高中数学解析几何部分错题精选-1
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面解析几何》难题汇编及答案解析
【高中数学】数学《平面解析几何》复习知识要点一、选择题1．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，12AB F F ⊥于2F ，4AB =，12F F = ）A ．2213x y +=B ．22132x y +=C ．22196x y +=D ．221129x y +=【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的性质，根据4AB =，12F F =c =22 4b a=，求解a ，b 然后推出椭圆方程． 【详解】椭圆2222 10x y a b a b +=>>（）的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，12AB F F ⊥于2F ，4AB =，12F F =c =，22 4b a=，222c a b =-，解得3a =，b =，所以所求椭圆方程为：22196x y +=，故选C ．【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．2．已知椭圆C ：2212x y +=的右焦点为F ，直线l ：2x =，点∈A l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若3FA FB =u u u v u u u v，则AF u u u v ＝( )A B ．2C D ．3【答案】A 【解析】 【分析】设点()2,A n ，()00,B x y ，易知F (1,0)，根据3FA FB =u u u v u u u v，得043x =，013y n =，根据点B 在椭圆上，求得n=1，进而可求得AF =u u u v【详解】根据题意作图：设点()2,A n ，()00,B x y ．由椭圆C ：2212x y += ，知22a =，21b =，21c =，即1c =，所以右焦点F (1,0)．由3FA FB =u u u v u u u v，得()()001,31,n x y =-． 所以()0131x =-，且03n y =. 所以043x =，013y n =. 将x 0，y 0代入2212x y +=，得221411233n ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得21n =， 所以()2212112AF n u u u v =-+=+=故选A 【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析几何中的应用；正确表达出各点的坐标是解答本题的关键.3．已知直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，直线l 经过2:2(0)C y px p =>的焦点，M 为C 上的一个动点，若点N 的坐标为()4,0，则MN 的最小值为（ ） A ．3B 3C ．2D ．22【答案】A 【解析】 【分析】联立直线与抛物线方程利用弦长公式列方程，结合直线过抛物线的焦点，解方程可得2p =，再利用两点的距离公式，结合二次函数配方法即可得结果.【详解】 由22224(42)02y x b x b p x b y px=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 121222,24b p b x x x x +=-=-，因为直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，125x =-，所以()22222512424b p b ⎡⎤-⎛⎫=+-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（1） 又直线l 经过C 的焦点，则,22b pb p -=∴=- （2）由（1）（2）解得2p =，故抛物线方程为24y x =.设()20000,,4M x y y x ∴=.则()()()2222200000||444212MN x y x x x =-+=-+=-+，故当02x =时，min ||MN = 故选：A. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了弦长公式以及配方法的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.4．设抛物线E ：26y x =的弦AB 过焦点F ，||3||AF BF =，过A ，B 分别作E 的准线的垂线，垂足分别是A '，B '，则四边形AA B B ''的面积等于( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程，设直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB ，由抛物线的性质可得梯形的上下底之和求出，求出A ，B 的纵坐标之差的绝对值，代入梯形的面积公式即可求出梯形的面积． 【详解】解：由抛物线的方程 可得焦点3(2F ，0)，准线方程：32x =-，由题意可得直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为：32x my =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线与抛物线的方程：2326x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得：2690y my --=，所以126y y m +=，129y y =-，21212()363x x m y y m +=++=+，因为||3||AF BF =，所以3AF FB =uu u r uu r，即13(2x -，123)3(2y x -=-，2)y ，可得：123y y =-， 所以可得：2222639y m y -=⎧⎨-=-⎩即213m =， 由抛物线的性质可得： 21233166668223AA BB AB x x m ''+==+++=+=+=g ， 221212121||()436363636433y y y y y y m -=+-=+=+=g ，由题意可知，四边形AA B B ''为直角梯形，所以1211()||84316322AA B B S AA BB y y ''''=+-==gg g ， 故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的相交弦长，梯形的面积公式，属于中档题．5．已知抛物线C ：212y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且A ，F ，B 三点共线，则AF =（ ）A ．16B ．10C ．12D ．8【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知AD BD ⊥，利用抛物线的定义，可得30ABD ∠=︒，所以||||2612AF BF ==⨯=．解：因为A ，F ，B 三点共线，所以AB 为圆F 的直径，AD BD ⊥． 由抛物线定义知1||||||2AD AF AB ==，所以30ABD ∠=︒．因为F 到准线的距离为6， 所以||||2612AF BF ==⨯=． 故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的性质，抛物线的定义，考查转化思想，属于中档题．6．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x yx y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.()2223222216162x y xyx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确； 将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==，即圆224x y +=与曲线C 相切于点()2,2，()2,2-，()2,2--，()2,2-，则①和③都错误；由0xy <，得④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.7．已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于,A B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF ∆的面积为24a ，则双曲线的离心率为 A ．2 B ．3C ．2D ．5【答案】D 【解析】 【分析】通过双曲线和圆的对称性，将ABF ∆的面积转化为FBF ∆'的面积；利用焦点三角形面积公式可以建立a 与b 的关系，从而推导出离心率. 【详解】由题意可得图像如下图所示：F '为双曲线的左焦点AB Q 为圆的直径 90AFB ∴∠=o根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF '为矩形12ABF AFBF FBF S S S ''∆∆∴== 又2224tan 45FBF b S b a ∆'===o，可得：225c a = 25e ∴= 5e ⇒=本题正确选项：D 【点睛】本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于,a c 的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.8．如图，设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是（ ） A ．12B ．23C ．13D ．14【答案】C 【解析】如图，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为△ABC 的中位线， 于是△OFM ∽△AFB ，且OF OM 1FAAB2==， 即c c a -=12可得e=c a =13． 故答案为13． 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.9．已知直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ）A ．12k >B ．16k <-或12k > C ．62k -<< D ．1162k -<< 【答案】D 【解析】【分析】联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，可得00x y >⎧⎨>⎩，解得即可． 【详解】解：联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得24216121k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， Q 直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限， ∴2402161021kk k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得：1162k -<<．故选：D ． 【点睛】本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）． A ．(]1,2 B ．(]1,4 C ．[)2,+∞ D ．[)4,+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ，根据圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得d 1≥，解得即可． 【详解】由题意，双曲线2222x y C :1(a 0,b 0)a b-=>>的一条渐近线方程为b y x a =，即bx ay 0-=，∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点，则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离224a 4a d ca b ==+， ∵圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则d 1≥， ∴41a c ≥，即4ce a=≤，又1e > 故e 的取值范围为(]1,4， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．若函数1()ln (0,0)a a f x x a b b b+=-->>的图象在x ＝1处的切线与圆x 2＋y 2＝1相切，则a ＋b 的最大值是( ) A ．4 B ．2 C ．2 D ． 【答案】D 【解析】()1ln (0,0)a a f x x a b b b+=-->>，所以()'a f x bx ＝－，则f ′(1)＝－ab为切线的斜率， 切点为(1，－1a b+)， 所以切线方程为y ＋1a b +＝－ab(x －1)， 整理得ax ＋by ＋1＝0.因为切线与圆相切，所以22a b+＝1，即a 2＋b 2＝1.由基本不等式得a 2＋b 2＝1≥2ab ， 所以(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝1＋2ab ≤2， 所以a ＋b ≤，即a ＋b 的最大值为.故选D.点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y 及斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000'()()y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．12．已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，抛物线的对称轴与准线交于点Q ，P 为抛物线上的动点，PF m PQ =，当m 最小时，点P 恰好在以,F Q 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A ．3-B ．2-CD 1【答案】D 【解析】由已知，(01)(01)F Q ，，，-，过点P 作PM 垂直于准线，则PM PF =．记PQM α∠=，则sin PF PM m PQPQα===，当α最小时，m 有最小值，此时直线PQ与抛物线相切于点P ．设204x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，可得(21)P ，±，所以2PQ PF ，==，则2PF PQ a +=，∴1a =，1c =，∴1ce a==，故选D ．13．已知曲线()2222:100x y C a b a b-=＞，＞的左、右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，MO OP =u u u u v u u u v，直线2PF 交双曲线C 于另一点N ，若122PF PF =，且2120MF N ∠=︒则双曲线C 的离心率为（ ）A BC D【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合双曲线的定义可得124,2PF a PF a == ，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得2224208c a a =+，据此计算双曲线的离心率即可. 【详解】由题意，122PF PF =，由双曲线的定义可得，122PF PF a -= ，可得124,2PF a PF a == ，由四边形12PF MF 为平行四边形，又2120MF N ∠=︒，可得12120F PF ∠=︒， 在三角形12PF F 中，由余弦定理可得2224164242cos120c a a a a =+-⋅⋅⋅︒ ，即有2224208c a a =+，即227c a =，可得c =，即ce a==【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a =； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．14．如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．23y x =±B ．2y x =±C ．3y x =D ．2y x =±【答案】A【解析】 【分析】 设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由b y x a =±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =，所以2212||46413F F =+=13c ⇒=因为2521a x a =-=⇒=，所以23b =所以双曲线的渐近线方程为b y x a=±=±. 【点睛】 本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.15．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：()()22112x y +++=的周长，则12m n +的最小值为（ ） A ．92B ．9C ．6D ．3 【答案】D【解析】【分析】把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线l 上，可得()123,213m n m n +=∴+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】 把圆2C ：()()22112x y +++=化为一般式，得22220x y x y +++=， 又圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >），两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=. Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，()()12150m n ∴-+-++=，即()123,213m n m n +=∴+=. ()112225*********n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭()115522333⎛≥+=+⨯= ⎝. 当且仅当2322m n n m mn +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立. 12m n∴+的最小值为3. 故选：D .【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.16．过坐标轴上的点M 且倾斜角为60°的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为M 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】设出直线方程，根据弦长公式，转化为圆心到直线的距离建立等量关系求解.【详解】由直线的斜率为tan 60k ︒==y b =+.圆2240x y y +-=可化为22(2)4x y +-=，圆心为(0,2)，半径为2r =， 则由弦长公式得：圆心(0,2)到直线y b =+的距离为1d ===，即|2|12b -+=，解得0b =，4b =，故直线的方程为y =或4y =+.直线y =过坐标轴上的点(0,0)，直线4y =+过坐标轴上的点()0,4与3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故点M 的个数为3.故选：C.【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，根据弦长公式将弦长问题转化为圆心到直线的距离求解.17．已知1F ，2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点A 是双曲线上第二象限内一点，且直线1AF 与双曲线的一条渐近线b y x a=平行，12AF F ∆的周长为9a ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B C ．3D ．【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义，结合三角形的周长可以求出1AF 和2AF 的表达式，根据线线平行，斜率的关系，结合余弦定理进行求解即可.【详解】 由题意知212AF AF a -=，2192AF AF a c +=-，解得21122a c AF -=，1722a c AF -=， 直线1AF 与b y x a =平行，则12tan b AF F a ∠=，得12cos a AF F c∠=， 222121214cos 22AF c AF a AF F c AF c+-∠==⋅， 化简得22280c ac a +-=，即2280e e +-=，解得2e =.故选：A【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.18．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限），过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 与直线l 交于A 点，且满足AP BP <u u u v u u u v ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，29λμ=，则该椭圆的离心率为（ ）A ．35B ．1213C ．35或1213D ．45【答案】A【解析】 分析：根据向量共线定理及29λμ=，AP BP <u u u v u u u v ，可推出λ，μ的值，再根据过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限），可推出P ，B 两点的坐标，然后求出过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 的方程，即可求得A 点的坐标，从而可得a ，b ，c 三者关系，进而可得椭圆的离心率. 详解：∵A 、P 、B 三点共线，(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v∴1λμ+= 又∵29λμ= ∴1323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∵AP BP <u u u v u u u v∴2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限） ∴2(,)b P c a ，2(,)b B c a - ∵过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 与直线l 交于A 点∴直线1l 的方程为为1x y a b +=- ∴()(,)a c b A c a+ ∵2133OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ∴222()1()33b a c b b a a a+=⋅+⋅-，即2b a c =+. ∴22224()2a c a ac c -=++，即223520a c ac --=.∴25230e e +-=∵(0,1)e ∈ ∴35e =故选A. 点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．19．已知椭圆2221(1)x y a a+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 是椭圆在第一象限上的一个动点，圆C 与1F A 的延长线，12F F 的延长线以及线段2AF 都相切，且()3,0M 为其中一个切点．则椭圆的离心率为（ ）AB．3 C．2 D【答案】B【解析】【分析】设圆C 与1F A 的延长线相切于点N ，与2AF 相切于点T ，由切线长相等和椭圆的定义，解方程得出3a =，求出c ，进而可得离心率.【详解】设圆C 与1F A 的延长线相切于点N ，与2AF 相切于点T ，由切线长相等，得AN AT =， 11F N F M =，22F T F M =，1(,0)F c -，2(,0)F c ，由椭圆的定义可得，122AF AF a +=，()111223+22+F N F M c AF AN a AF AN a AN AT TF ==+==-+=+- 222(3)a F M a c =-=--，则26a =，即3a =，又1b =，所以2222c a b =-=，因此椭圆的离心率为223c e a ==. 故选：B.【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，熟记椭圆的定义，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.20．已知平面向量,,a b c r r r 满足()()2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=r r r r r r r r ，则b c -r r 的最小值为（ ）A 75-B 73-C ．532-D 31- 【答案】A【解析】【分析】 根据题意，易知a r 与b r 的夹角为60︒，设(=13a ，r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，由()()21a c b c -⋅-=r r r r ，可得2212302x y x y +-+=，所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值， 利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果.【详解】因为2a b a b ==⋅=r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，因为()()21a c b c -⋅-=r r r r ，所以221202x y x +-+=，又b c -=r r所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值，又圆221202x y x +-+=的圆心坐标为1⎛ ⎝⎭，所以点()20，与圆221202x y x +-+=上一动点距离的最小值为=. 故选：A.【点睛】本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．。
易错点09 解析几何(解析版)-备战2021年高考数学一轮复习易错题
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
【答案】（1） ；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
(1)由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.
(2)设出点M，N的坐标，在斜率存在时设方程为 ,联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到m,k的关系，进而得直线MN恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q的位置.
样直角三角形斜边上的中点为M(1,0)，
则半径为 ＝3，
即得所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.
【错因】因为忽视结论的检验，没有注意到点C是直角三角形的顶点，即C点不能在直线AB上，因此造成错解．
【正解】设C(x，y)，由于直角三角形斜边上的中点为M(1,0)，如图所示，则半径为 ＝3，即得圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.但是顶点C不能在直线AB上，因此y≠0，也就是要除去两个点，即(－2,0)，(4,0)，因此C点满足的方程为(x－1)2＋y2＝9(除去点(－2,0)，(4,0))．
此时曲线 表示双曲线，
由 可得 ，故C正确；
对于D，若 ，则 可化为 ，
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
例2（2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）斜率为 的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则 =________．
易错点09解析几何
—备战2021年高考数学一轮复习易错题
【典例分析】
例1（2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）已知曲线 .（）
高中数学错题整理
高中数学错题整理可以根据不同的数学知识点和难度级别进行分类。
下面是一个基于常见数学知识点的错题整理示例：
1. 代数运算：
-有理数运算：如分数运算、整数运算等。
-代数式化简与因式分解：如多项式的合并、提取公因式等。
-分式方程与分式不等式：如分式方程的解法、分式不等式的求解等。
2. 函数与方程：
-一次函数与二次函数：如函数的图像、方程的解法等。
-指数与对数函数：如指数函数的性质、对数函数的性质等。
-三角函数：如三角函数的性质、三角方程的解法等。
3. 三角学：
-三角关系：如正弦定理、余弦定理、正切定理等。
-三角函数的图像与性质：如三角函数的周期、对称性等。
4. 解析几何：
-直线与圆的性质：如直线与圆的位置关系、直线与圆的切线等。
-二次曲线：如抛物线、椭圆、双曲线的性质。
5. 空间几何：
-空间直线和平面：如直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系等。
-空间几何体：如立体的表面积和体积计算等。
对于每个知识点，可以整理出相应的错题，并记录错误的原因和解题思路，以便学生进行错误的反思和纠正。
此外，可以根据学生的实际情况，选择适当难度的错题，帮助他们提升解题能力和理解能力。
高中数学错集锦典型错误与纠正方法
高中数学错集锦典型错误与纠正方法在高中数学的学习过程中，同学们常常会出现各种各样的错误。
这些错误如果不及时加以整理和纠正，很可能会影响到后续的学习效果和成绩提升。
本文将对高中数学中常见的典型错误进行归纳总结，并提出相应的纠正方法，希望能对同学们有所帮助。
一、概念理解不清导致的错误1、函数概念很多同学在理解函数的定义时，容易忽略定义域、值域和对应关系这三个关键要素。
例如，对于函数$f(x) ＝＼sqrt{x}＄，如果不明确其定义域为$x\geq 0$，就可能在计算中出现错误。
纠正方法：重新回顾函数的定义，通过大量的实例练习来加深对定义域、值域和对应关系的理解。
2、导数概念在学习导数时，部分同学会将导数的几何意义和物理意义混淆，或者对导数的运算规则掌握不熟练。
纠正方法：结合图像直观理解导数的几何意义，通过实际问题理解导数的物理意义。
同时，加强对导数运算公式的记忆和练习。
二、运算错误1、四则运算在进行加减乘除运算时，粗心大意导致的符号错误、漏项等问题较为常见。
比如在多项式乘法中，忘记乘以某项或者符号出错。
纠正方法：养成认真细致的计算习惯，做完题目后进行仔细检查。
2、分式运算分式化简和求值时，通分、约分错误以及忽略分母不为零的条件是常见的错误。
纠正方法：熟练掌握分式的基本性质和运算规则，做题时时刻注意分母的取值范围。
三、逻辑推理错误1、证明题在证明数学定理和结论时，推理过程不严谨，缺乏必要的步骤或者使用未证明的结论作为依据。
纠正方法：学习逻辑推理的方法和技巧，按照严格的证明步骤进行推理，多做相关的练习来提高证明能力。
2、数学归纳法使用数学归纳法时，归纳假设运用不当或者归纳步骤不完整。
纠正方法：深入理解数学归纳法的原理和步骤，通过典型例题掌握正确的使用方法。
四、图形问题错误1、立体几何在解决立体几何问题时，空间想象力不足，对图形的位置关系判断错误，或者计算体积、表面积时公式使用错误。
纠正方法：通过制作模型、观察实物等方式增强空间想象力，牢记立体几何的相关公式和定理。
微专题4解析几何初步中几个易错问题(pdf版,无答案)-江苏省启东中学高一数学“空中课堂”学案
微专题4解析几何初步中几个易错问题
一、斜率与倾斜角之间范围互化致误
例1、（1）直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角的取值范围为.
（2）直线x cosα＋3y＋2＝0的倾斜角的范围是.
例2、求过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为10
10的直线方程.
二、求直线的方程时漏解致误
（1）用截距式设方程,漏掉过原点的情形
例3、过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为.
（2）用点斜式设直线方程，忘记讨论斜率不存在情形
例4、（1）直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________.
（2）经过点P(2,4)的圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线方程为________.
（3）过点M(4，－8)作直线l与圆C:x2＋y2－4x＋2y－3＝0的割线交圆于A、B两点，若|AB|＝4，求直线l的方程.
二、“两直线平行”与“斜率相等”等价吗？
例5、（1）已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，求a的值．。
高中高考数学错题集精讲精析
大。
解析：由于 x 2 2 y2 1得(x+2)2=1- y 2 ≤1，∴-3≤x≤-1 从而 x2+y2=-3x2-16x-12=
4
4
+
28
因此当 x=-1 时 x2+y2 有最小值 1,
8
当 x=-
时，x2+y2 有最大值 28
。故 x2+y2 的取值范围
3
3
3
28
是[1, ]
3
【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件 x 2 2 y2 1对 x、y
f 1 y x 1，
2
x f 1 y 1 再将 x、y 互换即得 y f x 1 的反函数为 y f 1 x 1 ，故
y f x 1 的反函数不是 y f 1 x 1 ，因此在今后求解此题问题时一定要谨慎。
【练 4】（2004 高考福建卷）已知函数 y=log2x 的反函数是 y=f-1(x)，则函数 y= f-1(1-x)的图象是 （）
答案：B 【易错点 4】求反函数与反函数值错位
例 4、已知函数 f x 1 2x ，函数 y g x 的图像与 y f 1 x 1 的图象关于直线
1 x
y x 对称，则 y g x 的解析式为（）
A、 g x 3 2x B、 g x 2 x C、 g x 1 x D、 g x 3
x
1 x
2 x
2 x
【易错点分析】解答本题时易由 y g x 与 y f 1 x 1 互为反函数，而认为
y f 1 x 1 的反函数是 y f x 1 则
y
g
x
=
f
x
1 =
பைடு நூலகம்
解析几何易错题(教师版)
解析几何易错题练习例1 求过点（2，1）且与两坐标所围成的三角形面积为4的直线方程。
错解：设所求直线方程为1=+bya x 。
∵（2，1）在直线上，∴112=+ba ， ①又4ab 21＝，即ab = 8 ， ② 由①、②得a = 4，b = 2。
故所求直线方程为x + 2 y = 4 。
剖析：本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示。
上述解法中，由于对截距概念模糊不清，误将直线在x 轴和y 轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”。
事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为21b a ，而不是21ab 。
故所求直线方程应为：x + 2 y = 4，或（2+1）x - 2（2-1）y – 4 = 0，或（2- 1）x - 2（2+1）y +4 = 0。
例2 已知三角形的三个顶点为A （6，3），B （9，3），C （3，6），求∠A 。
错解：∵ k AB = 0 ，k AC =6336-- = -1，∴ tan ∠A=AB AC AC k k k k ⋅+-1AB =)1(01)1(0-⋅+--=1.又0＜∠A ＜1800，∴ ∠A=450。
剖析：本题的“陷阱”是公式的选取，上述解法中把“到角”与“夹角”的概念混为一谈，错误地选用了夹角公式。
事实上，所求角应是直线AB 到AC （注意：AC 到AB ）的角。
因此，∴ tan ∠A=ABAC ABAC k k k k ⋅+-1= - 1，∠A=1350。
例3 求过点A （-4，2）且与x 轴的交点到（1，0）的距离是5的直线方程。
错解：设直线斜率为k ，其方程为y – 2 = k （x + 4），则与x 轴的交点为（-4-k2，0）， ∴5124=---k ，解得k = -51。
故所求直线的方程为x + 5y – 6 = 0 。
剖析：题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A 且垂直于x 轴的直线，落入“陷阱”。
解析几何易错题
解析几何易错题1．经过点A(1,2)，并且在2个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程有_____条2．已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(2,-1)的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 以及倾斜角α 的取值范围。
3．求过点(5,10)，且到原点的距离为5的直线方程。
4．判断下列命题是否正确(1)y -y 1x -x 1=k 表示过点(x 1,y 1)且斜率为k 的直线方程 (2)直线y=kx+b 与y 轴交于点P(0,b)，其中截距b=|OP|(3)在x 轴和y 轴上的截距分别为a 与b 的直线方程是x a +y b =1(4)方程(x 2-x 1) (y-y 1) =(y 2-y 1) (x-x 1)表示过两点P 1(x 1,y 1) 与P 2(x 1,y 1)的直线5．已知直线l 经过点P(3,1)，且被两平行直线l 1:x+y+1=0和 l 2:x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l 的方程。
6．a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行的_____条件。
7．a 1a 2b 1b 2=-1是两条直线a 1x+b 1y+c 1=0和 a 2x+b 2y+c 1=0垂直的_____条件 8．定义在 R 上的函数 f (x ) = 13 x 3 + 12 ax 2 + 2bx + c ，在(0,1) 内有一个极大值点，在(1,2)内有一个极小值点，则 b －2a －1的范围是______ 9．在坐标平面内，由不等式组 ⎩⎨⎧ y ≥| x －2 | y ≤－| x | + a所确定的平面区域的面积为 52 ，则a = 。
10．已知直线l 过点(-2,0)，当直线l 与圆x 2+y 2=2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是______11．若曲线y=1+4-x 2 (-2≤x≤2)与直线y=k(x-2)+4有两个交点，求实数k 的取值范围。
高中数学解析几何压轴题
专业资料整理分享高中数学解析几何压轴题一．选择题1．已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆（a＞b＞0）的右焦点交椭圆于A、B两点，P为右准线上任意一点，则∠APB为（）A．钝角B．直角C．锐角D．都有可能2．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线为l，一直线交双曲线于P．Q两点，交l于R点．则（）A．∠PFR＞∠QFR B ∠PFR=∠QFR C．∠PFR＜∠QFR D．∠PFR与∠AFR的大小不确定3．设椭圆的一个焦点为F，点P在y轴上，直线PF交椭圆于M、N，，则实数λ1+λ2=（）A．B．C．D．4．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l与双曲线C1交于A，B两点，线段AB中点M在一象限且在抛物线y2=2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，则l的斜率为（）A．B．e2﹣1C．D．e2+15．已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．5 B．7 C．13 D．156．过双曲线﹣=0（b＞0，a＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE 交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．设椭圆的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点，则的值为（）A．B．C．D．8．已知定点A（1，0）和定直线l：x=﹣1，在l上有两动点E，F且满足，另有动点P，满足（O为坐标原点），且动点P的轨迹方程为（）A．y2=4xB．y2=4x（x≠0）C．y2=﹣4xD．y2=﹣4x（x≠0）9．已知抛物线过点A（﹣1，0），B（1，0），且以圆x2+y2=4的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程（）A．+=1（y≠0）B．+=1（y≠0）C．﹣=1（y≠0）D．﹣=1（y≠0）10．如图，已知半圆的直径|AB|=20，l为半圆外一直线，且与BA的延长线交于点T，|AT|=4，半圆上相异两点M、N与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件，则|AM|+|AN|的值为（）A．22B．20C．18D．1611．椭圆与双曲线有公共的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．12．曲线（|x|≤2）与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点时，实数k的取值范围是（）A．B．（，+∞）C．D．13．设抛物线y2=12x的焦点为F，经过点P（1，0）的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则|AF|+|BF|=（）A．B．8D．14．已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且，则m的值为（）A．B．C．D．15．已知双曲线上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，且MN的中点在抛物线y2=9x上，则实数m的值为（）A．4B．﹣4C．0或4D．0或﹣41．已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆（a＞b＞0）的右焦点交椭圆于A、B两点，P为右准线上任意一点，则∠APB为（）2．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线为l，一直线交双曲线于P．Q两点，交l于R点．则PN∥MQ，，又由双曲线第二定义可知=，3．设椭圆的一个焦点为F，点P在y轴上，直线PF交椭圆于M、N，，B C D，，，4．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l与双曲线C1交于A，B两点，线段AB中点M在一2B D，∴M（（的坐标代入，可得5．已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最由题意可得：椭圆的焦点分别是两圆（的焦点分别是两圆（6．过双曲线﹣=0（b＞0，a＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE 交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）B C D=（+解：∵若（+）e==7．设椭圆的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点，则的值为（）B C D==8．已知定点A（1，0）和定直线l：x=﹣1，在l上有两动点E，F且满足，另有动点P，满足、的坐∥∥22+=1（y≠0）B+=1（y≠0）C﹣=1（y≠0）D﹣=1（y≠0）=2，根据抛物线定义可得（10．如图，已知半圆的直径|AB|=20，l为半圆外一直线，且与BA的延长线交于点T，|AT|=4，半圆上相异两点M、N与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件，则|AM|+|AN|的值为（）11．椭圆与双曲线有公共的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2=（）B C D，，再利用余弦定理，即可求得|=2|=，12．曲线（|x|≤2）与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点时，实数k的取值范围是（）BD，+∞）解：曲线=，k′=，＜k≤13．设抛物线y2=12x的焦点为F，经过点P（1，0）的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则|AF|+|BF|=B C=，14．已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且，则m的值为（）B C D，=的中点坐标是（）﹣，，m=15．已知双曲线上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，且MN的中点在抛物线y2=9x上，则实数m的值根据双曲线上存在两点（﹣，，∴b=，m二．解答题（共15小题）16．已知椭圆C：，F1，F2是其左右焦点，离心率为，且经过点（3，1）（1）求椭圆C的标准方程；（2）若A1，A2分别是椭圆长轴的左右端点，Q为椭圆上动点，设直线A1Q斜率为k，且，求直线A2Q斜率的取值范围；（3）若Q为椭圆上动点，求cos∠F1QF2的最小值．）根据椭圆的离心率为kk'==，利用，即可求直，且经过点（的标准方程为…（，及=则有，的最小值为17．已知椭圆x2+=1的左、右两个顶点分别为A，B．双曲线C的方程为x2﹣=1．设点P在第一象限且在双曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T．（Ⅰ）设P，T两点的横坐标分别为x1，x2，证明x1•x2=1；（Ⅱ）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且•≤15，求S﹣S的取值范围．S S S S，故．=•≤15，所以（﹣在双曲线上，所以，所以=，﹣==，则S=5．﹣=，﹣﹣的取值范围为18．设椭圆D：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足，且AB⊥AF2．（Ⅰ）若过A、B、F2三点的圆C恰好与直线l：x﹣y﹣3=0相切，求圆C方程及椭圆D的方程；（Ⅱ）若过点T（3，0）的直线与椭圆D相交于两点M、N，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），求实数t取值范围．，可得：中，，所以，（﹣，（﹣：．，圆的方程为（＜=ty=y=3×[+4×[=＜19．已知F1、F2为椭圆C：的左，右焦点，M为椭圆上的动点，且•的最大值为1，最小值为﹣2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点．试判断∠MAN是否为直角，并说明理由．•=并与椭圆联立，利用韦达定理求﹣•=x'2+2b2﹣a2（﹣a≤x≤a），••．，=0，=+=++20．如图，P是抛物线y2=2x上的动点，点B，C在y轴上，圆（x﹣1）2+y2=1内切于△PBC，求△PBC面积的最小值．b=，知==，，==，=+4当且仅当21．已知直L1：2x﹣y=0，L2：x﹣2y=0．动圆（圆心为M）被L1L2截得的弦长分别为8，16．（Ⅰ）求圆心M的轨迹方程M；（Ⅱ）设直线y=kx+10与方程M的曲线相交于A，B两点．如果抛物y2=﹣2x上存在点N使得|NA|=|NB|成立，求k 的取值范围．．所以，得（的中垂线为，由，的中点为，即，得，，∴，④…（根据导数知识易得．22．已知直线l1：ax﹣by+k=0；l2：kx﹣y﹣1=0，其中a是常数，a≠0．（1）求直线l1和l2交点的轨迹，说明轨迹是什么曲线，若是二次曲线，试求出焦点坐标和离心率．（2）当a＞0，y≥1时，轨迹上的点P（x，y）到点A（0，b）距离的最小值是否存在？若存在，求出这个最小值．的大小，求出）由时，轨迹是双曲线，焦点为，离心率时，轨迹是椭圆，焦点为，离心率时，轨迹是椭圆，焦点为，离心率＞；b≤23．如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B'；折痕与AB交于点E，以EB和EB’为邻边作平行四边形EB’MB．若以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图）：（Ⅰ）．求点M的轨迹方程；（Ⅱ）．若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，等腰梯形A1B1C1D1的三边A1B1，B1C1，C1D1分别与曲线S切于点P，Q，R．求梯形A1B1C1D1面积的最小值．⇒代入①即得的方程为的坐标为．的方程为，得，得，当且仅当，即，的面积的最小值为24．（1）已知一个圆锥母线长为4，母线与高成45°角，求圆锥的底面周长．（2）已知直线l与平面α成φ，平面α外的点A在直线l上，点B在平面α上，且AB与直线l成θ，①若φ=60°，θ=45°，求点B的轨迹；②若任意给定φ和θ，研究点B的轨迹，写出你的结论，并说明理由．则．=．又由sin60°=a，平方整理得＜φ＜分）=．．所以•φ=θ＜φ＜时，θ=φ＜时，点4，则．．＜φ＜）分）= sinφ=aφ=时，点θ=φ＜25．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；（3）求△PAB面积的最大值．的方程为，解得的方程为．故点，的直线方程为得，．，则，同理可得，的斜率的直线方程为，由．，得．此时，的距离为，===．面积的最大值为．26．已知点B（0，1），A，C为椭圆上的两点，△ABC是以B为直角顶点的直角三角形．（I）当a=4时，求线段BC的中垂线l在x轴上截距的取值范围．（II）△ABC能否为等腰三角形？若能，这样的三角形有几个？）依题意，可知椭圆的方程为：x++，令y=0得x==cosθ（cosθ≠0），利用余弦cosθ的有x+1∴椭圆的方程为：），=﹣=（x++，cosθ（cosθ≠0）≤x=cosθ≤，，﹣得：|AB|=|BC|=|=||==+1≥3（当且仅当，即当时，以＜a≤27．如图，P是抛物线C：x2=2y上一点，F为抛物线的焦点，直线l过点P且与抛物线交于另一点Q，已知P（x1，y1），Q（x2，y2）．（1）若l经过点F，求弦长|PQ|的最小值；（2）设直线l：y=kx+b（k≠0，b≠0）与x轴交于点S，与y轴交于点T①求证：②求的取值范围．，消去，|PQ|=，消去可取一切不相等的正数∴）==28．过点F（0，1）作直线l与抛物线x2=4y相交于两点A、B，圆C：x2+（y+1）2=1 （1）若抛物线在点B处的切线恰好与圆C相切，求直线l的方程；（2）过点A、B分别作圆C的切线BD、AE，试求|AB|2﹣|AE|2﹣|BD|2的取值范围．，则过点的切线方程为：相切，坐标为的方程为：29．已知圆C的圆心在抛物线x2=2py（p＞0）上运动，且圆C过A（0，p）点，若MN为圆C在x轴上截得的弦．（1）求弦长MN；（2）设AM=l1，AN=l2，求的取值范围．所以．所以θ=45°时，原式有最大值从而30．已知以动点P为圆心的圆与直线y=﹣相切，且与圆x2+（y﹣）2=外切．（Ⅰ）求动P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若M（m，m1），N（n，n1）是C上不同两点，且 m2+n2=1，m+n≠0，直线L是线段MN的垂直平分线．（1）求直线L斜率k的取值范围；（2）设椭圆E的方程为+=1（0＜a＜2）．已知直线L与抛物线C交于A、B两个不同点，L与椭圆E交于P、Q两个不同点，设AB中点为R，PQ中点为S，若=0，求E离心率的范围．相切，且与圆﹣外切，建立方程，即可求动）求出直线方程代入抛物线和椭圆方程，由，则有的斜率为﹣∴|k|＞∴k＜﹣＞﹣﹣，＞恒成立，方程②的判别式，∴＞）+1=＞＜＜。
高考数学学科二轮备考关键问题指导系列一(解析几何存在问题及应对策略)
福建省2024届高中毕业班数学学科二轮备考关键问题指导系列一解析几何存在问题及应对策略（福建省高三毕业班复习教学指导组余小萍执笔整理）新高考的背景下，解析几何知识板块试题分值高，在全卷中占比高，但整体得分低，得分率最低，对全卷影响重大，新高考解析几何如何提分，值得研究.解析几何高考试题以核心素养为导向，突出了学科素养、关键能力的考查，有以下特点：1．突显解析思想，考查全面解析思想解题主要包含两个方面．其一，在坐标系下，每个几何对象均可被数（坐标、方程等）所完全表达，并通过代数（或向量）方法来解决；其二，特定的代数语言有了几何解释，从而使代数语言有了直观意义，人们能从中得到启发，进而解决问题或提出新的结论．解析几何问题考查模式可以用下图的框架体现：2．突出直观想象，强调算理解析法是通过坐标系实现“点与坐标互化”、“曲线与方程互化”、“几何关系代数化”，从而达到用代数方法解决几何问题，其思维模式可以用下图的框架体现：这是平面解析几何复习教学可以遵循的思维模式，通过它，帮助厘清知识，构建方法体系，回到基础，落实对知识与方法的深刻理解，让解析法升华为一种认识论与方法论.3．突破题型套路，鼓励创新新高考试卷持续推进题型和结构的创新，在解析几何试题的设计上，最大的变化就是突破题型套路，有多选题、多空题和条件开放或结论开放试题，在难度层次上也有所变化，从情境选择、设问方式到解题方法，鼓励创新求解的意识，培养学生探究能力．下面就具体的平面解析几何复习教学的相关问题探讨如下.一、存在的问题及原因分析（一）作图意识薄弱，以形助思待提高规范作图是认识问题、研究问题的基础，将图形特征转化、合理代数化的过程是问题条件的理解与解题思路的探究过程．【例1】过点(0,2)-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=( )A. 1B.4C.4D. 4【解析】圆22410x y x +--=化简，得22(2)5x y -+=，故圆心(2,0)B，记(0,2)A -，设切点为M ，.N AB =BM =，故AM sinsin MAB 24BM ABα=∠==，coscos M B 2A AM ABα=∠==，sin 2sincos22ααα==B. 【评析】本题考查直线与圆的位置关系、二倍角公式，属于基础题．利用切线构造直角三角形，由三角函数定义求出sin2α，cos2α，再利用二倍角正弦公式即可求解．本题中切线的运用很多学生能想到，但学生不易想到角度关系MAB 2α=∠，究其原因在于作图意识薄弱，对题中的几何关系挖掘不够，缺乏对图形中几何特征与数量关系的细致分析，难以借助图形分析思考问题.【例2】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点A 在C 上，点B 在y轴上，11F A F B ⊥，222=3F A F B -，则C 的离心率为__________.【解析】依题意222=3F A F B -，设22||2,||3(0)F A t F B t t ==>，||5.AB t ∴=由对称性知21|||| 3.F B F B t ==又11F A F B ⊥，故1||4F A t =，4cos .5A = 由双曲线的定义知，12||||2F A F A a -=，故.t a =在12F AF 中，22216444cos 2425a a c A a a +-==⋅⋅，解得：29()5c a =，故C 的离心率为5【评析】本题考查双曲线的定义及性质、余弦定理、向量共线的充要条件等，属于中档题. 根据向量的关系设参数t ，得到||AB ，2||F B ，1||F B 的关系，勾股定理得到1||4F A t =.由双曲线的定义得到t a =，在1Rt F AB △和12F AF △中通过对cos A 算两次得到a 与c 的关系.学生若作图潦草，难以发现关键的几何特征信息，导致对图中几何关系的提取错误或者不完整，思路受阻．本题中222=3F A F B -，不仅有数量特征，还具有位置关系．【建议】课堂教学中教师能使用尺规规范作图，起到示范指导，并要求学生当堂作图练习．布置不给图形的解几练习，要求学生通过审题自己作图.教师对图形中几何特征与数量关系进行细致分析，结合图形从整体角度理解题意、寻找解题思路．（二）概念思维淡漠，核心观点需增强定义是数学问题研究的起点．曲线方程的概念蕴含了丰富的内涵，对我们的问题的理解与思考有深刻的意义．【例3】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12，过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE △的周长是__________.【解析】由椭圆离心率为12，可得2a c =，则b ==则椭圆C ：2222143x y c c +=，)A ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，易得ED l ：()3y x c =+，由2211||||||2AF AF F F c ===，故过1F 且垂直于2AF 的直线DE 垂直平分2AF ，即2||||EA EF =，2||||DA DF =，又2222143)x y c c y x c =⎧+=⎪⎨+⎪⎪⎪⎩，得22138320x cx c +-=，故28133213D E D Ec x x x c x =⎧+=-⎪⎪⎨-⎪⎪⎩， 213||||6()4278D E D E D E DE x x x x x x c ∴=-=⇒+-=⇒=，所以ADE △的周长2211||||||||||||||4813DA EA DE DF EF DF EF a c ++=+++===.【评析】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用、椭圆的定义以及椭圆中的弦长问题，考查了运算求解能力，属于中档题.部分学生不能从离心率、椭圆定义角度去分析几何特征解决问题，而是先求点M 坐标，再求点D 、E 的坐标，利用两点间的距离公式，绕了一大圈才得出周长，没能活用定义轻松得到解题的突破口．究其原因在于没有养成优先站在“定义”的角度探究问题和解决问题意识，未能从圆锥曲线的定义审视几何关系，选择简便的方法实现几何条件代数化．【建议】复习教学中凡涉及圆锥曲线的最值问题，均需先回顾梳理各种方法，结合问题背景比较、优化方法；强调要在大问题（圆锥曲线的定义与几何图形中的位置关系与数量关系）下研究几何性质；加强逻辑严密的课堂推演与条理清晰试题剖析． （三）欠缺条件思辨，代数方法要选择解析几何就是用代数的方法研究几何问题．那么，对题目所给的几何条件如何代数化（坐标化）很值得研究，我们追求的是既要准确转化，又要简便、减少运算量的转化．【例4】写出与圆221x y +=和圆22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程__________. 【解法一】显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为0x by c ++=，1=化简得221c b =+①，4.=化简得，|34||4|b c c ++=，故344b c c ++=或344b c c ++=-，再结合①解得01b c =⎧⎨=⎩或247257b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或4353b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以直线方程有三条，分别为10x +=，724250x y --=，3450.(x y +-=填一条即可) 【解法二】设圆221x y +=的圆心(0,0)O ，半径为11r =， 圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心(3,4)C ，半径24r =， 则12||5OC r r ==+，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然10x +=符合题意； 又由方程22(3)(4)16x y -+-=和221x y +=相减可得方程3450x y +-=，即为过两圆公共切点的切线方程；又易知两圆圆心所在直线OC 的方程为430x y -=，直线OC 与直线10x +=的交点为4(1,)3--，设过该点的直线为4(1)3y k x +=+1=，解得724k =，从而该切线的方程为724250x y --=； 所以直线方程有三条，分别为10x +=，724250x y --=，3450.(x y +-=填一条即可)【评析】本题是一道开放题，代数法设切线方程通过解方程组能解决问题，也可以利用几何特征快速写出公切线10x +=，发现题中两圆的位置关系是快速破题的关键．本题若改为写出所有公切线方程学生失分率将更高，两种方法计算量也相差无几，代数法中方程组的求解是学生的失分点，其中直线方程的设法涉及简便、减少运算量，几何法通过先求直线OC 与直线10x +=的交点，再求过该点且与圆221x y +=相切的直线即可得到公切线724250x y --=也是利用几何特征简便、减少运算量.【例5】已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴y 轴分别相交于M ，N 两点，且||||MA NB =，||MN =l 的方程为__________.【解析】取AB 的中点为E ，因为||||MA NB =，所以||||ME NE =，设11(,)A x y ，22(,)B x y 可得1212121212y y y y x x x x +-⨯=-+-，即1.2OE AB k k =-⋅ 设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，则(0,)M m ，(,0)mN k-， 所以(,)22m m E k -，所以212m k k m k⨯=-=--，k =又||MN =22212m m +=，故2m =，所以直线:22AB y x =-+，即0.x -= 【评析】本题考查椭圆的中点弦问题，属于偏难题.条件 ||||MA NB = 的转化应用是解本题快速与否的关键，取AB 的中点为E ，将中点E 纵横坐标比转化为中点与原点连线的斜率，利用点差法及点坐标就能快速找到一个,k m 的关系式.学生若能依题构图，结合图形联想第三定义推论，就能将条件 ||||MA NB = 转化为简洁的代数形式，从而达到解决问题的目的.【建议】复习教学中重视引导学生依题构图，结合圆锥曲线的性质从题意与图形中抽象出关键的几何特征，并以简洁的代数形式加以呈现，从而转化为待求目标关系式进行变形演算．（四）缺乏算法算理，运算求解须考究解析几何问题常常都有计算量大的特点，如何进行有效运算、简便运算，寻找化简方向是我们必须重视的环节，包括如何设元、如何设方程，回归定义，以简驭繁；设而不求，整体运算；充分运用图形几何性质，简化计算；利用根与系数关系化繁为简；选用方程适当形式，减少运算量等，这些方法一定要结合具体问题进行训练.【例6】已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥．若||6FQ =，则C 的准线方程为 ．【解法一】解直角三角形法：如图，依题意得,2p P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭且OPF PQF ∠=∠，所以tan tan OPF PQF ∠=∠，所以2,6pOF PF p PF FQ p =∴=，解得3p =，所以C 的准线方程为32x =-.【解法二】射影定理应用法依题意得,2p P p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2,PF OF FQ =⋅262p p ∴=⨯，解得3p =或0p =（舍去），所以C 的准线方程为32x =-.【解法三】由题意，不妨设P 在第一象限，则(2p P ，)p ，所以直线OP 的斜率22OP pk p ==，因为PQ OP ⊥，所以12PQ k =-，所以PQ 的方程为1()22p y p x -=--，即524px y =-+.令0y =时，52p x =，因为||6FQ =，所以5622p p -=，解得3p =，所以C 的准线方程为32x =-． 【解法四】由题意，不妨设P 在第一象限，则(2p P ，)p ，(6,0)2pQ +，所以(6,)PQ p =-， 因为PQ OP ⊥，所以0PQ OP ⋅=，所以602pPQ p p =⨯-⨯=，所以()30p p -=，因为0p >，所以3p =，所以C 的准线方程为32x =-．【评析】破解本题的关键是对PQ OP ⊥进行转化，可以从解直角三角形的角度，也可以从斜率角度，还可以从向量的角度，甚至可以利用射影定理的角度去进行转化，显见不同的思路其解题的长度不一样.因此，需强化的解题训练形成套路化、模式化，就能根据问题特点灵活处理.【例7】在平面直角坐标系xOy中，已知点1(F，2F ，12||||2MF MF -=，点M 的轨迹为C ．（1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【解析】（1）因为12122MF MF F F -=<=C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，4b ==，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥. （2）设点1,2T t ⎛⎫⎪⎝⎭，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点，不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1112y k x t k =+-，联立1122121616y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩，消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k ⎛⎫-+-+-+= ⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >且212x >．由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-，211221116216t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 所以，()()()()22122121121122112111111222416t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+=⎪-⎝⎭， 设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116tk TP TQ k ++⋅=-，因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，即()()()()22221222121211211616tk t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -≠，故120k k +=． 因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0．【评析】TA TB ⋅与TP TQ ⋅从弦长公式到韦达定理代入化简是破解本题的关键，从设直线方程到联立消元再到弦长公式的应用，有明晰的解题方向，形成套路化、模式化的解题训练有助于学生根据问题特点灵活处理.【建议】课堂教学时不能只是谈思路方法，应合理利用几何特征设参，分析算式结构，合理消参、降次，通过课堂师生共同演算的体验，增加实践经验，进行算法算理的指导．在涉及求有关过一点的两条斜率不同的直线的交点坐标或弦长问题时，往往只需计算其中的一类交点坐标或弦长，另一类只需等价代换的结果中的参数即可．（五）只求题型模仿，解析思想欠领悟高中解析几何既是一种重要的数学思想，也是一种重要的数学方法，其核心是“数形结合”的思想方法.由于解析几何内容的综合性，在解决问题的过程中，充满着探究性、创新性，对能力有较高的要求.解题中必然要用到思想方法引领，如函数与方程、特殊与一般、分类与整合的思想，以及待定系数法、换元法等等.【例8】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，点．若，则________．【解析】设弦AB 的中点为P ,综合题目的几何特征，直观猜测，PM 平行于x 轴，故由点差法可得124=2k y y =+，快速地给出答案为2． 【评析】本题是典型的直线与抛物线的位置关系问题，常规的解法是设方程、联立方程、用韦达定理求解套路，这势必费力费时且会算错．由于问题的特殊性，焦点弦张角为直角，借助数形结合，动中求不变解析思考，斜率为k 的平行弦的不变性，以及焦点弦张角的不变性，就能抓住问题的本质，既解决了问题，又提升了对抛物线的认识．【例9】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=(a >1)左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 方程；(2)证明：直线CD 过定点．【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ，∴(),1AG a =，(),1GB a =-， ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =，∴椭圆方程为：2219x y +=.()11M -，24C y x =：C k C A B 90AMB =︒∠k =的的（2）证明：设()06,P y ， 则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+，将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+， 所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭． 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， ∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭， 整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭，故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭. 【评析】解决本题的关键是借助数形结合，由椭圆的对称性可知定点应在x 轴上，明晰计算化简的方向．【建议】教学中要让学生意识到变化是理解解析几何问题的切入点，不变是解决解析几何问题的落脚点，对于它的探究过程主要集中在数学观察、联想、类比、猜测、抽象、概括等思维过程．解决解几具体问题时常常需要用到“数形结合”的思想方法.在解决问题的过程中，针对具体问题具体分析，跳出套路，数形结合找到解题方向.二、解决问题的思考与对策（一）回归基础，揭示本质，返璞归真解析几何思想的数学结构是由核心概念、基本方法、数学原理3个层次构成.核心概念是曲线与方程，基本方法是几何问题代数化和代数问题几何化，数学原理是映射原理(或化归原则)，其中几何问题代数化的途径是坐标法，是笛卡尔“方法论”的观念表现．【例10】若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，_____．【解析】正方形OABC 中，对角线OB 所在直线的斜率为2，建立如图直角坐标系， 设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan 2θ=，由正方形性质可知，直线OA 的倾斜角为45θ-︒，直线OB 的倾斜角为45θ+︒，故()tan tan 45211tan 451tan tan 45123OA k θθθ-︒-=-︒===+︒+，()tan tan 4521tan 4531tan tan 4512OB k θθθ+︒+=+︒===--︒-.故答案为：13；3-.【评析】本题以简单的多空形式呈现，以正方形、直线与直线的位置关系为载体，考查坐标法的基本 应用.考点虽然稍冷，却有着浓浓的解析味.解决问题的关键在于，合理建立坐标系，恰当地表征几何对象，如倾斜角的引进，以及与斜率的互化，体现了基础性、综合性和应用性.【例11】已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A. 若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B. 若m =n >0，则CC. 若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D. 若m =0，n >0，则C 是两条直线 【解析】ACD【评析】曲线方程的特征及区别是求解的关键，是解析几何的基本工具，一定要熟知．【例12】已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =【解析】（1）由题意，椭圆半焦距c =3c e a ==，所以a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213xy +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>， 当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y --=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以1212,324x x x x +=⋅=，所以MN ==所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx t kt =+<即0kx y t -+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得1=，所以221t k =+，联立2213y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x ktx t +++-=， 所以2121222633,1313kt t x x x x k k-+=-⋅=++，所以MN ==213k=+= 化简得()22310k -=，所以1k =±，所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x=y x =-，所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N，F 三点共线的充要条件是||MN =【评析】问题归结——利用椭圆焦距的定义和椭圆离心率的定义；策略突破——利用椭圆焦距的定义和椭圆离心率的定义，构建方程，转化为求2,2a c 的值或齐次方程，从而求椭圆的方程．【建议】教学中要回归基础，即是回到知识的联系、回到思想方法、回到定义和基本性质中去．对于圆锥曲线而言，即是回到定义、方程、性质去，也是解决问题的认知基础．归纳：1．定义是事物本质属性的概括和反映，圆锥曲线许多性质都是由定义派生出来的．对某些圆锥曲线问题，采用“回归定义”的策略，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，则往往能获得题目所固有的本质属性，达到准确判断、合理运算、灵活解题的目的．2．求圆锥曲线方程常用的方法有直接法、定义法、待定系数法、参数法等．用待定系数法求圆锥曲线的标准方程时，要“先定型，后计算”．所谓“定型”，是指确定类型，也就是确定椭圆、双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，抛物线的焦点是在x 轴的正半轴、负半轴，还是y 轴的正半轴、负半轴，从而设出相应的标准方程的形式；“计算”就是指运用方程思想、利用待定系数法求出方程中的a 2、b 2、p 的值（基本量法），最后代入椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．3．求椭圆或双曲线的离心率时，应该寻求三角形中的边角之间的关系，从而建立a 、c 的齐次方程（求值）或者齐次不等式（求范围）．4.证明充要条件的问题，不要只证明充分性，或只证明必要性，需注意：既要证明其充分性，又要证明其必要性.（二）弄清几何问题，选择代数方法，合理转化解析几何就是用代数方法来研究几何问题，即：几何问题→代数问题→代数结论→几何结论．所以，它的两大任务是：（1）把几何问题转化为代数问题，（2）研究代数问题，得出代数结论．【例13】设椭圆:C 2212+=x y 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1) 当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2) 设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．【解析】(1)由已知得(1,0)F ，l 的方程为1x =．由已知可得，点A 的坐标为(1,2或(1,2-．所以AM 的方程为2y x =-+2y x = （2）本题目标要研究的几何对象为角，这需要在图形中挖掘这两个角的几何特征或这个角的等价几何关系．特例情况当l 与x 轴重合时．①0OMA OMB ∠=∠=︒；②当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，将OMA OMB ∠=∠代数化，即角相等的证明可以有两个思路，即从 数量关系或几何关系来思考．为此，不妨设1221(,),(,)A y x y x B ．思路1：从图形中直线的倾斜角直接切入，由位置特征，可以将问题转化为0MA MB k k +=； 思路2：从数量关系角度看，通过向量运算去获取，淡化几何特征，直接采取坐标运算，即证；思路3：从几何角度看，问题可以转化为运用角平分线定理，现坐标化，即证11AF y AM BFy BM==；思路4:从几何角度看，在坐标几何中，构造直角三角形相似来证． 思路5：从几何角度看，视为角平分线，用点到两边的距离进行代数化． 思路6：角平分线具有对称性，故可证明点A 关于x 轴的对称点在直线BM 上． 这么多的思路，如何代数化，要不要求坐标？程序化（算术化）：即设直线方程，遵循不断求出的思路进行运算，求出点A ，B 坐标，后再计算； 结构化（关系化）：即设直线方程，找出A ，B 坐标关系（这里的策略就是通常所说的“设而不求”， 再对要证的结构关系进行推演．事实上，程序化和结构化的代数思维没有特别的优劣，它都是代数思维的重要特征，它是一个不断螺旋上升的过程，只是大家目前都喜欢用结构化的思维，忽视程序化的思维，这是不对的，对结构化思维的形成与培养也不利．另外，即便用结构化思维进行推演，在设方程上也有此许的差别，如设l 的方程为(1)y k x =-或设x my t =+，还是有讲究的．【评析】解析法的过程，充满着概念与思辩，需要大家细细品味！绝不是机械模仿能达到的． 【建议】课堂中怎样将几何问题转化为代数问题？（1）要主动去理解几何对象的本质特征；（2）善于将几何条件、几何性质用代数的形式表达出来；（3）恰当选择代数化的形式，这点是关键：一要研究具体的几何对象具有什么样的几何特征（如果几何特征不清楚，就不可能准确将其代数化），这就要在审题上下功夫；二是选择最简洁的代数形式（方便后续的代数研究），这需要大局观；（4）注意等价转化．（三）增强几何意识，配合解析工具，巧妙转化解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，结合平面几何知识，这往往能减少计算量．数学试题中很多图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解．【例14】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则PQ 的取值范围为．分析：问题归结——定直线上的动点与圆上一点距离问题；策略突破——首先要明确目标PQ 垂径定理，在等腰PCQ △与Rt PCB △中，PC 形，问题溯源，选定较为直观的几何变量AC ，构建PQ 式：2PQ PB PCA ==∠==围，计算求解，又3AC ≥，所以21109AC <≤，因此PQ 的取值范围为． 【建议】直线与圆的三种位置关系：相切，相交，相离．解决直线与圆的问题时，一方面，要运用解析几何的一般方法，即代数化方法，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系非常紧密，因此，准确地作出图形，挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．提高学生等价转化的能力——实现复杂问题简单化，陌生问题熟悉化．例如：①没有图形，不妨画个图形，以便直观思考；②“设—列—验”是求轨迹的通法；③消元转化为一元二次函数（方程），判别式，韦达定理，中点，弦长公式等要把握好；④多感悟“设—列—解”，“设”：设什么？坐标、方程、角、斜率、截距?“列”：列的前提是找等量关系，“解”：解就是转化、化简、变形，向目标靠拢；⑤紧扣题意，联系图形，数形结合；⑥一旦与自己熟悉的问题接轨立即入位．【例15】如图所示，过点（1，0）的直线与抛物线2y x =交于A 、B 线OA 和OB 分别和圆22(2)4x y -+=交于D 、E 两点，若OABODES S λ∆∆=，则λ等于A ．12B ．13C ．14D ．15【解析】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由2,(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得222(21)0k x k x k -++=，即121x x ⋅=．又11222,y x ⎪⎨=⎪⎩所以12120x x y y ⋅+⋅=，即OA OB ⊥．设直线OA ：1y k x =，直线OB ：2y k x =，则121k k ⋅=-．由21,y x y k x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得21111(,)A k k ，同理22211(,)B k k ．由221(2)4,x y y k x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩得1221144(,)11k D k k ++，同理2222244(,)11k E k k ++． 所以OA =OB =OD =，OE ． x所以221122*********(1)(1)2(1)(1)12116161642OAB ODEk k OA OBS k k k k S OD OE ∆∆++++++====≥．【建议】1．解析几何研究的对象是几何图形，善用巧用几何图形的特征，把几何特征转化为代数表示，从而缩短思维链条，简化运算过程；2．在几何图形中，利用解三角形和三角形相似等知识，转化为边角之间的关系解决解析几何问题．其中，解三角形的画图用图，体现数形结合的思想；利用角或边的关系消角（边），体现了消元的思想；用正弦、余弦定理列方程组求三角函数值，体现了方程思想．（四）重视平面解析几何中代数方法的思维训练代数的思维特征，可以概括为程序化：即有点类似于解应用题的算术思维，遵循不断求出的计算，即便引进参数，也当成假设已知，参与运算；构造性的：即有点类似于解应用题的方程思维，注重寻找关系，“设而不求”，推演求解．复习教学中，要通过恰当的事例，训练学生的代数思维，这使得解析几何的代数方法不是一招一式的技巧，而是有着行动指南的思维模式.【例16】已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4.（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值．【解析】（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，42p FM =+，所以，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =. （2）抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得2x y '=，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x xy y =-，即11220x x y y --=，同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=.由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=，所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得200240x x x y -+=. 由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，所以，AB===点P到直线AB的距离为d=，所以，()3220011422PABS AB d x y=⋅==-△，()()2222000000041441215621x y y y y y y-=-+-=---=-++，由已知可得53y-≤≤-，所以，当5y=-时，PAB△的面积取最大值321202⨯=．【评析】运算繁杂是解析几何最突出的特点．首先，解题中要指导学生克服只重视思路、轻视动手运算的缺点．运算能力差是学生普遍存在的问题，不仅在解析几何问题中要加强训练，在其它板块中也要加强训练，只有把提高学生的运算能力贯彻于教学的过程之中，才能收到较好的效果．其次，要培养学生运算的求简意识，充分发挥圆锥曲线的定义和利用平面几何知识化难为易、化繁为简的作用．【例17】过抛物线24y x=的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为1A，1B两点，以线段1A1B为直径的圆C过点(2,3)-，则圆C的方程为A．22(1)(2)2x y++-=B．22(1)(1)5x y++-=C．22(1)(1)17x y+++=D．22(1)(2)26x y+++=分析一：问题归结——确定圆的方程的基本要素：过焦点的直线AB的方程及与抛物线的交点坐标()()1122,,,A x yB x y；策略突破——圆的两个关键量的代数形式：圆心和半径，确定参变量，引入关联变量——斜率的倒数t，可设直线AB：1x ty=+；；求解过程分析：联立方程组21,4,x tyy x=+⎧⎨=⎩消元得到2440y ty--=；由韦达定理得12124,4y y t y y+==-，则()1,2C t-，直径()()2221112161A B y y t=-=+；求半径()2212-3MC t=+，由22114A B MC=得方程()()()22161412-3t t+=+，则1=2t.回归圆：圆心(1,1)C-，半径的平方25MC=，答案选B．。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面解析几何》难题汇编及答案
【最新】高中数学《平面解析几何》专题解析一、选择题1．倾斜角为45︒的直线与双曲线22214x y b-=交于不同的两点P 、Q ，且点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的焦距为（ ）A ．2B ．2C 1D 1【答案】B 【解析】 【分析】方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，可得2Rt QOF △为等腰三角形且245QOF ∠=︒，根据勾股定理及双曲线的定义可得：1c =.方法二：等腰2Rt QOF △中，可得22b QF a=，且2b c a =.又根据222b a c =-，联立可解得1c =. 【详解】方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，在等腰2Rt QOF △中，245QOF ∠=︒，则122F F c =，2QF c =，1QF =.由双曲线的定义可得：122QF QF a-=，41c c -==，，故22c =.方法二：等腰2Rt QOF △中，22bQF a=，∴2b c a=. 又222b a c =-， ∴2240c c --=，得1c =.∴22c =. 故选：B . 【点睛】本题考查双曲线的性质，解题关键是将题目条件进行转化，建立等量关系求解，属于中等题.2．设D 为椭圆2215y x +=上任意一点，A （0，－2），B （0，2），延长AD 至点P ，使得|PD|＝|BD|，则点P 的轨迹方程为（ ）A ．x 2＋（y －2）2＝20B ．x 2＋（y －2）2＝5C ．x 2＋（y ＋2）2＝20D ．x 2＋（y ＋2）2＝5【答案】C 【解析】 【分析】由题意得PA PD DA DB DA =+=+=，从而得到点P 的轨迹是以点A 为圆心，半径为 【详解】由题意得PA PD DA DB DA =+=+，又点D 为椭圆2215y x +=上任意一点，且()()0,2,0,2A B -为椭圆的两个焦点，∴DB DA +=，∴PA =∴点P 的轨迹是以点A 为圆心，半径为 ∴点P 的轨迹方程为()22220x y ++=． 故选C ． 【点睛】本题考查圆的方程的求法和椭圆的定义，解题的关键是根据椭圆的定义得到PA =然后再根据圆的定义得到所求轨迹，进而求出其方程．考查对基础知识的理解和运用，属于基础题．3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>)的左，右焦点分别为12,F F ，其右支上存在一点M ，使得210MF MF ⋅=u u u u r u u u r,直线:0l bx ay +=，若直线2//MF l 则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．2C D ．5【答案】C 【解析】 【分析】易得且1MF l ⊥，从而l 是线段1MF 的垂直平分线求出直线1MF 的方程与渐近线方程联立求出交点坐标，进而求得M 坐标，根据勾股定理即可求解离心率. 【详解】由120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v可得12MF MF ⊥易知直线:0l bx ay +=为双曲线的一条渐近线，可知l 的方程为by x a=-，且1MF l ⊥，从而l 是线段1MF 的垂直平分线，且直线1MF 的方程为()ay x c b=+设1MF ，与l 相交 于点(),N x y .由 ()a y x c b b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得2a x c aby c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即2,a ab N c c ⎛⎫-⎪⎝⎭，又()1,0F c -，由中点坐标公式，得222,.a ab M c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭由双曲线性质可得122MF MF a -=①，由12MF MF ⊥得222124MF MF c +=②，①②联立，可得2122MF MF b ⋅=所以点M 的纵坐标为2b c ，所以22b ab c c =即2b a =所以21 5.b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭故选：C 【点睛】本题考查双曲线性质的综合问题，考查数形结合思想，对于学生的数学运算和逻辑推理能力要求较高，属于一般性题目.4．直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M ，N 两点，若||3MN ≥k 的取值范围是（ ） A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】可通过将弦长转化为弦心距问题，结合点到直线距离公式和勾股定理进行求解 【详解】如图所示，设弦MN 中点为D ，圆心C(3,2),330y kx kx y =+⇒-+=Q∴弦心距222(1)1CD k k ==+-+，又2||23||33MN DN DN 厖?，∴由勾股定理可得222222231DN CN CD k ⎛⎫=-=-+…，222231|31|1(31)1(43)0041k k k k k k k k ⇒++++⇒+⇒-+剟剟答案选A 【点睛】圆与直线的位置关系解题思路常从两点入手：弦心距、勾股定理。
(易错题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试题(答案解析)
一、选择题1．已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为抛物线C 的焦点.若4FA FB =，则k =（ ）A ．45B C ．23D 2．已知椭圆221124y x +=，圆22:4O x y +=，过椭圆上任一与顶点不重合的点G 引圆的两条切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，则2231OMON+=（ ）A ．54 B ．45C ．43D ．343．设直线l 与圆C ：22(2)3x y -+=相切于N ，与抛物线22(0)y px p =>交于,A B 两点，且N 是线段AB 的中点，若直线l 有且只有4条，则p 的取值范围是（ ）A ．B ．(1,3)C ．(0,3)D ．4．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是侧面11BCC B 内一点，且点P 满足到平面11ABB A 的距离等于到点1C 的距离，则点P 的轨迹是（ ）A ．一条线段B ．圆的一部分C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分5．已知F 是抛物线2:4E y x =的焦点，若直线l 过点F ，且与抛物线E 交于B ，C 两点，以BC 为直径作圆，圆心为A ，设圆A 与y 轴交于点M ，N ，则MAN ∠的取值范围是（ ）A ．20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，O 为坐标原点，以F 为圆心，FO 为半径的圆与C 交于,A B 两点.若55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，则C 的离心率取值范围为（ ）A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(C ．5,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．7．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点D ⎛ ⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为（ ）A ．2B ．52C ．3D ．728．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，直线:l y kx =与C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆过点F ，若C 上存在点P 满足4=BP BF ，则C 的离心率为（ ） A ．3B ．102C ．5D ．109．设抛物线2:4(0)C x y p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线C 于,M N 两点，交l 于点P ，且PF FM =，则||MN =（ ）A ．2B ．83C ．5D ．16310．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2623⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．22223⎛ ⎝⎭D ．332,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭11．已知直线l 的方程为1y kx =-，双曲线C 的方程为221x y -=.若直线l 与双曲线C 的右支相交于不同的两点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(2,2)B ．2)C ．[2,2]D ．2)12．已知点P 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，点()2,0A a ，当PA 最小时，点P不在顶点位置，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．)2,+∞B ．)2,⎡+∞⎣C ．(2D ．(2⎤⎦二、填空题13．设F 是抛物线2:2C y x =的焦点，A 、B 是抛物线C 上两个不同的点，若直线AB 恰好经过焦点F ，则4AF BF +的最小值为_______．14．已知椭圆22:12x C y +=的左焦点为F ，椭圆外一点(0,)(1)P t t >，直线PF 交椭圆于A 、B 两点，过P 作椭圆C 的切线，切点为E ，若23||4||||PE PA PB =⋅，则t =____________．15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、焦点为1F 、2F ，点P 为双曲线C 的渐近线上一点，120PF PF ⋅=，若直线1PF 与圆222x y a +=相切，则双曲线C 的离心率为___________.16．在双曲线22221x y a b-=上有一点P ，12,F F 分别为该双曲线的左、右焦点，121290,F PF F PF ∠=︒的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是_______.17．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0a >，0b >)的两条渐近线与直线1x =-所围成的三角形的面积为4，则双曲线C 的离心率为________.18．已知P 为椭圆22143x y +=上一点，1F 、2F 是焦点，1260F PF ∠=︒，则12F PF S =△______．19．对抛物线C ：24x y =，有下列命题：①设直线l ：1y kx =+，则直线l 被抛物线C 所截得的最短弦长为4；②已知直线l ：1y kx =+交抛物线C 于A 、B 两点，则以AB 为直径的圆一定与抛物线的准线相切；③过点()()2,P t t R ∈与抛物线有且只有一个交点的直线有1条或3条；④若抛物线C 的焦点为F ，抛物线上一点()2,1Q 和抛物线内一点()()2,1R m m >，过点Q 作抛物线的切线1l ，直线2l 过点Q 且与1l 垂直，则2l 平分RQF ∠；其中你认为是正确命题的所有命题的序号是______.20．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为椭圆的右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的最大值为______．三、解答题21．（1）已知等轴双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上顶点到一条渐近线的距离为1，求此双曲线的方程；（2）已知抛物线24y x =的焦点为F ，设过焦点F 且倾斜角为45︒的直线l 交抛物线于A ，B 两点，求线段AB 的长．22．已知抛物线()2:20C y px p =>过点()4,4-，直线2y x m =-+与抛物线C 相交于不同两点A 、B .（1）求实数m 的取值范围；（2）若AB 中点的横坐标为1，求以AB 为直径的圆的方程.23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2，离心率为12．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点,Q P ，与椭圆分别交于点,M N ，各点均不重合且满足,PM MQ PN NQ λμ==．若4λμ+=-，证明：直线l 恒过定点．24．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若C 过点31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，且124AF AF +=. （1）求C 的方程；（2）过点2F 且斜率为1的直线与C 交于点M 、N ，求OMN 的面积.25．已知抛物线24C y x =：的交点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点 （1）当直线l 的倾斜角为135°时，求AB（2）若过点P （1,2）的直线m 与抛物线C 相切，且直线//m 直线l ，求直线l 的方程 26．已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上， 且|AF |＝3.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】 设10m k=>，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则直线AB 的方程可表示为2x my =-，将直线AB 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，由4FA FB =可得出124y y =，代入韦达定理求出正数m 的值，即可求得k 的值.【详解】 设10m k=>，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则直线AB 的方程可表示为2x my =-，联立228x my y x=-⎧⎨=⎩，整理得28160y my -+=，264640m ∆=->，0m >，解得1m .由韦达定理可得128y y m +=，1216y y =，由4FA FB =得()12242x x +=+，即124my my =，124y y ∴=，12258y y y m ∴+==，可得285m y =，则22122844165m y y y ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 0m >，解得54m =，因此，145k m ==. 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.2．D解析：D 【分析】设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y ，则可得切线,GP GQ 的方程，即可得到直线PQ 的方程，进而可求出点点,M N 的坐标，再结椭圆方程可求出2231OMON+的值【详解】解：设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y ，则切线GP 的方程为114x x y y +=，切线GQ 的方程为224x x y y +=， 因为点G 在切线,GP GQ 上，所以13134x x y y +=，23234x x y y +=， 所以直线PQ 的方程为334x x y y +=， 所以3344(,0),(0,)M N x y ， 因为点33(,)G x y 在椭圆221124y x+=上，所以2233312x y +=，所以22223333223311123(3)161616164x y x y OM ON+=+=+==， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的标准方程，以及简单性质有应用，解题的关键是设点33(,)G x y ，再由已知条件得到直线PQ 的方程为334x x y y +=，从而可得,M N 的坐标，进而可得答案，考查计算能力和转化能力，属于中档题3．B解析：B 【分析】根据l 有且只有4条，易知直线l 的斜率不存在时，有两条，得到直线l 斜率存在时，有两条，根据N 是线段AB 的中点，利用点差法得到0ky p =，再根据直线l 与圆C ：22(2)3x y -+=相切于N ，得到0012y x k=--，结合得到02x p =-，2203y p =-再根据点N 在抛物线内部求解. 【详解】设()()()112200,,,,,A x y B x y N x y ， 因为l 有且只有4条，当直线l的斜率不存在时，有两条，即2=±x 所以直线l 斜率存在时，有两条， 因为AB 在抛物线上，所以21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，两式相减得()2212122y y p x x -=-，因为N 是线段AB 的中点， 所以1202y y y +=， 所以12121202y y p pk x x y y y -===-+， 即0ky p =，因为直线l 与圆C ：22(2)3x y -+=相切于N ， 所以0012y x k=--，即002x ky p -=-=-， 所以02x p =-，代入抛物线22y px =，得()222y p p =-，因为点N 在抛物线内部，所以()2022y p p <-，因为点N 在圆上，所以2200(2)3x y -+=，即2203p y +=， 所以2203y p =-，所以()220322y p p p =-<-，即2430p p -+<，解得13p <<， 故选：B 【点睛】方法点睛：解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．4．D解析：D 【分析】由题意画出图形，可知点P 到直线BC 的距离与点P 到点1C 的距离相等， 所以点P 的轨迹为以1C 为焦点，以1BB 为准线的抛物线． 【详解】如图，点P 是侧面11BCC B 内的一动点，点P 到直线1BB 的距离即为点P 到面11ABB A 的距离， 因为点P 到直线BC 的距离与点P 到点1C 的距离相等， 所以点P 的轨迹为以1C 为焦点，以1BB 为准线的抛物线， 故选：D ． 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方法之定义法：将动点轨迹化归为某一基本轨迹（圆，椭圆，双曲线，抛物线等），然后利用基本轨迹的定义，直接写出方程.5．B解析：B 【分析】设设()11,B x y ，()22,C x y BC 的中点()00,A x y ，直线l ：()1y k x =-与 2:4E y x =联立可得()2222240k x k x k -++=，由韦达定理计算12x x +，12x x ，再求以BC 为直径作圆的半径12r BC =，求出圆心A 点横坐标，设MN 的中点为D ，则12MAD MAN ∠=∠，由圆的性质可得0cos x MAD r∠=并求出其范围，进而可得MAD ∠的范围，再讨论斜率不存在时MAD ∠的值，即可求解. 【详解】由抛物线2:4E y x =可知，焦点()1,0F ，设()11,B x y ，()22,C x y BC 的中点()00,A x y 设直线l ：()1y k x =-代入2:4E y x =可得()2222240k x k x k -++=，所以212224k x x k++= ，121=x x ()()22222121212241612444k k x x x x x x k k +⎛⎫+-=+-=-= ⎪⎝⎭，()()()2222212416111k BC k x x k k+=+-=+⨯，所以()2241k BC k +=，以BC 为直径作圆的半径()222112k r BC k+==，圆心为BC 的中点()20122122k x x x k+=+=， 设MN 的中点为D ，则12MAD MAN ∠=∠， 则()()()22202222221111cos 1222212121k x k k MAD r k k k k ++∠====+<+=+++ 且1cos 2MAD ∠>，所以03MAD π<∠<， 当k 不存在时，1,2x y ==±，此时2r ，01x =，1cos 2MAD ∠=，3MAD π∠=，所以03MAD π<∠≤可得203MAN π<∠≤， 所以MAN ∠的取值范围是20,3π⎛⎤⎥⎝⎦故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是联立直线与抛物线的方程，求出圆的半径和圆心坐标，由圆的性质知圆心与弦中点的连线与弦垂直可求出12MAN ∠的范围，进而可计算MAN ∠的范围.6．A解析：A 【分析】根据题意写出,,''AF AF FF ，根据余弦定理表示出cos ∠OFA ，然后根据55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,列出关于e 的不等式，求解范围.【详解】取右焦点F '，连接AF '，因为点A 为圆和双曲线的交点，所以AF OF c ==，则22,2''=+=+=AF AF a c a FF c ，所以22222222224(2)444cos 244''+-+-+--∠==='AF FF AF c c c a c ac a OFA AF FF c c 221111⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭a a c c e e，又因为55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，所以251151169-≤--≤e e ，即2249902116160e e e e ⎧--≤⎨--≥⎩，解得433≤≤e . 故选：A.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222b c a =-转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．7．B解析：B 【分析】利用抛物线的定义，把P 到y 轴的距离转化为1||2PF -,利用几何法求最值 【详解】抛物线22y x =的焦点1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,准线1:2l x =-，如图示：过P 作PP 1⊥y 轴于P 1,作PP 2⊥l于P 2,则211||||2PP PP -= 所以点P 到点332D ⎛ ⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和为 1211||||||||||||22PD PP PD PP PD PF +=+-=+- 由图示，易知，当P 落在Q 时，DPF 三点共线，||||||PD PF DF +=, 其他位置，都有||||||PD PF DF +> 所以点P 到点332D ⎛⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为： 221111335||||||||||2022222PD PP PD PF DF ⎛⎫⎛⎫+=+-≥-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当D 、P 、F 三点共线时取最小值. 故选：B 【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．8．B解析：B 【分析】由题意设()00,B x y ，(c,0)F ，(,)P m n ，则()00,A x y --，求出BP ，AF ，BF 的坐标，根据4=BP BF 得到,m n ，由点F 在圆上得到22200=+c x y ，把点P ，B 坐标代入双曲线方程联立，可得答案. 【详解】由题意设()00,B x y ，(c,0)F ，(,)P m n ，则()00,A x y --，()00,=--BP m x n y ，()00,=+AF c x y ，()00,=--BF c x y ． 4=BP BF ，()000044,c x m x y n y ⎧-=-∴⎨-=-⎩，00433m c x n y =-⎧⎨=-⎩． 以AB 为直径的圆过点F ，()()00,,0AF BF c x y c x y ∴⋅=+⋅--=，即22200=+c x y ①，点P ，B 均在双曲线上，2200221x y a b ∴-=②，()()2200224331---=c x y a b ③．②-③整理得()()2000222--=-c x x c y a b ，将22200=-y c x 代入，整理得()22220223-=c a x c，于是()22222200233-=-=b a c y c x c ，最后将20x ，20y 代入双曲线方程，整理得22410c a =，所以2e ==． 故选：B. 【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系、圆的有关性质及与向量的结合，关键点是利用4=BP BF 和AF BF ⋅得到点之间的关系，考查了学生分析问题、解决问题的能力.9．D解析：D 【分析】由题意作出MD 垂直于准线l ，然后得2PM MD =，得30∠=︒DPM ，写出直线方程，联立方程组，得关于y 的一元二次方程，写出韦达定理，代入焦点弦公式计算. 【详解】如图，过点M 做MD 垂直于准线l ，由抛物线定义得MF MD =，因为PF FM =，所以2PM MD =，所以30∠=︒DPM ，则直线MN方程为1)x y =-，联立21)4x y x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，，消去x 得，231030y y -+=，设()()1122,,,M x y N x y ，所以121210,13y y y y +==，得121016||2233MN y y =++=+=. 故选：D.【点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12||=++AB x x p 或12||=++AB y y p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．10．B解析：B 【分析】由题意设椭圆的左焦点为N ，连接AN ，BN ，因为AF ⊥BF ，所以四边形AFBN 为长方形，再根据椭圆的定义化简得22cos 2sin a c c ＝＋αα，得到离心率关于α的函数表达式，再利用辅助角公式和三角函数的单调性求得离心率的范围. 【详解】由题意椭圆22221x y a b+=()00a b >>，上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为N ，连接AN ，BN ，因为AF ⊥BF ，所以四边形AFBN 为长方形．根据椭圆的定义：2AF AN a +=，由题∠ABF ＝α，则∠ANF ＝α， 所以22cos 2sin a c c αα+＝， 利用2112sin cos 24c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴342πππα<+<，124πα<<⎛⎫+ ⎪⎝⎭e 的取值范围是2⎛ ⎝⎭， 故选B . 【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的取值范围问题，其中解答中合理利用椭圆的定义和题设条件，得到22cos 2sin a c c ＝＋αα,再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.11．D解析：D 【分析】联立直线方程1y kx =-和双曲线方程221x y -=，化为22(12)20k x kx --=+，由于直线1y kx =-与双曲线221x y -=的右支交于不同两点，可得210k -≠，由2248(1)0k k ∆=+->，1k <，解得即可【详解】解：联立直线方程1y kx =-和双曲线方程221x y -=，化为22(12)20k x kx --=+， 因为直线1y kx =-与双曲线221x y -=的右支交于不同两点， 所以210k -≠，且2248(1)0k k ∆=+->，1k <，解得1k <<，所以实数k 的取值范围为， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是直线方程和双曲线方程联立方程组，消元后结合题意可得2248(1)0k k ∆=+->，1k <，从而可得答案12．C解析：C 【分析】把P 的坐标表示出来，PA 转化为二次函数，利用二次函数最值取得条件求离心率的范围． 【详解】 设00(,)P x y ，则||PA ==又∵点P 在双曲线上，∴2200221x y a b -=，即2222002b x y b a=-，∴||PA ===．当PA 最小时，0224202a ax e e -=-=>． 又点P 不在顶点位置，∴22aa e>，∴22e <，∴e < ∵双曲线离心率1e >，∴1e <<故选：C ． 【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．二、填空题13．【分析】设点设直线的方程为联立直线与抛物线的方程列出韦达定理推导出利用基本不等式可求得的最小值【详解】若直线与轴重合则直线与抛物线只有一个交点不合乎题意易知抛物线的焦点为准线方程为设点设直线的方程为解析：92【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为12x my =+，联立直线AB 与抛物线C 的方程，列出韦达定理，推导出112AF BF+=，利用基本不等式可求得4AF BF +的最小值. 【详解】若直线AB 与x 轴重合，则直线AB 与抛物线C 只有一个交点，不合乎题意.易知抛物线C 的焦点为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为12x =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为12x my =+，联立2122x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得2210y my --=，2440m ∆=+>，由韦达定理可得122y y m +=，121y y =-，()()()12121212211111*********m y y AF BF my my my my x x +++=+=+=++++++()()21222212122222121m y y m m y y m y y m m +++===+++-++， ()4111144522AF BF AF BF AF BF AF BF BF AF ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19522⎛≥+= ⎝， 当且仅当2AF BF =时，等号成立，因此，4AF BF +的最小值为92. 故答案为：92. 【点睛】结论点睛：过抛物线的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，则112AF BF p+=. 14．【分析】设交点由两点得直线方程由直线方程与椭圆方程联立消去后应用韦达定理得可计算代入在上半椭圆用函数解析式表示出上半椭圆并求导数设切点为求出切线方程切点坐标可用表示从而求得代入已知等式后求得值【详解解析：2【分析】设交点1122(,),(,)A x y B x y ，由两点得直线PF 方程，由直线方程与椭圆方程联立，消去后应用韦达定理得1212,x x x x +，可计算PA PB ，代入1212,x x x x +，P 在上半椭圆，用函数解析式表示出上半椭圆，并求导数，设切点为11(,)x y ，求出切线方程，切点坐标可用t 表示，从而求得2PE ，代入已知等式后求得t 值． 【详解】由题意(1,0)F -，直线AB 方程为00(1)t y x t tx t -=+=+--，设1122(,),(,)A x y B x y ，由2212y tx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(12)4220t x t x t +++-=，2122412t x x t +=-+，21222212t x x t-=+， ∵,PA PB 同向，∴11221212(,)(,)()()PA PB PA PB x y t x y t x x y t y t =⋅=-⋅-=+--22211221222(1)(1)(,)(,)(1)21t t x tx x tx t x x t +-⋅=+=+， 设11(,)E x y ，过E 点的切线方程为11()y y k x x -=-，1t >，切点E 在x轴上方，由y =2xy y '==-，∴112PE xk y =-，切线方程为1111()2x y y x x y -=--，化简得1122x x y y +=， 直线过(0,)P t ，则122y t =，11y t =，由椭圆方程得21222x t=-， 222211221()2()PE x y t t t t=+-=-+-， ∵23||4||||PE PA PB =⋅，∴22222218(1)(1)32()21t t t t t t +-⎡⎤-+-=⎢⎥+⎣⎦，化简得223t =，∵1t >，∴t =故答案为：2． 【点睛】 关键点点睛：本题考查直线与椭圆相交、相切问题，解题方法是设而不求的思想方程，即设交点1122(,),(,)x y x y ，由直线方程与椭圆方程联立，消去后应用韦达定理得1212,x x x x +，然后计算PA PB ，设切点坐标，用导数求出切线斜率，得切线方程，代入坐标(0,)t 可求得切点坐标（用t 表示），求出2PE ，再结合已知条件求出结果．15．【分析】作出图形设与圆相切于点分析出可求得的值进而可得出双曲线的离心率为即可得解【详解】如下图所示设与圆相切于点则则则为的中点则为的中点由直角三角形的性质可得因为为的中点则由于双曲线的两渐近线关于轴 解析：2【分析】作出图形，设1PF 与圆222x y a +=相切于点E ，分析出23POF π∠=，可求得ba的值，进而可得出双曲线C 的离心率为21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可得解. 【详解】如下图所示，设1PF 与圆222x y a +=相切于点E ，则OE a =，120PF PF ⋅=，则12PF PF ⊥，1OE PF ⊥，则2//OE PF ， O 为12F F 的中点，则E 为1PF 的中点，222PF OE a ∴==，由直角三角形的性质可得1OF OP =，因为E 为1PF 的中点，则1EOF POE ∠=∠， 由于双曲线的两渐近线关于y 轴对称，可得21POF EOF ∠=∠，所以，12EOF POE POF ∠=∠=∠，则1223EOF POE POF POF π∠+∠+∠=∠=， 所以，23POF π∠=，则tan 33b a π==， 因此，双曲线C 的离心率为22222212c c a b b e a a a a +⎛⎫====+= ⎪⎝⎭. 故答案为：2. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.16．5【分析】首先根据双曲线的定义和等差数列的形式可设的三边长表示为最后根据勾股定理得到根据齐次方程求解离心率【详解】设并且的三边成等差数列最长的边为则三边长表示为又整理为两边同时除以得解得：或（舍）所解析：5【分析】首先根据双曲线的定义和等差数列的形式，可设12PF F △的三边长表示为24,22,2c a c a c --，最后根据勾股定理得到22650c ac a -+=，根据齐次方程求解离心率. 【详解】设12PF PF >，并且122PF PF a -=，12PF F △的三边成等差数列，最长的边为2c ，则三边长表示为24,22,2c a c a c --， 又1290F PF ∠=，()()22224224c a c a c ∴-+-=，整理为22650c ac a -+=，两边同时除以2a 得，2650e e -+=，解得：5e =或1e =（舍），所以双曲线的离心率是5. 故答案为：5 【点睛】方法点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系的综合问题，求离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.17．【分析】求出双曲线的渐近线方程求解时的值然后求解三角形的面积推出离心率即可【详解】双曲线的渐近线方程为将代入中解得故故故双曲线的离心率故答案为：【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率常用的方法有：（1【分析】求出双曲线的渐近线方程，求解1x =-时，y 的值，然后求解三角形的面积，推出离心率即可． 【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，将1x =-代入b y x a =±中，解得by a=±， 故12142ba =，故4b a=，故双曲线C 的离心率c e a ===．【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出,a c 的值再代离心率的公式求解）；（2）方程法（根据已知找到关于离心率的方程再解方程得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.18．【分析】利用余弦定理以及椭圆的定义可得再由三角形面积公式计算可得结果【详解】由已知得所以从而在中即①由椭圆的定义得即②由①②得所以故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查椭圆的定义考查余弦定理的应用三角【分析】利用余弦定理以及椭圆的定义可得124PF PF ⋅=，再由三角形面积公式计算可得结果. 【详解】由已知得2a =，b =1c ==，从而1222F F c ==，在12F PF △中，2221212122cos60F F PF PF PF PF ︒=+-⋅，即2212124PF PF PF PF =+-⋅，① 由椭圆的定义得124PF PF +=， 即221212162PF PF PF PF +=+⋅，② 由①②得124PF PF ⋅=，所以12121sin 602F PF S PF PF ︒=⋅=△【点睛】方法点睛：本题考查椭圆的定义，考查余弦定理的应用、三角形面积公式，对于焦点三角形面积问题，一是结合余弦定理和面积公式，二是利用椭圆定义可得解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.19．①②④【分析】①将抛物线与直线联立消去利用根与系数关系求出再由弦长公式即可求出弦长进而可求出弦长的最小值即可判断①的正误；②利用中点坐标公式求出以为直径的圆的圆心的纵坐标判断圆心到直线的距离与半径的解析：①②④ 【分析】①将抛物线与直线联立消去y ，利用根与系数关系求出12x x +，12x x ，再由弦长公式即可求出弦长，进而可求出弦长的最小值，即可判断①的正误；②利用中点坐标公式，求出以AB 为直径的圆的圆心的纵坐标，判断圆心到直线的距离121y y ++与半径||2AB r =的大小关系，即可判断②的正误； ③将2x =代入24x y =，可得()2,1P 在抛物线上，此时当直线的斜率不存在时，只有一个交点，当直线与抛物线相切时，也只有一个交点，故与抛物线只有一个交点的直线有可能有2条，可判断③错误；④设1l 的方程为()12y k x -=-，将直线与抛物线联立消去y ，利用判别式即可求出k ，进而可求出直线1l 的倾斜角，即可判断④的正误. 【详解】①联立方程241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，消去y 可得2440x kx --=，216160k ∆=+>恒成立，设两交点坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ， 所以由根与系数的关系得124x x k +=，124x x ⋅=-，故AB ==2444k =+≥，当0k =时，AB 取得最小值4，所以最短弦长为4，故①正确，②由①可知124x x k +=，则21212242y y kx kx k +=++=+，故以AB 为直径的圆的圆心坐标为()22,21k k +，半径2222ABr k ==+， 抛物线24x y =的准线方程为1y =-，故圆心到准线1y =-的距离2221122d k k r =++=+=， 所以以AB 为直径的圆一定与抛物线的准线相切，故②正确，③将2x =代入24x y =，解得1y =，所以当1t =时，即()2,1P 在抛物线上， 当直线的斜率不存在时，方程为2x =，此时只有一个交点()2,1，当直线斜率存在且只与抛物线只有一个交点时，当且仅当该直线为切线时满足条件， 所以过点()2,P t 只与抛物线只有一个交点的直线有可能有2条，故③错误， ④因为抛物线的焦点为()0,1F ，又()2,1Q ，()2,R m ， 所以三角形FQR 为直角三角形且过()2,1Q 的切线斜率一定存在， 设1l 的方程为()12y k x -=-，代入24x y =，可得24840x k k -+-=，由()2164840k k ∆=--=可得1k =，即直线1l 的倾斜角为45︒，因为直线2l 过点Q 且与1l 垂直，所以一定平分RQF ∠，故④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】思路点睛：直线与抛物线交点问题的解题思路：(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组； (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．20．【分析】设左焦点为根据椭圆的定义有且O 是直角三角形斜边的中点所以离心率由角的范围可求得离心率的最大值【详解】因为关于原点对称所以B 也在椭圆上设左焦点为根据椭圆的定义：又因为所以O 是直角三角形斜边的中【分析】设左焦点为F '，根据椭圆的定义有，||||2AF BF a +=，且O 是直角三角形ABF 斜边的中点，所以||2,||2sin ,||2cos AB c AF c BF c αα===，离心率11sin cos 4c a πααα==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由角的范围可求得离心率的最大值. 【详解】因为,B A 关于原点对称，所以B 也在椭圆上，设左焦点为F '，根据椭圆的定义：||2AF AF a '+=，又因为||BF AF '=，所以||||2AF BF a +=，O 是直角三角形ABF 斜边的中点，所以||2,||2sin ,||2cos AB c AF c BF c αα===，所以2(sin cos )2c a αα+=，所以11sin cos 4c a πααα==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 由于,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当12πα=,故答案为：3. 【点睛】关键点点睛：求椭圆的离心率关键在于由椭圆的定义，善于利用平面几何中的边、角关系建立关于,,a b c 的等式或不等式.三、解答题21．（1）22122y x -=；（2）8.【分析】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为0y x +=，再由点到直线距离公式求解即可； （2）求得直线方程代入抛物线，结合焦点弦长求解即可. 【详解】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为0y x +=，且顶点(0,)a 到渐近线的距离为1，可得1a b =⎧=，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩22122y x -=（2）抛物线24y x =的焦点为(1,0)F直线l 的方程为0tan 45(1)y x -=︒⋅-，即1y x =-．与抛物线方程联立，得214y x y x =-⎧⎨=⎩，消y ，整理得2610x x -+=，设其两根为1x ，2x ，且126x x +=．由抛物线的定义可知，12||628AB x x p =++=+=． 所以，线段AB 的长是8． 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 22．（1）1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（2）()()2215114x y -++=.【分析】（1）将点()4,4-的坐标代入抛物线C 的方程，求出p 的值，可得出抛物线C 的方程，再将直线2y x m =-+的方程与抛物线C 的方程联立，利用0∆>可求得实数m 的取值范围；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，列出韦达定理，由线段AB 的中点的横坐标可求得m 的值，可求得线段AB 的中点坐标，利用弦长公式可求得AB ，进而可求得以线段AB 为直径的圆的方程. 【详解】（1）将点()4,4-的坐标代入抛物线C 的方程，可得()28416p =-=，解得2p =，所以，抛物线C 的方程为24y x =，联立224y x m y x=-+⎧⎨=⎩，整理可得()224440x m x m -++=，由已知条件可得()22441632160m m m ∆=+-=+>，解得12m >-， 因此，实数m 的取值范围是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭； （2）设()11,A x y 、()22,B x y ，由韦达定理可得121x x m +=+，2124m x x =，由于AB 中点的横坐标为1，则1212x x m +=+=，解得1m =，1214x x ∴=， 由弦长公式可得12AB x x =-===，所以，所求圆的圆心坐标为()1,1- 因此，以AB 为直径的圆的方程为()()2215114x y -++=. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.23．（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意可得122,2c c a ==，再由222b a c =-求出b 的值，从而可得椭圆C 的标准方程；（2）设()()(0,),(,0)(0),,,,M M N N P p Q q q M x y N x y >，从而得()()()(),,,,,,,M M M M N N N N PM x y p MQ q x y PN x y p NQ q x y =-=--=-=--，然后由,PM MQ PN NQ λμ==，可得()222312244120q p λλ--+-=和()222312244120qp μμ--+-=，由此可知,λμ为方程()222312244120q x x p --+-=的两不相等实数根，所以有2244312q λμ+==--，可求出q 的值，从而可得答案 【详解】（1）依题意，22,1c c =∴=．由12c a =，得2,a b =∴= 故椭圆方程为22143x y +=．（2）设()()(0,),(,0)(0),,,,M M N N P p Q q q M x y N x y >，()()()(),,,,,,,M M M M N N N N PM x y p MQ q x y PN x y p NQ q x y ∴=-=--=-=--．由PM MQ λ=，得()()M M M M x q x y p y λλ⎧=-⎪⎨-=-⎪⎩，11M M q x p y λλλ⎧=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩．∵点M 在椭圆上，2211143q p λλλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴+=，整理得()222312244120qp λλ--+-=．同理，由PN NQ μ=可得()222312244120q p μμ--+-=．,λμ∴为方程()222312244120q x x p --+-=的两不相等实数根，2244312q λμ∴+==--． 22q ∴=．又0,q q >∴=∴直线l恒过定点Q ．【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是由,PM MQ PN NQ λμ==，得到()222312244120q p λλ--+-=和()222312244120q p μμ--+-=，从而有,λμ为方程()222312244120qx x p --+-=的两不相等实数根，再利用根与系数的关系可得答案，考查数学转化思想，属于中档题24．（1）22143x y +=；（2）7. 【分析】（1）利用椭圆的定义可求出a 的值，将点A 的坐标代入椭圆C 的方程，求出2b 的值，进而可得出椭圆C 的方程；（2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，写出直线MN 的方程，联立直线MN 与椭圆C 的方程，列出韦达定理，利用三角形的面积公式结合韦达定理可求得OMN 的面积. 【详解】（1）由椭圆的定义可得1224AF AF a +==，可得2a =，椭圆C 的方程为22214x y b+=， 将点A 的坐标代入椭圆C 的方程可得291414b +=，解得23b =，因此，椭圆C 的方程为22143x y +=；。
高中数学易错题精选
[ 错解 ] Sn n
[错解分析 ] 没有对 Sn 仔细分析 ,其为算术平均数 , [正解 ] n c1c2 cn n
2 ．一种产品的年产量第一年为
a 件，第二年比第一年增长 p1 ﹪，第三年比第二年增长
p2 ﹪，且
p1 0, p2 0, p1 p2 2 p ，若年平均增长 x ﹪，则有 x ___ p (填 或 或= )
(A) (0 ，＋ )
(B) [0 ，＋ )
1 (C) ( 3 ，＋ )
1 (D) [ 3 ，＋ )
错解：选 C
原因：令 f ' ( x ) 0 解得，漏 f ' ( x ) 0 ，所以选（ D）
2. 已知 f (x) = x3－ ax2 ＋ (a＋ 6)x＋ 5 有极大值和极小值，则 a 的取值范围是
2
5 、已知 x1, x 2 是方程 x
(k
2) x
2
(k
3k 5)
0(k
2
R) 的两个实根，则 x1
2
x 2 的最大值为
（
）
A、 18
答案： A
错因： x12
B、 19
5 C、 5
9
D 、不存在
错选： B
x22 化简后是关于 k 的二次函数，它的最值依赖于
学习必备
0 所得的 k 的范围。
6、如果方程（ x-1）(x 2-2x＋ m)=0 的三个根可以作为一个三角形的三条边长，
高中数学错题精选一： 三角部分
1．△ ABC 中，已知 cosA= 5 ， sinB= 3 ，则 cosC 的值为（
13
5
16 A、
65
56 B、
65
C、 16 或 56 65 65
高中数学解析几何答题全攻略
高中数学解析几何答题全攻略解析几何由于形式复杂多样，一直是难于解决的问题，很多同学对于解析几何的把握还差很多，很多同学对此知识点提出了相应的问题。
对此清华附中数学老师有针对性的回答了同学们的共性问题。
下面是对本次答疑情况的汇总，希望对大家学习数学尤其是解析几何部分有所帮助。
1考试时间分配问题1：老师我怎么这么短时间内做几道题通解一类题目呢？解析几何也有不少类型题老师：理解的基础上去做，不要单纯的套公式，做题一定要保证真的会了，而不是只追求数量。
如果感觉自己的水平没有提高，那么问问自己错题有没有好好整理，有没有盖住答案重新做过，再做的时候能不能保证很快的就有思路，之前出过的问题有没有及时得到解决？总之刷题不能埋头死刷，要有总结和反思。
如果都做到了，考试还是没有好成绩，那么看看是不是考试时过于紧张，这个时候心态也很重要！问题2：错题也有很多呀，怎么从错题那里去帮助学习数学呀？都抄几遍和看几遍吗？很多呀！该怎么办呢？老师：对待错题，不要抄也不要只是看，当做新题重新做一遍，有时候一道题我们直接去看答案，总是发现不了问题，我建议把错题的题目直接汇编在一起，不要有答案，每隔一段时间都重新做一下，如果做题的过程很肯定，没有模糊的地方，这道题才可以过。
这个过程比做新题更重要。
问题3：老师我数学只有三四十分马上高考该从哪里开始复习分数会提高呢？老师：简单的题目模块比如复数、集合、线性规划、程序框图、三角函数与解三角形、简单的等差等比数列以及立体几何等，还有导数和圆锥曲线的第一问，找出前几年的高考题，看看都考了哪些简单模块，一个模块练几十道，绝对会有效果的，别放弃，只要努力一定能看到进步！问题4：三视图怎么想也想不出来！有什么好的办法呀！老师！救救我老师：平时见到三视图的题目无论问什么，都是去画他的立体图形，训练自己。
如果考试时真的想不出来了，那么看看能不能判断出这个图形是什么，比如正视图和侧视图都只有一个最高顶点，那么基本可以判断这是一个椎体，如果是求体积的题目，直接底面积乘以高除以3就可以了，但是这个方法不是所有题目都适用。
2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第8讲曲线与方程练习(含解析)(最新整理)
第8讲曲线与方程一、选择题1。
方程（2x＋3y－1)（错误!－1）＝0表示的曲线是（)A。
两条直线 B.两条射线C.两条线段D。
一条直线和一条射线解析原方程可化为错误!或错误!－1＝0,即2x＋3y－1＝0（x≥3）或x＝4,故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线.答案D2。
（2017·衡水模拟）若方程x2＋y2a＝1（a是常数)，则下列结论正确的是（)A.任意实数a方程表示椭圆B。
存在实数a方程表示椭圆C。
任意实数a方程表示双曲线 D.存在实数a方程表示抛物线解析当a>0且a≠1时,方程表示椭圆，故选B。
答案B3。
(2017·长春模拟)设圆（x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A（1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点。
线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )A。
错误!－错误!＝1 B。
错误!＋错误!＝1C.错误!－错误!＝1 D。
错误!＋错误!＝1解析∵M为AQ的垂直平分线上一点，则｜AM｜＝｜MQ｜,∴|MC｜＋|MA|＝｜MC｜＋|MQ｜＝|CQ|＝5，故M的轨迹是以定点C,A为焦点的椭圆。
∴a＝52，∴c＝1，则b2＝a2－c2＝214，∴M的轨迹方程为错误!＋错误!＝1。
答案D4.设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是（）A。
y2＝2x B。
(x－1）2＋y2＝4C。
y2＝－2x D。
(x－1）2＋y2＝2解析如图,设P（x，y），圆心为M（1,0）,连接MA，则MA⊥PA，且｜MA｜＝1，又∵｜PA｜＝1，∴|PM｜＝|MA｜2＋|PA｜2＝2,即｜PM｜2＝2，∴（x－1）2＋y2＝2.答案D5.平面直角坐标系中，已知两点A（3,1），B（－1，3），若点C满足错误!＝λ1错误!＋λ2 OB→(O为原点)，其中λ，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是（)1A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线解析设C（x,y)，因为错误!＝λ1错误!＋λ2错误!，所以（x，y)＝λ1（3，1)＋λ2（－1，3)，即错误!解得错误!又λ1＋λ2＝1，所以错误!＋错误!＝1，即x＋2y＝5 ，所以点C的轨迹为直线，故选A.答案A二、填空题6。
高考数学(理)二轮专题练习：解析几何(含答案)
解析几何1．直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角的范围为[0，π)． (2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)；③直线的方向向量a ＝(1，k )；④应用：证明三点共线：k AB ＝k BC . [问题1] (1)直线的倾斜角θ越大，斜率k 就越大，这种说法正确吗？ (2)直线x cos θ＋3y －2＝0的倾斜角的范围是________． 答案 (1)错 (2)[0，π6]∪[5π6，π)2．直线的方程(1)点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，其斜率为k ，则直线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，它不包括垂直于x 轴的直线．(2)斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程为y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线．(3)两点式：已知直线经过P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)两点，则直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，它不包括垂直于坐标轴的直线．(4)截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a ，b ，则直线方程为x a ＋yb ＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．(5)一般式：任何直线均可写成Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的形式．[问题2] 已知直线过点P (1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________． 答案 5x －y ＝0或x ＋y －6＝03．点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2；(2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. [问题3] 两平行直线3x ＋2y －5＝0与6x ＋4y ＋5＝0间的距离为________．答案152613 4．两直线的平行与垂直①l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.特别提醒：(1)A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2、A 1A 2≠B 1B 2、A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件；(2)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线．[问题4] 设直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m ＝________时，l 1∥l 2；当m ＝________时，l 1⊥l 2；当________时l 1与l 2相交；当m ＝________时，l 1与l 2重合． 答案 －1 12 m ≠3且m ≠－1 35．圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，只有当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0才表示圆心为(－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F 的圆．[问题5] 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a ＝________. 答案 －16．直线、圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)有相交、相离、相切．可从代数和几何两个方面来判断：①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交；Δ<0⇔相离；Δ＝0⇔相切；②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d ，则d <r ⇔相交；d >r ⇔相离；d ＝r ⇔相切． (2)圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，则①当|O 1O 2|>r 1＋r 2时，两圆外离；②当|O 1O 2|＝r 1＋r 2时，两圆外切；③当|r 1－r 2|<|O 1O 2|<r 1＋r 2时，两圆相交；④当|O 1O 2|＝|r 1－r 2|时，两圆内切；⑤当0≤|O 1O 2|<|r 1－r 2|时，两圆内含．[问题6] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆的位置关系为________．答案 内切7．对圆锥曲线的定义要做到“咬文嚼字”，抓住关键词，例如椭圆中定长大于定点之间的距离，双曲线定义中是到两定点距离之差的“绝对值”，否则只是双曲线的其中一支．在抛物线的定义中必须注意条件：Fl ，否则定点的轨迹可能是过点F 且垂直于直线l 的一条直线．[问题7] 已知平面内两定点A (0,1)，B (0，－1)，动点M 到两定点A 、B 的距离之和为4，则动点M 的轨迹方程是________． 答案 x 23＋y 24＝18．求椭圆、双曲线及抛物线的标准方程，一般遵循先定位，再定型，后定量的步骤，即先确定焦点的位置，再设出其方程，求出待定系数．(1)椭圆标准方程：焦点在x 轴上，x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)；焦点在y 轴上，y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．(2)双曲线标准方程：焦点在x 轴上，x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)；焦点在y 轴上，y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有共同渐近线的双曲线系为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(4)抛物线标准方程焦点在x 轴上：y 2＝±2px (p >0)； 焦点在y 轴上：x 2＝±2py (p >0)．[问题8] 与双曲线x 29－y 216＝1有相同的渐近线，且过点(－3,23)的双曲线方程为________．答案 4x 29－y 24＝19．(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切．在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切．(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长 |P 1P 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]或|P 1P 2|＝(1＋1k2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2].(3)过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线l 交抛物线于C (x 1，y 1)、D (x 2，y 2)，则(1)焦半径|CF |＝x 1＋p 2；(2)弦长|CD |＝x 1＋x 2＋p ；(3)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.[问题9] 已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．答案 54解析 ∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.易错点1 直线倾斜角与斜率关系不清致误例1 已知直线x sin α＋y ＝0，则该直线的倾斜角的变化范围是__________． 错解 由题意得，直线x sin α＋y ＝0的斜率k ＝－sin α，∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1，直线的倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤π4，34π.找准失分点 直线斜率k ＝tan β(β为直线的倾斜角)在[0，π)上是不单调的且不连续． 正解 由题意得，直线x sin α＋y ＝0的斜率k ＝－sin α，∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1，当－1≤k <0时，倾斜角的变化范围是⎣⎡⎭⎫34π，π；当0≤k ≤1时，倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤0，π4. 故直线的倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π. 答案 ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π 易错点2 忽视斜率不存在情形致误例2 已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．错解 直线l 1的斜率k 1＝－t ＋21－t， 直线l 2的斜率k 2＝－t －12t ＋3，∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ＋21－t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－t －12t ＋3＝－1， 解得t ＝－1.找准失分点 (1)盲目认为两直线的斜率存在，忽视对参数的讨论．(2)忽视两直线有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直这一情形． 正解 方法一 (1)当l 1，l 2的斜率都存在时，由k 1·k 2＝－1得，t ＝－1. (2)若l 1的斜率不存在，此时t ＝1，l 1的方程为x ＝13，l 2的方程为y ＝－25，显然l 1⊥l 2，符合条件；若l 2的斜率不存在，此时t ＝－32，易知l 1与l 2不垂直，综上t ＝－1或t ＝1.方法二 l 1⊥l 2⇔(t ＋2)(t －1)＋(1－t )(2t ＋3)＝0⇔t ＝1或t ＝－1. 答案 －1或1易错点3 忽视“判别式”致误例3 已知双曲线x 2－y 22＝1，过点A (1,1)能否作直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，并且A为线段PQ 的中点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 错解1 设被A (1,1)所平分的弦所在直线方程为 y ＝k (x －1)＋1.代入双曲线方程x 2－y 22＝1，整理得(2－k 2)x 2＋2k (k －1)x －3＋2k －k 2＝0， 设直线与双曲线交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2k (k －1)k 2－2，点A (1,1)是弦中点，则x 1＋x 22＝1.∴k (k －1)k 2－2＝1，解得k ＝2， 故所求直线方程为2x －y －1＝0.错解2 设符合题意的直线l 存在，并设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21－y 212＝1①x 22－y222＝1 ②式①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)③因为A (1,1)为线段PQ 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2 ④y 1＋y 2＝2 ⑤将式④、⑤代入式③，得x 1－x 2＝12(y 1－y 2)．若x 1≠x 2，则直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2.所以符合题设条件的直线的方程为2x －y －1＝0.找准失分点 没有判断直线2x －y －1＝0与双曲线是否相交． 正解1 设被A (1,1)所平分的弦所在直线方程为 y ＝k (x －1)＋1.代入双曲线方程x 2－y 22＝1，整理得，(2－k 2)x 2＋2k (k －1)x －3＋2k －k 2＝0， 由Δ＝4k 2(k －1)2－4(2－k 2)(2k －3－k 2)>0， 解得k <32.设直线与双曲线交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2k (k －1)k 2－2，点A (1,1)是弦中点，则x 1＋x 22＝1.∴k (k －1)k 2－2＝1，解得k ＝2>32， 故不存在被点A (1,1)平分的弦．正解2 设符合题意的直线l 存在，并设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)， 则⎩⎨⎧x 21－y 212＝1①x 22－y222＝1 ②式①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)③因为A (1,1)为线段PQ 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2 ④y 1＋y 2＝2 ⑤将式④、⑤代入式③，得x 1－x 2＝12(y 1－y 2)．若x 1≠x 2，则直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2.所以直线l 的方程为2x －y －1＝0， 再由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1x 2－y 22＝1，得2x 2－4x ＋3＝0.根据Δ＝－8<0，所以所求直线不存在．1．(2014·安徽)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，π6 B.⎝⎛⎦⎤0，π3 C.⎣⎡⎦⎤0，π6 D.⎣⎡⎦⎤0，π3 答案 D解析 方法一 如图，过点P 作圆的切线P A ，PB ，切点为A ，B . 由题意知|OP |＝2，OA ＝1， 则sin α＝12，所以α＝30°，∠BP A ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3.故D. 方法二 设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k 2≤1.解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是[0，π3]．2．(2014·广东)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等答案 A解析 因为0<k <9，所以两条曲线都表示双曲线．双曲线x 225－y 29－k ＝1的实半轴长为5，虚半轴长为9－k ，焦距为225＋(9－k )＝234－k ，离心率为34－k 5.双曲线x 225－k －y 29＝1的实半轴长为25－k ，虚半轴长为3，焦距为2(25－k )＋9＝234－k ，离心率为34－k25－k，故两曲线只有焦距相等．故选A.3．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0)与曲线x 2＋y 2＝|m －n |无交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫32，1 B.⎝⎛⎭⎫0，32 C.⎝⎛⎭⎫22，1 D.⎝⎛⎭⎫0，22解析 由于m 、n 可互换而不影响，可令m >n ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2m ＋y 2n ＝1，x 2＋y 2＝m －n ，则x 2＝2m ·n －m 2n －m ，若两曲线无交点，则x 2<0，即m <2n ，则e ＝ m －nm< m －m 2m ＝22， 又∵0<e <1，∴0<e <22. 4．已知点F 1、F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左、右两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF→1＋PF →2|的最小值是()A ．0B ．1C ．2D ．2 2 答案 C解析 设P (x 0，y 0)，则PF →1＝(－1－x 0，－y 0)， PF →2＝(1－x 0，－y 0)．∴PF →1＋PF →2＝(－2x 0，－2y 0)，∴|PF →1＋PF →2|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20 ＝2－y 20＋2，∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1.∴当y 20＝1时，|PF →1＋PF →2|取最小值为2.5．(2014·课标全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |等于( ) A.72 B.52 C ．3 D ．2 答案 C解析 ∵FP →＝4FQ →，∴|FP →|＝4|FQ →|， ∴|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′， 设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4， ∴|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34， ∴|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C.6．(2014·陕西)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为答案 x 2＋(y －1)2＝1解析 圆C 的圆心为(0,1)，半径为1，标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.7．一直线过点P ⎝⎛⎭⎫－3，－32，且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长为8，则此弦所在的直线方程为________．答案 x ＋3＝0或3x ＋4y ＋15＝0解析 ①当斜率k 不存在时，过点P 的直线方程为x ＝－3， 代入x 2＋y 2＝25，得y 1＝4，y 2＝－4. 所以弦长为|y 1－y 2|＝8，符合题意．②当斜率k 存在时，设所求直线方程为y ＋32＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0.由已知，弦心距|OM |＝52－42＝3， 所以|k ·0－0＋3k －32|k 2＋1＝3，解得k ＝－34，所以此直线方程为y ＋32＝－34(x ＋3)，即3x ＋4y ＋15＝0.所以所求直线方程为x ＋3＝0或3x ＋4y ＋15＝0.8．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 答案 43解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)． 由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1≤2. 整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.9．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 向其一条渐近线作垂线，垂足为M ，已知∠MFO＝30°(O 为坐标原点)，则该双曲线的离心率为________． 答案 2解析 由已知得点F 的坐标为(c,0)(c ＝a 2＋b 2)， 其中一条渐近线方程为bx －ay ＝0，则|MF |＝bca 2＋b 2＝b ， 由∠MFO ＝30°可得|MF ||OF |＝b c ＝cos 30°＝32，所以c 2－a 2c ＝32，所以e ＝ca＝2.10．(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________． 答案52解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x ，x －3y ＋m ＝0得A (am 3b －a ，bm3b －a)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x －3y ＋m ＝0得B (－am a ＋3b ，bm a ＋3b)，所以AB 的中点C 坐标为(a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2)．设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)， 因为|P A |＝|PB |，所以PC ⊥l ， 所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2. 在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2， 所以e ＝c a ＝52.。
高中数学解析几何部分错题精选
高中数学解析几何部分错题精选一、选择题：1.若双曲线22221x y a b -=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为A0916X Y ±= B 0169X Y ±= C 034X Y ±= D 043X Y ±= 解 答：C易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a 和题目中方程的a 的意义。
2.椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是AB C D 解 答：D 易错原因：短轴长误认为是b3．过定点（1，2）作两直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是A k>2B -3<k<2C k<-3或k>2D 以上皆不对 解 答：D易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑2240D E F +->4．设双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线L ，则双曲线的离心率为A 2B 2C D解 答：D 易错原因：忽略条件0a b >>对离心率范围的限制。
5．已知二面角βα--l 的平面角为θ，PA α⊥，PB β⊥，A ，B 为垂足，且PA=4，PB=5，设A 、B 到二面角的棱l 的距离为别为y x ,，当θ变化时，点),(y x 的轨迹是下列图形中的A B C D 解 答： D易错原因：只注意寻找,x y 的关系式，而未考虑实际问题中,x y 的范围。
6．若曲线y =与直线(2)y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是A 01k ≤≤B 304k ≤≤C 314k -<≤ D 10k -<≤ 解 答：C易错原因：将曲线y =转化为224x y -=时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线y x =平行的直线与双曲线的位置关系。
立体几何问题中的易错点剖析
立体几何问题中的易错点剖析作者：***来源：《中学生数理化·高考数学》2020年第12期立體几何是高中数学重要内容之一，高考常考题型有三视图、线面位置关系的证明与判断、空间角的计算、动态问题、翻折问题等，其主要考查同学们的空间思维能力和逻辑推理能力，有时一些角度和距离问题也可以用空间向量来解决，较多问题属于基础题，难度适中。
同学们在复习过程中会因认知受限，容易出现错解，本文对立体几何中的易错问题归类剖析，以助同学们解题时能乘风破浪，所向披靡。
易错点1——忽视了三视图中的虚线点睛：在三视图中，规定看得见的棱画成实线，看不见的棱要画成虚线，因此，我们在看三视图时一定要看清楚虚实线。
易错点2——混淆了三视图中长度的真正意义例2 已知某几何体的三视图如图4所示（正视图为等腰三角形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形），则该几何体的最短棱长为____，最长棱长为 ___ 。
错解：最短棱长为√2;最长棱长为2√2。
错因剖析：将正视图和侧视图中的√2当作了底面边长，实际上，正视图中的√2指的是OA和OC的长，侧视图中的√2指的是OB和OD的长。
正解：根据三视图画出其直观图，该几何体是一个四棱锥（如图5），通过计算，易知最短棱PD及底面边长均为2，最长棱为PB =2√3。
点睛：三视图中的线段长并不能简单地认为就是棱的实际长度，当棱平行于所视方向时，看到的只是一个点，当棱斜对所视方向时，看到的长度小于实际长度，只有当棱垂直所视方向时，它代表的才是实际长度。
易错点3——无法～断翻折问题中角度的大小变化例3 如图6，在矩形ABCD中，AB =4，AD=3，E为边AD上的一点，DE=1，现将△ABE沿直线BE折成△A' BE，使得点A'在平面BCDE上的射影在四边形BCDE内（不含边界），设二面角A '-BE-C的大小为θ，直线A'B，A'C与平面BCDE所成的角分别为a，β，则（）。
高考数学复习专题15解析几何椭圆的定义及标准方程易错点
1 椭圆的定义及标准方程易错点 主标题：椭圆的定义及标准方程易错点 副标题：从考点分析椭圆的定义及标准方程在高考中的易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。
关键词：椭圆的定义，椭圆标准方程,椭圆几何性质，易错点
难度：3
重要程度：5
内容：
一、 焦点位置不确定导致漏解 【例1】► 已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过点P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，则该椭圆的方程为________．
答案 x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25
＝1 解析 设椭圆的两个焦点为F 1，F 2，且|PF 1|＝453，|PF 2|＝253
.由椭圆的定义，得2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，即a ＝ 5.又|PF 1|>|PF 2|，所以∠PF 2F 1＝90°，sin ∠PF 1F 2＝|PF 2||PF 1|＝12
，所以∠PF 1F 2＝30°.所以2c ＝|PF 1|cos 30°＝2153，b 2＝a 2－c 2＝103
. 所以当焦点在x 轴上时，椭圆的方程为x 25＋3y 2
10
＝1； 当焦点在y 轴上时，椭圆的方程为3x 210＋y 25＝1. 警示 因为椭圆焦点的位置没有确定，所以应该考虑两种情况，即焦点在x 轴上与焦点在y 轴上．而这也正是考生常常出现错误的地方，会因考虑不全面而犯“对而不全”的错误．。
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高考解析几何易做易错题选一、选择题：1. 若双曲线22221x y a b-=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为A0916X Y ±= B 0169X Y ±= C 034X Y ±= D 043X Y±= 解 答：C易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a 和题目中方程的a 的意义。
2. 椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是AB C D 解 答：D 易错原因：短轴长误认为是b3．过定点（1，2）作两直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是A k>2B -3<k<2C k<-3或k>2D 以上皆不对 解 答：D易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑2240D E F +->4．设双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线L ，则双曲线的离心率为A 2B 2C D解 答：D 易错原因：忽略条件0a b >>对离心率范围的限制。
5．已知二面角βα--l 的平面角为θ，PA α⊥，PB β⊥，A ，B 为垂足，且PA=4，PB=5，设A 、B 到二面角的棱l 的距离为别为y x ,，当θ变化时，点),(y x 的轨迹是下列图形中的A B C D 解 答： D易错原因：只注意寻找,x y 的关系式，而未考虑实际问题中,x y 的范围。
6．若曲线y =与直线(2)y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是A 01k ≤≤B 304k ≤≤C 314k -<≤ D 10k -<≤ 解 答：C易错原因：将曲线y =224x y -=时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线y x =平行的直线与双曲线的位置关系。
7． P(-2,-2)、Q(0,-1)取一点R(2,m)使︱PR ︱＋︱RQ ︱最小，则m=（ ）A21 B 0 C –1 D -34正确答案：D 错因：学生不能应用数形结合的思想方法，借助对称来解题。
8．能够使得圆x 2+y 2-2x+4y+1=0上恰好有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的一个值为（ ）A 2 B5 C 3 D 35正确答案： C 错因：学生不能借助圆心到直线的距离来处理本题。
9． P 1(x 1,y 1)是直线L ：f(x,y)=0上的点，P 2(x 2 ,y 2)是直线L 外一点，则方程f(x,y)+f(x 1,y 1)+f(x2,y 2)=0所表示的直线（ ）A 相交但不垂直B 垂直C 平行D 重合 正确答案： C 错因：学生对该直线的解析式看不懂。
10．已知圆()3-x 2+y 2=4 和 直线y=mx 的交点分别为P 、Q 两点，O 为坐标原点， 则︱O P ︱·︱OQ ︱=( )A 1+m 2B215m+ C 5 D 10 正确答案： C 错因：学生不能结合初中学过的切割线定︱O P ︱·︱OQ ︱等于切线长的平方来解题。
11．在圆x 2+y 2=5x 内过点（25，23）有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列首项a 1,最长弦长为a n ，若公差d ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛31,61，那么n 的取值集合为（ ）A {}654、、B {}9876、、、C {}543、、D {}6543、、、 正确答案：A 错因：学生对圆内过点的弦何时最长、最短不清楚，不能借助d 的范围来求n.12．平面上的动点P 到定点F(1,0)的距离比P 到y 轴的距离大1,则动点P 的轨迹方程为（ ）A y 2=2xB y 2=2x 和 ⎩⎨⎧≤=00x y C y 2=4x D y 2=4x 和⎩⎨⎧≤=0x y 正确答案：D 错因：学生只注意了抛物线的第二定义而疏忽了射线。
13．设双曲线22a x －22b y ＝1与22by －22a x ＝1（a ＞0,b ＞0）的离心率分别为e 1、e 2，则当a 、 b 变化时，e 21+e 22最小值是（ ）A 4B 42C 2D 2正确答案：A 错因：学生不能把e 21+e 22用a 、 b 的代数式表示，从而用基本不等式求最小值。
14．双曲线92x －42y ＝1中，被点P(2,1)平分的弦所在直线方程是（ ）A 8x-9y=7B 8x+9y=25C 4x-9y=16D 不存在正确答案：D 错因：学生用“点差法”求出直线方程没有用“△”验证直线的存在性。
15．已知α是三角形的一个内角，且sin α+cos α=51则方程x 2sin α－y 2cos α=1表示（ ）A 焦点在x 轴上的双曲线B 焦点在y 轴上的双曲线C 焦点在x 轴上的椭圆D 焦点在y 轴上的椭圆 正确答案：D 错因：学生不能由sin α+cos α=51判断角α为钝角。
16．过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线，分别交准线于P 、Q 两点，又过P 、Q 分别作抛物线对称轴OF 的平行线交抛物线于M ﹑N 两点,则M ﹑N ﹑F 三点A 共圆B 共线C 在另一条抛物线上D 分布无规律 正确答案：B 错因：学生不能结合图形灵活应用圆锥曲线的第二定义分析问题。
17．曲线xy=1的参数方程是( )A x=t 21 B x=Sin α C x=cos α D x=tan α y=t21- y=csc α y=See α y=cot α正确答案：选D错误原因：忽视了所选参数的范围，因而导致错误选项。
18．已知实数x ，y 满足3x 2+2y 2=6x ，则x 2+y 2的最大值是( ) A 、29B 、4C 、5D 、2 正确答案：B错误原因：忽视了条件中x 的取值范围而导致出错。
19．双曲线x 2n－y 2=1(n>1)的焦点为F 1、F 2，，P 在双曲线上 ，且满足：｜PF 1|+|PF 2|=2n+2 ，则ΔPF 1F 2的面积是A 、1B 、2C 、4D 、12正确答案： A错因：不注意定义的应用。
20．过点(0,1)作直线，使它与抛物线x y 42=仅有一个公共点，这样的直线有（ ） A.1条 B.2条 C. 3条 D. 0条 正确答案：C错解：设直线的方程为1+=kx y ，联立⎩⎨⎧+==142kx y x y ，得()x kx 412=+，即：01)42(22=+-+x k x k ，再由Δ＝0,得k=1,得答案A.剖析：本题的解法有两个问题，一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了，另外又将斜率k=0的情形丢掉了，故本题应有三解，即直线有三条。
21．已知动点P （x ,y ）满足 ，则P 点的轨迹是 （ ） A 、直线 B 、抛物线 C 、双曲线 D 、椭圆 正确答案：A错因：利用圆锥曲线的定义解题，忽视了（1，2）点就在直线3x+4y-11=0上。
22．在直角坐标系中，方程()()02312=--+-+y x x y x 所表示的曲线为（ ） A ．一条直线和一个圆 B ．一条线段和一个圆 C ．一条直线和半个圆 D ．一条线段和半个圆 正确答案：D错因：忽视定义取值。
23．设坐标原点为O ，抛物线22y x =与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA OB ⋅=（ ）A ．34 B ．34- C ．3 D ．-3 正确答案：B 。
错因：向量数量积应用，运算易错。
24．直线134=+y x 与椭圆191622=+y x 相交于A 、B 两点，椭圆上的点P 使PAB ∆的面积等于１２，这样的点P 共有（ ）个A ．１B ．２C ．３D ．４ 正确答案：D错因：不会估算。
25．过点（1，2）总可作两条直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则实数k 的取值范围是（ ）A 2k >B 32k -<<C 3k <-或2k >D 都不对|1143|)2()1(522-+=-+-y x y x正确答案：D 26．已知实数x ，y 满足250x y ++=ABC． D． 正确答案：A27．若直线y x b =+与曲线224(0)x y y +=≥有公共点，则b 的取值范围是 A ． [2,2]- B ． [0,2] C． D ．[-正确答案：D28．设ｆ(x )= x 2+ax+b ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则点(a ，b )在aOb 平面上的区域的面积是 A ．12 B ．1 C ．2 D ．92正确答案：B29．当x 、y 满足约束条件0,,20x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩（k 为常数）时，能使3z x y =+的最大值为12的k 的值为A ．－9B ．9C ．－12D ．12 正确答案：A30．已知关于t 的方程20t tx y ++=有两个绝对值都不大于1的实数根，则点(,)P x y 在坐标平面内所对应的区域的图形大致是正确答案：A31．能够使得圆222410x y x y +-++=上恰有两个点到直线20x y c ++=距离等于1的c 的一个值为（ ）A ．2C ．3 D． 正确答案：C32．抛物线y=4x 2的准线方程为（ ）A 、x=－1B 、y=－1C 、x=161-D 、y=161- 答案：D点评：误选B ，错因把方程当成标准方程。
ABCD33．对于抛物线C ：y 2=4x ，称满足y 02<4x 0的点M(x 0，y 0)在抛物线内部，若点M(x 0，y 0)在抛物线内部，则直线l ：y 0y=2(x+x 0)与曲线C （ ）A 、恰有一个公共点B 、恰有两个公共点C 、可能有一个公共点也可能有2个公共点D 、无公共点 答案：D点评：条件运用不当，易误选C 。
34．直线l 过点，那么直线l 倾斜角α的取值范围是（ ）。
A. [0,π)B. [0,4π] (2π, π) C. [4π,π] D. [0,4π] (2π, π)正解：B),1(),1,2(2m B A 02>m∴ 点A 与射线y x (1=≥0)上的点连线的倾斜角，选B 。
误解：选D ，对正切函数定义域掌握不清，故2π=x 时，正切函数视为有意义。
35．设F1和F2为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点在双曲线上且满足 9021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是（ ）。
A. 1B.25C. 2D.5正解：A1422=-y x 5,2==C a 4||||||21=-∴PF PF 16||||||2||222121=+-⇒PF PF PF PF ①又9021=∠PF F ∴22221)52(||||=+PF PF ②联立①②解得2||||21=∴PF PF ∴121=∆PF F S误解：未将4||||||21=-∴PF PF 两边平方，再与②联立，直接求出||||21PF PF 。