江苏省亭湖高级中学2015届高三全真模拟数学试题

（第6题）亭湖高级中学2015届高三数学全真模拟数学Ⅰ5.30一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1. 设集合U={-2，-1，1，2}，A={-1，1}，则U C A =______.2.若复数12121,2().z i z x i x R z z =+=+∈ 若为实数,则x 的值为_______.3.抛物线x=2y 2的焦点坐标为_______.4.如图是某次青年歌手大奖赛上9位评委给某位选手打分的茎叶图,这组数据的平均数是_____. 7 8 8 44467 9 1365.若从甲、乙、丙、丁4位同学中选出3名代表参加学校会议,则甲被选中的概率为______.6．流程图如右图所示的流程图的运行结果是 .7．已知函数),(,ln )(R n m nx x m x f ∈+=，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程是注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分。

本试卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上。

3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

022=--y x ，则=+n m .8．用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积是 .9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋4，x ＜a ，x 2－2x ，x ≥a，若任意实数b ，总存在实数x 0，使得f (x 0)＝b ，则实数a 的取值范围是 ．10．已知),2(ππα∈且53cos -=α，则=-)42tan(πα .11．在ABC ∆中，90,5B A C B C ∠=︒=，,D E 为边BC 上的两点，且满足：11,33BD BC CE CB == ，则AD AE的值为____________.12．平面直角坐标系xOy 中，001(2,0),(,0),(,)2A B P x y --，满足：2PA PB <，则直线001x x y y +=与圆221x y +=的公共点个数为__________.13．对于任意实数t ，不等式2222230m t z tx y z +++≥恒成立，其中,,(0,)x y z ∈+∞，则实数m 的取值范围是_______________.14．等差数列{}n a 各项均为正整数，满足：1n n a a +>且12128130a a a a -+-=，数列{}n b 满足2*()n b n n N =∈，数列{}n a 与{}n b 所有公共项由小到大排列得到数列{}n c ，数列{}n d 满足1nn i d ==214n n d c --的最大值为_________.二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（本小题满分14分）已知向量(sin(),1),))(0)33m x n x ππωωω=+-=+> ，函数()f x m n =⋅ 的图象的对称中心与对称轴之间的最小距离为4π（1）求ω的值，并求函数()f x 在区间[]0,π上的单调增区间； （2）ABC ∆中，角,,A B C的对边分别为3,,,()1,cos ,5a b c f A C a ===b 的值．16．（本小题满分14分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E 、F 、O 分别为线段PA 、PB 、AC 的中点，点G 是线段CO 的中点，4AB BC AC ===，PA PC ==（1）PA ⊥平面EBO ； （2）FG ∥平面EBO ．⒘（本小题满分14分）公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，且2()2n n a k S +=对n N *∈成立．⑴求常数k 的值以及数列{}n a 的通项公式；⑵设数列{}n a 中的部分项123,,,,,n k k k k a a a a K K ，恰成等比数列，其中k 1＝2，,k 3＝14， 求n k ．18. （本小题满分16分）m 的球形工件吊起平放到6m 高的平台上，工地上有一个吊臂长12DF =m 的吊车，吊车底座FG 高PABCOEFG(第16题)181.5m .当物件与吊臂接触后，钢索CD 长可通过顶点D 处的滑轮自动调节并保持物件始终与吊臂接触.求物件能被吊车吊起的最大高度，并判断能否将该球形工件吊到平台上？19.（本小题满分16分）已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)，且离心率为2,Q 为椭圆C 的左顶点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知过点6(,0)5-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点. ①若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小;②若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.20.（本小题满分16分）已知两函数()()()(),())()f x x a x b x c g x x b x c =---=--，''b c,()()a f a f c <<=（1）求证：三数a b c 、、成等差数列； （2）(),,()(),.f x x b F xg x x b ≤⎧=⎨>⎩假设对一切实数x ，()()F x f x ≤恒成立，函数()F x 取极大值和极小值时对应点分别为M 和N ， ①求直线MN 的斜率； ②记函数()()g()G x f x x =-，如果满足集合{}(),y y G x b x c =≤≤{}(),0y y G x b x ==≤≤的最大实数b 的值是B ,求实数B .亭湖高级中学2015届高三数学全真模拟数学Ⅱ（附加题） 5.3021(B).已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β.21(C).已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合．曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 3+=ρθρθ，直线l 的参数方程为,1x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数，t ∈R )．试在曲线C 上求一点M ，使它到直线l 的距离最大．注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共2页，均为非选择题(第21题～第23题)。

本试卷满分40分，考试时间为30分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上。

3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

22.必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1=AB =AC =1，AB ⊥AC ，M ，N 分别是棱CC 1，BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上．（1）求直线PN 与平面ABC 所成的角最大时，线段1A P 的长度；（2）是否存在点P ，使平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为6π，若存在，请指明点P 的位置；若不存在，请说明理由．23.(本题满分10分)对正整数n,记)(n f 为数132++n n 用十进制表示时各数位数字的和,如2=n 时, 15132=++n n ,从而6)2(=f ;10=n 时, 311132=++n n ,从而5)10(=f .(1) 求),7(f )8(f . (2) 求)(n f 的最小值.亭湖高级中学2015届高三数学全真模拟答案A 1C 1B 1MCN BAP（第22题）1.{}2,2-;2.-2;3 1(,0)8;4.87;5.34;6.20;7.21;8.;9.－5≤a ≤4;10.31;11.509; 12.2;13.m ≥ ;14.2 15.(Ⅰ)解：())cos()2sin()336f x x x x πππωωω==+-=⋅++m n2分 由于图象的对称中心与对称轴的最小距离为4π，所以2424T πππωω==⋅==，3分 令222262k x k πππππ-++≤≤，解得36k x k ππππ-+≤≤(k ∈Z )5分 又[0]x π∈，，所以所求单调增区间为2[0][]63πππ，，，7分(Ⅱ)解：1()2sin(2)1sin(2)2266266f A A A A k πππππ=+=+=+=+，，或52266A k πππ+=+A k π=或3A k ππ=+(k ∈Z )，又(0)A π∈，，故3A π=9分∵3cos (0)5C C π=∈，，，∴4sin sin sin()sin()53C B A C C π==+=+=， 11分 由正弦定理得sin sin b aB A =，∴4b = 14分16.证明：由题意可知，PAC ∆为等腰直角三角形，ABC ∆为等边三角形． …………………2分（1）因为O 为边AC 的中点，所以BO AC ⊥，因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =， BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥面PAC ． …………………5分因为PA ⊂平面PAC ，所以BO PA ⊥，在等腰三角形PAC 内，O ，E 为所在边的中点，所以OE PA ⊥， 又BO OE O = ，所以PA ⊥平面EBO ；…………………8分 （2）连AF 交BE 于Q ，连QO ．因为E 、F 、O 分别为边PA 、PB 、PC 的中点，所以2AO OG =，且Q 是△PAB 的重心，…………………10分于是2AQAO QF OG==，所以FG //QO . …………………12分 因为FG ⊄平面EBO ，QO ⊂平面EBO ，所以FG ∥平面EBO ． ……………14分 【注】第（2）小题亦可通过取PE 中点H ，利用平面FGH //平面EBO 证得. 17.解：⑴法一：条件化为2S n ＝a n ＋k 对n ∈N*成立．PACOE FGQ设等差数列公差为d ，则2na 1＋n (n －1)d 2＝ a 1＋(n －1)d ＋k ．分别令n ＝1，2，3得：⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＝a 1＋k ，①22a 1＋d ＝a 1＋d ＋k ，②23a 1＋3d ＝a 1＋2d ＋k ．③由①＋③－2⨯②得，a 1＋3a 1＋3d ＝22a 1＋d ．两边平方得，4a 1＋d ＝23a 12＋3a 1d ． 两边再平方得，4a 12－4a 1d ＋d 2＝0．解得d ＝2a 1． 代入②得，4a 1＝3a 1＋k ，④由④－①得，a 1＝a 1．所以a 1＝0，或a 1＝1． 又当a 1＝0时，d ＝0不合题意．所以a 1＝1，d ＝2． 代入①得k ＝1．而当k ＝1，a 1＝1，d ＝2时，S n ＝n 2，a n ＝2n －1，等式 S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋k 22对n ∈N *成立．所以k ＝1，a n ＝2n －1． 法二：设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )．代入S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋k 22得，d 2n 2＋(a 1－d 2)n ＝142， 即2dn 2＋(4a 1－2d )n ＝d 2n 2＋2d (a 1＋k －d )n ＋(a 1＋k －d )2． …4分因为上面等式对一切正整数n 都成立，所以由多项式恒等可得，⎩⎪⎨⎪⎧2d ＝d 2，4a 1－2d ＝2d (a 1＋k －d )，a 1＋k －d ＝0．因为d ≠0，所以解得，⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，a 1＝1，k ＝1．所以常数k ＝1，通项公式a n ＝2n －1．……8分⑵设c n ＝ a k n ，则数列{c n }为等比数列，且c 1＝a k 1＝a 2＝3，c 3＝a k 3＝a 14＝27． 故等比数列{c n }的公比q 满足q 2＝c 3c 1＝9． 又c n ＞0，所以q ＝3．所以c n ＝c 1qn －1＝3⨯3n －1＝3n． ……12分又c n ＝a k n ＝2k n －1，所以2k n －1＝3n．由此可得k n ＝12⨯3n ＋12． ……14分18.解：吊车能把球形工件吊上的高度y 取决于吊臂的张角θ，由图可知，1.5 1.5sin 1.512sin 1.5y AB AD OD OB DF =+=--+==θθ……５分所以/12cos y =θ， …………８分由/0y =，得θθθθsin cos 34,cos sin 3cos 1232==q 03tan )3(tan ,034tan tan ),tan 1(tan 343332=-+-=-++=∴θθθθθθ,0)4tan 3)(tan 3(tan 2=+--θθθ,60,3tan 0==∴θθ …………12分00600<<θ当时，120,23sin 3,23cos '3>∴<>y θθ同理，当009060<<θ时，0y '<，所以当00600<<θ当时，y 单调递增，当009060<<θ时，y 单调递减，所以060=θ时，y 取最大值. …………14分max 12sin 1.5 1.5 6.6()y m ==≈θ 所以吊车能把圆柱形工件吊起平放到6m 高的桥墩上. …………16分19、（1）设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，由题意知：4,23,12===a a c b，所以椭圆C 的标准方程为 1422=+y x 。