第03章 非线性数据结构-图
数据结构之线性结构和非线性结构
数据结构之线性结构和⾮线性结构线性结构：⼀、概念1. 线性结构作为最常⽤的数据结构，其特点是数据元素之间存在⼀对⼀的线性关系。
2. 线性结构拥有两种不同的存储结构，即顺序存储结构和链式存储结构。
顺序存储的线性表称为顺序表，顺序表中的存储元素是连续的，链式存储的线性表称为链表，链表中的存储元素不⼀定是连续的，元素节点中存放数据元素以及相邻元素的地址信息。
3. 线性结构中存在两种操作受限的使⽤场景，即队列和栈。
栈的操作只能在线性表的⼀端进⾏，就是我们常说的先进后出（FILO），队列的插⼊操作在线性表的⼀端进⾏⽽其他操作在线性表的另⼀端进⾏，先进先出（FIFO），由于线性结构存在两种存储结构，因此队列和栈各存在两个实现⽅式。
⼆、部分实现1. 顺序表（顺序存储） 按照我们的习惯，存放东西时，⼀般是找⼀块空间，然后将需要存放的东西依次摆放，这就是顺序存储。
计算机中的顺序存储是指在内存中⽤⼀块地址连续的空间依次存放数据元素，⽤这种⽅式存储的线性表叫顺序表其特点是表中相邻的数据元素在内存中存储位置也相邻，如下图：1 // 倒置线性表2 public void Reverse()3 {4 T tmp = default(T);56 int len = GetLength() - 1;7 for (int i = 0; i <= len / 2; i++)8 {9 if (i.Equals(len - i))10 {11 break;12 }1314 tmp = data[i];15 data[i] = data[len - i];16 data[len - i] = tmp;17 }18 }2. 链表（链式存储） 假如我们现在要存放⼀些物品，但是没有⾜够⼤的空间将所有的物品⼀次性放下（电脑中使⽤链式存储不是因为内存不够先事先说明⼀下...，具体原因后续会说到），同时设定我们因为脑容量很⼩，为了节省空间，只能记住⼀件物品位置。
《数据结构》教程c语言版
《数据结构》第五版清华大学自动化系李宛洲2004年5月目录第一章数据结构--概念与基本类型 (6)1.1概述 (6)1.1.1数据结构应用对象 (6)1.1.2学习数据结构的基础 (7)1.1.2.1 C语言中的结构体 (7)1.1.2.2 C语言的指针在数据结构中的关联作用 (8)1.1.2.3 C语言的共用体(union)数据类型 (12)1.1.3数据结构定义 (15)1.2线性表 (17)1.2.1 顺序表 (18)1.2.2 链表 (20)1.2.2.1链表的基本结构及概念 (20)1.2.2.2单链表设计 (22)1.2.2.3单链表操作效率 (29)1.2.2.4双链表设计 (30)1.2.2.5链表深入学习 (32)1.2.2.6稀疏矩阵的三元组与十字链表 (36)1.2.3 堆栈 (41)1.2.3.1堆栈结构 (41)1.2.3.2基本操作 (42)1.2.3.3堆栈与递归 (44)1.2.3.4递归与分治算法 (45)1.2.3.5递归与递推 (49)1.2.3.6栈应用 (52)1.2.4 队列 (57)1.2.4.1队列结构 (57)1.2.3.2队列应用 (59)1.3非线性数据结构--树 (64)1.3.1 概念与术语 (64)1.3.1.1引入非线性数据结构的目的 (64)1.3.1.2树的定义与术语 (65)1.3.1.3树的内部节点与叶子节点存储结构问题 (66)1.3.2 二叉树 (66)1.3.2.1二叉树基本概念 (66)1.3.2.2完全二叉树的顺序存储结构 (68)1.3.2.3二叉树遍历 (69)1.3.2.4二叉树唯一性问题 (71)1.3.3 二叉排序树 (72)1.3.3.1基本概念 (72)1.3.3.2程序设计 (73)1.3.4 穿线二叉树 (79)1.3.4.1二叉树的中序线索化 (80)1.3.4.2中序遍历线索化的二叉树 (81)1.3.5 堆 (82)1.3.5.1建堆过程 (83)1.3.5.2在堆中插入节点 (85)1.3.6 哈夫曼树 (86)1.3.6.1最佳检索树 (86)1.3.6.2哈夫曼树结构与算法 (88)1.3.6.3 哈夫曼树应用 (90)1.3.6.4哈夫曼树程序设计 (92)1.3.7 空间数据结构----二叉树深入学习导读 (95)1.3.7.1k-d树概念 (96)1.3.7.2k-d树程序设计初步 (97)1.4非线性数据结构--图 (100)1.4.1图的基本概念 (100)1.4.2图形结构的物理存储方式 (103)1.4.2.1相邻矩阵 (103)1.4.2.2图的邻接表示 (104)1.4.2.3图的多重邻接表示 (106)1.4.3图形结构的遍历 (107)1.4.4无向连通图的最小生成树（minimum-cost spanning tree:MST） (110)1.4.5有向图的最短路径 (113)1.4.5.1单源最短路径（single-source shortest paths） (113)1.4.5.2每对顶点间最短路经（all-pairs shortest paths） (116)1.4.6拓扑排序 (117)第二章检索 (123)2.1顺序检索 (123)2.2对半检索 (124)2.2.1 对半检索与二叉平衡树 (124)2.2.2对半检索思想在链式存储结构中的应用---跳跃表 (127)2.3分块检索 (133)2.4哈希检索 (134)2.4.1哈希函数 (135)2.4.2闭地址散列 (136)2.4.2.1线性探测法和基本聚集问题 (136)2.4.2.2删除操作造成检索链的中断问题 (138)2.4.2.3随机探测法 (139)2.4.2.4平方探测法 (140)2.4.2.5二次聚集问题与双散列探测方法 (141)2.4.3开地址散列 (142)2.4.4哈希表检索效率 (142)第三章排序 (145)3.1交换排序方法 (145)3.1.1直接插入排序 (145)3.1.2冒泡排序 (147)3.1.3 选择排序 (148)3.1.4 树型选择排序 (149)3.2S HELL排序 (150)3.3快速排序 (152)3.4堆排序 (154)3.5归并排序 (156)3.6数据结构小结 (159)3.6.1 数据结构的基本概念 (159)3.6.2 数据结构分类 (159)3.6.2.1数据结构中的指针问题 (160)3.6.2.2线性表的效率问题 (161)3.6.2.3二叉树 (161)3.6.3排序与检索 (161)3.7算法分析的基本概念 (162)3.7.1基本概念 (162)3.7.2上限分析 (164)3.7.3下限分析 (164)3.7.4空间代价与时间代价转换 (165)第6章高级数据结构内容--索引技术 (167)6.1基本概念 (167)6.2线性索引 (168)6.2.1 线性索引 (168)6.2.2 倒排表 (169)6.32-3树 (170)6.3.1 2-3树定义 (172)6.3.2 2-3树节点插入 (173)6.4B+树 (178)6.4.1 B+树定义 (178)6.4.2 B+树插入与删除 (180)6.4.3 B+树实验设计 (182)第一章数据结构--概念与基本类型1.1概述1.1.1数据结构应用对象计算机应用可以分为两大类，一类是科学计算和工业控制，另一类是商业数据处理。
非线性规划ppt课件
g3(x) x1 x2 x3 0
;
20
一维搜索方法
目标函数为单变量的非线性
规划问题称为一维搜索问题
min t0 (0ttmax )
其中 t R 。
(t)
➢精确一维搜索方法 0.618法 Newton法
➢非精确一维搜索方法 Goldstein法 Armijo法
;
21
0.618法（近似黄金分割法）
定义 4.1.2 对于非线性规划(MP)，若 x* X ，并且存在 x* 的一个
领域 N ( x* ) x Rn x x* ( 0, R) ，使
f (x* ) f (x), x N (x* ) X ，
则称 x* 是(MP)的局部最优解或局部极小点，称 f ( x* ) 是(MP)的局部
函数(t) 称为在[a,b]上是单谷的，如果存在一个 t * [a, b] ，使得(t) 在[a, t * ]上严格递减，且在[t * , b] 上严格递增。区间[a,b]称为(t) 的单 谷区间。
第 1 步 确定单谷区间[a,b]，给定最后区间精度 0 ;
第 2 步 计算最初两个探索点
t1 a 0.382(b a) b 0.618(b a)
;
22
0.618法例题
• 例4.3.1 用0.618法求解
min(t) t3 2t 1 t0
(t) 的单谷区间为[0,3]， 0.5
解答
例4.3.1解答 • 迭换换代tbtb 过程0311..62..∧✓18可0036145436481由-00下101.2.∧...0✓871110650431表48611 给0-0100.2.∨...0✓1470出2064308168821 --000100...∨...00✓4178376340791868681 01..7140486 a2112a
九.非线性规划(NonlinearProgramming)
九. 非线性规划(Nonlinear Programming)非线性规划是研究目标函数和约束条件中至少包含一个非线性函数的约束极值最优化问题。
由于非线性问题的复杂性，非线性规划与线性规划相比在理论和算法上呈现出明显的多样性，成果非常丰富。
非线性规划的理论成果包括约束极值问题到达极值解的充分和必要条件（即最优性条件）、非线性规划的对偶理论等。
非线性规划的算法种类繁多，但本质上都是采用数值计算迭代方法求解非线性方程组。
解非线性规划问题时所用的计算方法最常见的是迭代下降算法，即算法同时具有迭代和下降两种特征:迭代：从一点x(k)出发，按某种规则算出后继点x(k+1)；用x(k)代替x(k+1)，重复上述过程，产生点列{x(k)}；下降：对某个函数，每次迭代后，后继点的函数值要有所减少。
评价算法的几个要素通用性与可靠性对参数与数据的敏感性准备与计算的工作量收敛性一维搜索算法可以归纳为两大类：试探法和函数逼近法。
试探法：黄金分割法（0.618法）；Fibonacci法（斐波那契法）函数逼近法：牛顿法；割线法；抛物线法；插值法多维搜索中使用导数的最优化算法（无约束问题）最速下降法（梯度法）；牛顿法（二阶梯度法）；共轭梯度法；拟牛顿法；……多维搜索无约束最优化的直接方法（不用导数）模式搜索法；Rosenbrock算法；单纯形法；……有约束最优化方法可行方向法；惩罚函数法；线性逼近法及二次规划；SQP(序贯二次规划)法；……十.多目标数学规划(Multiobjective Programming)多目标规划标准形式：(VP)实际问题往往难以用一个指标来衡量，需要用一个以上相互间不很协调（甚至相互冲突）的衡量指标，形成多目标规划问题。
x f x f V T p )](,),(min[1符号V －min 表示区别于单目标求最小，指对向量形式的p 个目标求最小。
由于实际问题中p 个目标量纲不同，有必要对每个目标事先规范化。
非线性规划模型
进行分配，因而存在部分 DVD 的两次被租赁，但因为是处理 同一份订单，因而不存在会员的第二次租赁.
基于这个假设，为了最小化购买量，我们在允许当 前某些会员无法被满足租赁要求，让其等待，利用部分 会员还回的 DVD 对其进行租赁.
根据问题一，我们认为，一个月中每张 DVD 有 0.6 的概率被租赁两次，0.4 的概率被租赁一次。即在二次 租赁的情况下，每张 DVD 相当于发挥了0.6 2 0.4 1.6张 DVD 的作用.
hi
第i种油的每单位的存储费用
ti
第i种油的每单位的存储空间
T
总存储公式
由历史数据得到的经验公式为 :
min
f
(x1, x2 )
a1b1 x1
h1x1 2
a2b2 x2
h2 x2 2
s.t. g(x1, x2 ) t1x1 t2x2 T
且提供数据如表5所示：
表5 数据表
石油的
例 8．（生产计划问题）某厂生产三种布料 A1, A2, A3， 该厂两班生产，每周生产时间为 80h，能耗不得超过 160t 标准煤，其它数据如下表：
布料 生产数量（ m/ h ） 利润（ 元 / m）
A1
400
0.15
A2
510
0.13
A3
360
0.20
最大销售量（ m / 周） 40000 51000 30000
种类
ai
bi
hi
ti
1
9
3
0.50
2
2
4
5
0.20
4
已知总存储空间 T 24
代入数据后得到的模型为：
min
f
(x1, x2 )
计算机科学导论数据结构与算法
1. 数据结构概述 1.4 算法及其描述和算法分析
5、算法与数据结构的关系: • 计算机科学家沃斯（N.Wirth）提出的:
“算法+数据结构=程序” 揭示了程序设计的本质：对实际问题选择一种好的数据结构，加上设计一个好的算法，而好的算法很大 程度上取决于描述实际问题的数据结构。算法与数据结构是互相依赖、互相联系的。 • 一个算法总是建立在一定数据结构上的；反之，算法不确定，就无法决定如何构造数据。
2020/12/8
1. 数据结构概述
1.4 算法及其描述和算法分析 2、算法的描述: 1）流程图 2）伪代码——类程序设计语言 3、算法的基本结构 : 1）顺序结构 2）分支结构 3）循环结构
2020/12/8
1. 数据结构概述
开始
开始
开始
处理步骤1
处理步骤1
处理步骤1
处理步骤2
…
符合条件
分支条件
链表是通过一组任意的存储单元来存储线性表中的数据元素的，为建立起数据元素之间的关 系，对每个数据元素ai，除了存放数据元素的自身的信息ai之外，还需要和ai一起存放其后继ai+1所 在的存贮单元的地址，这两部分信息组成一个“节点”。
2020/12/8
2. 线性结构
2.1 线性表
3.线性表的链式表示和实现
– (1) 对所加工的对象进行逻辑组织 – (2) 如何把加工对象存储到计算机中去 – (3) 数据运算 数据结构正是讨论非数值类问题的对象描述、信息组织方法及其相应的操作 [例5-1] 设有一个电话号码薄，有N个人的姓名和电话号码。要求设计一个程序，按人名查找号码， 若不存在则给出不存在的信息。
Data-Structure=(D,R) 其中，D是数据元素的有限集，R是D上关系的有限集。
数据结构严蔚敏(全部章节814张PPT)-(课件)
② 线性结构：结构中的数据元素之间存在一对一的 关系。
③ 树型结构：结构中的数据元素之间存在一对多的 关系。
④ 图状结构或网状结构：结构中的数据元素之间存 在多对多的关系。
图1-3 四类基本结构图
1.1.3 数据结构的形式定义
数据结构的形式定义是一个二元组： Data-Structure=(D，S)
计算机求解问题的一般步骤
编写解决实际问题的程序的一般过程：
– 如何用数据形式描述问题?—即由问题抽象出一个 适当的数学模型; – 问题所涉及的数据量大小及数据之间的关系; – 如何在计算机中存储数据及体现数据之间的关系? – 处理问题时需要对数据作何种运算? – 所编写的程序的性能是否良好? 上面所列举的问题基本上由数据结构这门课程来回答。
其中：D是数据元素的有限集，S是D上关系的有限集。 例2：设数据逻辑结构B=（K，R）
K={k1, k2, …, k9} R={ <k1, k3>，<k1, k8>，<k2, k3>，<k2, k4>，<k2, k5>，<k3, k9>， <k5, k6>，<k8, k9>，<k9, k7>，<k4, k7>，<k4, k6> } 画出这逻辑结构的图示，并确定那些是起点，那些是终点
<基本操作名>(<参数表>) 初始条件： <初始条件描述> 操作结果： <操作结果描述>
– 初始条件：描述操作执行之前数据结构和参数应 满足的条件;若不满足，则操作失败，返回相应的出 错信息。
非线性数据结构——树
⾮线性数据结构——树树⾮线性数据结构定义：也就是每个元素可以有多个前驱和后继。
树是⼀种⾮线性结构。
它可以有两种定义。
第⼀种：树是n（n>=0，n为0时，称为空树）个元素的集合，它只有⼀个特殊的没有前驱的元素，这个元素成为树的根（root），⽽且树中除了根节点外，其余的元素都只能有⼀个前驱，可以有0个或者多个后继。
第⼆种递归定义：树T是n（n>=0，n为0时，称为空树）个元素的集合，它有且只有⼀个特殊元素根，剩余元素都可以被划分为M个互不相交的集合T1,T2,T3……、Tm,⽽每⼀个集合都是树，称为T的⼦树subtree,同时，⼦树也有⾃⼰的根。
维基百科是这样定义的：树中的概念结点：树中的数据元素，也就是上图中的,A,B,C,D,E,F,G……结点的度degree：节点拥有的⼦树的数⽬称为度，记作d(v)。
叶⼦结结：节点的度为0，称为叶⼦节点leaf，终端节点，末端节点。
分⽀结点：节点的度不为0，称为⾮终端节点或分⽀节点。
分⽀：节点之间的关系。
内部节点：除根节点外的分⽀节点，当然也不包括叶⼦节点。
树的度：树内各节点的度的最⼤值，⽐如下⾯这个图D节点的度最⼤为3，所以树的度数就是3.孩⼦（⼉⼦child）节点：节点的⼦树的根节点成为该节点的孩⼦。
双亲（⽗parent）节点：⼀个节点是他各⼦树的根节点的双亲。
兄弟（sibling）节点：具有相同双亲节点的节点。
祖先节点：从根节点到该节点所经分⽀上所有的节点，上图中A,B,D就都是G的祖先节点。
⼦孙节点：节点的所有⼦树上的节点都成为该节点的⼦孙，⽐如上图中，B节点的⼦孙有D,G,H,I。
节点的层次(level)：根节点为第⼀层，根的孩⼦为第⼆层，以此类推，记作l(v).树的深度（⾼度depth）：树的层次的最⼤值，上图中的树深度为4.堂兄弟：双亲在同⼀层的节点，堂兄弟的双亲不⼀定是兄弟。
有序树：节点的⼦树是有顺序的（兄弟有⼤⼩，有先后次序，不能交换），⽆序树：节点的⼦树是⽆序的，可以交换。
项-6-2018-2_6非线性数据结构(2h)
V1
深度优先遍历
V3
V4 V2
V5
深度优先遍历G6所走过的序列： V1 V4 V6 V3 V5 V2
G6
V6
假设图有 n 个结点，采用数组a[][]存放图的邻 接矩阵各元素值，图的深度优先搜索遍历算法如下：
dfs(int a[][],int i,int n) { /*以i为出发点，按深度优先搜索遍历图*/ int j; printf("V=%4d",i); visited[i]=1; /*标识顶点vi被访问*/ for( j=0;j<n;j++ ) if(a[i][j]!=0 && visited[j]==0) dfs( a,j,n );/*递归调用函数dfs()*/ }
V1
广度优先遍历
V3
V4 V2
V5
深度优先遍历G6所走过的序列： V1 V4 V3 V2 V6 V5
G6
V6
bfs(int a[][],int i,int n) { int j,k,b1=-1, b2=0,b[n]; b[b2]=i; while(b1<b2) /*队列不空则循环*/ { b1=b1+1; k=b[b1]; /*队首顶点出队*/ visited[k]=1; /*置已被访问标识*/ printf("V=%4d",k++); for(j=0;j<n;j++) if (a[k][j]!=0 && visited[j]==0) { b2=b2+1;b[b2]=j; } 第 6章 图 第 29 页 2007-7-29 */ /*没有被访问的顶点进队 } }
非线性系统课件
N (A )N (A )ej N (A )Y 1ej1B 1j1 A
A
A
非线性系统
2. 描述函数的求取步骤 （1） 取输入信号为，根据非线性环节的静态特性绘
制出输出非正弦周期信号的曲线形式，根据曲线形式 写出输出y(t)在一周期内的数学表达式。 （2）据非线性环节的静态特性及输出y(t)的数学表达 式，求相关系数A1、B1。 （3）用式(7-8)计算描述函数。
必须指出，长时间大幅度的振荡会造成机械磨损，增加
控制误差，因此在通常情况下，不希望系统产生自振，必
须设法抑制它。
非线性系统
３.频率响应复杂
线性系统的频率响应，即正弦信号作用下系统的稳态输 出是与输入同频率的正弦信号。而非线性系统的频率响应 除了含有与输入同频率的正弦信号分量（基频分量）外， 还含有关于ω的高次谐波分量。
形称为相平面图。
非线性系统
二、绘制相轨迹的方法
解析法
采用解析法绘制相轨迹通常有两种作法。一种方法是通过积分法， 直接由微分方程求解x(t)和的解析关系式。
0
2 Msintdt
1
2M
(c
os 1
c
os2
)
＝2M
1- mh2 A
1-
h
2
A
非线性系统
3） 死区滞环继电特性的描述函数为
N (A )＝ 2 M A1-m A2h1-A h2j2 M A2(m Ah -≥1h )（7-17）
取h=0可得理想继电特性的描述函数为
N(A)＝4M
取m=1可得死区继电特性的A描述函数为
足结构要求的一类非线性系统，通过谐波线性化，将非线性特性近似表 示为复变增益环节，分析非线性系统的稳定性或自激振荡 ３.李亚普诺夫第二法
非线性规划课件
②再固定x₂=x₂ (1): 求以x₁为单变量的目标函数的极值点，
得 X(2)=(x,(2),x₂ (1))T ,S(2)=f(X(2))
此时S(2)优于S(1), 且搜索区间缩短为x₁*∈[x,(2),b,],x₂*∈[x₂ (1),b₂] 第二步：如此交替搜索，直至满足给定精度ε为止
否则，继续缩短区间，
直至满足给定的精度为
①f(x₂)≥f(xq), 取[aq=ao,b,=x,]
X₁ =X2
x'2=b₁-λ(b₁-aq) ②f(x₂)<f(x₁), 取[a=x2,b,=b,]
x=aq+λ(b₁-aq)
10
x₂ =x₁
例 求 解 f(x)=-18x²+72x+28 的极大值点，δ≤0.1,起始搜索区间为[0,3] 解：①用间接法：令 f'(x)=-36x+72=0, 得驻点 x=2
xq*∈[aq,b,],x²*∈[a₂ ,b₂ ],.,x*∈[an,b,]
1、原理： ①从起点 X(0) 出发，沿平行于 x, 轴的方向P(1)进行一维搜索，
求得 f(X) 在该方向P(1)上近似极值点 X(1);
②从点 X(1) 出发，沿平行于 x₂ 轴的方向P(2)进行一维搜索，
求得 f(X) 在该方向P(2)上近似极值点 X(2); ③从点 X(2) 出发，照此交替进行下去，直至满足给定的精度ε为止
六、 寻优方法概述：
1、N.L.P.问题分类
① 无约束条件的NLP问题。 ② 有约束条件的NLP问题。 2、寻优方法
① 间接法(解析法):适应于目标函数有简单明确的数学表达式。
第1.5章 数据结构——非线性结构(图形结构)
邻接矩阵表示法
根据图的定义可知，一个图的逻辑结构分两部分，一 根据图的定义可知，一个图的逻辑结构分两部分， 部分是组成图的顶点的集合；另一部分是顶点之间的联系， 部分是组成图的顶点的集合；另一部分是顶点之间的联系， 即边或弧的集合。因此， 即边或弧的集合。因此，在计算机中存储图只要解决对这 两部分的存储表示即可。 两部分的存储表示即可。 可用一个一维数组存放图中所有顶点的信息； 可用一个一维数组存放图中所有顶点的信息；用一个 二维数组来存放数据元素之间的关系的信息(即边或弧的 二维数组来存放数据元素之间的关系的信息 即边或弧的 集合E)。这个二维数组称之为邻接矩阵 邻接矩阵。 集合 。这个二维数组称之为邻接矩阵。
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1
1 2 3 3
1 2 3 4
2 1 1 1 (b)
3 3 2 2
4 4 4 3
2
4 (a)
4
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5.3 图的遍历
和树的遍历类似， 和树的遍历类似，从图中某一顶点出发访问图中其余 的顶点，使每个顶点都被访问且仅被访问一次， 的顶点，使每个顶点都被访问且仅被访问一次，这个过程 就叫做图的遍历(traversing graph)。图的遍历算法 就叫做图的遍历 。 是求解图的连通性问题、 是求解图的连通性问题、拓扑排序和求关键路径等算法的 基础。 基础。 然而，图的遍历要比树的遍历复杂得多， 然而，图的遍历要比树的遍历复杂得多，因为图中任 一顶点都可能和其余的顶点相邻接， 一顶点都可能和其余的顶点相邻接，所以在访问了某个顶 点之后，可能沿着某条路径搜索之后，又回到该顶点上。 点之后，可能沿着某条路径搜索之后，又回到该顶点上。 为避免同一顶点被访问多次，在遍历图的过程中， 为避免同一顶点被访问多次，在遍历图的过程中，必须记 下每个已访问过的顶点。为此，设一个辅助数组 下每个已访问过的顶点。为此，设一个辅助数组 visited[n]，它的初值为“ 或者零， visited[n]，它的初值为“假”或者零，一旦访问了顶点 Vi，便置 便置visited[i]为“真”或者为被访问时的次序号。 或者为被访问时的次序号。 为
非线性结构
Root
B
A
第一层
D
C
第二层 第三层 第四层
E
F
G
H
I
J
（1）叶子
没有后继的结点称为叶子（或终端端结点），图1.23 中的结点D、E、F、G、H、J为终端结点； （2）分支结点 非叶子结点称为分支结点 （或：非终端结点）。 （3）结点的度 一个结点的子树数目称为该结点的度。B的度为2, 结点C的度为3；D、J的度为0； （4）树的度 树中各结点的度的最大值称为该树的度，上图所示 的树的度为3。
中序遍历的递归定义为：
若二叉树为空，遍历结束，否则： （1）按中序遍历方式遍历根结点的左子树； （2）访问根结点； （3）按中序遍历方式遍历根结点的右子树；
二叉树的中序遍历算法
void inorder (bnode *BT) { if (BT= =NULL) return; else { if (BT->LC ！＝ NULL) inorder (BT->LC); visite (BT); /*访问BT指向的根结点*/ if (BT->RC ！＝ NULL) inorder (BT->RC); } }
§1.3 非线性结构
非线性结构的逻辑特征是一个结点元素可能 有多个直接前趋和多个直接后继。最主要的非线 性结构是树结构和图结构。 1．3．1树结构及其基本概念 树结构是一类重要的非线性结构。树结构是 结点之间有分支、层次关系的结构，在客观世界 中，树结构是大量存在的，例如家谱、行政组织 机构都可用树形象地表示。在计算机领域中，树 结构也被广泛应用，如计算机磁盘文件的管理， 是一种从根目录到各级子目录的分层结构i在数据 库系统中，常采用树来组织数据信息。
例6 已知一棵二叉树的先序遍历序列为ABCDEFGHIJ．中 序遍历序列为CBDEAFHIGJ，试构造这棵二叉树。构造过 程由图示如下： A A
2024版《数据结构图》ppt课件
良好的数据结构可以带来更高的运 行或存储效率，是算法设计的基础， 对程序设计的成败起到关键作用。
常见数据结构类型介绍
线性数据结构
如数组、链表、栈、队 列等，数据元素之间存
在一对一的关系。
树形数据结构
如二叉树、多叉树、森 林等，数据元素之间存
在一对多的关系。
图形数据结构
由顶点和边组成，数据 元素之间存在多对多的
队列定义、特点及应用场景
队列的特点 只能在队尾进行插入操作，队头进行删除操作。
队列是一种双端开口的线性结构。
队列定义、特点及应用场景
应用场景 操作系统的任务调度。 缓冲区的实现，如打印机缓冲区。
队列定义、特点及应用场景
广度优先搜索（BFS）。
消息队列和事件驱动模型。
串定义、基本操作及实现方法
最短路径问题 求解图中两个顶点之间的最短路径，即路径上边 的权值之和最小。
3
算法介绍 Prim算法、Kruskal算法、Dijkstra算法、Floyd 算法等。
拓扑排序和关键路径问题探讨
拓扑排序
对有向无环图（DAG）进行排序， 使得对每一条有向边(u,v)，均有
u在v之前。
关键路径问题
求解有向无环图中从源点到汇点 的最长路径，即关键路径，它决
遍历二叉树和线索二叉树
遍历二叉树
先序遍历、中序遍历和后序遍历。遍历算 法可以采用递归或非递归方式实现。
VS
线索二叉树
利用二叉链表中的空指针来存放其前驱结 点和后继结点的信息，使得在遍历二叉树 时可以利用这些线索得到前驱和后继结点， 从而方便地遍历二叉树。
树、森林与二叉树转换技巧
树转换为二叉树
加线、去线、层次调整。将树中的每个结点的所有孩子结点用线连接起来，再去掉与原结点相连的线，最后 将整棵树的层次进行调整，使得每个结点的左子树为其第一个孩子，右子树为其兄弟结点。
大数据(单选)第三章
大数据（单选）第三章1. 1.设某顺序表中第一个元素的地址是se(下标从1开始),每个结点占m个单元,则第i个结点的地址为( )。
[单选题]A、 se+(i-1)×m(正确答案)B、 se+(i+1)×mC、 se+i×mD、 se-i×m2. 2.（）是一种选优搜索法，又称为试探法，按选优条件向前搜索，以达到目标。
但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择。
[单选题]A、回溯法(正确答案)B、递归法C、分而治之法D、演绎法3. 3.在常用的问题解决方法中，一一列举出问题所有可能的解，并逐一检验每个可能解，采纳问题的真正解，抛弃非真正解的方法，我们称之为( )。
[单选题]A、算法B、解析算法C、归纳法D、枚举法(正确答案)4. 4.算法是对解题过程的精确描述，目前表示算法的工具主要有自然语言、流程图、伪代码和（）等。
[单选题]A、程序设计语言(正确答案)B、汇编语言C、机器语言D、人工智能语言5. 5.以下叙述中，错误的是（）。
[单选题]A、算法就是求解问题的方法和步骤B、算法可以用中文来描述C、算法必须在有限步内完成D、一个算法可以没有输出(正确答案)6. 6.造成下面三段论推理错误的原因是（）。
所有的鸟都会飞 ,鸵鸟是鸟 ,所以鸵鸟会飞 [单选题]A、大前提(正确答案)B、小前提C、结论D、都不是7. 7.有A、，B两个充满水的杯子和一个空杯C，假设A、B、C三个杯的容量是相等的，现要求将A，B两个杯中的水互换，下面算法中正确的是（）。
（B←A 表示将A中的水到入B中，其它类似） [单选题]A、B←A，A←B，C←AB、B←A，C←B，A←CC、C←A，A←B，B←C(正确答案)D、B←A，C←B，A←C8. 8.问题解决的过程大致可以划分为若干个阶段，其中首先要做的是（）。
[单选题]A、总结评价B、分析问题C、提出假设D、发现问题(正确答案)9. 9.问题虽然有简单或复杂、具体或抽象之分，但每个问题都包含三个基本成分（）。
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图的存储结构
A 3 B 7 C (a)
(b)
4
A 1 B 2 C 3 2 1 3 4 3 7
有向带权图及其邻接表
15
图的存储结构
1
1 2
1 2 3 4
2 1 1 1 (b)
3 3 2 2
4 4 4 3
2
3
3 4
4 (a)
无向图及其邻接表
16
图的存储结构
在邻接表上容易找到任一顶点的第一个邻接点和下 一个邻接点,但要判定任意两个顶点(V 一个邻接点 , 但要判定任意两个顶点(Vi和 Vj)之间 是否有边或弧相连,则需搜索第i个或第j个链表, 是否有边或弧相连,则需搜索第i个或第j个链表, 因此不及邻接矩阵方便. 因此不及邻接矩阵方便. 对一个图来说,邻接表不是唯一的, 对一个图来说,邻接表不是唯一的,它取决于建立 邻接表时,结点在每个单链表中的插入策略. 邻接表时,结点在每个单链表中的插入策略. 对于有向图, 其邻接表中第i 对于有向图 , 其邻接表中第 i 个单链表的结点个数 就是此结点的出度 对于无向图, 其邻接表中第i 出度; 就是此结点的 出度 ; 对于无向图 , 其邻接表中第 i 个单链表的结点个数就是此结点的度 个单链表的结点个数就是此结点的度.
图的存储结构
邻接矩阵表示法和邻接表表示法 邻接矩阵表示法和邻接表表示法 表示法和邻接表 邻接矩阵: 邻接矩阵:
用一个一维数组存放图中所有顶点的信息; 用一个一维数组存放图中所有顶点的信息; 用一个二维数组来存放数据元素之间的关系的信息( 用一个二维数组来存放数据元素之间的关系的信息(即边 或弧的集合E) 这个二维数组称之为邻接矩阵 E). 邻接矩阵. 或弧的集合E).这个二维数组称之为邻接矩阵.
1 A[i, j] = 0
若 (Vi , Vj ) 或 < Vi , Vj >∈ E(G)
反之
8
图的存储结构
将顶点编号为1 Vtxnum, 设弧上或边上无权值, 将顶点编号为 1 ～ Vtxnum , 设弧上或边上无权值 , 则图的存储结构可以简化为用一个二维数组表示: 则图的存储结构可以简化为用一个二维数组表示: int adjmatrix[vtxnum][vtxnum]; adjmatrix[vtxnum][vtxnum];
A2=
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
0 A3= 1 0
1 0 0
0 1 0
9
图的存储结构
无向图的邻接矩阵是对称的 , 有向图的邻接矩 无向图 的邻接矩阵是对称的, 而 有向图 的邻接矩 的邻接矩阵是对称的 阵不一定对称.对无向图可考虑只存下三角( 阵不一定对称.对无向图可考虑只存下三角(或上 三角)元素. 三角)元素. 对于无向图 邻接矩阵第i 无向图, 或第i 对于 无向图 , 邻接矩阵第 i 行 ( 或第 i 列 ) 的元素之 和是顶点V 的度. 和是顶点Vi的度. 对于有向图 邻接矩阵第 有向图, 元素之和为顶点V 对于 有向图 , 邻接矩阵 第 i行 元素之和为顶点 Vi 的 出度; 的元素之和为顶点V 入度. 出度;第i列的元素之和为顶点Vi的入度.
3
图的基本概念
有向图:如果图中每条边都是顶点的有序对, 有向图 如果图中每条边都是顶点的有序对,即每条边都用 如果图中每条边都是顶点的有序对 箭头表明了方向,则此图为有向图.有向图中的边也称为弧 箭头表明了方向,则此图为有向图.有向图中的边也称为弧, 尖括号括起一对顶点表示 括起一对顶点表示. 用尖括号括起一对顶点表示.
1 1 1 1
2
1
2
2
2
3 G 3
3 G3的的的
3
5
图的基本概念
带权图: 带权图:在图的边或弧上加上一个相关联 的数( 称为带权图 带权图或 的数(权),称为带权图或网.
6
图的基本概念
路径:图中一个顶点的序列称路径. 的路径为(V=V 路径:图中一个顶点的序列称路径.如v到v'的路径为(V=Vi0, 的路径为 Vi1,Vi2,…,Vin=V ),并且<Vi0,Vi1><Vi1,Vi2>…<Vin1,Vin> , =V') 并且<V <Vin 都属于集合E 路径上弧的数目称为该路径的长度. 都属于集合E.路径上弧的数目称为该路径的长度.在无向 若每一对顶点之间都有路径,则称此图为连通图 连通图. 图中,若每一对顶点之间都有路径,则称此图为连通图.在 有向图中 若每一对顶点u 之间都存在v 的路径, 有向图中,若每一对顶点u和v之间都存在v到u及u到v的路径, 则称此图为强连通图 强连通图. 则称此图为强连通图. 邻接点: 无向图中 如果边(u,v)∈E (u,v)∈E, 互为邻结点, 邻接点 : 在 无向图中 , 如果边(u,v)∈E, 则u 和v 互为邻结点 , 即 u 是 v 的邻结点, v 也是u 的邻结点. 在 有向图中 , 如果弧 的邻结点 , 也是 u 的邻结点 . 有向图 中 <u,v>∈E, 的邻结点. 邻接到v 或顶点v <u,v>∈E, 则v 是 u 的邻结点. 称u 邻接到 v , 或顶点 v邻接自 顶点u. 顶点u 顶点的度: 无向图中 顶点的度:在无向图中,顶点的度就是和该顶点相关联的边 的数目,记为TD(V) TD(V). 有向图中 的数目,记为TD(V).在有向图中,以某顶点为弧头的弧的 数目,称为此顶点的入度 记作ID(V) 入度, ID(V); 数目,称为此顶点的入度,记作ID(V);以某顶点为弧尾的 弧的数目称为此顶点的出度 记作OD(V) 出度, OD(V). 弧的数目称为此顶点的出度,记作OD(V).该顶点的度则是 此顶点的入度与出度之和. 此顶点的入度与出度之和. 7
邻接矩阵是表示顶点之间的邻接关系的矩阵. 邻接矩阵 是表示顶点之间的邻接关系的矩阵.设 G 是表示顶点之间的邻接关系的矩阵 =(V,E)是有 是有n(n≥1)个顶点的图,则G的邻接矩阵 是 个顶点的图, 的邻接矩阵A是 是有 个顶点的图 的邻接矩阵 一个具有下列性质的n× 阶矩阵 阶矩阵: 一个具有下列性质的 ×n阶矩阵:
V(G1)= {V1,V2,V3,V4} E(G1)= {< V1, V2>,< V1, V3>,< V3, V4>,< V4, V1>} , , , 如其中弧< 为初始点或弧之尾, 为终端点或弧之头. 如其中弧 V1, V2>,称V1为初始点或弧之尾,V2为终端点或弧之头. ,
无向图:如果图中每条边都是顶点的无序对, 无向图 如果图中每条边都是顶点的无序对,则称此图为无 如果图中每条边都是顶点的无序对 向图.无向边用圆括号括起的两个相关顶点来表示. 圆括号括起的两个相关顶点来表示 向图.无向边用圆括号括起的两个相关顶点来表示.
11
图的存储结构
邻接表: 邻接表:邻接表是一种顺序分配和链式分配相结合的存储结 链表; 向量. 它包括两个部分:一部分是链表 另一部分是向量 构.它包括两个部分:一部分是链表;另一部分是向量. 在邻接表中,对图中每个顶点建立一个单链表 每个顶点建立一个单链表, 在邻接表中,对图中每个顶点建立一个单链表,第i个单链 表中的结点包含了顶点V 的所有邻接顶点. 表中的结点包含了顶点 Vi 的所有邻接顶点 . 每个结点由三 个域组成:adjvex,data和nextarc, 个域组成:adjvex,data和nextarc,
V(G2)= { V1,V2,V3,V4} E(G2)= {(V1, V2),(V1, V3),(V3, V4),( V4, V1)} , , , 与 表示同一条边 注:在无向图中,(V1, V2)与(V2, V1)表示同一条边 在无向图中, 在无向图中
4
图的基本概念
子图:设有两个图G 子图:设有两个图GA和GB,且满足 则称G V(GB) V(GA) ,E(GB) E(GA)则称GB 的子图. 是GA的子图.
17
图的遍历
从图中某一顶点出发访问图中其余的顶点, 从图中某一顶点出发访问图中其余的顶点,使每 个顶点都被访问且仅被访问一次, 个顶点都被访问且仅被访问一次,这个过程就叫 做图的遍历(traversing graph). 做图的遍历(traversing graph). 为避免同一顶点被访问多次,在遍历图的过程中, 为避免同一顶点被访问多次,在遍历图的过程中, 必须记下每个已访问过的顶点.为此, 必须记下每个已访问过的顶点.为此,设一个辅 助数组visited[n] 它的初值为" visited[n], 或者零, 助数组visited[n],它的初值为"假"或者零, 一旦访问了顶点V 便置visited[i] visited[i]为 一旦访问了顶点Vi,便置visited[i]为"真"或 者为被访问时的次序号. 者为被访问时的次序号. 通常有两种遍历图的方法,深度优先搜索和 通常有两种遍历图的方法,深度优先搜索和广度 优先搜索. 优先搜索.
0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 A3= 1 0 1 0 0 0 1 0
10
A2=
图的存储结构
网的邻接矩阵可定义为: 网的邻接矩阵可定义为:
Wij A[i, j] = ∞
若 (Vi , Vj ) 或 < Vi , Vj >∈ E(G)
反之
其中W 是边(V 或弧< 上的权值. 其中Wij是边(Vi, Vj)或弧< Vi, Vj>上的权值.
18
图的遍历
(depth深 度 优 先 搜 索 - 图 的 深 度 优 先 搜 索 遍 历 (depth-first search)类似于树的先序遍历 是树的先序遍历的推广. 类似于树的先序遍历, 先序遍历的推广 search)类似于树的先序遍历,是树的先序遍历的推广. 深度优先搜索的基本思想是 的基本思想是: 深度优先搜索的基本思想是: 首先访问图G的指定起始点V 首先访问图G的指定起始点V0; 出发,访问一个与V 邻接的顶点W 再从W 出发, 从V0出发,访问一个与V0邻接的顶点W1后,再从W1出发, 访问与W 邻接且未被访问过的顶点W 出发, 访问与W1邻接且未被访问过的顶点W2.从W2出发,重复上 述过程, 述过程 , 直到遇到一个所有与之邻接的顶点均被访问过 的顶点为止; 的顶点为止; 沿着刚才访问的次序, 沿着刚才访问的次序 , 反向回退到尚有未被访问过的邻 接点的顶点,从该顶点出发,重复前两步, 接点的顶点 , 从该顶点出发 , 重复前两步 , 直到所有被 访问过的顶点的邻接点都已被访问过为止; 访问过的顶点的邻接点都已被访问过为止 ; 若此时图中 尚有顶点未被访问, 尚有顶点未被访问 , 则另选图中一个未曾被访问的顶点 作起始点,重复上述过程, 作起始点 , 重复上述过程 , 直至图中所有顶点都被访问 到为止. 到为止.