1线性规划

不符合标准型的几个方面： ⑴目标函数为 min z=c1x1+c2x2+L+cnxn
令z′=-z ,变为 max z′= -c1x1- c2x2- L -cnxn
⑵约束条件为 a11x1+a12x2+L+a1nxn≤b1 加入非负变量xn+1，称为松弛变量，有 a11x1+a12x2+L+a1nxn+xn+1=b1 ⑶约束条件为 a11x1+a12x2+L+a1nxn≥b1 减去非负变量xn+1，称为剩余变量，有 a11x1+a12x2+L+a1nxn - xn+1=b1 ⑷变量xj无约束。 令xj= xj′ - xj″，对模型中的进行变量代 换。
(1)确定初始基本可行解
已知线性规划问题： n max z = ∑ c j x j
j =1
化为标准型为： max z =
∑cx
j =1
n
j j
+ 0 ∑ x si
i =1
为了便于单纯形法的实施，我们用单纯形表来描述 线性规划问题的一个基本可行解的情况。 不妨设x1,x2,…,xm组成一组基变量，且对应一个基 本可行解。用高斯消去法把等式约束和目标函数变形 为 x1 +a'1m+1xm+1+…+a'1nxn=b'1 x2 +a'2m+1xm+1+…+a'2nxn=b'2 … ……………………… xm+a'mm+1xm+1+…+a'mnxn=b'm -z +σm+1xm+1+…+σnxn= -z0 x x x …即 x单纯形 x … b 把其系数列成数 据表 表:x
定理4的证明：
(1) x不是可行解→x不是可行解的顶点 不失一般性设x的前m个分量为正，且对应的系数列向量线性相关， 故有：
∑
n
（1） p jx j = b L L L L L L L L L L L L
j =1
（ 2） δ 1Ρ 1 + δ 2 Ρ 2 + L + δ m Ρ m = 0 (δ i 不全为 0） L 设 µ ≠ 0 则：（ 1）+ µ （ 2），（ 1）− µ （ 2）得： （ x 1 + µδ 1) Ρ 1 + ( x 2 + µδ 2 ) Ρ 2 + L + ( x m + µδ m ) Ρ m = b （ x 1 − µδ 1) Ρ 1 + ( x 2 − µδ 2 ) Ρ 2 + L + ( x m − µδ m ) Ρ m = b Χ ( 2 ) =（ [ x 1 − µδ 1), ( x 2 − µδ 2 ), L ( x m − µδ m ), 0 L 0 ] i 有 x i ± µδ i ≥ 0即： 令 Χ (1 ) = （ [ x 1 + µδ 1), ( x 2 + µδ 2 ), L ( x m + µδ m ), 0 L 0 ] 又 µ 可这样选，使对所有的
1.1 线性规划问题及其数学模型 1.1.1 问题的提出(一)
例 某工厂在计划期内要安排生产 Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品 所需的设备台时和原料A、B的消耗量 如下表。 该工厂每生产一件产品Ⅰ 可获利2元，每生产一件产品Ⅱ可获 利3元，问应如何安排生产计划能使该厂获利最多？
Ⅰ Ⅱ 设备 1 原 料A 4 原 料B 0
可行解， Β是一可行基
二、基本原理
定义1 设C是n维向量的集合,若c中任意两点x1.x2 的连线上的点
Χ =αΧ1 + (1−α)Χ2 (0 ≤α ≤1)
仍属于集合C，则称C是凸集。 定义2 设X是凸集C中的点，如果C中没有两个不同的点 x1.x2 ，能使x成为 连接 x1.x2 的线段内的点，则称x是c的顶点。 定理1 线性规划问题有可行解，则可行域是凸集。 定理2 若 x1.x2 是线性规划的最优解,则x1.x2 连接线段上的点也都是最优解。 定理3 线性规划的可行解 Χ = ( x1, x 2, L , xn ) Τ 是基本可行解的充分必要条 件，是x的正分量所对应的系数列向量线性无关。 定理4 设c是线性规划问题的可行解域，则可行解x是基本可行解的充分必 要条件是x为c的极点。 定理5 若线性规划问题有可行解，则其必有基本可行解。 定理6 若线性规划问题有最优解，则一定有基本可行解是最优的。
例指出下列线性规划问题的基、 基变量、基本解、基本可行解、 可行基。 系数矩阵为
max z = 2 x1 + 3x2 2 x1 + 2 x2 + x3 = 12 x1 + 2 x2 + x4 = 8 3x2 + x5 = 9 ≥ 0, j = 1, L,5 x j
2 2 1 0 0 =( ) Α= 1 2 0 1 0 Ρ1 Ρ2 Ρ3 Ρ4 Ρ5 0 3 0 0 1
无可行解
1.2.1 基本概念与基本原理 一、基本概念
1.2 线性规划问题的求解——单纯形法
可行解 满足约束条件（包括非负条 件）的一组变量值，称可行解。
基本
所有可行解的集合称为可行域。 最优解 使目标函数达到最大的可行 解称为最优解。
基本解 对于有n个变量、m个约束方程 的标准型线性规划问题，取其m个变量。若 这些变量在约束方程中的系数列向量线性无 关，则它们组成一组基变量。确定了一组基 变量后，其它n-m个变量称为非基变量。 令非基变量都为 0 ，解约束方程，可唯 一得到基变量的值，从而得到一个满足约束 方程的解，称为基本解。由此可见，一个基 本解的非零分量个数不超过m个。 基本可行解 满足非负条件的基本解称 为基本可行解。 基本可行解既是基本解、又是可行解 ，它对应于线性规划问题可行域的顶点。
基 设B是A中m阶的满秩方阵(即B由A中线性无关的m列构 成),则称B是线性规划的一个基 基本解 基B确定以后，在约束方程中令非基变量全等于 零，就可以唯一的解出基变量的一组值来。此组值为线性规 划问题相应于基B 的基本解。 基本可行解 满足变量非负牲约束条件的基本解 可行基 对应于基本可行解的基 最优基 若一个基本可行解是最优解，则它对应的基叫最 优基。
2 8台 时 0 16kg 4 12kg
这个问题可以用下面的数 学模型来描述，设计划期内产 品Ⅰ、Ⅱ的产量分别为x1，x2， 可获利润用z表示，则有：
Max Z=2x1+3x2 x1+2x2≤8 4x2≤12 4x1 ≤16 x1, x2≥0
1 问题的提出(二)
例 靠近某河流有两个化工厂， 流经第一化工厂的河流流量为每天 500万m3，两工厂之间有一条流量为 每天200万m3的支流（见图）。 第一化工厂每天排放污水2万 m3，第二化工厂每天排放污水 1.4 万m3。污水从工厂1流到工厂2前会 有20%自然净化。根据环保要求， 河水中污水的含量应不大于0.2%。 而工厂1和工厂2处理污水的成本分 别为1000元/m3和800元/m3。问两 工厂各应处理多少污水才能使处理 污水的总费用最低？
1.1 线性规划问题及其数学模型 1.1.2 线性规划问题的标准型 线性规划问题的标准型 max z=c1x1+c2x2+L+cnxn a11x1+a12x2+L+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+L+a2nxn=b2 LLLLLLLLLL am1x1+am2x2+L+amnxn=bm x1, x2, L, xn≥0 其中，bi≥0 (i=1,2,L,m)
1 线性规划
1.1 线性规划问题及其数学模型 1.1.1 问题的提出 1.1.2 线性规划问题的标准型 1.1.3 图解法 1.2 线性规划问题的求解——单纯形法 1.2.1 基本概念 1.2.2 单纯形法 1.2.3 单纯形法计算机软件 1.3 线性规划应用举例 1.3.1 线材的合理利用问题 1.3.2 配料问题 1.3.3 连续投资问题
按照单纯形法的思路求解线性规划问题, 要解决 三个技术问题:⑴给出第一个基本可行解; ⑵检验一 个基本可行解是否是最优解; ⑶转换到另一个基本可 行解. ⑴把线性规划问题变成标准型后, 观察是否每个 约束方程中都有独有的、系数为1的变量. 如果是,则 取这些变量作为基变量,变得到一个基本可行解; 否 则,就给没有这种变量的约束条件添加一个人工变量, 同时修改目标函数. (见例题) ⑵如果单纯形表最后以行中的σj都满足 σj≤0, 则对应的基本可行解是最优解; 否则就不是最优解. σj称为检验数.
2 0 0 ，因这是一个满秩矩阵 0 1 0 取Β = (Ρ1 Ρ4 Ρ5) = ，所以 Β是一个基 0 0 1 相应的基变量是 x1, x4 , x5 令非基变量x2 = x3 = 0, 代入约束方程得
x = 6, x
1
4
= 2, x5 = 9，故Χ = (6 0 0 2 9)是一基本解，也是一基 本
满足以上条件的数学模型 称为线性规划模型。线性规划 模型的一般形式如下：
max(min)z = c1 x1 + c2 x2 + L + cn xn a11 x1 + a12 x2 + L a1n xn ≤ (=, ≥)b1 a21 x1 + a22 x2 + L a2 n xn ≤ (=, ≥)b2 LLLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L amn xn ≤ (=, ≥)bm x1 , x2 ,L xn ≥ 0
B 1 2 m m+1 n