2017_18学年高中数学第二章2.1.3空间中直线与平面2.1.4平面与平面之间的位置关系学案含解析
2017_18学年高中数学第二章参数方程三直线的参数方程教学案
三 直线的参数方程[对应学生用书P27]1．直线的参数方程(1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t 的几何意义参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离． (1)当M 0M ―→与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数． (2)当M 0M ―→与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0.[对应学生用书P27][例1] 已知直线l 的方程为3x －4y ＋1＝0，点P (1,1)在直线l 上，写出直线l 的参数方程，并求点P 到点M (5,4)的距离．[思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方程．[解] 由直线方程3x －4y ＋1＝0可知，直线的斜率为34，设直线的倾斜角为α，则tan α＝34，sin α＝35，cos α＝45.又点P (1,1)在直线l 上，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝1＋35t (t 为参数)．因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M 在直线l 上．由1＋45t ＝5，得t ＝5，即点P 到点M 的距离为5.理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t 的几何意义，即直线上动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值是解决此类问题的关键．1．设直线l 过点A (2，－4)，倾斜角为5π6，则直线l 的参数方程为________________．解析：直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos5π6，y ＝－4＋t sin 5π6(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t (t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t (t 为参数)2．一直线过P 0(3,4)，倾斜角α＝π4，求此直线与直线3x ＋2y ＝6的交点M 与P 0之间的距离．解：设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝4＋22t ，将它代入已知直线3x ＋2y －6＝0， 得3(3＋22t )＋2(4＋22t )＝6. 解得t ＝－1125，∴|MP 0|＝|t |＝1125.[例2] 已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6，(1)写出直线l 的参数方程．(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．[思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方程；(2)充分利用参数几何意义求解．[解] (1)∵直线l 过点P (1,1)，倾斜角为π6，∴直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t 为所求．(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2，则点A ，B 的坐标分别为A (1＋32t 1,1＋12t 1)，B (1＋32t 2,1＋12t 2)， 以直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4整理得到t 2＋(3＋1)t －2＝0，① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2. 所以|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝|－2|＝2.求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数t 的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．3．直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，l 与圆x 2＋y 2＝7相交于A 、B 两点．(1)求弦长|AB |； (2)求A 、B 两点坐标．解：∵直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，∴可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝t 2.代入圆方程，得(－4＋32t )2＋(12t )2＝7. 整理得t 2－43t ＋9＝设A 、B 对应的参数分别t 1和t 2， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝43，t 1t 2＝9 ∴|AB |＝|t 2－t 1|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝2 3.解得t 1＝33，t 2＝3，代入直线参数方程 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t ，得A 点坐标(12，332)，B 点坐标(－52，32)．4.如图所示，已知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，直线l 和抛物线y2＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求：(1)P ，M 间的距离|PM |； (2)点M 的坐标．解：(1)由题意，知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45，∴直线l 的参数方程的标准形式为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝45t(t 为参数)． *∵直线l 和抛物线相交，∴将直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中， 整理得8t 2－15t －50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0. 设这个二次方程的两个根为t 1，t 2，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254.由M 为线段AB 的中点， 根据t 的几何意义，得|PM | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516.(2)因为中点M 所对应的参数为t M ＝1516，将此值代入直线l 的参数方程的标准形式(*)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35×1516＝4116，y ＝45×1516＝34，即M ⎝⎛⎭⎪⎫4116，34.[对应学生用书P28]一、选择题1．直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t 2，y ＝2－32t ，M 0(－1,2)和M (x ，y )是该直线上的定点和动点，则t 的几何意义是( )A ．有向线段M 0M 的数量B ．有向线段MM 0的数量C ．|M 0M |D ．以上都不是解析：参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋－12－t ，y ＝2＋32－t答案：B2．曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(t 是参数)，则曲线是( )A ．线段B ．双曲线的一支C ．圆D ．射线解析：由y ＝t 2－1得y ＋1＝t 2，代入x ＝3t 2＋2， 得x －3y －5＝0(x ≥2)．故选D. 答案：D3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t(t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10D ．2 2解析：因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t 不具有几何意义，故不能直接由1－0＝1来得距离，应将t ＝0，t ＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即－2＋－1－2＝10.答案：B4．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π6或5π6解析：直线化为y x＝tan α，即y ＝tan α·x ， 圆方程化为(x －4)2＋y 2＝4， ∴由|4tan α|tan 2α＋1＝2⇒tan 2α＝13， ∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6. 答案：D 二、填空题5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝－3－22t (t 为参数)上到点M (2，－3)的距离为2且在点M 下方的点的坐标是________．解析：把参数方程化成标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22－t ，y ＝－3＋22－t ，把－t 看作参数，所求的点在M (2，－3)的下方，所以取－t ＝－2，即t ＝2，所以所求点的坐标为(3，－4)．答案：(3，－4)6．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－35t ，y ＝45t(t 为参数)，则直线l 的斜率为______．解析：由参数方程可知，cos θ＝－35，sin θ＝45.(θ为倾斜角)．∴tan θ＝－43，即为直线斜率．答案：－437．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝____________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析：将l 1，l 2的方程化为普通方程，得l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0， l 1∥l 2⇒k 2＝21≠4＋k1⇒k ＝4.l 1⊥l 2⇒(－2)·(－k2)＝－1⇒k ＝－1.答案：4 －1 三、解答题8．设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋3t ，y ＝10－4t(t 为参数)．(1)求直线的普通方程；(2)将参数方程的一般形式化为参数方程的标准形式． 解：(1)把t ＝x －53代入y 的表达式 得y ＝10－x －3，化简得4x ＋3y －50＝0，所以直线的普通方程为4x ＋3y －50＝0. (2)把参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35－5t ，y ＝10＋45－5t ，令t ′＝－5t ，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35t ′，y ＝10＋45t ′(t ′为参数)为参数方程的标准形式．9．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长度．解：因为直线l 的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π4.椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点为(3，0)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋22t 24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝1，整理，得5t 2＋26t －2＝0. 设方程的两实根分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－265，t 1·t 2＝－25，|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2652＋85＝85， 所以弦AB 的长为85.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值． 解：(1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.。
高三数学教案：空间点、直线、平面之间的位置关系(3课时)
第一课时 2.1.1 平面教学要求：能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”；理解平面的无限延展性；准确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系；初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；理解能够作为推理依据的三条公理.教学重点：理解三条公理，能用三种语言分别表示.教学难点：理解三条公理.教学过程：一、复习准备：2. 举例：生活中哪些物体给我们以平面的形象？二、讲授新课：1. 教学平面的概念及表示：① 平面的概念： A.描绘性说明； B.平面是无限伸展的；理解两点：无限好比在平面上画直线；一个平面把空间分成两局部。
② 平面的画法：A.任意角度观察桌面、黑板面，感到象什么？美术中如何画一张纸？B.画法：通常画平行四边形来表示平面。
（注意通常两字）水平平面：通常画成锐角成45°，横边等于邻边的两倍。
非水平平面：只要画成平行四边形。
直立的平面：一组对边为铅垂线。
相交的平面：一定要画出交线；遮住局部的线段画虚线或不画。
C.练习： 画一个平面、相交平面③ 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也能够用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC 。
④ 点与平面的关系：点A 在平面α内，记作A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉.2. 教学公理1：①揭示公理1：假如一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
（即直线在平面内，或者平面经过直线）②应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内③符号：点A 的直线l 上，记作：A ∈l ； 点A 在直线l 外，记作A ∉l ；直线l 的平面α内，记作l ⊂α。
④用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂3.教学公理2：①揭示公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
②理解：不在同一条直线上；一点、两点、三点、四点的情况；有且只有一个，等价于确定 ③实例：一扇门。
人教A版高中数学二同步学习讲义：第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1.3~2.1.4 含答案
2。
1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系学习目标 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系.2.学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系.3。
掌握空间中平面与平面的位置关系．知识点一直线和平面的位置关系思考如图所示,在长方体ABCD—A1B1C1D1中线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系？答案三种位置关系：（1）直线在平面内；(2)直线与平面相交；（3)直线与平面平行．梳理直线l与平面α的位置关系（1）直线l在平面α内(l⊂α)．（2）直线l在平面α外l⊄α错误!知识点二两个平面的位置关系思考观察前面问题中的长方体，平面A1C1与长方体的其余各个面,两两之间有几种位置关系?答案两种位置关系：两个平面相交或两个平面平行．梳理平面α与平面β的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β0个两平面相交α∩β＝l无数个点(共线）类型一直线与平面的位置关系例1下列四个命题中正确命题的个数是（）①如果a，b是两条直线,a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行;③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；④如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α.A．0 B．1 C．2 D．3答案B解析如图,在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC,故命题②不正确；③中，假设b与α相交，因为a∥b,所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即③正确；④显然不正确,故答案为B。
反思与感悟空间中直线与平面只有三种位置关系:直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行．本题借助几何模型判断，通过特例排除错误命题．对于正确命题,根据线、面位置关系的定义或反证法进行判断,要注意多种可能情形．跟踪训练1下列命题(其中a,b表示直线,α表示平面)：①若a∥b，b⊂α,则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b;③若a∥b,b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α,则a∥b.其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案A解析如图所示，在长方体ABCD—A′B′C′D′中,AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD,故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交,故②错误；AB∥A′B′,A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．类型二平面与平面之间的位置关系错误!例2α、β是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是（) A．平面α内有两条直线a、b都与平面β平行，那么α∥βB．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC．若直线a与平面α和平面β都平行,那么α∥βD．平面α内所有的直线都与平面β平行,那么α∥β答案D解析A、B都不能保证α、β无公共点,如图1所示；C中当a∥α,a∥β时，α与β可能相交，如图2所示;只有D说明α、β一定无公共点．反思与感悟判断线线、线面、面面的位置关系，要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断．跟踪训练2已知两平面α、β平行，且a⊂α,下列四个命题:①a与β内的所有直线平行;②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．其中正确命题的个数是(）A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面；②正确;③中直线a与β内的无数条直线垂直；④根据定义a与β无公共点，正确．命题角度2两平面位置关系的作图例3（1）画出两平行平面；（2)画出两相交平面．解两个平行平面的画法：画两个平行平面时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如图a所示．两个相交平面的画法：第一步，先画表示平面的平行四边形的相交两边，如图b所示；第二步，再画出表示两个平面交线的线段，如图c所示;第三步，过b中线段的端点分别引线段，使它们平行且等于图c中表示交线的线段，如图d所示；第四步,画出表示平面的平行四边形的第四边(被遮住部分线段可画成虚线，也可不画),如图e 所示．引申探究在图中画出一个平面与两个平行平面相交．解跟踪训练3试画出相交于一点的三个平面．解如图所示（不唯一)．1．下列图形所表示的直线与平面的位置关系，分别用符号表示正确的一组是()A．a⊄α，a∩α＝A,a∥αB．a∉α，a∩α＝A，a∥αC．a⊂α，a∩α＝A，a∥αD．a∈α，a∩α＝A,a∥α答案C解析直线在平面内用“⊂”，故选C.2．如图所示，用符号语言可表示为(）A．α∩β＝l B．α∥β,l∈αC．l∥β，l⊄αD．α∥β,l⊂α答案D3．若直线l不平行于平面α,且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交答案B解析由题意知，直线l与平面α相交，则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B是正确的．4．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．答案0或1解析若平面外两点所在直线与平面相交时，经过这两点与已知平面平行的平面不存在．若平面外两点所在直线与已知平面平行时，此时,经过这两点有且只有一个平面与已知平面平行．5．如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，分别指出直线B1C，D1B 与正方体六个面所在平面的关系．解根据图形，直线B1C⊂平面B1C，直线B1C∥平面A1D，与其余四个面相交，直线D1B与正方体六个面均相交．1．弄清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断,要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析．2．长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们给它以“百宝箱"之称．课时作业一、选择题1．已知直线a在平面α外，则（)A．a∥αB．直线a与平面α至少有一个公共点C．a∩α＝AD．直线a与平面α至多有一个公共点答案D解析因已知直线a在平面α外，所以a与平面α的位置关系为平行或相交，因此断定a∥α或断定a与α相交都是错误的，但无论是平行还是相交,直线a与平面α至多有一个公共点是正确的，故选D。
高中数学《第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2直线、平面平行的判定及其性质...》686PPT课件
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
1．已知 b 是平面 α 外的一条直线，下列条件中，可得出 b∥α 的是( ) A．b 与 α 内的一条直线不相交 B．b 与 α 内的两条直线不相交 C．b 与 α 内的无数条直线不相交 D．b 与 α 内的所有直线不相交 解析：选 D．若 b 与 α 内的所有直线不相交，即 b 与 α 无公 共点，故 b∥α.
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考点贯通
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
抓高考命题的“形”与“神” 线面平行的判定
强化练 1：如图，在三棱台 DEF-ABC 中，
AB＝2DE，点 G，H 分别为 AC，BC 的中点．求
证：BD∥平面 FGH. [证明] 如图，连接DG，CD，设CD∩FG＝O，连接OH.
在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，点G为AC的中点，
当 点 M 在 何 位 置 时 ， BM ∥ 平 面 AEF?
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
[解] 如图 1，取 AE 的中点 O，连接 OF，过点 O 作 OM ⊥AC 于点 M.
图1
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
∵侧棱 A1A⊥底面 ABC， ∴侧面 A1ACC1⊥底面 ABC， ∴OM⊥底面 ABC. 又∵EC＝2FB， ∴OM∥FB∥ ═12EC， ∴四边形 OMBF 为矩形， ∴BM∥OF， 又∵OF⊂平面 AEF，BM⊄平面 AEF. 故 BM∥平面 AEF，此时点 M 为 AC 的中点．
高中数学必修2立体几何常考题型：空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系【知识梳理】1．直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号暗示a⊂αa∩α＝A a∥α图形暗示2．两个平面的位置关系位置关系图示暗示法公共点个数两平面平行α∥β没有公共点两平面相交α∩β＝l 有无数个公共点(在一条直线上)【常考题型】题型一、直线与平面的位置关系【例1】下列说法：①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中说法正确的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个[解析]对于①，直线a在平面α外包孕两种情况：a∥α或a与α相交，∴a和α纷歧定平行，∴①说法错误．对于②，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a纷歧定平行于α.∴②说法错误．对于③，∵a∥b，b⊂α，∴a⊂α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行．∴③说法正确．[答案] B【类题通法】空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．【对点训练】1．下列说法中，正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；③经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条必然与这个平面平行．A．0 B．1C．2 D．3解析：选C①正确；②错误，如图1所示，l1∥m，而m⊂α，l1⊂α；③正确，如图2所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1C1与直线BD异面，A1C1⊂平面A1B1C1D1，且BD∥平面A1B1C1D1，故③正确；④错误，直线还可能与平面相交．由此可知，①③正确，故选C.题型二、平面与平面的位置关系【例2】(1)平面α内有无数条直线与平面β平行，问α∥β是否正确，为什么？(2)平面α内的所有直线与平面β都平行，问α∥β是否正确，为什么？[解](1)不正确．如图所示，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，…，a n，…，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n，…与平面β都平行(因为a1，a2，…，a n，…与平面β无交点)，但此时α与β不平行，α∩β＝l.(2)正确．平面α内所有直线与平面β平行，则平面α与平面β无交点，符合平面与平面平行的定义．【类题通法】两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行．这样我们可以得出两个平面的位置关系：①平行——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线．若平面α与β平行，记作α∥β；若平面α与β相交，且交线为l，记作α∩β＝l.【对点训练】2．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面．与其中一个侧面相交的面共有________个．解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共有8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系．答案：4 63．如图所示，平面ABC与三棱柱ABC－A1B1C1的其他面之间有什么位置关系？解：∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点，∴平面ABC与平面A1B1C1平行．∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，∴平面ABC与平面ABB1A1相交．同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交．【练习反馈】1．M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有()A．l∥αB．l⊂αC．l与α相交D．以上都有可能解析：选C由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．2.如图所示，用符号语言可暗示为()A．α∩β＝lB．α∥β，l∈αC．l∥β，l⊄αD．α∥β，l⊂α解析：选D显然图中α∥β，且l⊂α.3．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是________．答案：平行4．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．解析：若平面外两点所在直线与该平面相交，则过这两个点不存在平面与已知平面平行；若平面外两点所在直线与该平面平行，则过这两个点存在独一的平面与已知平面平行．答案：0或15．三个平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b.(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．解：(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又c⊂β，所以c与α无公共点，则c∥α.(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，所以a，b没有公共点．由于a、b都在平面γ内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.。
2.3.3直线与平面2.3.4平面与平面垂直的性质(1)学案(含解析)新人教A版必修2
2．3.3 & 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质第一课时 直线与平面、平面与平面垂直的性质[提出问题]世界上的高楼大厦太多了：中国上海中心大厦632米，天津高银117大厦621米，位于深圳的平安国际金融大厦600米(如右图)．问题1：上海中心大厦外墙的每列玻璃形成的直线与地面有何位置关系？提示：垂直．问题2：每列玻璃形成的直线是什么位置关系？ 提示：平行． [导入新知]直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． (2)图形语言：(3)符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b .(4)作用：①线面垂直⇒线线平行； ②作平行线． [化解疑难]对于线面垂直的性质定理的理解(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．[提出问题]教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直．问题1：在黑板上任意画一条线与地面垂直吗？ 提示：不一定，也可能平行、相交(不垂直)． 问题2：怎样画才能保证所画直线与地面垂直？ 提示：只要保证所画的线与两面的交线垂直即可． [导入新知]平面与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (2)图形语言：(3)符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝l a ⊂αa ⊥l⇒a ⊥β.(4)作用：①面面垂直⇒线面垂直； ②作面的垂线． [化解疑难]对面面垂直的性质定理的理解 (1)定理成立的条件有三个： ①两个平面互相垂直； ②直线在其中一个平面内； ③直线与两平面的交线垂直．(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直． (3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.[例1] 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．求证：平面BCE ⊥平面CDE .[解] 证明：取CE 的中点G ，连接FG ，BG ，AF .∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE ， 且GF ＝12DE .∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE .则GF ∥AB . 又∵AB ＝12DE ，∴GF ＝AB .则四边形GFAB 为平行四边形．于是AF ∥BG . ∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD .∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF .又∵CD ∩DE ＝D ，CD ，DE ⊂平面CDE ，∴AF ⊥平面CDE . ∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE . [类题通法]1．此类问题是证明两个平面垂直比较难的问题，证明时要综合题目中的条件，利用条件和已知定理来证，或从结论出发逆推分析．2．若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行， 可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．[活学活用]如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PB ⊥平面ABCD .(1)若AC ＝6，BD ＝8，PB ＝3，求三棱锥A PBC 的体积； (2)若点E 是DP 的中点，证明：BD ⊥平面ACE . 解：(1)∵四边形ABCD 为菱形， ∴BD 与AC 相互垂直平分，∴底面ABCD 的面积S 菱形ABCD ＝12×6×8＝24，∴S △ABC ＝12S 菱形ABCD ＝12.又PB ⊥平面ABCD ，且PB ＝3，∴三棱锥A PBC 的体积V A PBC ＝V P ABC ＝13×PB ×S △ABC ＝12.(2)证明：如图，设BD 与AC 相交于点O ，连接OE ，∵O 为BD 的中点，E 是DP 的中点，∴OE ∥PB . 又PB ⊥平面ABCD ，∴OE ⊥平面ABCD . ∵BD ⊂平面ABCD ，∴OE ⊥BD ， 由(1)知AC ⊥BD ，又AC ∩OE ＝O ， ∴BD ⊥平面ACE .[例2] 如图所示，P 是四边形ABCD 所在平面外的一点，四边形ABCD 是∠DAB ＝60°，且边长为a 的菱形．侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .(1)若G 为AD 边的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； (2)求证：AD ⊥PB .[解] 证明：(1)连接PG ，由题知△PAD 为正三角形，G 是AD 的中点，则PG ⊥AD . 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PG ⊂平面PAD ，∴PG ⊥平面ABCD . ∵BG ⊂平面ABCD ， ∴PG ⊥BG .又∵四边形ABCD 是菱形， 且∠DAB ＝60°， ∴△ABD 是正三角形． 则BG ⊥AD .又∵AD ∩PG ＝G ，且AD ，PG ⊂平面PAD ， ∴BG ⊥平面PAD .(2)由(1)可知BG ⊥AD ，PG ⊥AD .又∵BG ，PG 为平面PBG 内两条相交直线， ∴AD ⊥平面PBG .∵PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.[类题通法]证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．[活学活用]如图，菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2CD＝4，∠ABE＝60°，∠BAD＝∠CDA＝90°，点H是线段EF 的中点．(1)求证：平面AHC⊥平面BCE；(2)求此几何体的体积．解：(1)证明：连接AE，在菱形ABEF中，因为∠ABE＝60°，所以△AEF是等边三角形．又因为H是线段EF的中点，所以AH⊥EF，所以AH⊥AB.因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD＝AB，所以AH⊥平面ABCD，所以AH⊥BC.在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2CD＝4，∠BAD＝∠CDA＝90°，得到AC＝BC＝22，从而AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.又AH∩AC＝A，所以BC⊥平面AHC.又BC⊂平面BCE，所以平面AHC⊥平面BCE.(2)连接FC，因为V＝V EACB＋V FADC＋V CAEF，又易得S△ACB＝4，S△ADC＝2，S△AEF＝43，所以V＝V EACB＋V FADC＋V CAEF＝13(23×4＋23×2＋2×43)＝2033.[例3] 已知：如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．[解] 证明：(1)在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G.∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.同理可证，DG⊥PA.∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于点H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又∵AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE，∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．[类题通法]线线、线面、面面垂直关系的综合应用主要体现了转化思想．证明线面垂直常转化为线线垂直，证明面面垂直常转化为线面垂直．[活学活用]如图，在三棱锥PABC中，E，F分别为AC，BC的中点．(1)求证：EF∥平面PAB；(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°，求证：平面PEF⊥平面PBC.证明：(1)∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB.又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.(2)∵PA＝PC，E为AC的中点，∴PE⊥AC.又∵平面PAC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.又∵F为BC的中点，∴EF∥AB.∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF.∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.又∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEF.5.垂直性质定理应用的误区[典例] 已知两个平面垂直，有下列命题：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数是( )A．3 B．2C．1 D．0[解析] 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，对于①AD1⊂平面AA1D1D，BD⊂平面ABCD，AD1与BD是异面直线，所成角为60°，①错误；②正确．对于③，AD1⊂平面AA1D1D，AD1不垂直于平面ABCD；对于④，过平面AA1D1D内点D1作D1C.∵AD⊥平面D1DCC1，D1C⊂平面D1DCC1，∴AD⊥D1C.但D1C不垂直于平面ABCD，④错误．[答案] C[易错防范]对于④，很容易认为是正确的，其实与面面垂直的性质定理是不同的，“一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“过一个平面内任意一点作交线的垂线，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过点作的直线不一定在已知平面内．[成功破障]如果直线l，m与平面α，β，γ之间满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么( )A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ答案：A[随堂即时演练]1．下列命题中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案：D2．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是( )A．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βB．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αC．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若α⊥β，n⊥β，m⊥n，则m⊥α答案：B3．若a，b表示直线(不重合)，α表示平面，有下列说法：①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a ⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.其中正确的是________(填序号)．答案：①④4．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．答案：平行5.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1，求证：CF⊥平面BDE.证明：如图，设AC∩BD＝G，连接EG，FG.由AB＝2易知CG＝1，则EF＝CG＝CE.又EF∥CG，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF，所以BD⊥CF.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.[课时达标检测]一、选择题1．若l，m，n表示不重合的直线，α表示平面，则下列说法中正确的个数为( )①l∥m，m∥n，l⊥α⇒n⊥α；②l∥m，m⊥α，n⊥α⇒l∥n；③m⊥α，n⊂α⇒m⊥n.A．1 B．2C．3 D．0答案：C2．如果直线a与平面α不垂直，那么平面α内与直线a垂直的直线有( )A．0条B．1条C．无数条D．任意条答案：C3．(浙江高考)设l是直线，α，β是两个不同的平面( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β答案：B4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β答案：D5.如图，线段AB的两端在直二面角αlβ的两个面内，并与这两个面都成30°角，则异面直线AB与l所成的角是( )A．30° B．45°C．60° D．75°答案：B二、填空题6.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系是________．答案：平行7.如图，四面体PABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.答案：78.如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.其中正确的有______(把所有正确的序号都填上)．答案：①④三、解答题9.如图，三棱锥PABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.证明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.又BC ⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.10.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明：(1)在四棱锥PABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.- 11 -。
高一数学必修二2.1.3直线与平面位置关系 2.1.4平面与平面位置关系导学案(解析版)
2.1.2空间中直线与平面之间的位置关系2.1.3空间中平面与平面之间的位置关系一、课标解读1. 掌握直线与平面之间的位置关系，理解直线在平面外的概念,会判断直线与平面的位置关系；2. 掌握两平面之间的位置关系，会画相交平面的图形.二、自学导引问题1：用铅笔表示一条直线，作业本表示一个平面，你试着比画，它们之间有几种位置关系?观察：如图3-1,直线A B 与长方体的六个面有几种位置关系?图3-1空间直线与平面的位置关系问题2：平面与平面的位置关系有几种？你试着拿两个作业本比画比画.观察：还是在长方体中，如图3-2，你看看它的六个面两两之间的位置关系有几种?图3-2平面与平面的位置关系三、合作探究⑴从交点个数方面来分析，直线与平面的三种位置关系对应的交点各有多少个？⑵请你试着把直线与平面的三种位置关系用图形表示出来，并想想用符号语言该怎么描述.(3)请你试着把平面与平面的两种关系用图形以及符号语言表示出来.四、典例精析例1 下列命题中正确的个数是（）①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行.③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.A.0B.1C.2D.3⊄，则下列结论成立的是（）变式训练1. 若直线a不平行于平面α，且aαA.α内的所有直线与a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内存在唯一的直线与a平行D.α内的直线与a都相交.例2 已知平面,αβ，直线,a b，且α∥β,aα⊂，bβ⊂，则直线a与直线b具有怎样的位置关系?αβγ为三个不重合的平面：变式训练2. 已知,,a b c为三条不重合的直线，,,①a∥c,b∥c⇒a∥b；②a ∥γ,b ∥γ⇒a ∥b ；③a ∥c ,c ∥α⇒a ∥α；④a ∥γ,a ∥αα⇒∥γ；⑤a α⊄,b α⊂,a ∥b ⇒a ∥α.其中正确的命题是（ ）A.①⑤B.①②C.②④D.③⑤例3 求证：两条平行线中的一条与已知平面相交，则另一条直线也与该平面相交五、自主反馈1. 直线l 在平面α外，则（ ）.A.l ∥αB.l 与α至少有一个公共点C.l A α=D.l 与α至多有一个公共点2. 已知a ∥α，b α⊂，则（ ）.A.a ∥bB.a 和b 相交C.a 和b 异面D.a 与b 平行或异面3. 四棱柱的的六个面中，平行平面有（ ）.A.1对B.1对或2对C.1对或2对或3对D.0对或1对或2对或3对4. 过直线外一点与这条直线平行的直线有____条；过直线外一点与这条直线平行的平面有____个.5. 若在两个平面内各有一条直线，且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是______.答案2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系例1 B 例2 平行或异面例3 证明：已知直线P a b a =α ,//求证：相交与平面直线αb证明：β确定平面和b a b a ∴,//l P P a 的直线相交于过点与平面βαα∴=,相交中的一条直线与两条平行线内在平面a b a l ,β 内不在平面又即相交于必与αb Q l b Q b l ,,=∴ 相交与平面直线αb ∴变式训练1.B2.A自主反馈答案1.D2.D3.C4. 1 无数5.相交或平行。
人教A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系课件
C D
B A
C1 D1
B1 A1
知识小结
实例引 入平面
平面的画 法和表示
点和平面的 位置关系
平面三 个公理
空间图形
文字叙述
符号表示
2.1.2空间中两直线的位置 关系
平面有知识（复习 ）
判断下列命题对错： 1、如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这条直线上
的所有点都在这个平面内。（ ）
2、将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课桌所在平
直线。（既不相交也不平行的两条直线） 判断：
(1)
m
β
m
l
α
l
直线m和l是异面直线吗?
(2)
,则 与 是异面直线
(3)a,b不同在平面 内,则a与b异面
异面直线的画法:
通常用一个或两个平面来衬托,异面直线
不同在任何一个平面的特点
a
b
b
a
b
a
2、空间中两直线的三种位置关系
1、相交
m P
l
2、平行
m l
b′
平
a′ θ O
移
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b 异面直线所成角θ的取值范围：
例 3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下列各对线段所
成的角：
D1
C1
1）AB与CC1； 2）A1 B1与AC； A1
B1
3）A1B与D1B1。
1）AB与CC1所成的角 = 9 0°
4、平面的基本性质
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
符号表示为:
P l, Pl.
必修二2.1.空间点、直线、平面之间的位置关系(教案)
人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）第二章点、直线、平面之间的位置关系2. 1空间点、直线、平面之间的位置关系教案 A第 1 课时教学内容： 2. 1. 1平面教学目标一、知识与技能1.利用生活中的实物对平面进行描述，掌握平面的表示法及水平放置的直观图；2.掌握平面的基本性质及作用，提高学生的空间想象能力.二、过程与方法在师生的共同讨论中，形成对平面的感性认识.三、情感、态度与价值观通过实例认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.教学重点、难点教学重点：1.平面的概念及表示；2.平面的基本性质，注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.教学难点：平面基本性质的掌握与运用.教学关键：让学生理解平面的概念，熟记平面的性质及性质的应用，使学生对平面的概念及其性质由感性认识上升到理性认识.教学突破方法：对三个公理要结合图形进行理解，清楚其用途.教法与学法导航教学方法：探究讨论，讲练结合法．学习方法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标.教学准备教师准备：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板．学生准备：直尺、三角板．教学过程教学教学内容师生互动设计过程意图创设什么是平面？师：生活中常见的如黑板、情境一些能看得见的平面实桌面等，给我们以平面的印象，形成平导入例 .你们能举出更多例子吗？那么面的概新课平面的含义是什么呢？这就是念我们这节课所要学习的内容 .1教师备课系统──多媒体教案续上表1.平面含义随堂练习判定下列命题是否正确：主题① 书桌面是平面；探究② 8 个平面重叠起来要比合作 6 个平面重叠起来厚；交流③ 有一个平面的长是50m，宽是 20m；④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念 .师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说加强对知的平面，就是从这样的一些识的理解物体中抽象出来的，但是，培养，自几何里的平面是无限延展觉钻研的的 .学习习惯 . 数形结合，加深理解 .2.平面的画法及表示师：在平面几何中，怎（1）平面的画法：水平放样画直线？（一学生上黑板置的平面通常画成一个平行四画）边形，锐角画成 45°，且横边之后教师加以肯定，解说、画成邻边的 2 倍长（如图）．类比，将知识迁移，得出平面的画法：D CαA B如果几个平面画在一起，主题当一个平面的一部分被另一个探究平面遮住时，应画成虚线或不合作画（打出投影片）．交流（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC 、平面 ABCD等.（3）平面内有无数个点，平面可以看成点的集合 .点 A 在平面α内，记作：A ∈ α ; 点B 在平面α外，记作： Bα．β通过类比α探索，培养学生知识迁移能β力，加强知识的系统性 .α·B·Aα2续上表人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）3.平面的基本性质公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．A Bα· C··教师引导学生思考教材P41 的思考题，让学生充分发表自己的见解 .师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出公理主题探究合作交流符号表示为A ∈ LB∈ L? L ? α．A ∈ αB∈ α公理 1：判断直线是否在平面内．公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 .A· Bα·L符号表示为： A 、B、C 三点不共线 ? 有且只有一个平面α，使A ∈ α、 B∈ α、 C∈ α.公理 2 作用：确定一个平面的依据 .公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 .βPα·L符号表示为： P∈ α∩β? α∩β =L，且P∈ L ．公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据 .1．教师引导学生阅读教材P42 前几行相关内容，并加以解析．师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等．通过类比引导学生归纳出公理探索，培2．养学生知教师用正（长）方形识迁移能模型，让学生理解两个平力，加强面的交线的含义.知识的系注意：（ 1）公理中“有统性 .且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形唯一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面.“ 有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面 . ”引导学生阅读P42 的思考题，从而归纳出公理3．3教师备课系统──多媒体教案续上表拓展 4. 教材 P43 例 1教师及时评价和纠正同创新通过例子，让学生掌握图形学的表达方法，规范画图和巩固应用中点、线、面的位置关系及符号符号表示 .提高．提高的正确使用 .1．平面的概念，画法及表示方法 .培养学2．平面的性质及其作用．生归纳3．符号表示．整合知4．注意事项．学生归纳总结、教师给识能小结力，以予点拨、完善并板书 .及思维的灵活性与严谨性 .课堂作业1.下列说法中，（1）铺得很平的一张白纸是一个平面；（ 2）一个平面的面积可以等于 6cm 2；（ 3）平面是矩形或平行四边形的形状. 其中说法正确的个数为（）．A . 0 B . 1 C. 2 D . 32.若点 A 在直线 b 上，在平面内，则 A， b，之间的关系可以记作（）．A . A b B. A b C. A b D . A b3.图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（）．A B C D4.空间中两个不重合的平面可以把空间分成（）部分.答案： 1. A 2. B 3. D 4. 3 或 4第 2 课时教学内容2.1. 2 空间中直线与直线之间的位置关系教学目标一、知识与技能1.了解空间中两条直线的位置关系；4人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）2.理解异面直线的概念、画法，提高空间想象能力；3.理解并掌握公理 4 和等角定理；4.理解异面直线所成角的定义、范围及应用.二、过程与方法1.经历两条直线位置关系的讨论过程，掌握异面直线所成角的基本求法.2.体会平移不改变两条直线所成角的基本思想和方法.三、情感、态度与价值观感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学习兴趣.教学重点、难点教学重点1.异面直线的概念 .2.公理 4 及等角定理 .教学难点异面直线所成角的计算.教学关键提高学生空间想象能力，结合图形来判断空间直线的位置关系，使学生掌握两异面直线所成角的步骤及求法 .教学突破方法结合图形，利用不同的分类标准给出空间直线的位置关系，由两异面直线所成角的定义求其大小，注意两异面直线所成角的范围.教法与学法导航教学方法探究讨论法．学习方法学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成教学目标.教学准备教师准备投影仪、投影片、长方体模型、三角板．学生准备三角板 .教学过程详见下表 .教学教学内容师生互动设计环节意图创设通过身边实物，相互设疑激情境异面直线的概念：不同在任何一个交流异面直线的概念．趣点出导入平面内的两条直线叫做异面直线.师：空间两条直线有主题．新课多少种位置关系？1. 空间的两条直线的位置关系教师给出长方体模多媒体5教师备课系统──多媒体教案相交直线：同一平面内，有且只有型，引导学生得出空间的演示提一个公共点；两条直线有如下三种关高上课平行直线：同一平面内，没有公共系．效率 .探索点；异面直线：不同在任何一个平面内，教师再次强调异面直新知没有公共点 .线不共面的特点．师生互异面直线作图时通常用一个或两个动，突平面衬托，如下图：破重点 .2. 平行公理师：在同一平面内，例 2 的思考：长方体ABCD-A'B'C'D' 中，如果两条直线都与第三条讲解让BB' ∥AA'， DD' ∥AA'，那么 BB' 与直线平行，那么这两条直学生掌DD' 平行吗？线互相平行 . 在空间中，是握了公否有类似的规律？理 4 的运用．生：是．强调：公理 4 实质上探索是说平行具有传递性，在新知公理 4：平行于同一条直线的两条平面、空间这个性质都适直线互相平行 .用．符号表示为：设a、b、c 是三条直线如果 a//b， b//c，那么 a//c.例 2 空间四边形ABCD 中， E、 F、G、 H 分别是AB 、BC 、 CD 、 DA 的中点．求证：四边形 EFGH 是平行四边形 .续上表3. 思考：在平面上，我们容易证明让学生观察、思考：等角定“如果一个角的两边与另一个角的两边理为异探索分别平行，那么这两个角相等或互补”.面直线新知空间中，结论是否仍然成立呢？所成的等角定理：空间中如果两个角的两角的概边分别对应平行，那么这两个角相等或念作准6人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）互补 .∠ ADC与A'D'C' 、备.∠ ADC与∠ A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ ADC = A'D'C' ，∠ ADC +∠ A'B'C' = 180°4.异面直线所成的角如图，已知异面直线 a、b，经过空探索间中任一点 O 作直线 a'∥ a、b'∥ b，我新知们把 a'与 b'所成的锐角（或直角）叫异面直线 a 与 b 所成的角（夹角）．教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下等角定理．师：① a'与 b'所成的角的以教师大小只由 a、b 的相互位置讲授为来确定，与 O 的选择无关，主，师为了简便，点 O 一般取在生共同两直线中的一条上；交流，② 两条异面直线所成的导出异角θ∈（ 0，π）；面直线2所成的③ 当两条异面直线所成角的概探索的角是直角时，我们就说念 .新知这两条异面直线互相垂例 3 让直，记作 a⊥ b；学生掌④ 两条直线互相垂直，有握了如共面垂直与异面垂直两种何求异情形；面直线⑤ 计算中，通常把两条异所成的例 3（投影）面直线所成的角转化为两角，从条相交直线所成的角 .而巩固了所学知识 .续上表充分调动学拓展生动手创新教材 P49 练习 1、 2．生完成练习，教师当的积极应用堂评价 .性，教提高师适时7教师备课系统──多媒体教案给予肯定 .本节课学习了哪些知识内容？小结知2．计算异面直线所成的角应注意什学生归纳，然后老师补识，形小结么？充、完善．成整体思维．课堂作业1. 异面直线是指（）．A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线2.如右图所示，在三棱锥 P-ABC 的六条棱所在的直线中，异面直线共有（）．A. 2 对 B . 3 对 C. 4 对 D. 6 对3.正方体 ABCD-A 1B1C1D1中与棱AA1平行的棱共有（）．A. 1 条 B . 2 条 C. 3 条 D. 4 条4.空间两个角、，且与的两边对应平行，若=60 °，则的大小为（）．.答案： 1. D 2.B 3. C 4. 60 °或 120°第 3 课时教学内容8人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）2. 1. 3 空间中直线与平面之间的位置关系 2. 1. 4 平面与平面之间的位置关系教学目标一、知识与技能1.了解空间中直线与平面的位置关系，了解空间中平面与平面的位置关系；2.提高空间想象能力 .二、过程与方法1.通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；2.利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.三、情感、态度与价值观感受空间中图形的基本位置关系，形成严谨的思维品质.教学重点、难点教学重点空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系.教学难点用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系.教学关键借助图形，使学生清楚直线与平面，平面与平面的分类标准，并能依据这些标准对直线与平面、平面与平面的位置关系进行分类及判定.教学突破方法恰当地利用图形，用符号语言表述直线与平面、平面与平面的位置关系.教法与学法导航教学方法借助实物，让学生观察事物、思考关系，讲练结合，较好地完成本节课的教学目标.学习方法探究讨论，自主学习法.教学准备教师准备多媒体课件，投影仪，三角板，直尺.学生准备三角板，直尺．教学过程详见下表 .教学教学内容师生互动设计过程意图创设问题1：空间中直线和直线有几生 1：平行、相交、异复习9教师备课系统──多媒体教案情境种位置关系？面；回顾，导入问题 2：一支笔所在的直线和一生 2：有三种位置关系：激发新课个作业本所在平面有几种位置关（1）直线在平面内；学习系？（2）直线与平面相交；兴趣 .（3）直线与平面平行．师肯定并板书，点出主题 .1．直线与平面的位置关系 .师：有谁能讲出这三种（ 1）直线在平面内——有无数位置有什么特点吗？个公共点 .生：直线在平面内时二（ 2）直线与平面相交——有且者有无数个公共点 .仅有一个公共点 .直线与平面相交时，二（ 3）直线在平面平行——没有者有且仅有一个公共点 .公共点 .直线与平面平行时，三其中直线与平面相交或平行的者没有公共点（师板书）．情况，统称为直线在平面外，记作师：我们把直线与平面加强a.相交或直线与平面平行的对知直线 a 在面内的符号语言是情况统称为直线在平面外 .识的a. 图形语言是：师：直线与平面的三种理解位置关系的图形语言、符号培养，主题语言各是怎样的？谁来画自觉探究图表示一个和书写一下 .钻研合作学生上台画图表示 .的学交流直线 a 与面相交的 a∩ = A.师；好 . 应该注意：画习习图形语言是符号语言是：直线在平面内时，要把直线惯，数画在表示平面的平行四边形结形内；画直线在平面外时，合，加应把直线或它的一部分画深理在表示平面的平行四边形解 .外 .直线 a 与面平行的符号语言是a∥. 图形语言是：10人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）续上表2．平面与平面的位置关系师：下面请同学们思考以（ 1）问题 1：拿出两本书，看下两个问题（投影）．作两个平面，上下、左右移动和翻生：平行、相交 .转，它们之间的位置关系有几种？师：它们有什么特点？（ 2）问题 2：如图所示，围成生：两个平面平行时二者长方体 ABCD –没有公共点，两个平面相交A′B′C′D′的六个时，二者有且仅有一条公共直通过面，两两之间的线（师板书）．类比位置关系有几师：下面请同学们用图形探索，种？和符号把平面和平面的位置培养主题关系表示出来⋯⋯学生（ 3）平面与平面的位置关系探究——没有公师：下面我们来看几个例知识平面与平面平行合作子（投影例 1）．迁移共点 .交流能力 .平面与平面相交——有且只有一条公共直线 .加强平面与平面平行的符号语言知识是∥ . 图形语言是：的系统性 .11教师备课系统──多媒体教案续上表拓展创新应用提高例 1 下列命题中正确的个数是（ B ）．①若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l∥ .②若直线l 与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行 .③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 .④若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线没有公共点 .A . 0B . 1 C. 2 D. 3例 2 已知平面∥，直线a，求证 a∥ .证明：假设 a 不平行，则 a在内或 a 与相交 .∴ a 与有公共点 .又 a.∴ a与有公共点，与面∥面矛盾 .∴∥ .学生先独立完成，然后讨例 1 通论、共同研究，得出答案. 教师过示范利用投影仪给出示范 .传授学师：如图，我们借助长方体生一个模型，棱 AA 1所在直线有无数点通过模在平型来研面究问题ABCD的方外，但法，加棱 AA 1深对概所在直线与平面ABCD 相交，所念的理以命题①不正确； A1B1所在直线解. 例 2平行于平面 ABCD ，A1B1显然不目标训平行于 BD，所以命题②不正确；练学生A1 B1∥AB，A1B1所在直线平行于思维的平面 ABCD ，但直线 AB平灵活，面 ABCD ，所以命题③不正确；并加深l 与平面平行，则 l 与无公对面面共点， l与平面内所有直线都平行、没有公共点，所以命题④正确，线面平应选 B .行的理师：投影例2，并读题，先解.让学生尝试证明，发现正面证明并不容易，然后教师给予引导，共同完成，并归纳反证法步骤和线面平行、面面平行的理解 .1．直线与平面、平面与平培养学面的位置关系 .生整合2．“正难到反”数学思想知识能与反证法解题步骤 .学生归纳总结、教师给予点力，以小结拨、完善并板书 .及思维3. “分类讨论”数学思想．的灵活性与严谨性 . 12人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）课堂作业1.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（）．A ．一条直线不相交B．两条直线不相交C．任意一条直线都不相交 D ．无数条直线都不相交【解析】直线与平面平行，则直线与平面内的任意直线都不相交，反之亦然；故应选C.2. “平面内有无穷条直线都和直线l 平行”是“l //”的（）．A．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件【解析】如果直线在平面内，直线可能与平面内的无穷条直线都平行，但直线不与平面平行，应选 B.3．如图，试根据下列要求，把被遮挡的部分改为虚线：（ 1）AB 没有被平面遮挡；（ 2）AB 被平面遮挡.答案：略4．已知，，直线a，b，且∥，a，b，则直线 a 与直线 b 具有怎样的位置关系？【解析】平行或异面．5．如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.【解析】三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条.6.求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内 .已知： l ∥，点P∈，P∈ m，m∥ l，求证： m.证明：设 l 与 P 确定的平面为，且= m′，则 l ∥ m′.又知 l ∥ m， m m P ，由平行公理可知，m 与 m′重合 .所以 m.13教师备课系统──多媒体教案教案 B第 1 课时教学内容： 2. 1. 1 平面教学目标1.了解平面的概念，掌握平面的画法、表示法及两个平面相交的画法；2.理解公理一、二、三，并能运用它们解决一些简单的问题；3.通过实践活动，感知数学图形及符号的作用，从而由感性认识提升为理性认识，注意区别空间几何与平面几何的不同，多方面培养学生的空间想象力.教学重点：公理一、二、三，实践活动感知空间图形．教学难点：公理三，由抽象图形认识空间模型．学法指导：动手实践操作，由模型到图形，由图形到模型不断感知.教学过程一、引入在平面几何中，我们已经了解了平面图形都是由点和线构成的，我们所做的一切都是在一个无形的平面中进行，请同学谈谈到底平面是什么样子的？可以举实例说明.在平面几何中，我们也知道直线是无限延伸的，我们是怎样表示这种无限延伸的？那么你认为平面是否有边界？你又认为如何去表示平面呢？二、新课以上问题经过学生分小组充分讨论，由各小组代表陈述你这样表示的理由？教师暂不作评判，继续往下进行 .实践活动：1.仔细观察教室，举出空间的点、线、面的实例.2.只准切三刀，请你把一块长方体形状的豆腐切成形状、大小都相同的八块.3.请你准备六根游戏棒，以每根游戏棒为一边，设法搭出四个正三角形.以上这些问题已经走出了平面的限制，是空间问题. 今后我们将研究空间中的点、线、面之间的关系.图 1问题：指出上述活动中几何体的面，并想想如何在一张纸上画出这个几何体？至此我们应感受到画几何体与我们的视角有一定的关系.练习一：试画出下列各种位置的平面.1.水平放置的平面2.竖直放置的平面14人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）图 2（ 1）图2（2）3.倾斜放置的平面图 34.请将以下四图中，看得见的部分用实线描出．图 4（1）图4（2）图4（3）图4（4）小结：平面的画法和表示法.我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示一个平面，如图 5.平行四边形的锐角通常画成45o，且横边长等于其邻边长的 2 倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如图 6.βFA DA DααB E CB C图 5图 6图 7平面常用希腊字母, ,等表示（写在代表平面的平行四边形的一个角上），如平面、平面；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或相对的两个顶点的大写英文字母作为平面的名称，图 5 的平面，也可表示为平面ABCD ，平面 AC 或平面BD .前面我们感受了空间中面与面的关系及画法，现在让我们研究一下点、线与一个平面会有怎样的关系？15教师备课系统──多媒体教案显然，一个点与一个平面有两种位置关系：点在平面内和点在平面外.我们知道平面内有无数个点，可以认为平面是由它内部的所有的点组成的点集，因此点和平面的位置关系可以引用集合与元素之间关系.从集合的角度，点 A 在平面内，记为A；点B在平面外，记为B （如图 7）.再来研究一下直线与平面的位置关系.将学生分成小组，并动手实践操作后讨论：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的整个边缘就落在桌面上吗？请同学们再试着想一下，如何用图形表示直线与平面的这些空间关系？由“两点确定一条直线”这一公理，我们不难理解如下结论：公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 .A l ,B l , 且 A, B,l．A l Bα图8例1 分别用符号语言、文字语言描述下列图形．AA aa图 9（ 1）图 9（ 2）图 9（ 3）例 2 识图填空（在空格内分别填上, , ,）．A____ a；A____ α，B____ a； B____ α，Aa____ α；a____ α = B，B bb____ α；B____ b．a图 10图 11问题情景：制作一张桌子，至少需要多少条腿？为什么？公理 2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平A面 .CB实践活动：取出两张纸演示两个平面会有怎样的位置关α图 12系，并试着用图画出来 .图 12试问：如图13 是两个平面的另一种关系吗？（相对于同学们得出的关系）由平面的无限延展性，不难理解如下结论：公理 3如果两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个公共点16人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）的直线 .βP l 且P l．αP l图 13例 3如图14用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.l【分析】根据图形，先判断点、直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.【解析】在（1）中，l , a A , a B .l , a, b, a l P , B l P .在（ 2）中，三、巩固练习教材 P43 练习 1— 4.四、课堂小结（1）本节课我们学习了哪些知识内容？（2）三个公理的内容及作用是什么？（3）判断共面的方法 .五、布置作业P51 习题 A 组 1， 2．第 2 课时教学内容： 2. 1. 2 空间中直线与直线之间的位置关系教学目标：一、知识目标1.了解空间中两条直线的位置关系；2.理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；3.理解并掌握公理 4．二、能力目标1.让学生在观察中培养自主思考的能力；17教师备课系统──多媒体教案2.通过师生的共同讨论培养合作学习的能力.三、情感、态度与价值观让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.教学重点、难点教学重点： 1.异面直线的概念； 2.公理 4.教学难点：异面直线的概念.学法与教学用具1.学法：学生通过观察、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标；2.教学用具：多媒体、长方体模型、三角板．教学过程一、复习引入1．平面内两条直线的位置关系有（相交直线、平行直线）．相交直线（有一个公共点）；平行直线（无公共点）．2．实例 . 十字路口——立交桥．立交桥中，两条路线 AB ， CD 既不平行，又不相交（非平面问题）．六角螺母DCA B二、新课讲解1.异面直线的定义不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．练习：在教室里找出几对异面直线的例子．注1：两直线异面的判别一 : 两条直线既不相交、又不平行．两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内．合作探究一：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？答：不一定，它们可能异面，可能相交，也可能平行．空间两直线的位置关系：按平面基本性质分（1）同在一个平面内：相交直线、平行直线；（ 2）不同在任何一个平面内：异面直线．按公共点个数分（ 1）有一个公共点 : 相交直线；（ 2）无公共点：平行直线、异面直线．2．异面直线的画法说明：画异面直线时，为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托. 18。
2.1.3--2.1.4 空间中直线与平面 平面与平面的位置关系
通过本节课的学习, 你有哪些收获? 1. 掌握了直线与平面的位置关系, 并会分析相关问题. 2. 掌握了平面与平面的位置关系, 并学会了解决相关问题. 3. 学会了用模型的方法判断直线与平面、平面与平面的位置关 系, 体会到了作图判断位置关系的重要性.
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直线与平面的位置关系
【例 1】 下列命题中正确命题的个数是( ) ①如果 a、 b是两条直线, a∥b, 那么 a平行于经过 b的任何一个平面; ②如果直线 a和平面α满足 a∥α, 那么 a平行于平面α内的任何一 条直线; ③如果直线 a、b满足 a∥α, b∥α, a∥b; 则 ④如果直线 a、b和平面α满足 a∥b, a∥α, α, b⊄ 那么 b∥α; ⑤如果平面α的同侧有两点 A, 到平面α的距离相等, AB∥α. B 则 ( ) () () ( ) A 0 B2 C1 D 3
解析: 易知①正确, ②正确. ③中两条相交直线中一条与平面平 行, 另一条可能平行于平面, 也可能与平面相交, 故③错误. C . 选
平面与平面位置关系
【例 2】 已知下列说法: ①两平面α∥β, α, β, a∥b; a⊂ b⊂ 则 ②若两个平面α∥β, α, β, a与 b是异面直线; a⊂ b⊂ 则 ③若两个平面α∥β, α, β, a与 b一定不相交; a⊂ b⊂ 则 ④若两个平面α∥β, α, β, a与 b平行或异面; a⊂ b⊂ 则 ⑤若两个平面α∩β=b, α, a与β一定相交. a⊂ 则 其中正确的序号是 ( 将你认为正确的序号都填上) .
处理这类平面与平面位置关系的技巧是什么?(牢牢 抓住其特征和定义, 把文字语言或符号语言转化, 结合 空间想象全方位、多角度思考, 特别是特殊情况, 要学 会举反例否定)
高一数学 人教A版必修2 第二章 2.2.1、2直线与平面平行、平面与平面平行的判定 课件
(1)直线EG∥平面BDD1B1；
证明 如图，连接SB.
∵点E，G分别是BC，SC的中点，
∴EG∥SB.
又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，
∴EG∥平面BDD1B1.
证明
(2)平面EFG∥平面BDD1B1. 证明 连接SD. ∵点F，G分别是DC，SC的中点， ∴FG∥SD. 又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1， ∴FG∥平面BDD1B1. 又EG∥平面BDD1B1， 且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G， ∴平面EFG∥平面BDD1B1.
证明
反思与感悟 解决线面平行与面面平行的综合问题的策略 (1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三 种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的. (2) 线线平行 ―判――定―→ 线面平行 ―判――定―→ 面面平行
所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理.
第二章 §2.2 直线、平面平行的判 定及其性质
2.2.2 平面与平面平行的判定
学习目标
1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理. 2.掌握平面与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题.
问题导学
知识点 平面与平面平行的判定定理
思考1 三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平 面与平面α平行吗？ 答案 平行.
证明
Байду номын сангаас
命题角度2 以柱体为背景证明线面平行 例3 在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线 段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论.
解答
引申探究 将本例改为在三棱柱ABC－A1B1C1中，若M为AB的中点， 求证：BC1∥平面A1CM. 证明 如图，连接AC1交A1C于点F， 则F为AC1的中点. 又因为M是AB的中点，连接MF， 所以BC1∥MF. 因为MF⊂平面A1CM，BC1⊄平面A1CM， 所以BC1∥平面A1CM.
高中数学必修知识点总结：第二章_直线与平面的位置关系
第二章直线与平面的位置关系1. 三个公理：<1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理1作用：判断直线是否在平面内<2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
公理2作用：确定一个平面的依据。
<3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
3.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
4.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补5.注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上；b5E2RGbCAP② 两条异面直线所成的角θ∈(0， >；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
6.直线与平面有三种位置关系：<1）直线在平面内——有无数个公共点<2）直线与平面相交——有且只有一个公共点<3）直线在平面平行——没有公共点7.直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
8.两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
9.定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
10.定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
高中数学 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 新人教A版必修2
公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据。
精品课件
例1、用符号表示下列图形中点、直线、平 面之间的关系。
解 ：左边的图中， α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B。 右边的图中， α∩β＝l，a α，b β， a∩l=P，b∩l=P。
精品课件
新疆 王新敞
奎屯
求证： P 在直线 BD 上新疆 王新敞 奎屯
A
P EH
D
G
B
C
F
精品课件
证明：∵ EH FG P ，∴ PEH ， P FG ， ∵ E, H 分别属于直线 AB, AD ， ∴ EH 平面 ABD，∴ P 平面 ABD， 同理： P 平面 CBD ， 又∵平面 ABD 平面 CBD BD ，
集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“ ”和“∩”的符号只能
用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用
几何语言．（平面α外的直线 a）表示 a （平面α外的直线 a）表示 a 或 a A．
精品课件
问题4：如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？ 直线l不一定在平面α内。
答案：（1）×（2）√（3）×（4）√
精品课件
2．①一条直线与一个平面会有几种位置关系
．
②如图所示，两个平面、，若相交于一点，则会发生什么现象.
③几位同学的一次野炊活动，带去一张折叠方桌，不小心弄坏了桌脚，
有一生提议可将几根一样长的木棍，在等高处用绳捆扎一下作桌脚（如图
所示），问至少要几根木棍，才可能使桌面稳定？
（5）
直线在平面内
aα
直线与平面相交
高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.2.1直线与平面平行的判定2.2.2平面与平面平行的判定课
[提示] (1)根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误． (2)有．若 α、β、γ 为三个不重合的平面，则 α∥β，β∥γ⇒α∥γ.
1．能保证直线 a 与平面 α 平行的条件是( ) A．b⊂α，a∥b B．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c C．b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且 AC＝BD D．a⊄α，b⊂α，a∥b D [A 错误，若 b⊂α，a∥b，则 a∥α 或 a⊂α；B 错误，若 b⊂α， c∥α，a∥b，a∥c，则 a∥α 或 a⊂α；C 错误，若满足此条件，则 a∥α 或 a⊂α 或 a 与 α 相交；D 正确，a⊄α，b⊂α，a∥b 恰好是判定定理所 具备的不可缺少的三个条件．]
线面、面面平行的综合问题 [探究问题] 观察下面两个图形：
1．怎样证明平面 β 中的直线与平面 α 平行？ [提示] 利用线面平行的判定定理，只需在平面α中找到一条与 平面β中的直线平行的直线即可．
2．怎样证明两个平面平行？ [提示] 利用面面平行的判定定理，只需平面 β 中的两条相交直 线分别与平面 α 平行即可．
故四边形BDD1B1为平行四边形， ∴BD∥B1D1， 又BD⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1， ∴BD∥平面AB1D1.
1．判断或证明线面平行的常用方法 (1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)； (2)判定定理法(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； (3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内． 2．证明线线平行的常用方法 (1)利用三角形、梯形中位线的性质； (2)利用平行四边形的性质； (3)利用平行线分线段成比例定理．
【例 3】 已知底面是平行四边形的四棱锥 P-ABCD，点 E 在 PD 上，且 PE∶ED＝2∶1，在棱 PC 上是否存在一点 F，使 BF∥平面 AEC？ 证明你的结论，并说出点 F 的位置．
高一数学人教A版必修2课件2.1.3《空间中直线平面与与平面之间的位置关系》
2
时的一般情况,而忽略了特殊情况.当 0或 时, 这样的
直线只有一条.
2
正解:(1)
当 (0, )时，这样的直线ｌ有两条;
2
(2)当 0或 时，这样的直线ｌ只有１条.
2
答案:C
基础强化
1.a∥b,且a与平面α相交,那么直线b与平面α的位置关系是( )
A.必相交
B.有可能平行
10.求证:过平面内一点,作平面内一直线的平行线必在此平面 内.
证明:设点A∈平面α,a 平面α,
∵A a,∴过点A存在直线b∥a.
设a,b确定的平面为β,则A∈β,且a∈β.∴平面α､β都是由点A和 直线a确定的平面.
∴α与β重合,∴b
α,故结论成立.
11.(湖北高考)已知a,b,c是直线,α､β是平面,给出下列命题: ①若a⊥b,b⊥c,则a∥c; ②若a∥b,b⊥c,则a⊥c; ③a∥α,b α,则a∥b; ④若a､b异面,且a∥β,则b与β相交; ⑤若a､b异面,则至多有一条直线与a､b都垂直.
3.特别提醒 (1)在解答直线与平面的有关问题时,要想像所有可能情况,思
考要全面.
(2)平行平面具有传递性,即α∥β,β∥γ α∥γ.
(3)本节内容可以以长方体为模型,抽象出直线与平面,平面与 平面的位置关系.
题型一 空间图形的画法
例1:分别按下列条件画出直观图. (1)a∩b=P,a∥平面α,b∩平面α=A; (2)平面α∩平面β=l,a∩平面β=A,a∥平面α. 解:根据题设及平面图形直观图的画法,得直观图如下图所示.
1.空间中直线与平面位置关系的分类
直线与平面的位置关系有且只有三种:
按公共点个数分类
直线和平面平行,
人教版高中数学必修二 空间中直线与平面、平面与平面间位置关系 附答案解析
2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系（课时过关·能力提升）基础巩固1.下图中表示两个相交平面正确的是()2.棱柱的任意两个侧面的位置关系是()A.相交B.平行C.平行或异面D.平行或相交3.已知M,N是点,l是直线,α是平面,M∈l,N∈l,N∉α,M∈α,则有()A.l∥αB.l⊂αC.l与α相交D.以上都有可能4.若直线a∥平面α,则下列说法比较准确的是()A.直线a与平面α内的一条直线不相交B.直线a与平面α内的两条相交直线不相交C.直线a与平面α内的无数条直线不相交D.直线a与平面α内的任意一条直线都不相交5.如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,那么这两个平面()A.一定平行B.一定相交C.平行或相交D.一定重合6.已知平面α,β平行,a⊂α,下列四个命题:①a与β内的所有直线平行;②a与β内无数条直线平行;③直线a与β内任何一条直线都不垂直;④a与β无公共点.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.47.若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行,则这条直线与另一个平面的位置关系是.8.若一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面的位置关系是.9.指出如图所示的图形的画法是否正确,若不正确,请你画出正确的图形.10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1和BB1的中点,则下列直线与平面的位置关系是什么?(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系;(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系;(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系;(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系.能力提升1.如图,三棱台ABC-A'B'C'的一条侧棱AA'所在的直线与平面BCC'B'的位置关系是()A.相交B.平行C.直线在平面内D.平行或直线在平面内2.若直线a∥平面α,直线b∥平面α,则a与b的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能★3.若直线l与平面α不平行,则下列结论正确的是()A.α内的所有直线都与直线l异面B.α内不存在与l平行的直线C.α内的直线与l都相交D.直线l与平面α有公共点4.过平面α外一点M,作直线l∥α,则这样的直线l有条.5.如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两个平面的位置关系是.6.已知直线a⊂平面α,平面α∩平面β=b,a∥b,则a与β的位置关系是.7.下列命题正确的有.(只填序号)①若直线与平面有无数个公共点,则直线在平面内;②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;③若两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交;④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面;⑤若平面α∥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β,则直线a∥b.★8.一刀切豆腐将豆腐切成2块,两刀切豆腐最多可将豆腐切成4块,问三刀切豆腐最多可将豆腐切成几块,怎么切?试作出图形.参考答案一、基础巩固,也可能没有公共点,则它们平行或相交.α内的一条直线b与直线a相交,设交点为P,则P∈b,而b⊂α,所以P∈α.又P∈a,则a∩α=P,这与a∥平面α矛盾,即假设不成立.故直线a与平面α内的所有直线不相交.ABCD-A1B1C1D1中举例说明.如图,在平面A1B1C1D1内与A1B1平行的无数条直线平行于平面ABCD,平面A1B1C1D1∥平面ABCD;在平面ABB1A1内,与AB平行的无数条直线平行于平面ABCD,平面ABB1A1∩平面ABCD=AB,所以两个平面平行或相交.中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条平行,有一些是异面;②正确;③中直线a 与β内的无数条直线垂直;④根据定义a与β无公共点,正确.①②③的画法均不正确.正确的画法如图所示.AM所在的直线与平面ABCD相交;CN所在的直线与平面ABCD相交;(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行;(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交.二、能力提升,所以三条侧棱AA',BB',CC'的延长线交于一点,记为P,则直线AA'与平面BCC'B'相交于点P,且直线AA'在平面BCC'B'外.故选A.,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1∥平面AC,11平面AC,则有A1B1∩A1D1=A1;又D1C1∥平面AC,则有A1B1∥D1C1;取BB1和CC1的中点M,N,则MN∥B1C1,则MN∥平面AC,此时A1B1与MN异面,故选D.l与平面α不平行,则直线l与平面α相交或在平面α内.当直线l与平面α相交时,α内的直线与直线l相交或异面,所以选项A和C均不正确;当直线l在平面α内时,α内存在与l 平行的直线,所以选项B不正确.,可作该平面的无数条平行线,且这无数条直线都在过该点且与该平面平行的平面内..如图①②所示,分别为两个平面平行、相交的情形.a∥b,所以a与b无公共点.又因为a⊂α,且α与β的公共点都在直线b上,所以a与β无公共点.故a与β平行.显然是正确的;②中,直线l还可能与α相交,所以②是错误的;③中,异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定,它们可以相交,可以平行,还可以在该平面内,所以③是错误的;④中,直线l与平面α没有公共点,所以直线l与平面α内的直线没有公共点,即它们平行或异面,所以④是正确的;⑤中,分别在两个平行平面内的直线可以平行,也可以异面,所以⑤是错误的.,前两刀竖切,刀口为十字形,且切口竖直,第三刀横切,将每小块一分为二,共得8块,即三刀最多将豆腐切成8块..。
高中数学新人教A版必修2 第2章 2-1空间点、直线、平面的位置关系
A B
AB
B
A
作用:用于判定线在面内
小结：公理2及其推论 A,B,C不共线
A,B,C确定一平面.
A∈ a
A和a确定一平面.
aIb=Ｐ
a和b确定一平面.
ab
a和b确定一平面.
作用:用于确定一个平面.
A
B C
Aa
aＰ
b
a
b
公理3：若两个不重合平面有一个公共点， 则它们有且只有一条过该点的公共直线。
空间中基本图形：点、线、面
一、平面的表示方法
1.特点:平面是无限延展,没有厚度的.
（但常用平面的一部分表示平面）
2.画法:水平或竖直的平面常用平行四边形表示.
D
D
C
C
A
B
A
3.记法:
B
①平面α、平面β、平面γ（标记在边上）
②平面ABCD、平面AC或平面BD
巩固:判断下列各题的说法正确与否，在正 确的说法的题号后打 ，否则打 .
CA
C (G)
A
G
E
H
DB
HE F
D
B(F)
空间两条不重合直线的位图关系有且只有三种：
若从有没有公共点的角度来看,可分为两类 :
(1) 有且仅有一个公共点相交直线
(
2)
没有公共点
平行直线 异面直线
若从有没有共面的角度来看,也可分为两类:
(1)
在同一个平面内
相交直线 平行直线
( 2)不同在任何一个平面内异面直线
A1
B1
(2) 直线MB1与CC1异面直线关系
主要特征：既不平行，也不相交
异面直线的定义：
D A
【平煤高中学案必修二】11空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
2.1.3—2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系学习目标（1）了解直线与平面的三种位置关系，理解直线在平面外的概念. （2）了解平面与平面的两种位置关系. 一、学前准备预习教材5048P P -的内容： （一）直线与平面1. 观察右图，思考：直线1A B 与长方体1111ABCD A B C D -六个面所在平面有几种位置关系？ 答：2. 直线与平面的位置关系.（1）直线在平面内：公共点个数 ，符号表示为 ，图形表示（2）直线与平面相交：公共点个数 ，符号表示为 ，图形表示（3）直线与平面平行：公共点个数 ，符号表示为 ，图形表示其中（1）为直线在平面__ ___；（2）（3）为直线在平面__ _. （二）平面与平面1. 长方体1111ABCD A B C D -六个面所在平面有几种位置关系？2. 平面与平面的位置关系：（1）平面与平面平行：公共点个数 ，符号表示为 ，图形表示（2）平面与平面相交：公共点个数 ，符号表示为 ，图形表示 二、合作探究【例1】（1）用符号语言表示语句：“直线l 经过平面内α一定点P ，但l 在α外”，并画出图形.（2）把下面的符号语言改写成文字语言的形式，并画出图形.若直线ααα⊂∈∉∈⊂b b a b A a A A a 则直线平面,//,,,,.（3）画出满足下列条件的图形：l CD l AB CD AB l //,//,,,βαβα⊂⊂=⋂【例2】下列命题正确的个数是 （ ） （1）若直线l 上有无数个点不在平面α内，则α//l ；（2）若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行；（3）如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； （4）若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点。
A 0B 1C 2D 3四、检验测试1．直线l 与平面α不平行，则 （ ） A. l 与α相交B. l α⊂C. l 与α相交或l α⊂D. 以上结论都不对2．若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面的公共点个数（ ）A. 有限个B. 无限个C. 没有D. 没有或无限个3. 若直线a 不平行于平面α，且α⊄a ，则下列结论成立的是（ ） A . 平面α内所有直线与直线a 异面B . 平面α内不存在与直线a 平行的直线C . 平面α内存在唯一的直线与直线a 平行D . 平面α内的直线与直线a 都相交 4．E 、F 、G 、H 是棱锥A-BCD 棱AB 、AD 、CD 、CB 上的点，延长EF 、HG 交于P 点，则点P （ ）A. 一定在直线AC 上B. 一定在直线BD 上C. 只在平面BCD 内D. 只在平面ABD 内5．一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零，则这两个平面 （ ） A . 平行B . 相交C . 平行或垂合D . 平行或相交6．若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是 .7．一个平面把空间分成 部分，两个平面可以把空间分成 部分，三个平面可以 把空间分成 部分．。
高中数学：空间点、直线、平面之间的位置关系 (17)
③a.若直线 a⊂平面 α，a，b 异面，则 b 与 α 的关系为________． b．若直线 a⊂平面 α，a，b 相交，则 b 与 α 的关系为________． 【答案】 a．平行或相交 b．相交或 b⊂α
第20页
题型二 平面与平面之间的位置关系 例 2 (1)已知平面 α，β ，且 α∥β ，直线 a⊂α，直线 b ⊂β，则直线 a 与直线 b 具有怎样的位置关系？画出图形． (2)已知平面 α，β，直线 a，b，且 a⊂α，b⊂β，α∩β＝ l，则直线 a 与直线 b 具有怎样的位置关系？画出图形．
B．m∥α D．m 在平面 α 外
【答案】 A
第11页
②若直线 l∩平面 α＝A，直线 b⊂α，则 l 与 b 的位置关系 为________．
【答案】 相交或异面
第12页
③若直线 l∩平面 α＝A，l 与直线 b 相交或异面，则 b 与 α 的位置关系为________．
【答案】 相交、平行或 b⊂α
第26页
(3)若三个平面两两相交，则它们将空间分六、七或八个部分， 如图③，④，⑤.
第27页
探究 3 本题考查了空间想象能力，分类讨论思想，相交平 面的画法．
第28页
解立体几何题时，比如直线与几个平面之间的位置关系，你 可以把手中的笔当成直线，把课桌或者课本当作平面，把教室当 作长方体，这样就将抽象的东西变得具体了．平时，动手做一些 立体模型，如长方体、立方体、圆柱、圆锥、正四面体等几何体 模型，这些都是建立空间想象力的途径．
例 1 下列说法：
①若直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线，则 l∥α；
②若直线 a 在平面 α 外，则 a∥α；
③若直线 a∥b，直线 b⊂α，则 a∥α；
2.1.3线、面和面、面的位置关系.
则 l与平面 内的任意一条
B2
练习：
2. 若直线 a不平行于平面 ，且a ，则下列 结论成立的是（ B ） （A） 内的所有直线与 a异面 （B） 内不存在与 a平行的直线 （C） 内存在唯一的直线与 a 平行 （D） 内的直线与a 都相交 a
A α
2.1.4平面与平面 之间的位置关系
练习7： 用符号表示语句：“直线l经过平面α内一 定点P，但l在α外”。并画出图形。 练习8： 实物：教室 下列四个命题中假命题的个数（4 ）
（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行。
（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，
2.1.3空间中直线 与平面的位置关系
直线与平面的位置关系
1 直线与平面有无数多个公共点
——直线在平面内
∩
a
记作：a α
α
a A
直 2 直线与平面只有一个公共点 线 ——直线与平面相交 不 α 在 记作: a∩α =A 平 面 3 直线与平面没有公共点 内
a
——直线与平面平行
记作：a∥ α
∩
记作：a α
α
1.下列命题中正确的个数是（
）
①若直线l上有无数个点不在平面 内，则 l //
②若直线 l与平面平行，则 l与平面 内的任意
一条直线都平行。
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行， 那么另一条也与这个平面平行。 D1 C1 ④若直线 l与平面平行， 直线都没有公共点。
A B A1 D C
一、两个平面的位置关系
1）两平面平行 2）两平面相交
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2．1.3 & 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面的位置关系[提出问题]应县木塔，在山西应县城佛宫寺内，辽清宁二年(1056年)建．塔呈平面八角形，外观五层，夹有暗层四级，实为九层，总高67.31米，底层直径30.27米，是国内外现存最古老最高大的木结构塔式建筑．塔建在4米高的两层石砌台基上，内外两槽立柱，构成双层套筒式结构，柱头间有栏额和普柏枋，柱脚间有地伏等水平构件，内外槽之间有梁枋相连接，使双层套筒紧密结合．暗层中用大量斜撑，结构上起圈梁作用，加强木塔结构的整体性．问题1：立柱和地面是什么位置关系？提示：相交．问题2：柱脚间有地伏等水平构件看成直线，它和地面有什么关系？提示：在同一平面内．问题3：直线和平面还有其他关系吗？提示：平行．[导入新知]直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α图形表示1．利用公共点的个数也可以理解直线与平面的位置关系．(1)当直线与平面无公共点时，直线与平面平行．(2)当直线与平面有一个公共点时，直线与平面相交．(3)当直线与平面有两个公共点时，它们就有无数个公共点，这时直线在平面内．2．直线在平面外包括两种情形：a∥α与a∩α＝A .空间中平面与平面的位置关系[提出问题]观察拿在手中的两本书，我们可以想象两本书为两个平面．问题1：两本书所在的平面可以平行吗？公共点的个数是多少？提示：可以．无公共点．问题2：两本书所在的平面可以相交吗？公共点的个数是多少？提示：可以．有无数个．[导入新知]两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β没有公共点两平面相交α∩β＝l有无数个公共点(在一条直线上) [1．判断面面位置关系时，要利用好长方体(或正方体)这一模型．2．画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．直线与平面的位置关系[例1]①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；③若直线a ∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中说法正确的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3[答案] B空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．[活学活用]下列说法中，正确的个数是( )①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；③经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行．A．0 B．1C．2 D．3答案：C平面与平面的位置关系[例2] (1)(2)平面α内的所有直线与平面β都平行，问：α∥β是否正确？为什么？[解] (1)不正确．如图所示，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，…，a n，…，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n，…与平面β都平行(因为a1，a2，…，a n，…与平面β无交点)，但此时α与β不平行，α∩β＝l.(2)正确．平面α内所有直线与平面β平行，则平面α与平面β无交点，符合平面与平面平行的定义．[类题通法]两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行．这样我们可以得出两个平面的位置关系：①平行——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线．若平面α与β平行，记作α∥β；若平面α与β相交，且交线为l，记作α∩β＝l.1．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有________个．答案：4 62.如图所示，平面ABC与三棱柱ABCA1B1C1的其他面之间有什么位置关系？解：∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点，∴平面ABC与平面A1B1C1平行．∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，∴平面ABC与平面ABB1A1相交．同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交．3.有关截面图形的形状问题[典例] (12分)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A，Q，B1三点的截面图形的形状．[解题流程][规范解答]由点Q在线段DD1上移动，当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图甲．(4分)当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图乙．(8分)当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图丙．(12分)[活学活用]如图所示，G是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点．试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．(1)过点G及AC；(2)过三点E，F，D1.解：(1)画法：连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．(2)画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．[随堂即时演练]1．M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有( )A．l∥αB．l⊂αC．l与α相交D．以上都有可能答案：C2．如图所示，用符号语言可表示为( )A．α∩β＝l B．α∥β，l∈αC．l∥β，l⊄αD．α∥β，l⊂α答案：D3．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是________．答案：平行4．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．答案：0或15．三个平面α，β，γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b.(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．解：(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又c⊂β，所以c与α无公共点，则c∥α.(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，所以a，b没有公共点．由于a，b都在平面γ内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.[课时达标检测]一、选择题1．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( )A．平行B．相交C．平行或相交D．不能确定答案：C2．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为( )A．平行B．相交C．直线在平面内D．平行或直线在平面内答案：D3．(浙江高考)若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交答案：B4．已知直线m，n和平面α，m∥n，m∥α，过m的平面β与α相交于直线a，则n与a的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．以上均有可能答案：A5．给出下列几个说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行．其中正确说法的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3答案：B二、填空题6．下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________．答案：①②7．与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有________个．答案：78．下列命题正确的有________(填序号)．①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；⑥若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a∥b.答案：①⑤三、解答题9．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系．解：(1)AM所在的直线与平面ABCD相交；(2)CN所在的直线与平面ABCD相交；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行；(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交．10.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．解：平面ABC与β的交线与l相交．证明：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l一定相交，设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC，P∈β.∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C是不同的两点，∴直线PC就是平面ABC与β的交线．即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，∴平面ABC与β的交线与l相交．。