1-2.大学线性代数(第三节性质第四节展开定理第五节克拉默定理)111030共83页

例
计算 n 阶行列式
b D b b
解 将第 2 , 3 , , n 列都加到第一列得
n 1 b a n 1 b D a n 1 b
a a b a b b
b
n 1 b
1 1 a ( n 1 ) b 1 1 1 a ( n 1 ) b b ab
例如
a1 1 c i kc j a n1
( a 1i ka 1 j ) ( a ni ka nj )
a1 j a nj
a 1n a nj
a 2 1 ( a 2 i ka 2 j ) a 2 j a 2 j
行列式的性质可以简单记为： 1，转置－－行列式的值不变 2，交换－－行列式的值改变符号 3，数乘 4，相加－－只能逐行（或列）进行 5，倍加－－行列式的值不变 下面介绍记号：
a1 1 a1 2 a 22 a 32 0 a1 3 a 23 a 32 0 a1 4 a 24 a 34 a 44
例如
D
a 21 a 31 0
a1 1 1
44
a1 2 a 22 a 32
a1 3 a 23 . a 33
a 44 a 21 a 31
二、行列式按一行（列）展开 （21页）
例如
D
则D等于下列两个行列式之和：
a1n a 2n a nn
性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变． （第14页）
a 11 a1i a 2i a ni a1 j a1n a2 j a nj a 21 a n1 a2 j k a nj
二、利用三角化计算行列式 （第15-18页）
计算行列式常用方法：利用运算 ri kr j 把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
1 3 1 3 0 5 4 2 7 4 7 10 3 9 2 14 10 1 5 1 6 2
例
D
2 3 4
1 3
1 3 0 5 4
1 3 2 0 6
1 3 2 2 1 6 12 . 0 6
r5 2 r 3
0 0 0 0
1
4

r5 4 r4
0 0 0 0
a
b a b b
b b a
b b a b

b b b a
b b b a
关于代数余子式的重要性质
a ki A kj
k 1
n
D ij
D ,当 i j , 0 ,当 i j; D ,当 i j , 0 ,当 i j;
a ik A jk
k 1
n
D ij
其中
ij
1 ,当 i j， 0 ,当 i j .
2 1 0 1 2
2 1 0 1 2
3 0 4 5 2
3 5 4 0 2
1Hale Waihona Puke 2 1 3 21 3 1 2 2
r3 3 r1
r4 4 r1
0 0 0 0
r 2 r4
0 0 0 0

1
1 2 0 0 0
2 1 1 1 2
3 5 1 0 2
1 3 2 2 2
定理1 行列式等于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即
D a i 1 A i 1 a i 2 A i 2 a in A in
i 1,2 , , n
a1n 0 0 a in a nn
证
a 11 D a i1 0 0 a n1 a 12 0 ai2 0 an2
第三节、行列式的性质 （第11-18页）
一、行列式的性质 （第11-15页） 记
a 11 a 12


a1n a2n
a 11
a 21
a 22


a n1 an2
D
a 21 a n1
a 22
D
T

a 12 a1n
an2
a nn
a2n
a nn
行列式 D T 称为行列式 D 的转置行列式.
a 11 a i1 a n1
a 12 0 an2
a 11

a 12 0 an2
a1n 0 a nn
a1n
a 11 0 a n1
a 12 ai2 an2

a1n 0 a nn
0 a n1
r3 r2
0 0 0 0

1
1 2 0 0 0
2 1 1 0 2
3 5 1 1 2
1 3 2 2 0 2
r4 r 3
0 0 0 0

1
1 2 0 0 0
1 2 0 0 0
2 1 1 0 0
2 1 1 0 0
3 5 1 1 4
3 5 1 1 0
2 1 4 7 10
3 0 2 14 10
1 2 2 1 6 2

4
r2 2 r1

1 0 0 3 4
1 0 2 5 4
2 1 0 7 10
3 0 4 14 10
1 2 1 6 2
3

1
1 0 2 2 0
1 1 2 2 0 0
ka in k a i 1
a n1 an2 a nn
a n1 an2 a nn
推论2 行列式的某一行（或列）中所有元素的 公因子可以提到行列式符号的外面．（第13页） 推论3 行列式中如果有两行（或列）元素成比 例，则此行列式的值为零． （第13页）
性质4 若行列式的某一列（或行）的元素都是 两数之和. （第14页）
性质1
行列式与它的转置行列式相等. （第12页）
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质2 例如
1 7 5 1 7 5
交换行列式的两行（或列）,行列式变号.
1 6 3
7 6 5
5
7
1 6 3
5 2. 8
6 3
6 5
2 3 8 6
5 6
8, 2
切记：行列式的计算，用等号连接，等号上下
写出具体做法。
第四节、行列式的展开定理 （第19-27页）
一、余子式与代数余子式
例如
a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33
a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 ,
M
23
例如
D
a 11 a 21 a 31 a 41
a 12 a 22 a 32 a 42
2 3
a 13 a 23 a 33 a 43
M
23
a 11 a 31 a 41
a 12 a 32 a 42
a 14 a 34 a 44
A 23 1
M 23 .
a 11 D a 21 a 31 a 41
例
3 D 5 2 1 1 1 0 5 5
c 1 2 c 3 11
1 3 1 3
2 4 1 3 1 1 0 5 1 3 1 3 1 1 0 0
c4 c3
0 5
5 ( 1)
3 3
1 1 5 1 2 5
1 1 0 1 0 0
11 5 5 6 5
a in a i 1 A i 1 a i 2 A i 2 a in A in a nn
i 1,2 , , n
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a i 1 A j 1 a i 2 A j 2 a in A jn 0 , i j.
a 12 a 22 a 32 a 42
1 2
a 13 a 23 a 33 a 43
a 14 a 24 a 34 a 44
a 21 a 23 a 33 a 43 a 24 a 34 , a 44
,
M 12 a 31 a 41
A 12 1
M 12 M 12 .
a 11 M 44 a 21 a 31
a 11 a 12 a 22 an2 (a1i a1i ) (a 2i a i ) 2 ( a ni a ) ni a 11 a 21 a n1 a1i ai 2 a ni a1n a 2n a nn a1n a 2n a nn a 21 a n1 a 11 D a 21 a n1 a1i a 2i a ni
r2 r1
( 1)
1 3
6 5
2 5

8 0
2 5
40 .
5
3 7 2 4 2 0 2 0 0 0
1 2 3 1 3
2 5 1 4 5
0 2 0 0 0
例3 计算行列式 （第23页）
1 D 0 0 0
5 1
3 7 2 4 2
1 2 3 1 3
r (row) 行 ， c ( colum n ) 列 ri r j ci c j ri ( k ) ci ( k ) ri kr j c i kc j 交换第 i 行与第 j 行 交换第 i 列与第 j 列 第 i 行的 k 倍 第 i 列的 k 倍 将第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 将第 j 列的 k 倍加到第 i 列上
a 21 a 31
a 23 a 33
在 n 阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素 a ij 的余子式，记作 M ij .
记 A ij 1
i j
M ij ，
叫做元素 a ij 的代数余子式．
a 14 a 24 a 34 a 44
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 , A 44 1 4 4 M 44 M 44 . a 33
行列式的每个元素分别 个代数余子式 .
对应着一个余子式和一
引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 n 行所有 元素除 a n n 外都为零，那末这行列式等于 a n n 与 它的代数余子式的乘积，即 D a nn Ann ．
2 6 8
5
推论1 如果行列式有两行（或列）完全相同， 则此行列式为零. （第12页）
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
a 11 a 12 a1n a 11 a 12 a1n
ka i 1 ka i 2
ai2 a in
2 7 4 7 10
3 9 2 14 10
1 5 1 6 2
3

解
D
2 3 4
1 0 r2 3 r1 2 3 4
1 0 0 5 4
2 1 4 7 10
3 0 2 14 10
1 2 1 6 2
1 0 r2 3 r1 2 3 4
1 0 0 5 4
b a b b b
b b a b
b
b b b a
ab
0
ab
a ( n 1 ) b ( a b )
n1
.
0
小结
行列式的 5 个性质 ( 行列式中行与列具有同 等的地位, 行列式的性质凡是对行成立的对列也 同样成立 ). 计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用 性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行 列式的值． （更具体的方法在第四节后专门一节来介绍）
a 11 a 22 a 33 a 23 a 32 a 12 a 23 a 31 a 21 a 33 a 13 a 21 a 32 a 22 a 31

a 11
a 22 a 32
a 23 a 33
a 12
a 21 a 31
a 23 a 33
a 13