安徽省六安市舒城中学2017～2018学年度高二第一学期期末考试理科数学试题及参考答案
安徽省六安市舒城中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题
舒城中学2017-2018学年高二第一学期期末统考试卷数 学（时间120分钟 满分150分）（命题：孟松 审题：杨龙傲 磨题：王正伟）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若p 、q 是两个简单命题，“p 且q ”的是真命题，则必有A ．p 假q 假B ．p 真q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 真2. 已知,x y R ∈，给出命题：“,x y R ∈，若220x y +=，则0x y ==”，则它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 3.下列求导运算正确的是A ．(cos )sin x x '=B ．1(ln 2)x x'=C ．3(3)3log x xe '= D ．2()2x x x e xe '=4.已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为1V 和2V ,则12:V V =( ) A.1∶3B.1∶1C.2∶1D.3∶15.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则异面直线AC 与MN 所成的角为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°6. 以下命题（其中,a b 表示直线，α表示平面）①若//,a b b α⊂，则//a α ②若//,//a b αα，则//a b ③若//,//a b b α，则//a α ④若//,a b αα⊂，则//a b 其中正确命题的个数是（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个7. 如果函数()f x 的导函数'()f x 的图像如图所示，那么函数()f x 的图像最有可能的是( )8.曲线221259x y +=与曲线()2219259x y k k k+=<--的（ ） A .长轴长相等 B .短轴长相等 C .焦距相等 D .离心率相等9.一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为( )A.63π m 3 B. 85π m 3 C . 83π m 3 D. 94π m 310.已知动点P 在椭圆2213627x y +=上，若椭圆的右焦点为F ，点M 满足||1FM →=，0PM FM →→∙=，则PM 的最小值是（ ） A.2 B.3 C. 22 D. 311. 已知函数31()42f x x ax =++，则“0a >”是“()f x 在R 上单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件12.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF BF ⊥，设ABF α∠=，且ππ[,]126α∈，则该椭圆的离心率e 的取值范围为A ．313[,]22- B ．316[,]23- C ．6[31,]3- D ．3[31,]2- 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知向量1(1,,2),(2,1,)2a b k →→==-,且a →与b →互相垂直,则k 的值是 14. 命题“2,||0x x x ∀∈+≥R ”的否定是15. 三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为3,2,1则该三棱锥的外接球的表面积16.如图，两个椭圆221259x y ＋＝， 221259y x ＋＝内部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，给出下列四个判断：①P 到1212(4,0)(4,0)(0,4)(0,4)F F E E --、、、四点的距离之和为定值； ②曲线C 关于直线y x y x ==-、均对称；③曲线C 所围区域面积必小于36．④曲线C 总长度不大于6π．上述判断中正确命题的序号为_____________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.（本题满分10分） 设函数3()212f x x x =-（I ）求函数()f x 的单调递增区间和极值； （II ）求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。
安徽省舒城中学2017-2018学年高二上学期研究性学习材
舒城中学高二研究性学习材料（一）理科数学命题： 审题：（时间 80分钟 满分100分）一、选择题（每小题5分，共40分。
每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上）1.已知曲线C ：02222=+-+y x y x ，直线)2(2:-=+x k y l ，则C 与l 的公共点 ( )A ．有2个B ．最多有1个C ．至少有1个D ．不存在2. 已知,a bR +∈，直线6ax by +=平分圆04222=+--+m y x y x 的周长，则的最大值为( )A ．6B ．4C ．3D ．33.b a ,为异面直线，且βα⊂⊂b a ,，若l =⋂βα，则直线l 必定 ( )A. 与b a ,都相交B. 与b a ,都不相交C. 至少与b a ,之一相交D. 至多与b a ,之一相交4. 如图，长方体1111D C B A ABCD -中，1,21===AD AB AA ,点E 、 F 、G 分别是1DD 、AB 、1CC 的中点，则异面直线E A 1与GF 所成的角是( )A. o30 B. o45 C. o60 D. o905.如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别是相应边的中点，G 、H 、I 、J 分别是AF 、AD 、BE 、DE 的中点，将ABC ∆沿DF 、DE 、EF 折成三棱锥后，则GH 与IJ IJ 所成角的度数为 （ ）A. o30 B. o45 C. o60 D. o906. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的各个面中,最大的面积是（ ）A B ．1C D7.一个几何体的三视图如图所示,该几何体外接球的表面积为 （ ）A.9πB.283π C.8π D.7π8.已知三棱锥S —ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，底面△ABC 是边长为1的正三角形，棱SC 是球O 的直径且SC=2，则此三棱锥的体积为（ ）A ．62B ．63 C ．32 D ．22二、填空题: （每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上）9.过点(1,1)-的直线与圆2224110x y x y +---=截得的弦长为，则该直线的方程为 。
安徽省六安市舒城中学2017-2018学年高二下学期第一次统考(开学考试)数学(文)试题
舒城中学2017—2018学年度第二学期第一次统考高二文数选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的,请你将符合要求的项的序号填在括号内)1. 已知集合A=，B=，则（）A. A B=B. A BC. A BD. A B=R【答案】A【解析】由得，所以，选A．点睛:对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．2. 下列函数中，定义域是且为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分别画出四个函数的图象，如图：故选B.3. 函数（其中的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A. 图象可由图象向左平移个单位得到B. 图象可由图象向左平移个单位得到C. 图象可由图象向右平移个单位得到D. 图象可由图象向右平移个单位得到【答案】B【解析】由图像可知，即，解得，当时，，解得，根据函数的最大值是，所以函数的解析式是，，根据左加右减，可知应向左平移2个单位，故选B.4. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】四棱锥的直观图如图所示：由三视图可知，平面，是四棱锥最长的棱，考点：三视图.视频5. 已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A. 若，垂直于同一平面，则与平行B. 若，则C. 若，不平行，则在内不存在与平行的直线D. 若，不平行，则与不可能垂直于同一平面【答案】D【解析】试题分析：由于α，β垂直于同一平面，则α与β平行，利用正方体的两个相邻侧面不满足题意，故①不对；若m，n平行于同一平面，则m与n平行，可能相交也可能平行也可以异面，故②不对；若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线，利用正方体中点侧面与底面，侧面的上底面的棱与下底面的棱，能够找到平行线，所以③不正确；若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面，如果两条直线垂直同一个平面，则两条直线平行，所以④正确．考点：命题的真假判断与应用视频6. 若，，则一定有（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：因,故,故应选C.考点：不等式的性质及运用.7. 过点作抛物线的切线，则其中一条切线为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】 ,设切点坐标为，则切线的斜率为，且，于是切线方程为，因为点在切线上，可解得或，可得切线斜率为或为，只有选项D合题意，故选D.【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.8. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为，体积为，则这个球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：球的球心为正四棱柱的中心，正四棱柱高为4，体积为16，所以底面边长为2，所以体对角线为，所以．考点：棱柱的外接球．【思路点睛】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积．本题考查学生空间想象能力,四棱柱的体积,球的表面积,容易疏忽的地方是几何体的体对角线是外接球的直径,导致出错．9. 直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件【答案】A【解析】试题分析：由时,圆心到直线的距离.所以弦长为.所以.所以充分性成立,由图形的对成性当时,的面积为.所以不要性不成立.故选A.考点：1.直线与圆的位置关系.2.充要条件.视频10. 的内角的对边分别为.已知，.则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，即，所以．由正弦定理得，即，因为c<a，所以C<A，所以，故选B．点睛:在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．11. 已知,则双曲线与的（）A. 实轴长相等B. 虚轴长相等C. 焦距相等D. 离心率相等【答案】D【解析】曲线的实轴长是，虚轴长，焦距是，离心率，曲线的实轴长，虚轴长是，焦距是，离心率，比较可知两个曲线的离心率相等.12. 在平面直角坐标系中，第一象限有一系列圆，所有圆均与轴和直线相切，且任何相邻两圆外切；圆的半径为，其中.若圆的半径，则数列的前项和（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据条件可知，两圆外切，所以，即，解得，及，又因为，所以是以1为首项，以为公比的等比数列，即，那么前项和就是，故选B.【点睛】本题考查了解析几何下的数列问题，综合性比较强，本题的关键是建立数列的递推关系，根据平面几何的知识，以及两圆相外切得到递推关系，可知数列是等比数列，这样问题就迎刃而解了.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则___________.【答案】5【解析】，所以，故填：5.14. 已知,,，则 ___________.【答案】【解析】，解得故答案为：15. 记不等式组所表示的平面区域为,若直线与有公共点,则的取值范围是___________.【答案】【解析】试题分析：满足约束条件的平面区域如图所示,过定点,故当过点时,得到,当过点时,得到.又因为直线与平面区域有公共点,故.考点：线性规划.【易错点睛】本题主要考查了线性规划,直线的方程等知识点.线性规划求解中注意的事项：(1)线性规划问题中，正确画出不等式组表示的平面区域是解题的基础．(2)目标函数的意义，有的可以用直线在y轴上的截距来表示，还有的可以用两点连线的斜率、两点间的距离或点到直线的距离来表示．(3)线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界上取得，特别地对最优整数解可视情况而定.视频16. 抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则的最大值是_______.【答案】1【解析】设，如图，根据抛物线的定义，可知，再梯形中，有，中，，又因为，所以，所以，故最大值是1，故填：1【点睛】本题考查了抛物线的综合，抛物线的性质中最重要的一条是抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，利用这条性质可以做出相应的图形，将边长进行转化，本题的另一个难点是利用余弦定理求，以及利用基本不等式转化为已知焦半径，突破是这两点，本题就迎刃而解了.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17. 已知函数.（Ⅰ）若在上是增函数，求的范围；（Ⅱ）若是的极值点，求在上的最大值.【答案】（1）（2）...............试题解析：（1）.（Ⅱ）若是的极值点，求在上的最大值.（2）在[1,4]上的最大值为18. 在中，内角所对的边分别为.已知，. （I）求的值；（II）求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.试题解析：（Ⅰ）解：由，及，得.由，及余弦定理，得.（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.于是，，故.考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.19. 设等差数列的公差为，且，前项和为，等比数列的公比为．已知．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）本题求等差数列与等比数列的通项公式，可先求得首项（）和公差（公比），然后直接写出通项公式，这种方法称为基本量法；（2）由于，可以看作是一个等差数列与等比数列对应项相乘所得，其前项和用乘公比错位相减法可求．试题解析：（1）由题意知：∴∴（2）由（1）知：∵（1）∴（2）由（1）（2）得：∴考点：等差数列与等比数列的通项公式，错位相减法．视频20. 如图，在直四棱柱中，已知，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）设，且是上一动点，当平面时，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（I）要证明线线垂直，可转化为证明线面垂直，即证明平面；（Ⅱ）利用平行关系，点到平面的距离相等，利用等体积转化求三棱锥体积，即.试题解析：（1）面面（2）【点睛】线线垂直的证明是常考题型，一般都可根据证明线面垂直，证得线线垂直，难点是线与哪个面垂直，需要观察；一般体积的求解不好直接求解时，可根据等体积转化或是利用线面平行转化. 21. 如图,点是椭圆的一个顶点,的长轴是圆的直径是过点且互相垂直的两条直线,其中交圆于两点,交椭圆于另一点.(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)求面积取最大值时直线的方程.【答案】（1） （2）【解析】试题分析：（I ）根据条件可知，从而得到椭圆方程；（Ⅱ）首先设直线方程，利用弦心距公式求弦长，再与椭圆方程联立求点的坐标，以及点D到直线的距离，最后写出，利用函数关系求函数的最大值.试题解析：（1）（2）设，与圆方程联立解得AB ，与椭圆联立解得D ，根据点到直线距离公式可得高，代入三角形面积公式可得k ，即得22. 已知函数（Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）当时，证明．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（I）首先求函数的导数，分和两种情况求函数的单调区间；（Ⅱ）由（I）知当时，函数的最大值是，即，再构造函数，利用函数的导数求函数的最大值小于等于0.试题解析：（1）f(x)的定义域为，若，则当时，，故在单调递增若，则当时，；当时，故在单调递增，在单调递减.（2）由（1）知，当时，在取得最大值，最大值为所以等价于，即设，则当时，；当，.所以在（0,1）单调递增，在单调递减.故当时，取得最大值，最大值为所以当时，从而当时，，即。
2017-2018学年安徽省六安市舒城中学高二(上)第一次月考数学试卷(理科)
2017-2018学年安徽省六安市舒城中学高二（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线l：x﹣y=1与圆C：x2+y2﹣4x=0的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定2．（5分）已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么（）A．α∥βB．α与β相交C．α与β重合D．α∥β或α与β相交3．（5分）两圆相交于点A（1，3）、B（m，﹣1），两圆的圆心均在直线x﹣y+c=0上，则m+c的值为（）A．﹣1B．2C．3D．04．（5分）点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC=BD，且AC与BD成90°，则四边形EFGH是（）A．菱形B．梯形C．正方形D．空间四边形5．（5分）圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的面积之和是（）A．3πa2B．4πa2C．5πa2D．6πa26．（5分）将一张坐标纸折叠一次，使点（10，0）与（﹣6，8）重合，则与点（﹣4，2）重合的点是（）A．（4，﹣2）B．（4，﹣3）C．（3，）D．（3，﹣1）7．（5分）过点P（1，2）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤9}分为两部分，使这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（）A．x+2y﹣5=0B．y﹣2=0C．2x﹣y=0D．x﹣1=0 8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12B．18C．24D．309．（5分）如图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：①AB与CD所在直线垂直；②CD与EF所在直线平行；③AB与MN所在直线成60°角；④MN与EF所在直线异面．其中正确命题的序号是（）A．①③B．②④C．①②④D．③④10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF=2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′﹣EFQ的体积（）A．与点E，F位置有关B．与点Q位置有关C．与点E，F，Q位置有关D．与点E，F，Q位置均无关，是定值11．（5分）已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为6，点E，F，G分别为棱AB，BC，DD′的中点，由这三点确定的平面截正方体所得的多边形面积为（）A．B．C．D．12．（5分）空间几何体的外接球，理解为能将几何体包围，几何体的顶点和弧面在此球上，且球的半径要最小．若如图是一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）球的表面积扩大到原来的2倍，则球的体积扩大到原来的倍．14．（5分）已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为．15．（5分）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=．16．（5分）曲线y=1+与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=a，E 是A1C1的中点，F是AB中点．（1）求证：EF∥面BB1C1C；（2）求直线EF与直线CC1所成角的正切值；（3）设二面角E﹣AB﹣C的平面角为θ，求tanθ的值．18．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0及点Q（﹣2，3），（Ⅰ）若点P（m，m+1）在圆C上，求PQ的斜率；（Ⅱ）若点M是圆C上任意一点，求|MQ|的最大值、最小值；（Ⅲ）若N（a，b）满足关系：a2+b2﹣4a﹣14b+45=0，求出t=的最大值．19．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点，．（1）求证：平面MNQ∥平面PCD；（2）在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，圆O过点M（1，）．（1）求圆O的方程；（2）若直线l1：y=mx﹣8与圆O相切，求m的值；（3）过点（0，3）的直线l2与圆O交于A、B两点，点P在圆O上，若四边形OAPB是菱形，求直线l2的方程．21．（12分）已知圆C的方程：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，其中m＜5．（1）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且|MN|=，求m的值；（2）在（1）条件下，是否存在直线l：x﹣2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为，若存在，求出c的范围，若不存在，说明理由．22．（12分）（文科做）已知平面α∥面β，AB、CD为异面线段，AB⊂α，CD⊂β，且AB=a，CD=b，AB与CD所成的角为θ，平面γ∥面α，且平面γ与AC、BC、BD、AD分别相交于点M、N、P、Q．（1）若a=b，求截面四边形MNPQ的周长；（2）求截面四边形MNPQ面积的最大值．2017-2018学年安徽省六安市舒城中学高二（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线l：x﹣y=1与圆C：x2+y2﹣4x=0的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定【分析】先由条件求得圆心和半径，再利用点到直线的距离公式求得圆心C到直线l的距离d小于半径，可得直线和圆的位置关系．【解答】解：由题意可得，圆C的圆心为C（2，0），半径为2，由于圆心C到直线l的距离d==＜2，所以圆与直线相交，故选：C．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．2．（5分）已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么（）A．α∥βB．α与β相交C．α与β重合D．α∥β或α与β相交【分析】由题意平面α内有无数条直线都与平面β平行，利用空间两平面的位置关系的定义即可判断．【解答】解：由题意当两个平面平行时符合平面α内有无数条直线都与平面β平行，当两平面相交时，在α平面内作与交线平行的直线，也有平面α内有无数条直线都与平面β平行．故选：D．【点评】此题重点考查了两平面空间的位置及学生的空间想象能力．3．（5分）两圆相交于点A（1，3）、B（m，﹣1），两圆的圆心均在直线x﹣y+c=0上，则m+c的值为（）A．﹣1B．2C．3D．0【分析】根据题意可知，x﹣y+c=0是线段AB的垂直平分线，由垂直得到斜率乘积为﹣1，而直线x﹣y+c=0的斜率为1，所以得到过A和B的直线斜率为1，利用A和B的坐标表示出直线AB的斜率等于1，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，然后利用中点公式和m的值求出线段AB的中点坐标，把中点坐标代入x﹣y+c=0中即可求出c的值，利用m和c的值求出m+c 的值即可．【解答】解：由题意可知：直线x﹣y+c=0是线段AB的垂直平分线，又直线x﹣y+c=0 的斜率为1，则=﹣1①，且﹣+c=0②，由①解得m=5，把m=5代入②解得c=﹣2，则m+c=5﹣2=3．故选：C．【点评】此题考查学生掌握两圆相交时两圆心所在的直线是公共弦的垂直平分线，掌握两直线垂直时斜率所满足的关系，灵活运用中点坐标公式化简求值，是一道综合题．4．（5分）点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC=BD，且AC与BD成90°，则四边形EFGH是（）A．菱形B．梯形C．正方形D．空间四边形【分析】先根据三角形的中位线定理整出两队对边平行且相等，是一个平行四边形，再证明四边形EFGH为菱形，然后说明∠EFG=90°，得到四边形是一个正方形．【解答】解：因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH=BD同理FG∥BD，EF∥AC，且FG=BD，EF=AC．所以EH∥FG，且EH=FG∵AC=BD，所以四边形EFGH为菱形．∵AC与BD成900∴菱形是一个正方形，故选：C．【点评】本题考查简单几何体和公理四，本题解题的关键是要证明正方形常用方法是先证明它是菱形再证明一个角是直角，本题是一个基础题．5．（5分）圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的面积之和是（）A．3πa2B．4πa2C．5πa2D．6πa2【分析】根据相似三角形求出上底面半径和a的关系，再计算两底面积之和．【解答】解：设圆台的母线AA′与圆台的轴OO′交于点S，则∠ASO=30°，设圆台的上底面半径为r，则SA′=2r，OA=2r，SA=4r，∴AA′=SA﹣SA′=4r﹣2r=2r=2a，∴r=a，∴圆台的上下底面积S=πr2+π（2r）2=5πr2=5πa2．故选：C．【点评】本题考查了圆台的结构特征，属于基础题．6．（5分）将一张坐标纸折叠一次，使点（10，0）与（﹣6，8）重合，则与点（﹣4，2）重合的点是（）A．（4，﹣2）B．（4，﹣3）C．（3，）D．（3，﹣1）【分析】以（10，0）和（﹣6，8）为端点的线段的垂直平分线方程为y=2x，即求点（﹣4，2）关于直线y=2x的对称点．【解答】解：由条件，以（10，0）和（﹣6，8）为端点的线段的垂直平分线方程为y=2x，则与点（﹣4，2）重合的点即为求点M（﹣4，2）关于直线y=2x的对称点N，设对称点N（s，r），由2•=﹣1，=2•，即得s=4，r=﹣2，故N（4，﹣2），故选：A．【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的坐标的求法，求出以（10，0）和（﹣6，8）为端点的线段的垂直平分线方程为y=2x，是解题的关键．7．（5分）过点P（1，2）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤9}分为两部分，使这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（）A．x+2y﹣5=0B．y﹣2=0C．2x﹣y=0D．x﹣1=0【分析】要使面积之差最大，必须使过点P的弦最小，该直线与直线OP垂直，求得直线的斜率，再由点斜式可求得直线方程．【解答】解：要使面积之差最大，必须使过点P的弦最小，∴该直线与直线OP 垂直．又k OP=2，所以直线的斜率为，由点斜式可求得直线方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即x+2y﹣5=0，故选：A．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，用点斜式求直线的方程，属于基础题．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12B．18C．24D．30【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断三棱柱的高及消去的三棱锥的高，判断三棱锥与三棱柱的底面三角形的形状及相关几何量的数据，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×3=30﹣6=24．故选：C．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．9．（5分）如图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：①AB与CD所在直线垂直；②CD与EF所在直线平行；③AB与MN所在直线成60°角；④MN与EF所在直线异面．其中正确命题的序号是（）A．①③B．②④C．①②④D．③④【分析】把正方体的展开图还原成正方体AMBC﹣NEDF，利用正方体的结构特征能求出结果．【解答】解：把正方体的展开图还原成正方体AMBC﹣NEDF，在①中，∵CD∥AE，∴∠BAE是AB与CD所成角，∵AB=AE=BE，∴∠BAE=60°，∴AB与CD所在直线所成角为60°，故A错误；在②中，∵EF∥CM，∴∠MCD是CD与EF所成角，∵CM=CD=DM，∴∠MCD=60°，∴CD与EF所在直线所成角为60°，故②错误；在③中，∵AB∥ND，∴∠MND是AB与MN所成角，∵MN=ND=MD，∴AB与MN所在直线成60°角，故③正确；在④中，MN∩CM=M，CM∥EF，∴MN与EF所在直线异面，故④正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查正方体的展开图、正方体的结构特征等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF=2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′﹣EFQ的体积（）A．与点E，F位置有关B．与点Q位置有关C．与点E，F，Q位置有关D．与点E，F，Q位置均无关，是定值=V Q﹣EFA′，△EFA′的面积不变，点Q到△EFA′所在平面的距离也不【分析】V A′﹣EFQ变．=V Q﹣EFA′，【解答】解：V A′﹣EFQ△EFA′的面积不变，点Q到△EFA′所在平面的距离也不变，故三棱锥A′﹣EFQ的体积与点E，F，Q位置均无关，是定值．故选：D．【点评】本题考查了学生的空间想象力及体积的转化，属于基础题．11．（5分）已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为6，点E，F，G分别为棱AB，BC，DD′的中点，由这三点确定的平面截正方体所得的多边形面积为（）A．B．C．D．【分析】画出点E，F，G确定的平面截正方体所得的多边形，利用海伦公式，余弦定理，求出面积即可．【解答】解：由图所示：点E，F，G确定的平面截正方体所得的多边形如图所示：∵正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为6，故AP=CD=1，故GP=GQ=，PQ=6，PE=QF=，EF=3，PF=EQ=，==6，故S△GPQ在△PEF中，cos∠PEF=，故sin∠PEF=，故梯形PEFQ的高为：PEsin∠PEF=，故梯形PEFQ的面积为：（6+3）×=，故五边形的面积S=6+=，故选：B．【点评】本题考查的知识点是求多面形的面积，难度较大．12．（5分）空间几何体的外接球，理解为能将几何体包围，几何体的顶点和弧面在此球上，且球的半径要最小．若如图是一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【分析】根据已知中几何体的外接球的定义，结合该几何体外接球的轴截面，可求出球的半径，进而得到答案．【解答】解：该几何体是一个圆柱和一个正方体的组合体，做出其外接球的轴截面如下图所示：则，解得：x=，，故该几何体的外接球的表面积S=4πR2=，故选：A．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图分析出几何体的形状是解答的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）球的表面积扩大到原来的2倍，则球的体积扩大到原来的2倍．【分析】直接应用公式化简可得球的半径扩大的倍数，然后求出体积扩大的倍数．【解答】解：设原球的半径R表面积扩大2倍，则半径扩大倍，体积扩大2 倍故答案为：2 ．【点评】本题考查的知识点是球的体积和表面积，熟练掌握球的体积和表面积公式，是解答的关键．14．（5分）已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=2．【分析】首先根据题意设圆心坐标为（a，﹣a），再由直线与圆相切利用圆心到直线的距离为半径，求出a和半径r，即可得到圆的方程．【解答】解：∵圆心在直线x+y=0上，∴设圆心坐标为（a，﹣a）∵圆C与直线x﹣y=0相切∴圆心（a，﹣a）到两直线x﹣y=0的距离为：=r ①同理圆心（a，﹣a）到两直线x﹣y﹣4=0的距离为：=r ②联立①②得，a=1 r2=2∴圆C的方程为：（x﹣1）2+（y+1）2=2故答案为：：（x﹣1）2+（y+1）2=2【点评】本题考查了圆的标准方程，直线与圆相切以及点到直线的距离公式，一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．15．（5分）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=1：24．【分析】由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值，由题意棱柱的高是棱锥的高的2倍，然后直接由体积公式可得比值．【解答】解：因为D，E，分别是AB，AC的中点，所以S△ADE ：S△ABC=1：4，又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍．即三棱柱A1B1C1﹣ABC的高是三棱锥F﹣ADE高的2倍．所以V1：V2==1：24．故答案为1：24．【点评】本题考查了棱柱和棱锥的体积公式，考查了相似多边形的面积的比等于相似比的平方，是基础的计算题．16．（5分）曲线y=1+与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是．【分析】先确定曲线的性质，然后结合图形确定临界状态，结合直线与圆相交的性质，可解得k的取值范围．【解答】解：可化为x2+（y﹣1）2=4，y≥1，所以曲线为以（0，1）为圆心，2为半径的圆y≥1的部分．直线y=k（x﹣2）+4过定点p（2，4），由图知，当直线经过A（﹣2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点变为一个．且k AP==，由直线与圆相切得d==2，解得k=则实数k的取值范围为故答案为：【点评】本题考查直线与圆相交的性质，同时考查了学生数形结合的能力，是个基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=a，E 是A1C1的中点，F是AB中点．（1）求证：EF∥面BB1C1C；（2）求直线EF与直线CC1所成角的正切值；（3）设二面角E﹣AB﹣C的平面角为θ，求tanθ的值．【分析】（1）通过面面平行⇒线面平行；（2）根据线面垂直关系，判定直线在平面内的射影，证角符合线面角定义，再求角．（3）可根据三垂线定理作二面角的平面角，再通过解三角形求角．【解答】解：（1）证明：取AC的中点G，连接EG、FG，∵EG∥CC1，FG∥BC，∴面EFG∥面C1BC而EF⊂面C1BC．而EF∥面C1CB，即EF∥面BB1C1C．（2）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴EG⊥平面ABC∵EG∥CC1，∠FEG为直线EF与CC1所成的角△EFG为Rt△，∴tan∠FEG===．（3）取AF的中点H，连接GH、EH，∵AC=BC，∴CF⊥AB，又∵GH∥CF，∴GH⊥AB，有（2）知EG⊥平面ABC，∴GH为EH在平面ABC中的射影，∴∠EHG为二面角E﹣AB﹣C的平面角，又△EHG是直角三角形，且∠HGE=90°，，EG=CC1=a，则．【点评】本题考查线面平行的判定、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角．空间角的求法：1、作角（作平行线或垂线）；2、证角（符合定义）；3、求角（解三角形）．18．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0及点Q（﹣2，3），（Ⅰ）若点P（m，m+1）在圆C上，求PQ的斜率；（Ⅱ）若点M是圆C上任意一点，求|MQ|的最大值、最小值；（Ⅲ）若N（a，b）满足关系：a2+b2﹣4a﹣14b+45=0，求出t=的最大值．【分析】（1）由点P（m，m+1）在圆C上，解得m=4，从而点P（4，5），由此能求出PQ的斜率．（2）点M是圆C上任意一点，Q（﹣2，3）在圆外，所以|MQ|的最大值、最小值分别是|QC|+r，|QC|﹣r．（3）点N在圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0上，t=表示的是定点Q（﹣2，3）与圆上的动点N连线l的斜率．由此能求出t=的最大值．【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0可化为（x﹣2）2+（y﹣7）2=8．点P（m，m+1）在圆C上，所以m2+（m+1）2﹣4m﹣14（m+1）+45=0，解得m=4，故点P（4，5）．所以PQ的斜率是k PQ==；（2）如图，点M是圆C上任意一点，Q（﹣2，3）在圆外，所以|MQ|的最大值、最小值分别是|QC|+r，|QC|﹣r．Q（﹣2，3），C（2，7），|QC|==4，r=2，所以|MQ|max=6，|MQ|min=2．（3）点N在圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0上，t=表示的是定点Q（﹣2，3）与圆上的动点N连线l的斜率．设l的方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0．当直线和圆相切时，d=r，即=2，解得k=2±．所以t=的最大值为2+．【点评】本题考查直线的斜率的求法，考查线段的最值的求法，考查代数式的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．19．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点，．（1）求证：平面MNQ∥平面PCD；（2）在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）推导出NQ∥CD，MQ∥PC，由此能证明平面MNQ∥平面PCD．（2）取PD中点E，连结NE、CE，推导出四边形MCEN是平行四边形，从而MN ∥CE，由此能求出MN∥平面ACE，且=．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点，∴NQ∥CD，MQ∥PC，∵NQ∩MQ=Q，CD∩PC=C，且NQ、MQ⊂平面MNQ，CD、PC⊂平面PCD，∴平面MNQ∥平面PCD．解：（2）线段PD上存在一点E，使得MN∥平面ACE，且=．证明如下：取PD中点E，连结NE、CE，∵N、E、M分别是AP、PD、BC的中点，BC AD，∴NE NE，∴四边形MCEN是平行四边形，∴MN∥CE，∵MN⊄平面ACE，CE⊂平面ACE，∴MN∥平面ACE，且=．【点评】本题考查面面平行的证明，考查满足线面平行的点的位置的确定及求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，圆O过点M（1，）．（1）求圆O的方程；（2）若直线l1：y=mx﹣8与圆O相切，求m的值；（3）过点（0，3）的直线l2与圆O交于A、B两点，点P在圆O上，若四边形OAPB是菱形，求直线l2的方程．【分析】（1）求出半径，即可求圆O的方程；（2）根据直线和圆相切求出圆心到直线的距离d=r，即可求m的值；（3）设出直线l2的方程，利用四边形OAPB是菱形，则对角线垂直的条件即可，求直线l2的方程．【解答】解：（1）圆的半径r=，则圆O的方程为x2+y2=4；（2）若直线l1：y=mx﹣8与圆O相切，则圆心到直线的距离d=2，即d=，解得m=；（3）由题意可设直线l2的方程为y=kx+3，若四边形OAPB是菱形，∴OP与AB垂直平分，故圆心O都直线l2的距离为|OP|=1，即，即k2=8，解得k=，∴直线l2的方程为y=x+3．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据圆心到直线的距离和半径之间的关系是解决本题的关键．21．（12分）已知圆C的方程：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，其中m＜5．（1）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且|MN|=，求m的值；（2）在（1）条件下，是否存在直线l：x﹣2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为，若存在，求出c的范围，若不存在，说明理由．【分析】（1）圆的方程化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，圆心C（1，2）到直线l：x+2y﹣4=0的距离为，由此解得m=4．（2）假设存在直线l：x﹣2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为，由于圆心C（1，2），半径r=1，由此利用圆心C（1，2）到直线l：x﹣2y+c=0的距离，能求出c的范围．【解答】解：（1）圆的方程化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，圆心C（1，2），半径，则圆心C（1，2）到直线l：x+2y﹣4=0的距离为：…（3分）由于，则，有，∴，解得m=4．…（6分）（2）假设存在直线l：x﹣2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为，…（7分）由于圆心C（1，2），半径r=1，则圆心C（1，2）到直线l：x﹣2y+c=0的距离为：，…（10分）解得．…（13分）【点评】本题考查实数值和实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．22．（12分）（文科做）已知平面α∥面β，AB、CD为异面线段，AB⊂α，CD⊂β，且AB=a，CD=b，AB与CD所成的角为θ，平面γ∥面α，且平面γ与AC、BC、BD、AD分别相交于点M、N、P、Q．（1）若a=b，求截面四边形MNPQ的周长；（2）求截面四边形MNPQ面积的最大值．【分析】（1）根据两个平面平行的性质定理，得到线与线平行，得到四边形MNPQ 是一个平行四边形，根据成比例线段得到要用的线段之间的关系，表示出四边形的周长．（2）要求四边形面积的最大值，首先表示出四边形的面积，由MN∥AB，得MN=，同理MQ=，又AB与CD所成的角为θ，根据四边形的面积是三角形面积的二倍，表示出四边形的面积，根据二次函数的性质得到结果．【解答】解：（1）∵平面α∥面β，平面ABC∩α=AB，平面ABC∩β=MN，∴AB∥MN，同理PQ∥AB，有PQ∥MN，同理NP∥MQ，∴四边形MNPQ是一个平行四边形，，∴∵AB=CD=a，∴NP+PQ=a，即四边形的周长是2a．（2）设AC=c，CM=x，由MN∥AB，得MN=，同理MQ=，又AB与CD所成的角为θ，∴sin∠NMQ=sinθ∴四边形的面积是s=2×=∴当x=时，s的最大值是，此时M为AC的中点．【点评】本题考查面与面平行的性质定理，考查面积的最值，本题解题的关键是对于求最值的问题，首先要表示出面积，再利用函数的最值的求法得到结果．。
安徽省六安市舒城中学2017～2018学年度高二第一学期期末考试理科数学试题
舒城中学2017～2018学年度高二第一学期期末统考试卷数 学(时间120分钟 满分150分) (命题:孟松 审题:杨龙傲 磨题:王正伟)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若p 、q 是两个简单命题,“p 且q ”的是真命题,则必有A.p 假q 假B.p 真q 真C.p 真q 假D.p 假q 真2.已知,x y R ∈,给出命题:“,x y R ∈,若220x y +=,则0x y ==”,则它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个 3.下列求导运算正确的是 A.(cos )sin x x '=B.1(ln 2)x x'=C.3(3)3log x xe '=D.2()2x xx e xe '=4.已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为1V 和2V ,则12:V V =( ) A.1∶3B.1∶1C.2∶1D.3∶15.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点,则异面直线AC 与MN 所成的角为 ( )A.30°B.45°C.60°D.90°6.以下命题(其中,a b 表示直线,α表示平面)①若//,a b b α⊂,则//a α ②若//,//a b αα,则//a b ③若//,//a b b α,则//a α ④若//,a b αα⊂,则//a b 其中正确命题的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个7.如果函数()f x 的导函数'()f x 的图像如图所示,那么函数()f x 的图像最有可能的是( )8.曲线221259x y +=与曲线()2219259x y k k k+=<--的( ) A .长轴长相等 B .短轴长相等 C .焦距相等 D .离心率相等9.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为( )A.63π m 3B.85π m 3 C .83π m 3 D.94π m 310.已知动点P 在椭圆2213627x y +=上,若椭圆的右焦点为F ,点M 满足||1FM →=,0PM FM →→∙=,则PM 的最小值是( )A.2B.3C.22D.3 11.已知函数31()42f x x ax =++,则“0a >”是“()f x 在R 上单调递增”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点A ,它关于原点的对称点为B ,点F 为椭圆的右焦点,且满足AF BF ⊥,设ABF α∠=,且ππ[,]126α∈,则该椭圆的离心率e 的取值范围为A.313[,]22- B.316[,]23- C.6[31,]3- D.3[31,]2- 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13.已知向量1(1,,2),(2,1,)2a b k →→==-,且a →与b →互相垂直,则k 的值是 14. 命题“2,||0x x x ∀∈+≥R ”的否定是15.三棱锥的三条侧棱两两垂直,其长分别为3,2,1则该三棱锥的外接球的表面积16.如图,两个椭圆221259x y ＋＝, 221259y x ＋＝内部重叠区域的边界记为曲线C ,P 是曲线C 上的任意一点,给出下列四个判断:①P 到1212(4,0)(4,0)(0,4)(0,4)F F E E --、、、四点的距离之和为定值； ②曲线C 关于直线y x y x ==-、均对称；③曲线C 所围区域面积必小于36. ④曲线C 总长度不大于6π.上述判断中正确命题的序号为_____________.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17.(本题满分10分) 设函数3()212f x x x =-(I)求函数()f x 的单调递增区间和极值； (II)求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。
安徽省舒城中学2017-2018学年高二上学期第一次统考数学理试卷含答案
舒城中学2017-2018学年度第一学期第一次统考理科数学满分:150 时间：120分钟命题： 杨俊 审题：王正伟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分)1。
在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C =+，则ABC ∆的形状是( B )A 。
锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定2. 已知等差数列{}n a ，n S 为其前n 项和,若20100S =，且1234a a a ++=，则181920a a a ++=（ C ）A 。
20B 。
24 C.26 D.30 3.已知212x x >,则x 的取值范围是( D ）A 。
R B.1<x C 。
0>x D. 1>x4．要得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin πx y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象 （ B ）A ．向右平移6πB ．向右平移3πC ．向左平移6πD ．向左平移3π5. 已知向量a 与b 的夹角为120°，｜a ｜=3，|a +b ｜13b |=（ B ）A.5B 。
4C 。
3D.16．已知0,0a b >>，131a b +=，则2a b +的最小值为（ A )A.726+B.23C 。
723+ D.147．已知点)3,2(-A 和点)2,3(--B ，直线m 过点)1,1(P 且与线段AB 相交,则直线m 的斜率k 的取值范围是（A ）A ．443-≤≥k k 或B ．434≤≤-kC ．51-≤kD ．443≤≤-k8．已知3sin(),45x π-=则sin2x 的值为（D ）A.1925 B 。
1625C.1425 D.7259。
已知函数()2(0)f x ax bx c ac ≠＝++，若()0f x <的解集为(1,)m －,则下列说法正确的是：（D ）A . (1)0f m <－ B . (1)0f m >－ C .(1)f m m －必与同号 D . )1(-m f 必与m 异号 10. 已知实数,x y 满足40210440x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，求3z x y =+-的取值范围是(A )A 。
安徽省舒城中学高二上学期第四次统考数学理试卷
舒城中学2016—2017学年度第一学期第四次统考高二数学（理）总分：150分 时间：120分钟 制卷： 审卷： 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合要求的,请你将符合要求的项的序号填在括号内) 1.命题“23,x x R x >∈∀”的否定是（ ）A. 20300,x x R x >∈∃ B.20300,x x R x >∉∃ C.20300,x x R x ≤∈∃D.20300,x x R x ≤∉∃ 2.抛物线22x y =的焦点坐标为（ ）A.)21,0( B.)0,21(C.)81,0(D.)0,81(3.如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶 统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 （ ） A.8.4,84B ．6.1,84C.4,85 D ．6.1,854.点)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 内一条弦AB 的中点，则直线AB 的方程为 （ ）A ．01=-+y xB ．032=-+y xC ．03=--y xD ．052=--y x5.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+ ，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为 （ ）A.4.11万元B.8.11万元C.0.12万元D.2.12万元6.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率 是 （ ）A.101 B.103 C.53 D.109 7.已知直线122+=x y 和双曲线22221(1)x y a a -=+（0>a ），则直线与双曲线 （ ）A.左右两支各有一个交点B.右支有两个交点C.左支有两个交点D.无交点 8.若m l , 是两条不同的直线，m 垂直于平面α ，则“m l ⊥ ”是“α//l ”的 （ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9．设0,,≠∈ab R b a ，那么直线0=+-b y ax 和曲线ab ay bx =+22的图形可能是（ ）A. B. C.D.10.已知点)0,1(),0,3(),0,3(B N M -，动圆C 与直线MN 相切于点B ，过N M ,与圆C 相切的两条直线相交于点P ，则点P 的轨迹方程为（ ）A.)1)(1(42>-=x x yB.)1(1822>=-x y x C.)0(1822>=+x y xD.)1(11022-<=-x y x 11.已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点2F 关于直线x aby =对称，则该双曲线的离心率为（ ）A.5B.2C.2D.25 12.设a 为实数，且关于x 的方程1)sin )(cos (=-+x a x a 有实根，则a 的取值范围是（ ）舒中高二统考理数第1页 (共4页)A.]221,221[]221,221[+-+--- B.]3,221[]221,3[-+-- C.]3,3[-D.]3,2[]2,3[ --二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.4=可化简为 .14.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 14.3，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为 .（参考数据：2588.015sin =︒，1305.05.7sin =︒）15.过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于B A ,两点，若实数λ使得λ=||AB 的直线l 恰有三条，则=λ .16.ABC ∆中，090=∠C ,030=∠B ，2=AC ,M 是AB 的中点，将ACM ∆沿CM 折起，使B A ,两点间的距离为22，此时三棱锥BCM A -的体积等于 . 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程及演算步骤等) 17（本题满分10分）设p ：实数x 满足03422<+-a ax x ，其中0≠a ；q ：实数x 满足⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤--0820622x x x x .(1)若1=a ，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18.（本题满分12分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组)100,90[，)110,100[，…，]150,140[后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：舒中高二统考理数 第2页 (共4页)(1)求分数在)130,120[内的频率；(2)若在同一组数据中，将该组区间的中点值(如：组区间)110,100[的中点值为1052110100=+)作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分； (3)用分层抽样的方法在分数段为)130,110[的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段)130,120[内的概率．19.(本题满分12分）已知两点)0,2(),0,2(B A -，直线BM AM ,相交于点M ，且这两条直线的斜率之积为43-. (1)求点M 的轨迹方程；(2)已知)0,41(P ，点Q 为M 轨迹上的动点，求||PQ 的最小值.20.(本题满分12分）已知抛物线的方程为x y 42=.（1）直线l 过点)1,2(-P ，斜率为k ，直线l 与抛物线有两个公共点，求k 的取值范围； （2）过动点),2(0y Q -作抛物线的两条切线QB QA ,，切点分别为B A ,，证明直线AB 过定点.21.(本题满分12分）在如图所示的多面体ABCDEF 中，已知CF BE AD ,,都与平面ABC 垂直．设c CF b BE a AD ===，，，1===BC AC AB ． （1）若2===c b a ，且G 为AD 中点，求二面角A BC G --的正切值；（2）求四面体ABCE 与BDEF 公共部分的体积（用c b a ,,表示）．22.（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x .已知椭圆的长轴长为22，离心率为22. （1）求椭圆方程；（2）12,F F 分别是椭圆左、右焦点，设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点,A B ，焦点2F 到直线l 的距离为d ，如果直线11,,AF l BF 的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围.舒城中学2016-2017学年度第一学期第四次统考高二理数答题卷二、填空题（每小题5分，共20分）13. ； 14. ；15. ； 16. ；三、解答题（6题，共70分） 17.(本大题满分10分)班级： 姓名： 座位号：……………………… 装 ………………………………… 订 ……………………………… 线 ………………………………………………18.(本大题满分12分)19.（本小题满分12分）20. (本大题满分12分)21.(本大题满分12分)22.(本大题满分12分)。
安徽省六安市舒城中学2017-2018学年高三数学四模试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年安徽省六安市舒城中学高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x≥4}，B={x|y=ln（2x﹣1）}，则（∁R A）∩B=（）A．[4，+∞）B．[0，]C．（，4）D．（1，4]2．已知复数z满足（1+i）z=2i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．D．23．下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上是单调减函数的是（）A．y=B．y=cosxC．y=ln|x+1|D．y=﹣2|x|4．某学校有男学生400名，女学生600名．为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查，则这种抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法5．已知不重合的直线m、l和平面α、β，m⊥α，l⊂β，则α∥β是“m⊥l”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件6．已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．﹣3B．C．﹣2D．7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（）A．24里B．12里C．6里D．3里8．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（）A．24B．30C．10D．609．执行如图所示的程序框图，若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是（）A．k＞7B．k＞6C．k＞5D．k＞410．将函数f（x）=3sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．D．11．已知双曲线与抛物线y2=8x的一个交点为P，F为抛物线的焦点，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0B．2x±y=0C．D．12．已知f（x）=若函数y=f（x）﹣k（x+1）有三个零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣，0）B．（0，）C．（，1）D．（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．已知=1，且a＞0，b＞0，则a+b的最小值为．14．在△ABC中，AB=3，AC=4，M是边BC的中点，则=．15．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3cm，AC=4cm，AB⊥AC，AA1=12cm，则球O的表面积为cm2．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=﹣S n S n+1，则使取得最小值时n的值为．三、解答题：（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步．）17．在△ABC中，三个内角的对边分别为a，b，c，cosA=，asinA+bsinB﹣csinC=asinB．（1）求B的值；（2）设b=10，求△ABC的面积S．18．甲乙两组数学兴趣小组的同学举行了赛前模拟考试，成绩记录如下（单位：分）：甲：79，81，82，78，95，93，84，88乙：95，80，92，83，75，85，90，80（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，；（2）计算甲、乙两组同学成绩的平均分和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在这次模拟考试中发挥比较稳定；（3）在甲、乙两组同学中，若对成绩不低于90分得再随机地抽3名同学进行培训，求抽出的3人中既有甲组同学又有乙组同学的概率．（参考公式：样本数据x1，x2，…，x n的标准差：s=，其中为样本平均数）19．正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M是EC中点．（Ⅰ）求证：BM∥平面ADEF；（Ⅱ）求三棱锥M﹣BDE的体积．20．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得|+2|=|﹣2|成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=e x﹣x2+a，x∈R的图象在点x=0处的切线为y=bx．（e≈2.71828）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈R时，求证：f（x）≥﹣x2+x；（Ⅲ）若f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（ϕ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．（Ⅰ）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a+b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．2016年安徽省六安市舒城中学高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x≥4}，B={x|y=ln（2x﹣1）}，则（∁R A）∩B=（）A．[4，+∞）B．[0，]C．（，4）D．（1，4]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合B，求出集合A在全集U中的补集，再求（∁R A）∩B．【解答】解：集合A={x|x≥4}，∴∁R A={x|x＜4}；又B={x|y=ln（2x﹣1）}={x|2x﹣1＞0}={x|x＞}，∴（∁R A）∩B={x|＜x＜4}=（，4）．故选：C．2．已知复数z满足（1+i）z=2i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．D．2【考点】复数求模．【分析】直接利用复数两边求模的运算法则求解即可．【解答】解：复数z满足（1+i）z=2i，则：|（1+i）||z|=|2i|，可得|z|=2，∴|z|=．．故选：C3．下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上是单调减函数的是（）A．y=B．y=cosxC．y=ln|x+1|D．y=﹣2|x|【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【分析】运用常见函数的奇偶性和单调性以及定义，即可得到既是偶函数，又在（0，+∞）上是单调减函数的函数．【解答】解：对于A，为幂函数，定义域为[0，+∞），不关于原点对称，则不具奇偶性，则A不满足；对于B，为余弦函数，为偶函数，在（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）上递减，则B不满足；对于C，定义域为{x|x≠﹣1}不关于原点对称，则不具奇偶性，则C不满足；对于D，定义域为R，f（﹣x）=﹣2|﹣x|=f（x），为偶函数，x＞0时，y=﹣2x递减，则D满足．故选D．4．某学校有男学生400名，女学生600名．为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查，则这种抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法【考点】计数原理的应用．【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样【解答】解：总体由男生和女生组成，比例为400：600=4：6，所抽取的比例也是4：6．故选：D5．已知不重合的直线m、l和平面α、β，m⊥α，l⊂β，则α∥β是“m⊥l”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】m⊥α，l⊂β，α∥β，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质可得：m⊥β，m⊥l．反之不成立，α与β可能相交．【解答】解：m⊥α，l⊂β，则α∥β⇒m⊥β，∴m⊥l．反之不成立，α与β可能相交．∴α∥β是“m⊥l”的充分不必要条件．故选：A．6．已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．﹣3B．C．﹣2D．【考点】简单线性规划．【分析】作出平面区域，求出角点的坐标，平移直线2x+y=0确定最小值．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（2，﹣2），由z=x+2y 得：y=﹣x+，结合图象得直线过A （2，﹣2）时，z 最小，最小值是﹣2， 故选：C ．7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ） A ．24里B ．12里C ．6里D ．3里 【考点】等比数列的前n 项和．【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S 6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程．【解答】解：记每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比的等比数列，由S 6=378，得，解得：a 1=192，∴，故选：C ．8．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（ ）A ．24B ．30C ．10D ．60【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】根据几何体的三视图得出该几何体是三棱柱去掉一个三棱锥所得的几何体，结合三视图的数据，求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体， 几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的， 如图所示，所以该几何体的体积为：V 三棱柱﹣V 三棱锥=×3×4×5﹣××3×4×3=24．故选：A9．执行如图所示的程序框图，若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是（）A．k＞7B．k＞6C．k＞5D．k＞4【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前1 0第一圈2 2 是第二圈3 7 是第三圈4 18 是第四圈5 41 是第五圈6 88 否故退出循环的条件应为k＞5？故答案选C．10．将函数f（x）=3sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性．【分析】根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，得到g（x）=3sin（2x﹣），从而得到g（x）图象的一条对称轴是．【解答】解：将函数f（x）=3sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得函数y=3sin（2x+）的图象，再向右平移个单位长度，可得y=3sin[2（x﹣）+]=3sin（2x﹣）的图象，故g（x）=3sin（2x﹣）．令2x﹣=kπ+，k∈z，得到x=•π+，k∈z．则得y=g（x）图象的一条对称轴是，故选：C．11．已知双曲线与抛物线y2=8x的一个交点为P，F为抛物线的焦点，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0B．2x±y=0C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据抛物线y2=8x上的点P满足|PF|=5，可得P（3，±2），代入双曲线方程算出m的值，即可得到双曲线的a、b之值，从而得到该双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵点P在抛物线y2=8x上，|PF|=5，∴P（x0，y0）满足x0+=5，得x0=5﹣=5﹣2=3因此y02=8x0=24，得y0=±2∴点P（3，±2）在双曲线上可得9﹣=1，解之得m=3∴双曲线标准方程为，得a=1，b=，渐近线方程为y=±，即y=±x故选：C12．已知f（x）=若函数y=f（x）﹣k（x+1）有三个零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣，0）B．（0，）C．（，1）D．（1，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由y=f（x）﹣k（x+1）=0得f（x）=k（x+1），设y=f（x），y=k（x+1），然后作出图象，利用数形结合的思想确定实数k的取值范围．【解答】解：y=f（x）﹣k（x+1）=0得f（x）=k（x+1），设y=f（x），y=k（x+1），在同一坐标系中作出函数y=f（x）和y=k（x+1）的图象如图：因为当x＜0时，函数f（x）=e﹣x﹣e x单调递减，且f（x）＞0．由图象可以当直线y=k（x+1）与相切时，函数y=f（x）﹣k（x+1）有两个零点．下面求切线的斜率．由得k2x2+（2k2﹣1）x+k2=0，当k=0时，不成立．由△=0得△=（2k2﹣1）2﹣4k2⋅k2=1﹣4k2=0，解得，所以k=或k=（不合题意舍去）．所以要使函数y=f（x）﹣k（x+1）有三个零点，则0＜k．故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．已知=1，且a＞0，b＞0，则a+b的最小值为9．【考点】基本不等式．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵=1，且a＞0，b＞0，∴a+b=（a+b）=5+=9，当且仅当b=2a=6时取等号．∴a+b的最小值为9．故选：9．14．在△ABC中，AB=3，AC=4，M是边BC的中点，则=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量中点的公式以及向量加法法则，把用向量，表示，利用数量积的定义展开进行求解即可．【解答】解：∵AB=3，AC=4，M是边BC的中点，∴||=3，||=4，∴•===（42﹣32）=．故答案为：．15．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3cm，AC=4cm，AB⊥AC，AA1=12cm，则球O的表面积为169πcm2．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】由于直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC为直角三角形，我们可以把直三棱柱ABC ﹣A1B1C1补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直径后，代入外接球的表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积．【解答】解：由题意，三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面ABC为直角三角形，把直三棱柱ABC﹣A1B1C1补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，所以外接球半径为=13，则三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的表面积是4πR2=169πcm2．故答案为：169π．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=﹣S n S n+1，则使取得最小值时n的值为1．【考点】数列的求和．【分析】运用a n+1=S n+1﹣S n，可得﹣=1，运用等差数列的定义和通项公式，可得S n=，化简所给式子，可得单调性，即可得到最小值及对应的n的值．【解答】解：由a1=1，a n+1=﹣S n S n+1，可得S n+1﹣S n=﹣S n S n+1，即有﹣=1，且=1，故数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，可得=1+（n﹣1）=n，故S n=，则=，由在定义域Z+上递增，可得n=1时，取得最小值；无最大值．故答案为：1．三、解答题：（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步．）17．在△ABC中，三个内角的对边分别为a，b，c，cosA=，asinA+bsinB﹣csinC=asinB．（1）求B的值；（2）设b=10，求△ABC的面积S．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，整理后可求得cosC的值，进而求得C，进而求得sinA和sinC，利用余弦的两角和公式求得答案．（2）根据正弦定理求得c，进而利用面积公式求得答案．【解答】解：（1）∵，∴．∴．又∵A、B、C是△ABC的内角，∴．∵，又∵A、B、C是△ABC的内角，∴0＜A+C＜π，∴．∴．（2）∵，∴．∴△ABC的面积．18．甲乙两组数学兴趣小组的同学举行了赛前模拟考试，成绩记录如下（单位：分）：甲：79，81，82，78，95，93，84，88乙：95，80，92，83，75，85，90，80（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，；（2）计算甲、乙两组同学成绩的平均分和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在这次模拟考试中发挥比较稳定；（3）在甲、乙两组同学中，若对成绩不低于90分得再随机地抽3名同学进行培训，求抽出的3人中既有甲组同学又有乙组同学的概率．（参考公式：样本数据x1，x2，…，x n的标准差：s=，其中为样本平均数）【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】（1）由甲乙两组的成绩纪录，能作出甲、乙两位学生成绩的茎叶图．（2）分别求出甲组同学成绩的平均分、方差和乙组同学成绩的平均、方差，由甲和乙两组同学成绩平均分相等，乙组同学成绩的方差大于甲组同学成绩的方差，得甲组同学模拟考试中发挥比较稳定．（3）在甲、乙两组同学中，成绩不低于90分的有5人，其中甲组2人，乙组3人，由此利用对立事件概率计算公式能求出抽出的3人中既有甲组同学又有乙组同学的概率．【解答】解：（1）由甲乙两组的成绩纪录，作出甲、乙两位学生成绩的茎叶图如下：（2）甲组同学成绩的平均分=（79+81+82+78+95+93+84+88）=85，甲组同学成绩的方差=[（79﹣85）2+]（81﹣85）2+（82﹣85）2+（78﹣85）2+（95﹣85）2+（93﹣85）2+（84﹣85）2+（88﹣85）2]=35.5．乙组同学成绩的平均分=（95+80+92+83+75+85+90+80）=85，乙组同学成绩的方差=[（95﹣85）2+]（80﹣85）2+（92﹣85）2+（83﹣85）2+（75﹣85）2+（85﹣85）2+（90﹣85）2+（80﹣85）2]=41．∵甲和乙两组同学成绩的平均分相等，乙组同学成绩的方差大于甲组同学成绩的方差，∴甲组同学模拟考试中发挥比较稳定．（3）在甲、乙两组同学中，成绩不低于90分的有5人，其中甲组2人，乙组3人，从中任取3人，基本事件总数n==10，抽出的3人中既有甲组同学又有乙组同学的概率：p=1﹣=．19．正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AB=AD=CD=2，点M 是EC 中点．（Ⅰ）求证：BM ∥平面ADEF ； （Ⅱ）求三棱锥M ﹣BDE 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 【分析】（Ⅰ）取ED 的中点N ，连接MN ．利用三角形的中位线定理可得MN ∥DC ，MN=．再利用已知可得，即可证明四边形ABMN 是平行四边形．再利用线面平行的判定定理即可证明．（Ⅱ）利用三棱锥的体积计算公式可得V M ﹣BDE =V B ﹣DEM =．【解答】（Ⅰ）证明：取ED 的中点N ，连接MN ． 又∵点M 是EC 中点．∴MN ∥DC ，MN=．而AB ∥DC ，AB=DC ．∴，∴四边形ABMN 是平行四边形． ∴BM ∥AN ．而BM ⊄平面ADEF ，AN ⊂平面ADEF ， ∴BM ∥平面ADEF ．（Ⅱ）解：∵M 为EC 的中点，∴，∵AD ⊥CD ，AD ⊥DE ，且DE 与CD 相交于D ∴AD ⊥平面CDE ． ∵AB ∥CD ，∴三棱锥B ﹣DME 的高=AD=2，∴V M ﹣BDE =V B ﹣DEM ==．20．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得|+2|=|﹣2|成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由已知条件推导出e=，a﹣c=1．由此能求出椭圆C的标准方程．（2）存在直线l，使得||=||成立．设直线l的方程为y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），半焦距为c．依题意e=，由右焦点到右顶点的距离为1，得a﹣c=1．解得c=1，a=2．所以=4﹣1=3．所以椭圆C的标准方程是．（2）解：存在直线l，使得||=||成立．理由如下：设直线l的方程为y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化简得3+4k2＞m2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．若||=||成立，即||2=||2，等价于．所以x1x2+y1y2=0．x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，（1+k2）•，化简得7m2=12+12k2．将代入3+4k2＞m2中，3+4（）＞m2，解得．又由7m2=12+12k2≥12，得，从而，解得或．所以实数m的取值范围是．21．已知函数f（x）=e x﹣x2+a，x∈R的图象在点x=0处的切线为y=bx．（e≈2.71828）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈R时，求证：f（x）≥﹣x2+x；（Ⅲ）若f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）利用图象在点x=0处的切线为y=bx，求出a，b，即可求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）令φ（x）=f（x）+x2﹣x=e x﹣x﹣1，确定函数的单调性，可得φ（x）min=φ（0）=0，即可证明：f（x）≥﹣x2+x；（Ⅲ）f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立对任意的x∈（0，+∞）恒成立，k＜g（x）min=g（1）=0，即可求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=e x﹣x2+a，f'（x）=e x﹣2x．由已知，f（x）=e x﹣x2﹣1．…（Ⅱ）令φ（x）=f（x）+x2﹣x=e x﹣x﹣1，φ'（x）=e x﹣1，由φ'（x）=0，得x=0，当x∈（﹣∞，0）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增．∴φ（x）min=φ（0）=0，从而f（x）≥﹣x2+x．…（Ⅲ）f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立对任意的x∈（0，+∞）恒成立，令，∴．由（Ⅱ）可知当x∈（0，+∞）时，e x﹣x﹣1＞0恒成立，…令g'（x）＞0，得x＞1；g'（x）＜0，得0＜x＜1．∴g（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．g（x）min=g（1）=0．∴k＜g（x）min=g（1）=e﹣2，∴实数k的取值范围为（﹣∞，e﹣2）．…[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（ϕ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．（Ⅰ）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）消参数即可得到普通方程，根据极坐标的几何意义即可得出P的直角坐标；（II）将l的参数方程代入曲线C的普通方程得出A，B对应的参数，利用参数得几何意义得出|PA|+|PB|．【解答】解：（Ⅰ），y=sin=，∴P的直角坐标为；由得cosφ=，sinφ=．∴曲线C的普通方程为．（Ⅱ）将代入得t2+2t﹣8=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣2，t1t2=﹣8，∵P点在直线l上，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==6．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a+b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．【分析】（Ⅰ）由柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2），即可得证；（Ⅱ）不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a+b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，则由（Ⅰ）可知，|x﹣1|+|x+1|≥3，运用绝对值的定义，即可解出不等式．【解答】（Ⅰ）证明：由柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2），即有（a+b+c）2≤3，即有|a+b+c|≤；（Ⅱ）解：不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a+b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，则由（Ⅰ）可知，|x﹣1|+|x+1|≥3，由x≥1得，2x≥3，解得，x≥；由x≤﹣1，﹣2x≥3解得，x≤﹣，由﹣1＜x＜1得，2≥3，不成立．综上，可得x≥或x≤﹣．则实数x的取值范围是（﹣]∪[）．2016年7月19日。
安徽省六安市第一中学2017-2018学年高二上学期第二阶段检测数学(理)试题 Word版含答案
2017-2018学年 数学试卷（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设a ，b 为实数，则11a b<成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．0b a <<，B ．a b <C ．()0b a b ->D ．a b >2.已知在数列{}n a 中，32a =，51a =，若11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，则11a =（ ）A ．0B ．16 C ．13D ．123.命题“x R ∃∈，2(2)2(2)40a x a x -+--≥”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞B ．(2,2]-C ．(2,2)-D ．(,2)-∞4.下列四个选项错误的是（ ）A ．命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”B ．若()p q ∨⌝为假命题，则p q ∧为假命题C ．“5a ≠且5b ≠-”是“0a b +≠”的必要不充分条件D ．若命题p :x R ∀∈,210x x ++≠，则p ⌝：0x R ∃∈，20010x x ++= 5.若0x >，0y >，1x y +=，则2xy xy+的最小值是（ ）A B ．C ．332D ．3346.已知不等式111x <-的解集为p ，不等式2(1)0x a x a +-->的解集为q ，若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,1]--B ．[]2,1--C ．[]3,1-D ．[2,)-+∞7.若2()2f x x x =-，()2g x ax =+（0a >），[]11,2x ∀∈-，[]01,2x ∃∈-，使10()()g x f x =，则a 的取值范围是（ ）A ．1(0,]2B ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[3,)+∞D ．(0,3]8.设关于x ，y 的不等式组210,0,0,x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点00(,)P x y 满足0022x y -=，则m 的取值范围是（ ）A ．4(,)3-∞B ．1(,)3-∞C ．2(,)3-∞-D ．5(,]3-∞-9.若a ，b ，c 0>，且()4a a b c bc +++=-2a b c ++的最小值为（ ） A1BC．2- D．210.已知关于x 的方程2(1)210x a x a b +++++=的两个实根分别为1x ，2x ，且101x <<，21x >，则ba 的取值范围是（ ）A ．1(1,)4--B ．1(1,]4--C ．(1,)-+∞D ．1(,)4-∞-11.已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a a +=+（*n N ∈），若11()(1)n nb n a λ+=-+（*n N ∈），1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围为（ ） A ．2λ>B ．2λ<C ．3λ>D ．3λ<12.设变量x ，y 满足1,0,0,x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则点(,)P x y x y +-所在区域的面积为（ ）A ．2B ．1C ．121 D ．14第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若410S ≥，515S ≤，则4a 的最大值为 ．14.已知函数21,0,()1,0,x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的取值范围是 ．15.当实数x ，y 满足不等式组0,0,22x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，恒有3ax y +≤成立，则实数a 的取值范围是 ．16.(2)k x ≤+-[],a b ，且2b a -=，则k = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知0c >，设p ：函数[]lg (1)1y c x =--在其定义域内为增函数，q ：不等式|2|1x x c +->的解集为R ，若“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求实数c 的范围． 18.已知关于x 的不等式221(1)x m x ->-．（1）是否存在实数m ，使不等式对任意的x R ∈恒成立？并说明理由． （2）若对于[]2,2m ∈-不等式恒成立，求实数x 的取值范围． 19.（1）求函数2214()sin cos f x x x =+，(0,)2x π∈的最小值． （2）已知不等式20ax bx c ++>的解集为(,)αβ，且0αβ<<，试用α，β表示不等式20cx bx a ++<的解集．20.数列{}n a 是公比为12的等比数列，且21a -是1a 与31a +的等比中项，前n 项和为n S ；数列{}n b 是等比数列，18b =，其前n 项和为n T ，满足1n n T n b λ+=（λ为常数，且1λ≠）． （1）求数列{}n a 的通项公式及λ的值； （2）比较123111n T T T T 1++++…与12n S 的大小并说明理由． 21.某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元，公司拟投入21(600)6x -万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．22.已知数列{}n a ，{}n b 满足：114a =，1n n a b +=，1(1)(1)n n n n b b a a +=-+． （1）设11n n C b =-，求数列{}n C 的通项公式； （2）设12231n n n S a a a a a a +=+++…，不等式4n n aS b <恒成立时，求实数a 的取值范围．六安一中2016-2017年度高二年级第一学期第二次阶段检测数学试卷（理）答案一、选择题二、填空题13.4 14.(1)- 15.(,3]-∞ 三、解答题17.解：01p c ⇔<<．设22,2,()|2|2,2,x c x c f x x x c c x c -≥⎧=+-=⎨<⎩∴()f x 的最小值为2c ．q 21c ⇔>，∴12c >， ∵“p 或q ”为真，且“p 且q 为假”， ∴p 真q 假或p 假q 真，若p 真q 假，则c 的范围是1(0,)2；必须0,0,m <⎧⎨∆<⎩解得m ∈∅，所以不存在实数m ，使不等式恒成立．（2）设2()(1)(21)f m x m x =---， 当[]2,2m ∈-时，()0f m <恒成立，必须(2)0,(2)0,f f <⎧⎨-<⎩即222210,2230,x x x x ⎧--<⎪⎨--+<⎪⎩∴x的范围是|x x ⎧⎪<<⎨⎪⎩． 19.解：（1）2222221414()(sin cos )()sin cos sin cos f x x x x x x x=+=++2222cos 4sin 559sin cos x xx x=++≥+=， 当444sin cos x x =时取最小值9． （2）由11()b c αβ=-+，1a c αβ=知1α、1β是方程20b ax x c c ++=的两根， 又∵0αβ<<，∴110βα<<．而由已知不等式的解集知0a <且0caαβ=>， ∴0c <，∴不等式20cx bx a ++<的解集为11|x x x βα⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或． 20.解：（1）∵2213(1)(1)a a a -=⋅+，而{}n a 是公比为12的等比数列， ∴211111(1)(1)24a a a -=+，解得112a =，1()2n n a =．又由1n n T n b λ+=，∴1122,2,T b T b λλ=⎧⎨=⎩于是8(8),162(82),d d d λλ=+⎧⎨+=+⎩∴1,28,d λ⎧=⎪⎨⎪=⎩或1,0d λ=⎧⎨=⎩（舍去）． ∴12λ=． （2）已知11()2n n S =-，12111111()()222224n n S +=-≥-=， 21(1)84(1)442n n n T nb d n n n n n -=+=+--+，11111()4(1)41n T n n n n ==-++， 从而12311111111(1)4142n n S T T T T n ++++=-<≤+…． 21.解：（1）设每件定价为t 元， 依题意，有25(80.2)2581t t --⨯≥⨯， 整理得26510000t t -+≤，解得2540t ≤≤，∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． （2）依题意，当25x >时，不等式21125850(600)65ax x x ≥⨯++-+有解， 即25x >时，不等式1501165a x x ≥++有解．∵15016x x +≥10=（当且仅当30x =时，等号成立），∴10.2a ≥． ∴当该商品明年的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总收入之和，此时该商品的每件定价为30元． 22.解：（1）∵11112n nb b +-=--， ∴12111111n n n n b b b b +-==-+---， ∵11141c b ==--，∴数列{}n c 是以4-为首项，1-为公差的等差数列， ∴4(1)(1)3n c n n =-+-⋅-=--． （2）由（1）知，131n n c n b ==---，∴23n n b n +=+， 从而113n n a b n =-=+，12231n n n S a a a a a a +=+++…1114556(3)(4)n n =+++⨯⨯++ (11)44n =-+4(4)n n =+， ∴22(1)(36)8443(3)(4)n n an n a n a n aS b n n n n +-+-+--=-=++++， 由题意可知2(1)(36)80a n a n -+--<恒成立，即可满足不等式4n n aS b <恒成立， 设2()(1)(36)8f n a n a n =-+--， 当1a =时，()380f n n =--<恒成立，当1a >时，由2(1)(36)80a n a n -+--=的判别式2(36)32(1)0a a ∆=-+->， 再结合二次函数的性质4n n aS b <不可能成立； 当1a <时，对称轴3231(1)02121a n a a -=-⋅=--<--，()f n 在(1,)+∞上为单调递减函数，∵(1)(1)(36)84150f a a a =-+--=-<， ∴1a <时，4n n aS b <恒成立． 综上知：当1a ≤时，4n n aS b <恒成立．。
安徽省六安市舒城中学高二数学理联考试题含解析
安徽省六安市舒城中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知a＞0，b＞0，a+b=1，则y=的最小值是( )A．B．4 B．9 D．5参考答案：B2. 已知平面上三点A、B、C满足=3， =4， =5，则的值等于（）A．25 B．24 C．﹣25 D．﹣24参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】通过勾股定理判断出∠B=90，利用向量垂直的充要条件求出=0，利用向量的运算法则及向量的运算律求出值．【解答】解：由=3， =4， =5，可得+=，∴AB⊥BC， =0．则=0+?（+）=?=﹣=﹣25，故选：C．3. 已知函数f(x)=ax2＋c,且=2,则a的值为（）A.1B.C.－1D. 0参考答案：A略4. 如图，在半径为3的球面上有三点，，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是 ( )A. B. C. D.参考答案：解析：由知截面圆的半径，故，所以两点的球面距离为，故选择B。
5. 设，且＝，则下列大小关系式成立的是（）.A. B.C. D.参考答案：A略6. 已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x＋2y－3＝0，则该双曲线的离心率为（）A.5或B.或C. 或D.5或参考答案：B略7. 设，则（）A、 B、 C、 D、参考答案：C8. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于 60°”时，反设正确的是（）A.假设三内角都不大于 60°B.假设三内角都大于60°C.假设三内角至多有一个大于 60°D.假设三内角至多有两个大于 60°参考答案：B略9. 若，则实数等于（）A．B．1 C．D．参考答案：A略10. 设为曲线上的点，且曲线在点处的切线的倾斜角的取值范围为，则点的横坐标的取值范围为（）A． B． C． D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如下的程序框图可用来估计圆周率的值．如果输入1200，输出的结果为943，则运用此方法，计算的近似值为（保留四位有效数字）参考答案：略12. 设函数,若,则 .参考答案：313. 如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，则点到另一个焦点的距离为________________.参考答案：14略14. 过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程___；参考答案：或15. 在△ABC中，D为BC的中点，则有，将此结论类比到四面体中，可得一个类比结论为：．参考答案：在四面体A ﹣BCD 中，G 为△BCD的重心，则有【考点】F3：类比推理．【分析】“在△ABC中，D 为BC 的中点，则有”，平面可类比到空间就是“△ABC”类比“四面体A ﹣BCD”，“中点”类比“重心”有：在四面体A ﹣BCD 中，G 为△BCD的重心，则有．【解答】解：由“△ABC”类比“四面体A﹣BCD”，“中点”类比“重心”有，由类比可得在四面体A﹣BCD中，G为△BCD的重心，则有．故答案为：在四面体A﹣BCD中，G为△BCD的重心，则有．16. 设，则的从大到小关系是 .参考答案：17. 的值为（用数字作答）参考答案：210略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
【精品】2017-2018学年安徽省六安一中高二(上)期末数学试卷(理科)(逐题解析版)
2017-2018学年安徽省六安一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，长轴长等于圆x2+y2﹣2x﹣15=0的半径，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．2．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2 D．33．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．84．（5分）已知命题p：∀x∈（0，+∞），3x﹣cosx＞0，则下列叙述正确的是（）A．￢p：∀x∈（0，+∞），3x﹣cosx≤0 B．￢p：∃x∈（0，+∞），3x﹣cosx＜0C．￢p：∃x∈（﹣∞，0]，3x﹣cosx≤0 D．￢p是假命题5．（5分）函数y=（x＞1）的最小值是（）A．2+2 B．2﹣2 C．2 D．26．（5分）“双曲线渐近线方程为y=±2x”是“双曲线方程为x2﹣=λ（λ为常数且λ≠0）”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知点O、A、B、C为空间不共面的四点，且向量=++，向量=+﹣，则与、不能构成空间基底的向量是（）A．B．C．D．或8．（5分）已知抛物线C：x2=2y的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，|AF|=，则x0=（）A．1 B．﹣1或1 C．2 D．﹣2或29．（5分）椭圆上的点到直线的最大距离是（）A．3 B． C．D．10．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥平面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作不与坐标轴垂直的直线，交抛物线于M，N 两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若|MN|=20，则|FH|=（）A．10 B．8 C．6 D．412．（5分）设双曲线的右顶点为A，右焦点为F（c，0），弦PQ的过F且垂直于x轴，过点P，Q分别作直线AP，AQ的垂线，两垂线交于点B，若B到直线PQ 的距离小于2（a+c），则该双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（0，）D．（2，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点P，Q，双曲线的左，右焦点分别是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．14．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为．15．（5分）若对任意x∈R，不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0恒成立，则实数a值范围是．16．（5分）设F为椭圆的右焦点，且椭圆上至少有10个不同的点P i（i=1，2，3……），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，……组成公差为d的等差数列，则d的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知椭圆的长轴两端点为双曲线E的焦点，且双曲线E的离心率为．（1）求双曲线E的标准方程；（2）若斜率为1的直线l交双曲线E于A，B两点，线段AB的中点的横坐标为，求直线l的方程．18．（12分）直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，底面ABC是边长为2的正三角形，D'是棱A'C'的中点，且．（1）若点M为棱CC'的中点，求异面直线AB'与BM所成角的余弦值；（2）若点M在棱CC'上，且A'M⊥平面AB'D'，求线段CM的长．19．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣3，0），F2（3，0），直线y=kx与椭圆交于A、B两点．（Ⅰ）若三角形AF1F2的周长为4+6，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若|k|＞，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围．20．（12分）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，CF⊥平面ABC，AB⊥BC，∠BAC=45°，CF=DE，G，H分别为AC，BC的中点．（1）求证：BD∥平面FGH；（2）求平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小．21．（12分）平面内一动圆P（P在y轴右侧）与圆（x﹣1）2+y2=1外切，且与y轴相切．（1）求动圆圆心P的轨迹C的方程；（2）已知动直线l过点M（4，0），交轨迹C于A，B两点，坐标原点O为MN的中点，求证：∠ANM=∠BNM．22．（12分）已知椭圆，上顶点为M，焦点为F1，F2，点A，B是椭圆C上异于点M的不同的两点，且满足直线MA与直线MB斜率之积为．（1）若P为椭圆上不同于长轴端点的任意一点，求△PF1F2面积的最大值；（2）试判断直线AB是否过定点；若是，求出定点坐标；若否，请说明理由．2017-2018学年安徽省六安一中高二（上）期末数学试卷（理科）答案和解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，长轴长等于圆x2+y2﹣2x﹣15=0的半径，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．【分析】求出抛物线的焦点坐标，圆的半径，然后求解椭圆的a，b，即可得到椭圆方程．【解答】解：椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，可得c=，长轴长等于圆x2+y2﹣2x﹣15=0的半径，a=2，则b=1，所求椭圆方程为：．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质，椭圆方程的求法，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．2．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2 D．3【分析】由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得3b2﹣8b﹣3=0，从而解得b 的值．【解答】解：∵a=，c=2，cosA=，∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，∴解得：b=3或﹣（舍去）．故选：D．【点评】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．3．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．4．（5分）已知命题p：∀x∈（0，+∞），3x﹣cosx＞0，则下列叙述正确的是（）A．￢p：∀x∈（0，+∞），3x﹣cosx≤0 B．￢p：∃x∈（0，+∞），3x﹣cosx＜0C．￢p：∃x∈（﹣∞，0]，3x﹣cosx≤0 D．￢p是假命题【分析】根据已知中原命题，写出命题的否定，并判断其真假，可得答案．【解答】解：∵命题p：∀x∈（0，+∞），3x﹣cosx＞0，∴命题p为：∃x∈（0，+∞），3x﹣cosx≤0；当x＞0时，3x＞1，﹣1≤cosx≤1，∴3x﹣cosx＞0，故p是真命题，即¬p是假命题．故选：D．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，全称命题，分类讨论思想，难度中档．5．（5分）函数y=（x＞1）的最小值是（）A．2+2 B．2﹣2 C．2 D．2【分析】先将函数变形可得y==（x﹣1）++2，再利用基本不等式可得结论．【解答】解：y==（x﹣1）++2∵x＞1，∴x﹣1＞0∴（x﹣1）+≥2（当且仅当x=+1时，取等号）∴y=≥2+2故选：A．【点评】本题考查函数的最值，考查基本不等式的运用，属于中档题．6．（5分）“双曲线渐近线方程为y=±2x”是“双曲线方程为x2﹣=λ（λ为常数且λ≠0）”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据双曲线渐近线方程求出a，b的关系，得到双曲线的方程即可．【解答】解：双曲线渐近线方程为y=±2x，即b=2a，或a=2b，故双曲线方程为x2﹣=λ（λ为常数且λ≠0），是充要条件，故选：C．【点评】本题考查了双曲线的方程问题，考查渐近线方程，是一道基础题．7．（5分）已知点O、A、B、C为空间不共面的四点，且向量=++，向量=+﹣，则与、不能构成空间基底的向量是（）A．B．C．D．或【分析】利用空间向量的基底的意义即可得出．【解答】解：∵=（﹣）=（++）﹣（+﹣），∴与、不能构成空间基底；故选：C．【点评】本题考查了向量的基本定理及其意义，正确理解空间向量的基底的意义是解题的关键．8．（5分）已知抛物线C：x2=2y的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，|AF|=，则x0=（）A．1 B．﹣1或1 C．2 D．﹣2或2【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用A（x0，y0）是C上一点，|AF|=，列出方程化简求解即可．【解答】解：抛物线C：x2=2y的焦点为F（0，），A（x0，y0）是C上一点，|AF|=，可得：=，可得+﹣y0+=，即+y0+=，解得y0=2，可得x0=±2．故选：D．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．9．（5分）椭圆上的点到直线的最大距离是（）A．3 B． C．D．【分析】设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ），由点到直线的距离公式，计算可得答案．【解答】解：设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ）则点P到直线的距离d=；故选：D．【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．10．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥平面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】取BC中点E，连接PE，则BC⊥平面POE，作OF⊥PE于F，连接DF，得到OF⊥平面PBC，可得∠ODF是OD与平面PBC所成的角．然后求解三角形得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，OA=OC，∴OA=OB=OC，又∵OP⊥平面ABC∴PA=PB=PC．取BC中点E，连接PE，则BC⊥平面POE，作OF⊥PE于F，连接DF，则OF⊥平面PBC．∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角．∵AB=BC=PA=，∴PO=1，在Rt△POC中，D是PC的中点，PC=，∴OD=，在Rt△POE中，OE=，PE=，OF==，在Rt△ODF中，sin∠ODF=．∴直线OD与平面PBC所成角的正弦值为．故选：C．【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间想象能力和逻辑思维能力，是中档题．11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作不与坐标轴垂直的直线，交抛物线于M，N 两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若|MN|=20，则|FH|=（）A．10 B．8 C．6 D．4【分析】设M（x1，y1），N（x2，y2），代入抛物线的方程，作差，结合直线的斜率公式和中点坐标公式，求得MN的斜率，求MN的垂直平分线方程，求出MN的垂直平分线交x轴于H的坐标，进而求得|HF|=|MN|，即可得出结论．【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F（，0），弦MN的中点为K（x0，y0），y12=2px1，y22=2px2，相减可得（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），可得则k MN===，∴MN的垂直平分线为y﹣y0=﹣（x﹣x0），令y=0，则x H=x0+p，∴|HF|=x0+，∵|MN|=x1+x2+p=2x0+p，∴|HF|=|MN|=10，故选：A．【点评】本题以抛物线方程为载体，考查抛物线的性质，注意点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题..12．（5分）设双曲线的右顶点为A，右焦点为F（c，0），弦PQ的过F且垂直于x轴，过点P，Q分别作直线AP，AQ的垂线，两垂线交于点B，若B到直线PQ 的距离小于2（a+c），则该双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（0，）D．（2，）【分析】求出直线BQ的方程，令y=0，可得B的坐标，利用B到直线PQ的距离小于2（a+c），得出a，c的关系，即可求出该双曲线离心率的取值范围．【解答】解：由题意，B在x轴上，P（c，），Q（c，﹣），∴k AQ=，∴k BP=﹣，直线BQ的方程为y﹣=﹣（x﹣c），令y=0，可得x=+c，∵B到直线PQ的距离小于2（a+c），∴﹣＜2（a+c），∴b＜a，∴c＜，∴e＜，∵e＞1，∴1，故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线方程的求解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点P，Q，双曲线的左，右焦点分别是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是2．【分析】求出双曲线的渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线的a=，b=1，c==2，直线与双曲线的两条渐近线y=±x联立，解得P（，），Q（，﹣），F1（﹣2，0）．F2（2，0），则四边形F1PF2Q的面积是×4×=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质，主要是渐近线方程，考查计算能力，属于基础题．14．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角系，利用向量法能求出点F到平面A1D1E的距离．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角系，A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，1，），F（0，，0），=（1，0，0），=（1，1，﹣），=（﹣1，﹣，），设平面A1D1E的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，2），∴点F到平面A1D1E的距离为d===．故答案为：．【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．15．（5分）若对任意x∈R，不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0恒成立，则实数a值范围是．．【分析】根据二次函数的性质，通过a是否为1，可得不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0恒成立时，a的取值范围．【解答】解对于任意的x∈R，不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0恒成立当a=1时，﹣1＜0恒成立；当，时⇔a∈（﹣，1）．综上：实数a值范围是．给答案为：．【点评】本题考查二次函数的图象和性质的应用，考查分类讨论思想的应用，转化思想的应用．16．（5分）设F为椭圆的右焦点，且椭圆上至少有10个不同的点P i（i=1，2，3……），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，……组成公差为d的等差数列，则d的取值范围是[﹣2，0）∪（0，2] ．【分析】若这个等差数列是增数列，a1≥|FP1|=4，a10≤|FP10|=22；若这个等差数列是减数列，则a1≤|FP1|=22，a10≥|FP10|=4，由此可求出d的取值范围．【解答】解：若这个等差数列是增数列，则a1≥|FP1|=13﹣9=4，a10≤|FP10|=13+9=22，∴a10=a1+10d，∴0＜a10﹣a1=9d≤（13+9）﹣（13﹣9）=2，解得0＜d≤2若这个等差数列是减数列，则a1≤|FP1|=13+9=22，a10≥|FP10|=13﹣9=4，∴a10=a1+9d，∴0＞a10﹣a1=9d≥（13﹣9）﹣（13+9）=﹣2，解得﹣2≤d＜0．∴d的取值范围为[﹣2，0）∪（0，2]．故答案为：[﹣2，0）∪（0，2]．【点评】本题以椭圆知识为载体考查数列知识，考查发现问题解决问题的能力．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知椭圆的长轴两端点为双曲线E的焦点，且双曲线E的离心率为．（1）求双曲线E的标准方程；（2）若斜率为1的直线l交双曲线E于A，B两点，线段AB的中点的横坐标为，求直线l的方程．【分析】（1）利用椭圆的顶点坐标求出双曲线E的焦点坐标，然后求解双曲线标准方程；（2）设出斜率为1的直线l的方程与双曲线E联立，利用韦达定理结合线段AB的中点的横坐标为，即可求直线l的方程．【解答】解：（1）椭圆的长轴两端点为（±3，0），得c=3，又，得a=2，∴b2=c2﹣a2=5．∴双曲线E的方程为．（2）设直线l的方程为y=x+t，由得x2﹣8tx﹣4（t2+5）=0，∴△=80（t2+1）＞0，，∴．∴直线方程为．【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．18．（12分）直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，底面ABC是边长为2的正三角形，D'是棱A'C'的中点，且．（1）若点M为棱CC'的中点，求异面直线AB'与BM所成角的余弦值；（2）若点M在棱CC'上，且A'M⊥平面AB'D'，求线段CM的长．【分析】（1）取AC边中点为O，由题意可得OD'⊥AC，OD'⊥OB，以O为坐标原点，OB为x 轴，OC为y轴，OD'为z轴建立空间直角坐标系，若M为CC'的中点，则可求，，，设异面直线AB'与BM所成的角为θ，利用向量数量积的运行即可计算得解．（2）设M（0，1，t），则由A'M⊥AD'，A'M⊥AB'，可得，进而解得A'M⊥平面AB'D'时CM的值．【解答】解：取AC边中点为O，∵底面ABC是边长为2的正三角形，∴OB⊥AC连接OD'，∵D'是边A'C'的中点，∴OD'⊥AC，OD'⊥OB，以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OD'为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O（0，0，0），A（0，﹣1，0），，C（0，1，0），，，，，（1）若M为CC'的中点，则，，，设异面直线AB'与BM所成的角为θ，则，，所以异面直线AB'与BM所成的角得余弦值为，（2）设M（0，1，t），则，，，若A'M⊥平面AB'D'，则由A'M⊥AD'，A'M⊥AB'，∴，可得：，即当时，A'M⊥平面AB'D'．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直，异面直线及其所成的角，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用空间向量的运算解决问题，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．19．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣3，0），F2（3，0），直线y=kx与椭圆交于A、B两点．（Ⅰ）若三角形AF1F2的周长为4+6，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若|k|＞，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意得，解出即可得出．（Ⅱ）由，化为（b2+a2k2）x2﹣a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由AF2⊥BF2，可得•=0，再利用根与系数的关系化简整理即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得a2=12，b2=3．∴椭圆的方程为．（Ⅱ）由，化为（b2+a2k2）x2﹣a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．∴x1+x2=0，x1x2=，易知，AF2⊥BF2，∵=（x1﹣3，y1），=（x2﹣3，y2），∴•=（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2=（1+k2）x1x2﹣3（x1+x2）+9=（1+k2）x1x2+9=0．∴+9=0，将其整理为k2==﹣1﹣．∵|k|＞，∴12＜a2＜18，解得，∴离心率．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（12分）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，CF⊥平面ABC，AB⊥BC，∠BAC=45°，CF=DE，G，H分别为AC，BC的中点．（1）求证：BD∥平面FGH；（2）求平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小．【分析】（1）连接DG，DC，设DC与GF交于点T．证明四边形DGCF是平行四边形，DG∥FC．TH ∥DB，然后证明BD∥平面FGH（2）以点G为坐标原点，GA，GB，GC所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AB=2，求出相关点的坐标；求出平面ACFD的一个法向量，平面FGH的法向量，然后求解平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小．【解答】解：（1）证明：连接DG，DC，设DC与GF交于点T．在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，则AC=2DF，而G是AC的中点，DF∥AC，则，所以四边形DGCF是平行四边形，T是DC的中点，DG∥FC．又在△BDC中，H是BC的中点，则TH∥DB，又BD⊄平面FGH，TH⊂平面FGH，故BD∥平面FGH（2）解：由CF⊥平面ABC，可得DG⊥平面ABC，又AB⊥BC，∠BAC=45°，则GB⊥AC，于是GB，GA，GC两两垂直，以点G为坐标原点，GA，GB，GC所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AB=2，则DE=CF=1，，，，，D（0，0，1），，平面ACFD的一个法向量为，设平面FGH的法向量为，则，即，取x 2=1，则y2=﹣1，，，，故平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为60°．【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．21．（12分）平面内一动圆P（P在y轴右侧）与圆（x﹣1）2+y2=1外切，且与y轴相切．（1）求动圆圆心P的轨迹C的方程；（2）已知动直线l过点M（4，0），交轨迹C于A，B两点，坐标原点O为MN的中点，求证：∠ANM=∠BNM．【分析】（1）设圆心P，根据动圆P与圆（x﹣1）2+y2=1外切，且与y轴相切．建立关系可得轨迹C的方程（2）设而不求的思想，结合韦达定理即可证明．【解答】解：（1）设P（x，y）（x＞0），则，y2=4x∴动圆圆心P的轨迹C的方程为：y2=4x（x＞0）．（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由于O为MN的中点，则N（﹣4，0）当直线l垂直于x轴时，由抛物线的对称性知∠ANM=∠BNM．当直线l不垂直于x轴时，设l：y=k（x﹣4），由，得k2x2﹣4（2k2+1）x+16k2=0，∴，x1•x2=16，∵，，∴，∴∠ANM=∠BNM，综上，∠ANM=∠BNM．【点评】本题考查了轨迹方程是求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，是中档题．22．（12分）已知椭圆，上顶点为M，焦点为F1，F2，点A，B是椭圆C上异于点M的不同的两点，且满足直线MA与直线MB斜率之积为．（1）若P为椭圆上不同于长轴端点的任意一点，求△PF1F2面积的最大值；（2）试判断直线AB是否过定点；若是，求出定点坐标；若否，请说明理由．【分析】（1）根据三角形的面积公式结合椭圆的性质，即可求出，（2）由题意，M（0，2），直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为：x=my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆方程联立可得（4m2+3）y2+8mty+4t2﹣12=0，△=48（4m2﹣t2+3）＞0①，由于直线MA与直线MB斜率之积为，根与系数的关系代入可得：化简得13t2+64mt+76m2=0，解得t=﹣2m或．分别讨论解出即可．【解答】解：（1）设P（x0，y0），则∴△PF1F2面积的最大值为．（2）由题意，M（0，2），直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为：x=my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（4m2+3）y2+8mty+4t2﹣12=0，△=48（4m2﹣t2+3）＞0①，∴，②∵直线MA与直线MB斜率之积为，∴，将②式代入，化简得13t2+64mt+76m2=0，解得t=﹣2m或当t=﹣2m时，直线AB的方程为：x=m（y﹣2），过定点（0，2），不符合题意；当时，直线AB的方程为：，过定点，将代入①式，解得∴直线AB 过定点．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立、斜率计算公式，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．第21页（共21页）。
安徽省六安市第一中学2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题 理(含解析)
六安一中2017～2018年度高二年级第一学期期末考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知椭圆的半径，则椭圆）【答案】B,，即a=2，则b=1，故选：B.）【答案】B（舍）故选B.3. .）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C故选C.4. 已知命题）B.【答案】D【解析】因为全称命题的否定为特称命题，，的否定是假命题.故选D.5. ）B. C.【答案】AA.点睛：本题考查了分式型函数的最值问题，这类问题的一般解法就是先分离再换元整理，变最小值（或者利用对勾函数的性质也可以得到），进而得到原函数的最大值.6. ”是“双曲线方程为）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】双曲线渐近线方程为y=±2x，即b=2a，或a=2b，λ为常数且λ≠0)，是充要条件，故选：C.7.）【答案】C共面，故选：C.8. ）A. 1B. -1或1C. 2D. -2或2【答案】DC上一点，，故选：D.9. ）B.【答案】B则点P故选B.10. 在三棱锥中，，的中点，）【答案】C【解析】∵AB⊥BC，OA=OC，∴OA=OB=OC，又∵OP⊥平面ABC∴PA=PB=PC.取BC中点E，连接PE，则BC⊥平面POE，作OF⊥PE于F，连接DF，则OF⊥平面PBC ∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角。
在Rt△POA中,PO=1，在Rt△POC中，D是PC的中点，PC OD在Rt△POE中在Rt△ODF故选C.点睛：求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.11. 过抛物线）A. 10B. 8C. 6D. 4【答案】A【解析】设M(x1,y1),N(x2,y2),弦MN(x0,y0),∴MN的垂直平分线为令y=0,故选：A.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若上一点，由定义易得AB的端点可由根与系数的关系整体求出,本题合的方法类似地得到．12. 设双曲线分别作为直线、的垂直，两垂线交于点的距离小于则该双曲线离心率的取值范围是（）C.【答案】B【解析】由题意,B在x轴上∴，直线BQ令y=0,，∵B到直线PQ的距离小于2(a+c)，，∵e>1，故选B.点睛：用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在平面直角坐标系与双曲线，双，则四边形的面积是__________．分别交于点则四边形的面积是：14. 1，，的中点，则点为__________．【解析】O,,OE,OF,点F的距离=点F到平面的距离h,∴h__________．【解析】根据题意，分2种情况讨论：，则a=±1，当a=1时,−1<0，满足对任意实数x都成立，则a=1满足题意，当a=−1时,不等式为：−2x<0，不满足对任意实数x都成立，则a=−1不满足题意，x都成立，解可得： <1，故答案为：16. 为椭圆10组成公差为__________．，右顶点为若这个等差数列是增数列,则a1⩾|FP1|=13−9=4,a10⩽|FP10|=13+9=22，∴a10=a1+9d,∴0< a10−a1=9d⩽18，若这个等差数列是减数列,则a1⩽|FP1|=13+9=22, a10⩾|FP10|=13−9=4，∴a10=a1+9d,∴0> a10−a1=9d⩾18,−2⩽d<0.∴d三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知椭圆的离心率为（1）求双曲线的标准方程；（2）若斜率为1求直线的方程.【答案】（12........................试题解析：（1（2）设直线的方程为18. 直三棱柱2（1（2，求线段.【答案】（12【解析】试题分析：（1）取边中点为，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴（2）设，则由，解方程即可.试题解析：∵底面2的正三角形，，（1（2，则由，即当时，平面.19. 已知椭圆.（1（2. 【答案】（1）2.【解析】试题分析：（1（2），再利用根与系数的关系化简整理即可得出.试题解析：（1（2，消去，，由题知因为，所以，即.20. 如图，在三棱台中，，平面，，，.（1）求证：（2）求平面.【答案】（1）见解析（2【解析】试题分析：（1）根据AB=2DE可得到BC=2EF，从而可以得出四边形EFHB为平行四边形，从而得到BE∥HF，便有BE∥平面FGH，再证明DE∥平面FGH，从而得到平面BDE∥平面FGH，从而BD∥平面FGH；（2）连接HE，根据条件能够说明HC，HG，HE三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用两平面的法向量求解二面角的大小.试题解析：（1）证明：.在三棱台中，平面，（2，点睛：用向量法解决立体几何问题的注意点：（1）建立空间直角坐标系时要判断是否具备了两两垂直的三条直线，否则要先给出证明；（2）求线面角时要借助直线的方向向量和平面的法向量夹角余弦值的绝对值求出线面角的正弦值；求二面角时，要借助两平面法向量夹角的余弦值来求出二面角的余弦值，但在解题时要借助于图形来判断二面角为锐角还是钝角．21. .（1（2）已知动直线过点【答案】（12）见解析【解析】试题分析：（1（2.试题解析：（1）设，则，（2的中点，则22. 已知椭圆是椭圆点，且满足直线与直线（1为椭圆上不同于长轴端点的任意一点，求（2.【答案】（12【解析】试题分析：（1）设（2）由题意，的斜率不为0，设直线的方程为：，，，由直线.试题解析：（1面积的最大值为.（20∵直线与直线斜率之积为将②式代入，化简得的纵截距为2，不符合题意；时，直线解得∴直线过定点.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.。
2017-2018学年安徽省六安市舒城中学高二上学期期中数学试卷与解析(理科)
2017-2018学年安徽省六安市舒城中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．）1．（5分）给出命题：“已知x，y∈R，若x2+y2=0，则x=y=0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中，真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32．（5分）直线ax﹣y+2a=0与圆x2+y2=9的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．不确定3．（5分）如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．下列选项图中，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是（）A．B．C．D．4．（5分）已知l，m表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是（）A．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m B．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l∥α，m⊂α，则l∥m5．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x ∈B，则（）A．￢p：∃x∈A，2x∈B B．￢p：∃x∉A，2x∈B C．￢p：∃x∈A，2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B6．（5分）在平面直角坐标系内，已知A（﹣2，0），B（2，0），△ABC的面积为10，则顶点C的轨迹是（）A．一个点B．两个点C．一条直线D．两条直线7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（）A．B．1 C．D．8．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是（）A．a3＞b3B．a＞b+1 C．a2＞b2D．a＞b﹣19．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=4，若棱AB上存在点M使得D1M⊥MC，则棱AD的长的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]10．（5分）已知命题p：不等式（x﹣1）（x﹣2）＞0的解集为A，命题q：不等式x2+（a﹣1）x﹣a＞0的解集为B，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，﹣1]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣3，1]D．[﹣2，+∞）11．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=BB1，则CA1与C1B所成的角的大小是（）A．60°B．75°C．90°D．105°12．（5分）已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（）A．3 B．C．D．2二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上13．（5分）若命题“∀x∈R，sinx+a＞1”为真命题，则实数a的取值范围是．14．（5分）在平面直角坐标系内，已知曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离之比为的点的轨迹是曲线C，则曲线C围成的面积是．15．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1与平面BB1D1D所成角为．16．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=c x在R上单调递减，Q：函数f（x）=x2﹣2cx+1在（）上为增函数，“P∧Q”为假，“P∨Q”为真，求实数c的取值范围．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E、F 分别为A1C1和BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE．19．（12分）已知圆x2+y2﹣4ax+2ay+20a﹣20=0．（1）求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；（2）若该圆与圆x2+y2=4外切，求a的值．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列是公比为2的等比数列．求证：数列{a n}成等比数列的充要条件是：a1=3．21．（12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A、B的点，PO⊥平面ABC，PO=OB=2．（1）求三棱锥P﹣ABC体积V的最大值；（2）若，点D在线段PB上，求OD+CD长度的最小值．22．（12分）已知四棱锥PABCD如图所示，AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=PD=1，△PAB为等边三角形．（1）证明：PD⊥平面PAB；（2）求二面角P﹣CB﹣A的余弦值．2017-2018学年安徽省六安市舒城中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．）1．（5分）给出命题：“已知x，y∈R，若x2+y2=0，则x=y=0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中，真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：“若x2+y2=0，则x=y=0”，是真命题，其逆命题为：“若x=y=0，则x2+y2=0”是真命题，据互为逆否命题的两个命题真假相同，可知其否命题为真命题、逆否命题是真命题，故真命题的个数为3．故选：D．2．（5分）直线ax﹣y+2a=0与圆x2+y2=9的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．不确定【解答】解：直线ax﹣y+2a=0恒过定点（﹣2，0），而（﹣2，0）满足22+02＜9，所以直线与圆相交．故选：B．3．（5分）如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．下列选项图中，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是（）A．B．C．D．【解答】解：根据该几何体的直观图、正视图和俯视图，可得它的侧视图为直角三角形PAD及其PA边上的中线，故选：B．4．（5分）已知l，m表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是（）A．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m B．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l∥α，m⊂α，则l∥m【解答】解：对于A，由线面垂直的定义可知A正确；对于B，若l⊂α，则结论错误；对于C，若l⊂α，则结论错误；对于D，若l∥α，m⊂α，则l与m可能平行，可能异面，故D错误．故选：A．5．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x ∈B，则（）A．￢p：∃x∈A，2x∈B B．￢p：∃x∉A，2x∈B C．￢p：∃x∈A，2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题p：∀x∈A，2x∈B 的否定是：￢p：∃x∈A，2x∉B．故选：C．6．（5分）在平面直角坐标系内，已知A（﹣2，0），B（2，0），△ABC的面积为10，则顶点C的轨迹是（）A．一个点B．两个点C．一条直线D．两条直线【解答】解：如图，A（﹣2，0），B（2，0），则|AB|=4，设C到AB边所在直线的距离为d，由△ABC的面积为10，得，即d=5．∴顶点C的轨迹是与AB所在直线平行的两条直线．故选：D．7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（）A．B．1 C．D．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的直三棱锥，且侧棱PA⊥底面ABC，PA=1，AC=2，点B到AC的距离为1；∴底面△ABC的面积为S1=×2×1=1，侧面△PAB的面积为S2=××1=，侧面△PAC的面积为S3=×2×1=1，在侧面△PBC中，BC=，PB==，PC==，∴△PBC是Rt△，∴△PBC的面积为S4=××=；∴三棱锥P﹣ABC的所有面中，面积最大的是△PBC，为．故选：A．8．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是（）A．a3＞b3B．a＞b+1 C．a2＞b2D．a＞b﹣1【解答】解：A．a3＞b3⇔a＞b；B．a＞b+1⇒a＞b，反之不成立；C．a2＞b2⇔|a|＞|b|⇐a＞b．D．a＞b⇒a＞b﹣1，反之不成立．综上可得：使a＞b成立的充分不必要条件是a＞b+1．故选：B．9．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=4，若棱AB上存在点M使得D1M⊥MC，则棱AD的长的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]【解答】解：如图建立坐标系，设AD=a（a＞0），AM=x（0＜x＜4），则M（a，x，4），C（0，4，4），∴=（a，x，4），=（a，x﹣4，0），∵D1M⊥MC，∴•=0，即a2+x（x﹣4）=0，a=，当0＜x＜4时，a∈（0，2]．故选：D．10．（5分）已知命题p：不等式（x﹣1）（x﹣2）＞0的解集为A，命题q：不等式x2+（a﹣1）x﹣a＞0的解集为B，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，﹣1]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣3，1]D．[﹣2，+∞）【解答】解：命题p：不等式（x﹣1）（x﹣2）＞0的解集为A=（﹣∞，1）∪（2，+∞），命题q：不等式x2+（a﹣1）x﹣a＞0，即（x﹣（﹣a））（x﹣1）＞0，﹣a＞1时，B=（﹣∞，1）∪（﹣a，+∞）；﹣a＜1时，B=（﹣∞，﹣a）∪（1，+∞）；﹣a=1时，B=（﹣∞，1）∪（1，+∞）．若p是q的充分不必要条件，则，或，或﹣a=1．解得﹣2＜a≤﹣1．故选：A．11．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=BB1，则CA1与C1B所成的角的大小是（）A．60°B．75°C．90°D．105°【解答】解：设|BB1|=m，则==∴∴CA1与C1B所成的角的大小是90°故选：C．12．（5分）已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（）A．3 B．C．D．2【解答】解：圆C：x2+y2﹣2y=0的圆心（0，1），半径是r=1，由圆的性质知：S四边形PACB=2S△PBC，四边形PACB的最小面积是2，∴S△PBC 的最小值=1=rd（d是切线长）∴d最小值=2圆心到直线的距离就是PC的最小值，∵k＞0，∴k=2故选：D．二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上13．（5分）若命题“∀x∈R，sinx+a＞1”为真命题，则实数a的取值范围是a＞2．【解答】解：若命题“∀x∈R，sinx+a＞1”为真命题，则a＞1﹣sinx在R恒成立，故a＞2，故答案为：a＞2．14．（5分）在平面直角坐标系内，已知曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离之比为的点的轨迹是曲线C，则曲线C围成的面积是4π．【解答】解：设曲线C上任意一点为M（x，y），由已知可得，两边平方并整理得（x+1）2+y2=4，∴曲线C表示以（﹣1，0）为圆心，以2为半径的圆，所围成的图形的面积是π×22=4π．故答案为：4π．15．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1与平面BB1D1D所成角为30°．【解答】解：连接B1D1取其中点H连接C1H，BH则由正方体的性质知C1H⊥D1B1∵BB1⊥面A1B1C1D1且C1H⊂面A1B1C1D1∴C1H⊥BB1∵BB1∩D1B1=B1∴C1H⊥面B1D1DB∴C1H⊥BH∴∠HBC1即为BC1与平面BB1D1D所成的角设BC=1则则在Rt△BHC1中sin v．，∴∠HBC1=30°故答案为：30°16．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为+π．【解答】解：该几何体由左右两部分组成：左边是三棱锥，右边是圆柱的一半．∴该几何体的体积=+=．故答案为：+π．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=c x在R上单调递减，Q：函数f（x）=x2﹣2cx+1在（）上为增函数，“P∧Q”为假，“P∨Q”为真，求实数c的取值范围．【解答】解：∵函数y=c x在R上单调递减，∴0＜c＜1．即p：0＜c＜1，∵c＞0且c≠1，∴￢p：c＞1．又∵f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，∴c≤．即q：0＜c≤，∵c＞0且c≠1，∴￢q：c＞且c≠1．又∵“P∧Q”为假，“P∨Q”为真，∴p真q假，或p假q真．①当p真，q假时，{c|0＜c＜1}∩{c|c＞，且c≠1}={c|＜c＜1}．②当p假，q真时，{c|c＞1}∩{c|0＜c≤}=∅．综上所述，实数c的取值范围是{c|＜c＜1}．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E、F 分别为A1C1和BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C 1F∥平面ABE．【解答】证明：（1）∵BB1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥BB1 又AB⊥BC，BB1∩BC=B，∴AB⊥平面B1BCC1而AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1（2）取AC的中点G，连结C1G、FG，∵F为BC的中点，∴FG∥AB又E为A1C1的中点∴C1E∥AG，且C1E=AG∴四边形AEC1G为平行四边形，∴AE∥C1G∴平面C1GF∥平面EAB，而C1F⊂平面C1GF，∴C1F∥平面EAB．19．（12分）已知圆x2+y2﹣4ax+2ay+20a﹣20=0．（1）求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；（2）若该圆与圆x2+y2=4外切，求a的值．【解答】（1）证明：圆x2+y2﹣4ax+2ay+20a﹣20=0，即x2+y2﹣20+a（﹣4x+2y+20）=0，由，求得，可得圆恒过一定点（4，﹣2）（2）解：圆x2+y2﹣4ax+2ay+20a﹣20=0，即（x﹣2a）2+（y+a）2 =5a2﹣20a+20，由于该圆和圆x2+y2=4外切，故两圆的圆心距等于半径之和，即=2+|a﹣2|，解得a=1+．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列是公比为2的等比数列．求证：数列{a n}成等比数列的充要条件是：a1=3．【解答】证明：根据题意，数列是公比为2的等比数列，其首项为，则=×2n﹣1，变形可得：S n=（a1+1）×4n﹣1﹣1=（a1+1）×4n﹣2﹣1，则S n﹣1则n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3（a1+1）×4n﹣2，①、充分性：若a1=3，当n≥2时，有a n=3（a1+1）×4n﹣2=3×4n﹣1，a1=3符合a n=3×4n﹣1，则数列{a n}的通项公式为a n=3×4n﹣1，是等比数列；②、必要性：若数列{a n}成等比数列，=4，=，则有=4，解可得a1=3，综合可得：数列{a n}成等比数列的充要条件是：a1=3．21．（12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A、B的点，PO⊥平面ABC，PO=OB=2．（1）求三棱锥P﹣ABC体积V的最大值；（2）若，点D在线段PB上，求OD+CD长度的最小值．【解答】解：（1）∵点C在圆O上，∴当CO⊥AB时，C到AB的距离最大，且最大值为2，又AB=4，∴△ABC面积的最大值为×4×2=4，又∵三棱锥P﹣ABC的高PO=2，故三棱锥P﹣ABC体积的最大值为：×4×2=；（2）在△POB中，PO=OB=2，∠POB=90°，∴PB=，同理PC=，则PB=PC=BC，在三棱锥P﹣ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC′P，使之与平面ABP共面，则当O，D，C′共线时，CD+OD取得最小值，又∵OP=OB，C′P=C′B，∴OC′垂直平分PB，即D为PB中点．从而OC′=OD+DC′=+亦即CD+OD的最小值为：+．22．（12分）已知四棱锥PABCD如图所示，AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=PD=1，△PAB为等边三角形．（1）证明：PD⊥平面PAB；（2）求二面角P﹣CB﹣A的余弦值．【解答】（1）证明：取AB得中点E，连接PE，DE．∵AB=BC=2，CD=PD=1，△PAB为等边三角形∴AE⊥AB，AE=，BE=CD，EB∥CD∴四边形BCDE是平行四边形，∴DE=CB=2，DE∥CD∴AB⊥ED，∴AB⊥面PED⇒AB⊥PDDE2=PD2+AE2，∴PD⊥AE，∴PD⊥面PAB（2）解：由（1）得面PED⊥面ABCD，过P作PO⊥ED于O，则PO⊥面ABCD，过O作OH⊥CB于H，连接PH，则∠PHO为二面角P﹣CB﹣A的平面角．在Rt△PED中，PO•ED=PE•PD，可得PO=在Rt△PED中，OH=1，PH=，=∴二面角P﹣CB﹣A的余弦值为。
安徽省六安市舒城中学2017-2018学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年安徽省六安市舒城中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1．已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3=0平行，则k的值是（）A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或22．设0＜x＜，则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．这条直线恒过一定点，这个定点坐标为（）A．（﹣2m，﹣m﹣4） B．（5，1）C．（﹣1，﹣2）D．（2m，m+4）4．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．5．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）A．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βB．若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥αC．若m⊥β，m⊂α，则α⊥βD．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n6．设点C（2a+1，a+1，2）在点P（2，0，0），A（1，﹣3，2），B（8，﹣1，4）确定的平面上，则a的值为（）A．8 B．16 C．22 D．247．a＜0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知坐标原点O（0，0）关于直线L对称的点是M（3，﹣3），则直线L的方程是（）A．x﹣2y+1=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．x﹣y+3=0 D．x﹣y﹣3=09．已知点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）的两侧，则直线l倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（）A．（1，3]B．[2，3]C．（1，2]D．[3，+∞]12．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在正方体表面上与点A距离是的点形成一条曲线，这条曲线的长度是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是______．14．已知点P（x，y）在直线x+y﹣4=0上，O是原点，则OP的最小值是______．15．实数x，y满足，则的取值范围是______．16．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为1，此时四面体ABCD外接球表面积为______．三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设命题p：f（x）=在区间（1，+∞）上是减函数；命题q；x1x2是方程x2﹣ax﹣2=0的两个实根，不等式m2+5m﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数α∈[﹣1，1]恒成立；若￢p∧q 为真，试求实数m的取值范围．18．正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切，求：（1）棱锥的表面积；（2）内切球的表面积与体积．19．已知有条光线从点A（﹣2，1）出发射向x轴B，经过x轴反射后射向y轴上的C点，再经过y轴反射后到达点D（﹣2，7）．（1）求直线BC的方程．（2）求光线从A点到达D点所经过的路程．20．已知直线l的方程为t（x﹣1）+2x+y+1=0 （t∈R）（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）若直线l不经过第二象限，求实数t的取值范围．21．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1，AD=CD，把△DAC沿对角线AC折起后如图2所示（点D记为点P），点P在平面ABC上的正投影E落在线段AB上，连接PB．（1）求直线PC与平面PAB所成的角的大小；（2）求二面角P﹣AC﹣B的大小的余弦值．22．已知定义在R上的二次函数f（x）满足：f（x）=﹣x2+bx+c，且f（x）=f（1﹣x）．对=f（a n）（n∈N*）于数列{a n}，若a1=0，a n+1（1）求数列{a n}是单调递减数列的充要条件；（2）求c的取值范围，使数列{a n}是单调递增数列．2015-2016学年安徽省六安市舒城中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的． 1．已知直线l 1：（k ﹣3）x +（4﹣k ）y +1=0与l 2：2（k ﹣3）x ﹣2y +3=0平行，则k 的值是（ ） A ．1或3 B ．1或5 C ．3或5 D ．1或2 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】当k ﹣3=0时，求出两直线的方程，检验是否平行；当k ﹣3≠0时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k 的值．【解答】解：由两直线平行得，当k ﹣3=0时，两直线的方程分别为 y=﹣1 和 y=，显然两直线平行．当k ﹣3≠0时，由 =≠，可得 k=5．综上，k 的值是 3或5，故选 C ．2．设0＜x ＜，则“xsin 2x ＜1”是“xsinx ＜1”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】不等关系与不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦函数的单调性．【分析】由x 的范围得到sinx 的范围，则由xsinx ＜1能得到xsin 2x ＜1，反之不成立．答案可求．【解答】解：∵0＜x ＜，∴0＜sinx ＜1， 故xsin 2x ＜xsinx ，若“xsinx ＜1”，则“xsin 2x ＜1”若“xsin 2x ＜1”，则xsinx ＜，＞1．此时xsinx ＜1可能不成立．例如x →，sinx →1，xsinx ＞1．由此可知，“xsin 2x ＜1”是“xsinx ＜1”的必要而不充分条 故选B ．3．已知直线方程为（2+m ）x +（1﹣2m ）y +4﹣3m=0．这条直线恒过一定点，这个定点坐标为（ ） A ．（﹣2m ，﹣m ﹣4） B ．（5，1） C ．（﹣1，﹣2） D ．（2m ，m +4） 【考点】恒过定点的直线．【分析】由直线（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0变形为m（x﹣2y﹣3）+（2x+y+4）=0，令，即可求出定点坐标．【解答】解：由直线（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0变形为m（x﹣2y﹣3）+（2x+y+4）=0，令，解得，∴该直线过定点（﹣1，﹣2），故选：C，4．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可．【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：故选A．5．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）A．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βB．若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥αC．若m⊥β，m⊂α，则α⊥βD．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：若m⊥α，m∥n，n∥β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故A正确；若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则由直线与平面平行的判定定理得m∥α，故B正确；若m⊥β，m⊂α，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故D错误．故选：D．6．设点C（2a+1，a+1，2）在点P（2，0，0），A（1，﹣3，2），B（8，﹣1，4）确定的平面上，则a的值为（）A．8 B．16 C．22 D．24【考点】共线向量与共面向量．【分析】与不共线，可设=λ+μ，利用平面向量基本定理即可得出．【解答】解：=（2a﹣1，a+1，2），=（﹣1，﹣3，2），=（6，﹣1，4），与不共线，设=λ+μ，则，解得a=16，故选：B．7．a＜0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】先求△＞0时a的范围，结合韦达定理，以及特殊值a=1来判定即可．【解答】解：方程ax2+2x+1=0有根，则△=22﹣4a≥0，得a≤1时方程有根，当a＜0时，x1x2=＜0，方程有负根，又a=1时，方程根为x=﹣1，显然a＜0⇒方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根；方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根，不一定a＜0．a＜0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的充分不必要条件．故选B．8．已知坐标原点O（0，0）关于直线L对称的点是M（3，﹣3），则直线L的方程是（）A．x﹣2y+1=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．x﹣y+3=0 D．x﹣y﹣3=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】由中点坐标公式求得OM的中点坐标，再求出OM所在直线的斜率，得到OM的垂直平分线的斜率，代入直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由O（0，0），M（3，﹣3），可得OM的中点坐标为（），又，∴OM的垂直平分线的斜率为1，∴直线L的方程为y+=1×（x﹣），即x﹣y﹣3=0．故选：D．9．已知点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）的两侧，则直线l倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】直线的斜率．【分析】因为点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）的两侧，那么把这两个点代入ax﹣y﹣1，它们的符号相反，乘积小于0，求出a的范围，设直线l倾斜角为θ，则a=tanθ，再根据正切函数的图象和性质即可求出范围．【解答】解：因为点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）的两侧，所以，（a+2﹣1）（a﹣1）＜0，即：（a+1）（a﹣）＜0，解得﹣1＜a＜，设直线l倾斜角为θ，∴a=tanθ，∴﹣1＜tanθ＜，∴0＜θ＜，或＜θ＜π，故选：C．10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选C．11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（）A．（1，3]B．[2，3]C．（1，2]D．[3，+∞]【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；指数函数的图象与性质．【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用指数函数y=a x的图象特征，结合区域的角上的点即可解决问题．【解答】解：作出区域D的图象，联系指数函数y=a x的图象，由得到点C（2，9），当图象经过区域的边界点C（2，9）时，a可以取到最大值3，而显然只要a大于1，图象必然经过区域内的点．故选：A．12．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在正方体表面上与点A距离是的点形成一条曲线，这条曲线的长度是（）A．B．C．D．【考点】弧长公式；棱柱的结构特征．【分析】本题首先要弄清楚曲线的形状，再根据曲线的性质及解析几何知识即可求出长度．【解答】解：由题意，此问题的实质是以A为球心、为半径的球在正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面上交线的长度计算，正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：ABCD、AA1DD1、AA1BB1为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为、A1B1C1D1、B1BCC1、D1DCC1为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，由于截面圆半径为r=，故各段弧圆心角为．∴这条曲线长度为3••+3••=故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是所有实数的绝对值不是正数．【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是：所有实数的绝对值不是正数．故答案为：所有实数的绝对值不是正数．14．已知点P（x，y）在直线x+y﹣4=0上，O是原点，则OP的最小值是．【考点】点到直线的距离公式．【分析】OP的最小值，就是两点间的距离的最小值，转化为原点的直线的距离．【解答】解：因为点P（x，y）在直线x+y﹣4=0上，O是原点，则OP的最小值，就是求原点O到直线x+y﹣4=0的距离，即|OP|=．故答案为：．15．实数x，y满足，则的取值范围是[2，] ．【考点】简单线性规划．【分析】根据已知的约束条，画出满足约束条件的可行域，将式子进行变形，再分析目标函数的几何意义，结合图象即可给出目标函数的取值范围．【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：设k=，则z表示可行域内的点（x，y）与点（0，0）连线的斜率，可得B（1，2），由可得A（1，2）由图可知k的最大值为k OB=2，最小值为k OA=，的取值范围是[，2]，又=+=k+在[，1]上单调递减，在[1，2]上递增，则当t=1时，z=1+1=2，当t=时，z=+2=，∴的取值范围是[2，]．故答案为：[2，]16．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为1，此时四面体ABCD外接球表面积为．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可．【解答】解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的中，底面边长为1，棱柱的高为，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴正三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O，外接球的半径为r，表面积为：4πr2．球心到底面的距离为1，底面中心到底面三角形的顶点的距离为：××1=，所以球的半径为r==．外接球的表面积为：4πr2=π故答案为：π．三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设命题p：f（x）=在区间（1，+∞）上是减函数；命题q；x1x2是方程x2﹣ax﹣2=0的两个实根，不等式m2+5m﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数α∈[﹣1，1]恒成立；若￢p∧q 为真，试求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；复合命题的真假．【分析】先根据分式函数的单调性求出命题p为真时m的取值范围，然后根据题意求出|x1﹣x2|的最大值，再解不等式，若﹣p∧q为真则命题p假q真，从而可求出m的取值范围．【解答】解：∵f（x）=在区间（﹣∞，m），（m，+∞）上是减函数，而已知在区间（1，+∞）上是减函数，∴m≤1，即命题p为真命题时m≤1，命题p为假命题时m＞1，∵x1，x2是方程x2﹣ax﹣2=0的两个实根∴∴|x1﹣x2|==∴当a∈[﹣1，1]时，|x1﹣x2|max=3，由不等式m2+5m﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数a∈[﹣1，1]恒成立．可得：m2+5m﹣3≥3，∴m≥1或m≤﹣6，∴命题q为真命题时m≥1或m≤﹣6，∵﹣p∧q为真，∴命题p假q真，即，∴实数m的取值范围是m＞1．18．正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切，求：（1）棱锥的表面积；（2）内切球的表面积与体积．【考点】球的体积和表面积．【分析】（1）过点P作PD⊥平面ABC于D，连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC 是正三角形，AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．由此能求出棱锥的全面积．（2）求出棱锥的体积，设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，由此能求出球的表面积．【解答】解：（1）如图，过点P作PD⊥平面ABC于D，连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形，∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．∵AB=2，=×（2）2=6，∴S△ABCDE=AB=，PE=．S △PAB =S △PBC =S △PCA ==3．∴S 表=9+6；（2）设球的半径为r ，以球心O 为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，∵PD=1，∴V P ﹣ABC =•6•1=2．则由等体积可得r==﹣2，∴S 球=4π（﹣2）2．体积V=π（﹣2）3．19．已知有条光线从点A （﹣2，1）出发射向x 轴B ，经过x 轴反射后射向y 轴上的C 点，再经过y 轴反射后到达点D （﹣2，7）． （1）求直线BC 的方程．（2）求光线从A 点到达D 点所经过的路程． 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程． 【分析】（1）由题意画出图形，找出A 关于x 轴的对称点，D 关于y 轴的对称点，由直线方程的两点式求得直线BC 的方程； （2）直接由两点间的距离公式得答案． 【解答】解：如图，（1）∵A （﹣2，1），∴A 点关于x 轴的对称点为A ′（﹣2，﹣1）， ∵D （﹣2，7），∴D 点关于y 轴的对称点D ′（2，7）．由对称性可得，A ′、D ′所在直线方程即为BC 所在直线方程，∴BC：，整理得2x﹣y+3=0；（2）由图可得，光线从A点到达D点所经过的路程即为|A′D′|=．20．已知直线l的方程为t（x﹣1）+2x+y+1=0 （t∈R）（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）若直线l不经过第二象限，求实数t的取值范围．【考点】直线的一般式方程．【分析】（1）对直线的截距分类讨论即可得出；（2）将直线l的方程化为y=﹣（t+2）x+t﹣1，由于l不经过第二象限，可得或，解出即可．【解答】解：（1）当直线l过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，此时相等，∴t=1，直线l的方程为3x+y=0．当直线l不过原点时，由截距存在且均不为0，得=t﹣1，即t+2=1，∴t=﹣1，直线l的方程为x+y+2=0．故所求直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0．（2）将直线l的方程化为y=﹣（t+2）x+t﹣1，∵l不经过第二象限，∴或解得t≤﹣2，∴t的取值范围是（﹣∞，﹣2]．21．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1，AD=CD，把△DAC沿对角线AC折起后如图2所示（点D记为点P），点P在平面ABC上的正投影E落在线段AB上，连接PB．（1）求直线PC与平面PAB所成的角的大小；（2）求二面角P﹣AC﹣B的大小的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．【分析】（1）根据折起前后有些线段的长度和角度，根据线面所成角的定义可知∠CPB为直线PC与平面PAB所成的角，在Rt△CBP中，求出此角即可；（2）取AC的中点F，连接PF，EF，根据二面角平面角的定义可知∠PFE为二面角P﹣AC ﹣B的平面角，在Rt△EFA中，求出EF，在Rt△PFA中，求出PF，最后在Rt△PEF中，求出∠PFE的余弦值即可．【解答】（1）解：在图4中，∵∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1，∴，，∠DAC=60°．∵AD=CD，∴△DAC为等边三角形．∴AD=CD=AC=2．在图5中，∵点E为点P在平面ABC上的正投影，∴PE⊥平面ABC．∵BC⊂平面ABC，∴PE⊥BC．∵∠CBA=90°，∴BC⊥AB．∵PE∩AB=E，PE⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB．∴∠CPB为直线PC与平面PAB所成的角．在Rt△CBP中，BC=1，PC=DC=2，∴．∵0°＜∠CPB＜90°，∴∠CPB=30°．∴直线PC与平面PAB所成的角为30°．（2）解：取AC的中点F，连接PF，EF．∵PA=PC，∴PF⊥AC．∵PE⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PE⊥AC．∵PF∩PE=P，PF⊂平面PEF，PE⊂平面PEF，∴AC⊥平面PEF．∵EF⊂平面PEF，∴EF⊥AC．∴∠PFE为二面角P﹣AC﹣B的平面角．在Rt△EFA中，，∴EF=AF•tan30°=，．在Rt△PFA中，．在Rt△PEF中，．∴二面角P﹣AC﹣B的大小的余弦值为．22．已知定义在R上的二次函数f（x）满足：f（x）=﹣x2+bx+c，且f（x）=f（1﹣x）．对=f（a n）（n∈N*）于数列{a n}，若a1=0，a n+1（1）求数列{a n}是单调递减数列的充要条件；（2）求c的取值范围，使数列{a n}是单调递增数列．【考点】数列与函数的综合；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）由题意可得f（x）的对称轴为x=，求得b=1，由数列{a n}是单调递减数列等＜a n，即为价为a n+1a n﹣a n＜0，即c＜a n2恒成立，求得a n2的最小值，即可得到c的范围；+1﹣a n＞0，即c＞a n2恒成立，由二次函数的配方和单调性，可得a n≤（2）由题意可得a n+1时，数列递增，即可得到所求c的范围．【解答】解：（1）f（x）=f（1﹣x），可得f（x）的对称轴为x=，即有=，即b=1，=f（a n）（n∈N*），对于数列{a n}，若a1=0，a n+1=﹣a n2+a n+c，即有a n+1则a n﹣a n=c﹣a n2，+1＜a n，即为数列{a n}是单调递减数列等价为a n+1a n﹣a n＜0，即c＜a n2恒成立，+1由a n2≥0，且a1=0，则c＜0．故数列{a n}是单调递减数列的充要条件为c＜0；＞a n，即为（2）数列{a n}是单调递增数列，a n+1a n﹣a n＞0，即c＞a n2恒成立，+1=﹣a n2+a n+c=﹣（a n﹣）2+c+，由a n+1当a n≤时，数列递增，即有a n2≤．可得c＞．则c＞，使数列{a n}是单调递增数列．2016年10月1日。
2017-2018学年安徽省舒城中学高二第一学期第三次统考(12月)数学(理)试题
舒城中学2017-2018学年度第一学期第三次统考试卷高二理数（时间120分钟 满分150分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2.设命题p ：2,2n n N n ∃∈>，则p ⌝为( )A.2,2n n N n ∀∈>B.2,2n n N n ∃∈≤C.2,2n n N n ∀∈≤D.2,=2n n N n ∃∈3.双曲线22169144x y -=-的渐近线的方程是( ) A ．169y x =±B ．169x y =±C ．43y x =±D ．43x y =±4.下列说法正确的是( ) A.若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题B.“2x >”是“2320x x -+>”的必要不充分条件C.若1m <，则方程220x x m -+=无实数根D.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题5.如果方程13422=-+-m y m x 表示椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．)4,3(且27≠mB ．),4()3,(+∞-∞C ．),4(+∞D ．)3,(-∞6.设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是( )A.若//,//,//m l m l αα则；B.若,,//m l m l αα⊥⊥则；C.若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则；D.若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则；7.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB BC AA ===，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为( ) A.63B.255C.155D.1058.抛物线)0(22>=p px y 上有),,(),,(2211y x B y x A ),(33y x C 三点，F 是它的焦点，若|||,||,|CF BF AF 成等差数列，则（ ）A ．321,,x x x 成等差数列B ．231,,x x x 成等差数列C ．321,,y y y 成等差数列D ．231,,y y y 成等差数列 9.已知F 是抛物线214y x =的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是（ ）A 221x y =- B ．21216x y =-C ．212x y =- D ．222x y =- 10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面 的面积为( )A.22 B.52C.62 D.311.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,AB舒中高二统考理数 第1页（共4页）B两点．若1C 恰好将线段AB 三等分，则( )A ．2132a =B ．213a = C ．212b =D ．22b =12.抛物线26x by =-的准线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右支分别交于,B C 两点，A 为双曲线的右顶点，O 为坐标原点，若AOC BOC ∠=∠，则双曲线的离心率为（ ） A.233 B. 3 C. 433D. 23 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13.若抛物线x y 42=上的点M 到y 轴的距离是9，则M 到焦点的距离为 ．14.过点(1,1)M 作一直线与椭圆22194x y +=相交于A 、B 两点，若M 点恰好为弦AB 的中点，则AB 所在直线的方程为 ．15.边长为2的正方形ABCD 中，点E F 、分别是AB BC 、的中点，将,,ADE EBF FCD ∆∆∆,分别沿,,DE EF FD 折起，使得A B C 、、三点重合于点'A ，若四面体'A EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为16.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ⋅过2F 作一条直线（不与x 轴垂直）与椭圆交于,A B 两点，如果1ABF ∆恰好为等腰直角三角形，则该直线的斜率为 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分10分）已知0>a 且1≠a 。
安徽省六安市舒城中学2017-2018学年高二上学期期末考试英语试题
舒城中学2017-2018学年度第一学期期末考试高二英语（总分：150分时间：120分钟）命题：审题：磨题：注意事项：1.本试卷由四个部分组成。
其中，第一、二部分和第三部分的第一节为选择题。
第三部分的第二节和第四部分为非选择题。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分：听力（共两节，满分30分）第一节（共5个小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. Where does this conversation take place?A. In a bookstore.B. In a library.C. In a restaurant.2. What causes the difference in prices of the two shirts?A. The color.B. The design.C. The material.3. What happened to one of the woman's friends?A. She was fired.B. She was hired.C. She was ill.4. How much does the woman weigh now?A. 150 pounds.B. 153 pounds.C. 163 pounds.5. What does the woman want the man to do?A. Do some shopping.B. Get a haircut.C. Attend a party.第二节(共15小题;每小题1.5分,满分22.5分)听下面5段对话或独白。
安徽省六安市舒城县2017_2018学年高二数学上学期第一次统考试卷文
安徽省六安市舒城县2017-2018学年高二数学上学期第一次统考试卷文（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.1.已知集合{|},{|12},()R A x x a B x x A C B R =<=<<=，则实数a 的取值范围是（ ）A.2a ≥B.2a >C.D.1a <2．若),21(),2,3(),3,2(m C B A --三点共线 则m 的值为（ ） A.21 B.21- C.2- D.2 3．函数)13lg(1)(++-=x x x f 的定义域是( ) A ．),31(+∞- B ．)1,31(- C ．]1,31(- D ．)1,31(4. 已知向量)cos ,(sin ),4,3(αα==且//，则=αtan （ ） A.43B.43-C.34D.34-5．记n S 为等差数列}{n a 的前n 项和．若48,24654==+S a a ，则}{n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．86．函数)(x f 在),(+∞-∞单调递减，且为奇函数．若1)1(-=f ，则满足1)2(1≤-≤-x f 的x 的取值范围是（ ）A ．]2,2[-B ．]1,1[-C ．]4,0[D ．]3,1[ 7.已知131,0,0=+>>ba b a ，则b a 2+的最小值为（ ）A.32B.627+C. 327+D.148.函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为( )9.已知函数)4ln(ln )(x x x f -+=，则( )A.)(x f 在)4,0(上单调递增B.)(x f 在)4,0(上单调递减C. )(x f 图象关于直线2=x 对称D. )(x f 图象关于点)0,2(对称 10.已知曲线x y C cos :1=，)322sin(:2π+=x y C ，则下面结论正确的是（ ） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2C11.ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知0)cos (sin sin sin =-+C C A B ，22,4==c a ，则=C （ ）A.12π B.6π C.4π D.3π12.设z y x ,,为正数，且zyx532==，则（ ）A ．z y x 532<<B ．y x z 325<<C ．x z y 253<<D ．z x y 523<<二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案写在答题卡的相应位置上. 13．已知向量b a ,的夹角为o60，1||,2||==b a ，|则=+|2|b a .14．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+≤+01212y x y x y x ，则y x z 23-=的最小值为 .15.已知函数1)(2-+=mx x x f ，若对于任意]1,[+∈m m x ，都有0)(<x f 成立，则实数m 的取值范围是________．16.已知ABC ∆的每个顶点都是整点（横纵坐标都是整数的点），若)6,16(),0,0(-B A ，则ABC ∆的面积的最小值为 .三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题满分10分）已知圆2)2()1(:22=-+-y x C ，点P 坐标为)1,2(-，过点P 作圆C 的切线，切点为B A ,．(1)判断圆4)2()2(22=+++y x 与圆C 的位置关系； (2)求直线PB PA ,的方程.18．（本题满分12分）记n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，已知6,232-==S S . (1)求}{n a 的通项公式；(2)求n S ，并判断21,,++n n n S S S 是否成等差数列.19.（本题满分12分） 已知函数)43sin()(π+=x x f .(1)求)(x f 的单调递增区间； (2)若α是第二象限角，απαα2cos )4cos(54)3(+=f ,，求ααsin cos -的值．20.（本题满分12分）已知数列}{n a 的首项为1,前n 项和n S 满足)2(11≥+=-n S S n n ．（1）求n S 与数列}{n a 的通项公式； （2）设)(11*+∈=N n a a b n n n ，求使不等式251221>+++n b b b 成立的最小正整数n ．21．（本题满分12分）ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知ABC ∆的面积为Aa sin 32. （1）求C B sin sin ;（2）若3,1cos cos 6==a C B ，求ABC ∆的周长.22.（本题满分12分）已知函数||)(a x x x f -=. （1）若1=a ，求函数)(x f 在]3,2[上的值域；（2）解不等式292)(a x f ≤.舒城中学高二开学检测 数 学（文）参考答案AACACD BCCDBD13. . 14. 5- .15.___)0,22(-_____． 16. 1 . 17解答：外离 015701=--=-+y x y x 或。
安徽省舒城县2017学年高二数学上学期第一次统考试题理
图2俯视图侧视图正视图342016—2017学年度第一学期第一次统考高二理数满分：150分,时间:100分钟第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1。
函数)34(log 1)(2-=x x f 的定义域为（ ）A.（43，1） B 。
（43,+∞） C.(1,+∞） D.}143|{≠>x x x 且 2。
两条直线033=-+y x 与016=++my x 平行，则它们间的距离为（ ）A ．4B ．13132 C ．13265D ．102073. 已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则线性目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A. 3 B 。
4 C. 5D 。
64。
在△ABC 中, 60,2==B a ,若此三角形有两解，则边b 的取值范围为（ ）A ．342<<bB ．b> 2C ．b 〈2D ．23<<b5. 如图为一个几何体的三视图,正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正 三角形，尺寸如图,则该几何体的表面积为（ ） A ．326+ B ．3224+C ．314D ．3232+6. 已知m 、n 是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面．下列命题 中正确的是( ）A ．若α⊥γ，β⊥γ,则α∥βB ．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC ．若m∥α，n∥α，则m∥nD ．若m∥α，m∥β，则α∥β7. 函数()2xf x =为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,0a f b f c f ===，则（ )A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<8。
已知函数)(x f y =的图象与函数x a y =（0>a 且1≠a ）的图象关于直线x y =对称，记]1)2()()[()(-+=f x f x f x g ．若)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，则实数a 的取值范围是( ）A ．),2[+∞B ．)2,1()1,0(C ．)1,21[ D ．]21,0(9。
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舒城中学2017～2018学年度高中二年级第一学期期末统考试卷数 学(时间120分钟 满分150分) (命题:孟松 审题:杨龙傲 磨题:王正伟)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若p 、q 是两个简单命题,“p 且q ”的是真命题,则必有A.p 假q 假B.p 真q 真C.p 真q 假D.p 假q 真2.已知,x y R ∈,给出命题:“,x y R ∈,若220x y +=,则0x y ==”,则它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个 3.下列求导运算正确的是 A.(cos )sin x x '=B.1(ln 2)x x'=C.3(3)3log x xe '=D.2()2x xx e xe '=4.已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为1V 和2V ,则12:V V =( ) A.1∶3B.1∶1C.2∶1D.3∶15.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点,则异面直线AC 与MN 所成的角为 ( )A.30°B.45°C.60°D.90°6.以下命题(其中,a b 表示直线,α表示平面)①若//,a b b α⊂,则//a α ②若//,//a b αα,则//a b ③若//,//a b b α,则//a α ④若//,a b αα⊂,则//a b 其中正确命题的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个7.如果函数()f x 的导函数'()f x 的图像如图所示,那么函数()f x 的图像最有可能的是( )8.曲线221259x y +=与曲线()2219259x y k k k+=<--的( ) A .长轴长相等 B .短轴长相等 C .焦距相等 D .离心率相等9.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为( )A.63π m 3B.85π m 3 C .83π m 3 D.94π m 310.已知动点P 在椭圆2213627x y +=上,若椭圆的右焦点为F ,点M 满足||1FM →=,0PM FM →→∙=,则PM 的最小值是( )A.2B.3C.22D.3 11.已知函数31()42f x x ax =++,则“0a >”是“()f x 在R 上单调递增”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点A ,它关于原点的对称点为B ,点F 为椭圆的右焦点,且满足AF BF ⊥,设ABF α∠=,且ππ[,]126α∈,则该椭圆的离心率e 的取值范围为A.313[,]22- B.316[,]23- C.6[31,]3- D.3[31,]2- 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13.已知向量1(1,,2),(2,1,)2a b k →→==-,且a →与b →互相垂直,则k 的值是 14. 命题“2,||0x x x ∀∈+≥R ”的否定是15.三棱锥的三条侧棱两两垂直,其长分别为3,2,1则该三棱锥的外接球的表面积16.如图,两个椭圆221259x y ＋＝, 221259y x ＋＝内部重叠区域的边界记为曲线C ,P 是曲线C 上的任意一点,给出下列四个判断:①P 到1212(4,0)(4,0)(0,4)(0,4)F F E E --、、、四点的距离之和为定值； ②曲线C 关于直线y x y x ==-、均对称；③曲线C 所围区域面积必小于36. ④曲线C 总长度不大于6π.上述判断中正确命题的序号为_____________.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17.(本题满分10分) 设函数3()212f x x x =-(I)求函数()f x 的单调递增区间和极值； (II)求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。
18.(本题满分12分)如图,在四棱锥A BCDE -中,平面ABC ⊥平面BCDE ,90CDE BED ∠=∠=︒,2AB CD ==,1DE BE ==,2AC =.(I)证明:⊥DE 平面ACD ；(II)求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值.19.(本题满分12分)已知抛物线()220y px p =>上的点()3,T t 到焦点F 的距离为4.(I)求t ,p 的值；(II)设A ,B 是抛物线上分别位于x 轴两侧的两个动点,且5OA OB ⋅=(其中O 为坐标原点).求证:直线AB 过定点,并求出该定点的坐标.20.(本题满分12分) 如图,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,侧棱1AA ⊥底面AB C ,AB ⊥AC ,1AB =,12AC AA ==,5AD CD ==,且点M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点.(I)求证://NM 平面ABCD ； (II)求二面角11D AC B --的正弦值；EDCBA21(本题满分12分)已知函数()()()22ln 210f x a x a x xa =-++->.(Ⅰ)若函数()f x 的图象在点()()2,2f 处的切线与x 轴平行,求实数a 的值； (Ⅱ)讨论()f x 的单调性；22.(本题满分12分)已知圆16)3(:221=++y x F ,圆心为1F ,定点)0,3(2F ,P 为圆1F 上一点,线段2PF 的垂直平分线与直线1PF 交于点Q . (Ⅰ)求点Q 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)过点)2,0(的直线l 与曲线C 交于不同的两点A 和B ,且满足90<∠AOB (O 为坐标原点),求弦AB 长的取值范围.舒城中学2017～2018学年度高中二年级第一学期期末统考试卷答案一、选择题:BDBDC AACCC AC 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13.34- 14.2000,||0x x x ∃∈+<R 15.6π 16.②③ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17.(本题满分10分)(1)∴函数()f x 的单调递增区间是(,2)-∞-和(2,)+∞ ,函数的极大值为(2)82f -=,极小值为(2)82f =- (2)∴函数()f x 在[1,3]-上的最大值是18,最小值是82-18.(本题满分12分)(1)在直角梯形BCDE 中,由1DE BE ==,2CD =得,2BD BC ==,由2,2AC AB ==,则222AB AC BC =+, 即AC BC ⊥,又平面⊥ABC 平面BCDE ,从而AC ⊥平面BCDE , 所以AC DE ⊥,又DE DC ⊥,从而DE ⊥平面ACD 。
(2)直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值是1313.19.(本题满分12分)(1)2p =,23t =±(2)直线AB 过定点()5,0【试题解析】(1)由抛物线的定义得,342p+=,解得2p =, 所以抛物线的方程为24y x =,代入点()3,T t ,可解得23t =±.(2)设直线AB 的方程为x my n =+,211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭,联立24,,y x x my n ⎧=⎨=+⎩消元得2440y my n --=,则124y y m +=,124y y n =-,由5OA OB ⋅=,得()21212516y y y y +=,所以1220y y =-或124y y =(舍去),即420n -=-,即5n =,所以直线AB 的方程为5x my =+, 所以直线AB 过定点()5,0.20.(本题满分12分)(1)略 (2)二面角D 1－AC －B 1的正弦值为31010.21.(本题满分12分)22.(本题满分12分) (Ⅰ) 1211||||||||||4QF QF QF QP PF +=+==,所以Q 的轨迹C 是以12(3,0),(3,0)F F -为焦点,长半轴长为2的椭圆,其方程为2214x y +=.(Ⅱ)由题可得直线l 存在斜率,设其方程为2y kx =+,与椭圆2214x y +=联立可得: 22(14)16120k x kx +++=,设直线l 与曲线C 交于不同的两点11(,)A x y 和22(,)B x y ,则有0∆>,解得234k >.因为2AOB π∠<⇔0OA OB ⋅>,即12120x x y y +>,解得24k <. 由弦长公式得2224(43)(1)||14k k AB k -+=+,设214k t+=(4,17)∈,则211||21AB t t =--+465(0,)17∈。