3.1.2两条直线平行与垂直的判定
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B
Q P
O x y
A
k BA k PQ
BA ∥ PQ
例题讲解 例2、已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0， 0），B（2，-1），C（4，2），D（2，3），试 判断四边形ABCD的形状，并给出证明。
E、若直线l1 ⊥ l2，则它们的斜率之积为-1；
例题讲解
例3、已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3） Q（6，-6），判断直线AB与PQ的位置关系。
解 : k AB k PQ 63 3 (6) 63 60 2 3 3 2
k AB k PQ -1 BA PQ
解 : k AB 1 0 20 1 2
k BC
2 ( 1) 42 1
2
y
3 2
3 2
D C A
O
k CD
k DA
k AB k CD , k BC k DA AB ∥CD , BC ∥ DA 因此四边形 ABCD 是平行四边形 .
B
设两条直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2 （ α1、α2≠90°）.
例题讲解
例4、已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三 点，试判断△ABC的形状。
解 : k AB k BC 1 ( 1) 1 5 3 1 2 1 2
B
O
0
1 2
y
C
k AB k BC 1 AB BC 即 ABC 90 .
x
y
l2 l1
条件：都有斜率
α1
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
思考1、两条直线互相垂直，它们的斜率之 积等于-1吗？
有可能一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在
y
l2
若一条直线的倾斜角为90°,
l1
另一条直线的倾斜角为0°
则两直线互相垂直.
o
x
思考2、如果两条直线的斜率之积等于-1， 它们垂直吗？ 一定垂直
练习
下列哪些说法是正确的（ C ）
A 、两直线l1和l2的斜率相等，则 l1 ∥ l2；
巩固提高
试确定m的值，使过点A（m，1），B(–1, 2m)的直线与经过点P（1，2），Q（-5，0）的直 线 解： （由直线的斜率公式可得 1）平行；（2）垂直。 ( 2) PQ AB
k AB k PQ y2 y1 2m 1 1 2m , x2 x1 1 m 1 m y2 y1 0 2 1 x2 x1 5 1 3
y
C B
O
x
A
练习. 判断下列各小题中的直线 L1 和 L 2 是否垂直？ （1）. L1 经过 A(4，5)，B(1,2)， L 2 经过 M(－2, －1),N(2,1)。 (2). L1 的斜率为-10， L 2 经过 M(10,2),N(20,3)
（3）. L1 经过 A（3，4)，B(3,100)， L 2 经过 M(－10,40),N(10,40)。
问题探究二：两直线垂直与它们斜率有何关系？ 设两条直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2 （α1,α2≠ 90°），且α1<α2，其斜率分别 为k 1，k 2。
类比： l1 /k /l 1时， 2 l tan 1 tan 2 k1 k2 l1⊥l2 思考 2 当 k 12 2=-1 1与l2的位置关系如何？
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
画图
例2.已知四边形ABCD的四个顶点分别为 A(0, 0), B(2, －1), C(4, 2), D(2, 3)，试判
断四边形ABCD的形状，并给出证明.
画图
变式练习1：已知A(2, 3), B(-4, 0), Ｃ(0, 2), 判断直线AB、BC的位置关系？
画图
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讲授新课
（ 一 ）两条直线互相平行(不重合) 设两条直线l1，l2的斜率分别为k1 ， k2 问题1 ：同学们在直角坐标系画两条平行线， 观察l1，l2的倾斜角关系：α1 = α2． 斜率关系： k1 = k2． l1∥l2 k1 = k2
讲授新课
问题2 ：如果两条直线的斜率相等，那么两条 直线l1∥l2吗？
复习引入
1、定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴为基 准，x轴 正向 与直线l 向上 方向之间所成的 角叫做直线l的倾斜角。 当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 o O 0 ，当直线l与x轴垂直时，它的倾斜角为 90 。 2、倾斜角的范围是 . 3、一条直线的倾斜角的 叫做这条直线的斜 率。斜率常用小写字母k来表示，即k = ， 倾斜角为90o的直线斜率 4、经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线 的斜率公式为k = .
复习引入
1、定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴为基 准，x轴 正向 与直线l 向上 方向之间所成的 角叫做直线l的倾斜角。 当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 o O 0 ，当直线l与x轴垂直时，它的倾斜角为 90 。 O 2、倾斜角的范围是 0O≤ ＜180 . 3、一条直线的倾斜角的 叫做这条直线的斜 率。斜率常用小写字母k来表示，即k = ， 倾斜角为90o的直线斜率 4、经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线 的斜率公式为k = .
人教版高中数学必修二课件 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
k2=_______.
解：由斜率定义，直线l的斜率k=tan 30°= 3， 3
因为l1∥l，所以k1=k=
3 3
.
因为l2⊥l,所以k2·k=-1,
所以k 2
=
1 k
=
3.
答案： 3
3
3
16
例3 已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3），Q（6， -6），试判断直线AB与PQ的位置关系.
C.0
D. 1
2
解：选A.l1,l2的斜率分别为2,-a,由l1∥l2，可知
a=-2.
12
思考3 设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2 ,
l1 ⊥ l2时，k1与k2满足什么关系？
提示：
如图，α2 =α1 + 90o，
tanα2
=
tan(α1
+ 90o
)=
-
1 tanα1
,
即k1k2 = -1.
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
1
平面内两条直线有哪些位置关系？ 平行或相交
2
为了在平面直角坐标系内表示直线的倾斜程度， 我们引入倾斜角的概念，进而又引入了直线的斜率.
y
.
O
x
能否通过斜率来 判断两条直线的
位置关系？
3
1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件. （重点）
2.会运用条件判断两直线是否平行或垂直. （难点）
反之，成立,可得
y l2
l1
α1 α2
O
x
l1 l2 k1k2 = 1.
13
思考4
设两条直线l1的斜率k1 = 0,l2的斜率不存在,
l1 ⊥ l2吗？
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
,
������ -1 ������ -0
=
3-0 4-1
,
解得
������ = 3, ������ = 4.
所以顶点 D 的坐标为(3,4).
反思解决与平行有关的问题时,常借助于它们的斜率之间的关系 来解决,即不重合的两条直线l1与l2平行⇒k1=k2或k1与k2都不存在.
-14-
3.1.2 两条直线平行 与垂直的判定
关系 都不为零)⇔k1k2=-1
为 0⇒l1⊥l2
-6-
3.1.2 两条直线平行 与垂直的判定
12
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典例透析
【做一做2】 已知直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,且k1=5,l1⊥l2,则
k2=
.
解析:∵l1⊥l2,∴k1k2=-1.
∵k1=5,∴5k2=-1,∴k2=−
1.
-12-
3.1.2 两条直线平行 与垂直的判定
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典例透析
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练1】 顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点所组
成的图形是( )
A.平行四边形 B.直角梯形
C.等腰梯形
D.以上都不对
解析:因为
kAB=
5-3 2-(-4)
=
13,kCD=
0-3 -3-6
=
1,
3
所以 AB∥CD.
又
kAD=
0-3 -3-(-4)
=
−3,kBC=
3-5 6-2
=
−
1,
2
所以 kAD≠kBC,kAD·kCD=-1,
必修2课件3.1.2两条直线平行与垂直的判定
两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k 2 则l1 l2 k1 k 2 =-1
例1：已知四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1:13:4,直线l2过点P:(1,0), : 3 Q:(2, )，求这四条直线的斜率？ 3
3 3 , , 不存在, 3 3 3
例2：过点m: 2,)，作直线l，分别交x轴,y轴的正半轴于A、B两点， ( 1 1：当 AOB面积S最小时，求l方程 2：当 MA MB 最小时，求l方程
例4：l：(2m +m-3)x+(m -m)x-4m+1=0,在下列 条件下分别求m的值：
2
2
1：直线l与2x-3y-5=0垂直？ 2：直线l与2x-3y-5=0平行？ 例5：l1: x-2y=1, l2: 2x+ty-3=0, l3:3tx+4y=5, 三线不能构成三角形，求t的值
3 2 6 4, , , 2 2 3
D
y
E F
C
B A 30
0
O
x
斜率存在， 且两直线不重合
两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k 2 则l1 // l2 k1 =k 2
问题： 1 l1：y k1x b1 , l2 : y k 2 x+b 2 , 则l1//l2 :
k1 =k 2 b b 1 2
2：直线l1，l2平行时，则l1与l2的斜率相等吗？
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
1. 倾斜角的定义
2： 一条直线倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率， 常用k来表示.
y2 y1 A k tan x2 x1 B （其中l : Ax+By+C=0）
( x1 x2 )
数学必修二课件3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
12
• 1．已知直线l1过点A(－1,1)和B(－2，－1)， 直线l2过点C(1,0)和D(0，－2)，试判断直线l1 －1－1 与 l 的位置关系． 2 【解析】直线 l 的斜率 k ＝ ＝2，
1 1
－2＋1
－2－0 直线 l2 的斜率 k2＝ ＝2，k1＝k2， 0－1 所以 l1∥l2.
13
【答案】(1)垂直 5 (2)2
7
• 3．思一思：当k1·k2＝－1时，l1⊥l2成立吗？ 反之是否成立？ • 【解析】由k1k2＝－1，可知直线l1，l2的倾斜 角α1，α2满足α2＝α1＋90°，故直线l1⊥l2.反 之不一定成立．当l1⊥l2时，可能其中一条斜 率为0，另一条斜率不存在，故k1·k2＝－1不 一定成立．
16
• 2．已知直线l1⊥l2，若直线l1的倾斜角为30°， 则直线l2的斜率为________．
【答案】－ 3
3 【解析】由题意可知直线 l1 的斜率 k1＝tan 30° ＝ 3 ，设直 线 l2 的斜率为 k2，则 k1· k2＝－1，∴k2＝－ 3.
17
• 平行与垂直的综合应用 • 【例3】 已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)， D(－3,0)四点，若顺次连接ABCD四点，试判 定图形ABCD的形状． • 【解题探究】先由图形判断四边形各边的关 系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关 系完成证明．
• 1．两条直线平行与斜率的关系 • (1)如图①，设两条不重合的直线l1，l2的斜率 分别为k1，k2＝ ，若l1∥l2，则k1_____k2∥ ；反之， 若k1＝k2，则l1_____l2. • (2)如图②，若两条不重合的直线的斜率不存 在，则这两条直线也平行．
4
• 2．两条直线垂直与斜率的关系 • (1)如图①，如果两条直线都有斜率且它们互 －1 相垂直，那么它们的斜率之积等于_____；反 －1 k_____ 1k2＝－1 之，如果它们的斜率之积等于 ，那么它 k1k2＝－1 们互相垂直．即 __________⇒l1⊥l2， l1⊥l2⇒__________. • (2)如图②，若l1与l2垂直 中的一条斜率不存在，另 一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是 ________．
第3章 3.1.2两条直线平行与垂直的判定
填一填·知识要点、记下疑难点
3.1.2
2．两条直线垂直与斜率的关系
本 讲 栏 目
(1)如果直线 l1、l2 的斜率都存在，并且分别为 k1、k2， 那么 l1⊥l2⇔ k1k2＝－1 .
开 关
(2)如果两条直线 l1、l2 中的一条斜率不存在，另一个斜 率是零，那么 l1 与 l2 的位置关系是 垂直 .
研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.2
本 讲
小结 判定两条直线的位置关系时，一定要考虑特殊情况，
栏 目
如两直线重合，斜率不存在等．一般情况都成立，只有一
开 关
种特殊情况不成立．则该命题就是假命题．
研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.2
跟踪训练 1 试确定 m 的值，使过点 A(m＋1,0)，B(－5，
本
讲
k2 不存在，更谈不于两条不重合的直线 l1、l2，其斜率分别为 k1、
关
k2，有 l1∥l2⇔k1＝k2.若直线 l1 和 l2 可能重合时，我们得到
k1＝k2⇔l1∥l2 或 l1 与 l2 重合．
研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.2
例 1 已知 A(2,3)，B(－4,0)，P(－3,1)，Q(－1,2)，试判断
B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形 ABCD 的形状，
并给出证明．
本
解 AB 边所在直线的斜率 kAB＝－12，
讲 栏 目
CD 边所在直线的斜率 kCD＝－12，
开 关
BC 边所在直线的斜率 kBC＝32，
DA 边所在直线的斜率 kDA＝32.
因为 kAB＝kCD，kBC＝kDA，所以 AB∥CD，BC∥DA.因此， 四边形 ABCD 是平行四边形．
21-22版：3.1.2 两条直线平行与垂直的判定(步步高)
11. 已 知 点 A( － 3 ， － 2) ， B(6,1) ， 点 P 在 y 轴 上 ， 且 ∠BAP ＝ 90° ， 则 点 P 的 坐 标 是 _(0_，__－__1_1_)_.
l1的斜率不存在，l2的斜率为0 ⇒__l1_⊥__l2__
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行.( × ) 2.若l1∥l2，则k1＝k2.( × )
3.若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线
解 ∵l1与l2都与x轴垂直，且l1与l2不重合， ∴l1∥l2.
题型二 两条直线垂直的判定
例2 判断下列各题中l1与l2是否垂直. (1)l1经过点A(－3，－4)，B(1,3)，l2经过点M(－4，－3)，N(3，1)； 解 k1＝13－－－－34＝74，k2＝13－ －－ －34＝47， k1k2＝1，∴l1与l2不垂直.
PART ONE
知识点一 两条直线(不重合)平行的判定
类型 前提条件
对应关系
斜率存在 α1＝α2≠90°
l1∥l2⇔_k_1_＝__k_2_
斜率不存在 α1＝α2＝90°
l1∥l2⇐两直线的斜率都不存在
图示
知识点二 两条直线垂直的判定
图示
对应关系
l1⊥l2(两直线的斜率都存在) ⇔_k_1_k_2＝__－__1__
m的值为
A.58
√B.－58
C.－14
D.14
解析 由题意知AB的斜率存在且不为0， 则 kAB·kPQ＝－1，即0－5－－22×－－1m－－21m＝－1，解得 m＝－58.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
想一想
我们知道，两点也可以唯一确定一条直线。 所以我们的问题是： 如果知道直线上的两点，怎么样 来求直线的斜率(倾斜角)呢？
3、探究：由两点确定的直线的斜率 k tan
锐角
y
y2
y1
能不能构造 一个直角三 如图，当 α为锐角时， 角形去求？ P2 ( x2 , y2 )
P 1 ( x1 , y1 )
E、若直线l1 ⊥ l2，则它们的斜率之积为-1；
例题讲解
例3、已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3） Q（6，-6），判断直线AB与PQ的位置关系。
解 : k AB k PQ
63 2 3 (6) 3 63 3 60 2
k AB kPQ -1 BA PQ
P2
P1 P1P2ຫໍສະໝຸດ 例3、如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求 直线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直线 的倾斜角是什么角？ y. 解： B . A 22 . . . . . . . 0 直线AB的斜率 k AB o x 8 4 . 22 4 1
直线BC的斜率 kBC 直线CA的斜率 kCA
因为点A.B.C在同一直线上，所以 k AB k AC
2 1 , a 5 9
18 a 5, a 13
作业：书本P89页A组 5、6（3） 、 7（2）、8题
O
x
l 4 l3
小结
1、倾斜角的定义及其范围
0 180
0
0
0
2、斜率的定义及斜率与倾斜角的相互转化
判断：
不存在 90 k 0 tan 90
2、直线的斜率为tan ,则它的倾斜角为
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
分析：判断两组对边是否分别平行.
解：因为kAB
=
kCD
=
-
1, 2
kBC
=
kDA
=
3, 2
所以AB CD,BC DA.
所以四边形ABCD是平行四边形.
思考3 设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2 , l1 ⊥ l2时，k1与k2满足什么关系？
如图，α2 =α1 + 90o，
y
tanα2
=
tan(α1
二、两条直线垂直的判定
y
设两条直线l1与l2的斜率分别为k1 ,k 2，
l2
两直线的斜 率均存在. O
l1 ⊥l2 k1k2 = -1.
l1 x
特别地：一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的 倾斜角为0°，两直线互相垂直.
例3 已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3），Q（6， -6），试判断直线AB与PQ的位置关系.
TIP2：越夸张越搞笑，越有助于刺激我们的大脑，帮助我们记忆，所以不妨在 编 故事时，让自己脑洞大开，尝试夸张怪诞些~
故事记忆法小妙招
费曼学习法
费曼学习法-简介 理查德·菲利普斯·费曼
（Richard Phillips Feynman）
费曼学习法出自著名物理学家费曼，他曾获的 1965年诺贝尔 物理学奖，费曼不仅是一名杰出的 物理学家，并且是一位伟 大的教育家，他能用很 简单的语言解释很复杂的概念，让其 他人能够快 速理解，实际上，他在学习新东西的时候，也会 不断的研究思考，直到研究的概念能被自己直观 轻松的理解，
A.-2
B.2
C.0
D. 1
2
解：选A.l1,l2的斜率分别为2,-a,由l1∥l2，可知
高中数学 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
答案:A
2．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的 位置关系是( )
A．平行
C．相交但不垂直
B．重合
D．垂直
[导入新知] 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1， k1＝k2 k2，有l1∥l2⇔________.
[化解疑难] 对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都 存 在；②l1与l2不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都
①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； ②若l1∥l2，则k1＝k2； ③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的
斜率 存在，则这两条直线垂直；
④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条 直线平行．
A．1个 C．3个
B．2个 D．4个
解析：若k1＝k2，则这两条直线平行或重合，所以①
图形，由图形猜测其形状，为下面证明提供明确目标．
2．证明两直线平行时，仅有k1＝k2是不够的，注意排除 两直线重合的情况．
[活学活用]
3．已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点D满足AB⊥CD，且 AD∥BC，试求点D的坐标． 4－2 y－4 2 2 解： 设 D(x， y)， 则 kAB＝ ＝ 1， kBC＝ ＝－ ， kCD＝ x ， 3 3－1 0－3
3．1.2
两条直线平行与垂直的判定
两条直线平行 [提出问题] 平面几何中，两条直线平行同位角相等．
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
当一条直线的倾斜角为900,另一条直线的倾斜角为0° 两直线互相垂直
l1 l2 k1 k2 1或l1,l2一斜率不存在另一斜率 为0
例题讲解
例5、已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3） Q（6，-6），判断直线AB与PQ的位置关系。
A
因此ABC是直角三角形.
练习：
1.已知直线 m1 经过点 A(3，a)，B(a－2,3)，直线 m2 经过点 M(3， a)，N(6,5)，若 m1⊥m2，求 a 的值．
错解中忽略了利用斜率间关系判断两条直线的位置关 系的前提条件：两条直线的斜率存在．应对直线 AB 斜率是否 存在进行分类讨论，即分 a－2＝3 与 a－2≠3 两种情况讨论．
kDA
3 2
kAB kCD , kBC kDA
AB∥ CD, BC∥ DA
y
D
C
A
O
x
B
因此四边形ABCD是平行四边形.
【变式 1】 已知直线 l1 经过点 A(3，a)，B(a－1,2)，另一条 直线 l2 经过点 C(1,2)，D(－2，a＋2)．若 l1∥l2，求 a 的值．
a 1或a 6
b4 a3
40
,解得
a 1
b
6
,
a 1 35
∴D(－1,6)．
A．(3,0)
B．(－3,0)
C．(0，－3)
D．(0,3)
解析 设P(0，y)，∴k2＝y－1， ∵l1∥l2，∴y－1＝2，∴y＝3，故选D. 答案 D
8．若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称， 则l的倾斜角为( )． A．135° B．45° C．30° D．60°
3.1.2两直线平行与垂直的判定(优秀经典公开课教案及练习答案详解)
3.1.2两直线平行与垂直的判定学科：数学年级：高一班级【学习目标】1.知道两条直线平行或垂直的判断条件．2.会利用斜率判断两条直线平行或垂直．3.利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论．【学习重难点】重点：两条直线平行和垂直的条件难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．【预习指导】1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线斜率相等，则两直线平行．( )(2)若l1∥l2，则k1＝k2.( )(3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交．( )(4)若两直线斜率都不存在，则两直线平行．( )2．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是( )A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直3．下列各组点中，在同一直线上的是( )A．(－2，3)，(－7，5)，(3，－5)B．(3，0)，(6，－4)，(－1，－3)C．(0，5)，(2，1)，(－1，7)D．(0，1)，(3，4)，(－1，－1)4．经过点A(m，1)，B(－1，m)的直线与过点P(1，2)，Q(－5，0)的直线平行，则m＝________.【合作探究】(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直设直线 L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系)∴tgα1=tgα2．即 k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．由于0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°，∴α1=α2．又∵两条直线不重合，∴L1∥L2．结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点．．．．．．．P．和一个倾斜角α．．．.们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定.下面我们研究两条直线垂直的情形．如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有α1=90°+α2．因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°，可以推出: α1=90°+α2． L1⊥L2．结论: 两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.例1、已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ 的位置关系, 并证明你的结论.分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略)解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5,直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,因为 k1=k2=0.5, 所以直线BA∥PQ.例2 、已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想: 四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证)例3、已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.解: 直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,直线PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2,因为 k1·k2 = -1 所以 AB⊥PQ.例4 、已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加以验证.(图略)【巩固练习】教材P89练习1、2题【当堂检测】1．下列说法中正确的是( )A．平行的两条直线的斜率一定存在且相等B ．平行的两条直线的倾斜角一定相等C ．垂直的两直线的斜率之积为－1D ．只有斜率相等的两条直线才一定平行2．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1，4)，直线l 2经过两点(2，1)，(x ，6)，且l 1∥l 2，则x 等于( )A ．2B ．－2C ．4D ．13．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2，1)，且与斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值是( )A ．－23B ．－32 C.23 D.324．已知点A(2，3)，B(－2，6)，C(6，6)，D(10，3)，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形5． l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M(1，3)，N(－2，－23)，则两直线l 1与l 2的位置关系是________．6．已知直线l 1经过点A(0，－1)和点B(－4a，1)，直线l 2经过点M(1，1)和点N(0，－2)，若l 1与l 2没有公共点，则实数a 的值为________．【拓展延伸】已知A(－m －3，2)，B(－2m －4，4)，C(－m ，m)，D(3，3m ＋2)，若直线AB⊥CD，求m 的值．【课堂小结】(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直.(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线.【课外作业】习题3.1第3、6题【教学反思】。
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
(2)依据直线的斜率的定义可知: ①若不重合的两条直线l1,l2的斜率都存在,分别为k1,k2,倾斜角分别为 α 1,α 2,则l1∥l2⇔α1=α 2⇔k1=k2; ②当不重合的两条直线的斜率都不存在时,由于它们的倾斜角都是 90°,故它们也互相平行.
2.对两条直线平行的判定条件的理解 l1∥l2⇔k1=k2成立的前提条件有两个: (1)两条直线的斜率都存在.(2)这两条直线不重合.
综上,m的值为1或-1.
【误区警示】解答本题易漏掉直线斜率不存在的情况.
【补偿训练】直线l1的斜率k1= l1⊥l2,求实数a的值.
3 ,直线l2经过点A(3a,2),B(0,a),且 4 3 a－2 －1， 4 0－3a
【解析】由l1⊥l2可知k1k2=-1,即 解得a= － 2 .
3
4.已知点A(2,-1),B(3,2),则线段AB的垂直平分线的斜率为 【解析】直线AB的斜率为kAB= 2－(－1) =3,由于线段AB的垂直平分线
3－2
.
与直线AB垂直,故两直线的斜率乘积等于-1,则线段AB的垂直平分线的 斜率为 － 1 . 答案: － 1
3 3
5.已知直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l2经过两点(2,1),(x,6), 且l1∥l2,则x= .
3 ).
2.(2015·通辽高一检测)已知P(-2,m),Q(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若 直线PQ∥直线MN,求m的值.
【解题探究】1.典例1中判断直线l1与直线l2是否平行要从哪两个方面 分析? 提示:一是判断两条直线的斜率是否相等,二是判断两条直线是否重合. 2.典例2中由直线PQ∥直线MN,需要讨论直线PQ,MN斜率的存在性吗? 如何讨论? 提示:分当m=-2或m=-1以及m≠-2且m≠-1时进行讨论.
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定高一数学教材配套教学课件(人教A版必修二)
【解题指南】(1)显然斜率存在，根据kPQ=kMN，求m 的值. (2)斜率存在的直线求出斜率，利用l1∥l2⇔k1=k2进行 判断(注意两直线重合的情况).两直线斜率都不存在的， 可通过观察并结合图形得出结论.
【解析】(1)当m=-2时，直线PQ的斜率不存在，而直线
MN的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意；
(2)根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平 行： ①l1经过点A(2，1)，B(-3，5)，l2经过点C(3，-3)， D(8，-7)； ②l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1， 3 )，N(-2， -2 3 )；
③l1平行于y轴，l2经过点P(0，-2)，Q(0，5)； ④l1经过点E(0，1)，F(-2，-1)，l2经过点G(3，4)， H(2，3).
综上，m的值为0或1.
答案：0或1
(2)①由题意知，k1
5 1 3 2
4 5
，k
2
7 3 83
4， 5
因为k1=k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2.
②由题意知，k1=tan 60°= 3，k2= 2 3 3 3，
2 1
因为k1=k2，所以l1∥l2或l1与l2重合.
③由题意知，l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率
3.设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若k1=k2，则直线 l1，l2一定平行吗？ 提示：若k1=k2，则l1∥l2.
结论：两直线平行的等价条件
如果两条直线的斜率存在，设这两条直线的斜率分别 为k1，k2.若两条直线平行，则它们的斜率_相__等__；反 之，若两条直线的斜率相等，则它们_平__行__，即l1∥l2 ⇔_k_1=_k_2_.
4 1 3 m
2019年高中数学第三章直线与方程3.1.2两条直线平行与垂直的判定(含解析)
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定1.直线l1的斜率为a,l1⊥l2，则直线l2的斜率为( D ）（A)(B）a（C)-(D）-或不存在解析：若a=0，则l2的斜率不存在;若a≠0，则l2的斜率为—.故选D.2.若l1与l2为两条直线,它们的倾斜角分别为α1,α2，斜率分别为k1,k2，有下列说法：(1）若l1∥l2,则斜率k1=k2;（2)若斜率k1=k2,则l1∥l2；(3）若l1∥l2，则倾斜角α1=α2;(4）若倾斜角α1=α2，则l1∥l2。
其中正确说法的个数是（ B )(A）1 (B）2 (C)3 (D)4解析：需考虑两条直线重合的特殊情况，(2)，(4）都可能是两条直线重合，(1）,(3)正确。
3.已知A(m2+2,m),B(m+1,-1),若直线AB与斜率为2的直线平行，则m 的值为( B ）（A）(B)或1（C)1 (D）—1解析：由题知k AB=2，即==2,整理得2m2-3m+1=0，解得m=或m=1.4.若A（0,1),B(,4）在直线l1上,且直线l1⊥l2，则l2的倾斜角为（ C )（A）-30°(B)30°(C)150°（D）120°解析：因为==，所以l1的倾斜角为60°。
因为两直线垂直,所以l2的倾斜角为60°+90°=150°.故选C.5。
以A(—1,1)，B（2,—1），C（1,4)为顶点的三角形是（ C ）(A)锐角三角形（B)钝角三角形（C)以A点为直角顶点的直角三角形（D)以B点为直角顶点的直角三角形解析：如图所示,易知k AB==—，k AC==，由k AB·k AC=-1知三角形是以A点为直角顶点的直角三角形，故选C。
6.已知A(—4，3）,B（2,5)，C（6，3)，D(—3,0)四点，若顺次连接A,B，C,D四点，则四边形ABCD的形状是（ D )(A）平行四边形（B)矩形(C)菱形(D)直角梯形解析：因为k AB==，k CD==,k AD==-3，k BC==—，所以AB∥CD,AD⊥AB，所以四边形ABCD为直角梯形.7。
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两条直线平行 与垂直的判定
a tan k
a [0, ) ( , π)
π 2 π 2
k
π 2
O
π 2
π
k (,)
a0
π 0a 2
π aπ 2
3 2
a
k 0
k 0
k0
π a 时， k不存在 2
复习2：平面上两条直线位置关系
y
o x
有平行,相交两种
练习： 判断直线AB与Байду номын сангаасD的位置关系. （1）A（2，3）， B（－4，0）， C（－3，l）, D（－l，2）； （2）A（－3，2），B（－3，10）， C（5，－ 2 ）, D（5，5）.
（3）A（－6，0），B（3，6）， C（0，3）， D（6，－6） （4）A（ 3 ，4）， B（3，100）， C（－10，40）, D（10，40）.
练习：P89 2
学完一节课或一个内容，
应当及时小结，梳理知识
一、知识内容上
L1// L2 k1=k2 （前提:两条直线不重合,斜率都
存在） L1⊥ L2 k1k2= -1 （前提：两条直线都有斜率， 并且都不等于零.）
二、思想方法上
（1）运用代数方法研究几何性质及其相互位置关系 （2）数形结合的思想
我们设想如何通过直线的斜率 来判定这两种位置关系.
探究（一）：两条直线平行的判定
思考1:若两条不同直线的倾斜角相 等，这两条直线的位置关系如何？ 反之成立吗？
y l1 l2
1
α
O
α
2
x
思考2:若两条不同直线的斜率相等， 这两条直线的位置关系如何？反之 成立吗？
结论1:
当两条直线不重合时
L1// L2 直线倾斜角相等 L1// L2 k1=k2 或k1，k2都不存在
例3 已知四边形ABCD的四个顶点 分别为A（0，0），B（2，－1）， C（4，2），D（2，3），试判断四 边形ABCD的形状，并给出证明.
例4、已知A（5，-1），B（1，1）， C（2，3）三点，试判断△ABC的形 状。
例5 已知点A（m，1),B(-3，4), C（1，m),D（－1，m＋1),分别 在下列条件下求实数m的值: （1）直线AB与CD平行； （2）直线AB与CD垂直.
作业: P89练习：1. P90习题3.1 A组：8. B组：2，3，5，6.
两条直线垂直，一定是它们的斜率 乘积为－1这种情况吗？
例题讲解
例1.已知A（2，3），B（-4，0），P（-3，1）， Q（-1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系， 并证明你的结论。
Y A Q P X B
例2、已知A（-6，0），B（3，6）， P（0，3）Q（6，6），判断直线AB 与PQ的位置关系。
两条直线平行，它们的斜率相等吗？ 两条直线重合呢？
综上：k1 k2 {
l1∥l2
或l1与l2重合
探究（二）两条直线垂直的判定
当L1// L2时，有k1=k2，或k1，k2都不存 在，那么L1⊥ L2时，k1与k2满足什么 关系？
y
a
1
a
2
x
结论2:
L1 ⊥ L2
k1k2=－1
或直线L1 与 L2中有 一条斜率为零,另一条 斜率不存在