二、 线性稀疏矩阵方程的直接解
matlab 稀疏 cholesky 分解
MATLAB稀疏Cholesky分解1. 介绍MATLAB是一种常用的数学软件，其在矩阵运算和线性代数方面有着强大的功能。
稀疏矩阵是指大部分元素为零的矩阵，而Cholesky分解是一种用于解决对称正定矩阵的线性方程组的方法。
本文将探讨MATLAB中稀疏Cholesky分解的原理、使用方法以及其在实际应用中的意义。
2. 稀疏矩阵与Cholesky分解稀疏矩阵是指矩阵中大部分元素为零，只有少数非零元素。
在实际问题中，许多矩阵具有这种特性，比如网络数据传输矩阵、有限元法中的刚度矩阵等。
对于这种稀疏矩阵，传统的直接方法（如高斯消去法）效率较低，因此需要使用特殊的方法进行计算。
Cholesky分解是一种有效的方法，特别适用于对称正定矩阵。
对于一个对称正定矩阵A，Cholesky分解将该矩阵表示为A=LL^T，其中L为下三角矩阵。
与传统的LU分解相比，Cholesky分解能够减少一半的计算量，因此在求解线性方程组时具有更高的效率和稳定性。
3. MATLAB中的稀疏Cholesky分解在MATLAB中，稀疏矩阵可以使用sparse函数进行定义。
而Cholesky分解则可以通过chol函数进行求解。
对于稀疏矩阵A，可以使用[ch, p] = chol(A, 'lower')来进行Cholesky分解，其中ch为下三角矩阵，p为置换矩阵。
通过Cholesky分解后，可以得到A=ch*ch^T。
MATLAB中对稀疏矩阵进行Cholesky分解的函数使用非常方便，能够高效地处理大规模稀疏矩阵的计算问题。
MATLAB还提供了一系列的稀疏矩阵运算函数，如sparse乘法、转置、求逆等，为稀疏矩阵的计算提供了强大的支持。
4. 实际应用稀疏矩阵和Cholesky分解在实际应用中有着广泛的意义。
以金融衍生品定价为例，通常会涉及大规模的稀疏矩阵和线性方程组的求解。
Cholesky分解能够极大地提高计算效率，为复杂金融问题的求解提供了重要支持。
稀疏矩阵方程算法
稀疏矩阵方程算法稀疏矩阵是指矩阵中绝大多数元素为0的矩阵。
在实际问题中，很多矩阵都是稀疏的，例如图像处理、自然语言处理等领域。
由于稀疏矩阵的特殊性，传统的矩阵运算方法效率较低，因此需要设计高效的算法来解决稀疏矩阵方程。
稀疏矩阵方程是指形如Ax=b的线性方程，其中A是一个稀疏矩阵，b是一个向量。
解决稀疏矩阵方程的一种常用方法是使用迭代算法，例如共轭梯度法（Conjugate Gradient，CG）和广义最小残差法（Generalized Minimal Residual，GMRES）等。
共轭梯度法是一种迭代法，它可以用来解决对称正定稀疏矩阵方程。
该方法的基本思想是通过最小化残差的二次范数来逼近方程的解。
具体而言，共轭梯度法通过迭代计算一个与残差正交的搜索方向，并在该方向上进行搜索，直到找到方程的解。
广义最小残差法是一种迭代法，它可以用来解决非对称稀疏矩阵方程。
该方法的基本思想是通过最小化残差的二范数来逼近方程的解。
与共轭梯度法不同的是，广义最小残差法使用Krylov子空间来进行搜索，并在该子空间上进行最小化残差的计算。
除了迭代算法外，还可以使用直接求解方法来解决稀疏矩阵方程。
其中一种常用的方法是LU分解。
LU分解是将稀疏矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
通过LU分解，可以将原始方程Ax=b转化为Ly=b和Ux=y两个方程，进而求解出x的值。
稀疏矩阵方程的求解算法还有很多，例如Jacobi迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
这些算法在不同的问题和应用中具有不同的优势和适用性。
在实际应用中，稀疏矩阵方程的求解是一个复杂且关键的问题。
通过选择合适的算法和优化技术，可以提高求解的效率和精度。
同时，还可以利用稀疏矩阵的特殊性质，例如压缩存储和并行计算等，进一步提高算法的性能。
稀疏矩阵方程是一类特殊的线性方程，传统的矩阵运算方法在处理稀疏矩阵时效率较低。
针对稀疏矩阵方程，可以采用迭代算法和直接求解方法来求解。
关于稀疏线性方程组求解
稀疏线性方程组求解法稀疏线性方程组的求解是对自然科学和社会科学中许多实际问题进行数值模拟时的关键技术之一。
在高层建筑、桥梁、水坝、防洪堤的结构设计中，需对变形与应力情况进行模拟；在油气资源探测与分析、数值天气预报、飞行器的动力学分析中，需利用流体力学方程组进行模拟;在进行恒星大气分析与核爆实验时，常需利用辐射流体力学与粒子统计平衡等规律进行模拟。
在对这些问题进行分析模拟时，通常利用偏微分方程建立数学模型。
在对偏微分方程的离散求解过程中，稀疏线性方程组求解算法扮演着十分重要的角色。
在许多不以偏微分方程建模的问题中，稀疏线性方程组求解同样发挥了重要的作用。
在空中交通控制、电力线路中的最优电流问题中，需利用数学规划求解;在对采纳某项政策时在某给定条件下对国内、国际多个区域的相应经济指标进行预测时，需利用CGE模型进行分析；在可靠性分析、排队网络分析与计算机系统性能评估中，常利用具有大量状态的离散Markov链进行模拟。
在这些问题的求解中，稀疏线性方程组的求解都占有重要位置，并且往往是整个计算过程中的性能瓶颈，稀疏线性方程组的高效求解是计算数学和工程应用中十分重要的课题之一。
解稀疏线性方程组的方法包括直接法(direct method)与迭代(iterative method)两类。
直接法指在不考虑计算舍入误差的情况下，通过包括矩阵分解和三角方程组求解等有限步的操作求得方程组的精确解，因此又称精确法;迭代法指给定一个初始解向量，通过一定的计算构造一个向量列(一般通过逐次迭代得到一系列逼近精确值的近似解)，向量列的极限为方程组理论上的精确解。
迭代法对存储空间的需求低，在求解高阶非病态（求解方程组时如果对数据进行较小的扰动，则得出的结果具有很大波动，这样的矩阵称为病态矩阵。
判定矩阵是否病态以及衡量矩阵的病态程度通常是看矩阵A的条件数K(A)=‖A-1‖*‖A‖的大小,其中‖‖表示对矩阵取某一种范数。
K(A)称为A的条件数,它很大时，称A为病态，否则称良态；K(A)愈大，A的病态程度就愈严重。
稀疏矩阵的运算
稀疏矩阵的运算稀疏矩阵的运算稀疏矩阵，顾名思义，就是矩阵中空值（0）的比例很大，而实际值（非0）的比例很小的矩阵。
它最大的特点就是，当矩阵的规模增大时，仍然可以保持较低的计算量。
在运算时，因为稀疏矩阵中的0值没有意义，所以对其做运算也没有意义。
所以，在运算中需要把稀疏矩阵转换成一维数组，即只保留其有意义的值。
下面介绍几种常用的稀疏矩阵运算技术。
1.索引表（Indextable）这是一种最简单的稀疏矩阵运算技术，在使用索引表时，需要用一个额外的一维数组来保存有意义的值的位置，而把矩阵本身变成一维数组，进行运算。
例如矩阵A：1 0 0 0 00 0 0 4 00 0 0 0 00 3 0 0 00 0 7 0 0这样的矩阵，可以使用一个一维数组来保存其有意义的值及其位置，例如：[1,(0,0); 4,(1,3); 3,(3,1); 7,(2,2)]这样，我们就可以用简单的一维数组代替复杂的二维矩阵，从而加快稀疏矩阵的运算。
2.矩阵向量乘法（Matrix-Vector Multiplication）这是一种最常用的稀疏矩阵运算技术，把一个大的稀疏矩阵A和一个向量（一维数组）V作乘法，得到一个新的向量C，即：C = A * V对于上面的实例，可以用以下方式求出C：C[0] = 1 * V[0] + 0 * V[1] + 0 * V[2] + 0 * V[3] + 0 * V[4] C[1] = 0 * V[0] + 0 * V[1] + 0 * V[2] + 4 * V[3] + 0 * V[4] C[2] = 0 * V[0] + 0 * V[1] + 0 * V[2] + 0 * V[3] + 7 * V[4] C[3] = 0 * V[0] + 3 * V[1] + 0 * V[2] + 0 * V[3] + 0 * V[4] 3.矩阵乘法（Matrix Multiplication）矩阵乘法也是一种常用的稀疏矩阵运算技术，把两个大的稀疏矩阵A和B相乘，得到一个新的稀疏矩阵C，即：C = A * B以上就是稀疏矩阵运算的一些常用技术，稀疏矩阵也可以用于解决很多复杂的运算问题，例如机器学习和深度学习等。
scipy稀疏矩阵解方程_概述说明以及概述
scipy稀疏矩阵解方程概述说明以及概述1. 引言1.1 概述在科学计算和数据分析领域，解方程是一项常见的任务。
而对于大规模的线性方程组，稀疏矩阵常常是一个普遍存在且需要处理的问题。
稀疏矩阵是指其中绝大部分元素为0的矩阵，在实际应用中可以节省存储空间和计算时间。
本文将介绍Scipy库提供的稀疏矩阵解方程功能。
Scipy是一个基于Python开发的科学计算库，其中包含了众多数值计算、优化、统计和线性代数等函数。
通过使用Scipy库的功能，我们能够高效地解决稀疏矩阵求解方程的问题，并获得准确可靠的结果。
1.2 文章结构本文主要分为以下几个部分进行阐述：1) 引言：介绍文章主题和内容概要。
2) 正文：详细介绍Scipy稀疏矩阵解方程的原理和方法。
3) 稀疏矩阵解方程概述说明：简要介绍稀疏矩阵和求解方法，并重点介绍Scipy库提供的相关功能。
4) 实例分析与应用场景：通过具体实例分析和案例介绍，展示Scipy在稀疏矩阵解方程中的应用。
5) 结论与展望：总结所述内容，并对未来发展做出展望。
1.3 目的本文的目的是全面介绍Scipy库在稀疏矩阵解方程方面的功能和应用。
通过深入理解稀疏矩阵和Scipy库提供的算法，读者将能够掌握如何使用Scipy库解决各种复杂的线性方程组问题，从而提高科学计算和数据分析的效率。
同时，本文也旨在为读者提供一些实际应用场景，以便更好地理解和运用这些技术。
以上为“1. 引言”部分的内容，在接下来的章节中我们将更详细地讲解Scipy 稀疏矩阵解方程相关内容。
2. 正文在科学计算领域中，稀疏矩阵是一种特殊的矩阵形式，其大部分元素为零。
在许多实际问题中，由于数据的稀疏性，使用稀疏矩阵可以提高计算效率和节省存储空间。
因此，稀疏矩阵求解方程是一个重要且常见的问题。
求解稀疏矩阵方程有多种方法，其中一种常用的方法是利用Scipy库。
Scipy库是一个基于Python的开源科学计算库，它提供了丰富的数值计算工具和函数。
稀疏矩阵名词解释
稀疏矩阵名词解释稀疏矩阵是指元素大多数为零的矩阵，它在许多实际应用中具有重要的作用。
本文将介绍稀疏矩阵的概念、性质和应用，以及与之相关的节点导纳矩阵和支路阻抗矩阵。
下面是本店铺为大家精心编写的4篇《稀疏矩阵名词解释》，供大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《稀疏矩阵名词解释》篇1一、稀疏矩阵的概念稀疏矩阵是指元素大多数为零的矩阵。
在稀疏矩阵中，只有少数元素是非零的，其余元素均为零。
稀疏矩阵通常用斯密斯 - 马克斯韦尔方程表示，其中零元素占据了大部分，非零元素则代表了某些特定的关系。
二、稀疏矩阵的性质稀疏矩阵具有以下性质：1. 稀疏矩阵的行数和列数很大，但非零元素的数量却很少。
2. 稀疏矩阵的存储空间比密排矩阵小得多，因此可以节省存储空间。
3. 稀疏矩阵的运算速度比密排矩阵快，尤其是在大规模矩阵运算时更为明显。
三、稀疏矩阵的应用稀疏矩阵在许多实际应用中具有重要的作用，如下所述：1. 电路分析：在电路分析中，稀疏矩阵被广泛用于求解电路中的电压和电流。
由于电路中存在大量的零元素，因此使用稀疏矩阵可以大大减少计算量。
2. 数据压缩：在数据压缩中，稀疏矩阵被用于压缩图像和音频数据。
由于图像和音频数据通常具有大量的零元素，因此使用稀疏矩阵可以大大减少数据量。
3. 线性代数：在线性代数中，稀疏矩阵被用于求解线性方程组。
由于稀疏矩阵的特殊结构，可以使用一些高效的算法来求解线性方程组。
四、节点导纳矩阵和支路阻抗矩阵与稀疏矩阵相关的两个重要概念是节点导纳矩阵和支路阻抗矩阵。
节点导纳矩阵是一个规模为 (n-1) 的平方矩阵，其中对角线元素为自导纳，即与节点直接连接的支路上的导纳之和。
互导纳是直接连接两个节点的各支路导纳之和的相反数。
支路阻抗矩阵是一个规模为 b 的平方矩阵，其中包含了每个支路的阻抗。
在纯阻抗网络中，支路阻抗矩阵的对角线元素为自阻抗，非对角线元素为互阻抗。
综上所述，稀疏矩阵是一种具有重要应用价值的矩阵，它可以用于电路分析、数据压缩、线性代数等领域。
稀疏矩阵的基本原理
稀疏矩阵的基本原理稀疏矩阵是指矩阵中绝大多数的元素都是零的矩阵。
由于稀疏矩阵的元素数量很少，所以进行矩阵运算时，需要采用特殊的算法，以提高计算速度和效率。
本文将简单介绍稀疏矩阵的基本原理。
一、稀疏矩阵的表示方法在计算机中，稀疏矩阵的存储方式有三种：1. COO格式：也称为三元组格式，该格式将矩阵的每一个元素都用一个三元组表示，分别为其行、列和数值，如{(0, 0, 2), (0, 3,1), (1, 1, 3)}。
2. CSR格式：也称为压缩行格式，该格式将矩阵的非零元素按行存储，并通过两个数组（值向量和列指针）表示，如{2, 1, 3, 4, 5}和{0, 2, 4}。
3. CSC格式：也称为压缩列格式，该格式将矩阵的非零元素按列存储，并通过两个数组（值向量和行指针）表示，如{2, 3, 1, 4, 5}和{0, 1, 3, 3, 4}。
二、稀疏矩阵的基本运算稀疏矩阵的基本运算包括加、减、乘和转置等，下面分别介绍：1. 矩阵加法：对于两个矩阵A和B，若其行列相等，则可以进行加法运算。
对于稀疏矩阵的加法，首先需要找到两个矩阵中非零元素的位置，在这些位置上进行加法运算即可。
2. 矩阵减法：与矩阵加法类似，稀疏矩阵的减法也需要找到两个矩阵中非零元素的位置，在这些位置上进行减法运算即可。
3. 矩阵乘法：对于两个矩阵A和B，若A的列数等于B的行数，则可以进行乘法运算，结果为一个新的矩阵C。
稀疏矩阵的乘法运算比较复杂，需要对数组进行操作，具体实现方法可以参考CSR或CSC格式。
4. 转置：对于一个矩阵A，其转置矩阵为AT，即A的列变为AT 的行，AT的列变为A的行。
转置操作可以直接在CSR或CSC格式中进行操作。
三、稀疏矩阵的应用稀疏矩阵广泛应用于科学计算和工程计算等领域，如图像处理、搜索引擎、网络分析等。
由于稀疏矩阵的存储方式和运算均比较特殊，因此对于稀疏矩阵的计算需要采用特殊的算法，如迭代法、预处理法等。
数值分析简述及求解应用
数值分析简述及求解应用摘要：数值分析是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，本文主要介绍了数值分析的一些求解方法的原理和过程，并应用在电流回路和单晶硅提拉过程中的，进一步体现数值分析的实际应用。
关键字：解方程组插值法牛顿法一、引言随着科学技术的发展，提出了大量复杂的数值计算问题，在建立电子计算机成为数值计算的主要工具以后，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。
有可靠的理论分析，要有数值实验，并对计算的结果进行误差分析。
数值分析的主要内容包括插值法，函数逼近，曲线拟和，数值积分，数值微分，解线性方程组的直接方法，解线性方程组的迭代法，非线性方程求根，常微分方程的数值解法。
运用数值分析解决问题的过程包括：实际问题→数学建模→数值计算方法→程序设计→上机计算求出结果。
在自然科学研究和工程技术中有许多问题可归结为求解方程组的问题,方程组求解是科学计算中最常遇到的问题。
如在应力分析、电路分析、分子结构、测量学中都会遇到解方程组问题。
在很多广泛应用的数学问题的数值方法中，如三次样条、最小二乘法、微分方程边值问题的差分法与有限元法也都涉及到求解方程组。
在工程中常会遇到求解线性方程组的问题，解线性方程组的方法有直接法和迭代法，直接法就是经过有限步算术运算，可求的线性方程组精确解的方法（若计算过程没有舍入误差），但实际犹如舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得近似解，这类方法是解低阶稠密矩阵方程组级某些大型稀疏矩阵方程组的有效方法。
直接法包括高斯消元法，矩阵三角分解法、追赶法、平方根法。
迭代法就是利用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。
将方程组的解看作是某极限过程的极限值，且计算这一极限值的每一步是利用前一步所得结果施行相同的演算步骤而进行。
迭代法具有需要计算机的存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在计算过程始终不变等优点，但存在收敛性级收敛速度问题。
迭代法是解大型稀疏矩阵方程组（尤其是微分方程离散后得到的大型方程组）的重要方法。
线性方程组的解的性质与判定
线性方程组解的性质与判定在控制系统中的应用，可以用于分析系统的稳定性。 通过线性方程组解的性质与判定，可以确定控制系统的响应时间，优化控制效果。 在控制工程中，线性方程组解的性质与判定可以用于设计控制器，提高系统的性能指标。 在处理复杂控制系统时，线性方程组解的性质与判定能够提供有效的解决方案，简化计算过程。
逻辑回归模型：通过线性方程组解的判定条件，确定最佳分类边界，实现分类任务。
支持向量机：利用线性方程组解的性质与判定，找到支持向量，实现分类和回归任务。
决策树和随机森林：通过线性方程组解的判定条件，确定最佳划分标准，构建决策树和随机 森林模型。
PART FOUR
线性方程组解的性质与判定的研究历史 当前研究的主要方向和重点 近年来的重要研究成果和突破 未来研究展望和挑战
近年来的研究热 点和重点
在各个领域的应 用情况
未来研究的发展 趋势和展望
深入研究线性方程组解的性质与判定的关系，为实际应用提供更准确的数学模型。 探索更高效的算法和计算方法，提高线性方程组求解的效率和精度。 结合人工智能和大数据技术，对大规模线性方程组进行高效求解和优化。 拓展线性方程组解的性质与判定的应用领域，如物理、工程、经济等领域。
汇报人：XX
线性方程组解的 性质与判定可用 于数据清洗，识 别异常值和缺失 值。
在数据分析中， 线性方程组解的 性质与判定可用 于确定数据分布 和趋势。
在机器学习中， 线性方程组解的 性质与判定可用 于特征选择和降 维处理。
在数据预测中， 线性方程组解的 性质与判定可用 于建立预测模型 和优化算法。
线性回归模型：利用线性方程组解的性质与判定，确定最佳拟合直线，提高预测精度。
02
注意事项：在使用系数矩阵判定法时，需要注意 计算秩的正确性和准确性，以避免误判。
线性方程组的直接解法程序设计
线性方程组的直接解法程序设计一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组最常用的方法之一、它通过消元和回代的方式，将线性方程组转化为上三角形式，进而求解未知数的值。
程序设计步骤如下：1.读入线性方程组的系数矩阵A和常数向量b；2.进行初等行变换，将系数矩阵A转化为上三角矩阵U，并同时对常数向量b进行相应的变换；3.判断是否有唯一解，如果主对角线上存在零元素，则方程组无解；如果主对角线上所有元素都非零，则方程组有唯一解；4.进行回代计算，求解未知数的值。
高斯消元法的优点是简单直观，容易理解和实现。
但是在一些情况下，会出现主对角线上有零元素的情况，此时需要进行行交换，增加了额外的计算量。
二、LU分解法LU分解法是另一种常用的线性方程组直接解法。
它将系数矩阵A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
程序设计步骤如下：1.读入线性方程组的系数矩阵A和常数向量b；2.进行LU分解，找到下三角矩阵L和上三角矩阵U；3.解第一个方程Ly=b，先求解向前替代方程，计算出y的值；4.解第二个方程Ux=y，再求解向后替代方程，计算出x的值。
LU分解法的优点是可以在多次需要解线性方程组的情况下重复使用LU分解的结果，提高计算效率。
但是LU分解法需要找到L和U的值，增加了额外的计算量。
三、数学实验在进行数学实验时，需要注意以下几点：1.线性方程组的系数矩阵应该是满秩的，以保证方程组有唯一解；2.对于大规模的线性方程组，可以使用稀疏矩阵存储和计算，减少内存和计算时间的消耗；3.在求解过程中，需要判断方程组是否有解，并且考虑特殊情况的处理；4.通过数学实验可以验证直接解法的正确性和有效性，分析计算结果的误差和稳定性。
综上所述，线性方程组的直接解法程序设计在计算方法和数学实验中都是重要的研究内容。
高斯消元法和LU分解法是常用的直接解法，通过编写程序并进行数学实验，可以深入理解和应用这些方法。
这些方法的有效性和稳定性对于解决实际问题具有重要意义。
稀疏矩阵PPT课件
02
03
优化存储结构
并行计算
采用稀疏矩阵的压缩存储方式， 减少存储空间占用，提高数据访 问速度。
利用多核处理器和分布式计算资 源，实现并行计算，提高计算速 度。
线性系统求解优化
预处理技术
采用预处理技术，如共轭梯度法、双共轭梯度法 等，减少迭代次数和计算量。
迭代算法
选择适合的迭代算法，如雅可比迭代法、高斯-赛 德尔迭代法等，提高求解速度。
研究现状
随着大数据和计算技术的发展，稀疏矩阵在许多领域如机器学习、图像处理、数值计算 等得到了广泛应用。目前，稀疏矩阵的研究主要集中在算法优化、存储压缩和并行计算
等方面。
挑战
尽管取得了一些进展，但稀疏矩阵的研究仍面临诸多挑战。例如，如何更有效地压缩存 储稀疏矩阵以提高计算效率，如何设计更高效的算法处理大规模稀疏矩阵等问题仍需进
稀疏矩阵PPT课件
• 稀疏矩阵简介 • 稀疏矩阵的压缩方法 • 稀疏矩阵的运算优化 • 稀疏矩阵库介绍 • 稀疏矩阵应用案例 • 总结与展望
01
稀疏矩阵简介
定义与特性
定义
稀疏矩阵是一种矩阵，其中大部分元 素为零。
特性
稀疏矩阵具有稀疏性，即矩阵中非零 元素的数量远小于矩阵元素总数。
稀疏矩阵的应用场景
MATLAB中的稀疏矩阵处理
MATLAB是一个广泛使用的科学 计算软件，支持丰富的矩阵和向 量操作、数值计算和科学计算等
功能。
MATLAB提供了多种工具箱和函 数用于处理稀疏矩阵，如 spalloc、spdiags等。
MATLAB的语法简单易懂，易于 学习和使用，同时具有高效的性
能和可视化能力。
05
02
稀疏矩阵的压缩方法
最常用的稀疏矩阵
最常用的稀疏矩阵【原创版】目录1.稀疏矩阵的定义与性质2.稀疏矩阵的应用场景3.稀疏矩阵的存储和计算方法4.稀疏矩阵的实例：随机游走问题的转移概率矩阵5.稀疏矩阵的优点与局限性正文一、稀疏矩阵的定义与性质稀疏矩阵是指矩阵中大部分元素为零的矩阵，其非零元素较少。
由于稀疏矩阵的非零元素较少，因此在存储和计算时可以采用特殊的算法和数据结构，以提高计算效率和节省存储空间。
需要注意的是，稀疏矩阵的定义是相对的，具体的阈值取决于具体的应用场景和算法。
二、稀疏矩阵的应用场景稀疏矩阵在许多实际应用中有着广泛的应用，如线性方程组、图像处理、信号处理等领域。
由于稀疏矩阵的非零元素具有局部集中性，因此可以利用这一特点进行压缩存储和快速计算。
三、稀疏矩阵的存储和计算方法1.存储方法：稀疏矩阵的存储方法主要有三种，分别是全存储、行存储和列存储。
全存储是将稀疏矩阵的所有元素都存储在内存中，这种方法虽然简单，但是存储空间较大。
行存储和列存储则是分别按照行和列的顺序存储非零元素，可以节省存储空间，但访问非零元素时需要额外的索引信息。
2.计算方法：针对稀疏矩阵的计算方法，主要有两种，分别是稀疏矩阵向量乘法和稀疏矩阵求解线性方程组。
稀疏矩阵向量乘法是利用稀疏矩阵的局部集中性，通过递归或并行计算等方式，将稀疏矩阵与向量的乘积计算转化为非零元素与向量的乘积计算。
稀疏矩阵求解线性方程组则是利用稀疏矩阵的特性，采用前/后代法等迭代算法，通过较少的计算步骤求解线性方程组。
四、稀疏矩阵的实例：随机游走问题的转移概率矩阵随机游走问题是一个经典的概率论问题，可以用稀疏矩阵来表示转移概率。
假设有一个矩阵，其行表示状态，列表示状态转移，矩阵中的非零元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
由于随机游走问题的状态转移概率矩阵具有稀疏性，因此可以利用稀疏矩阵的存储和计算方法，提高计算效率和节省存储空间。
五、稀疏矩阵的优点与局限性稀疏矩阵的优点主要体现在存储和计算方面，由于稀疏矩阵的非零元素较少，可以采用特殊的数据结构和算法，提高计算效率和节省存储空间。
c++ eigen稀疏矩阵方程组
一、介绍C++语言是一种功能强大的编程语言，广泛应用于计算机科学和工程领域。
在C++中，Eigen是一种开源的线性代数库，专门用于解决线性代数问题。
稀疏矩阵方程组是一种特殊的线性代数问题，它在很多科学和工程应用中都有重要的作用。
本文将重点介绍在C++中如何使用Eigen库来处理稀疏矩阵方程组的求解。
二、稀疏矩阵方程组的定义稀疏矩阵是指大部分元素为零的矩阵，它在实际问题中经常出现。
稀疏矩阵方程组通常表示为Ax=b的形式，其中A是一个稀疏矩阵，x和b是向量。
解稀疏矩阵方程组就是要找到一个向量x，使得Ax=b成立。
三、Eigen库的介绍Eigen是一个C++模板库，提供了各种线性代数运算的功能，包括向量、矩阵和方程组的求解。
Eigen库的一个重要特点是它的模板化设计，这意味着可以在编译时解析出最佳的代码，从而获得最高的性能。
Eigen库支持常见的矩阵和向量运算，同时也支持稀疏矩阵的表示和运算，使其成为处理稀疏矩阵方程组的理想选择。
四、使用Eigen库解决稀疏矩阵方程组1. 创建稀疏矩阵和向量在使用Eigen库解决稀疏矩阵方程组之前，首先需要创建稀疏矩阵A和向量b。
Eigen库提供了SparseMatrix类和SparseVector类来分别表示稀疏矩阵和向量。
可以使用reserve()方法来指定矩阵中非零元素的个数，以提高内存分配的效率。
2. 填充稀疏矩阵创建稀疏矩阵后，需要将其填充为实际的矩阵。
Eigen库提供了coeffRef()方法来直接修改矩阵中的元素，也可以使用insert()方法来插入非零元素。
3. 解决稀疏矩阵方程组一旦稀疏矩阵和向量准备就绪，就可以使用Eigen库提供的稀疏矩阵求解器来解决方程组。
Eigen库提供了多种求解器，包括ConjugateGradient、BiCGSTAB、SparseLU等，用户可以根据具体的问题选择合适的求解器。
4. 获取解向量求解器会返回一个解向量，表示稀疏矩阵方程组的解。
Matlab中的稀疏矩阵与线性方程组技巧概述
Matlab中的稀疏矩阵与线性方程组技巧概述引言：稀疏矩阵与线性方程组在科学计算的众多应用领域，线性方程组的求解是一项常见且重要的任务。
然而，当问题规模变大时，由于计算量的增加和存储资源的限制，传统的线性代数求解方法可能无法胜任。
为了解决这一挑战，稀疏矩阵表示以及针对稀疏矩阵的线性方程组求解技巧应运而生。
本文将对Matlab中的稀疏矩阵与线性方程组求解技巧进行概述，并探讨其在实际应用中的优势及使用方法。
一、稀疏矩阵的定义与表示稀疏矩阵是指矩阵中绝大多数元素为零，而非零元素只占很小比例的矩阵。
在实际问题中，许多矩阵具有这种特殊的结构，例如图像处理、网络分析、信号处理等。
Matlab提供了多种表示稀疏矩阵的方法，例如COO(Coordinate)、CSR(Compressed Sparse Row)、CSC(Compressed Sparse Column)等。
这些表示方法可以根据实际需求选择，以提高计算效率和节省存储空间。
二、稀疏矩阵的创建与操作在Matlab中，我们可以使用sparse函数来创建稀疏矩阵。
该函数接受三个参数，分别是非零元素的行索引、列索引和对应的数值。
通过这种方式，我们可以高效地创建一个稀疏矩阵，并且可以利用稀疏矩阵的特殊结构进行操作。
稀疏矩阵的操作包括矩阵乘法、转置、逆等，这些操作在Matlab中都得到了很好的支持。
对于矩阵乘法，Matlab中的稀疏矩阵与稠密矩阵的相乘可以利用稀疏矩阵的结构来减少计算量。
此外，由于稀疏矩阵的部分元素为零，我们可以利用这个特点在一定程度上减少内存占用，提高计算效率。
三、稀疏矩阵与线性方程组求解稀疏矩阵在线性方程组的求解中具有重要的作用。
传统的线性方程组求解方法，如高斯消元法、LU分解等，在面对大规模稀疏矩阵时运算量巨大、存储需求高的问题。
而针对稀疏矩阵的线性方程组求解技巧可以有效地解决这些问题。
Matlab提供了多种求解线性方程组的函数，其中包括针对稀疏矩阵的专用求解器。
二、 线性稀疏矩阵方程的直接解
ai(1) a2(1) (1) 式中， ( 式中， ij2) = aij − 2 j a (1) a22
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;
ai(1) b2(1) bi( 2 ) = bi(1) − 2 (1) a22
;
(i=3,4,…,n； j=i,i+1,…,n)
电力系统稳态分析
由此只要 akk ≠ 0 ,消元过程就可继续，在作完 第k步消元后，原方程组将变为
S1. 规格化第一行 S2. 一、二行相消 S3. 规格化第二行
1 3 5
(1/ 2 )
3 / 2 1/ 2 7 −1 −4 2
6 13 5
3 1 1/ 2 2 1 −1 23 1 − (5) − 2 2
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S4.一、三行相消
1 3 / 2 1/ 2 (3) 5 − 5 2 2 5 −4 2
aij = aij
(k )
( k −1)
− aik akj
( k −1)
(k )
( k = 1, 2,⋯ i − 1; j = k + 1, k + 2,⋯ n + 1)
（2－10）
作完i-1次消元后，规格化计算公式为
aij( i ) = aij( i−1) / aii( i−1)
（j=i+1,i+2,...,n+1） （2－11）
(1) (1) 式中，a2 j = a2 j − a21 a1 j ( j = 2,3,⋯ n + 1)
(1) 1/ a 22 去乘上式规格化，便得 假定 a ≠ 0 ，用
(1) 22
x2 + a23 x3 + ⋯ + a2 n xn = b2
大型稀疏矩阵直接求解算法的研究及实现共3篇
大型稀疏矩阵直接求解算法的研究及实现共3篇大型稀疏矩阵直接求解算法的研究及实现1大型稀疏矩阵直接求解算法的研究及实现随着计算机技术的不断发展和数学建模需求的增加，大型稀疏矩阵直接求解算法的研究和实现日益受到人们的关注。
在实际应用中，大型稀疏矩阵经常出现在各种科学计算、工程计算以及机器学习等领域。
因此，如何高效地求解大型稀疏矩阵成为了一个十分重要的问题。
一般来说，大型稠密矩阵的求解可以使用各种经典算法，如高斯消元、LU分解等。
然而，大型稀疏矩阵的求解却需要特殊的算法和数据结构。
传统的直接求解方法存在着效率低下和存储空间过大等问题，因此研究者们提出了许多改进方法和优化方案。
稀疏矩阵存储结构是求解算法中的重要问题之一。
目前，广泛应用的稀疏矩阵存储格式包括压缩列（Compressed Column，CC）、压缩行（Compressed Row，CR）以及双重压缩（Double Compressed）等。
这些存储格式各有优缺点，具体用哪一种存储格式取决于矩阵的具体特点和求解算法的需求。
比如，在随机梯度下降等机器学习算法中，常常使用压缩行存储方式来优化矩阵乘法操作的速度。
多核并行、GPU加速等技术也被广泛应用于大型稀疏矩阵的求解算法中，以提高计算效率。
并行求解算法可以将巨大的计算任务划分成多个子任务，并分配给多个核心同时执行，充分利用计算机的计算资源。
而GPU加速则充分利用了GPU的特殊架构，通过将计算任务映射到各个流处理器上并行执行，进一步提高求解效率。
除了以上所述的算法优化和技术应用，近年来还出现了一些新的求解算法。
比如，基于埃米尔特矩阵分解的求解算法，具有比传统LU分解更快的求解速度；基于内点法的求解算法，在高稀疏性的情况下，具有比其他算法更优的求解速度和精度。
综上所述，大型稀疏矩阵直接求解算法的研究和实现是一个充满挑战的领域。
在实际应用中，选择适合的算法和存储结构，并结合多核并行、GPU加速等技术，可以有效提高求解速度和精度。
线性稀疏矩阵的直接解法-数据结构,填充,排序,矩阵图表示
数值模拟导论-第四讲线性稀疏矩阵的直接解法Luca Daniel感谢Deepak Ramaswamy, Michal Rewienski,KarenVeroy and Jacob White概述•回顾LU分解法•稀疏矩阵—珩架和节点，电阻网，3d热流•三角矩阵分解―一般的稀疏矩阵分解―填充和重排列—图表逼近•稀疏矩阵数据结构—散布LU分解基础分解图片上图便是LU分解的图形表示。
第一步，用第一个方程消去第二到第四方程中的x1。
这一过程我们用除第一行外的各行分别减去第一行乘以某个比例因子，从而使系数a21，a31，a41变为零。
再用比例因子（又称之为乘子）代替这些零位。
对于第二行，乘子是a21/a11，因为第二行减去第一行乘以a21/a11，a21位正好为零。
由于在消去过程中a22，a23，a24的值也会随之改变，因此我们将他们变成蓝色。
同样在消去a31和a41的过程中，a31和a41也被他们的乘子所代替。
在这一过程中第三行其余的位置的值也会随之改变，因此也将他们变为蓝色。
用同样的方法处理第二行。
计算消去第三行和第四行中x2的乘子，并且用这些乘子代替出现的零。
并且注意在消去过程中改变的量，将他们改为绿色。
最后一步，便是用第三行消去第四行中的x3，更新第四行的各个位置，并且将a44变为粉红色。
我们可以看到乘子在代替矩阵中的零的位置之后，在消去过程中他们并没有改变。
LU 分解基础对角占优矩阵的性质A ）对一个对角占优的矩阵进行LU 分解时不会产生零对角元。
B ）严格对角占优矩阵经过LU 分解它的各个位置上的值增加不会超过(1)2n −。
定理：在对严格对角占优的矩阵进行高斯消元时不会产生零对角元。
证明：1）求出第一步消元后的矩阵。
2）考察（n－1）×（n－1）的次矩阵。
仍然是完全对角占优矩阵。
第一步第一步消元后的第二行由此得出稀疏矩阵空间珩架空间珩架节点矩阵未知量：节点位置方程：合力＝0稀疏矩阵电阻网未知：节点电压方程：电流和＝0电阻网是一种特殊情况，它的数学模型是偏微分方程。
稀疏矩阵的直接解法
稀疏矩阵的直接解法稀疏矩阵是指大部分元素为0的矩阵，例如一个1000×1000的稀疏矩阵只有不到1%的元素是非0的。
由于大部分元素为0，传统的矩阵运算方法会浪费极大的计算资源，因此需要针对稀疏矩阵开发特殊的解算方法。
稀疏矩阵的直接解法是一种特殊的线性方程组求解方法，其核心思想是通过高效的稀疏矩阵存储方式和快速的稀疏矩阵乘法算法，将线性方程组的解法转化为求解一个系数矩阵上的特殊矩阵方程的问题。
在介绍稀疏矩阵的直接解法之前，首先需要了解稀疏矩阵的存储方式。
稀疏矩阵的存储方式对于一个N×N的稀疏矩阵A，其非0元素个数为M，假设按照行存储方式，可以将A存储为一个三元组(Sparse Matrix)，记录每个非0元素的位置(i, j)及其值val。
例如，一个矩阵A：$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \\ 6 & 0 & 0 & 7 \end{bmatrix}$$可以表示为三元组：$(1, 1, 1)$$(1, 4, 2)$$(2, 2, 3)$$(2, 4, 4)$$(3, 3, 5)$$(4, 1, 6)$$(4, 4, 7)$三元组中第一列表示非零元素所在的行号，第二列表示非零元素所在的列号，第三列表示该位置上的数值。
三元组存储方式的优点是可以将稀疏矩阵的非0元素存储下来，避免了对0元素的无效计算，同时可以快速定位到任意非0元素的位置，方便进行操作。
稀疏矩阵的乘法稀疏矩阵的乘法也是直接解法的核心之一，稀疏矩阵的乘法需要遵循稀疏矩阵存储方式的特点。
以矩阵C=A×B为例，其中A和B均为稀疏矩阵。
1.初始化首先需要初始化一个空矩阵C，用于存储乘积结果。
2.逐行遍历对于A的每一行i，找到B中与之对应的列j，将A中第i行的每个非0元素分别与B中第j列对应位置上的元素相乘，再将得到的结果累加起来，最后将结果存储到C的第i行第j列上。
稀疏矩阵与线性方程组的迭代解法研究
稀疏矩阵与线性方程组的迭代解法研究在数学和计算机科学领域中，矩阵是一种重要的数学结构，而线性方程组则是矩阵应用的重要问题之一。
当矩阵中的绝大部分元素都为零时，我们称之为稀疏矩阵。
稀疏矩阵在实际问题中的应用非常广泛，如网络图、电力系统、图像处理等。
然而，由于其特殊的性质，传统的线性方程组求解方法在处理稀疏矩阵时效率较低。
因此，研究稀疏矩阵与线性方程组的迭代解法成为一项重要的课题。
稀疏矩阵的特点在于大部分元素为零，只有少数非零元素。
这意味着我们可以通过压缩存储的方式来节省内存空间。
常见的稀疏矩阵存储格式有三元组表示法、行压缩存储法等。
这些存储格式的设计旨在提高矩阵运算的效率，减少存储空间的占用。
针对稀疏矩阵的特点，研究者们提出了一系列高效的线性方程组迭代解法。
其中，最著名的方法之一是迭代法。
迭代法的基本思想是通过迭代逼近线性方程组的解，直到达到一定的精度要求。
常见的迭代法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法、超松弛迭代法等。
雅可比迭代法是最简单的迭代法之一。
它的基本思想是将线性方程组中的每个方程都看作一个近似解的更新方程。
具体来说，给定一个初始近似解，我们可以通过迭代更新每个方程的解，直到满足一定的收敛条件。
然而，雅可比迭代法的收敛速度较慢，特别是对于大规模稀疏矩阵而言，迭代次数较多，效率较低。
为了提高迭代法的收敛速度，研究者们提出了一系列改进的方法。
其中，高斯-赛德尔迭代法是一种经典的改进方法。
与雅可比迭代法不同的是，高斯-赛德尔迭代法在更新方程时利用了已经计算出的新近似解。
这种方法可以加快迭代的收敛速度，提高求解效率。
除了高斯-赛德尔迭代法，超松弛迭代法也是一种常用的改进方法。
超松弛迭代法通过引入松弛因子来调整每次迭代的步长，从而加快收敛速度。
松弛因子的选择对迭代的效果有很大的影响，过小或过大的松弛因子都会导致迭代无法收敛。
因此，合理选择松弛因子是使用超松弛迭代法的关键。
除了迭代法，共轭梯度法也是一种常用的线性方程组求解方法。
稀疏矩阵方程算法
稀疏矩阵方程算法稀疏矩阵方程算法是一种用于求解稀疏矩阵方程的方法。
稀疏矩阵是指矩阵中大部分元素为0的矩阵，而稀疏矩阵方程是指形如Ax=b 的方程，其中A为稀疏矩阵，b为向量。
稀疏矩阵方程算法的目标是求解方程中的未知向量x。
由于矩阵A 是稀疏的，传统的求解方法可能会浪费大量的计算资源和时间。
因此，稀疏矩阵方程算法的出现对于求解稀疏矩阵方程提供了高效的解决方案。
稀疏矩阵方程算法的核心思想是利用稀疏矩阵的特点，减少冗余计算和存储空间的消耗。
具体而言，稀疏矩阵方程算法通常通过以下几个步骤来实现：1. 矩阵存储优化：由于稀疏矩阵大部分元素为0，可以采用压缩存储方法来节省存储空间。
常见的压缩存储方法有COO、CSR和CSC等。
这些方法可以将稀疏矩阵转化为更紧凑的数据结构，从而减少存储空间的占用。
2. 矩阵向量乘法优化：稀疏矩阵和向量的乘法是稀疏矩阵方程求解过程中的核心计算。
传统的方法需要对矩阵的所有非零元素进行乘法运算，造成了大量的冗余计算。
稀疏矩阵方程算法通过利用矩阵的稀疏性，可以仅对非零元素进行计算，从而减少计算量。
3. 迭代解法优化：对于大规模的稀疏矩阵方程，直接求解可能需要耗费大量的时间。
稀疏矩阵方程算法通常采用迭代解法来加速求解过程。
迭代解法通过逐步逼近方程的解，直到满足一定的精度要求。
常见的迭代解法有Jacobi、Gauss-Seidel和共轭梯度等。
稀疏矩阵方程算法在很多领域都有广泛的应用。
例如，在图像处理中，稀疏矩阵方程算法可以用于图像去噪、图像恢复和图像压缩等问题的求解。
在机器学习中，稀疏矩阵方程算法可以用于矩阵分解、特征选择和降维等任务的处理。
此外，稀疏矩阵方程算法还可以应用于网络分析、信号处理和优化问题等领域。
总结起来，稀疏矩阵方程算法是一种针对稀疏矩阵方程的高效求解方法。
通过优化矩阵存储、矩阵向量乘法和迭代解法等关键步骤，稀疏矩阵方程算法可以减少计算和存储的开销，提高求解效率。
在实际应用中，稀疏矩阵方程算法被广泛应用于图像处理、机器学习和优化问题等领域，为这些问题的求解提供了有效的工具。
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电力系统稳态分析
求解的具体步骤如下： （1）若a11≠0，由（2－1）第1式解出
x1=[b1-(a12x2+…+a1nxn)]/a11
代入第2至第n式消去x1 ,有
a11x1+ a12x2 +…+ a1nxn =b1 a22(1)x2+…+a2n(1)xn=b2(1) ...
(2－3)
an2(1)x2+…+ann(1)xn=bn(1)
3x1
7 x2
x3
13
5x1 4x2 2x3 5
2 x1
3x2 2.5x2
x3 2.5x3
12
5
11.5x2
0.5x3
25
2x1 3x2 x3 12
2.5x2 2.5x3 5 12x3 48
3
7 1 13
5 4 2 5
S4.一、三行相消
1
3 2
1/ 2
6
1 1 2
(5)
23
1
25
22
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S2. 一、二行相消
1 3/ 2 1/ 2
(3)
5
5
6
5
22
5 4 2 5
S5. 二、三行相消
(2)
2
L
（2－12）
n1
( n1) n 1, n
n
( n
n 1)
1
L
n
( n
n
)
i1
a (a a a ) / a (i)
ij
ij
( k1) ( k )
ik
kj
( i1) ii
k 1
（i=1,2,,n-1;j=i+1,i+2, ,n+1） （2－13）
与迭代法相比，没有收敛性问题。
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电力系统稳态分析
一、高斯消去法
1、按列消元按行回代的算法
设有n阶线性方程组
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
... an1x1+an2x2+…+annxn=bn
或缩记为： AX=B
(2－1) (2－2)
式，使之规格化，得到
x a(1) x L a(1) x b(1)
1
12 2
1n n
1
（2－9）
式中,
a(1) a / a
1j
1j
11
（j=2,3,…,n+1）
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电力系统稳态分析
（2）对方程组（2－1）中的第2式作运算。首先进行消 元，用-a21乘（2－9）全式，再同式（2－1）的第2式 相加，便得到 ：
(1) 2i
iL
(1) 2n
n
(1)
2
L
( i 1)
a x aa xx bb ii
i L
( i 1) in
( n 1) nn
n n
( i 1)
i
( n
n
L
1)
(2－6)
式中 ， a(i1) a
i1
a a ( k1) ( k1)
L
a L (i1) i 1,i aii L ani L
a (1) 1,n1
a(2) 2,n1
M
(i1) a i1,n1
ai ,n 1
an,n1
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电力系统稳态分析
按照上述步骤，对方程组（2－1）的全部方程式作完 消元和规格化演算，便得到了以下的方程组
a x a x a x a x b 11 1 12 2L 1,k 1 k 1L 1n n 1
(1)
a x a a x x aa xx bb 22
2L
(1) 2,k 1
k 1L
(1) 2n
(k) k 1,k 1
k 1L
(k ) k 1,n
n n
(1)
S3. 规格化第二行
1 3 / 2 1/ 2 6
1(2 / 5)
1
2
5 4 2 5
S6. 第三行规格化
1 3 / 2 1/ 2 6 1 3 / 2 1/ 2 6
1
1
2
1
1 2
23 / 2 12 48
1( 1/ 12 )
式中，ai(j1)
aij
ai1 a11
a1 j ;
bi(1)
bi
ai1 a11
b1;
i=2,3,…,n;j=i,i+1,…n
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电力系统稳态分析
(2)若a22(1)≠0，由（2－3）第2式解出
x2 [b2(1) (a2(13) x3 L
a (1) 2n
xn
)]
/
a (1) 22
1n n 1
a a x a x b (1) L 22
(1) 2i
iL
(1) 2n
n
(1)
2
L
( i 1)
a x aa xx bb ii
i L
( i 1) in
( n 1) nn
n n
( i 1)
i
( n
n
L
1
)
回代过程求解X
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6 1/ 2 4 4
2
2
4 4
4 3 / 2 2 1
2
2
4 4
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因子表
1/ 2 3 / 2 1/ 2
3
2/5
1
5 23 / 2 1/12
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二、三角分解法
1、将非奇异方阵A分解为单位下三角矩阵L和上三角
矩阵R的乘积
高斯消去法的每一步演算都相当于进行矩阵的初等变换。
以按列消元的算法为例，第一步消元时所用的初等矩阵
为
1
L 1 1
l21
1
M
O
ln1
1
其中 li1 ai1 / a11 （i=2，3，…,n）
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x a x a x a x a x b 1
(1) 12
2L
(1) 13
3L
(1) 1, n 1
n 1
(1) 1n
n
(1) 1
x a x a x a x b 2 (2) 23
3L
(2) 2 ,n 1
x a xx bb 式中的系数表达式为：
n1L
(2) 2n
n
2
L
(k ) k 1
L
a x a x b (k ) n ,k 1
k 1L
(k) nn
n
( n
k
)
(2－4)
式中 ,
( k1) ( k1)
a a a a (k)
( k1)
ik
kj
k
( p1) ( p1)
ip
pj
a a a a a ij
ij
按行回代: ( 1)由第三式解得x3=4 (2) 由此及第二式解 得x2=2 (3) 由x3、x2此第一式解得x1=1
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电力系统稳态分析
2．按行消元并进行规格化的算法
电力系统计算中，高斯消去法的另一种常用计算格式 是按行消元逐行规格化的算法。
具体做法如下：
（1）若 a11 0,则以 1/ a11 乘方程组（2－1）中的第1
a x a x a x b (1)
(1)
(1)
(1)
22 2 23 3 L 2 n n 2
式中，a(1) a a a(1) ( j 2, 3,L n 1)
2j
2j
21 1 j
假定 a(1) 0 ，用1 / a (1) 去乘上式规格化，便得
22
22
x a(2)x L a(2)x b(2)
2
23 3
2n n
2
式中
a a / a (2)
(1)
(1)
2j
2j
22
（j=3，4， ，n+1）
这样，得到了经过消元和规格化处理的第2个方程式。
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电力系统稳态分析
消元过程逐行进行。对原方程组（2－1）中的第i个方
程式的演算包括，先作i-1次消元，利用已完成消元和
规格化处理的i-1个方程式依次消去
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电力系统稳态分析
例2－2 按行消元逐行规格化的高斯消去法
2x1 3x2 x3 12
3x1
7 x2
x3
13
5x1 4x2 2x3 5
2 3 1 12 3 7 1 13 5 4 2 5
S1. 规格化第一行
1(1/ 2) 3 / 2 1/ 2 6