第一章 规划理论及模型
城市规划原理
城市规划原理第一章1、城市：是有着商业交换职能的居民点。
2、城市化：农业人口和农业用地向非农业人口和城市用地转化得现象及过程。
城镇化水平指城镇人口占总人口的比重。
3、城镇化的发展历程或城镇化发展S型曲线或城市化的基本规律：（1）起步阶段：生产力水平尚低，城镇化的速度比较缓慢，较长时期才能达到城市人口占总人口的30%左右。
（2）加速阶段：当城镇化超过30%时，进入了快速提升阶段。
由于经济实力明显增加，城镇化的速度加快，在不长的时期内，城市人口占总人口的比例就达到60%或以上。
（3）稳定阶段：农业现代化的过程已基本完成，农村的剩余劳动力已基本上转化为基本上转化为城市人口。
随着城市中工业的发展和技术进步，一部分工业人口又转向第三产业。
4、工业化前的城市与工业化后的城市特征：近代的工业革命，是第二次产业革命，使城市发生了巨大的变化。
工业前城市的特征是第一产业所占比例大，以第一产业为主，第二第三产业为辅。
城镇化水平不高。
而工业城市的特征是第二、三产业所占比例大，农业现代化，城镇发展水平高，人口聚集，环境受到污染，城市的格局变化是城市以圈层式向外扩张，人工能源及加工工业的集中造成城市的发展和城市规模的扩大，这是构成工业城市发展的模式。
5、中国城镇化道路特点及启示：特点：（1）改革开放后，城市化水平基本上每年以1%的速度增加；（2）省际城市化水平差异明显；（3）农村剩余劳动力是城市化的压力，又是推进城市化的动力。
启示：未来的城镇化应该是一种多元化的模式，即改变过去仅仅以规模作为政策标准的方法。
未来的城市和区域发展应当是超越单个城市的传统思维，走向区域协调，从更大区域范围来思索永续的城镇化发展道路，走向和谐的城市区域，这也将是中国城镇化未来发展的必由之路。
第二章、城市规划思想发展1、邻里单位：“邻里单位思想”要求在较大的范围内统一规划居住区，使每一个“邻里单位”成为组成居住区的“细胞”，还提出在统一邻里单位安排不同阶层的居民居住。
MBA2 管理运筹学讲义：线性规划
• 约束条件
任何管理决策问题都是限定在一定的条件下求解 把各种限制条件表示为一组等式或不等式，称之为约束条件 约束条件是决策方案可行的保障 LP的约束条件，都是决策变量的线性函数
• 目标函数
衡量决策方案优劣的准则，如时间最省、利润最大、成本最低 目标函数是决策变量的线性函数 有的目标要实现极大，有的则要求极小
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4
SHUFE
第一节 线性规划的标准型
≤8 2x2 ≤12 3x1 +4 x2 ≤36 x1 ≥0, x2 ≥0 x1
x1 ≥0， x2 ≥0
• 例2. 运输问题 某名牌饮料在国内有三个生产厂，分布在城市A1、A2、 A3, 其一级承销商有 4 个，分布在城市 B1 、 B2 、 B3 、 B4，已知各厂的产量、各承销商的销售量及从Ai到Bj 的每吨饮料运费为 Cij ，为发挥集团优势，公司要统 一筹划运销问题，求运费最小的调运方案。
二、非标准型向标准型转化
• 目标函数极小化问题
minZ=CTX，只需将等式两端乘以 -1 即变为极大化问题。
• 右端常数项非正
两端同乘以 -1
• 为了求解方便，特规定一种线性规划的标准形式， 非标准型可以转化为标准型。标准形式为：
目标函数极大化 约束条件为等式 右端常数项bi≥0 决策变量非负
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x1
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第二节 线性规划的图解法
SHUFE
第二节 线性规划的图解法
二 、解的可能性 • 唯一最优解：只有一个最优点。 • 多重最优解：无穷多个最优解。若在两个顶点同时 得到最优解，则它们连线上的每一点都是最优解。
第一章 线性规划
例 1.5 （汽油混合问题） 一种汽油的特性可用两个指标描述：其点火性用“辛烷数” 描述，其挥发性用“蒸汽压力”描述，某炼油厂有四种标准汽油，设其标号分别为 1，2， 3，4，其特性及库存量见表 1.5，将上述标准汽油适量混合，可得到两种飞机汽油，其标 号分别为 1，2，这两种飞机汽油的性能指标及产量需求见表 1.6，问应如何根据库存情况 适量混合各种标准汽油，使既满足飞机汽油的性能指标，而产量又为最高。
注：前苏联的尼古拉也夫斯克城住宅兴建计划采用了上述模型，共用了 12 个变量，10 个约束条件。
表 1.2 资源 住宅体系 砖混住宅 壁板住宅 大模住宅 资源限量 造价 (元/m2) 105 135 120 110000 (千元 钢材 (公斤/m2) 12 30 25 20000 (吨) 例 1.2 的数据表 水泥 (公斤/m2) 110 190 180 150000 (吨) 砖 (块/m2) 210 —— —— 147000 (千块) 人工 (工日/m2) 4.5 3.0 3.5 4000 (千工日)
3．线性规划模型的一般形式 以 MAX 型、≤约束为例 决策变量： x1 ,
(1-4)
, xn
目标函数： Maxz = c1 x1 +
+ cn x n
⎧a11 x1 + + a1n x n ≤ b1 ⎪ ⎪ 约束条件： s.t.⎨ ⎪a m1 x1 + + a mn x n ≤ bm ⎪ ⎩ x1 , , x n ≥ 0
2
Maxz = x1 + x 2 + x3 ⎧0.105 x1 + 0.135 x 2 + 0.120 x3 ≤ 110000 ⎪0.012 x1 + 0.030 x 2 + 0.025 x3 ≤ 20000 数学模型为: ⎪0.110 x1 + 0.190 x 2 + 0.180 x 3 ≤ 150000 (1-3) s.t ⎨ 0.210 x ≤ 147000 ⎪0.00451 x + 0.003x 2 + 0.0035 x 3 ≤ 4000 ⎪x , x , x 1 ≥ 0 ⎩ 1 2 3
第一章线性规划
x11 + x12 + x13 + x14 = 2000 x21 + x22 + x23 + x24 = 1100 x11 + x21 = 1700 x12 + x22 = 1100 x13 + x23 = 200 x14 + x24 = 100 xij ≥ 0（i = 1,2；j = 1,2,3,4）.
其中c =（c1,c2,…,cn）为行向量，称为价值向量，
a11 a A = 21 a m1 a12 a22 am 2
C
单500
75
解：(1) 确定决策变量：设x1，x2为下一个 生产周期产品甲和乙的产量；
(2) 所满足的约束条件:
对资源A的限制：3x1 + 2x2 ≤ 65 对资源B的限制：2x1 + x2 ≤ 40
对资源C的限制： 3x2 ≤ 75
基本要求：x1，x2 ≥ 0 ； (3) 明确目标函数: 获利最大，即求Z= 1500x1 + 2500x2的最大值，用 max表示最大值，s.t.（subject to的简写）表示约束条件，则该模型 可记为： max Z = 1500 x1 + 2500 x2 s.t. 3 x1 + 2 x2 ≤ 65 2 x1 + x2 ≤ 40 3 x2 ≤ 75
标准形式
max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn (1.2a)
第一章线性规划的基本概念
Pj = (a1 j , a2 j ,⋯, amj ) , j = 1,2,⋯, n
T
三线性规划的标准形式
• LP的标准型： LP的标准型 的标准型： • 1、LP标准型的概念 LP标准型的概念 • （1）什麽是LP的标准型？ 什麽是LP的标准型 的标准型？ • （2）LP标准型的特点 LP标准型的特点 • 目标函数约定是极大化Max（或极小化Min） 目标函数约定是极大化Max（或极小化Min）; 约束条件均用等式表示; • 约束条件均用等式表示; • 决策变量限于取非负值; 决策变量限于取非负值; • 右端常数均为非负值 ;
（3）数学表达式: 数学表达式:
有几种形式? 有几种形式? 如何书写? 如何书写?
2、LP问题的标准化 LP问题的标准化 （1）目标函数的标准化 Z’=Z’=-Z
MinZ=CX
MaxZ’=MaxZ’=-CX
目 标 函 数 标 准 化 示 意 图
y’ = -f (x) -3 1 0 -1 2 5 x y 3 y=f (x)
第一步－ 建立平面直角坐标系； 第一步－－建立平面直角坐标系； 第二步－－ －－根据约束条件和非负条件画出 第二步 －－ 根据约束条件和非负条件画出 可行域。 可行域。 第三步－－ 作出目标函数等值线（ －－作出目标函数等值线 第三步 －－ 作出目标函数等值线 （ 至少两 结合目标函数优化要求， 条）， 结合目标函数优化要求，平移目 标函数等值线求出最优解。 标函数等值线求出最优解。
x2
无可行解
⑵ ⑴
x1
做这个题目
• 一个生产家具的公司计划生产两种产品－ 椅子和桌子，其可用资源包括400板英尺的 红木板和450个工时。已知生产每把椅子需 用红木板5板英尺，10个工时，其利润为45 美元，而生产每张桌子需要红木板20板英 尺和15个工时，其利润为80美元，问题是 要确定，在资源约束范围内，公司生产多 少把椅子和多少张桌子，其总利润最大？
数学建模算法大全线性规划
第一章 线性规划§1 线性规划在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。
此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。
自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。
特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。
1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。
生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。
若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足（目标函数）2134max x x z += (1)s.t.（约束条件）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0,781022122121x x x x x x x （2）这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。
由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。
总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。
在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。
而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。
1.2 线性规划的Matlab 标准形式线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。
运筹学线性规划
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例1.1：（计划安排问题） I 设备A(h) 0 设备B(h) 4 原材料(公斤) 2 利润(万元） 2 II 资源总量 3x2 15 3 15 0 12 s.t. 4x1 12 2 14 2x1+2x2 14 3 x1，x2 0 I,II生产多少, 可获最大利润?
s.t. x1 -x2 +x4 -x5 -x7 =2
x1 , x2 , x4 ,
…
, x7 0
12
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
一、线性规划问题的解的概念
0 3 1 0 0 15 4 0 0 1 0 X= 12 2 2 0 0 1 14
5
max Z= 2x1 +3x2
解:设 计划期内生产产品I、II的数量x1、x2 则该问题的数学模型为：
例1.2 成本问题
某炼油厂根据每季度需供应给合同单位汽油15万吨、煤油 12万吨、重油12万吨。该厂计划从A，B两处运回原油 提炼，已知两处的原油成分含量见表1－2；又已知从A 处采购的原油价格为每吨（包括运费）200元，B处采购 的原油价格为每吨（包括运费）290元, 问：该炼油厂该 如何从A，B两处采购原油，在满足供应合同的条件下， 使购买成本最小。 油品来源 A B min S 200x1 290x 2
解：(1) 确定可行域 x1 0 x1 =0 (横)
30
x2 0 x2=0 (纵) x1+2x2 30 x1+2x2 =30
第一章_线性规划
第 一 节 线性规划问题及其数学模型
一、线性规划问题的数学模型
线性规划问题主要解决以下两类问题： 1、任务确定后，如何统筹安排，做到应用尽量少的人 力和物力资源来完成任务； 2、在一定量的人力、物力资源的条件下，如何安排、 使用他们，使完成的任务最多。
在生产管理和经济活动中，经常会遇到线性规划问 题，如何利用线性规划的方法来进行分析，下面举例 来加以说明。
表1－2
成分
产品来源
分析：很明显，该厂可以有多种不同的方案从A，B 两处采购原油，但最优方案应是使购买成本最小的一 个，即在满足供应合同单位的前提下，使成本最小的 一个采购方案。
解：设分别表示从A，B两处采购的原油量（单位：万 吨），建立的数学模型为：
m in S 200 x1 290 x2
3. 若存在无非负要求的变量。即有某一个变 量 xj 取正值或负值都可以。这时为了满足标准型 对变量的非负要求，可令 xj = xjˊ- xj〞, 其中： xjˊ、 xj〞 0 ，由于xjˊ可能大于也可能小于xj〞，故 xj 可以为正也可以为负。
上述的标准型具有如下特点： （1）目标函数求最大值； （2）所求的变量都要求是非负的； （3）所有的约束条件都是等式； （4）常数项非负。 综合以上的讨论可以说明任何形式的线
max Z x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7
x13x1x2
x4 x2
x5 2x4
x7 2 2x5 5
x1, x2, x4, , x7 0
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
例1－1：（计划安排问题）某工厂在计划期内安排 生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所占用的 设备A、B的台时、原材料的消耗及两种产品每件 可获利润见表所示：
线性规划问题及其数学模型
一般线性规划问题的标准形化
• min Z=CX 等价于 max Z’ = -CX • “” 约束：加入非负松驰变量
例： 目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x 1、 x 2 0
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一般线性规划问题的标准形化
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目标函数最大 线性规划问题的标准形式 • 标准形式为: 约束条件等式 决策变量非负
Max Z c1 x1 c2 x2 ... cn xn a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn b2 .......................................... a x a x ... a x b m2 2 mn n m m1 1 b1 , b2 ,...bm 0 x1 , x2 ,..., xn 0
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如何安排生产 使利润最甲
乙
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什么是线性规划？
在工业、农业、国防、建筑、交通运输、科研、商业 等各种活动中，常常要求对资源进行统一分配、全面规划 和合理调度，以便从各种可能安排方案中找出最优的计划 或设计，用以指导生产。在这类问题中，一方面有期望达 到最优要求的目标（例如希望产值最高或消耗最少），另 一方面又要受到一定条件的限制（例如人力、物力、财力 的限制），如何安排才能使成效最高，消耗既定资源取得 的收益最大，或达到既定收益所消耗的资源最少。这可以 借助线性规划（Linear Programming，LP）来解决。
第一章 规 划 模 型
1第一章 规划模型本章介绍的规划模型是一类有着广泛应用的确定性的系统优化模型。
这类规划问题模型规范，富有美感；建模直接，激发想像力；模型求解方法典型，实用面宽广。
掌握这类规划问题的数学建模，是建模者必须具备的建模素养。
下面首先讨论静态系统的优化问题，介绍线性规划、目标规划和非线性规划；然后讨论动态系统的多阶段优化问题。
第一节 线性规划模型一、线性规划问题及其数学模型 1.线性规划问题在生产管理和经营活动中，经常提出一类问题，即如何合理地利用有限的人力、物力、才力等资源，以便得到最好的经济效益。
先来看两个实例。
问题1 拟定生产计划问题问题提出 某工厂生产甲、乙两种产品。
这两种产品都需要在A ,B ,C 三种不同设备上加工。
每吨甲、乙产品在不同设备上加工所需的台时数，他们销售后所能获得的利润值以及这三种加工设备在计划期内能提供的有限台时数均列于表1-1中。
如何安排生产计划，即甲、乙两种产品各生产多少吨，可使该厂所获利润最大？模型建立 设：计划期内甲、乙两种产品的产量分别为1吨、2x 吨，该厂的目标是在不超过三种设备总有限台时数的条件下，确定产量 1x 及2x ，以获得最大利润，用z 表示利润，则有目标函2数：213032max x x z +=。
由于设备A ,B ,C 在计划期内的有效台时数分别为36，40，76，可以得出限制产量的条件，即约束条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+。
产量不能为负值，对产量的限制设备，对产量的限制设备，对产量的限制设备)(0,)(7689)(4045)(364321212121x x C x x B x x A x x 问题2 运输问题问题提出 两个煤厂1A 和2A 每月进煤数量分别为60 t 和100t ，联合供应三个居民区()321,,B B B 。
三个居民区每月对煤的需求量依次为50 t ，70 t ，40 t ，煤厂1A 离居民区321,,B B B 的距离分别为10 km ，5 km ，6 km ，煤厂2A 离居民区321,,B B B 的距离分别为4 km ，8 km ，12 km ，如何分配供煤量使得运输量()km t ⋅达到最小？模型建立 分配供煤量优劣的指标为运输量，设为z ，用ij x 表示()2,1=i A i 煤厂提供给()3,2,1=j B j 居民区的煤量，则该问题的数学模型为：目标函数：23222113121112846510min x x x x x x z +++++=。
《数学规划模型 》课件
非线性规划问题通常具有多个局 部最优解，寻找全局最优解是一
个挑战。
非线性规划的解法
梯度法
通过迭代计算，逐步逼近 最优解。每次迭代需要计 算目标函数的梯度和约束 条件的海森矩阵。
牛顿法
利用泰勒级数展开，构造 一个二次函数近似原函数 ，然后求解该二次函数的 极值点。
拟牛顿法
在牛顿法的基础上，通过 迭代更新海森矩阵的近似 值，提高算法的收敛速度 。
多目标规划的解法
总结词
多目标规划的解法包括层次分析法、权重法、主要目标法等 。
详细描述
多目标规划的解法有多种，其中较为常用的包括层次分析法 、权重法、主要目标法等。这些方法通过一定的数学手段和 计算技术，将多目标问题转化为单目标问题，以便进行求解 。
多目标规划的应用实例
总结词
多目标规划的应用非常广泛，包括经济、交通、能源 、环境等多个领域。
线性规划问题通常表示为在给定一组线性约束条件下，最小化或最大化一组线性目 标函数。
线性规划问题具有明确的目标函数和约束条件，且这些条件都是线性的，因此称为 线性规划。
线性规划的解法
线性规划问题可以通过多种方法求解， 其中最常用的是单纯形法。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断迭 代寻找最优解。在每一步迭代中，算法 会检查当前解是否满足所有约束条件， 并尝试通过移动到相邻解来改进目标函
非线性规划的应用实例
投资组合优化
在给定风险和收益目标下，通过 非线性规划模型优化投资组合的
配置。
生产计划优化
在生产过程中，通过非线性规划 模型优化资源分配、生产计划等
。
物流优化
在物流配送中，通过非线性规划 模型优化运输路线、车辆调度等
。
规划理论及模型
z
cij xij
i1 j1
n
xij ai , i 1,2, , m
j1
m
xij bj , j 1,2, , n
i 1
xij 0, i 1,2, , m; j 1,2, , n
若其中各产地的总产量等于各销地的总销量，
m
n
即 ai bj ，则称该问题为平衡的运输问题.
i 1
i 1
C5, C6, C7 类包装箱的总数有一个特别的限制：这 类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm. 试 把包装箱装到平板车上，使得浪费的空间最小.
种类 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7
t/cm 48.7 53.0 61.3 72.0 48.7 52.0 64.0 w/kg 2000 3000 1000 500 4000 2000 1000 n/件 8 7 9 6 6 4 8
s.t
.
a21
x1
a22
x2 M
L
a2n xn
b2
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
x1 0, x2 0,L xn 0
上述食谱问题就是一个典型的线性规划问题， 它是指在一组线性的等式或不等式的约束条件下， 寻求以线性函数的最大（小）值为目标的数学模 型.
例：
某豆腐店用黄豆制作两种不同口感的豆腐出售。制作 口感较鲜嫩的豆腐每千克需要0.3千克一级黄豆及0.5千克 二级黄豆，售价10元；制作口感较厚实的豆腐每千克需要 0.4千克一级黄豆及0.2千克二级黄豆，售价5元。现小店购 入9千克一级黄豆和8千克二级黄豆。 问：应如何安排制作计划才能获得最大收益。
特别是在数模竞赛过程中，规划模型是最常 见的一类数学模型. 从92-06年全国大学生数模竞 赛试题的解题方法统计结果来看，规划模型共出 现了15次，占到了50%，也就是说每两道竞赛题 中就有一道涉及到利用规划理论来分析、求解.
规划理论
授课教师:王培茗
教学内容
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章 绪论 城市的起源和发展 现代城市规划思想及理论 城市规划的编制体系 城市规划的实施管理 城市生态与城市环境 城市遗产保护与城市复兴 城市基础设施及防灾规划 城市规划的技术与信息 大城市与小城镇规划的问题
城市与城市化
3. 现代城市的含义 人们通常认为：城市是规模大于乡村的以非农业活动为主 的聚落，是一定地域范围内的政治、经济、文化中心。也 可以说，城市就是大量的人口和非农产业活动在较大的地 域空间的聚集，构成一个对社会生活起重要作用的人居中 心。 现代城市是由工业生产、商品流通、交通运输、财政金融、 科教卫生、公用设施、居民生活、园林绿化、行政管理等 多种体系组成的具有多层次、多功能的复杂有机体。
城市与城市化
2. 工业革命与城市化 城市化（城镇化）作为工业革命后的重要现象，包括两个 方面的含义： “有形”的城市化，即物质形态上的城市化： ① 非农业人口的集中：农业人口不断转化为非农业人口。 ② 空间形态的改变：农业用地转化为非农用地。 ③ 经济结构的变化：第二、第三产业的比重不断提高。 “无形”的城市化，即精神意识上的城市化，生活方式的 城市化： ① 城市生活方式的扩散。 ② 农村的意识、行为方式转化为城市的意识、行为方式。 ③ 农村的乡土式生活态度转向城市的生活态度。
城市规划
3. 城市规划的重要作用 宏观经济调控的重要手段 在市场经济条件下，市场是进行资源配置的基本手段， 但是如果只按照市场机制进行运作，又会出现“市场失效” 的现象。 因此，政府必须利用公权力对市场行为进行干预，实 现整体利益的最大化。这种手段是多种多样的，既有财政 手段（税收、利率等），也有行政手段（行政命令、政府 投资等），而城市规划正是通过对城市土地和空间使用的 控制，以实现对城市建设和发展中的市场行为进行干预， 从而保证城市的全面协调可持续发展。
第一章 线性规划
第一章 线性规划
(Linear Programming, LP)
概述
• 线性规划问题的提出最早是1939年由前苏联 数学家康托洛维奇在研究铁路运输的组织问题、 工业生产的管理问题时提出来的。
（5）若bi < 0，则－bi > 0
举例: 化下列线性规划为标准形
max z=2x1+2x2－4x3 x1 + 3x2－3x3 ≥30 x1 + 2x2－4x3≤80 x1、x2≥0，x3无限制
max z=2x1+2x2－4x3’+4x3” x1 + 3x2－3x3’+3x3” –x4 = 30 x1 + 2x2－4x3+ 4x3” + x5 = 80 x1、x2 、x3’、x3” 、x4、x5 ≥0
称X0为该线性规划对应与基B的一个基本解。
同样，在A中任选m个线性无关的列向量都可以组成一个基， 对应基一个基本解。对于一个LP最多有多少呢？从n个中 选m个进行组合，即：
Cnm=n！/[（n－m）！m！] 因此，基本解是有限的。
举例：找出下列LP所有的基及其对应的基本解 max z=6x1+4x2 2x1 + 3x2≤100 4x1 + 2x2≤120 x1、x2≥0
资源
产品
甲
乙 资源限制
A
1
B
2
C
0
单位产品利润(元/件) 50
1
300kg
1
400kg
1
250kg
100
• 决策变量：x1、x2——分别代表甲、乙两
城市规划原理第一部分
当代城市： 当代城市： 后工业革命，经济全球化， 后工业革命，经济全球化，经济信息化 以制造业为主转为服务业为主； 以制造业为主转为服务业为主； 生产性服务业的发展 空间经济结构由水平型向垂直型转变等。 空间经济结构由水平型向垂直型转变等。 导致：世界城市或全球城市 导致： 大都市连绵区
二、城市的概念
劳动力配置（就业）结构变化（%） 非农产 业
展 2002年 1964年 级 美时 美 次 元 元 ① 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 <70 70② 100 200 300 400 500 800 1000 1500 >2000 <350 350 500 1000 1500 2000 2500 4000 5000 7500 >10000
早期城市：农业革命， 早期城市：农业革命，出现剩余产品 导致： 导致：政治中心或军事中心城市 文化中心城市
现代城市：工业革命，大规模的工厂化生产； 现代城市：工业革命，大规模的工厂化生产； 工厂规模不断扩大（规模经济效应）； 工厂规模不断扩大（规模经济效应）； 农业生产率的提高； 农业生产率的提高； 资本主义制度的建立。 资本主义制度的建立。 导致：工业城市、大城市 导致：工业城市、
（3）地理学 F. Ratzel：“地理学上的城市，是指地处交 Ratzel： 地理学上的城市， 通方便环境的、 通方便环境的、覆盖有一定面积的人群和房 屋的密集结合体” 屋的密集结合体”。
3、城市的法律定义 （1）人口规模
瑞典、丹麦： 瑞典、丹麦： 澳大利亚、加拿大： 澳大利亚、加拿大： 法国、古巴： 法国、古巴： 美国： 美国： 比利时： 比利时： 日本： 日本： 200人 200人； 1,000人 1,000人； 2,000人 2,000人； 2,500人 2,500人； 5,000人 5,000人； 30,000人 30,000人。
1.规划模型的知识
规划模型知识一、规划模型的概念引例1、一家具公司生产桌子和椅子，用于生产的全部劳力共计450个工时，原材料是400个单位的木材。
每张桌子要使用15个工时的劳力，20个单位的木材，售价为80元。
每张椅子使用10个工时，用材5个单位，售价45元。
问为达到最大收益，应如何安排生产？分析：设1x 表示应当生产的桌子数；2x 表示应当生产的椅子数。
则121212128045..20540015104500,0Max z x x s tx x x x x x =++≤+≤≥≥引例2、某学生食堂出售甲、乙两种食品，甲每份售价0.55元，乙每份售价0.40元。
经检测食品中含有三种学生所需的营养物A 、B 、C ，其中食品中甲每份含A 、B 、C 分别为10mg 、3mg 、4mg ，食品乙每份含A 、B 、C 分别为2mg 、3mg 、9mg 。
而营养师认为学生每餐至少需此三种营养物A 、B 、C 分别为20mg 、18mg 、36mg 。
问一学生进餐应对甲、乙食品各买几份，既能保证足够的营养要求，又花钱最少？分析：设一学生进餐应购买食品甲、乙分别为12,x x 份，则12121212120.550.40..10220331849360,0Min z x x s tx x x x x x x x =++≥+≥+≥≥≥定义1121212()(,,,)(1)..(,,,)0(1,2,,)(,,)()0(1,,)(2)n i n j n Min Max z f x x x s t h x x x i k g x x x j k m ===≤≥=+L L L L L 或或为数学规划模型，简称规划模型。
其中12,,,nx x x L 为决策变量，它通常是该问题要求解的那些未知量。
定义2 满足约束条件（2）的一组12,,,n x x x L 的值称为可行解；所以可行解的全体称为可行域；其中使目标函数达到极大值或极小值的可行解称为最优解，此时，目标函数的值称为最优值。
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A
x21 x22
B
x13
∑xi1 = 1700 i =1 ∑xi 2 = 1100 i =1 ∑xi 3 = 200 i =1 ∑xi4 = 100 i =1
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2
2
∑x1i = 2000 j=1
4
x23 x14 x24
C D
2
xij ≥ 0 ( i = 1,2; j = 1,2,3,4)
n
∑ aij x j + ri = bi , j =1
代替上述的不等式约束
n
ri ≥ 0
这样就把一般形式的LP变换为标准形式 这样就把一般形式的 变换为标准形式 .
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2.2 线性规划模型的求解 针对标准形式的线性规划问题， 针对标准形式的线性规划问题，其解的理论 分析已经很完备， 分析已经很完备，在此基础上也提出了很好的算 单纯形方法及其相应的变化形式（ 法——单纯形方法及其相应的变化形式（两阶段 单纯形方法及其相应的变化形式 法，对偶单纯形法等）. 对偶单纯形法等） 单纯形方法是线性规划问题的最为基础、 单纯形方法是线性规划问题的最为基础、也 是最核心的算法。它是一个迭代算法， 是最核心的算法。它是一个迭代算法，先从一个 特殊的可行解（极点）出发， 特殊的可行解（极点）出发，通过判别条件去判 断该可行解是否为最优解（或问题无界），若不 断该可行解是否为最优解（或问题无界），若不 ），
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运输问题 例2 设要从甲地调出物资2000吨 设要从甲地调出物资2000吨，从乙地调出 2000
物1100吨，分别供给 地1700吨、B地1100吨、C 资 吨 分别供给A地 吨 地 吨 所示. 地200吨、D地100吨. 已知每吨运费如表 所示 吨 地 吨 已知每吨运费如表1.1所示 假定运费与运量成正比. 在这种情况下，采用不 假定运费与运量成正比 在这种情况下， 同的调拨计划，运费就可能不一样 现在问： 同的调拨计划，运费就可能不一样. 现在问：怎 样才能找出一个运费最省的调拨计划？ 样才能找出一个运费最省的调拨计划？
的运价为 cij . 现在需要确定一个调运方案， 现在需要确定一个调运方案，即确定由 Ai 到 B j 的运输量 xij , i = 1, 2,L, m ; j = 1, 2,L, n ，在满 足供需要求的条件下，使总运输费用最省. 足供需要求的条件下，使总运输费用最省.
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三种形式的LP问题全都是等价的， 三种形式的 问题全都是等价的，即一种 问题全都是等价的 形式的LP可以简单的变换为另一种形式的 ， 形式的 可以简单的变换为另一种形式的LP， 可以简单的变换为另一种形式的 且它们有相同的解 . 以下我们仅将一般形式化成规范形式和标准 形式. 形式
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这样就把一般形式的LP变换为规范形式. 这样就把一般形式的 变换为规范形式. 变换为规范形式
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②．为了把一般形式的LP问题变换为标准形式， 为了把一般形式的LP问题变换为标准形式， LP问题变换为标准形式 必须消除其不等式约束和符号无限制变量. 必须消除其不等式约束和符号无限制变量. 对符号无限制变量的处理可按上述方法进行. 对符号无限制变量的处理可按上述方法进行. 对于一个不等式约束
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上述食谱问题就是一个典型的线性规划问题， 上述食谱问题就是一个典型的线性规划问题， 它是指在一组线性的等式或不等式的约束条件下， 它是指在一组线性的等式或不等式的约束条件下， 寻求以线性函数的最大（ 寻求以线性函数的最大（小）值为目标的数学模型.
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线性规划模型的三种形式 ⑴ 一般形式
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运 费 产 地 甲 乙
销 地 A B C D
21 51
25 51
表 1.1
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7 37
15 15
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解 min f = 21 x11 + 25 x12 + 7 x13 + 15 x14
+ 51 x21 + 51 x22 + 37 x23 + 15 x24
x11
甲
n
∑ aij x j = bi j =1
可用下述两个不等式约束去替代
∑ aij x j ≥ bi j =1
n
∑ (−aij ) x j ≥ (−bi ) j =1
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n
对于一个无符号限制变量 x j ，引进两个非负 变量 x + ≥ 0 和 x − ≥ 0 ，并设 j j
x j = x+ − x− j j
T min(max) z = c1 x1 + L + cn xn A i b1 p aa L an x a i = 1, , L s .t . 系i 1 x1 + 11i 2 x2a12+ L +a1in n = bi , b= M aa L an x 数i 1 x1 + 21i 2 x2a22+ L +a2in n ≥ bi , i = p +1,L, s a A= b 矩 x + M x M + L + a ≤ b , i = s + ,Lm M M x ai 1 1 ai 2 2 1 m, in n i 阵 右端向量 am1 am2 L amn ≥ 0, j = 1,L, q xj 非负约束 Aj > x j < 0, j = q + 1, n 自由变量
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规划模型的应用极其广泛， 规划模型的应用极其广泛，其作用已为越来 越多的人所重视. 随着计算机的逐渐普及， 越多的人所重视 随着计算机的逐渐普及，它越 来越急速地渗透于工农业生产、商业活动、 来越急速地渗透于工农业生产、商业活动、军事 行为核科学研究的各个方面，为社会节省的财富、 行为核科学研究的各个方面，为社会节省的财富、 创造的价值无法估量. 创造的价值无法估量 特别是在数模竞赛过程中，规划模型是最常 特别是在数模竞赛过程中， 见的一类数学模型. 见的一类数学模型 从92-06年全国大学生数模竞 年全国大学生数模竞 赛试题的解题方法统计结果来看， 赛试题的解题方法统计结果来看，规划模型共出 现了15次 占到了 现了 次，占到了50%，也就是说每两道竞赛题 ， 中就有一道涉及到利用规划理论来分析、求解. 中就有一道涉及到利用规划理论来分析、求解
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解 首先根据食物数量及价格可写出食谱费用为 c1 x1 + c2 x2 + L cn xn , 其次食谱中第 i 种营养素的含量为
ai 1 x1 + ai 2 x2 + Lain xn .
因此上述问题可表述为： 因此上述问题可表述为：
min c1 x1 + c 2 x 2 + L c n x n a11 x1 + a12 x 2 + L a1 n x n ≥ b1 a x + a x + L a x ≥ b 22 2 2n n 2 21 1 M s .t . a x + a x + L a x ≥ b m2 2 mn n m m1 1 x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0,L x n ≥ 0
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目标函数 c = (c1,L,cn )T 价值向量 c j , j = 1,2,L, n价值系数 xj , j = 1,2,L, n决策变量
⑵
规范形式
min cT x
⑶
标准形式
min cT x
Ax ≥ b s .t . x ≥ 0
Ax = b s .t . x ≥ 0
数学模型： 数学模型：
min s.t.
z = ∑∑ cij xij
i =1 j =1
m
n
∑x
j =1 m
n
ij
= ai , i = 1, 2,L, m = b j , j = 1, 2,L, n
∑x
i =1
ij
xij ≥ 0, i = 1, 2,L, m; j = 1, 2,L, n
目标函数的转化
max z = − min ( − z )
z
o
-z
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x
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约束条件和变量的转化 为了把一般形式的LP问题变换为规范形式 问题变换为规范形式， ① ． 为了把一般形式的 问题变换为规范形式 ， 我们必须消除等式约束和符号无限制变量.在一 我们必须消除等式约束和符号无限制变量 在一 般形式的LP中 般形式的 中，一个等式约束
数学建模简明教程
国家精品课程
第一章 规划理论及模型
一、引言 二、线性规划模型 三、整数线性规划模型 四、0-1整数规划模型 五、非线性规划模型 六、多目标规划模型 七、动态规划模型 动态规划模型
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一、引言
我们从2005年“高教社杯”全国大学生数模 年 高教社杯” 我们从 竞 赛的B题 在线租赁” 赛的 题“DVD在线租赁”问题的第二问和第三问 在线租赁 谈起. 谈起. 其中第二个问题是一个如何来分配有限资源， 其中第二个问题是一个如何来分配有限资源， 从而达到人们期望目标的优化分配数学模型. 从而达到人们期望目标的优化分配数学模型 它 在运筹学中处于中心的地位. 在运筹学中处于中心的地位 这类问题一般可以 归结为 数学规划模型. 数学规划模型.
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