2020年四川省达州市中考数学试卷(含详细解析)

合集下载

2020年四川省达州市中考数学试卷-解析版

2020年四川省达州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.人类与病毒的斗争是长期的，不能松懈．据中央电视台报道，截止北京时间2020年6月30日凌晨，全球新冠肺炎患者确诊病例达到1002万．1002万用科学记数法表示，正确的是()A. 1.002×107B. 1.002×106C. 1002×104D. 1.002×102万2.下列各数中，比3大比4小的无理数是()C. √12D. √17A. 3.14B. 1033.下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是()A. B.C. D.4.下列说法正确的是()A. 为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查B. 确定事件一定会发生C. 某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96，那么这组数据的众数为98D. 数据6、5、8、7、2的中位数是65.图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，S主=x2+3x，S左=x2+x，则=()S俯A. x2+3x+2B. x2+2x+1C. x2+4x+3D. 2x2+4x6.如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是()A. 12(m−1)B. 4m+8(m−2)C. 12(m−2)+8D. 12m−167.中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”.如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是()A. 10B. 89C. 165D. 2948.如图，在半径为5的⊙O中，将劣弧AB沿弦AB翻折，使折叠后的AB⏜恰好与OA、OB相切，则劣弧AB的长为()A. 53π B. 52π C. 54π D.56π9.如图，直线y1=kx与抛物线y2=ax2+bx+c交于A、B两点，则y=ax2+(b−k)x+c的图象可能是()A. B.C. D.10.如图，∠BOD=45°，BO=DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点E，连接OE交AD于点F.下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF=BD；③DF=√2AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是()A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.2019年是中华人民共和国成立70周年，天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游行活动．其中，群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题，包含有“建国创业”“改革开放”“伟大复兴”三个部分，某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分，制作扇形统计图．以下是打乱了的统计步骤：①绘制扇形统计图②收集三个部分本班学生喜欢的人数③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比其中正确的统计顺序是______．12.如图，点P(−2,1)与点Q(a,b)关于直线1(y=−1)对称，则a+b=______．13. 小明为测量校园里一颗大树AB 的高度，在树底部B 所在的水平面内，将测角仪CD 竖直放在与B 相距8m 的位置，在D 处测得树顶A 的仰角为52°.若测角仪的高度是1m ，则大树AB 的高度约为______.(结果精确到lm.参考数据：sin52°≈0.78，cos52°≈0.61，tan52°≈1.28) 14. 如图，点A 、B 在反比函数y =12x的图象上，A 、B 的纵坐标分别是3和6，连接OA 、OB ，则△OAB 的面积是______．15. 已知△ABC 的三边a 、b 、c 满足b +|c −3|+a 2−8a =4√b −1−19，则△ABC 的内切圆半径=______．16. 已知k 为正整数，无论k 取何值，直线11：y =kx +k +1与直线12：y =(k +1)x +k +2都交于一个固定的点，这个点的坐标是______；记直线11和12与x 轴围成的三角形面积为S k ，则S 1=______，S 1+S 2+S 3+⋯+S 100的值为______．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分） 17. 计算：−22+(13)−2+(π−√5)0+√−1253．18. 求代数式(2x−1x−1−x −1)÷x−2x 2−2x+1的值，其中x =√2+1．19. 如图，点O 在∠ABC 的边BC 上，以OB 为半径作⊙O ，∠ABC 的平分线BM 交⊙O 于点D ，过点D 作DE ⊥BA 于点E ． (1)尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)，补全图形； (2)判断⊙O 与DE 交点的个数，并说明理由．20.争创全国文明城市，从我做起．尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，随机抽取了20名学生的测试成绩，分数如下：94839086948896100898294828489889398949392整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：等级成绩/分频数A95≤x≤100aB90≤x<958C85≤x<905D80≤x<854根据以上信息，解答下列问题．(1)填空：a=______，b=______；(2)若成绩不低于90分为优秀，估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数；(3)已知A等级中有2名女生，现从A等级中随机抽取2名同学，试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．21.如图，△ABC中，BC=2AB，D、E分别是边BC、AC的中点．将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE．(1)判断四边形ABDF的形状，并证明；(2)已知AB=3，AD+BF=8，求四边形ABDF的面积S．22.某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：原进价(元/张)零售价(元/张)成套售价(元/套)餐桌a380940餐椅a−140160(1)求表中a的值；(2)该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？23.如图，在梯形ABCD中，AB//CD，∠B=90°，AB=6cm，CD=2cm.P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过点P作PE⊥PA交射线CD于点E.聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：(1)通过推理，他发现△ABP∽△PCE，请你帮他完成证明．(2)利用几何画板，他改变BC的长度，运动点P，得到不同位置时，CE、BP的长度的对应值：当BC=6cm时，得表1：BP/cm…12345…CE/cm…0.83 1.33 1.50 1.330.83…BP/cm…1234567…CE/cm… 1.17 2.00 2.50 2.67 2.50 2.00 1.17…这说明，点在线段上运动时，要保证点总在线段上，的长度应有一定的限制．①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，______的长度为自变量，______的长度为因变量；②设BC=mcm，当点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．24.(1)[阅读与证明]如图1，在正△ABC的外角∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E(点E 在∠CAH内)，连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．①完成证明：∵点E是点C关于AM的对称点，∴∠AGE=90°，AE=AC，∠1=∠2．∵正△ABC中，∠BAC=60°，AB=AC，∴AE=AB，得∠3=∠4．在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠3=______°.在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1=90°，∴∠FEG=______°.②求证：BF=AF+2FG．(2)[类比与探究]把(1)中的“正△ABC”改为“正方形ABDC”，其余条件不变，如图2.类比探究，可得：①∠FEG=______°；②线段BF、AF、FG之间存在数量关系______．(3)[归纳与拓展]射线AM，作点C关于AM的对称点E(点E在∠CAH内)，连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G.则线段BF、AF、GF之间的数量关系为______．x−2与x25.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=12轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于另一点C(−1,0)．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB=S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大ON的最小值．时，求MN+12答案和解析1.【答案】A【解析】解：1002万用科学记数法表示为1.002×107，故选：A．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2.【答案】C【解析】解：3=√9，4=√16，A、3.14是有理数，故此选项不合题意；B、10是有理数，故此选项不符合题意；3C、√12是比3大比4小的无理数，故此选项符合题意；D、√17比4大的无理数，故此选项不合题意；故选：C．由于带根号的要开不尽方是无理数，无限不循环小数为无理数，根据无理数的定义即可求解．此题主要考查了无理数的定义，解题时注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．3.【答案】B【解析】解：A、手的对面是勤，不符合题意；B、手的对面是口，符合题意；C、手的对面是罩，不符合题意；D、手的对面是罩，不符合题意；故选：B．利用正方体及其表面展开图的特点解题．考查了正方体相对两个面上的文字的知识，解题的关键是将手确定为正面，然后确定其对面，难度不大．4.【答案】D【解析】解：A.为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用抽样调查，此选项错误；B.确定事件一定会发生，或一定不会发生，此选项错误；C.某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96，那么这组数据的众数为98和99，此选项错误；D.数据6、5、8、7、2的中位数是6，此选项正确；故选：D．根据抽样调查与普查的区别、确定性事件的概念、众数和中位数的定义逐一求解可得．本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概5.【答案】C【解析】解：∵S主=x2+3x=x(x+3)，S左=x2+x=x(x+1)，∴俯视图的长为x+3，宽为x+1，则俯视图的面积S俯=(x+3)(x+1)=x2+4x+3，故选：C．由主视图和左视图的宽为x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高．6.【答案】A【解析】解：由题意得，当每条棱上的小球数为m时，正方体上的所有小球数为12m−8×2=12m−16．而12(m−1)=12m−12≠12m−16，4m+8(m−2)=12m−16，12(m−2)+8= 12m−16，所以A选项表达错误，符合题意；B、C、D选项表达正确，不符合题意；故选：A．正方体有12条棱，每条棱上的小球数为m，则有12m个小球，而每个顶点处的小球重复计算2次，则正方形边上的所有小球的个数为12m−8×2=12m−16，再将各选项化简即可．本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．7.【答案】D【解析】解：2×53+1×52+3×51+4×50=294，故选：D．根据计数规则可知，从右边第为的计数单位为50，右边第2位的计数单位为51，右边第3位的计数单位为52，右边第4位的计数单位为53……依此类推，可求出结果．本题考查用数字表示事件，理解“逢五进一”的计数规则是正确计算的前提．8.【答案】B【解析】解：如图，作O点关于AB的对称点O′，连接O′A、O′B，∵OA=OB=O′A=O′B，∴四边形OAO′B为菱形，∵折叠后的AB⏜与OA、OB相切，∴O′A⊥OA，O′B⊥OB，∴四边形OAO′B为正方形，∴∠AOB=90°，∴劣弧AB的长=90⋅π⋅5180=52π.故选：B．O′B，则可判断四边形OAO′B为菱形，再根据切线的性质得到O′A⊥OA，O′B⊥OB，则可判断四边形OAO′B为正方形，然后根据弧长公式求解．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了对称的性质和弧长公式．9.【答案】B【解析】解：设y=y2−y1，∵y1=kx，y2=ax2+bx+c，∴y=ax2+(b−k)x+c，由图象可知，在点A和点B之间，y>0，在点A的左侧或点B的右侧，y<0，故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意；故选：B．根据题意和题目中给出的函数图象，可以得到函数y=ax2+(b−k)x+c的大致图象，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10.【答案】D【解析】解：①∵四边形ABCD是矩形，∴EB=ED，∵BO=DO，∴OE平分∠BOD，故①正确；②∵四边形ABCD是矩形，∴∠OAD=∠BAD=90°，∴∠ABD+∠ADB=90°，∵OB=OD，BE=DE，∴OE⊥BD，∴∠BOE+∠OBE=90°，∴∠BOE=∠BDA，∵∠BOD=45°，∠OAD=90°，∴∠ADO=45°，∴AO=AD，∴△AOF≌△ABD(ASA)，∴OF=BD，故②正确；③∵△AOF≌△ABD，∴AF=AB，连接BF，如图1，∴BF=√2AF，∵BE=DE，OE⊥BD，∴DF=BF，∴DF=√2AF，故③正确；④根据题意作出图形，如图2，∵G是OF的中点，∠OAF=90°，∴AG=OG，∴∠AOG=∠OAG，∵∠AOD=45°，OE平分∠AOD，∴∠AOG=∠OAG=22.5°，∴∠FAG=67.5°，∠ADB=∠AOF=22.5°，∵四边形ABCD是矩形，∴EA=ED，∴∠EAD=∠EDA=22.5°，∴∠EAG=90°，∵∠AGE=∠AOG+∠OAG=45°，∴∠AEG=45°，∴AE=AG，∴△AEG为等腰直角三角形，故④正确；故选：D．由矩形得EB=ED=EA，∠BAD为直角，再由等腰三角形的三线合一性质可判断①的正误；证明△AOF≌△ABD，便可判断②的正误；连接BF，由线段的垂直平分线得BF= DF，由前面的三角形全等得AF=AB，进而便可判断③的正误；由直角三角形斜边上的中线定理得AG=OG，进而求得∠AGE=45°，由矩形性质得ED=EA，进而得∠EAD= 22.5°，再得∠EAG=90°，便可判断④的正误．本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形，全等三角形，关键是熟记这些图形的性质．11.【答案】②③①【解析】解：正确的统计顺序是：②收集三个部分本班学生喜欢的人数；③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比；①绘制扇形统计图；故答案为：②③①．根据扇形统计图的制作步骤求解可得．本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数(单位1)，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百12.【答案】−5【解析】解：∵点P(−2,1)与点Q(a,b)关于直线1(y=−1)对称，∴a=−2，b=−3，∴a+b=−2−3=−5，故答案为−5．利用轴对称的性质求出等Q的坐标即可．本题考查坐标与图形变化−对称，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．13.【答案】11【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意得，BC=DE=8，∠ADE=52°，DE=CD=1在Rt△ADE中，AD=DE⋅tan∠ADE=8×tan52°≈10.24，∴AB=AE+BE=10.24+1≈11(米)故答案为：11．过点D作DE⊥AB，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出AE，进而求出AB即可．本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是正确计算的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．14.【答案】9【解析】解：∵点A、B在反比函数y=12x的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，∴A(4,3)，B(2,6)，作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，∴S△AOD=S△BOE=12×12=6，∵S△OAB=S△AOD+S梯形ABED −S△BOE=S梯形ABED，∴S△AOB=12(4+2)×(6−3)=9，故答案为9．根据图象上点的坐标特征求得A、B的坐标，将三角形AOB的面积转化为梯形ABED的面积，根据坐标可求出梯形的面积即可，此题考查了反比例函数系数k的几何意义，关键是掌握y=kx(k≠0)图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．15.【答案】1【解析】解：∵b+|c−3|+a2−8a=4√b−1−19，∴|c−3|+(a−4)2+(√b−1−2)2=0，∴c=3，a=4，b=5，∵32+42=25=52，∴c2+a2=b2，∴△ABC 是直角三角形，∠ABC =90°，设内切圆的半径为r ，根据题意，得S △ABC =12×3×4=12×3×r +12×4×r +12×r ×5，∴r =1，故答案为：1．由非负性可求a ，b ，c 的值，由勾股定理的逆定理可证△ABC 是直角三角形，∠ABC =90°，由面积法可求△ABC 的内切圆半径．本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理的逆定理，利用三角形面积公式求内切圆半径是本题的关键．16.【答案】(−1,1) 14 50101【解析】解：∵直线11：y =kx +k +1=k(x +1)+1， ∴直线12：y =(k +1)x +k +2经过点(−1,1)；∵直线12：y =(k +1)x +k +2=k(x +1)+(x +1)+1=(k +1)(x +1)+1， ∴直线12：y =(k +1)x +k +2经过点(−1,1)．∴无论k 取何值，直线l 1与l 2的交点均为定点(−1,1)． ∵直线11：y =kx +k +1与x 轴的交点为(−k+1k,0)，直线12：y =(k +1)x +k +2与x 轴的交点为(−k+2k+1,0)， ∴S K =12×|−k+1k +k+2k+1|×1=12k(k+1)，∴S 1=12×11×2=14； ∴S 1+S 2+S 3+⋯+S 100=12[11×2+12×3+⋯1100×101]=12[(1−12)+(12−13)+⋯+(1100−1101)] =12×(1−1101) =12×100101=50101．故答案为(−1,1)；14；50101．变形解析式得到两条直线都经过点(−1,1)，即可证出无论k 取何值，直线l 1与l 2的交点均为定点(−1,1)；先求出y =kx +k +1与x 轴的交点和y =(k +1)x +k +2与x 轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出S k ，求出S 1=12×(1−12)=14，S 2=12×(12−13)，以此类推S 100=12×(1100−1101)，相加后得到12×(1−1101).此题考查了一次函数的综合题；解题的关键是一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x 轴的交点的纵坐标为0，与y 轴的交点的横坐标为0．17.【答案】解：原式=−4+9+1−5=1．【解析】直接利用零指数幂的性质和立方根的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18.【答案】解：原式=(2x−1x−1−x2−1x−1)÷x−2(x−1)2=−x2+2xx−1)÷x−2(x−1)2 =−x(x−2)x−1⋅(x−1)2x−2 =−x(x−1)当x=√2+1时，原式=−(√2+1)(√2+1−1)=−(√2+1)×√2=−2−√2．【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．19.【答案】解：(1)如图，⊙O，射线BM，直线DE即为所求．(2)直线DE与⊙O相切，交点只有一个．理由：∵OB=OD，∴∠ODB=∠OBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM，∴∠ODB=∠ABD，∴OD//AB，∵DE⊥AB，∴AE⊥OD，∴直线AE是⊙O的切线，∴⊙O与直线AE只有一个交点．【解析】(1)根据要求，利用尺规作出图形即可．(2)证明直线AE是⊙O的切线即可解决问题．本题考查作图−复杂作图，切线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．20.【答案】3 40【解析】解：(1)由题意知a =20−(8+5+4)=3，b%=820×100%=40%，即b =40；故答案为：3、40；(2)估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数为1200×8+320=660(人)；男女女男 (男，女) (男，女) 女 (男，女) (女，女) 女(男，女)(女，女)所有等可能的结果有种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有种， ∴恰好抽到一男一女的概率为46=23．(1)由四个等级的人数之和等于总人数可得a 的值，利用百分比的概念可得b 的值；(2)用总人数乘以样本中A 、B 等级人数和所占比例即可得；(3)列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了统计图．21.【答案】解：(1)结论：四边形ABDF 是菱形． ∵CD =DB ，CE =EA ， ∴DE//AB ，AB =2DE ，由旋转的性质可知，DE =EF ， ∴AB =DF ，AB//DF ，∴四边形ABDF 是平行四边形， ∵BC =2AB ，BD =DC ， ∴BA =BD ，∴四边形ABDF 是菱形．(2)连接BF ，AD 交于点O ． ∵四边形ABDF 是菱形，∴AD ⊥BF ，OB =OF ，AO =OD ，设OA =x ，OB =y ，则有{2x +2y =8x 2+y 2=32，∴x +y =4，∴x 2+2xy +y 2=16， ∴2xy =7，∴S 菱形ABDF =12×BF ×AD =2xy =7．【解析】(1)结论：四边形ABDF 是菱形．根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．(2)设OA =x ，OB =y ，构建方程组求出2xy 即可解决问题．本题考查中心对称，三角形的面积，三角形的中位线定理，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：(1)根据题意得：600a−140=1300a，解得a=260，经检验，a=260是原分式方程的解．答：表中a的值为260．(2)设购进餐桌x张，则购进餐椅(5x+20)张，根据题意得：x+5x+20≤200，解得：x≤30．设销售利润为y元，根据题意得：y=[940−260−4×(260−110)]×12x+(380−260)×12x+[160−(260−110)]×(5x+20−4×12x)=250x+1000，∵k=250>0，∴当x=30时，y取最大值，最大值为：250×30+1000=8500．答：当购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是8500元．【解析】(1)根据数量=总价÷单价，即可得出结论，解之经检验后即可得出a值；(2)设购进餐桌x张，则购进餐椅(5x+20)张，由餐桌和餐椅的总数量不超过200张，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，设销售利润为y元，根据销售方式及总利润=单件(单套)利润×销售数量，即可得出y关于x的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)利用一次函数的性质解决最值问题．23.【答案】BP EC【解析】(1)证明：∵AB//CD，∴∠B+∠C=90°，∵∠B=90°，∴∠B=∠C=90°，∵AP⊥PE，∴∠APE=90°，∴∠APB+∠EPC=90°，∵∠EPC+∠PEC=90°，∴∠APB=∠PEC，∴△ABP∽△PCE．(2)解：①根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，BP的长度为自变量，EC的长度为因变量，故答案为：BP，EC．②设BP=xcm，CE=ycm．∵△ABP∽△PCE，∴ABPC =BPCE，∴6m−x =xy，∴y=−16x2+16mx=−16(x−12m)2+m224，∵−16<0，∴x=12m时，y有最大值m224，∵点E在线段CD上，CD=2cm，∴m224≤2，∴m≤4√3，∴0<m≤4√3．(1)根据两角对应相等两三角形相似证明即可．(2)①根据函数的定义判断即可．②设BP=xcm，CE=ycm.利用相似三角形的性质构建二次函数，两条二次函数的性质求出y的最大值即可解决问题．本题是相似形综合题，考查了相似三角形梯形，二次函数最值等知识点，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决问题，属于中考常考题型．24.【答案】60 30 45 BF=√2AF+√2FG BF=2AF⋅sin12α+FGsin12α【解析】(1)①解：如图1中，∵点E是点C关于AM的对称点，∴∠AGE=90°，AE=AC，∠1=∠2．∵正△ABC中，∠BAC=60°，AB=AC，∴AE=AB，得∠3=∠4．在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠3=60°．在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1=90°，∴∠FEG=30°．故答案为60，30．②证明：如图1中，连接CF，在FB上取一点T，使得FT=CF，连接CT．∵C，E关于AM对称，∴AM垂直平分线段EC，∴FE=FC，∴∠FEC=∠FCE=30°，EF=2FG，∴∠CFT=∠FEC+∠FCE=60°，∵FC=FT，∴△CFT是等边三角形，∴∠ACB=∠FCT=60°，CF=CT=FT，∴∠BCT=∠ACF，∵CB=CA，∴△BCT≌△ACF(SAS)，∴BT=AF，∴BF=BT+FT=AF+EF=AF+2FG．(2)解：①如图2中，∵AB=AC=AE，∴点A是△ECB的外接圆的圆心，∴∠BEC=12∠BAC，∵∠BAC=90°，∴∠FEG=45°．故答案为45．②结论：BF=√2AF+√2FG．理由：如图2中，连接CF，在FB上取一点T，使得FT=CF，连接CT．∵AM⊥EC，CG=CE，∴FC=EF，∴∠FEC=∠FCE=45°，EF=√2FG，∴∠CFT=∠FEC+∠FCE=90°，∵CF=CT，∴△CFT是等腰直角三角形，∴CT=√2CF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC=√2AC，∴CTCF =CBCA，∵∠BCA=∠TCF=45°，∴∠BCT=∠ACF，∴△BCT∽△ACF，∴BTAF =BCAC=√2，∴BT=√2CF，∴BF=BT+TF=√2AF+E√2AF+√2FG..(3)如图3中，连接CF，BC，在BF上取一点T，使得FT=CF．∵AB=AC，∠BAC=α，∴12BCAC=sin12α，∴BCAC =2⋅sin12α，∵AB=AC=AE，∴∠BEC=12∠BAC=12α，EF=FGsin12α，∵FC=FE，∴∠FEC=∠FCE=12α，∴∠CFT=∠FEC+∠FCE=α，同法可证，△BCT∽△ACF，∴BTAF =BCAC=2⋅sin12α，∴BT=2AF⋅sin12α，∴BF=BT+FT=2AF⋅sin12α+EF.即BF=2AF⋅sin12α+FGsin12α．故答案为：BF=2AF⋅sin 12α+FGsin12α．(1)①利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理解决问题即可．②如图1中，连接CF，在FB上取一点T，使得FT=CF，连接CT.证明△BCT≌△ACF(SAS)可得结论．(2)①如图2中，利用圆周角定理解决问题即可．②结论：BF=√2AF+√2FG.如图2中，连接CF，在FB上取一点T，使得FT=CF，连接CT.证明△BCT∽△ACF，推出BTAF =BCAC=√2，推出BT=√2CF可得结论．(3)如图3中，连接CF，BC，在BF上取一点T，使得FT=CF.构造相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题即可．本题属于四边形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．25.【答案】解：(1)∵直线y=12x−2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点A(4,0)，点B(0,−2)，设抛物线解析式为：y=a(x+1)(x−4)，∴−2=−4a，∴a =12，∴抛物线解析式为：y =12(x +1)(x −4)=12x 2−32x −2；(2)如图，当点P 在直线AB 上方时，过点O 作OP//AB ，交抛物线与点P ，∵OP//AB ，∴△ABP 和△ABP 是等底等高的两个三角形， ∴S △PAB =S △ABO ， ∵OP//AB ，∴直线PO 的解析式为y =12x ，联立方程组可得{y =12xy =12x 2−32x −2，解得：{x =2+2√2y =1+√2或{x =2−2√2y =1−√2，∴点P(2+2√2,1+√2)或(2−2√2,1−√2)；当点P′′在直线AB 下方时，在OB 的延长线上截取BE =OB =2，过点E 作EP′′//AB ，交抛物线于点P′′，∴AB//EP′′//OP ，OB =BE ， ∴S △ABP ′′=S △ABO ，∵EP′′//AB ，且过点E(0,−4)， ∴直线EP′′解析式为y =12x −4，联立方程组可得{y =12x −4y =12x 2−32x −2，解得{x =2y =−3，∴点P′′(2,−3)，综上所述：点P 坐标为(2+2√2,1+√2)或(2−2√2,1−√2)或(2,−3)； (3)如图2，过点M 作MF ⊥AC ，交AB 于F ，设点M(m,12m2−32m−2)，则点F(m,12m−2)，∴MF=12m−2−(12m2−32m−2)=−12(m−2)2+2，∴△MAB的面积=12×4×[−12(m−2)2+2]=−(m−2)2+4，∴当m=2时，△MAB的面积有最大值，∴点M(2,−3)，如图3，过点O作∠KOB=30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MR⊥OK于R，延长MF交直线KO于Q，∵∠KOB=30°，KN⊥OK，∴KN=12ON，∴MN+12ON=MN+KN，∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN+12ON有最小值，即最小值为MP，∵∠KOB=30°，∴直线OK解析式为y=√3x，当x=2时，点Q(2,2√3)，∴QM=2√3+3，∵OB//QM，∴∠PQM=∠PON=30°，∴PM=12QM=√3+32，∴MN+12ON的最小值为√3+32．【解析】(1)先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式；(2)分两种情况讨论，利用平行线之间的距离相等，可求OP解析式，EP′′的解析式，联立方程组可求解；(3)过点M作MF⊥AC，交AB于F，设点M(m,12m2−32m−2)，则点F(m,12m−2)，可求MF的长，由三角形面积公式可求△MAB的面积=−(m−2)2+4，利用二次函数的性质可求点M坐标，过点O作∠KOB=30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MR⊥OK于R，延长MF交直线KO于Q，由直角三角形的性质可得KN=12ON，可得MN+12ON=MN+KN，则当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN+12ON有最小值，即最小值为MP，由直角三角形的性质可求解．本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，垂线段最短等知识，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来是本题的关键．第21页，共21页。

四川省达州市2020年中考数学试题(word版,含答案)

达州市2020年高中阶段学校招生统一考试暨初中学业水平考试数学本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共8页．考试时间120分钟，满分120分．温馨提示： 1．答题前，考生需用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号正确填写在答题卡对应位置．待监考老师粘贴条形码后再认真核对条形码上的信息与自己的准考证上的信息是否一致．2．选择题必须使用2B 铅笔在答题卡相应位置规范填涂．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡对应的框内，超出答题区答案无效；在草稿纸、试题卷上作答无效．3．保持答题卡整洁，不要折叠、弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀． 4．考试结束后，将试卷及答题卡一并交回．第I 卷（选择题共30分）一、单项选择题（每小题3分，共30分）1．人类与病毒的斗争是长期的，不能松懈．据中央电视台“朝日新闻”报道，截止北京时间2020年6月30日凌晨，全球新冠肺炎患者确诊病例达到1002万．1002万用科学记数法表示，正确的是（） A ．71.00210⨯ B ．61.00210⨯ C ．41.00210⨯ D ．21.00210⨯万 2．下列各数中，比3大比4小的无理数是（） A ．3.14B ．103CD3A ．B ．C ． 4．下列说法正确的是（）A ．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查B ．确定事件一定会发生C ．某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96，那么这组数据的众数为98．D ．数据6、5、8、7、2的中位数是65．图2是图1中长方体的三视图，用S 表示面积，2 3S x x =+主，2S x x =+左，则S =俯（）A ．232x x ++B ．221x x ++C ．243x x ++D ．224x x +6．如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m ，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是（） A ．()121m -B ．()482m m +-C ．()1228m -+D ．1216m -主视图左视图俯视图正面图1图2（第5题图）（第6题图）（第7题图）亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（）A ．10B ．89C ．165D ．294 8．如图，在半径为5的O 中，将劣弧AB 沿弦AB 翻折，使折叠后的AB 恰好与OA 、OB 相切，则劣弧AB 的长为（）A ．53πB ．52πC ．54πD ．56π 9．如图，直线1y kx =与抛物线22y ax bx c =++交于A 、B 两点，则2()y ax b k x c =+-+的图象可能是（）10．如图，45BOD ∠=︒，BO DO =，点A 在OB 上，四边形ABCD 是矩形，连接AC 、BD 交于点E ，连接OE 交AD 于点F ．下列4个判断：①OE 平分BOD ∠；②OF BD =；③DF =；④若点G 是线段OF 的中点，则AEG ∆为等腰直角三角形．正确判断的个数是（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1第II 卷（非选择题共90分）二、填空题（每小题3分，共18分） 11．2019年是中华人民共和国成立70周年，天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游行活动．其中，群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题，包含有“建国创业”“改革开放”“伟大复兴”三个部分，某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分，制作扇形统计图．以下是打乱了的统计步骤：①绘制扇形统计图②收集三个部分本班学生喜欢的人数③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比其中正确的统计顺序是______．12．如图，点P （2-，1）与点Q （a ，b ）关于直线l ()1y =-对称，则a b +=______． 13．小明为测量校园里一颗大树AB 的高度，在树底部B 所在的水平面内，将测角仪CD 竖直放在与B 相距8m 的位置，在D 处测得树顶A 的仰角为52︒．若测角仪的高度是1m ，则大树AB 的高度约为______．（结果精确到1m ．参考数据：sin520.78︒≈，cos520.61︒≈，tan52 1.28︒≈） 14．如图，点A 、B 在反比函数12y x=的图象上，A 、B 的纵坐标分别是3和6，连接OA 、OB ，则OAB ∆的面积是______．15．已知ABC ∆的三边a 、b 、c满足2|3|819b c a a +-+-=，则ABC ∆的内切圆半径=______．16．已知k 为正整数，无论k 取何值，直线1:1l y kx k =++与直线2:(1)2l y k x k =+++都交于一个固定的点，这个点的坐标是______；记直线1l 和2l 与x 轴围成的三角形面积为k S ，则1S =______，123100S S S S ++++的值为______．A ．（第9题图）（第8题图）（第10题图）ODC BAE F （第12题图） A BCD（第13题图）三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）17．计算：22012(3π-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭18．求代数式22121121x x x x x x --⎛⎫--÷⎪--+⎝⎭的值，其中1x =．19．如图，点O 在ABC ∠的边BC 上，以OB 为半径作O ，ABC ∠的平分线BM 交O 于点D ，过点D 作DE BA ⊥于点E ．（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；（2）判断O 与DE 交点的个数，并说明理由．（第19题图）20．争创全国文明城市，从我做起．尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，随机抽取了20名学生的测试成绩，分数如下：94 83 90 86 94 88 96 100 89 82 94 82 84 89 88 93 98 94 93 92 整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：根据以上信息，解答下列问题．（1）填空：a =______，b =______；（2）若成绩不低于90分为优秀，估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数；（3）已知A 等级中有2名女生，现从A 等级中随机抽取2名同学，试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．21如图，ABC ∆中，2BC AB =，D 、E 分别是边BC 、AC 的中点．将CDE ∆绕点E 旋转180度，得AFE ∆．（1）判断四边形ABDF 的形状，并证明；（2）已知3AB =，8AD BF +=，求四边形ABDF 的面积S ．B ACD b % D B A FE C （第21题图）22（1）求表中a的值；（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？23．如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，90B ∠=︒，6AB cm =，2CD cm =．P 为线段BC 上的一动点，且和B 、C 不重合，连接PA ，过点P 作PE PA ⊥交射线CD 于点E ．聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：（1）通过推理，他发现ABP PCE ∆∆，请你帮他完成证明．（2）利用几何画板，他改变BC 的长度，运动点P ，得到不同位置时，CE 、BP 的长度的对应值：当当①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在BP 和CE 的长度这两个变量中，______的长度为自变量，______的长度为因变量；②设BC mcm =，当点P 在线段BC 上运动时，点E 总在线段CD 上，求m 的取值范围．D （第23题图）E C P B A24．（1）【阅读与证明】如图1，在正ABC ∆的外角CAH ∠内引射线AM ，作点C 关于AM 的对称点E （点E 在CAH ∠内），连接BE ，BE 、CE 分别交AM 于点F 、G ． ①完成证明：点E 是点C 关于AM 的对称点， 90AGE ∴∠=︒，AE AC =，12∠=∠．正ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AB AC =，AE AB ∴=，得34∠=∠．在ABE ∆中，126034180∠+∠+︒+∠+∠=︒，13∴∠+∠=______︒．在AEG ∆中，3190FEG ∠+∠+∠=︒，FEG ∴∠=______︒．②求证：2BF AF FG =+．（2）【类比与探究】把（1）中的“正ABC ∆”改为“正方形ABDC ”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得： ①FEG ∠=______︒；②线段BF 、AF 、FG 之间存在数量关系__________．（3）【归纳与拓展】如图3，点A 在射线BH 上，AB AC =，BAC α∠=()0180α︒<<︒，在CAH ∠内引射线AM ，作点C 关于AM 的对称点E （点E 在CAH∠内），连接BE ，BE 、CE 分别交AM 于点F 、G ．则线段BF 、AF 、GF 之间的数量关系为___________．H 图1 图2 B A 图3H25．如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知直线122y x =-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过A 、B 两点的抛物线2y ax b c =++与x 轴交于另一点C （1-，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点P ，使PAB OAB S S ∆∆=？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M 为直线AB 下方抛物线上一点，点N 为y 轴上一点，当MAB ∆的面积最大时，求12MN ON +的最小值．达州市2020年高中阶段学校招生统一考试暨初中学业水平考试数学参考答案及评分意见一、选择题（30分）题号 1 23 4 5 6 7 8 9 10 答案 AC BD C ADBBA二、填空题（18分） 11．②③① 12．-5 13．11m 14．915．116．（-1，1）41 10150 三、解答题（72分）17．（5分）解：原式=-4+9+1-5……………………………………………………………4分=1.…………………………………………………………………………5分18．（7分）解：2212(1)121x x x x x x ÷+------ =221(1)(1)(1)12x x x x x x --+--⋅--………………………………………………………3分 =(2)(1)2x x x x ----…………………………………………………………………4分=-x （x -1）.…………………………………………………………………………5分当x =2+1时，………………………………………………………………………6分原式=-（21+）⋅2=-2-2.…………………………………………………7分19．（7分）（1）一个1分.………………………………………3分（2）⊙O 与DE 交点的个数为1.…………………………4分连接OD .∵OB =OD ，∴∠OBD =∠ODB . ∵BD 平分∠ABC ，∴∠OBD =∠ABD ，∴∠ODB =∠ABD .……………………………………5分 ∵DE ⊥BA 于点E ， ∴∠ABD +∠BDE =90°. ∴∠ODB +∠BDE =90°，∴OD ⊥DE .………………………………………………6分 ∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线，∴⊙O 与DE 有且只有1个交点. ………………………………………………7分20．（7分）解：（1）3 40…………………………………………………………………………………2分（2）38120020+⨯=660（人）. …………………………………………………………3分∴该校八年级学生中，达到优秀等级的人数约为660.……………………………4分（3）…………………………………………………5分总共6个等可能的结果.其中，一男一女4个，……………………………………6分∴P （一男一女）=3264=. …………………………………………………………………7分 21．（8分）解：（1）四边形ABDF 是菱形.理由：由旋转得，AF =CD ，DF =2DE .………………1分 ∵D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，∴BD =CD =AF ，AB =2DE =DF .…………………2分 ∴四边形ABDF 是平行四边形.…………………3分又∵BC =2AB ，∴BD =AB ，（2）连接AD 、BF 交于点O ，则11,22AO AD BO BF ==，AD ⊥BF . ……………………5分设AD =2a ，BF =2b ，则2223,4.a b a b ⎧+=⎨+=⎩…………………………………………6分∴a 2+2ab +b 2=16，∴2ab =16-9=7. ………………………………………………7分 ∴四边形ABDF 的面积S =12222a b ab ⋅⋅==7. …………………………………8分22．（8分）解：（1）根据题意得6001300140a a=-，………………………………………………………1分解得a =260.………………………………………………………………………2分经检验，a =260是所列方程的解，且符合题意，∴a =260.…………………………………………………………………………3分（2）设餐桌x 张，则餐椅（520x +）张，x+5x+20≤200，x ≤30.……………………………………………………………4分设利润y 元，则y =12x （940-260-120×4）+12x （380-260）+（520x +-142x ⋅）（160-120）， …………………………………………5分整理得，y =280x +800. …………………………………………………………6分 ∵y 随x 的增大而增大，∴当x =30时，y 最大.………………………………7分 ∴进30张餐桌，170张餐椅，获得利润最大.最大利润为9200元. …………8分23．（8分）（1）证明：∵∠APE =90°，∠B =90°，∴∠3+∠2=90°，∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3.………………………………………………1分又∵AB ∥CD ，∠B =90°，∴∠C =90°=∠B .……………2分 ∴△ABP ∽△PCE .………………………………………3分（2）①BP CE …………………………………………………………………………4分②∵△ABP ∽△PCE ，∴AB BPPC CE=. ……………………………………………5分设BP =x ，CE =y ，则CP =m -x .得6x m x y =-，∴22211)66224m m y x mx x ==+（（）----.………………………6分 ∴当x =2m时，y 取得最大值，最大值为224m .…………………………………7分∵点P 在线段BC 上运动时，点E 总在线段CD 上， ∴224m ≤2，又∵m >0，∴m 的取值范围为0<m ≤43． ………………………………8分24．（10分）解：（1）[阅读与证明]①完成证明（每空0.5分）60，30 ………………………………1分②在FB 上取FN =AF ，连接AN . ∵∠AFN =∠EFG =60°，∴△AFN 是等边三角形， …………………………………………………2分 ∴AN =AF ，∠FAN =60°，∴∠BAN =∠2=∠1.又∵AB =AE ，∴△ABN ≌△AEF （SAS ）.……3分 ∴BN =EF =2FG . ………………………………4分 ∴BF =AF +2FG . ………………………………5分究]①45 ………………………………………………………………6分②BF =2（AF +FG ） ……………………………………………………………8分（3）[归纳与拓展]BF =2AF sin 2α+sin 2FG α ……………………………………………………………10分 25．（12分）解：（1）对于122y x =-，当x =0时，y =-2；当y =0时，x =4. ∴A （4，0），B （0，-2）.……………………………1分设(1)(4)y a x x =+-，则24a =--，12a =.…………2分 ∴抛物线的解析式为213222y x x =--.………………3分（2）存在.过点O 平行于AB 的直线为12y x =，由21,213222y x y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得1212222,222,12;1 2.x x y y ⎧⎧=+=-⎪⎪⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩ ……………………………5分将AB 向下平移2个单位得142y x =-，由214,213222y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得23.x y =⎧⎨=⎩，- …………………………………………………6分 ∴点P 的坐标为P 1（2+22，1+2），P 2（2-22，1-2），P 3（2，-3）.…………………………………………………………………………………………7分（3）设点M （x ，213222x x --），则 MAB S ∆=211134(22)2222x x x ⋅--++ =24x x -+=-2(2)4x -+.当2x =时，MAB S ∆最大，此时，点M （2，-3）.…………………………………9分在第三象限作射线OP ，使∠BOP =30°，在OP 上取点D ，过点D 作DN ⊥OP ，交y 轴于点N ，则DN =12ON . 当点M 、N 、D 在一条直线上时，12MN ON +的值最小. ………………………10分作ME ⊥y 轴，交y 轴于点E ，则ME =2.∵∠MNE =∠OND =60°，∴sin60°=2MN ，MN =433. ∴NE =233，ON =3-233，∴DN =32-133.……11分 ∴12MN ON +的最小值为332+. …………………12分 A B C O xy。

四川省达州市2020年部编人教版中考数学试题及答案(word版含精析)

2020年四川省达州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题3分，共30分）1．（3分）（2020•达州）向东行驶3km，记作+3km，向西行驶2km记作（）A．+2km B．﹣2km C．+3km D．﹣3km分析：根据正数和负数表示相反意义的量，向东记为正，可得答案．解答：解：向东行驶3km，记作+3km，向西行驶2km记作﹣2km，故选：B．点评：本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示．2．（3分）（2020•达州）2020年5月21日，中国石油天然气集团公司与俄罗斯天然气工业股份公司在上海签署了《中俄东线供气购销合同》，这份有效期为30年的合同规定，从2020年开始供气，每年的天然气供应量为380亿立方米，380亿立方米用科学记数法表示为（）A．3.8×1010m3B．38×109m3C．380×108m3D．3.8×1011m3考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将380亿立方米用科学记数法表示为：3.8×1010m3．故选：A．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）（2020•达州）二次根式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x＜2 D．x≤2考点：二次根式有意义的条件．分析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．解答：解：由题意得，﹣2x+4≥0，解得x≤2．故选：D．点评：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．4．（3分）（2020•达州）小颖同学到学校领来n盒粉笔，整齐地摞在讲桌上，其三视图如图，则n的值是（）A．6B．7C．8D．9考点：由三视图判断几何体．分析：易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层盒数，由正视图和左视图可得第二层，第三层盒数，相加即可．解答：解：由俯视图可得最底层有4盒，由正视图和左视图可得第二层有2盒，第三层有1盒，共有7盒，故选：B．点评：考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．5．（3分）（2020•达州）一家特色煎饼店提供厚度相同、直径不同的两种煎饼，甲种煎饼直径20厘米卖价10元，乙种煎饼直径30厘米卖价15元，请问：买哪种煎饼划算？（）A．甲B．乙C．一样D．无法确定考点：列代数式．分析：先求出它们的面积，再求出每平方厘米的卖价，即可比较那种煎饼划算．解答：解：甲的面积=100π平方厘米，甲的卖价为元/平方厘米；乙的面积=225π平方厘米，乙的卖价为元/平方厘米；∵＞，∴乙种煎饼划算，故选：B．点评：本题考查了列代数式，是基础知识，要熟练掌握．6．（3分）（2020•达州）下列说法中错误的是（）A．将油滴入水中，油会浮出水面是一个必然事件B．1、2、3、4这组数据的中位数是2.5C．一组数据的方差越小，这组数据的稳定性越差D．要了解某种灯管的使用寿命，一般采用抽样调查考点：随机事件；全面调查与抽样调查；中位数；方差．分析：利用必然事件意义、中位数、方差的性质、普查和抽样调查的特点即可作出判断．解答：解：A．必然事件是一定会发生的事件，将油滴入水中，油会浮出水面是一个必然事件，故A选项正确；B．1、2、3、4这组数据的中位数是=2.5，故B选项正确；C．一组数据的方差越小，这组数据的稳定性越强，故C选项错误；D．要了解某种灯管的使用寿命，具有破坏性，一般采用抽样调查，故D选项正确．故选：C．点评：本题主要考查了必然事件意义、中位数、方差的性质、普查和抽样调查的特点，熟练掌握性质及意义是解题的关键．7．（3分）（2020•达州）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD 的平分线交于点P，则∠P=（）A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α考点：多边形内角与外角；三角形内角和定理．分析：先求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解∠P的度数．解答：解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D）=360°﹣α，∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠BCD）=（360°﹣α）=180°﹣α，则∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（180°﹣α）=α．故选：C．点评：本题考查了多边形的内角和外角以及三角形的内角和定理，属于基础题．8．（3分）（2020•达州）直线y=kx+b不经过第四象限，则（）A．k＞0，b＞0 B．k＜0，b＞0 C．k≥0，b≥0 D．k＜0，b≥0考点：一次函数图象与系数的关系．分析：直接根据一次函数图象与系数的关系求解．解答：解：∵直线y=kx+b不经过第四象限，即直线过第一、三象限且与y轴的交点不在x 轴的下方，∴k≥0，b≥0．故选：C．点评：本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．9．（3分）（2020•达州）如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G 的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D．①△OB1C∽△OA1D；②OA•OC=OB•OD；③OC•G=OD•F1；④F=F1．其中正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：相似三角形的应用．专题：跨学科．分析：根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行判断出B1C∥A1D，然后求出△OB1C∽△OA1D，判断出①正确；根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到②正确；根据杠杆平衡原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂列式阻力判断出③正确；求出F的大小不变，判断出④正确．解答：解：∵B1C⊥OA，A1D⊥OA，∴B1C∥A1D，∴△OB1C∽△OA1D，故①正确；∴=，由旋转的性质得，OB=OB1，OA=OA1，∴OA•OC=OB•OD，故②正确；由杠杆平衡原理，OC•G=OD•F1，故③正确；∴===是定值，∴F1的大小不变，∴F=F1，故④正确．综上所述，说法正确的是①②③④．故选：D．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，杠杆平衡原理，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质并准确识图是解题的关键．10．（3分）（2020•达州）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1．①b2＞4ac；②4a﹣2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．上述4个判断中，正确的是（）A．①②B．①④C．①③④D．②③④考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与不等式（组）．分析：根据抛物线与x轴有两个交点可得b2﹣4ac＞0，进而判断①正确；根据题中条件不能得出x=﹣2时y的正负，因而不能得出②正确；如果设ax2+bx+c=0的两根为α、β（α＜β），那么根据图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜α或x＞β，由此判断③错误；先根据抛物线的对称性可知x=﹣2与x=4时的函数值相等，再根据二次函数的增减性即可判断④正确．解答：解：①∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确；②x=﹣2时，y=4a﹣2b+c，而题中条件不能判断此时y的正负，即4a﹣2b+c可能大于0，可能等于0，也可能小于0，故②错误；③如果设ax2+bx+c=0的两根为α、β（α＜β），那么根据图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜α或x＞β，故③错误；④∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，∴x=﹣2与x=4时的函数值相等，∵4＜5，∴当抛物线开口向上时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，∴y1＜y2，故④正确．故选：B．点评：主要考查图象二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，以及二次函数与不等式的关系，根的判别式的熟练运用．二、填空题（本题6个小题，每小题3分，共18分．把最后答案直接填在题中的横线上）11．（3分）（2020•达州）化简：（﹣a2b3）3=﹣a6b9．考点：幂的乘方与积的乘方．分析：根据积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得答案．解答：解：原式=（﹣1）3a2×3b3×3=﹣a6b9，故答案为：﹣a6b9．点评：本题考查了积的乘方，积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘是解题关键．12．（3分）（2020•达州）“每天锻炼一小时，健康生活一辈子”，自开展“阳光体育运动”以来，学校师生的锻炼意识都增强了，某校有学生8200人，为了解学生每天的锻炼时间，学校体育组随机调查了部分学生，统计结果如表．时间段频数频率29分钟及以下108 0.5430﹣39分钟24 0.1240﹣49分钟m 0.1550﹣59分钟18 0.091小时及以上20 0.1表格中，m=30；这组数据的众数是108；该校每天锻炼时间达到1小时的约有820人．考点：频数（率）分布表；用样本估计总体；众数．分析：根据表格中29分钟及以下的频数与对应的频率求出调查的总人数，再用调查的总人数乘0.15即为m的值；根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数可求出这组数据的众数；根据表格可知每天锻炼时间达到1小时的频率为0.1，再用样本估计总体的方法用8200乘0.1即可求解．解答：解：∵每天锻炼时间在29分钟及以下的频数为108，对应的频率为0.54，∴调查的总人数为108÷0.54=200（人），∴m=200×0.15=30（人），∵每天锻炼时间在29分钟及以下的有108人，人数最多，∴这组数据的众数是108；该校每天锻炼时间达到1小时的约有8200×0.1=820（人）．故答案为：30；108；820．点评：本题考查读频数（率）分布表的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．同时考查了众数的定义及用样本估计总体的思想．13．（3分）（2020•达州）《庄子．天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图．由图易得：=．考点：规律型：图形的变化类．分析：由图可知第一次剩下，截取1﹣；第二次剩下，共截取1﹣；…由此得出第n次剩下，共截取1﹣，得出答案即可．解答：解：=1﹣=．故答案为：．点评：此题考查图形的变化规律，找出与数据之间的联系，得出规律解决问题．14．（3分）（2020•达州）己知实数a、b满足a+b=5，ab=3，则a﹣b=±．考点：完全平方公式．专题：计算题．分析：将a+b=5两边平方，利用完全平方公式展开，把ab的值代入求出a2+b2的值，再利用完全平方公式即可求出a﹣b的值．解答：解：将a+b=5两边平方得：（a+b）2=a2+b2+2ab=25，将ab=3代入得：a2+b2=19，∴（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab=19﹣6=13，则a﹣b=±．故答案为：±点评：此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．15．（3分）（2020•达州）如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，则图中阴影部分的面积是π﹣2．考点：扇形面积的计算；等腰直角三角形．分析：通过图形知S=S半圆AB的面积+S半圆BC的面积﹣S△ABC的面积，所以由圆的面积公式阴影部分面积和三角形的面积公式可以求得阴影部分的面积．解答：解：∵在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴图中阴影部分的面积是：S阴影部分面积=S半圆AB的面积+S半圆BC的面积﹣S△ABC的面积==π﹣2．故答案为：π﹣2．点评：本题考查了扇形面积的计算、勾股定理．解题的关键是推知S=S半圆AB的面积+S阴影部分面积﹣S△ABC的面积．半圆BC的面积16．（3分）（2020•达州）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB=6cm，BC=10cm．则折痕EF的最大值是cm．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：判断出点F与点C重合时，折痕EF最大，根据翻折的性质可得BC=B′C，然后利用勾股定理列式求出B′D，从而求出AB′，设BE=x，根据翻折的性质可得B′E=BE，表示出AE，在Rt△AB′E中，利用勾股定理列方程求出x，再利用勾股定理列式计算即可求出EF．解答：解：如图，点F与点C重合时，折痕EF最大，由翻折的性质得，BC=B′C=10cm，在Rt△B′DC中，B′D===8cm，∴AB′=AD﹣B′D=10﹣8=2cm，设BE=x，则B′E=BE=x，AE=AB﹣BE=6﹣x，在Rt△AB′E中，AE2+AB′2=B′E2，即（6﹣x）2+22=x2，解得x=，在Rt△BEF中，EF===cm．故答案为：．点评：本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，难点在于判断出折痕EF最大的情况并利用勾股定理列出方程求出BE的长，作出图形更形象直观．三、解答题（72分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）（2020•达州）计算：．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项化为最简二次根式，最后一项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果．解答：解：原式=+1+2﹣1=+2．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则解本题的关键．18．（6分）（2020•达州）化简求值：，a取﹣1、0、1、2中的一个数．考点：分式的化简求值．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值代入进行计算即可．解答：解：原式=•﹣=﹣=﹣，当a=2时，原式=﹣=﹣1．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．（7分）（2020•达州）四张背面完全相同的纸牌（如图，用①、②、③、④表示），正面分别写有四个不同的条件．小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，先随机抽出一张（不放回），再随机抽出一张．（1）写出两次摸牌出现的所有可能的结果（用①、②、③、④表示）；（2）以两次摸出的牌面上的结果为条件，求能判断四边形ABCD为平行四边形的概率．考点：列表法与树状图法；平行四边形的判定．分析：（1）利用树状图展示所有等可能的结果数；（2）由于共有12种等可能的结果数，根据平行四边形的判定能判断四边形ABCD为平行四边形有6种，则根据概率公式可得到能判断四边形ABCD为平行四边形的概率=．解答：解：（1）画树状图为：（2）共有12种等可能的结果数，其中能判断四边形ABCD为平行四边形有6种：①③、①④、②③、③①、③②、④①，所以能判断四边形ABCD为平行四边形的概率==．点评：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果数，再找出某事件所占有的结果数，然后根据概率公式计算这个事件的概率．也考查了平行四边形的判定．20．（7分）（2020•达州）某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8000元购进一批衬衫，面市后果然供不应求，服装商又用17600元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了8元．商家销售这种衬衫时每件定价都是100元，最后剩下10件按8折销售，很快售完．在这两笔生意中，商家共盈利多少元？考点：分式方程的应用．分析：设第一批进货的单价为x元，则第二批进货的单价为（x+8）元，根据第二批进货是第一批购进数量的2倍，列方程求出x的值，然后求出盈利．解答：解：设第一批进货的单价为x元，则第二批进货的单价为（x+8）元，由题意得，×2=，解得：x=80，经检验；x=80是原分式方程的解，且符合题意，则第一次进货100件，第二次进货的单价为88元，第二次进货200件，总盈利为：（100﹣80）×100+（100﹣88）×（200﹣10）+10×（100×0.8﹣88）=4200（元）．答：在这两笔生意中，商家共盈利4200元．点评：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．21．（8分）（2020•达州）如图，直线PQ与⊙O相交于点A、B，BC是⊙O的直径，BD平分∠CBQ交⊙O于点D，过点D作DE⊥PQ，垂足为E．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）连结AD，己知BC=10，BE=2，求sinBAD的值．考点：切线的判定．专题：计算题．分析：（1）连结OD，利用角平分线的定义得∠CBD=∠QBD，而∠OBD=∠ODB，则∠ODB=∠QBD，于是可判断OD∥BQ，由于DE⊥PQ，根据平行线的性质得OD⊥DE ，则可根据切线的判定定理得到DE与⊙O相切；（2）连结CD，根据圆周角定理由BC是⊙O的直径得到∠BDC=90°，再证明Rt△BCD∽△BDE，利用相似比可计算出BD=2，在Rt△BCD中，根据正弦的定义得到sin∠C==，然后根据圆周角定理得∠BAD=∠C，即有sin∠BAD=．解答：（1）证明：连结OD，如图，∵BD平分∠CBQ交⊙O于点D，∴∠CBD=∠QBD，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠ODB=∠QBD，∴OD∥BQ，∵DE⊥PQ，∴OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；（2）解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∵∠CBD=∠QBD，∴Rt△BCD∽△BDE，∴=，即=，∴BD=2，在Rt△BCD中，sin∠C===，∵∠BAD=∠C，∴sin∠BAD=．点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、锐角三角函数和相似三角形的判定与性质．22．（8分）（2020•达州）达州市凤凰小学位于北纬21°，此地一年中冬至日正午时刻，太阳光与地面的夹角最小，约为35.5°；夏至日正午时刻，太阳光的夹角最大，约为82.5°．己知该校一教学楼窗户朝南，窗高207cm，如图（1）．请你为该窗户设计一个直角形遮阳棚BCD，如图（2），要求最大限度地节省材料，夏至日正午刚好遮住全部阳光，冬至日正午能射入室内的阳光没有遮挡．（1）在图（3）中画出设计草图；（2）求BC、CD的长度（结果精确到个位）（参考数据：sin35.5°≈0.58，cos35.5°≈0.81，tan35.5°≈0.71，sin82.5°≈0.99，cos82.5°≈0.13，tan82.5°≈7.60）考点：解直角三角形的应用．分析：（1）根据题意结合入射角度进而画出符合题意的图形即可；（2）首先设CD=x，则tan35.5°=，表示出DC的长，进而利用tan82.5°=求出DC的长，进而得出答案．解答：解：（1）如图所示：（2）由题意可得出：∠CDB=35.5°，∠CDA=82.5°，设CD=x，则tan35.5°=，∴BC=0.71x，∴在Rt△ACD中，tan82.5°===0.76，解得：x≈30，∴BC=0.71×30≈21（cm），答：BC的长度是21cm，CD的长度是30cm．点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，正确选择锐角三角函数关系进而求出CD的长是解题关键．23．（8分）（2020•达州）如图，直线L：y=﹣x+3与两坐标轴分别相交于点A、B．（1）当反比例函数（m＞0，x＞0）的图象在第一象限内与直线L至少有一个交点时，求m 的取值范围．（2若反比例函数（m＞0，x＞0）在第一象限内与直线L相交于点C、D，当CD=时，求m 的值．（3）在（2）的条件下，请你直接写出关于x的不等式﹣x+3＜的解集．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）根据方程有交点，可得判别是大于或等于0，可得答案；（2）根据韦达定理，可得方程两根的关系，根据两点间距离公式，可得答案；（3）根据反比例函数图象在上方的区域，可得不等式的解集．解答：解：（1）当反比例函数（m＞0，x＞0）的图象在第一象限内与直线L至少有一个交点，得﹣x+3=，x2﹣3x+m=0，△=（﹣3）2﹣4m≥0，解得m≤．∴m的取值范围为：0＜x≤．（2）x2﹣3x+m=0，x1+x2=3，x1•x2=m，CD=，，2（9﹣4m）=8，m=；（3）当m=时，x2﹣3x+m=0，解得x1=，x2=，由反比例函数图象在上方的区域得0＜x＜，或x．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了韦达定理，两点间的距离公式，一次函数与不等式的关系．24．（10分）（2020•达州）倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出题海，提高学习能力和创新能力的有效途径．下面是一案例，请同学们认真阅读、研究，完成“类比猜想”及后面的问题．习题解答：习题如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，说明理由．解答：∵正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠B=90°，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE′，点F、D、E′在一条直线上．∴∠E′AF=90°﹣45°=45°=∠EAF，又∵AE′=AE，AF=AF∴△AE′F≌△AEF（SAS）∴EF=E′F=DE′+DF=BE+DF．习题研究观察分析：观察图（1），由解答可知，该题有用的条件是①ABCD是四边形，点E、F分别在边BC、CD上；②AB=AD；③∠B=∠D=90°；④∠EAF=∠BAD．类比猜想：（1）在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B=∠D时，还有EF=BE+DF吗？研究一个问题，常从特例入手，请同学们研究：如图（2），在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当∠BAD=120°，∠EAF=60°时，还有EF=BE+DF吗？（2）在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B+∠D=180，∠EAF=∠BAD 时，EF=BE+DF吗？归纳概括：反思前面的解答，思考每个条件的作用，可以得到一个结论“EF=BE+DF”的一般命题：在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B+∠D=180，∠EAF=∠BAD时，则EF=BE+DF．考点：四边形综合题．专题：综合题．分析：（1）根据菱形的性质和∠EAF=60°得到AB=AD，∠1+∠3=60°，∠B=∠ADC=60°，则把△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADE′，如图（2），连结E′F，根据旋转的性质得∠EAE′=120°，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B=60°，则∠2+∠3=60°，所以∠EAF=∠E′AF，然后利用“SAS”证明△AEF≌≌△AE′F，得到EF=E′F；由于∠ADE′+∠ADC=120°，则点F、D、E′不共线，所以DE′+DF＞EF，即由BE+DF＞EF；（2）如图（3），由于AB=AD，则把△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的度数至△ADE′，如图（3），根据旋转的性质得∠EAE′=∠BAD，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B，由于∠B+∠D=180，则∠ADE′+∠D=180°，所以点F、D、E′共线，利用∠EAF=∠BAD，得到∠1+∠2=∠BAD，则∠2+∠3=∠BAD，所以∠EAF=∠E′AF，然后利用“SAS”证明△AEF≌△AE′F，得到EF=E′F，所以EF=DE′+DF=BE+DF；根据前面的条件和结论可归纳为：在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当满足AB=AD，∠B+∠D=180，∠EAF=∠BAD时，则有EF=BE+DF．解答：解：（1）当∠BAD=120°，∠EAF=60°时，EF=BE+DF不成立，EF＜BE+DF．理由如下：∵在菱形ABCD中，∠BAD=120°，∠EAF=60°，∴AB=AD，∠1+∠3=60°，∠B=∠ADC=60°，∴把△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADE′，如图（2），连结E′F，∴∠EAE′=120°，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B=60°，∴∠2+∠3=60°，∴∠EAF=∠E′AF，在△AEF和△AE′F中，∴△AEF≌△AE′F（SAS），∴EF=E′F，∵∠ADE′+∠ADC=120°，即点F、D、E′不共线，∴DE′+DF＞EF∴BE+DF＞EF；（2）当AB=AD，∠B+∠D=180，∠EAF=∠BAD时，EF=BE+DF成立．理由如下：如图（3），∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的度数至△ADE′，如图（3），∴∠EAE′=∠BAD，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B，∵∠B+∠D=180，∴∠ADE′+∠D=180°，∴点F、D、E′共线，∵∠EAF=∠BAD，∴∠1+∠2=∠BAD，∴∠2+∠3=∠BAD，∴∠EAF=∠E′AF，在△AEF和△AE′F中，∴△AEF ≌△AE ′F （SAS ），∴EF=E ′F ，∴EF=DE ′+DF=BE+DF ；归纳：在四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，当AB=AD ，∠B+∠D=180，∠EAF=∠BAD 时，则EF=BE+DF ．点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握特殊平行四边形的性质和旋转的性质；会运用三角形全等的判定与性质解决线段相等的问题．25．（12分）（2020•达州）如图，在平面直角坐标系中，己知点O （0，0），A （5，0），B （4，4）．（1）求过O 、B 、A 三点的抛物线的解析式．（2）在第一象限的抛物线上存在点M ，使以O 、A 、B 、M 为顶点的四边形面积最大，求点M 的坐标．（3）作直线x=m 交抛物线于点P ，交线段OB 于点Q ，当△PQB 为等腰三角形时，求m 的值．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；分类讨论．分析：（1）由于抛物线与x 轴的两个交点已知，因此抛物线的解析式可设成交点式，然后把点B 的坐标代入，即可求出抛物线的解析式．（2）以O 、A 、B 、M 为顶点的四边形中，△OAB 的面积固定，因此只要另外一个三角形面积最大，则四边形面积即最大；求出另一个三角形面积的表达式，利用二次函数的性质确定其最值；本问需分类讨论：①当0＜x ≤4时，点M 在抛物线OB 段上时，如答图1所示；②当4＜x ≤5时，点M 在抛物线AB 段上时，图略．（3）△PQB 为等腰三角形时，有三种情形，需要分类讨论，避免漏解：①若点B 为顶点，即BP=BQ ，如答图2﹣1所示；②若点P 为顶点，即PQ=PB ，如答图2﹣2所示；③若点P 为顶点，即PQ=QB ，如答图2﹣3所示．解答：解：（1）∵该抛物线经过点A （5，0），O （0，0），∴该抛物线的解析式可设为y=a （x ﹣0）（x ﹣5）=ax （x ﹣5）．∵点B （4，4）在该抛物线上，∴a ×4×（4﹣5）=4．∴a=﹣1．∴该抛物线的解析式为y=﹣x （x ﹣5）=﹣x 2+5x ．（2）以O 、A 、B 、M 为顶点的四边形中，△OAB 的面积固定，因此只要另外一个三角形面积最大，则四边形面积即最大．①当0＜x≤4时，点M在抛物线OB段上时，如答图1所示．∵B（4，4），∴易知直线OB的解析式为：y=x．设M（x，﹣x2+5x），过点M作ME∥y轴，交OB于点E，则E（x，x），∴ME=（﹣x2+5x）﹣x=﹣x2+4x．S△OBM=S△MEO+S△MEB=ME（x E﹣0）+ME（x B﹣x E）=ME•x B=ME×4=2ME，∴S△OBM=﹣2x2+8x=﹣2（x﹣2）2+8∴当x=2时，S△OBM最大值为8，即四边形的面积最大．②当4＜x≤5时，点M在抛物线AB段上时，图略．可求得直线AB解析式为：y=﹣4x+20．设M（x，﹣x2+5x），过点M作ME∥y轴，交AB于点E，则E（x，﹣4x+20），∴ME=（﹣x2+5x）﹣（﹣4x+20）=﹣x2+9x﹣20．S△ABM=S△MEB+S△MEA=ME（x E﹣x B）+ME（x A﹣x E）=ME•（x A﹣x B）=ME×1=ME，∴S△ABM=﹣x2+x﹣10=﹣（x﹣）2+∴当x=时，S△ABM最大值为，即四边形的面积最大．比较①②可知，当x=2时，四边形面积最大．当x=2时，y=﹣x2+5x=6，∴M（2，6）．（3）由题意可知，点P在线段OB上方的抛物线上．设P（m，﹣m2+5m），则Q（m，m）当△PQB为等腰三角形时，①若点B为顶点，即BP=BQ，如答图2﹣1所示．过点B作BE⊥PQ于点E，则点E为线段PQ中点，∴E（m，）．∵BE∥x轴，B（4，4），∴=4，解得：m=2或m=4（与点B重合，舍去）∴m=2；②若点P为顶点，即PQ=PB，如答图2﹣2所示．易知∠BOA=45°，∴∠PQB=45°，则△PQB为等腰直角三角形．∴PB∥x轴，∴﹣m2+5m=4，解得：m=1或m=4（与点B 重合，舍去）∴m=1；③若点P 为顶点，即PQ=QB ，如答图2﹣3所示．∵P （m ，﹣m 2+5m ），Q （m ，m ），∴PQ=﹣m 2+4m ．又∵QB=（x B ﹣x Q ）=（4﹣m ），∴﹣m 2+4m=（4﹣m ），解得：m=或m=4（与点B 重合，舍去），∴m=．综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，m 的值为1，2或．点评：本题是二次函数压轴题，涉及考点较多，有一定的难度．重点考查了分类讨论的数学思想，第（2）（3）问均需要进行分类讨论，避免漏解．注意第（2）问中求面积表达式的方法，以及第（3）问中利用方程思想求m 值的方法．。

2020年四川省达州中考数学试卷-答案

2020年四川省达州市高中阶段学校招生统一考试暨初中学业水平考试数学答案解析第Ⅰ卷（选择题）一、1.【答案】A【解析】71 00210 020 000 1.00210==⨯万．故答案选A ．【考点】科学记数法的表示2.【答案】C【解析】解：∵2174＞，223124＜＜4，34∴选项中比3大比4故选：C ．【考点】无理数的定义和估算3.【答案】B【解析】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，A 、手的对面是勤，所以本选项不符合题意；B 、手的对面是口，所以本选项符合题意；C 、手的对面是罩，所以本选项不符合题意；D 、手的对面是罩，所以本选项不符合题意．故选：B ．【考点】正方体相对面上的文字4.【答案】D【解析】全国中小学生数量极大，不适合全面普查，为了解全国中小学生心理状况，应采用抽样调查方式，故A 选项错误；确定事件包括必然事件与不可能事件，不可能事件不会发生，故B 选项错误；众数为一组数据当中出现次数最多的数据，该组数据中98，99均分别出现两次，故众数为98，99，C 选项错误；将一组数据按数值大小顺序排列，位于中间位置的数值为该组数据的中位数，2，5，6，7，8中位数为6，故D 选项正确；综上：本题答案为D 选项．【考点】统计5.【答案】A【解析】解：()233S x x x x =+=+主∵，()21x x x x S =+=+左，∴主视图的长3x =+，左视图的长1x =+，则俯视图的两边长分别为：3x +、1x +，()()23143x x x x S =++=++俯，故选：A ．【考点】已知三视图求边长，正确得出俯视图的边长6.【答案】A【解析】解：由题可知求小球的总数的方法会按照不同的计数方法而规律不同，比如可以按照一共有12条棱，去掉首尾衔接处的小球，则每条棱上剩下()122m -个小球，加上衔接处的8个小球，则小球的个数为()12281216m m -+=-，选项B 中()4821216m m m +-=-，故B ，C ，D 均正确，故本题选A.【考点】图形的规律，合并同类项7.【答案】D【解析】依题意，还在自出生后的天数是：2555155354⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯+，25025154294=+++=故选：D ．【考点】实数运算的实际应用，解答的关键是运用类比的方法找出满5进1的规律列式计算．8.【答案】B【解析】解：如图：画出折叠后AB 所在的'O ，连'O B ，'O AAB ∵恰好与OA 、OB 相切'O B OB ⊥∴、'O A OA ⊥''OB OA O B O A ===∵，∴四边形'O BOA 是正方形90O ∠=︒∴∴劣弧AB 的长为9025π5π3602︒⨯⨯=︒．故答案为B ．【考点】折叠的性质，正方形的判定与性质，弧长公式9.【答案】B【解析】解：由题图像得1y kx =中0k ＞，22y ax bx c =++中0a ＜，0b ＜，0c ＜，0b k -∴＜，∴函数2()y ax b k x c =+-+对称轴20b k ax --=＜，交x 轴于负半轴， ∴当12y y =时，即2kx ax bx c =++，移项得方程2()0ax b k x c +-+=，∵直线1y kx =与抛物线22y ax bx c =++有两个交点， ∴方程2()0ax b k x c +-+=有两个不等的解，即2()y ax b k x c =+-+与x 轴有两个交点，根据函数2()y ax b k x c =+-+对称轴交x 轴负半轴且函数图像与x 轴有两个交点，∴可判断B 正确．故选：B【考点】二次函数与一次函数的图象与性质10.【答案】A【解析】解：①BO DO =∵OBD ∴△是等腰三角形∵四边形ABCD 是矩形12DE BE BD ==∴，DA OB ⊥ OE ∴平分BOD ∠，OE BD ⊥故①正确；②OE BD ⊥∵，DA OB ⊥，即DAO DAB ∠=∠90EDF DFE ∠+∠=︒∴，90AOF AFO ∠+∠=︒EDF AOF ∠=∠∵DA OB ⊥∵，45BOD ∠=︒OA AD =∴在OFA △和OBD △中EDF AOF ∠=∠，OA AD =，DAO DAB ∠=∠OFA OBD ∴△≌△OF BD =∴，即②正确；③过F 作FH AD ⊥，垂足为H ，OE ∵平分BOD ∠，DA OB ⊥FH AF =∴45BOD =︒∠∵，DA OB ⊥45HDF ∠=︒∴2sin HF A F F F HD FD D==∠=∴，即DF =；故③正确；④由②得EDF AOF ∠=∠，G ∵为OF 中点12OG OF =∴ 12DE BE BD ==∵，OF BD = OG DE =∴在OGA △和AED △中OG DE =，EDF AOF ∠=∠，AD OA =OGA AED ∴△≌△OG EF =∴，GAO DAE ∠=∠GAE ∴△是等腰三角形DA OB ⊥∵90OAG DAG ∠+∠=︒∴∴ 90DAE DAG ∠+∠=︒，即90GAE ∠=︒GAE ∴△是等腰直角三角形，故④正确．故答案为A ．【考点】全等三角形的判定与性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，解直角三角形第Ⅱ卷（非选择题）二、11.【答案】②③①【解析】解：正确的统计顺序是：②收集三个部分本班学生喜欢的人数；③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比；①绘制扇形统计图；故答案为：②③①．【考点】扇形统计图12.【答案】5-【解析】解：∵点(2,1)P -与点Q(,)a b 关于直线(1)l y =-对称2a =-∴，112b +=-，解得3b =- ()235a b +=-+-=-∴故答案为5-．【考点】关于1y =-对称点的性质，根据对称点的性质求得a 、b 的值是解答本题的关键．13.【答案】11 m【解析】如图，过D 作DE AB ⊥，则四边形BCDE 是矩形，BC DE =∴，BE CD =，∵在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为52º，52ADE ∠=︒∴，8 m BC DE ==∵，tan528 1.2810.24 m AE DE =⋅︒≈⨯≈∴，10.24111.24 m 11 m AB AE BE AE CD =+=+=+=≈∴.AB ∴约为：11 m .故答案为：11 m ．【考点】解直角三角形的应用，仰角俯角问题14.【答案】9【解析】如图，设BD y ⊥轴于点D ，AC y ⊥轴于点C ，AC 与OB 的交点为点E ，A ∵、B 的纵坐标分别是3和6，代入函数关系式可得横坐标分别为4，2；()4,3A ∴，()2,6B ；4AC =∴，2BD =，3CD =由反比例函数的几何意义可得BOD AOC S S =△△，AOE EBDC S S =△四边形∴，()192AOB ABDC S S AC BD CD ==+⨯=△四边形∴，故答案为：9．【考点】反比例函数中三角形面积的求解15.【答案】1【解析】解：2|3|819b c a a +-+-=)()24|3|8160c a a -+-+-+= )()222|3|40c a +-+-=20=，30c -=，40a -=，即4a =，5b =，3c =，222435+=∵ABC ∴△是直角三角形ABC ∴△的内切圆半径314522a cb +-+-===．故答案为1．【考点】非负数性质的应用，勾股定理逆定理的应用，直角三角形内切圆的求法16.【答案】()1,1- 14 50101【解析】解：联立直线1:1l y kx k =++与直线()2:12l y k x k =+++成方程组，()112y kx k y k x k =++⎧⎨=+++⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩， ∴这两条直线都交于一个固定的点，这个点的坐标是()1,1-；∵直线1:1l y kx k =++与x 轴的交点为1,0k k +⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线21:()2l y k x k =+++与x 轴的交点为2,01k k +⎛⎫- ⎪+⎝⎭， 11111222111k k k k k S k k ++--+⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝+⎭∴， 114S =∴，123100S S S S ++++111111112111122334100101222---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝-++⎭ 111111112233410012101-+-+--⎛⎫= ⎪⎝++⎭1110112⎛=-⎫ ⎪⎝⎭ 50101=故答案为：()1,1-；14；50101【考点】一次函数y kx b =+（k≠0，b 为常数)的图象，坐标与线段的关系，三角形的面积公式，分数的特殊运算方法三、17.【答案】1【解析】解：22012(3π-⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭4915=-++-1=．【解析】具体解析过程参照答案.【考点】乘方，负整数指数幂，零次幂，立方根18.【答案】解：原式()222112111x x x x x x ⎛⎫---=-÷ ⎪---⎝⎭ ()221212x x x x x --⋅=-- ()()22112x x x x x ---⋅--=()1x x =--2x x =-+，当1x =时，原式=))2112-+=-- 【解析】具体解析过程参照答案.【考点】分式的化简求值，二次根式的混合运算19.【答案】解：（1）如下图，补全图形：（2）如下图，连接OD ，∵点D在O上，OB OD=∴，12∠=∠∴，又BM∵平分ABC∠，13∠=∠∴，23∠=∠∴，OD BA∴∥，180ODE BED∠+∠=︒∴，∵DE BA⊥90ODE∠=︒∴，OD∴是O的切线，O∴与DE有1个交点.【解析】具体解析过程参照答案.【考点】尺规作图，圆的切线的判定20.【答案】解：（1）解：208543a=---=；82040%÷=，40b=∴；故答案为：3，40；（2）381 20066020+⨯=人；答：估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数是660人；（3）记A等级中的2名女生为M、N，1名男生为Y，所有可能的情况如图所示：由上图可知：共有6种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女的结果有4种，∴恰好抽到一男一女的概率=42 63 =．【解析】具体解析过程参照答案.【考点】频数分布表，扇形统计图，利用样本估计总体和求两次事件的概率21.【答案】解：（1）四边形ABCD 是菱形，理由如下：D ∵、E 分别是边BC 、AC 的中点，DF AB ∴∥，又CDE ∵△绕点E 旋转180度后得AFE △，C FAE ∠=∠∴，BD AF ∴∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，又2BC AB =∵，AB BD =∴，∴四边形ABCD 是菱形．（2）如图，连接AD 、BF ，∵四边形ABCD 是菱形，AD ∴与BF 相互垂直且平分，又8AD BF +=∵，4AO BO +=∴，令AO x =，4BO x =-，在Rt ABO △中，3AB =，222BO AO AB +=∴，即()22243x x -+=，解得：142x +=，242x =，即由图可知AD =，BO =4AD =∴4BF =(11144126222S AD BO =⨯⨯=⨯=⨯=∴．【解析】具体解析过程参照答案.【考点】菱形的判定和性质综合应用22.【答案】解：（1）根据题意，得：1 300600140a a =-，解得：260a =，经检验：260a =是所列方程的解， 260a =∴；（2）设购进餐桌x 张，则购进餐椅()520x +张，销售利润为W 元．由题意得：520200x x ++≤，解得：30x ≤．260a =∵，∴餐桌的进价为260元/张，餐椅的进价为120元/张．依题意可知：()()()11194026041203802605204160120280800222W x x x x ⎛⎫=⨯--⨯+⨯-++-⨯⨯-=+ ⎪⎝⎭， 2800k =∵＞，W ∴随x 的增大而增大，∴当30x =时，W 取最大值，最大值为9 200元．故购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9 200元．【解析】具体解析过程参照答案.【考点】分式方程的应用，一元一次不等式，一次函数的应用23.【答案】解：（1）证明：PE PA ⊥∵，90APE ∠=︒∴，90APB CPE ∠+∠=︒∵，90CEP CPE ∠+∠=︒，APB CEP ∠=∠∴，又90B C ∠=∠=︒∵，ABP PCE ∴△∽△；（2）①由题意可得随着P 点的变化，CE 的长度在变化，所以BP 的长度为自变量，CE 的长度为因变量；故答案为：BP ，CE ；②设BP 的长度为 cm x ，CE 的长度为 cm y ，ABP PCE ∵△∽△，AB BP PC EC=∴，即6m x x y -=，()216y x mx =--∴ 216224m m x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， ∴当2x m =时，y 取得最大值，最大值为224m ， ∵点P 在线段BC 上运动时，点E 总在线段CD 上，2224m ∴≤，解得m ≤m ∴的取值范围为：0m ＜≤．【解析】具体解析过程参照答案.【考点】代数几何综合题，相似三角形的判定与性质，梯形的性质，二次函数最值24.【答案】解：（1）①12∠=∠∵，34∠=∠，126034180∠+∠++∠+∠=︒︒()213120∠+∠=︒∴，即1360∠+∠=︒；3190FEG ∠+∠+∠=︒∵()903130FEG -∠=︒∠+∠=︒∴故答案为60°，30°；②在FB 上取FN AF =，连接AN60AFN EFG ∠=∠=︒∵AFN ∴△是等边三角形AF FN AN ==∴FN AF =∵60BAC NAF ∠=∠=︒∴2BAN NAC NAC ∠+∠=∠+∠∴2BAN ∠=∠∴∵点C 关于AM 的对称点E21∠=∠∴，AC AE =21BAN ∠=∠=∠∴AB AC =∵AB AE =∴在ABN △和AEF △FN AF =，1BAN ∠=∠，AB AE =ABN AEF ∴△≌△BN EF =∴AG CE ⊥∵，30FEG ∠=︒2EF FG =∴2BN EF FG ==∴BF BN NF =+∵2BF FG AF =+∴（2）①点E 是点C 关于AM 的对称点，90AGE ∠=︒∴，AE AC =，12∠=∠．正方形ABCD 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AE AB =∴，得34∠=∠．在ABE △中，129034180∠+∠++∠+∠=︒︒，1345∠+∠=︒∴．在AEG △中，3190FEG ∠+∠+∠=︒，45FEG ∠=︒∴．故答案为45°；②在FB 上取FN AF =，连接AN45AFN EFG ∠=∠=︒∵AFN ∴△是等腰直角三角形90NAF ∠=︒∴，AF AN =290BAN NAC NAC ∠+∠=∠+∠=︒∴，FN =2BAN ∠=∠∴∵点C 关于AM 的对称点E21∠=∠∴，AC AE =21BAN ∠=∠=∠∴AB AC =∵AB AE =∴在ABN △和AEF △FN AF =，1BAN ∠=∠，AB AE =ABN AEF ∴△≌△BN EF =∴AG CE ⊥∵，45FEG ∠=︒EF =∴BN EF =∴BF BN NF =+∵BF ∴（3）由（1）得：当60BAC ∠=︒时602sin302sin 60sin302si 22n BF AF F FG FG AF AF G ︒⋅︒+=⋅+==︒︒+ 2sin 2sin 2FGBF AF αα=⋅+；由（2）得：当90BAC ∠=︒时902sin 452sin 90sin 452sin 2FG FG BF FG AF AF ︒=⋅︒+=⋅+︒︒；以此类推，当60BAC α∠=︒时，2sin 2sin 2FGBF AF αα=⋅+．【解析】具体解析过程参照答案.【考点】轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角函数的应用25.【答案】解：（1）由题意，令0y =，即1202x -= A ∴的坐标为()4,0令0x =，即2y =-B ∴的坐标为()0,2-将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线，得164020a b c c a b c ++=⎧⎪=-⎨⎪-+=⎩解得12232a c b ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩∴抛物线解析式为：213222y x x =--；（2）假设存在该点P ，设其坐标为213,222a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭A ∵的坐标为()4,0，B 的坐标为()0,2-4OA =∴，2OB =，AB =∴点P 到直线122y x =-211322a a a ⎛⎫---- ⎪142PAB OAB OA S S OB =⋅==△△∵211322142a a a ⎛⎫---- ⎪⋅=∴2a =∴∴存在这样的点P ，点P 的坐标为()2,3-（3）设M 坐标为213,222m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭2211322142MAB m m m m S m ⎛⎫---- ⎪⋅=-+=△当MAB △的面积最大时，即()22424MAB m m S m =-+=--+△ MAB △的面积最大为4，2m =M ∴坐标为()2,3-设N 的坐标为()0,n111222MN ON n n +=⋅⋅ 当3n =-时，12MN ON +有最小值，其值为72.【解析】具体解析过程参照答案.【考点】一次函数与二次函数的综合运用。

2020年四川省达州市中考数学试题

2020年四川省达州市中考数学试卷一、单项选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）人类与病毒的斗争是长期的，不能松懈．据中央电视台报道，截止北京时间2020年6月30日凌晨，全球新冠肺炎患者确诊病例达到1002万．1002万用科学记数法表示，正确的是（）A．1.002×107B．1.002×106C．1002×104D．1.002×102万2．（3分）下列各数中，比3大比4小的无理数是（）A．3.14B．C．D．3．（3分）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是（）A．B．C．D．4．（3分）下列说法正确的是（）A．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查B．确定事件一定会发生C．某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96，那么这组数据的众数为98D．数据6、5、8、7、2的中位数是65．（3分）图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，S主＝x2+3x，S左＝x2+x，则S俯＝（）A．x2+3x+2B．x2+2x+1C．x2+4x+3D．2x2+4x 6．（3分）如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是（）A．12（m﹣1）B．4m+8（m﹣2）C．12（m ﹣2）+8D．12m﹣167．（3分）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（）A．10B．89C．165D．294 8．（3分）如图，在半径为5的⊙O中，将劣弧AB沿弦AB翻折，使折叠后的恰好与OA、OB相切，则劣弧AB的长为（）A．πB．πC．πD．π9．（3分）如图，直线y1＝kx与抛物线y2＝ax2+bx+c交于A、B两点，则y＝ax2+（b﹣k）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．10．（3分）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF＝BD；③DF＝AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是（）A．4B．3C．2D．1二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）2019年是中华人民共和国成立70周年，天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游行活动．其中，群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题，包含有“建国创业”“改革开放”“伟大复兴”三个部分，某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分，制作扇形统计图．以下是打乱了的统计步骤：①绘制扇形统计图②收集三个部分本班学生喜欢的人数③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比其中正确的统计顺序是．12．（3分）如图，点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线1（y＝﹣1）对称，则a+b＝．13．（3分）小明为测量校园里一棵大树AB的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪CD竖直放在与B相距8m的位置，在D 处测得树顶A的仰角为52°．若测角仪的高度是1m，则大树AB的高度约为．（结果精确到1m．参考数据：sin52°≈0.78，cos52°≈0.61，tan52°≈1.28）14．（3分）如图，点A、B在反比函数y＝的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接OA、OB，则△OAB的面积是．15．（3分）已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4﹣19，则△ABC的内切圆半径＝．16．（3分）已知k为正整数，无论k取何值，直线11：y＝kx+k+1与直线12：y＝（k+1）x+k+2都交于一个固定的点，这个点的坐标是；记直线11和12与x轴围成的三角形面积为S k，则S1＝，S1+S2+S3+…+S100的值为．三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）17．（5分）计算：﹣22+（）﹣2+（π﹣）0+．18．（7分）求代数式（﹣x﹣1）÷的值，其中x＝+1．19．（7分）如图，点O在∠ABC的边BC上，以OB为半径作⊙O，∠ABC的平分线BM交⊙O于点D，过点D作DE⊥BA于点E．（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；（2）判断⊙O与DE交点的个数，并说明理由．20．（7分）争创全国文明城市，从我做起．尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，随机抽取了20名学生的测试成绩，分数如下：94 83 90 86 94 88 96 100 89 8294 82 84 89 88 93 98 94 93 92整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：等级成绩/分频数A95≤x≤100aB90≤x＜958C85≤x＜905D80≤x＜854根据以上信息，解答下列问题．（1）填空：a＝，b＝；（2）若成绩不低于90分为优秀，估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数；（3）已知A等级中有2名女生，现从A等级中随机抽取2名同学，试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．21．（8分）如图，△ABC中，BC＝2AB，D、E分别是边BC、AC 的中点．将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE．（1）判断四边形ABDF的形状，并证明；（2）已知AB＝3，AD+BF＝8，求四边形ABDF的面积S．22．（8分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：原进价（元/张）零售价（元/张）成套售价（元/套）餐桌a380940餐椅a﹣140160已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．（1）求表中a的值；（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？23．（8分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝6cm，CD＝2cm．P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过点P作PE⊥PA交射线CD于点E．聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：（1）通过推理，他发现△ABP∽△PCE，请你帮他完成证明．（2）利用几何画板，他改变BC的长度，运动点P，得到不同位置时，CE、BP的长度的对应值：当BC＝6cm时，得表1：BP/cm…12345…CE/cm…0.83 1.33 1.50 1.330.83…当BC＝8cm时，得表2：BP/cm…1234567…CE/cm… 1.17 2.00 2.50 2.67 2.50 2.00 1.17…这说明，点P在线段BC上运动时，要保证点E总在线段CD上，BC的长度应有一定的限制．①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，的长度为自变量，的长度为因变量；②设BC＝mcm，当点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD 上，求m的取值范围．24．（10分）（1）[阅读与证明]如图1，在正△ABC的外角∠CAH内引射线AM，作点C关于AM 的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM 于点F、G．①完成证明：∵点E是点C关于AM的对称点，∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，∴AE＝AB，得∠3＝∠4．在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝°．在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，∴∠FEG＝°．②求证：BF＝AF+2FG．（2）[类比与探究]把（1）中的“正△ABC”改为“正方形ABDC”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得：①∠FEG＝°；②线段BF、AF、FG之间存在数量关系．（3）[归纳与拓展]如图3，点A在射线BH上，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），在∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．则线段BF、AF、GF之间的数量关系为．25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+ON的最小值．第11页（共11页）。

2020年四川省达州市中考数学试题及答案(word版)

23．（10 分）如图，将 △AOB 置于平面直角坐标系中，其中点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为 (3，0) ， ABO 60 ．
（1）若 △AOB 的外接圆与 y 轴交于点 D ，求 D 点坐标．
（2）若点 C 的坐标为 (1，0) ，试猜想过 D，C 的直线与 △AOB 的外接圆的位置关系，并
y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
O
x
A．
B．
C．
D．
8．如图，一个四边形花坛 ABCD ，被两条线段 MN，EF 分成四个部分，分别种上红、黄、
紫、白四种花卉，种植面积依次是 S1，S2，S3，S4 ，若 MN ∥AB∥DC ，EF ∥DA∥CB ，
则有（ C ）
D
E
C
红 M
紫 N
黄
白
A F
B
（8 题图）
A． S1 S4
．
三、解答题（共 55 分）解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（一）（本题 2 小题，共 14 分） 16．（8 分）
（1）计算： (1)2008 1 cos 45 ； 2
解：原式＝1＋ 2 － 2 2• 2 2
＝1＋ 2 － 2 22
＝1
（2）先将
x2 x 1
x
1 1
汶川（升/吨）
北川（升/吨）
A市
0.5
0.8
B市
1.0
0.4
（1）若从 A 市运往汶川的赈灾物资为 x 吨，求完成以上运输所需总耗油量 y（升）与 x（吨）
的函数关系式．（2）请你设计一种最佳运输方案，使总耗油量最少，并求出完成以上方案至少需要多少升油？解：（1）由题意得：y=0.5x＋(500－x)×0.8＋(400－x)×1.0+[300－(400－x)]×0.4

2020年达州市中考数学试题、试卷(解析版)

2020年达州市中考数学试题、试卷（解析版）一、单项选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）人类与病毒的斗争是长期的，不能松懈．据中央电视台报道，截止北京时间2020年6月30日凌晨，全球新冠肺炎患者确诊病例达到1002万．1002万用科学记数法表示，正确的是（） A ．1.002×107 B ．1.002×106 C ．1002×104D ．1.002×102万2．（3分）下列各数中，比3大比4小的无理数是（） A ．3.14B ．103C ．√12D ．√173．（3分）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是（）A ．B ．C ．D ．4．（3分）下列说法正确的是（）A ．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查B ．确定事件一定会发生C ．某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96，那么这组数据的众数为98D ．数据6、5、8、7、2的中位数是65．（3分）图2是图1中长方体的三视图，用S 表示面积，S 主＝x 2+3x ，S 左＝x 2+x ，则S 俯＝（）A ．x 2+3x +2B ．x 2+2x +1C ．x 2+4x +3D ．2x 2+4x6．（3分）如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m ，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是（）A ．12（m ﹣1）B ．4m +8（ m ﹣2）C ．12（ m ﹣2）+8D ．12m ﹣167．（3分）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（）A ．10B ．89C ．165D ．2948．（3分）如图，在半径为5的⊙O 中，将劣弧AB 沿弦AB 翻折，使折叠后的AB ̂恰好与OA 、OB 相切，则劣弧AB 的长为（）A ．53πB ．52πC ．54πD ．56π9．（3分）如图，直线y 1＝kx 与抛物线y 2＝ax 2+bx +c 交于A 、B 两点，则y ＝ax 2+（b ﹣k ）x +c 的图象可能是（）A．B．C．D．10．（3分）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF ＝BD；③DF=√2AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是（）A．4B．3C．2D．1二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）2019年是中华人民共和国成立70周年，天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游行活动．其中，群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题，包含有“建国创业”“改革开放”“伟大复兴”三个部分，某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分，制作扇形统计图．以下是打乱了的统计步骤：①绘制扇形统计图②收集三个部分本班学生喜欢的人数③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比其中正确的统计顺序是．12．（3分）如图，点P （﹣2，1）与点Q （a ，b ）关于直线1（y ＝﹣1）对称，则a +b ＝．13．（3分）小明为测量校园里一棵大树AB 的高度，在树底部B 所在的水平面内，将测角仪CD 竖直放在与B 相距8m 的位置，在D 处测得树顶A 的仰角为52°．若测角仪的高度是1m ，则大树AB 的高度约为．（结果精确到1m ．参考数据：sin52°≈0.78，cos52°≈0.61，tan52°≈1.28）14．（3分）如图，点A 、B 在反比函数y =12x的图象上，A 、B 的纵坐标分别是3和6，连接OA 、OB ，则△OAB 的面积是．15．（3分）已知△ABC 的三边a 、b 、c 满足b +|c ﹣3|+a 2﹣8a ＝4√b −1−19，则△ABC 的内切圆半径＝．16．（3分）已知k 为正整数，无论k 取何值，直线11：y ＝kx +k +1与直线12：y ＝（k +1）x +k +2都交于一个固定的点，这个点的坐标是；记直线11和12与x 轴围成的三角形面积为S k ，则S 1＝，S 1+S 2+S 3+…+S 100的值为．三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分） 17．（5分）计算：﹣22+（13）﹣2+（π−√5）0+√−1253．18．（7分）求代数式（2x−1x−1−x ﹣1）÷x−2x 2−2x+1的值，其中x =√2+1．19．（7分）如图，点O 在∠ABC 的边BC 上，以OB 为半径作⊙O ，∠ABC 的平分线BM 交⊙O于点D，过点D作DE⊥BA于点E．（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；（2）判断⊙O与DE交点的个数，并说明理由．20．（7分）争创全国文明城市，从我做起．尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，随机抽取了20名学生的测试成绩，分数如下：94 83 90 86 94 88 96 100 89 8294 82 84 89 88 93 98 94 93 92整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：等级成绩/分频数A95≤x≤100aB90≤x＜958C85≤x＜905D80≤x＜854根据以上信息，解答下列问题．（1）填空：a＝，b＝；（2）若成绩不低于90分为优秀，估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数；（3）已知A等级中有2名女生，现从A等级中随机抽取2名同学，试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．21．（8分）如图，△ABC中，BC＝2AB，D、E分别是边BC、AC的中点．将△CDE绕点E 旋转180度，得△AFE．（1）判断四边形ABDF的形状，并证明；（2）已知AB＝3，AD+BF＝8，求四边形ABDF的面积S．22．（8分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：原进价（元/张）零售价（元/张）成套售价（元/套）餐桌a380940餐椅a﹣140160已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．（1）求表中a的值；（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？23．（8分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝6cm，CD＝2cm．P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接P A，过点P作PE⊥P A交射线CD于点E．聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：（1）通过推理，他发现△ABP∽△PCE，请你帮他完成证明．（2）利用几何画板，他改变BC的长度，运动点P，得到不同位置时，CE、BP的长度的对应值：当BC＝6cm时，得表1：BP/cm…12345…CE/cm…0.83 1.33 1.50 1.330.83…当BC＝8cm时，得表2：BP/cm…1234567…CE/cm… 1.17 2.00 2.50 2.67 2.50 2.00 1.17…这说明，点P在线段BC上运动时，要保证点E总在线段CD上，BC的长度应有一定的限制．①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，的长度为自变量，的长度为因变量；②设BC＝mcm，当点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．24．（10分）（1）[阅读与证明]如图1，在正△ABC的外角∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．①完成证明：∵点E是点C关于AM的对称点，∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，∴AE＝AB，得∠3＝∠4．在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝°．在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，∴∠FEG＝°．②求证：BF＝AF+2FG．（2）[类比与探究]把（1）中的“正△ABC”改为“正方形ABDC”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得：①∠FEG＝°；②线段BF、AF、FG之间存在数量关系．（3）[归纳与拓展]如图3，点A在射线BH上，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），在∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM 于点F、G．则线段BF、AF、GF之间的数量关系为．25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=12x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△P AB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+12ON的最小值．2020年四川省达州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）人类与病毒的斗争是长期的，不能松懈．据中央电视台报道，截止北京时间2020年6月30日凌晨，全球新冠肺炎患者确诊病例达到1002万．1002万用科学记数法表示，正确的是（） A ．1.002×107 B ．1.002×106 C ．1002×104D ．1.002×102万【解答】解：1002万用科学记数法表示为1.002×107，故选：A ．2．（3分）下列各数中，比3大比4小的无理数是（） A ．3.14B ．103C ．√12D ．√17【解答】解：3=√9，4=√16， A 、3.14是有理数，故此选项不合题意； B 、103是有理数，故此选项不符合题意；C 、√12是比3大比4小的无理数，故此选项符合题意；D 、√17比4大的无理数，故此选项不合题意；故选：C ．3．（3分）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、手的对面是勤，不符合题意； B 、手的对面是口，符合题意；C、手的对面是罩，不符合题意；D、手的对面是罩，不符合题意；故选：B．4．（3分）下列说法正确的是（）A．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查B．确定事件一定会发生C．某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96，那么这组数据的众数为98D．数据6、5、8、7、2的中位数是6【解答】解：A．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用抽样调查，此选项错误；B．确定事件一定会发生，或一定不会发生，此选项错误；C．某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96，那么这组数据的众数为98和99，此选项错误；D．数据6、5、8、7、2的中位数是6，此选项正确；故选：D．5．（3分）图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，S主＝x2+3x，S左＝x2+x，则S俯＝（）A．x2+3x+2B．x2+2x+1C．x2+4x+3D．2x2+4x【解答】解：∵S主＝x2+3x＝x（x+3），S左＝x2+x＝x（x+1），∴俯视图的长为x+3，宽为x+1，则俯视图的面积S俯＝（x+3）（x+1）＝x2+4x+3，故选：C．6．（3分）如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是（）A ．12（m ﹣1）B ．4m +8（ m ﹣2）C ．12（ m ﹣2）+8D ．12m ﹣16【解答】解：由题意得，当每条棱上的小球数为m 时，正方体上的所有小球数为12m ﹣8×2＝12m ﹣16．而12（m ﹣1）＝12m ﹣12≠12m ﹣16，4m +8（ m ﹣2）＝12m ﹣16，12（ m ﹣2）+8＝12m ﹣16，所以A 选项表达错误，符合题意； B 、C 、D 选项表达正确，不符合题意；故选：A ．7．（3分）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（）A ．10B ．89C ．165D ．294【解答】解：2×53+1×52+3×51+4×50＝294，故选：D ．8．（3分）如图，在半径为5的⊙O 中，将劣弧AB 沿弦AB 翻折，使折叠后的AB ̂恰好与OA 、OB 相切，则劣弧AB 的长为（）A ．53πB ．52πC ．54πD ．56π【解答】解：如图，作O 点关于AB 的对称点O ′，连接O ′A 、O ′B ， ∵OA ＝OB ＝O ′A ＝O ′B ，∴四边形OAO′B为菱形，∵折叠后的AB̂与OA、OB相切，∴O′A⊥OA，O′B⊥OB，∴四边形OAO′B为正方形，∴∠AOB＝90°，∴劣弧AB的长=90⋅π⋅5180=52π．故选：B．9．（3分）如图，直线y1＝kx与抛物线y2＝ax2+bx+c交于A、B两点，则y＝ax2+（b﹣k）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：设y＝y2﹣y1，∵y1＝kx，y2＝ax2+bx+c，∴y＝ax2+（b﹣k）x+c，由图象可知，在点A和点B之间，y＞0，在点A的左侧或点B的右侧，y＜0，故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意；故选：B．10．（3分）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF ＝BD；③DF=√2AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，∴EB＝ED，∵BO＝DO，∴OE平分∠BOD，故①正确；②∵四边形ABCD是矩形，∴∠OAD＝∠BAD＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵OB＝OD，BE＝DE，∴OE⊥BD，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠BOE＝∠BDA，∵∠BOD＝45°，∠OAD＝90°，∴∠ADO＝45°，∴AO＝AD，∴△AOF≌△ABD（ASA），∴OF＝BD，故②正确；③∵△AOF≌△ABD，∴AF＝AB，连接BF，如图1，∴BF=√2AF，∵BE＝DE，OE⊥BD，∴DF＝BF，∴DF=√2AF，故③正确；④根据题意作出图形，如图2，∵G是OF的中点，∠OAF＝90°，∴AG＝OG，∴∠AOG＝∠OAG，∵∠AOD＝45°，OE平分∠AOD，∴∠AOG＝∠OAG＝22.5°，∴∠F AG＝67.5°，∠ADB＝∠AOF＝22.5°，∵四边形ABCD是矩形，∴EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA＝22.5°，∴∠EAG＝90°，∵∠AGE＝∠AOG+∠OAG＝45°，∴∠AEG＝45°，∴AE＝AG，∴△AEG为等腰直角三角形，故④正确；故选：A．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）2019年是中华人民共和国成立70周年，天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游行活动．其中，群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题，包含有“建国创业”“改革开放”“伟大复兴”三个部分，某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分，制作扇形统计图．以下是打乱了的统计步骤：①绘制扇形统计图②收集三个部分本班学生喜欢的人数③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比其中正确的统计顺序是②③①．【解答】解：正确的统计顺序是：②收集三个部分本班学生喜欢的人数；③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比；①绘制扇形统计图；故答案为：②③①．12．（3分）如图，点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线1（y＝﹣1）对称，则a+b＝﹣5．【解答】解：∵点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线1（y＝﹣1）对称，∴a＝﹣2，b＝﹣3，∴a+b＝﹣2﹣3＝﹣5，故答案为﹣5．13．（3分）小明为测量校园里一棵大树AB的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪CD竖直放在与B相距8m的位置，在D处测得树顶A的仰角为52°．若测角仪的高度是1m，则大树AB的高度约为11．（结果精确到1m．参考数据：sin52°≈0.78，cos52°≈0.61，tan52°≈1.28）【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意得，BC＝DE＝8，∠ADE＝52°，DE＝CD＝1在Rt△ADE中，AD＝DE•tan∠ADE＝8×tan52°≈10.24，∴AB＝AE+BE＝10.24+1≈11（米）故答案为：11．14．（3分）如图，点A、B在反比函数y=12x的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接OA、OB，则△OAB的面积是9．【解答】解：∵点A、B在反比函数y=12x的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，∴A（4，3），B（2，6），作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，∴S△AOD＝S△BOE=12×12＝6，∵S△OAB＝S△AOD+S梯形ABED﹣S△BOE＝S梯形ABED，∴S△AOB=12（4+2）×（6﹣3）＝9，故答案为9．15．（3分）已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4√b−1−19，则△ABC的内切圆半径＝1．【解答】解：∵b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4√b−1−19，∴|c﹣3|+（a﹣4）2+（√b−1−2）2＝0，∴c＝3，a＝4，b＝5，∵32+42＝25＝52，∴c2+a2＝b2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，设内切圆的半径为r，根据题意，得S△ABC=12×3×4=12×3×r+12×4×r+12×r×5，∴r＝1，故答案为：1．16．（3分）已知k为正整数，无论k取何值，直线11：y＝kx+k+1与直线12：y＝（k+1）x+k+2都交于一个固定的点，这个点的坐标是（﹣1，1）；记直线11和12与x轴围成的三角形面积为S k，则S1＝14，S1+S2+S3+…+S100的值为50101．【解答】解：∵直线11：y＝kx+k+1＝k（x+1）+1，∴直线12：y＝（k+1）x+k+2经过点（﹣1，1）；∵直线12：y＝（k+1）x+k+2＝k（x+1）+（x+1）+1＝（k+1）（x+1）+1，∴直线12：y＝（k+1）x+k+2经过点（﹣1，1）．∴无论k取何值，直线l1与l2的交点均为定点（﹣1，1）．∵直线11：y＝kx+k+1与x轴的交点为（−k+1k，0），直线12：y＝（k+1）x+k+2与x轴的交点为（−k+2k+1，0），∴S K=12×|−k+1k+k+2k+1|×1=12k(k+1)，∴S1=12×11×2=14；∴S 1+S 2+S 3+…+S 100=12[11×2+12×3+⋯1100×101] =12[（1−12）+（12−13）+…+（1100−1101）]=12×（1−1101） =12×100101 =50101．故答案为（﹣1，1）；14；50101．三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分） 17．（5分）计算：﹣22+（13）﹣2+（π−√5）0+√−1253．【解答】解：原式＝﹣4+9+1﹣5 ＝1．18．（7分）求代数式（2x−1x−1−x ﹣1）÷x−2x 2−2x+1的值，其中x =√2+1．【解答】解：原式＝（2x−1x−1−x 2−1x−1）÷x−2(x−1)2=−x 2+2x x−1）÷x−2(x−1)2 =−x(x−2)x−1•(x−1)2x−2＝﹣x （x ﹣1）当x =√2+1时，原式＝﹣（√2+1）（√2+1﹣1）＝﹣（√2+1）×√2 ＝﹣2−√2．19．（7分）如图，点O 在∠ABC 的边BC 上，以OB 为半径作⊙O ，∠ABC 的平分线BM 交⊙O 于点D ，过点D 作DE ⊥BA 于点E ．（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；（2）判断⊙O 与DE 交点的个数，并说明理由．【解答】解：（1）如图，⊙O，射线BM，直线DE即为所求．（2）直线DE与⊙O相切，交点只有一个．理由：∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM，∴∠ODB＝∠ABD，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，∴直线AE是⊙O的切线，∴⊙O与直线DE只有一个交点．20．（7分）争创全国文明城市，从我做起．尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，随机抽取了20名学生的测试成绩，分数如下：94 83 90 86 94 88 96 100 89 8294 82 84 89 88 93 98 94 93 92整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：等级成绩/分频数A95≤x≤100aB90≤x＜958C 85≤x ＜90 5 D80≤x ＜854根据以上信息，解答下列问题．（1）填空：a ＝ 3 ，b ＝ 40 ；（2）若成绩不低于90分为优秀，估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数；（3）已知A 等级中有2名女生，现从A 等级中随机抽取2名同学，试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．【解答】解：（1）由题意知a ＝20﹣（8+5+4）＝3，b %=820×100%＝40%，即b ＝40；故答案为：3、40；（2）估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数为1200×8+320=660（人）；（3）列表如下：男女女男（男，女）（男，女）女（男，女）（女，女）女（男，女）（女，女）所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种， ∴恰好抽到一男一女的概率为46=23．21．（8分）如图，△ABC 中，BC ＝2AB ，D 、E 分别是边BC 、AC 的中点．将△CDE 绕点E 旋转180度，得△AFE ．（1）判断四边形ABDF 的形状，并证明；（2）已知AB ＝3，AD +BF ＝8，求四边形ABDF 的面积S ．【解答】解：（1）结论：四边形ABDF 是菱形． ∵CD ＝DB ，CE ＝EA ， ∴DE ∥AB ，AB ＝2DE ，由旋转的性质可知，DE ＝EF ， ∴AB ＝DF ，AB ∥DF ， ∴四边形ABDF 是平行四边形， ∵BC ＝2AB ，BD ＝DC ， ∴BA ＝BD ，∴四边形ABDF 是菱形．（2）连接BF ，AD 交于点O ． ∵四边形ABDF 是菱形，∴AD ⊥BF ，OB ＝OF ，AO ＝OD ，设OA ＝x ，OB ＝y ，则有{2x +2y =8x 2+y 2=32，∴x +y ＝4， ∴x 2+2xy +y 2＝16， ∴2xy ＝7， ∴S 菱形ABDF =12×BF ×AD ＝2xy ＝7．22．（8分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：原进价（元/张）零售价（元/张）成套售价（元/套）餐桌a380940餐椅a﹣140160已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．（1）求表中a的值；（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？【解答】解：（1）根据题意得：600a−140=1300a，解得a＝260，经检验，a＝260是原分式方程的解．答：表中a的值为260．（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，根据题意得：x+5x+20≤200，解得：x≤30．设销售利润为y元，根据题意得：y＝[940﹣260﹣4×（260﹣140）]×12x+（380﹣260）×12x+[160﹣（260﹣140）]×（5x+20﹣4×12x）＝280x+800，∵k＝280＞0，∴当x＝30时，y取最大值，最大值为：280×30+800＝9200．答：当购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9200元．23．（8分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝6cm，CD＝2cm．P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接P A，过点P作PE⊥P A交射线CD于点E．聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：（1）通过推理，他发现△ABP∽△PCE，请你帮他完成证明．（2）利用几何画板，他改变BC的长度，运动点P，得到不同位置时，CE、BP的长度的对应值：当BC＝6cm时，得表1：BP/cm…12345…CE/cm…0.83 1.33 1.50 1.330.83…当BC＝8cm时，得表2：BP/cm…1234567…CE/cm… 1.17 2.00 2.50 2.67 2.50 2.00 1.17…这说明，点P在线段BC上运动时，要保证点E总在线段CD上，BC的长度应有一定的限制．①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，BP的长度为自变量，EC的长度为因变量；②设BC＝mcm，当点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝90°，∵∠B＝90°，∴∠B＝∠C＝90°，∵AP⊥PE，∴∠APE＝90°，∴∠APB+∠EPC＝90°，∵∠EPC+∠PEC＝90°，∴∠APB＝∠PEC，∴△ABP∽△PCE．（2）解：①根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，BP的长度为自变量，EC的长度为因变量，故答案为：BP ，EC ．②设BP ＝xcm ，CE ＝ycm ． ∵△ABP ∽△PCE ， ∴AB PC =BPCE ，∴6m−x=xy，∴y =−16x 2+16mx =−16（x −12m ）2+m 224，∵−16＜0，∴x =12m 时，y 有最大值m 224，∵点E 在线段CD 上，CD ＝2cm ， ∴m 224≤2，∴m ≤4√3， ∴0＜m ≤4√3．24．（10分）（1）[阅读与证明]如图1，在正△ABC 的外角∠CAH 内引射线AM ，作点C 关于AM 的对称点E （点E 在∠CAH 内），连接BE ，BE 、CE 分别交AM 于点F 、G ． ①完成证明：∵点E 是点C 关于AM 的对称点， ∴∠AGE ＝90°，AE ＝AC ，∠1＝∠2． ∵正△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝AC ， ∴AE ＝AB ，得∠3＝∠4．在△ABE 中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝ 60 °．在△AEG 中，∠FEG +∠3+∠1＝90°，∴∠FEG ＝ 30 °． ②求证：BF ＝AF +2FG ．（2）[类比与探究]把（1）中的“正△ABC ”改为“正方形ABDC ”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得：①∠FEG ＝ 45 °；②线段BF 、AF 、FG 之间存在数量关系 BF =√2AF +√2FG ．（3）[归纳与拓展]如图3，点A 在射线BH 上，AB ＝AC ，∠BAC ＝α（0°＜α＜180°），在∠CAH 内引射线AM ，作点C 关于AM 的对称点E （点E 在∠CAH 内），连接BE ，BE 、CE 分别交AM 于点F 、G ．则线段BF 、AF 、GF 之间的数量关系为 BF ＝2AF •sin 12α+FGsin 12α ．【解答】（1）①解：如图1中，∵点E 是点C 关于AM 的对称点， ∴∠AGE ＝90°，AE ＝AC ，∠1＝∠2． ∵正△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝AC ， ∴AE ＝AB ，得∠3＝∠4．在△ABE 中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°， ∴∠1+∠3＝60°．在△AEG 中，∠FEG +∠3+∠1＝90°， ∴∠FEG ＝30°．故答案为60，30．②证明：如图1中，连接CF ，在FB 上取一点T ，使得FT ＝CF ，连接CT ．∵C，E关于AM对称，∴AM垂直平分线段EC，∴FE＝FC，∴∠FEC＝∠FCE＝30°，EF＝2FG，∴∠CFT＝∠FEC+∠FCE＝60°，∵FC＝FT，∴△CFT是等边三角形，∴∠ACB＝∠FCT＝60°，CF＝CT＝FT，∴∠BCT＝∠ACF，∵CB＝CA，∴△BCT≌△ACF（SAS），∴BT＝AF，∴BF＝BT+FT＝AF+EF＝AF+2FG．（2）解：①如图2中，∵AB＝AC＝AE，∴点A是△ECB的外接圆的圆心，∴∠BEC=12∠BAC，∵∠BAC＝90°，∴∠FEG＝45°．故答案为45．②结论：BF=√2AF+√2FG．理由：如图2中，连接CF，在FB上取一点T，使得FT＝CF，连接CT．∵AM ⊥EC ，CG ＝CE ， ∴FC ＝EF ，∴∠FEC ＝∠FCE ＝45°，EF =√2FG ， ∴∠CFT ＝∠FEC +∠FCE ＝90°， ∵CF ＝CT ，∴△CFT 是等腰直角三角形， ∴CT =√2CF ，∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴BC =√2AC ， ∴CT CF=CB CA，∵∠BCA ＝∠TCF ＝45°， ∴∠BCT ＝∠ACF ， ∴△BCT ∽△ACF ， ∴BT AF=BC AC=√2，∴BT =√2CF ，∴BF ＝BT +TF =√2AF +E √2AF +√2FG ．．（3）如图3中，连接CF ，BC ，在BF 上取一点T ，使得FT ＝CF ．∵AB ＝AC ，∠BAC ＝α， ∴12BC AC =sin 12α，∴BC AC=2•sin 12α，∵AB ＝AC ＝AE ，∴∠BEC =12∠BAC =12α，EF =FGsin 12α， ∵FC ＝FE ，∴∠FEC ＝∠FCE =12α， ∴∠CFT ＝∠FEC +∠FCE ＝α，同法可证，△BCT ∽△ACF ， ∴BT AF=BC AC=2•sin 12α，∴BT ＝2AF •sin 12α，∴BF ＝BT +FT ＝2AF •sin 12α+EF ．即BF ＝2AF •sin 12α+FGsin 12α．故答案为：BF ＝2AF •sin 12α+FGsin 12α． 25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y =12x ﹣2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过A 、B 两点的抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于另一点C （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点P ，使S △P AB ＝S △OAB ？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M 为直线AB 下方抛物线上一点，点N 为y 轴上一点，当△MAB 的面积最大时，求MN +12ON 的最小值．【解答】解：（1）∵直线y =12x ﹣2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴点A （4，0），点B （0，﹣2），设抛物线解析式为：y ＝a （x +1）（x ﹣4）， ∴﹣2＝﹣4a ， ∴a =12，∴抛物线解析式为：y =12（x +1）（x ﹣4）=12x 2−32x ﹣2；（2）如图，当点P 在直线AB 上方时，过点O 作OP ∥AB ，交抛物线与点P ，∵OP ∥AB ，∴△ABP 和△ABP 是等底等高的两个三角形， ∴S △P AB ＝S △ABO ， ∵OP ∥AB ，∴直线PO 的解析式为y =12x ，联立方程组可得{y =12xy =12x 2−32x −2，解得：{x =2+2√2y =1+√2或{x =2−2√2y =1−√2，∴点P （2+2√2，1+√2）或（2﹣2√2，1−√2）；当点P ''在直线AB 下方时，在OB 的延长线上截取BE ＝OB ＝2，过点E 作EP ''∥AB ，交抛物线于点P ''，∴AB ∥EP ''∥OP ，OB ＝BE ， ∴S △ABP ''＝S △ABO ，∵EP ''∥AB ，且过点E （0，﹣4）， ∴直线EP ''解析式为y =12x ﹣4，联立方程组可得{y =12x −4y =12x 2−32x −2，解得{x =2y =−3，∴点P ''（2，﹣3），综上所述：点P 坐标为（2+2√2，1+√2）或（2﹣2√2，1−√2）或（2，﹣3）；（3）如图2，过点M 作MF ⊥AC ，交AB 于F ，设点M （m ，12m 2−32m ﹣2），则点F （m ，12m ﹣2），∴MF =12m ﹣2﹣（12m 2−32m ﹣2）=−12（m ﹣2）2+2，∴△MAB 的面积=12×4×[−12（m ﹣2）2+2]＝﹣（m ﹣2）2+4， ∴当m ＝2时，△MAB 的面积有最大值， ∴点M （2，﹣3），如图3，过点O 作∠KOB ＝30°，过点N 作KN ⊥OK 于K 点，过点M 作MR ⊥OK 于R ，延长MF 交直线KO 于Q ，∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，∴KN=12ON，∴MN+12ON＝MN+KN，∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN+12ON有最小值，即最小值为MP，∵∠KOB＝30°，∴直线OK解析式为y=√3x，当x＝2时，点Q（2，2√3），∴QM＝2√3+3，∵OB∥QM，∴∠PQM＝∠PON＝30°，∴PM=12QM=√3+32，∴MN+12ON的最小值为√3+32．第31页（共31页）。

2020年四川省达州市中考数学试卷

2020年四川省达州市中考数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）﹣2的倒数是（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣2．（3分）如图，几何体是由3个完全一样的正方体组成，它的左视图是（）A．B．C．D．3．（3分）下列计算正确的是（）A．2a+3b=5ab B．C．a3b÷2ab=a2D．（2ab2）3=6a3b54．（3分）已知直线a∥b，一块含30°角的直角三角尺如图放置．若∠1=25°，则∠2等于（）A．50°B．55°C．60°D．65°5．（3分）某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨．小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x元/m3，根据题意列方程，正确的是（）A．B．C．D．6．（3分）下列命题是真命题的是（）A．若一组数据是1，2，3，4，5，则它的方差是3B．若分式方程有增根，则它的增根是1C．对角线互相垂直的四边形，顺次连接它的四边中点所得四边形是菱形D．若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则这两个角相等7．（3分）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B．C．D．8．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下，则一次函数y=ax﹣2b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2020次．若AB=4，AD=3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（）A．2020πB．2034πC．3024πD．3026π10．（3分）已知函数y=的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A，B两点，连接OA、OB．下列结论：①若点M1（x1，y1），M2（x2，y2）在图象上，且x1＜x2＜0，则y1＜y2；②当点P坐标为（0，﹣3）时，△AOB是等腰三角形；=7.5，AP=4BP；③无论点P在什么位置，始终有S△AOB④当点P移动到使∠AOB=90°时，点A的坐标为（2，﹣）．其中正确的结论个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）11．（3分）达州市莲花湖湿地公园占地面积用科学记数法表示为7.92×106平方米．则原数为平方米．12．（3分）因式分解：2a3﹣8ab2=．13．（3分）从﹣1，2，3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点（m，n）在函数y=图象上的概率是．14．（3分）△ABC中，AB=5，AC=3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m 的取值范围是．15．（3分）甲、乙两动点分别从线段AB的两端点同时出发，甲从点A出发，向终点B运动，乙从点B出发，向终点A运动．已知线段AB长为90cm，甲的速度为2.5cm/s．设运动时间为x（s），甲、乙两点之间的距离为y（cm），y与x 的函数图象如图所示，则图中线段DE所表示的函数关系式为．（并写出自变量取值范围）16．（3分）如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P．若AB=6，BC=3，则下列结论：①F是CD的中点；②=．其中正确结论的序号是．⊙O的半径是2；③AE=CE；④S阴影三、解答题（本大题共9小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（6分）计算：20200﹣|1﹣|+（）﹣1+2cos45°．18．（6分）国家规定，中、小学生每天在校体育活动时间不低于1h．为此，某区就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题随机调查了辖区内300名初中学生．根据调查结果绘制成的统计图如图所示，其中A组为t＜0.5h，B组为0.5h ≤t＜1h，C组为1h≤t＜1.5h，D组为t≥1.5h．请根据上述信息解答下列问题：（1）本次调查数据的众数落在组内，中位数落在组内；（2）该辖区约有18000名初中学生，请你估计其中达到国家规定体育活动时间的人数．19．（7分）设A=÷（a﹣）．（1）化简A；（2）当a=3时，记此时A的值为f（3）；当a=4时，记此时A的值为f（4）；…解关于x的不等式：﹣≤f（3）+f（4）+…+f（11），并将解集在数轴上表示出来．20．（7分）如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE=8，CF=6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．21．（7分）如图，信号塔PQ座落在坡度i=1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN 长为2米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高．（结果不取近似值）22．（8分）宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：y=．（1）工人甲第几天生产的产品数量为70件？（2）设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图象如图．工人甲第x 天创造的利润为W元，求W与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？23．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD．（1）求证：PQ是⊙O的切线；（2）求证：BD2=AC•BQ；（3）若AC、BQ的长是关于x的方程x+=m的两实根，且tan∠PCD=，求⊙O 的半径．24．（11分）探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P1P2=他还利用图2证明了线段P1P2的中点P （x，y）P的坐标公式：x=，y=．（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：（2）①已知点M（2，﹣1），N（﹣3，5），则线段MN长度为；②直接写出以点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐标：；拓展：（3）如图3，点P（2，n）在函数y=x（x≥0）的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．25．（12分）如图1，点A坐标为（2，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，点C为x轴上一动点，且在点A右侧，连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，连接AD交BC于E．（1）①直接回答：△OBC与△ABD全等吗？②试说明：无论点C如何移动，AD始终与OB平行；（2）当点C运动到使AC2=AE•AD时，如图2，经过O、B、C三点的抛物线为y1．试问：y1上是否存在动点P，使△BEP为直角三角形且BE为直角边？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，将y1沿x轴翻折得y2，设y1与y2组成的图形为M，函数y=x+m的图象l与M有公共点．试写出：l与M的公共点为3个时，m 的取值．2020年四川省达州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）（2020•达州）﹣2的倒数是（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．【解答】解：∵﹣2×（）=1，∴﹣2的倒数是﹣．故选D．【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，属于基础题．2．（3分）（2020•达州）如图，几何体是由3个完全一样的正方体组成，它的左视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左边看第一层是一个小正方形，第二层是一个小正方形，故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．3．（3分）（2020•达州）下列计算正确的是（）A．2a+3b=5ab B．C．a3b÷2ab=a2D．（2ab2）3=6a3b5【分析】根据整式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：（A）2a与3b不是同类项，故A不正确；（B）原式=6，故B不正确；（D）原式=8a3b6，故D不正确；故选（C）【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．4．（3分）（2020•达州）已知直线a∥b，一块含30°角的直角三角尺如图放置．若∠1=25°，则∠2等于（）A．50°B．55°C．60°D．65°【分析】由三角形的外角性质求出∠3=55°，再由平行线的性质即可得出∠2的度数．【解答】解：如图所示：由三角形的外角性质得：∠3=∠1+30°=55°，∵a∥b，∴∠2=∠3=55°；故选：B．【点评】该题主要考查了平行线的性质、三角形的外角性质；牢固掌握平行线的性质是解决问题的关键．5．（3分）（2020•达州）某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨．小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x元/m3，根据题意列方程，正确的是（）A．B．C．D．【分析】利用总水费÷单价=用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3，进而得出等式即可．【解答】解：设去年居民用水价格为x元/m3，根据题意列方程：﹣=5，故选：A．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出用水量是解题关键．6．（3分）（2020•达州）下列命题是真命题的是（）A．若一组数据是1，2，3，4，5，则它的方差是3B．若分式方程有增根，则它的增根是1C．对角线互相垂直的四边形，顺次连接它的四边中点所得四边形是菱形D．若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则这两个角相等【分析】利用方差的定义、分式方程的增根、菱形的判定及平行的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、若一组数据是1，2，3，4，5，则它的平均数是3，它的方差是[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=2，故错误，是假命题；B、若分式方程有增根，则它的增根是1或﹣1，去分母得，4﹣m（x+1）=（x+1）（x﹣1），当增根为1时，4﹣2m=0，∴m=2，当增根是﹣1时，4=0，∴不存在，∴故正确，是真命题；C、对角线互相垂直的四边形，顺次连接它的四边中点所得四边形是矩形，故错误，是假命题；D、若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则这两个角相等或互补，故错误，是假命题，故选B．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解方差的定义、分式方程的增根、菱形的判定及平行的性质等知识，难度不大．7．（3分）（2020•达州）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B．C．D．【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．【解答】解：如图1，∵OC=2，∴OD=2×sin30°=1；如图2，∵OB=2，∴OE=2×sin45°=；如图3，∵OA=2，∴OD=2×cos30°=，则该三角形的三边分别为：1，，，∵（1）2+（）2=（）2，∴该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积是：×1×=．故选：A．【点评】本题主要考查多边形与圆，解答此题要明确：多边形的半径、边心距、中心角等概念，根据解直角三角形的知识解答是解题的关键．8．（3分）（2020•达州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下，则一次函数y=ax ﹣2b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】先根据二次函数的图象开口向下可知a＜0，再由函数图象经过y轴正半轴可知c＞0，利用排除法即可得出正确答案．【解答】解：二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下可知a＜0，对称轴位于y轴左侧，a、b同号，即b＜0．图象经过y轴正半可知c＞0，根据对称轴和一个交点坐标用a表示出b，c，确定一次函数和反比例函数有2个交点，由a＜0，b＜0可知，直线y=ax﹣2b经过一、二、四象限，由c＞0可知，反比例函数y=的图象经过第一、三象限，故选：C．【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．9．（3分）（2020•达州）如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2020次．若AB=4，AD=3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（）A．2020πB．2034πC．3024πD．3026π【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．【解答】解：∵AB=4，BC=3，∴AC=BD=5，转动一次A的路线长是：=2π，转动第二次的路线长是：=π，转动第三次的路线长是：=π，转动第四次的路线长是：0，以此类推，每四次循环，故顶点A转动四次经过的路线长为：π+π+2π=6π，∵2020÷4=504…1，∴顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为：6π×504+2π=3026π，故选D．【点评】本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，掌握旋转变换的性质、灵活运用弧长的计算公式、发现规律是解决问题的关键．10．（3分）（2020•达州）已知函数y=的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A，B两点，连接OA、OB．下列结论：①若点M1（x1，y1），M2（x2，y2）在图象上，且x1＜x2＜0，则y1＜y2；②当点P坐标为（0，﹣3）时，△AOB是等腰三角形；=7.5，AP=4BP；③无论点P在什么位置，始终有S△AOB④当点P移动到使∠AOB=90°时，点A的坐标为（2，﹣）．其中正确的结论个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①错误．因为x1＜x2＜0，函数y随x是增大而减小，所以y1＞y2；②正确．求出A、B两点坐标即可解决问题；③正确．设P（0，m），则B（，m），A（﹣，m），可得PB=﹣，PA=﹣，推出PA=4PB，S AOB=S△OPB+S△OPA=+=7.5；④正确．设P（0，m），则B（，m），A（﹣，m），推出PB=﹣，PA=﹣，OP=﹣m，由△OPB∽△APO，可得OP2=PB•PA，列出方程即可解决问题；【解答】解：①错误．∵x1＜x2＜0，函数y随x是增大而减小，∴y1＞y2，故①错误．②正确．∵P（0，﹣3），∴B（﹣1，﹣3），A（4，﹣3），∴AB=5，OA==5，∴AB=AO，∴△AOB是等腰三角形，故②正确．③正确．设P（0，m），则B（，m），A（﹣，m），∴PB=﹣，PA=﹣，∴PA=4PB，∵S AOB=S△OPB+S△OPA=+=7.5，故③正确．④正确．设P（0，m），则B（，m），A（﹣，m），∴PB=﹣，PA=﹣，OP=﹣m，∵∠AOB=90°，∠OPB=∠OPA=90°，∴∠BOP+∠AOP=90°，∠AOP+∠OPA=90°，∴∠BOP=∠OAP，∴△OPB∽△APO，∴=，∴OP2=PB•PA，∴m2=﹣•（﹣），∴m4=36，∵m＜0，∴m=﹣，∴A（2，﹣），故④正确．∴②③④正确，故选C．【点评】本题考查反比例函数综合题、等腰三角形的判定、两点间距离公式、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）11．（3分）（2020•达州）达州市莲花湖湿地公园占地面积用科学记数法表示为7.92×106平方米．则原数为7920000平方米．【分析】根据科学记数法，可得答案．【解答】解：7.92×106平方米．则原数为7920000平方米，故答案为：7920000．【点评】本题考查了科学记数法，n是几小数点向右移动几位．12．（3分）（2020•达州）因式分解：2a3﹣8ab2=2a（a+2b）（a﹣2b）．【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解．【解答】解：2a3﹣8ab2=2a（a2﹣4b2）=2a（a+2b）（a﹣2b）．故答案为：2a（a+2b）（a﹣2b）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．13．（3分）（2020•达州）从﹣1，2，3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点（m，n）在函数y=图象上的概率是．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点（m，n）恰好在反比例函数y=图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，点（m，n）恰好在反比例函数y=图象上的有：（2，3），（﹣1，﹣6），（3，2），（﹣6，﹣1），∴点（m，n）在函数y=图象上的概率是：=．故答案为：．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．（3分）（2020•达州）△ABC中，AB=5，AC=3，AD是△ABC的中线，设AD 长为m，则m的取值范围是1＜m＜4．【分析】作辅助线，构建△AEC，根据三角形三边关系得：EC﹣AC＜AE＜AC+EC，即5﹣3＜2m＜5+3，所以1＜m＜4．【解答】解：延长AD至E，使AD=DE，连接CE，则AE=2m，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△ADB和△EDC中，∵，∴△ADB≌△EDC，∴EC=AB=5，在△AEC中，EC﹣AC＜AE＜AC+EC，即5﹣3＜2m＜5+3，∴1＜m＜4，故答案为：1＜m＜4．【点评】本题考查了三角形三边关系、三角形全等的性质和判定，属于基础题，辅助线的作法是关键．15．（3分）（2020•达州）甲、乙两动点分别从线段AB的两端点同时出发，甲从点A出发，向终点B运动，乙从点B出发，向终点A运动．已知线段AB长为90cm，甲的速度为2.5cm/s．设运动时间为x（s），甲、乙两点之间的距离为y （cm），y与x的函数图象如图所示，则图中线段DE所表示的函数关系式为y=4.5x﹣90（20≤x≤36）．（并写出自变量取值范围）【分析】图中线段DE所表示的函数关系式，实际上表示甲乙两人相遇后的路程之和与时间的关系．【解答】解：观察图象可知，乙的速度==2cm/s，相遇时间==20，∴图中线段DE所表示的函数关系式：y=（2.5+2）（x﹣20）=4.5x﹣90（20≤x≤36）．故答案为y=4.5x﹣90（20≤x≤36）．【点评】本题考查一次函数的应用、路程、速度、时间的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．16．（3分）（2020•达州）如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P．若AB=6，BC=3，则下列结论：①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE=CE；④S阴影=．其中正确结论的序号是①②④．【分析】①易求得DF长度，即可判定；②连接OP，易证OP∥CD，根据平行线性质即可判定；③易证AE=2EF，EF=2EC即可判定；即可解题；④连接OG，作OH⊥FG，易证△OFG为等边△，即可求得S阴影【解答】解：①∵AF是AB翻折而来，∴AF=AB=6，∵AD=BC=3，∴DF==3，∴F是CD中点；∴①正确；②连接OP，∵⊙O与AD相切于点P，∴OP⊥AD，∵AD⊥DC，∴OP∥CD，∴=，设OP=OF=x，则=，解得：x=2，∴②正确；③∵Rt△ADF中，AF=6，DF=3，∴∠DAF=30°，∠AFD=60°，∴∠EAF=∠EAB=30°，∴AE=2EF；∵∠AFE=90°，∴∠EFC=90°﹣∠AFD=30°，∴EF=2EC，∴AE=4CE，∴③错误；④连接OG，作OH⊥FG，∵∠AFD=60°，OF=OG，∴△OFG为等边△；同理△OPG为等边△；∴∠POG=∠FOG=60°，OH=OG=，S扇形OPG=S扇形OGF，∴S阴影=（S矩形OPDH﹣S扇形OPG﹣S△OGH）+（S扇形OGF﹣S△OFG）=S矩形OPDH﹣S△OFG=2×﹣（×2×）=．∴④正确；故答案为①②④．【点评】本题考查了矩形面积的计算，正三角形的性质，平行线平分线段的性质，勾股定理的运用，本题中熟练运用上述考点是解题的关键．三、解答题（本大题共9小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（6分）（2020•达州）计算：20200﹣|1﹣|+（）﹣1+2cos45°．【分析】首先计算乘方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：20200﹣|1﹣|+（）﹣1+2cos45°=1﹣+1+3+2×=5﹣+=5【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．18．（6分）（2020•达州）国家规定，中、小学生每天在校体育活动时间不低于1h．为此，某区就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题随机调查了辖区内300名初中学生．根据调查结果绘制成的统计图如图所示，其中A组为t＜0.5h，B组为0.5h≤t＜1h，C组为1h≤t＜1.5h，D组为t≥1.5h．请根据上述信息解答下列问题：（1）本次调查数据的众数落在B组内，中位数落在C组内；（2）该辖区约有18000名初中学生，请你估计其中达到国家规定体育活动时间的人数．【分析】（1）根据中位数的概念，中位数应是第150、151人时间的平均数，分析可得答案；（2）首先计算样本中达到国家规定体育活动时间的频率，再进一步估计总体达到国家规定体育活动时间的人数．【解答】解：（1）众数在B组．根据中位数的概念，中位数应是第150、151人时间的平均数，分析可得其均在C组，故本次调查数据的中位数落在C组．故答案是：B，C；（2）达国家规定体育活动时间的人数约18000×=9600（人）．答：达国家规定体育活动时间的人约有9600人．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．19．（7分）（2020•达州）设A=÷（a﹣）．（1）化简A；（2）当a=3时，记此时A的值为f（3）；当a=4时，记此时A的值为f（4）；…解关于x的不等式：﹣≤f（3）+f（4）+…+f（11），并将解集在数轴上表示出来．【分析】（1）根据分式的除法和减法可以解答本题；（2）根据（1）中的结果可以解答题目中的不等式并在数轴上表示出不等式的解集．【解答】解：（1）A=÷（a﹣）=====；（2）∵a=3时，f（3）=，a=4时，f（4）=，a=5时，f（5）=，…∴﹣≤f（3）+f（4）+…+f（11），即﹣≤++…+∴﹣≤+…+，∴﹣≤，∴﹣≤，解得，x≤4，∴原不等式的解集是x≤4，在数轴上表示如下所示，．【点评】本题考查分式的混合运算、在数轴表示不等式的解集、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法和解不等式的方法．20．（7分）（2020•达州）如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O 作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE=8，CF=6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，证出OE=OC=OF，∠ECF=90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；（2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．【解答】（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，∴OE=OC，OF=OC，∴OE=OF；∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°，∴∠ECF=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF==10，∴OC=OE=EF=5；（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：连接AE、AF，如图所示：当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出∠ECF=90°是解题关键．21．（7分）（2020•达州）如图，信号塔PQ座落在坡度i=1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为2米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ 的高．（结果不取近似值）【分析】如图作MF⊥PQ于F，QE⊥MN于E，则四边形EMFQ是矩形．分别在Rt△EQN、Rt△PFM中解直角三角形即可解决问题．【解答】解：如图作MF⊥PQ于F，QE⊥MN于E，则四边形EMFQ是矩形．在Rt△QEN中，设EN=x，则EQ=2x，∵QN2=EN2+QE2，∴20=5x2，∵x＞0，∴x=2，∴EN=2，EQ=MF=4，∵MN=3，∴FQ=EM=1，在Rt△PFM中，PF=FM•tan60°=4，∴PQ=PF+FQ=4+1．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．22．（8分）（2020•达州）宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x天生产的产品数量为y 件，y与x满足如下关系：y=．（1）工人甲第几天生产的产品数量为70件？（2）设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图象如图．工人甲第x 天创造的利润为W元，求W与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？【分析】（1）根据y=70求得x即可；（2）先根据函数图象求得P关于x的函数解析式，再结合x的范围分类讨论，根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质求得最值即可．【解答】解：（1）根据题意，得：∵若7.5x=70，得：x=＞4，不符合题意；∴5x+10=70，解得：x=12，答：工人甲第12天生产的产品数量为70件；（2）由函数图象知，当0≤x≤4时，P=40，当4＜x≤14时，设P=kx+b，将（4，40）、（14，50）代入，得：，解得：，∴P=x+36；①当0≤x≤4时，W=（60﹣40）•7.5x=150x，∵W随x的增大而增大，=600元；∴当x=4时，W最大②当4＜x≤14时，W=（60﹣x﹣36）（5x+10）=﹣5x2+110x+240=﹣5（x﹣11）2+845，=845，∴当x=11时，W最大∵845＞600，∴当x=11时，W取得最大值，845元，答：第11天时，利润最大，最大利润是845元．【点评】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，解题的关键是理解题意，记住利润=出厂价﹣成本，学会利用函数的性质解决最值问题．23．（8分）（2020•达州）如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD．（1）求证：PQ是⊙O的切线；（2）求证：BD2=AC•BQ；（3）若AC、BQ的长是关于x的方程x+=m的两实根，且tan∠PCD=，求⊙O 的半径．【分析】（1）根据平行线的性质和圆周角定理得到∠ABD=∠BDQ=∠ACD，连接OB，OD，交AB于E，根据圆周角定理得到∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，根据三角形的内角和得到2∠ODB+2∠O=180°，于是得到∠ODB+∠O=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）证明：连接AD，根据等腰三角形的判定得到AD=BD，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）根据题意得到AC•BQ=4，得到BD=2，由（1）知PQ是⊙O的切线，由切线的性质得到OD⊥PQ，根据平行线的性质得到OD⊥AB，根据三角函数的定义得到BE=3DE，根据勾股定理得到BE=，设OB=OD=R，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵PQ∥AB，∴∠ABD=∠BDQ=∠ACD，∵∠ACD=∠BCD，∴∠BDQ=∠ACD，如图1，连接OB，OD，交AB于E，则∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，在△OBD中，∠OBD+∠ODB+∠O=180°，∴2∠ODB+2∠O=180°，∴∠ODB+∠O=90°，∴PQ是⊙O的切线；（2）证明：如图2，连接AD，由（1）知PQ是⊙O的切线，∴∠BDQ=∠DCB=∠ACD=∠BCD=∠BAD，∴AD=BD，∵∠DBQ=∠ACD，∴△BDQ∽△ACD，∴=，∴BD2=AC•BQ；（3）解：方程x+=m可化为x2﹣mx+4=0，∵AC、BQ的长是关于x的方程x+=m的两实根，∴AC•BQ=4，由（2）得BD2=AC•BQ，∴BD2=4，∴BD=2，由（1）知PQ是⊙O的切线，∴OD⊥PQ，∵PQ∥AB，∴OD⊥AB，由（1）得∠PCD=∠ABD，∵tan∠PCD=，∴tan∠ABD=，∴BE=3DE，∴DE2+（3DE）2=BD2=4，∴DE=，∴BE=，设OB=OD=R，∴OE=R﹣，∵OB2=OE2+BE2，∴R2=（R﹣）2+（）2，解得：R=，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程根与系数的关系，圆周角定理，平行线的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．24．（11分）（2020•达州）探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P1P2=他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式：x=，y=．（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：（2）①已知点M（2，﹣1），N（﹣3，5），则线段MN长度为；②直接写出以点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐标：（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）；拓展：（3）如图3，点P（2，n）在函数y=x（x≥0）的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．【分析】（1）用P1、P2的坐标分别表示出OQ和PQ的长即可证得结论；（2）①直接利用两点间距离公式可求得MN的长；②分AB、AC、BC为对角线，可求得其中心的坐标，再利用中点坐标公式可求得D点坐标；（3）设P关于直线OL的对称点为M，关于x轴的对称点为N，连接PM交直线OL于点R，连接PN交x轴于点S，则可知OR=OS=2，利用两点间距离公式可求得R的坐标，再由PR=PS=n，可求得n的值，可求得P点坐标，利用中点坐标公式可求得M点坐标，由对称性可求得N点坐标，连接MN交直线OL于点E，交x轴于点S，此时EP=EM，FP=FN，此时满足△PEF的周长最小，利用两点间距离公式可求得其周长的最小值．【解答】解：（1）∵P1（x1，y1），P2（x2，y2），∴Q1Q2=OQ2﹣OQ1=x2﹣x1，∴Q1Q=，∴OQ=OQ1+Q1Q=x1+=，∵PQ为梯形P1Q1Q2P2的中位线，∴PQ==，即线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式为x=，y=；（2）①∵M（2，﹣1），N（﹣3，5），∴MN==，故答案为：；②∵A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），∴当AB为平行四边形的对角线时，其对称中心坐标为（0，1），设D（x，y），则x+3=0，y+（﹣1）=2，解得x=﹣3，y=3，∴此时D点坐标为（﹣3，3），。