2018高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第9节实际问题的函数建模教师用书文北师大版
高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第9讲函数模型及其应用
对于选项 C，D，由图可知显然正确．故选 A.
触类旁通 用函数图象刻画实际问题的解题思路
将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、 最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增 加、减少的缓急等)相吻合即可．
[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)函数 y＝2x 的函数值比 y＝x2 的函数值大．( × ) (2)幂函数比一次函数增长速度快．( × ) (3)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内 变化量较大的实际问题中．( √ )
(4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的 变化规律．( √ )
对数函数型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0)
幂函数型
f(x)＝axn＋b(a，b 为常数，a≠0)
考点 2 指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图 象与性质
[必会结论] “f(x)＝x＋ax(a＞0)”型函数模型 形如 f(x)＝x＋ax(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模 型： (1)该函数在(－∞，－ a]和[ a，＋∞)上单调递增，在 [－ a，0]和(0， a]上单调递减． (2)当 x＞0 时，x＝ a时取最小值 2 a， 当 x＜0 时，x＝－ a时取最大值－2 a.
第2章 函数、导数及其应用
第9讲 函数模型及其应用
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点 1 常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数型 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
二次函数型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
(全国通用)近年高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 热点探究训练1 导数应用中的高考热点问
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热点探究训练（一)导数应用中的高考热点问题1．（2015·重庆高考)设函数f(x）＝错误!（a∈R)．（1）若f(x）在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f（x)在点（1，f(1)）处的切线方程；(2)若f(x）在[3，＋∞)上为减函数,求a的取值范围．[解］（1)对f(x）求导得f′(x）＝6x＋a e x－3x2＋ax e xe x2＝错误!。
2分因为f（x)在x＝0处取得极值，所以f′（0)＝0,即a＝0.当a＝0时，f(x)＝错误!,f′（x)＝错误!,故f（1）＝错误!，f′(1)＝错误!，从而f（x）在点（1，f(1）)处的切线方程为y－错误!＝错误!（x－1)，化简得3x－e y＝0.5分(2)由（1)知f′(x）＝错误!,令g（x）＝－3x2＋(6－a）x＋a，由g（x）＝0解得x1＝错误!，x2＝错误!.7分当x<x1时，g(x）〈0，即f′(x)〈0，故f(x）为减函数；当x1〈x〈x2时，g(x)〉0，即f′（x)>0，故f(x)为增函数；当x>x2时，g(x）〈0，即f′(x)〈0,故f（x）为减函数。
2018高考数学文全国大一轮复习课件：第二篇函数、导数
知识链条完善
【教材导读】
把散落的知识连起来
1.函数y=2x的函数值在(0,+∞)上一定比y=x2的函数值大吗? 提示:不一定,当x∈(0,2)和(4,+∞)时,2x>x2,当x∈(2,4)时,x2>2x. 2.对于指数型函数y=a·bx+c形容增长速度越来越快时,对参数a,b,c有什 么要求? 提示:要使得指数型函数y=abx+c增长速度越来越快,须a>0,b>1,对于c为常 数没有要求.
t 最接近于 10, 20
t 20
即时刻 t 最接近于 200 分钟.
答案:200
考点专项突破
考点一
在讲练中理解知识
二次函数模型 【例1】 (2016·江苏镇江一模)某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每
小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内 供水总量为120 6t 吨(0≤t≤24), (1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨?
知识梳理
1.函数模型及其性质的比较 (1)几种常见的函数模型 函数模型 一次函数模型 函数解析式 f(x)= ax+b (a,b为常数,a≠0) k f(x)= x (k≠0) 2+bx+c ax f(x)= . (a,b,c为常数,a≠0)
反比例函数模型
二次函数模型 指数型函数模型 对数型函数模型 幂函数模型
【重要结论】 1.在区间(0,+∞)上,尽管函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是
增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.
2.随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于 y=xn(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.
全国通用2018高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第9节函数模型及其应用课件文新人教A版
5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为 p，第二年的增长 率为 q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________．
1＋p1＋q－1 [设年平均增长率为 x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)， ∴x＝ 1＋p1＋q－1.]
元．现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元，则此次租车行驶了________km.
(1)B (2)9 [(1)设 2015 年后的第 n 年该公司投入的研发资金开始超过 200
万元．由
130(1＋12%)n>200，得
1.12n>2103，两边取常用对数，得
lg n>
2－lg 1.3 lg 1.12
A．2018 年
B．2019 年
C．2020 年
D．2021 年
(2)某市出租车收费标准如下：起步价为 8 元，起步里程为 3 km(不超过 3 km
按起步价收费)；超过 3 km 但不超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.15 元收费；
超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.85 元收费，另外每次乘坐需付燃油附加费 1
应用所给函数模型解决实际问题
某企业生产 A，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与 投资成正比，其关系如图 2-9-1①；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比， 其关系如图 2-9-1②.(注：利润和投资单位：万元)
①
②
图 2-9-1
(1)分别将 A，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到 18 万元资金，并将全部投入 A，B 两种产品的生产． ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？ ②问：如果你是厂长，怎样分配这 18 万元投资，才能使该企业获得最大利 润？其最大利润约为多少万元？ [解] (1)f(x)＝0.25x(x≥0)，g(x)＝2 x(x≥0).3 分 (2)①由(1)得 f(9)＝2.25，g(9)＝2 9＝6， 所以总利润 y＝8.25 万元.5 分
2018届高三数学(文)教师用书：第2章函数、导数及其应用
C．[1,2) ∪(2，＋∞ )
D.
－
1，－
1 2
∪
－ 12， 1
解析： 选 D
由函数
1－ x2
1－x2 ≥ 0，
y＝
2
2x
－
3x－
2
得
2x2－ 3x－2≠ 0，
解得
－ 1≤ x≤ 1， x≠ 2且 x≠－ 12，
即－
1≤ x≤ 1 且 x≠ － 12， 所以所求函数的定义域为
－ 1，－
1 2
∪
－ 1， 1 2
1－ |x－ 1| 4．函数 f(x)＝ ax－ 1 (a＞ 0 且 a≠ 1)的定义域为 ____________________．
1－|x－ 1|≥ 0，
0≤ x≤2，
解析： 由 ax－ 1≠ 0
? x≠0
? 0＜ x≤ 2，
故所求函数的定义域为 (0,2] ．
答案： (0,2]
[ 谨记通法 ] 函数定义域的求解策略
名称
称 f：A→ B 为从集合 A 到集合 B 称对应 f：A→ B 为从集合 A 到集
的一个函数
合 B 的一个映射
记法
y＝f (x)， x∈ A
对应 f ：A→ B 是一个映射
2． 函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域： 在函数 y＝ f(x)，x∈A 中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值 相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 { f(x)|x∈ A} 叫做函数的值域．显然，值域是集合 B 的子集．
数 f(x＋ 1)有意义，则有 1≤ x＋ 1≤2 017，解得 0≤ x≤ 2 016，故函数 f(x＋ 1)的定义域为 [0,2
高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.9函数模型及其应用课件理
第二章 函数(hánshù)、导数及其应用
第九节 函数模型(móxíng)及其应用
第一页，共33页。
栏
考情分析 1
(fēnxī)
目
基础自主(zìzhǔ) 2
3 考点疑难(yí
nán)突破
导
梳理
航
4 课时跟踪检测
第二页，共33页。
1
考情分析
第三页，共33页。
考点分布
考纲要求
第十三页，共33页。
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是 20 万元，为获取更大 利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．
解析：利润 L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当 x＝18 时，L(x)有最大值． 答案：18
第三十页，共33页。
指数函数与对数函数模型的应用技巧 (1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会 合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于 1)的一 类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型． (2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函 数解析式，再借助函数的图象求解最值问题.
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c 为常数，a≠0)
第六页，共33页。
f(x)＝bax＋c 指数函数模型
(a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1)
2018年高考数学一轮复习课件：第二章 函数、导数及其应用 第9讲
5．计算：log23·log34＋( 3)log34＝_____4___. 解析：log23·log34＋( 3)log34＝llgg 32·2llgg32＋321 log34＝2＋3log32＝2＋2＝4.
第十六页，编辑于星期六：二十二点 二十分。
•一 对数的运算
• 对数运算的一般思路
• (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形， 化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然 后顺用对数的运算性质化简合并．
D．0，2156
第二十二页，编辑于星期六：二十二点 二十分。
解析：(1)f(x)＝lg|x＋1 1|＝－lg|x＋1|的图象可由偶函数 y＝－lg|x|的图象左移 1 个
单位得到．由 y＝－lg|x|的图象可知选 D．
(2)∵不等式 4x2－logax<0 对任意 x∈0，14恒成立，
∴x∈0，14时，函数 y＝4x2 的图象在函数 y＝logax 的图象的下方，
• A．[－2,1] B．[－2，－1] • C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪[1，＋∞) • 解析：函数的值域为R，只需满足u＝(a2－1)x2
－2(a－1)x＋3能取得(0，＋∞)的所有实数，所 以当a＝1时，不合题意，当a＝－1时，u＝4x ＋3成立，当a2－1>0时，Δ＝4(a－1)2－12(a2 －1)≥0，解得－2≤a<－1.综上，－2≤a≤－1.
(2)原式＝lg 5＋lg 2＋12－2＝1＋12－2＝－12. (3)∵2x＝12，∴x＝log212，∴x＋y＝log212＋log213＝log24＝2. (4)∵2a＝5b＝m>0，∴a＝log2m，b＝log5m，∴1a＋1b＝log12m＋log15m＝logm2＋logm5 ＝logm10＝2.∴m2＝10，∴m＝ 10.
2018年高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时达标12 函数模型及其应用 理
2018年高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时达标12函数模型及其应用 理[解密考纲]本考点考查函数在实际生活中的应用等．在近几年的高考中选择题、填空题、解答题都出现过．选择题、填空题通常排在中间位置，解答题往往与其他知识综合考查，题目难度中等．一、选择题1．(2017·湖南永州模拟)某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( C )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100解析：根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得，应选C ．2．(2016·河北唐山检测)某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少( B )A ．9天B ．10天C ．11天D ．12天解析：设该厂应每隔x 天购买一次面粉，则购买量为6x 吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)， 设平均每天所支付的总费用为y 1元，则y 1＝9xx ＋＋900x ＋1 800×6＝900x＋9x ＋10 809≥2900x·9x ＋10 809＝10 989，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时取等号．即该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少，故选B ． 3．国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( D )A ．560万元B ．420万元C ．350万元D ．320万元解析：设该公司的年收入为x 万元，纳税额为y 万元，则由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ×p %，x ≤280，280×p %＋x －p ＋，x >280，依题意有，280×p %＋x －280p ＋x＝(p ＋0.25)%，解之得x ＝320(万元)．4．世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)( C )A ．1.5%B ．1.6%C ．1.7%D ．1.8%解析：设每年世界人口平均增长率为x ，则(1＋x )40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x )＝lg 2，所以lg(1＋x )＝lg 240≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x ，得1＋x ＝1.017，所以x ＝1.7%.5．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份( A )A ．甲食堂的营业额较高B ．乙食堂的营业额较高C ．甲、乙两食堂的营业额相同D ．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高解析：设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m ，甲食堂的营业额每月增加a (a >0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x ，由题意可得，m ＋8a ＝m ×(1＋x )8，则5月份甲食堂的营业额y 1＝m ＋4a ，乙食堂的营业额y 2＝m ×(1＋x )4＝mm ＋8a ，因为y 21－y 22＝(m ＋4a )2－m (m ＋8a )＝16a 2>0，所以y 1>y 2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．6．(2017·北京朝阳区模拟)某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( B )A ．3 000元B ．3 300元C ．3 500元D ．4 000元解析：由题意，设利润为y 元，租金定为3 000＋50x 元(0≤x ≤70，x ∈N )． 则y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x ) ＝(2 900＋50x )(70－x ) ＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝⎛⎭⎪⎫58＋x ＋70－x 22，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每月租金定为3 000＋300＝3 300(元)时，公司获得最大利润，故选B ．二、填空题7．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为180.解析：依题意知：20－x x ＝y －824－y ，即x ＝54(24－y )，y ∈[8,24)，∴阴影部分的面积S ＝xy ＝54(24－y )y ＝54(－y 2＋24y )，∴当y ＝12时，S 有最大值为180.8．有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为2_500_m 2(围墙厚度不计)．解析：设矩形场地的宽度为x m ，则矩形场地长(200－4x )m ，面积S ＝x (200－4x )＝－4(x －25)2＋ 2 500.故当x ＝25时，S 取得最大值2 500，即围成场地的最大面积为2 500 m 2.9．(2017·山东潍坊模拟)某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据关系如下表：根据上表数据，Q 与上市时间t 的变化关系．Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是120. (2)最低种植成本是80(元/100 kg)． 解析：根据表中数据可知函数不单调， 所以Q ＝at 2＋bt ＋c 且开口向上，对称轴t ＝－b2a＝60＋1802＝120. 代入数据⎩⎪⎨⎪⎧3 600a ＋60b ＋c ＝116，10 000a ＋100b ＋c ＝84，32 400a ＋180b ＋c ＝116，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2.4，c ＝224，a ＝0.01，所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，最低种植成本是14 400a ＋120b ＋c ＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80.三、解答题10．(2017·湖北鄂州月考)如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域； (2)求矩形BNPM 面积的最大值．解析：(1)作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝8－y ，EQ ＝x －4，在△EDF 中，EQ PQ ＝EFFD，所以x －48－y ＝42，所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S ，则S (x )＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50，所以S (x )是关于x 的二次函数，且其开口向下，对称轴为x ＝10，所以当x ∈[4,8]，S (x )单调递增，所以当x ＝8米时，矩形BNPM 面积取得最大值48平方米．11．某产品原来的成本为1 000元/件，售价为1 200元/件，年销售量为1万件，由于市场饱和顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级．据市场调查，若投入x 万元，每件产品的成本将降低34x 元，在售价不变的情况下，年销售量将减少2x 万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润记为f (x )(单位：万元)．(1)求f (x )的函数解析式；(2)求f (x )的最大值，以及f (x )取得最大值时x 的值．解析：(1)依题意，产品升级后，每件的成本为1 000－3x 4元，利润为200＋3x4元，年销售量为1－2x万件，纯利润为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫200＋3x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x －x ＝198.5－400x －x 4. (2)f (x )＝198.5－400x －x4≤198.5－2×400x ×x 4＝178.5，当且仅当400x ＝x4， 即x ＝40时等号成立．所以f (x )取最大值时的x 的值为40.12．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x 吨，3x 吨．(1)求y 关于x 的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费． 解析：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨，y ＝1.8(5x ＋3x )＝14.4x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，即3x ≤4，且5x >4，y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8.当乙的用水量超过4吨时，即3x >4，y ＝2×4×1.8＋3×[(3x －4)＋(5x －4)]＝24x －9.6.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧14.4x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤45，20.4x －4.8⎝ ⎛⎭⎪⎫45<x ≤43，24x －9.6⎝ ⎛⎭⎪⎫x >43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，45时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45<26.4；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤45，43时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43<26.4； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，令24x －9.6＝26.4，解得x ＝1.5. 所以甲户用水量为5x ＝7.5吨，付费S 1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)； 乙用户用水量为3x ＝4.5吨，付费S 2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．。
专版2018高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用热点探究课1导数应用中的高考热点问题教师用
热点探究课(一) 导数应用中的高考热点问题[命题解读] 函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有．热点1 利用导数研究函数的单调性、极值与最值(答题模板)函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：(1)讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围．(本小题满分15分)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．[思路点拨] (1)求出导数后对a 分类讨论，然后判断单调性；(2)运用(1)的结论分析函数的最大值，对得到的不等式进行等价转化，通过构造函数并分析该函数的单调性求a 的范围．[规范解答] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .2分若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.5分若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )<0.7分所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.8分(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；9分 当a >0时，f (x )在x ＝1a取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.11分 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a>2a －2等价于ln a ＋a －1<0.12分令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0.因此，a 的取值范围是(0,1).15分[答题模板] 讨论含参函数f (x )的单调性的一般步骤 第一步：求函数f (x )的定义域(根据已知函数解析式确定)． 第二步：求函数f (x )的导数f ′(x )．第三步：根据f ′(x )＝0的零点是否存在或零点的大小对参数分类讨论． 第四步：求解(令f ′(x )>0或令f ′(x )<0)． 第五步：下结论．第六步：反思回顾，查看关键点、易错点、注意解题规范．温馨提示：1.讨论函数的单调性，求函数的单调区间、极值问题，最终归结到判断f ′(x )的符号问题上，而f ′(x )＞0或f ′(x )＜0，最终可转化为一个一元一次不等式或一元二次不等式问题．2．若已知f (x )的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题求解．[对点训练1] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x，若函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，求实数c 的取值范围．[解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.2分当x ＝23时，得a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ×23－1，解得a ＝－1.4分(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ，则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13(x －1)，列表如下：所以f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3和(1，＋∞)； f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫－13，1.10分(3)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x，有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x＝(－x 2－3x ＋c －1)e x，12分因为函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，所以h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在x ∈[－3,2]上恒成立， 只要h (2)≥0，解得c ≥11，所以c 的取值范围是[11，＋∞).15分热点2 利用导数研究函数的零点或曲线交点问题研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，为此，我们可以通过讨论函数的单调性来解决，求解时应注重等价转化与数形结合思想的应用，其主要考查方式有：(1)确定函数的零点、图象交点的个数；(2)由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值范围．设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围． [解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .2分 因为f (0)＝c ，f ′(0)＝b ，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx ＋c .6分 (2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ， 所以f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4.8分令f ′(x )＝0，得3x 2＋8x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－23.10分f (x )与f ′(x )在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：所以，当c ＞0且c －27＜0时，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－3，x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，0，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.12分由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3227时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点.15分[规律方法] 用导数研究函数的零点，常用两种方法：一是用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；二是将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．[对点训练2] 设函数f (x )＝ln x ＋m x，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数. 【导学号：51062090】[解] (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ex，则f ′(x )＝x －ex 2，由f ′(x )＝0，得x ＝e.2分 ∴当x ∈(0，e)，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上单调递减； 当x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee ＝2，∴f (x )的极小值为2.6分(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x ＞0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x ＞0).7分设φ(x )＝－13x 3＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0,1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0,1)上单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减，∴x ＝1是φ(x )唯一的极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点， ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.10分又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知①当m ＞23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点．综上所述，当m ＞23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点.15分热点3 利用导数研究不等式问题导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题．归纳起来常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)不等式恒成立问题；(3)存在型不等式成立问题． ☞角度1 证明不等式设函数f (x )＝e 2x－a ln x .(1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数；(2)证明：当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a. 【导学号：51062091】[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x－a x(x >0)． 当a ≤0时，f ′(x )>0，f ′(x )没有零点； 当a >0时，设u (x )＝e 2x，v (x )＝－a x，3分因为u (x )＝e 2x在(0，＋∞)上单调递增，v (x )＝－a x在(0，＋∞)上单调递增， 所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又f ′(a )>0，当b 满足0<b <a 4且b <14时，f ′(b )<0，故当a >0时，f ′(x )存在唯一零点.6分(2)证明：由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0).10分由于2e2x 0－ax 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a.故当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.15分☞角度2 不等式恒成立问题已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)．(1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求a 的取值范围． [解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞).1分 当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f (1)＝0，f ′(x )＝ln x ＋1x－3，f ′(1)＝－2.3分故曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0.6分 (2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0等价于ln x －a x －x ＋1＞0.设g (x )＝ln x －a x －x ＋1，则g ′(x )＝1x－2a x ＋2＝x 2＋－a x ＋1x x ＋2，g (1)＝0.9分 ①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1＞0，故g ′(x )＞0，g (x )在(1，＋∞)单调递增，因此g (x )＞0；12分②当a ＞2时，令g ′(x )＝0得x 1＝a －1－a －2－1，x 2＝a －1＋a －2－1.14分由x 2＞1和x 1x 2＝1得x 1＜1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )＜0，g (x )在(1，x 2)单调递减，因此g (x )＜0.综上，a 的取值范围是(－∞，2].15分 ☞角度3 存在型不等式成立问题设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0.(1)求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1，求a 的取值范围．[解] (1)f ′(x )＝a x＋(1－a )x －b . 由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1.4分 (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－x ，f ′(x )＝a x ＋(1－a )x －1＝1－a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 1－a (x －1).7分①若a ≤12，则a1－a ≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1的充要条件为f (1)<a a －1，即1－a 2－1<aa －1，解得－2－1<a <2－1.10分②若12<a <1，则a 1－a >1，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞上单调递增.12分所以存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1的充要条件为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a <aa －1. 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＝a ln a 1－a ＋a 2－a＋a a －1>aa －1，所以不合题意．③若a >1，则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12<a a －1恒成立，所以a ＞1.综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞).15分 [规律方法] 1.运用导数证明不等式，常转化为求函数的最值问题．2．不等式恒成立通常可以利用函数的单调性求出最值解决．解答相应的参数不等式，如果易分离参数，可先分离变量，构造函数，直接转化为函数的最值问题，避免参数的讨论．3．“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f (x )≥g (a )对于x ∈D 恒成立，应求f (x )的最小值；若存在x ∈D ，使得f (x )≥g (a )成立，应求f (x )的最大值．应特别关注等号是否成立问题．热点探究训练(一) 导数应用中的高考热点问题1．已知函数f (x )＝e x －e －x－2x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)设g (x )＝f (2x )－4bf (x )，当x >0时，g (x )>0，求b 的最大值． [解] (1)f ′(x )＝e x ＋e －x－2≥0，等号仅当x ＝0时成立． 所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递增.4分 (2)g (x )＝f (2x )－4bf (x ) ＝e 2x－e－2x－4b (e x －e －x)＋(8b －4)x ，g ′(x )＝2[e 2x ＋e －2x －2b (e x ＋e －x )＋(4b －2)]＝2(e x ＋e －x －2)(e x ＋e －x－2b ＋2).8分①当b ≤2时，g ′(x )≥0，等号仅当x ＝0时成立，所以g (x )在(－∞，＋∞)单调递增． 而g (0)＝0，所以对任意x >0，g (x )>0.12分②当b >2时，若x 满足2<e x ＋e －x <2b －2，即0<x <ln(b －1＋b 2－2b )时，g ′(x )<0. 而g (0)＝0，因此当0<x <ln(b －1＋b 2－2b )时，g (x )<0. 综上，b 的最大值为2.15分2．已知函数f (x )＝e x(x 2＋ax －a )，其中a 是常数．(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若存在实数k ，使得关于x 的方程f (x )＝k 在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．[解] (1)由f (x )＝e x (x 2＋ax －a )可得f ′(x )＝e x [x 2＋(a ＋2)x ].3分当a ＝1时，f (1)＝e ，f ′(1)＝4e.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为：y －e ＝4e(x －1)，即y ＝4e x －3e.7分(2)令f ′(x )＝e x[x 2＋(a ＋2)x ]＝0， 解得x ＝－(a ＋2)或x ＝0.9分当－(a ＋2)≤0，即a ≥－2时，在区间[0，＋∞)上，f ′(x )≥0， 所以f (x )是[0，＋∞)上的增函数，所以方程f (x )＝k 在[0，＋∞)上不可能有两个不相等的实数根.11分 当－(a ＋2)＞0，即a ＜－2时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：f (－(a ＋2))＝a ＋4e.因为函数f (x )是(0，－(a ＋2))上的减函数， 是(－(a ＋2)，＋∞)上的增函数，且当x ≥－a 时， 有f (x )≥e －a(－a )＞－a ，又f (0)＝－a .所以要使方程f (x )＝k 在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤a ＋4e a ＋2，－a .15分 3．已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2. (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围. 【导学号：51062092】 [解] (1)f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)(e x＋2a ).1分 (ⅰ)设a ≥0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.3分 (ⅱ)设a ＜0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )． ①若a ＝－e 2，则f ′(x )＝(x －1)(e x－e)，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．②若a ＞－e2，则ln(－2a )＜1，故当x ∈(－∞，ln(－2a ))∪(1，＋∞)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(ln(－2a )，1)时，f ′(x )＜0.所以f (x )在(－∞，ln(－2a ))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a )，1)上单调递减.5分③若a ＜－e2，则ln(－2a )＞1，故当x ∈(－∞，1)∪(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )＜0.所以f (x )在(－∞，1)，(ln(－2a )，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a ))上单调递减.7分(2)(ⅰ)设a ＞0，则由(1)知，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b ＜0且b ＜ln a 2，则f (b )＞a 2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－32b ＞0，所以f (x )有两个零点.9分(ⅱ)设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x，所以f (x )只有一个零点．(ⅲ)设a ＜0，若a ≥－e2，则由(1)知，f (x )在(1，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时f (x )＜0，故f (x )不存在两个零点；若a ＜－e2，则由(1)知，f (x )在(1，ln(－2a ))上单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时，f (x )＜0，故f (x )不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0，＋∞).15分4．(2017·绍兴二次质量预测)已知函数f (x )＝exx －m .(1)讨论函数y ＝f (x )在x ∈(m ，＋∞)上的单调性；(2)若m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，则当x ∈[m ，m ＋1]时，函数y ＝f (x )的图象是否总在函数g (x )＝x2＋x 图象上方？请写出判断过程．[解] (1)f ′(x )＝exx －m －e x x －m 2＝e x x －m －x －m 2，2分当x ∈(m ，m ＋1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(m ＋1，＋∞)时，f ′(x )＞0， 所以函数f (x )在(m ，m ＋1)上单调递减，在(m ＋1，＋∞)上单调递增.6分 (2)由(1)知f (x )在(m ，m ＋1)上单调递减， 所以其最小值为f (m ＋1)＝em ＋1.8分因为m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，g (x )在x ∈[m ，m ＋1]最大值为(m ＋1)2＋m ＋1.11 所以下面判断f (m ＋1)与(m ＋1)2＋m ＋1的大小，即判断e x与(1＋x )x 的大小，其中x ＝m ＋1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32. 令m (x )＝e x －(1＋x )x ，m ′(x )＝e x－2x －1，令h (x )＝m ′(x )，则h ′(x )＝e x －2， 因为x ＝m ＋1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32，所以h ′(x )＝e x －2＞0，m ′(x )单调递增.12分 所以m ′(1)＝e －3＜0，m ′⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝e 32－4＞0，故存在x 0∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32，使得m ′(x 0)＝e x 0－2x 0－1＝0，所以m (x )在(1，x 0)上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫x 0，32上单调递增， 所以m (x )≥m (x 0)＝e x 0－x 20－x 0＝2x 0＋1－x 20－x 0＝－x 20＋x 0＋1， 所以当x 0∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32时，m (x 0)＝－x 20＋x 0＋1＞0， 即e x ＞(1＋x )x ，也即f (m ＋1)＞(m ＋1)2＋m ＋1，所以函数y ＝f (x )的图象总在函数g (x )＝x 2＋x 图象上方.15分。
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第二章 函数、导数及其应用 2.9 精品
【规律方法】一次函数、二次函数模型问题的常见类 型及解题策略 (1)单一考查一次函数或二次函数模型.解决此类问题 应注意三点: ①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解 决,但一定要密切注意函数的定义域,否则极易出错;
②确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常 用待定系数法; ③解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.
(2)牧场中羊群的最大蓄养量为m只,为保证羊群的生长 空间,实际蓄养量不能达到最大蓄养量,必须留出适当 的空闲量.已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与 空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0).
①写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域; ②求羊群年增长量的最大值; ③当羊群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.
y=logax(a>1) 单调_递__增__ 越来越_慢__
y=xn(n>0) 单调递增 相对平稳
函数 y=ax(a>1)
性质
y=logax(a>1)
y=xn(n>0)
图象的 变化
随x的增大 随x的增大逐渐 随n值变化
逐渐表现为 表现为与_x_轴__平 而各有不
与_y_轴__平行 行
同
值的比较 存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax
【特别提醒】
“f(x)=x+ a (a>0)”型函数模型
x
形如f(x)=x+ a (a>0)的函数模型称为“对勾”函
x
数模型:(1)该函数在(-∞,- a ]和[ a ,+∞)上单调递
增,在[- a ,0)和(0, a ]上单调递减.
(2)当x>0时,x= a 时取最小值2 a ,
2018版高考数学一轮总复习第2章函数导数及其应用2.8函数与方程课件文
解析
因为函数 f(x)为连续函数且 f(1)· f(3)<0， 所以函数
f(x) 在(1,3)内一定有零点．
板块二 典例探究· 考向突破
考向 例1 (1)若
确定函数零点所在区间
1 3
1 x x0 是方程 ＝x 2
的解， 则 x0 属于区间(
2 D.3，1
3．若函数 f(x)在[ a，b] 上单调，且 f(x)的图象是连续不 断的一条曲线，则 f(a)· f(b)＜0⇒函数 f(x)在[ a，b] 上只有一 个零点．
[ 双基夯实] 一、疑难辨析 判断下列结论的正误． ( 正确的打“√”，错误的打 “×”) 1．函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点．( × ) 2． 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当 b2－4ac＜0 时没 有零点．( √ ) 3．函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不 断)，则 f(a)· f(b)＜0.( × )
x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0,0)时，有
f(x1)>0，f(x2)<0，选 C.
命题角度 2 例 4
已知函数零点所在区间求参数
[2017· 启东检测] 若函数 f(x)＝log2x＋x－k(k∈Z)
由题意可得 f(2)f(3)<0，即(log22＋2－k)· (log23
4 在区间(2,3)上有零点，则 k＝________.
|x|，x≤m， 2 x －2mx＋4m，x>m，
其中 m>0.若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)＝b 有 (3，＋∞) ． 三个不同的根，则 m 的取值范围是____________ [ 解题视点] 画出函数图象，合理寻找“临界”情况， 探究实数 m 满足的条件，从而确定 m 的取值范围．
全国通用2018高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用课件文新人教A版2017041402164
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[ 导学心语] 1．注重基础：对函数的概念、图象、性质(单调性、奇偶性、周期性)、导 数的几何意义、导数在研究函数单调性、极值、最值、函数的零点等方面的应 用，要熟练掌握并灵活应用. 2．加强交汇，强化综合应用意识：在知识的交汇点处命制试题，已成为高 考的一大亮点，函数的观点和方法贯穿于高中数学的全过程，因此，应加强函 数与三角函数、数列、不等式、解析几何、导数等各章节之间的联系． 3．把握思想：数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想和等价转化 思想在解决各种与函数有关的问题中均有应用，复习时应引起足够重视．
全国卷Ⅱ· T11 卷· T13 全国卷Ⅱ· T12 全国
全国卷Ⅱ· T21 全国卷Ⅱ· T21 全国卷Ⅱ· T21 卷· T21
[ 重点关注] 1．从近五年全国卷高考试题来看，函数、导数及其应用是每年高考命题的 重点与热点，既有客观题，又有解答题，中高档难度． 2．函数的概念、图象及其性质是高考考查的主要内容，函数的定义域、解 析式、图象是高考考查的重点，函数性质与其他知识的综合是历年高考的热点． 3．导数的几何意义，导数在研究函数单调性、极值、最值、函数的零点等 方面的应用是高考的重点与热点． 4．本章内容集中体现了四大数学思想：函数与方程、数形结合、分类讨论、 转化与化归的思想，且常与方程、不等式、导数等知识交汇命题，体现了综合 与创新．
全国卷Ⅱ· T12 全国卷Ⅱ· T11 全国卷Ⅲ· T16 全国卷Ⅱ· T12 全国卷Ⅰ· T12 全国卷Ⅱ· T10 全国卷Ⅱ· T12
全国卷Ⅰ· T16 卷· T16 全国卷Ⅱ· T8 全国 卷· T11
基本初等函 全国卷Ⅰ· T8 数
全国卷Ⅰ 全国卷Ⅰ· T9 导数及其应 用 全国卷Ⅰ· T21 全国卷Ⅱ· T20 全国卷Ⅲ· T16 全国卷Ⅲ· T21 全国卷Ⅰ· T14 全国卷Ⅰ· T12 全国卷Ⅰ· T20 全国卷Ⅱ· T16 全国卷Ⅰ· T21 全国卷Ⅰ· T21 全国卷Ⅱ· T11 全国 全国卷Ⅰ· T12
2018版高考数学一轮总温习 第2章节 函数、导数及其应用 2.10 导数的概念及运算模拟演练讲义 理
因为点 P(2,4)在切线上，所以 4＝2x20－23x30＋43， 即 x30－3x20＋4＝0，所以 x30＋x20－4x20＋4＝0， 所以 x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， 所以(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得 x0＝－1 或 x0＝2， 故所求的切线方程为 x－y＋2＝0 或 4x－y－4＝0.
(2)当 a＝1 时，f(x)＝x－1＋e1x，f′(x)＝1－e1x. 设切点为(x0，y0)， ∵f(x0)＝x0－1＋e1x0＝k x0－1，①
f′(x0)＝1－e1x0＝k，②
①＋②得 x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0. 若 k＝1，则②式无解，∴x0＝－1，k＝1－e. ∴l 的直线方程为 y＝(1－e)x－1.
切线与直线 y＝x 的交点坐标为(2x0,2x0)． 所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x＝0，y＝x 所围成的 三角形面积为12－x602x0＝6. 故曲线 y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0，y＝x 所 围成的三角形的面积为定值，此定值为 6.
)
A．e
B．－e
1 C.e
D．－1e
解析 依题意，设直线 y＝kx 与曲线 y＝ln x 切于点(x0，
kx0＝ln x0， kx0)，则有k＝x10，
由此得 ln x0＝1，x0＝e，
k＝1e，选 C.
4．[2017·海南文昌中学模拟]曲线 y＝xex＋2x－1 在点(0，
－1)处的切线方程为(
8．[2016·金版创新]函数 f(x)(x∈R)满足 f(1)＝1，且 f(x)
在 R 上的导函数 f′(x)＞12，则不等式 f(x)＜x＋2 1的解集为 _(_－ __∞__，__1_)_．
创新大课堂2018届高三数学文一轮复习课件：第2章 函数、导数及其应用 第9节 精品
(2)依题意并由(1)可得
60x，0≤x≤20， f(x)＝x2003－x，20＜x≤200.
当 0≤x≤20 时，f(x)为增函数，
故当 x＝20 时，其最大值为 60×20＝1 200；
当 20＜x≤200 时，
f(x)＝13x(200－x)≤13x＋2020－x2＝10
(1)写出第一次服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y＝f(t)； (2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时 治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．
kt，0≤t≤1， [解] (1)由题图，设 y＝12t－a，t＞1， 当 t＝1 时，由 y＝4 得 k＝4，由121－a＝4 得 a＝3.
[解析] 由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线 上的点的切线斜率应该逐渐增大，故选 B.
[答案] B
2．已知正方形 ABCD 的边长为 4，动点 P 从 B 点开始沿 折线 BCDA 向 A 点运动．设点 P 运动的路程为 x，△ABP 的面 积为 S，则函数 S＝f(x)的图象是( )
[答案] A
2．某种细胞，每 15 分钟分裂(1→2)这种细胞由 1 个分裂
成 4096 个需经过( )
A．12 小时
B．4 小时
C．3 小时
D．2 小时
[解析] 212＝4096，分裂了 12 次． [答案] C
3．(2015·高考四川卷)某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与
储藏温度 x(单位：℃)满足函数关系 y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然
(1)当 0≤x≤200 时，求函数 v(x)的表达式． (2)当车流密度 x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某 观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并 求出最大值(精确到 1 辆/小时)．
(全国通用)近年高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第9节 函数模型及其应用课时分层训练
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课时分层训练(十二) 函数模型及其应用A组基础达标（建议用时：30分钟）一、选择题1．在某个物理试验中，测量得变量x和变量y的几组数据,如下表:【导学号:31222071】x0。
500。
99 2.01 3.98y－0。
990.010。
982。
00则对x,yA．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2xD ［根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A;根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C;将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．］2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%），仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( ）A．118元B．105元C．106元D．108元D [设进货价为a元，由题意知132×（1－10%)－a＝10％a，解得a＝108，故选D.］3．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图29.2甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示。
【导学号：31222072】图2.9.2给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( ）A．①B．①②C．①③D．①②③A ［由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的错误!，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.]4．将出货单价为80元的商品按90元一个出售时,能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个,为了赚得最大利润，每个售价应定为( ）A．85元B．90元C．95元D．100元C ［设每个售价定为x元，则利润y＝(x－80)·[400－(x－90）·20］＝－20［（x－95）2－225],∴当x＝95时，y最大．］5．(2016·四川德阳一诊）将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中,t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝a e nt.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m min甲桶中的水只有错误! L，则m的值为( ）A．5 B．8C．9 D．10A [∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等,∴函数y＝f(t）＝a e nt满足f（5)＝a e5n＝错误!a,可得n＝错误!ln错误!，∴f(t)＝a·错误!，因此，当k min后甲桶中的水只有错误! L时，f（k）＝a·错误!＝错误!a，即错误!＝错误!，∴k＝10,由题可知m＝k－5＝5，故选A。
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第九节 实际问题的函数建模[考纲传真] 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y ＝kx ＋b (k ≠0)．(2)反比例函数模型：y ＝k x＋b (k ，b 为常数且k ≠0)． (3)二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)．(4)指数函数模型：y ＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ＞0且a ≠1，b ≠0)． (5)对数函数模型：y ＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ＞0且a ≠1，b ≠0)．(6)幂函数模型：y ＝a ·x n＋b (a ≠0)． 2．三种函数模型之间增长速度的比较(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大．( ) (2)幂函数增长比直线增长更快．( ) (3)不存在x 0，使ax 0＜x n0＜log a x 0.( )(4)f (x )＝x 2，g (x )＝2x，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，恒有h (x )＜f (x )＜g (x )．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到( )【导学号：66482089】A ．100只B ．200只C ．300只D ．400只B [由题意知100＝a log 3(2＋1)，∴a ＝100，∴y ＝100log 3(x ＋1)，当x ＝8时，y ＝100log 3 9＝200.]3．(教材改编)在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A.2C ．y ＝12(x 2－1)D ．y ＝2.61cos xB [由表格知当x ＝3时，y ＝1.59，而A 中y ＝23＝8，不合要求，B 中y ＝log 23∈(1,2)，C 中y ＝12(32－1)＝4，不合要求，D 中y ＝2.61cos3＜0，不合要求，故选B.]4．一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系用图像表示为( )B [由题意h ＝20－5t,0≤t ≤4.结合图像知应选B.]5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________.【导学号：66482090】1＋p 1＋q －1 [设年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )， ∴x ＝ 1＋p 1＋q －1.](1)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图像正确的是( )A B C D(2)已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A 点运动．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图像是( )A B C D(1)A (2)D [(1)前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A 、C 图像符合要求，而后3年年产量保持不变，产品的总产量应呈直线上升，故选A.(2)依题意知当0≤x≤4时，f (x)＝2x；当4<x≤8时，f (x)＝8；当8<x≤12时，f (x)＝24－2x，观察四个选项知，选D.][规律方法]判断函数图像与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法：(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．[变式训练1] 设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为( )【导学号：66482091】D[y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.]某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图291①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图291②.(注：利润和投资单位：万元)①②图291(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？[解] (1)f (x )＝0.25x (x ≥0)，g (x )＝2x (x ≥0). 3分 (2)①由(1)得f (9)＝2.25，g (9)＝29＝6， 所以总利润y ＝8.25万元. 5分②设B 产品投入x 万元，A 产品投入(18－x )万元，该企业可获总利润为y 万元． 则y ＝14(18－x )＋2x ，0≤x ≤18. 7分令x ＝t ，t ∈[0,32]，则y ＝14(－t 2＋8t ＋18)＝－14(t －4)2＋172.所以当t ＝4时，y max ＝172＝8.5，9分此时x ＝16,18－x ＝2.所以当A ，B 两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元. 12分[规律方法] 求解所给函数模型解决实际问题的关注点： (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．易错警示：解决实际问题时要注意自变量的取值范围．[变式训练2] (2017·西城区二模)某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C ，0＜x ≤A ，C ＋B x －A ，x ＞A .已知某家庭2016年前三个月的煤气费如下表：【导学号：66482092】A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元A [根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0＜x ≤5，4＋12 x －5 ，x ＞5，所以f (20)＝4＋12(20－5)＝11.5，故选A.](1)(2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年(2)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价收费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另外每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.(1)B (2)9 [(1)设2015年后的第n 年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n >200，得1.12n >2013，两边取常用对数，得n >lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．(2)设出租车行驶了x km ，付费y 元，由题意得 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0＜x ≤3，8＋2.15× x －3 ＋1，3＜x ≤8，8＋2.15×5＋2.85× x －8 ＋1，x ＞8.当x ＝8时，y ＝19.75＜22.6，因此由8＋2.15×5＋2.85×(x －8)＋1＝22.6，得x ＝9.][规律方法] 构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法： (1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解． (2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．(3)构建f (x )＝x ＋ax(a ＞0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解． 易错警示：求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制．[变式训练3] (2016·宁波模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120 Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．2 500[L(Q)＝40Q－120Q2－10Q－2 000＝－120Q2＋30Q－2 000＝－120(Q－300)2＋2 500.当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元．][思想与方法]1．认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础．2．实际问题中往往解决一些最值问题，可以利用二次函数的配方法、函数的单调性、基本不等式等求得最值．3．解函数应用题的程序是：①审题；②建模；③解模；④还原．[易错与防范]1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．。