2-最长公共子序列问题
最长公共子序列问题
2.3最长公共子序列问题和前面讲的有所区别，这个问题的不涉及走向。
很经典的动态规划问题。
例题16最长公共子序列(lcs.pas/c/cpp)【问题描述】一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。
确切地说，若给定序列X= < x1, x2,…, xm>，则另一序列Z= < z1, z2,…, zk>是X的子序列是指存在一个严格递增的下标序列< i1, i2,…, ik>，使得对于所有j=1,2,…,k有Xij=Zj例如，序列Z=是序列X=的子序列，相应的递增下标序列为<2,3,5,7>。
给定两个序列X 和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。
例如，若X= < A, B, C, B, D, A, B>和Y= < B, D, C, A, B, A>，则序列是X和Y的一个公共子序列，序列也是X和Y的一个公共子序列。
而且，后者是X和Y的一个最长公共子序列，因为X和Y没有长度大于4的公共子序列。
给定两个序列X= < x1, x2, …, xm>和Y= < y1, y2, … , yn>，要求找出X和Y的一个最长公共子序列。
【输入文件】输入文件共有两行，每行为一个由大写字母构成的长度不超过200的字符串，表示序列X和Y。
【输出文件】输出文件第一行为一个非负整数，表示所求得的最长公共子序列的长度，若不存在公共子序列，则输出文件仅有一行输出一个整数0，否则在输出文件的第二行输出所求得的最长公共子序列(也用一个大写字母组成的字符串表示。
【输入样例】ABCBDABBDCBA【输出样例】4BCBA【问题分析】这个问题也是相当经典的。
这个题目的阶段很不明显，所以初看这个题目没什么头绪，不像前面讲的有很明显的上一步，上一层之类的东西，只是两个字符串而且互相没什么关联。
但仔细分析发现还是有入手点的：既然说是动态规划，那我们首先要考虑的就是怎么划分子问题，一般对于前面讲到的街道问题和数塔问题涉及走向的，考虑子问题时当然是想上一步是什么？但这个问题没有涉及走向，也没有所谓的上一步，该怎么办呢？既然是求公共子序列，也就有第一个序列的第i个字符和第二个序列的第j个字符相等的情况。
最长公共子序列 空间复杂度优化
最长公共子序列（LCS）是一种经典的字符串算法，用于找到两个字符串中最长的共同子序列。
在实际应用中，LCS算法被广泛用于文本相似度比较、版本控制系统、生物信息学等领域。
在本文中，我们将探讨LCS算法的空间复杂度优化，通过深入分析和讨论，帮助你更好地理解这一优化策略。
1. LCS算法概述LCS算法是一种动态规划算法，通过填表格的方式，将两个字符串的比对过程可视化，最终找到它们的最长公共子序列。
在最简单的情况下，LCS算法的时间复杂度为O(n*m)，其中n和m分别为两个字符串的长度。
但是，在实际应用中，我们通常不仅关注算法的时间复杂度，还需要考虑空间复杂度的优化。
2. 实现原理在传统的LCS算法中，我们通常使用一个二维数组来保存中间状态，以便回溯最长公共子序列。
然而，这种做法在空间上会占用较多的内存，尤其是当输入字符串较长时。
为了优化空间复杂度，我们可以采用一维数组来存储中间状态，从而减少内存的占用。
3. 空间复杂度优化具体来说，我们可以利用滚动数组的思想，只使用两个一维数组来交替保存当前行和上一行的状态。
这样做的好处是，我们可以不断地更新这两个数组，而不需要保存整个二维表格，从而减少了空间的占用。
通过这种优化策略，我们可以将空间复杂度降低到O(min(n, m))，显著减少了内存的使用。
4. 示例分析让我们通过一个简单的示例来说明空间复杂度优化的过程。
假设有两个字符串"ABCD"和"BACDB"，我们希望找到它们的最长公共子序列。
在传统的LCS算法中，我们需要使用一个二维数组来保存中间状态，而在空间复杂度优化后，我们只需要使用两个一维数组来交替保存状态。
通过这种优化，我们可以用较少的内存来解决相同的问题。
5. 个人观点空间复杂度优化是算法设计中非常重要的一环，尤其在处理大规模数据时尤为重要。
通过优化空间复杂度，我们可以节省内存的使用，提高算法的效率，同时也更好地适应了现代计算机的内存限制。
0011算法笔记——【动态规划】最长公共子序列问题(LCS)
问题描述：一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。
确切地说，若给定序列X= { x1, x2,…, x m}，则另一序列Z= {z1, z2,…, z k}是X的子序列是指存在一个严格递增的下标序列{i1, i2,…, i k}，使得对于所有j=1,2,…,k有X ij=Z j。
例如，序列Z={B,C,D,B}是序列X={A,B,C,B,D,A,B}的子序列，相应的递增下标序列为{2,3,5,7}。
给定两个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。
例如，若X= { A, B, C, B, D, A, B}和Y= {B, D, C, A, B, A}，则序列{B,C,A}是X和Y的一个公共子序列，序列{B,C,B,A}也是X和Y的一个公共子序列。
而且，后者是X和Y的一个最长公共子序列，因为X和Y没有长度大于4的公共子序列。
给定两个序列X= {x1, x2, …, x m}和Y= {y1, y2, … , y n}，要求找出X和Y的一个最长公共子序列。
问题解析：设X= { A, B, C, B, D, A, B},Y= {B, D, C, A, B, A}。
求X，Y的最长公共子序列最容易想到的方法是穷举法。
对X的多有子序列，检查它是否也是Y的子序列，从而确定它是否为X和Y的公共子序列。
由集合的性质知，元素为m的集合共有2^m个不同子序列，因此，穷举法需要指数级别的运算时间。
进一步分解问题特性，最长公共子序列问题实际上具有最优子结构性质。
设序列X={x1,x2,……x m}和Y={y1,y2,……y n}的最长公共子序列为Z={z1,z2,……z k}。
则有：(1)若x m=y n,则z k=x m=y n,且z k-1是X m-1和Y n-1的最长公共子序列。
(2)若x m!=y n且z k!=x m，则Z是X m-1和Y的最长公共子序列。
数据结构与算法题解：最长公共子序列和最长公共子串
f [0][0] = 0, f [0][∗] = 0, f [∗][0] = 0,最后应该返回f [lenA][lenB]. 即 f 中索引与字符串串索引
ource, target)); }
}
二二、最⻓长公共子子串串
2.1 简单考虑
可以使用用两根指针索引分别指向两个字符串串的当前遍历位置，若遇到相等的字符时则同时向后移 动一一位。
public class Demo { public static int longestCommonSubstring(String A, String B) { if (A == null || A.length() == 0) return 0; if (B == null || B.length() == 0) return 0; int lenA = A.length(); int lenB = B.length(); int lcs = 0, lcs_temp = 0; for (int i = 0; i < lenA; ++i) { for (int j = 0; j < lenB; ++j) { lcs_temp = 0; while ((i + lcs_temp < lenA) && (j + lcs_temp < lenB) && (A.charAt(i + lcs_temp) == B.charAt(j + lcs_temp))) { ++lcs_temp; }
动态规划经典——最长公共子序列问题（LCS）和最长公共子串问题
动态规划经典——最长公共⼦序列问题（LCS）和最长公共⼦串问题⼀.最长公共⼦序列问题(LCS问题)给定两个字符串A和B，长度分别为m和n，要求找出它们最长的公共⼦序列，并返回其长度。
例如： A = "Hel lo W o rld" B = "loo p"则A与B的最长公共⼦序列为 "loo",返回的长度为3。
此处只给出动态规划的解法：定义⼦问题dp[i][j]为字符串A的第⼀个字符到第 i 个字符串和字符串B 的第⼀个字符到第 j 个字符的最长公共⼦序列，如A为“app”,B为“apple”，dp[2][3]表⽰ “ap” 和 “app” 的最长公共字串。
注意到代码中 dp 的⼤⼩为 (n + 1) x (m + 1) ，这多出来的⼀⾏和⼀列是第 0 ⾏和第 0 列，初始化为 0，表⽰空字符串和另⼀字符串的⼦串的最长公共⼦序列，例如dp[0][3]表⽰ "" 和“app” 的最长公共⼦串。
当我们要求dp[i][j]，我们要先判断A的第i个元素B的第j个元素是否相同即判断A[i - 1]和 B[j -1]是否相同，如果相同它就是dp[i-1][j-1]+ 1，相当于在两个字符串都去掉⼀个字符时的最长公共⼦序列再加 1；否则最长公共⼦序列取dp[i][j - 1] 和dp[i - 1][j]中⼤者。
所以整个问题的初始状态为：dp[i][0]=0,dp[0][j]=0相应的状态转移⽅程为：dp[i][j]=max{dp[i−1][j],dp[i][j−1]},A[i−1]!=B[j−1] dp[i−1][j−1]+1,A[i−1]==B[j−1]代码的实现如下：class LCS{public:int findLCS(string A, int n, string B, int m){if(n == 0 || m == 0)//特殊输⼊return 0;int dp[n + 1][m + 1];//定义状态数组for(int i = 0 ; i <= n; i++)//初始状态dp[i][0] = 0;for(int i = 0; i <= m; i++)dp[0][i] = 0;for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j<= m; j++){if(A[i - 1] == B[j - 1])//判断A的第i个字符和B的第j个字符是否相同dp[i][j] = dp[i -1][j - 1] + 1;elsedp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i][j - 1]);}return dp[n][m];//最终的返回结果就是dp[n][m]}};该算法的时间复杂度为O(n*m)，空间复杂度为O(n*m)。
动态规划算法的常见实例
动态规划算法的常见实例动态规划算法是一种将复杂问题分解为简单子问题来解决的算法，它可被应用于多个领域中，如经济学、生物学、计算机科学等。
在本文中，我们将详细讨论动态规划算法的常见实例。
一、最长公共子序列问题最长公共子序列（LCS）问题是一个经典的计算机科学问题，它要求在两个字符串中找到最长的相同连续子序列。
例如，对于字符串“ABCD”和“ACDF”，最长公共子序列为“ACD”。
使用动态规划方法来解决LCS问题。
首先定义一个m行n列的二维矩阵，其中m和n分别表示两个字符串的长度。
然后，使用以下递推关系：1. 如果一个字符串的长度为0，LCS为0。
2. 如果两个字符不相同，则LCS为它们的前一个字符集合和它们的后一个字符集合的最大值。
3. 如果两个字符相同，则LCS为它们的前一个字符集合和它们的后一个字符集合所组成的子序列中的最大值加1。
最后，矩阵右下角的值就是LCS的长度。
二、背包问题背包问题（Knapsack problem）是一个经典的组合优化问题，被广泛应用于计算机科学和其他领域。
在一个决策者必须决定是否将某些物品放入背包中的场景中，背包问题就发挥了作用。
具体来说，我们要解决的问题是：对于一个固定容量的背包，有一些物品，它们的重量和价值都不同，如何在不超过背包容量的前提下，使所装载物品的总价值最大化。
一种解决方案是使用动态规划方法。
定义一个二维数组，其行表示物品，列表示背包大小。
然后，使用以下递推关系：1. 如果所考虑的物品重量大于背包容量，则不选此物品。
2. 否则，在选取该物品和不选该物品两种情况中选择最优解作为最终结果。
最后，矩阵中右下角的值就是最大的总价值。
三、矩阵链乘法矩阵链乘法是一种计算矩阵乘积的优化算法。
它使用动态规划算法来确定矩阵乘积的最小值。
对于一个长度为n的矩阵链，我们可以定义一个n×n 的矩阵M，其中第i行第j列的元素Mi，j表示第i个矩阵与第j个矩阵相乘的最小次数。
实验二最长公共子序列（动态规划算法）
实验二最长公共子序列（动态规划算法）班级：08计算机科学与技术（1）班学号：E08620113 姓名：戴斌江机器号：实验二最长公共子序列问题一、实验目的：1、理解动态规划算法的概念；2、掌握动态规划算法的基本要素；3、掌握设计动态规划算法的步骤；4、通过应用范例学习动态规划算法的设计技巧与策略；二、实验内容及要求：1、使用动态规划算法解决最长公共子序列问题：给定两个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，找出X和Y的最长公共子序列。
2、通过上机实验进行算法实现。
3、保存和打印出程序的运行结果，并结合程序进行分析，上交实验报告。
三、实验原理：动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程（decision process)最优化的数学方法。
20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。
1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这是该领域的第一本著作。
算法总体思想：1)动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
2)与分治法不同的是，适合于用动态规划法求解的问题，经分解得到的子问题往往不是独立的。
子问题中存在大量的公共子问题，在分治求解过程中被多次重复计算，保存计算结果，为后面的计算直接引用，减少重复计算次数这就是动态规划的基本思想。
3)用动态规划算法求解问题，可依据其递归式以自底向上的方式进行计算。
在计算过程中，保存已解决的子问题的答案。
每个子问题只计算一次，而在后面需要时只要简单查一下，从而避免大量重复计算，最终得到多项式时间算法。
动态规划解最长公共子序列问题
动态规划解最长公共子序列问题动态规划主要针对最优化问题,它的决策是全面考虑不同的情况分别进行决策,,最后通过多阶段决策逐步找出问题的最终解.当各个阶段采取决策后,会不断决策出新的数据,直到找到最优解.每次决策依赖于当前状态,又随机引起状态的转移.一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的,故有”动态”的含义.所以,这种多阶段最优化决策解决问题的过程称为动态规划.一问题的描述与分析字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地(不一定连续)去掉若干字符(可能一个也不去掉)后形成的字符序列..令给定的字符序列X=”x0,x1,x2,…xm-1”,序列Y=”y0,y1,…yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列i=i0,i1,i2,…ik-1,使得对所有的j=0,1,2,…k-1,有xi=yi。
例如X=“ABCBDAB”,Y=“BCDB”是X的一个子序列。
给定两个序列A和B,称序列Z是A和B公共子序列，是指Z同是A和B的子序列。
求最长公共子序列。
若A的长度为m,B的长度为n,则A的子序列有2*m-1个，B的子序列有2*n-1个。
采用枚举法分别对A和B的所以子序列一一检查，最终求出最长公共子序列。
如此比较次数（2*2n）接近指数阶，当n较大时，算法太耗时，不可取。
所以要全面考虑不同的情况分别进行决策,,最后通过多阶段决策逐步找出问题的最终解.当各个阶段采取决策后,会不断决策出新的数据,直到找到最优解。
二、算法设计（或算法步骤）A=”a0,a1,a2,……am-1”,B=”b0,b1,b2,……bn-1”,且Z=”z0,z1,z2……zk-1”,为她们的最长公共子序列。
不难证明有一下结论：（1）如果am-1=bn-1,则zk-1=am-1=bn-1,且“z0,z1,z2,……zk-2”是“a0,a1,a2,……am-2”和“b0,b1,b2,……bn-2”的一个最长公共子序列；（2）如果am-1!=bn-1,则若zk-1!=am-1,则“z0,z1,z2,……zk-1”是“a0,a1,a2,……am-2”和”b0,b1,b2,……bn-1”的一个最长公共子序列。
2-最长公共子序列问题(无答案)
最长公共子序列问题（LCS）（生物信息学中常用算法）子序列的概念：设X=< x1, x2,┅, x m>，若有1≤i1< i2< ┅<i k≤m，使得Z=< z1, z2,┅, z k> = < x i1, x i2,┅, x ik>，则称Z是X的子序列，记为Z<X。
e.g. X=<A,B,C,B,D,A,B>, Z=<B,C,B,A>, 则有Z<X。
公共子序列的概念：设X，Y是两个序列，且有Z<X和Z<Y，则称Z是X和Y 的公共子序列。
最长公共子序列的概念：若Z<X，Z<Y，且不存在比Z更长的X和Y 的公共子序列，则称Z是X和Y 的最长公共子序列，记为Z∈LCS(X , Y)。
最长公共子序列往往不止一个。
e.g. X=<A,B,C,B,D,A,B>, Y=<B,D,C,A,B,A>, 则Z=<B,C,B,A>, Z’=<B,C,A,B>, Z’’=<B,D,A,B>均属于LCS(X , Y) ，即X,Y有3个LCS。
如何找出X和Y的一个最长公共子序列？Brute-force法：列出X的所有长度不超过n（即∣Y∣）的子序列，从长到短逐一进行检查，看其是否为Y的子序列，直到找到第一个最长公共子序列。
由于X共有2m个子序列，故此方法对较大的m没有实用价值。
是否能使用动态规划法？如何用？分析：记X i=﹤x1，…，x i﹥即X序列的前i个字符(1≤i≤m)（前缀）Y j=﹤y1，…，y j﹥即Y序列的前j个字符(1≤j≤n)（前缀）假定Z=﹤z1，…，z k﹥∈LCS(X , Y)。
若x m=y n（最后一个字符相同），则不难用反证法证明：该字符必是X与Y的任一最长公共子序列Z（设长度为k）的最后一个字符，即有z k = x m = y n且显然有Z k-1∈LCS(X m-1 , Y n-1) 即Z的前缀Z k-1是X m-1与Y n-1的最长公共子序列。
超级难的python程序题目
超级难的python程序题目全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：Python是一种简单易学的编程语言，但是有些Python程序题目可以被称为“超级难题”，需要深厚的编程基础和逻辑推理能力才能解决。
本文将介绍一些超级难的Python程序题目，挑战读者的编程技能和思维能力。
1. 矩阵转置给定一个n×m的矩阵，要求编写一个函数将其进行转置，即行变列，列变行。
要求只能使用一个额外的空间进行操作。
这个问题看似简单，但是要考虑到矩阵的行列数可能不相等，以及如何在不使用额外空间的情况下完成转置操作。
解决这个问题需要充分理解矩阵的存储方式以及转置操作的实现原理。
2. 二叉树的镜像这个问题考察了递归的理解和应用，要求深入理解二叉树的结构和节点操作。
要解决镜像二叉树问题需要考虑递归的终止条件和递归的过程中如何进行节点交换操作。
3. 动态规划——最长回文子序列给定一个字符串，要求编写一个函数找到它的最长回文子序列的长度。
回文子序列是指正着读和反着读都一样的序列，可以是字符串中不连续的一部分字符。
这个问题是动态规划中的经典问题，需要设计合适的状态转移方程和动态规划过程。
要解决最长回文子序列问题需要考虑如何定义状态、如何进行状态转移、如何设计合适的初始状态等问题。
4. 图论——最小生成树给定一个带权重的无向图，要求编写一个函数返回其最小生成树的权重。
最小生成树是指在原图的所有节点连通的情况下，总权重最小的生成树。
这个问题是图论中经典的问题，需要熟悉最小生成树算法（如Prim 算法、Kruskal算法）的原理和实现方式。
要解决最小生成树问题需要考虑如何按权重进行边的选择和如何保证生成树的连通性。
在解决这些超级难的Python程序题目的过程中，需要灵活运用Python的各种数据结构和算法，同时需要深入理解问题的本质和要求。
通过挑战超级难的Python程序题目，可以提升自己的编程能力和解决问题的能力，帮助自己更好地应对编程挑战和面对实际工作中的复杂问题。
2 最长公共子序列
不用递归的情况下计算lcs(i, j). 不用递归的情况下计算 . 算法Lcs的时间复杂性显然是 的时间复杂性显然是O(nm) 算法 的时间复杂性显然是
int String::Lcs ( String y ) { int n = Length( ), m = y.Length( ); int lcs[MaxN][MaxM]; // MaxN和MaxM 是已定义的常数 int i, j; for ( i = 0; i <= n; i++) lcs[i][0] = 0; // 初始值 for ( j = 0; j <= m; j++) lcs[0][j] = 0; // 初始值 for ( i = 1; i <= n; i++) for ( j = 1; j <= m; j++) if ( str[i] ==y.str[j] ) lcs[i][j] = lcs[i-1][j-1] + 1; else lcs[i][j] = max(lcs[i-1][j], lcs[i][j-1]); return lcs[n][m]; }
穷举法
对于每一个X 的子序列,验证它是否是 验证它是否是Y 对于每一个 m的子序列 验证它是否是 n的子序 列. Xm有2m个子序列 每个子序列需要o(n)的时间来验证它是否是 n的 的时间来验证它是否是Y 每个子序列需要 的时间来验证它是否是 子序列. 子序列 的第一个字母开始扫描下去,如果不是则从 从Yn的第一个字母开始扫描下去 如果不是则从 第二个开始 运行时间: 运行时间 o(n2m)
作业
String String::Lcs ( String x, String y );
最长公共子序列问题
约束条件： 目标函数：
n
wixi W
i=1
xi {0,1},(1 i n)
n
max vixi
i=1
（4-7） （4-8）
于是，问题归结为寻找一个满足约束条件（4-7），并使目标函 数（4-8）达到最大的解向量X=(x1, x2,…, xn)。
算法设计——求装入背包的最大 价值
❖ 步骤1：设计算法所需的数据结构。采用数组w[n]来存放 n个物品的重量；数组v[n]来存放n个物品的价值，背包 容量为W，数组C[n+1][W+1]来存放每一次迭代的执行结 果；数组x[n]用来存储所装入背包的物品状态；
优值；
算法设计——确定装入背包的具 体物品
❖ 从C[n][W]的值向前推，如果C[n][W]> C[n-1][W]，表明 第为nW个-w物n的品背被包装中入；背否包则，，则第xnn=个1，物前品n没-1有个被物装品入被背装包入，容则量 x直n=到0确，定前第n-11个个物物品品是被否装被入装容入量背为包W的中背为包止中。。由依此此，类得推到， 下面关系式：
❖ 行i表示物品，列j表示背包容量，表中数据表示C[i][j]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0 0000000000
1
0 0666666666
2
0 0669999999
3
0 0 6 6 9 9 9 9 11 11 14
4
0 0 6 6 9 9 9 10 11 13 14
5
0 0 6 6 9 9 12 12 15 15 15
❖ 步骤2：初始化。按式(4-10)初始化数组C； ❖ 步骤3：循环阶段。按式（4-11）确定前i个物品能够装入
最长公共子序列动态规划算法
最长公共子序列动态规划算法下面我们将详细介绍使用动态规划算法求解最长公共子序列的过程。
首先，我们定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示序列1的前i个字符和序列2的前j个字符的最长公共子序列的长度。
接下来，我们需要确定动态规划的状态转移方程。
对于dp[i][j]，我们有以下两种情况：1. 如果序列1的第i个字符和序列2的第j个字符相等，即seq1[i] == seq2[j]，那么dp[i][j]就等于dp[i-1][j-1]加1，表示当前字符可以构成最长公共子序列的一部分。
2. 如果序列1的第i个字符和序列2的第j个字符不相等，即seq1[i] != seq2[j]，那么dp[i][j]就等于dp[i-1][j]和dp[i][j-1]中的较大值，表示当前字符不能构成最长公共子序列，需要继续考察前面的字符。
根据以上分析，我们可以得到状态转移方程为：```if seq1[i] == seq2[j]:dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1else:dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])```其中，max(函数表示取两个值的较大值。
接下来，我们需要确定初始条件。
对于dp数组的第一行和第一列，由于没有前一个字符，我们无法进行状态转移，因此需要将它们初始化为0。
最后，我们需要根据状态转移方程和初始条件，依次计算dp数组的所有值。
最终，dp数组的最后一个元素dp[m][n]就表示序列1的前m个字符和序列2的前n个字符的最长公共子序列的长度。
通过确定状态转移方程、初始条件和计算过程，我们可以得到求解最长公共子序列问题的动态规划算法。
下面是具体的算法步骤：1. 根据待求解的两个序列seq1和seq2的长度，创建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示序列1的前i个字符和序列2的前j个字符的最长公共子序列的长度。
2. 初始化dp数组的第一行和第一列为0。
多序列最长公共子序列
多序列最长公共子序列通用文档第 1 篇
【多序列最长公共子序列研究】
随着生物信息学、基因组学和序列比对等领域的快速发展，多序列比对问题逐渐成为研究 的热点。多序列比对旨在寻找一组序列之间最相似的关系，进而揭示序列间的进化关系和 功能联系。在多序列比对中，最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）问题 是一个关键问题。LCS 问题是指在给定一组序列的情况下，找出这些序列中最长的公共子 序列。该问题在生物信息学、编译原理、模式识别等领域具有广泛的应用。本文将针对多 序列最长公共子序列问题进行研究，并提出一种有效的解决方法。
多序列最长公共子序列通用文档第 4 篇
【引言】 多序列最长公共子序列(Multiple Sequence Longest Common Subsequence, MS-LCS)问题是 生物信息学中一个重要的研究课题。在基因组学、蛋白质序列比对等领域,常常需要对多个 序列进行比对,找出它们之间的相似性和差异性。而 MS-LCS 问题则是比对过程中一个关键 问题,可以用来衡量多个序列之间的相似程度,对于研究生物进化和基因功能具有重要意 义。本文将介绍 MS-LCS 问题的背景、算法和应用,并探讨其在生物信息学领域的前景。
【背景】 在生物信息学中,序列比对是一个基本问题。给定两个序列,需要找出它们之间最长的公共 子序列(Longest Common Subsequence, LCS),即两个序列中公共的最长序列。LCS 问题是一 个经典的动态规划问题,可以用 O(n^2)的时间复杂度解决。但是,当需要对多个序列进行比 对时,问题变得更为复杂。MS-LCS 问题就是要找出多个序列中最长的公共子序列,其应用范 围包括基因组注释、蛋白质序列比对、基因表达数据分析等。
最长公共子序列问题(最新)
算法作业：LCS 问 题作业要求：设计一个算法求出两个序列的所有LCS ，分析最坏情况，用“会计方法”证明利用b[i][j]求出所有LCS 的算法在最坏情况下时间复杂度为)(m m n C O +1、 算法思路：根据最长公共子序列问题的性质，即经过分解后的子问题具有高度重复性，并且具有最优子结构性质，采用动态规划法求解问题。
设X={x 1, x 2, … , x n }, Y={y 1, y 2, … , y m }, 首先引入二维数组C[i][j]记录X i 和Y j 的LCS 的长度，定义C[i][j]如下：{j i jy i 且x ,i,j ]][j C[i jy i x j i j i C j i C j i C 00001110,]},1][[],][1[max{]][[===>+--≠>--=或，且为了构造出LCS ，还需要使用一个二维数组b[m][n]，b[i][j]记录C[i][j]是通过哪个子问题的值求得的，以决定搜索的方向，欲求出所有的LCS ，定义数组b 如下： 设1-对角线方向;2-向上;3-向左;4-向上或向左 若X[i]=Y[j],b[i][j] = 1,若C[i-1][j]<i][j-1], 则b[i][j] = 2, 若C[i-1][j]>[i][j-1], 则b[i][j] = 3, 若C[i-1][j]=[i][j-1], 则b[i][j] = 4,根据以上辅助数组C 和b 的定义，算法首先需要求出这两个数组， C[m][n]中记录的最长公共子序列的长度，b 中记录了查找子序列元素的搜索方向。
利用C 和b 的信息，Find_All_LCS 可以采用回溯法求出所有的LCS 。
基本思路如下：使用一个辅助数组记录每次调用Find_All_LCS 得到的LCS 中的元素，每次递归调用一次Find_All_LCS ，进入一个新的执行层，首先要判断当前处理的两个子序列长度是否大于等于0 ，若不满足，则该层的递归结束，返回上一层；然后再判断当前得到的子序列是否等于数组C 中求出的最长公共子序列长度，若等于，则说明算法执行到此已经得到一个LCS ，按序输出；若不等于，此时根据数组b 中记录的搜索方向继续搜索，特别要说明的是，当b[i][j]=4时，即要向上或向左，需要对这两个方向分别调用Find_All_LCS ，保证沿着这两个方向上LCS 元素不被漏掉，都可以搜索到；若b[i][j]=1，即沿对角线方向搜索前进时，此时元素X[i]为LCS 中的元素，存放至辅助数组中去，同时将当前已经求得的LCS 长度增1，当递归调用Find_All_LCS 从b[i][j]=1处时，需要回溯一步，搜索其它路径上可能为LCS 中的元素。
力扣优秀题解
力扣优秀题解——动态规划动态规划（Dynamic programming，简称DP）是一种常见的求解优化问题的方法。
它与分治算法类似，都是通过将大问题分解成若干个小问题来求解的。
不同的是，DP解决的问题通常是有重叠子问题和最优子结构特征的，即在求解过程中会反复计算相同的子问题，并且每个子问题都具有最优解，可以通过这些最优解推导出全局最优解。
力扣中的很多题目都可以使用动态规划来解决，比如最长公共子序列、股票买卖、打家劫舍等等。
下面针对这些题目进行详细解析。
一、最长公共子序列题目描述：给定两个字符串text1 和text2，返回它们的最长公共子序列。
如果不存在公共子序列，返回0。
示例：输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 输出：3 解释：最长公共子序列是 "ace"，它的长度为 3。
解题思路：最长公共子序列问题是比较经典的DP问题。
设字符串text1和text2的长度分别为m 和n，令dp[i][j]表示text1[0:i]和text2[0:j]的最长公共子序列长度，为方便起见，text1和text2的下标从1开始。
当text1[i-1] == text2[j-1]时，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1，即text1[0:i-1]和text2[0:j-1]的最长公共子序列长度加上1。
当text1[i-1] != text2[j-1]时，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])，即考虑text1[0:i-1]和text2[0:j]的最长公共子序列长度与text1[0:i]和text2[0:j-1]的最长公共子序列长度，两者取最大值。
最终的答案即为dp[m][n]。
代码实现：class Solution: def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int: m, n = len(text1), len(text2) dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)] for i in range(1, m + 1): for j in range(1, n + 1): if text1[i - 1] == text2[j - 1]: dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1 else: dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) return dp[m][n]二、股票买卖题目描述：给定一个数组prices，其中prices[i]是一支给定股票第i天的价格。
2019年计算机等级考试二级C++辅导：最长公共子序列
2019年计算机等级考试二级C++辅导：最长公共子序列一、算法思想一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。
给定两个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X 和Y的公共子序列。
最长公共子序列就是求给定两个序列的一个最长公共子序列。
动态规划能够有效的解决此问题。
由最长公共子序列问题的子序列的子结构性质，能够建立子问题的递归关系。
用c[i][j]记录序列Xi和Yi的最长公共子序列的长度，递归关系如下：0 i=0,j=0c[i][j]= c[i-1][j][j-1]+1 i,j> 0;xi==yjmax c[i][j-1],c[i-1][j] I,j> 0;xi==yj在具体的算法设计中，以序列X= { x1,x2,x3,…,xm }和Y={y1,y2,y3,…,ym}作为输入。
输出三个数组c,b,temp。
其中c[i][j]存储Xi和Yj的公共子序列的长度，b[i][j]记录c[i][j]的值是由哪一个子问题的解得到的，这在构造最长公共子序列时要用到。
问题得解，即X和Y得最长公共子序列记录在temp[h]中。
二、源代码下面是在Microsoft Visual C++ 6.0中编写的求最长公共子序列的源程序，程序定义了得字符串长度为99，是将p48页的动态规划算法改写而来的。
#include#include#define MAX 99//typedef char MM;void main(){ int i,j,m,n,h=0;char x[MAX]={ ' ', ' '},y[MAX]={ ' ', ' '},b[MAX][MAX]={ ' '};int c[MAX][MAX]={0};char temp[MAX]={ ' '};cout > m;cout > x[i]; //键盘输入x和ycout > n;cout > y[i];for(i=1;i =c[i][j-1]){ c[i][j]=c[i-1][j];b[i][j]= '│ ';}else{c[i][j]=c[i][j-1];b[i][j]= '- ';}} //动态规划结束cout =0;i--) //格式化输出最长公共子序列if(i==h-1)if(h==1)cout > x;cin> > y;这样就能够将这部分的时间复杂度从O(m+n)降到O(2)，但有一个相关的问题没解决，所以我没这样赋值。
最长公共子序列长度
最长公共子序列长度
最长公共子序列长度是指两个序列中最长的公共子序列的长度。
公共子序列是指两个序列中都存在的、可能是不连续的相同元素组成的序列。
以下是一个计算最长公共子序列长度的动态规划算法：。
1. 定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示序列1的前i个元素和序列2的前j个元素的最长公共子序列长度。
2. 初始化dp数组第一行和第一列。
dp[0][j]=0，dp[i][0]=0。
3. 递推计算剩余的dp数组。
当序列1的第i个元素等于序列2的第j个元素时，dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1，否则dp[i][j]=max(dp[i-
1][j],dp[i][j-1])。
4. 返回dp[m][n]，其中m和n分别为序列1和序列2的长度。
例如，对于序列1：ABCDABD和序列2：BDCABA，其最长公共子序列为BCBA，长度为4。
最长公共子序列问题
目录1 前言02 需求分析12.1 任务和要求12.2 运行环境12.3 开发工具13 分析和设计13.1 系统分析及设计思路13.2 主要数据结构及算法23.3 函数流程图24 具体代码实现35 课程设计总结135.1 程序运行结果或预期运行结果135.2 设计结论13参考文献14致谢141 前言若给定序列X={x1,x2,…,x m}，则另一序列Z={z1,z2,…,z k}，是X的子序列是指存在一个严格递增下标序列{i1,i2,…,ik}使得对于所有j=1,2,…,k有：zj=xij。
例如，序列Z={B，C，D，B}是序列X={A，B，C，B，D，A，B}的子序列，相应的递增下标序列为{2，3，5，7}。
给定2个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y 的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。
请使用C语言编程，设计一个有效的算法解决下述问题：给定2个序列X={x1,x2,…,x m}和Y={y1,y2,…,y n}，找出X和Y 的最长公共子序列。
2 需求分析2.1任务和要求使用C语言编程，设计一个有效的算法解决下述问题：给定2个序列X={x1,x2,…,x m}和Y={y1,y2,…,y n}，找出X和Y的最长公共子序列。
2.2运行环境（1）WINDOWS2000/XP系统（2）Visual C++ 6.0编译环境或TC编译环境2.3开发工具C语言3 分析和设计3.1 系统分析及设计思路设序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}的最长公共子序列为Z={z1,z2,…,zk} ，则(1)若xm =yn，则zk=xm=yn，且zk-1是xm-1和yn-1的最长公共子序列。
(2)若xm ≠yn且zk≠xm，则Z是xm-1和Y的最长公共子序列。
(3)若xm ≠yn且zk≠yn，则Z是X和yn-1的最长公共子序列。
由此可见，2个序列的最长公共子序列包含了这2个序列的前缀的最长公共子序列。
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最长公共子序列问题（LCS）（生物信息学中常用算法）子序列的概念：设X = <x1, x2,┅, x m>，若有1≤i1<i2< ┅ <i k≤m，使得Z=< z1, z2,┅, z k> = <x i1, x i2,┅, x ik>，则称Z是X的子序列，记为Z<X。
e.g. X=<A,B,C,B,D,A,B>, Z=<B,C,B,A>, 则有Z<X。
公共子序列的概念：设X，Y是两个序列，且有Z<X和Z<Y，则称Z是X和Y 的公共子序列。
最长公共子序列的概念：若Z<X，Z<Y，且不存在比Z更长的X和Y 的公共子序列，则称Z是X和Y 的最长公共子序列，记为Z LCS(X , Y)。
最长公共子序列往往不止一个。
e.g. X=<A,B,C,B,D,A,B>, Y=<B,D,C,A,B,A>, 则Z=<B,C,B,A>, Z’=<B,C,A,B>, Z’’=<B,D,A,B>均属于LCS(X , Y) ，即X,Y有3个LCS。
如何找出X和Y的一个最长公共子序列？Brute-force法：（设X的长度大于Y，即有m>n）列出X的所有长度不超过n（即∣Y∣）的子序列，从长到短逐一进行检查，看其是否为Y的子序列，直到找到第一个最长公共子序列。
由于X共有2m个子序列，故此方法对较大的m没有实用价值。
是否能使用动态规划法？如何用？分析：记X i=﹤x1，…，x i﹥即X序列的前i个字符(1≤i≤m)（前缀）Y j=﹤y1，…，y j﹥即Y序列的前j个字符(1≤j≤n)（前缀）假定Z=﹤z1，…，z k﹥∈LCS(X , Y)。
若x m=y n（最后一个字符相同），则不难用反证法证明：该字符必是X与Y的任一最长公共子序列Z（设长度为k）的最后一个字符，即有z k = x m = y n。
且显然有Z k-1∈LCS(X m-1 , Y n-1)即Z的前缀Z k-1是X m-1与Y n-1的最长公共子序列。
若x m≠y n，则亦不难用反证法证明：要么Z∈LCS(X m-1, Y)，要么Z∈LCS(X , Y n-1)。
由于z k≠x m与z k≠y n其中至少有一个必成立，因此：若z k≠x m则有Z∈LCS(X m-1 , Y)，若z k≠y n 则有Z∈LCS(X , Y n-1)。
∴若x m=y n，则问题化归成求X m-1与Y n-1的LCS（LCS(X , Y)的长度等于LCS(X m-1 , Y n-1)的长度加1）若x m≠y n，则问题化归成求X m-1与Y的LCS及X与Y n-1的LCS LCS(X , Y)的长度为：Max {LCS(X m-1 , Y)的长度, LCS(X , Y n-1)的长度}求LCS(X m-1 , Y)的长度与LCS(X , Y n-1)的长度这两个问题不是相互独立的：∵两者都需要求LCS(X m-1，Y n-1)的长度,因而具有重叠性。
此外，两个序列的LCS中包含了两个序列的前缀的LCS，故问题具有最优子结构性质⇒考虑用动态规划法。
引进一个二维数组C，用C[i,j]记录X i与Y j的LCS的长度。
如果我们是按行、列的序号从小到大地进行递推计算，（从第1行开始计算：C[1,1]、C[1,2]、。
C[1,n]，再算C[2,1]、C[2,2]、。
C[2,n]，。
最后计算C[m,1]、C[m,2]、。
C[m,n]，最后算出的C[m,n]即为LCS(X , Y)的长度。
）那么在计算C[i,j]之前，C[i-1,j-1], C[i-1,j]与C[i,j-1]均已计算出来。
此时根据X[i]=Y[j]还是X[i]≠Y[j]，就可以计算出C[i,j]：若X[i]=Y[j]，则执行C[i,j]←C[i-1,j-1]+1；若X[i]≠Y[j]，进行下述判断：若C[i-1,j]≥C[i,j -1]则C[i,j]取C[i-1,j]；否则C[i,j]取C[i,j-1]。
即有C[i,j]=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫≠>--=>+--==y x y x j i j i j i j i C j i C j i j i C j i 且若且若或若0,]}1,[],,1[max{0,1]1,1[000 为了构造出LCS ，使用一个m ⨯n 的二维数组b ，b[i,j]记录C[i,j]是通过哪一个子问题的值求得的,以决定搜索的方向：若X[i]=Y[j]，则b[i,j]中记入“↖”（亦可不记）；若X[i]≠Y[j]且C[i-1,j] ≥ C[i,j-1]，则b[i,j]中记入“↑”；若X[i]≠Y[j]且C[i-1,j] < C[i,j-1]，则b[i,j]中记入“←”；e.g. 对于X=<A,B,C,B,D,A,B>，Y=<B,D,C,A,B,A>，求出的各个C[i,j]与b[i,j]如下图：0 1 2 3 4 5 6y j B D C A B A0 x i 0 0 0 0 0 0 0↑ ↑ ↑ ↖ ↖1 A 0 0 0 0 1← 1 1↖ ↑ ↖2 B 0 1 ← 1← 1 1 2 ← 2↑ ↑ ↖ ↑ ↑3 C 0 1 1 2 ← 2 2 2↖ ↑ ↑ ↑ ↖4 B 0 1 1 2 2 3 ← 3↑ ↖ ↑ ↑ ↑ ↑5 D 0 1 2 2 2 3 3↑ ↑ ↑ ↖ ↑ ↖6 A 0 1 2 2 3 3 4↖ ↑ ↑ ↑ ↖ ↑7 B 0 1 2 2 3 4 4算法LCS_L(X,Y,m,n,C,b)（求出各个C[i,j]与b[i,j]）for i=0 to m do C[i,0]←0for j=1 to n do C[0,j]←0for i=1 to m do{ for j=1 to n do{ if X[i]=Y[j] then{C[i,j]←C[i-1,j-1]+1；b[i,j]←“↖” ;}else if C[i-1,j]≥C[i,j-1] then{C[i,j]←C[i-1,j]；b[i,j]←“↑” ;}else{C[i,j]←C[i,j-1]；b[i,j]←“←” ;}}}算法的时间复杂度显然是Θ(m×n)的。
输出一个LCS(X,Y)的递归算法：LCS_Output(b,X,i,j)If i=0 or j=0 then return;If b[i,j]=“↖”then /*X[i]=Y[j]*/{LCS_Output(b,X,i-1,j-1)；输出X[i]；}else if b[i,j]=“↑”then /*X[i]≠Y[j]且C[i-1,j]≥C[i,j-1]*/ LCS_Output(b,X,i-1,j)else if b[i,j]=“←” then /*X[i]≠Y[j]且C[i-1,j]<C[i,j-1]*/ LCS_Output(b,X,i,j-1)e.g. 对上述例子调用LCS_Output(b,X,7,6)。
算法分析：由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用（m+n）次就会遇到i=0或j=0的情况，此时开始返回。
返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m＋n)。
注意：仅用“↑” ，“←” ，“↖”是搜索不到所有的LCS的：主要是由于在上述LCS_L算法里，对于语句if C[i-1] ≥ C[i,j-1] then ….，没有区分C[i-1,j]＞C[i,j-1] 和C[i-1,j]＝C[i,j-1]这两种不同的情况。
因此，要找出所有的LCS，当满足X[i]≠Y[j]且C[i-1,j]＝C[i,j-1]时，要执行b[i,j]←“←↑”，即记录两个搜索方向，才能够据此找出所有的LCS。
故本例应为0 1 2 3 4 5 6y j B D C A B A0 x i0 0 0 0 0 0 0↑ ↑ ↑↖↖1 A 0 ←0 ←0←0 1← 1 1↖↑↖2 B 0 1 ←1← 1 ←1 2 ←2↑ ↑↖↑↑3 C 0 1 ←1 2 ←2←2 ←2↖↑ ↑ ↑↖4 B 0 1 ←1 2 ←2 3 ←3↑↖↑ ↑ ↑ ↑5 D 0 1 2←2 ←2 3 ←3↑ ↑ ↑↖↑↖6 A 0 1 2←2 3←3 4↖↑ ↑↑↖↑7 B 0 1 2←2 3 4 ←4为节省空间，数组b亦可不用，直接根据X[i]=Y[j]还是X[i]≠Y[j]以及C[i,j-1]，C[i-1,j]来找出搜索方向：X[i]=Y[j]等价于b[i,j]=“↖”，X[i]≠Y[j]且C[i,j-1] > C[i-1,j] 等价于b[i,j]=“←”，X[i]≠Y[j]且C[i,j-1] < C[i-1,j] 等价于b[i,j]=“↑”，X[i]≠Y[j]且C[i,j-1] = C[i-1,j] 等价于b[i,j]=“←↑”，不用b数组可节省Θ(m×n)的空间，但算法写起来稍烦一些。
执行时间的量级两者相同。
如果只需计算LCS的长度而无需求出具体的LCS，则二维数组C也可以不用，只用一个长为min{m,n}的数组即可。
（作为思考题）作业：利用b[i,j]，设计一个算法求出全部的LCS，利用”会计方法”，分析你所编算法的时间复杂度的最坏情况。
（在最坏情况下，所编算法的时间复杂度有可能为O(m n m C+)）该作业要完成一份报告，并提交。
附：实验报告的要求1、算法设计、流程图绘制、报告撰写各环节必须独立完成。
2、实验报告要满足下述各个方面的要求：首先要对问题进行分析，找出解决问题的关键环节，注意内容与课件相同者只需写“该部分思路同课件”即可。
其次要对算法进行设计构思，并在报告中写出自己的思路，这部分内容要求不仅自己能读懂，他人读后也能完全理解。
算法设计完成后，用流程图（中文）形式把算法表达出来，流程图要画详细（包括算法中的所有if-then-else判断），特别是当字符相同时的详细处理办法(算法思路中也要写), 不能只画未能完全反映所给算法具体思路的简单粗框图。
程序运行通过后，要对多种实例(至少3组以上)进行测试，给出各实例运行后的截屏，并对运行结果进行分析，分析的内容要尽可能全面、客观、深入。
在报告的最后附上自己所编制的程序。
3、未按上述要求撰写报告者，将根据具体情况酌情扣分。