2020届高考数学二轮复习专题《可转化为基本不等式的三角最值问题》

＝23π，
所以
S△
ABC
＝
1 2
absinC
＝
3 4 ab
＝
3 12
c，可得
c ＝ 3ab ， 所 以
cosC＝ຫໍສະໝຸດ －1 2＝
a2＋b2－c2 2ab
＝
a2＋b22a－b9a2b2≥2ab－2a9ba2b2，即 ab(3ab－1)≥0，可得 ab≥13，当且仅当 a＝b＝ 33时，等号成
立，即 ab 的最小值是13.
的面积 S＝123c，则 ab 的最小值为________．
1 3
因为 2ccosB＝2a＋b，由正弦定理可得：2sinCcosB＝2sinA＋sinB，可得 2sinCcosB
＝2sin(B＋C)＋sinB，
即 2sinBcosC＝－sinB，因为在△ ABC 中，sinB≠0，可得 cosC＝－12，在△ ABC 中可得 C
运用基本不等式求三角形中的最值、范围问题主要有：求角或边的最值或范围； 求某个三角函数值或某个含有三角函数的代数式的最值或范围问题，解题思路一般是先 从已知条件出发，求出关于三边的约束条件，然后利用此条件，结合基本不等式的解题 技法求出相应的最值或范围.
在△ ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c, 且 2ccosB＝2a＋b，若△ ABC
1 2
由题意可得：2csoinsBB＋csoinsCC＝cossBincBosC＋cossCincCosB， 即：2(sinBcosC＋sinCcosB)＝sinB＋sinC，即 2sin(B＋C)＝sinB＋sinC 故 2sinA＝sinB＋sinC，由正弦定理可得：2a＝b＋c， 由余弦定理有：cosA＝b2＋2cb2c－a2＝b2＋c22－bc(b＋2 c)2＝3(4b×2＋2bcc2)－14≥34××22bbcc－14＝12. 当且仅当 b＝c 时等号成立．据此可得 cosA 的最小值为12.
(2018·江苏卷)在△ ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交 AC 于点 D，且 BD＝1，则 4a＋c 的最小值为________．
9
如图 26-1，由题可知 S△ ABC＝S△ BCD＋S△ ABD， 由角平分线性质和三角形面积公式得12acsin120°＝12a×1×sin60°＋12c×1×sin60°， 化简得 ac＝a＋c，1a＋1c＝1 因此，4a＋c＝(4a＋c)(1a＋1c)＝5＋ac＋4ca≥5＋2 ac·4ca＝9 当且仅当 c＝2a＝3 时取等号，则 4a＋c 的最小值为 9.
设△ ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，
则由正弦定理得 a＋ 2b＝2c，
所以
cosC＝a2＋2ba2b－c2＝a2＋b2－2aab＋2 2b2＝34a2＋122ba2－b
2
2
ab 2 ≥
34a2×12b2－
2 2 ab
2ab
＝
6－ 4
2，
当且仅当34a2＝12b2 时，即ab＝
如图 26-4，过 D 点作 DE∥AB 交 CB 于点 E. 则 DE＝1，由DABE＝CBEE⇒1c＝a－a 1 ，化简可得 a＋c＝ac，下同解法 1.
图 26-4
2时等号成立，所以 3
cosC
的最小值为
6－ 4
2 .
在△ ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 asinAsinB＋bcos2A ＝2a，则角 A 的取值范围是________．
(0，π6]
在△ ABC 中，因为 asinAsinB＋bcos2A＝2a，由正弦定理可得 sin2AsinB＋ sinBcos2A＝2sinA，
可转化为基本不等式的三角最值问题
基本不等式是解决最值问题的重要方法，有关三角最值问题是高考的热点和难点， 解决此类问题的关键是将所求量转化为单一变量的函数或者双变量的表达式(后者必须 找到这两个变量的关系式)，从而考虑采用基本不等式的方法求最值.
(2020·宿州模拟)在△ ABC 中，内角 A，B，C 满足 2(tanB＋tanC)＝ctaonsBC＋ctaonsCB， 则 cosA 的最小值为________．
由角平分线定理可得：||BACB||＝||CADD||，即ac＝
c2＋1－c a2＋1－a
化简得：(a－c)(a＋c－ac)＝0
当 a＝c 时，易得：a＝c＝2，则 4a＋c＝10
当 a≠c 时，可得：a＋c＝ac，下同解法 1.
图 26-2
如图 26-3，以 B 为坐标原点建立直角坐标系，则 D(12， 23)，A(－2c， 23c)，
C(a,0)
由 A，D，C 三点共线，可得：A→D＝λA→C，
又A→D＝(12＋2c，
23－
23c)，A→C＝(a＋2c，－
3 2 c)
图 26-3
由向量共线得：(12＋2c)·(－ 23c)＝( 23－ 23c)·(a＋2c) 化简得：a＋c＝ac⇒(a－1)(c－1)＝1 由 4a＋c＝4(a－1)＋(c－1)＋5，则 4(a－1)＋(c－1)≥2 4(a－1)·(c－1)≥2×2＝4 可得：4a＋c＝4(a－1)＋(c－1)＋5≥4＋5＝9. 当且仅当 4(a－1)＝c－1，即 a＝32，c＝3 时取等号．
本题考查运用基本不等式求三角形中的最值、范围问题，本题首先是将已知条 件等价转化(切化弦)，再利用正弦定理，得到关于三边长的等量关系，最后应用余弦定 理求的最小值.
(2020·浙江模拟)若△ ABC 的内角满足 sinA＋ 2sinB＝2sinC，则 cosC 的最小 值为________．
6－ 2 4
→ → →→
→ BA BC BA BC 由角平分线性质可得：BD＝λ( → ＋ → )＝λ( c ＋ a )
①
|BA| |BC|
由 A，D，C 三点共线，可得：cλ＋aλ＝1，即：λ(a＋c)＝ac.
①式两边平方得：1＝λ2(1＋1＋2cos120°)⇒λ2＝1⇒λ＝1.
所以可得：a＋c＝ac，下同解法 1.
即 sinB(sin2A＋cos2A)＝2sinA，所以 sinB＝2sinA ，由正弦定理可得 b＝2a， 由余弦定理得 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝b2＋2cb2c－b42＝34b22b＋cc2≥ 23bbcc＝ 23，当且仅当 3b＝ 2c 时等号成立，因为 A 为△ ABC 的内角，且 y＝cos x 在(0，π)上是减函数，所以 A 的取 值范围是(0，π6]．
图 26-1
由面积公式得：12acsin120°＝12asin60°＋12csin60°化简得 a＋c＝ac⇒c＝a－a 1 0<a<1 4a＋c＝4a＋a－1 1＋1＝4a－1＋a－1 1＋5≥2 4a－1·a－1 1＋5＝9 当且仅当 4a－1＝a－1 1，即 a＝32，c＝3 时取等号．
如图 26-2，由余弦定理得：|AD|＝ c2＋1－c，|CD|＝ a2＋1－a.
(2020·永州模拟)在△ ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 acosB －bcosA＝3c，则acosaAc＋osbBcosB的最小值为________．
2
由正弦定理可得：sinAcosB－sinBcosA＝si3nC， 则 3sinAcosB － 3cosAsinB ＝ sinC ＝ sin(A ＋ B) ＝ sinAcosB ＋ cosAsinB⇒2sinAcosB ＝ 4cosAsinB⇒csionsAAcsoinsBB＝12. A，B 为△ ABC 的内角，可知 sinA>0，sinB>0.则 cosA，cosB 同号，所以 cosA>0，cosB>0， acosaAc＋osbBcosB＝sinAcossinAA＋cossinBBcosB＝ccoossAB＋ssiinnBA，又ccoossAB＋ssiinnBA≥2 ccoossBA·ssiinnAB，当且 仅当ccoossAB＝ssiinnBA时取等号，则acosaAc＋osbBcosB≥ 2.故acosaAc＋osbBcosB的最小值为 2.