵抗外荷载时具有较大的刚度。 刚度：力在所作用点产生单位位移时所需的力。
SAB = 4i
D
MA
B
如用位移法求解：
于1 是可得
iAD
i A AB
iAC
M AB 4iAB A SAB A
M AC iAC A S AC A
SAB= 3i
M A1B
S AB M S
SAB= i A
MAD
C
M
MAB
m0
M AD 3iAD A SAD A
M (S AB S AC S AD ) A
小结：
1、超静定结构是有多余约束的几何不变体系； 2、超静定结构的全部内力和反力仅有平衡条件求不出，还 必须考虑变形条件；
如在力法计算中，多余未知力由力法方程（变形条件）计
算。再由M=∑MiXi+MP 叠加内力图。如只考虑平衡条件画出单 位弯矩图和荷载弯矩图，Xi是没有确定的任意值。
因此单就满足平衡条件来说，超静定结构有无穷多组解答。 3、超静定结构的内力与材料的物理性能和截面的几何特征
有关，即与刚度有关。 荷载引起的内力与各杆的刚度比值有关。因此在设计超静
定结构时须事先假定截面尺寸，才能求出内力；然后再根据内 力重新选择截面。
另外，也可通过调整各杆刚度比值达到调整内力的目的。
5、超静定结构的多余约束破坏，仍能继续承载。具有较
高的防御能力。
6、超静定结构的整体性好，在局部荷载作用下可以减小
1 d
P
P
K1 1 Kd d
静定梁
超静定梁
1 d
P
P
K1 1 Kd d
2)超静定结构与静定结构相比具有较低的应力 连续性
2.超静定结构的缺点 连续性
1）支座沉降会引起内力和变形
超静定三跨连续梁 支座B相对沉降
可能导致超载
对于超静定结构，可以导致结构变形的任何原因，如相
对的沉陷、温度改变引起的杆件长度变化或者制造误差等， 都会使整个结构产生内力。
1 2
B
CAB
M BA M AB
0
MAB= iABA
A
A
MBA = - iAB A
B
CAB
M BA M AB
1
在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远端 弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。
四、杆端弯矩 :支座对靠近支座的杆件这一端的弯矩 1.计算杆端弯矩的目的 2.近端弯矩和远端弯矩 3.杆端弯矩一律以顺时 针方向为正
局部的内力幅值和位移幅值。
P
P
P
P
Pl/4 P
P Pl/4 l/2 l/2
l
μ=1
μ=1/2
多余约束约束的存在， 使结构的强度、刚度、稳 定性都有所提高。
第二节 超静定结构的计算方法概述
1.力法是将超静定结构的多余未知力作为首先解决的对象，通 过把多余未知力计算出未成为已韧力以后，剩下的问题便可归 结为静定结构的计算。
五、固端弯矩
固端弯矩：对单跨超静定梁仅由荷载引起的杆端弯矩，称为
固端弯矩，用 M表示。
M
M
将每相邻两节点之间的杆件视为一根两端支座为固定支座 的单跨梁，这样的梁在各种外荷载作用下的杆端弯矩叫做固 端弯矩。
单结点的弯矩分配 ——基本运算
A M AB
B
M BA
M BC
固端弯矩带本身符号 C
MB
=
MB
20 62 8
90kN m
200kN 60 20kN/m
MB= MBA+ MBC= 60kN m
（2）放松结点B，即加-60进行分配
A -150
A -17.2 A -150
B
150
-90
-60 0.571 0.429
-34.3 B -25.7
0.571 0.429 150 B -90
=
+
0
C 设i =EI/l
M BA
M BC
A M AB
M BA B M BC
+
C
-MB
M B M BA M BC
-MB
A
M AB
M B A B M B C
最后杆端弯矩：
C 0
MBA = M BA M B A
MBC = M BC M B C
M B A
M B C
M B A BA (M B ) M B C BC (M B )
2.位移法是通过向原结构中沿独立位移方向人为地添加约束， 并引入未知位移作为首先解决的现象，当把未知的节点位移 计算出来以后，剩下的问题就可以把杆件的杆端弯矩求出， 又使问题成为静定结构的计算。
3. 有限元法或称结构矩阵分析。
4.渐进法
弯矩分配法的基本概念
理论基础：位移法；
弯矩分配法
计算对象：杆端弯矩； 计算方法：逐渐逼近的方法；
MAB= M AB M AB 然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。
例1. 用弯矩分配法作图示连续梁
的16弯7.2矩图。 200kN 115.7 300
M图(kN·m) 20k9N0/m
A
EI
B
EI
3m
3m
6m
（1）B点加约束
MAB=
200 8
6
150kN
m
C
MBA= 150kN m
MBC=
1
M AC
S AC M S
A
MAC
A
A
S AB
M S AC
S AD
M S
M AD
S AD M S
A
Aj
S Aj S
A
M Aj Aj M
A
1
分配系数
三、传递系数
MAB = 4 iAB A
近端 A
A l
MAB = 3iABA
A
A
MBA = 2 iAB A
远端 B
CAB
M BA M AB
计算转动刚度：
SBA=4i
SBC=3i
C
分配系数：BA
4i 4i 3i
0.571
BC
3i 7i
0.429
分配力矩:
C
M B A 0.571 (60) 34.3
-17.2 -167.2
-34.3 -25.7 115.7 -115.7
0
M B C 0.429 (60) 25.7
0 (3) 最后结果。合并前面两个过程
适用范围：连续梁和无侧移刚架。
一、转动刚度S ： 表示杆端对转动的抵抗能力。
在数值上 = 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力
SAB=4i
矩。
SAB=3i
1
1
SAB=i
1
SAB=0
SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远 端支承有关， 而与近端支承无关。
二、分配系数 设A点有力矩M，求MAB、MAC和MAD