2010全国高考概率题型
2010全国高考概率题目
概率部分一选择题1、（2010辽宁理数）（3）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（A ）12 (B)512 (C)14 (D)16 2、（2010江西理数）11.一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。
方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚。
国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为1p 和2p ，则A. 1p =2pB. 1p <2pC. 1p >2p D 。
以上三种情况都有可能3、（2010安徽文数）（10）甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（A ）318 （A ）418 （A ）518 （A ）6184、（2010山东文数）(6)在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（A ）92 , 2 (B) 92 , 2.8(C) 93 , 2 (D) 93 , 2.85、（2010北京文数）⑶从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是（A ）45 (B)35 （C ）25 (D)156、（2010广东理数）8.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。
如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（ ）A 、 1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒7、（2010广东理数）7.已知随机变量X 服从正态分布N(3.1)，且(24)P X ≤≤=0.6826，则p （X>4）=（ ）A 、0.1588B 、0.1587C 、0.1586 D0.15858、（2010山东理数）（8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（A ）36种 （B ）42种 (C)48种 （D ）54种9、（2010湖北理数）4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是 A 512 B 12 C 712 D 34二填空题10、（2010上海文数）10. 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为 （结果用最简分11、（2010湖南文数）11.在区间[-1,2]上随即取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为 。
2010年高考数学真题分类汇编(老人教)考点24 随机事件概率、互斥事件有一个概率、相互独立事件概率
考点24 随机事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率1.（2010·江西高考文科·Ｔ９）有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p (01)p <<，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为( ).A ．(1)n p -B ．1n p -C ．n pD ．1(1)np -- 【命题立意】本题主要考查对立事件的概率、相互独立事件同时发生的概率．【思路点拨】直接解决问题较困难时，可考虑逆向思维，从对立面去着手。
【规范解答】选D.所有同学都不通过的概率为,)1(n p - 故至少有一位同学通过的概率为.)1(1n p --2. （2010·湖北高考理科·Ｔ4）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件,A B 中至少有一件发生的概率是( ). A.512 B.12 C.712 D.34【命题立意】本题主要考查考等可能性事件、对立事件、相互独立事，以及相互独立事件有一个发生的概率的求法，考查公式应用能力和运算求解能力．【思路点拨】由()()()P A B P A P B P AB +=+-（）以及P AB P A P B =（）（）（），算出()P A ,()P B 代入即可.或由对立事件的概率公式用1减去,A B 都不发生的概率即可.【规范解答】选C ，（方法一）用间接法考虑，事件A 、B 一个都不发生的概率为451615(()()212C P AB P A P B C =⋅=⨯=. 则事件,A B 中至少有一件发生的概率所求概率 71(12P AB =-=， 故C 正确. （方法二）11117()()()()()()()()262612P A B P A P B P AB P A P B P A P B +=+-=+-=+-⨯=., 或117()1()1(1)(12612P A B P A B +=-+=---=. 【方法技巧】相互独立事件有一个发生的概率有两种求解的方法:1．()()()P A B P A P B P AB +=+-（）()()P A P B =+-P A P B （）（）2. ()1()1()1()()P A B P A B P A B P A P B +=-+=-⋅=-3. （2010·江西高考理科·Ｔ11）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为1p 和2p ．则（ ）.A ．12p p =B ．12p p <C ．12p p >D ．以上三种情况都有可能【命题立意】本题主要考查互斥事件有一个发生的概率、对立事件的概率、相互独立事件同时发生的概率．【思路点拨】先求1p 和2p ，然后再比较大小.【规范解答】选Ｂ．101)10099(1-=p ，1052210098(1])991009899[(1-=⨯⨯-=p ，可见12p p <. 4. （2010·湖北高考理科·Ｔ6）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，… ，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001 到300在第1营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区.三个营区被抽中的人数依次为A ． 26,16,8 B. 25,17,8 C. 25,16,9 D. 24,17, 9【命题立意】本题主要考查考生对系统抽样的理解，考查等差数列的概念以及考生的运算求解能力．【思路点拨】由系统抽样的特点先算出被抽取出来的相邻两个号码的间隔，然后将被抽取出来的号码按从小到大的顺序排成一列构成一个等差数列，最后借用等差数列的通项公式计算出各个营区被抽取出来的人数。
2010年实验区高考试题分析(理科统计概率)
2010年实验区高考试题分析——以统计概率试题为例概述：转眼我省新课改试验两年过去了，即将进入高三的总复习，虽然我们对新教材的体例已经熟悉，但是如何从旧教材的阴影中过渡到新教材上来，仍然是一个值得探讨的问题，下面我们就结合实验区的考题做一个粗浅的探讨，供大家参考。
一、试题特点分析纵观近几年全国高考试题，理科统计概率试题以一大一小的方式出现。
其特点如下：1.以实际生产、生活作为命题的背景，具有较强的操作性和指导意义；2.通过统计概率结合，考查学生对数据的处理和运用数据决策的能力。
例如1（2009—宁夏、海南）某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。
（I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人；（I）考查独立事件的概率；（II）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2．表1：生产能力分组[)100,110[)110,120[)120,130[)130,140[)140,150人数 4 8 x 5 3 表2：生产能力分组[)110,120[)120,130[)130,140[)140,150人数 6 y 36 18分析：（i）先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。
就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）（通过分析数据表格，先确定x,y,完成频率分布直方图，并通过观察直方图直接回答工人中个体间的差异程度）（ii）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表。
例如2（2008·宁夏、海南）从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：甲品种：271273280285285 287292294 295301303303307 308310314319323 325325 328331334337352乙品种：284292295304306307312313 315315316318318 320322322324327 329331333336337343356由以上数据设计了如下茎叶图甲乙3 1 277 5 5 0 28 45 4 2 29 2 58 7 3 3 1 30 4 6 79 4 0 31 2 3 5 5 6 8 88 5 5 3 32 0 2 2 4 7 97 4 1 33 1 3 6 734 32 35 6根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：（答案不唯一，合理即可）①；②．二、与大纲考查规律的比较大纲版考题侧重概率计算的考查，题目大多以“摸球”、“抽取”等背景命题，解答呈现一定的模式。
2010高考全国Ⅰ数学试题与答案
2010年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修> 解读版参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式如果事件相互独立，那么其中R表示球的半径球的体积公式如果事件A在一次实验中发生的概率是，那么次独立重复实验中事件恰好发生次的概率其中R表示球的半径一、选择题(1>(A> (B>- (C> (D>1.C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识【解读】(2>设全集，集合，，则A.B.C. D.2.C 【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识【解读】，，则=(3>若变量满足约束条件则的最大值为(A>4 (B>3 (C>2 (D>13.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.【解读】画出可行域<如右图），，由图可知,当直线经过点A(1,-1>时，z最大，且最大值为.<4）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则(A>(B> 7 (C> 6 (D>A4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.mmVxZudVti【解读】由等比数列的性质知，10,所以,所以(5>的展开式的系数是(A>-6 (B>-3 (C>0 (D>35.A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.mmVxZudVti【解读】的系数是 -12+6=-6(6>直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于(A>30° (B>45°(C>60° (D>90°6.C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.【解读】延长CA到D，使得，则为平行四边形，就是异面直线与所成的角，又三角形为等边三角形，(7>已知函数.若且，，则的取值范围是(A> (B>(C> (D>7.C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=,从而错选D,这也是命题者的用苦良心之处.mmVxZudVti【解读1】因为 f(a>=f(b>,所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去>，或，所以a+b=又0<a<b,所以0<a<1<b，令由“对勾”函数的性质知函数在(0,1>上为减函数，所以f(a>>f(1>=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+∞>.mmVxZudVti【解读2】由0<a<b,且f(a>=f(b>得：，利用线性规划得：，化为求的取值范围问题，，过点时z最小为2,∴(C> mmVxZudVti<8）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠=，则A BC DA 1B 1C 1D 1O(A>2 (B>4 (C> 6 (D> 88.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.mmVxZudVti 【解读1】.由余弦定理得cos ∠P =4【解读2】由焦点三角形面积公式得：4<9）正方体-中，与平面所成角的余弦值为 <A ）<B ）<C ） <D ）9.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.mmVxZudVti 【解读1】因为BB1//DD1,所以B 与平面AC 所成角和DD1与平面AC 所成角相等,设DO⊥平面AC，由等体积法得,即.设DD1=a,mmVxZudVti则,.所以,记DD1与平面AC所成角为,则,所以.【解读2】设上下底面的中心分别为；与平面AC所成角就是B与平面AC所成角，<10）设则<A）<B） (C> (D>10.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.mmVxZudVti【解读1】 a=2=, b=In2=,而,所以a<b,c==,而,所以c<a,综上c<a<b.【解读2】a=2=,b=ln2=, ，； c=，∴c<a<b<11）已知圆的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为(A> (B> (C> (D>11.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.mmVxZudVti 【解读1】如图所示：设PA=PB=,∠APO=,则∠APB=，PO=，，===，令，则，即，由是实数，所以，，解得或.故.此时.【解读2】设，换元：，【解读3】建系：园的方程为，设，<12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为mmVxZudVti(A> (B> (C> (D>12.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.mmVxZudVti【解读】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,则有,当直径通过AB与CD的中点时,,故.mmVxZudVti第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫M黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。
概率问题例题
概率问题例一：有6个房间安排4个旅游者住宿，每人可以随意进哪一间，而且一个房间也可以住几个人求下列事件的概率：（1）事件A：指定的4个房间中各有1人；（2）事件B：恰有4个房间中各有1人；（3）事件C：指定的某个房间中有两人；（4）事件D：第1号房间有1人，第2号房间有3人（1）1/54（2）5/18（3）25/216 (4)1/324解析:4个人住进6个房间，所有可能的住房结果总数为：6*6*6*6（种）（1）指定的4个房间每间1人共有6*5*5*4=3600种不同住法（2）恰有4个房间每间1人共有种不同住法（3）指定的某个房间两个人的不同的住法总数为：6*5*5（种），（4）第一号房间1人，第二号房间3人的不同住法总数为：4（种），P（D）=4/1296=1/324例二：假设订一份报纸，送报人可能在6间在早上7:30至7:30把报纸送到家里，父亲离开家去工作间在早上7:30--8:00例三：一个圆周上任取3个点,求三点构成的三角形为锐角三角形的概率是多少。
【解析】就是把圆割成三段弧,每段弧长<兀因为三角形的三内角对应的就是弧的圆周角嘛设每段弧长分别为x,y,z有x+y+z=2兀且0<x<兀0<y<兀0<z<兀三维的线性规划中,x+y+z=2兀是个面就是以(0,0,2兀) (2兀,0,0) (0,2兀,0)为顶点的三角形状的一个面,其中0<x<兀, 0<y<兀,0<z<兀去截,应该是一个正三角形里再一个倒的小正三角形(就是把中位线都连好)所以小的面积除以大的面积就是概率,0.25一、特殊元素和特殊位置优先策略【例1】某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（A）36种（B）42种（C）48种（D）54种分析：甲、乙、丙有特殊要求，可以优先考虑。
2010年高考试题分类考点28 随机事件的概率、古典概型、几何概型
考点28 随机事件的概率、古典概型、几何概型1.（2010·辽宁高考理科·Ｔ3）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34， 两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ） （A ）12 (B)512 (C)14 (D)16【命题立意】本题考查独立事件同时发生的概率. 【思路点拨】恰有一个一等品，包含两类情况. 【规范解答】选B.所求概率为21135343412⨯+⨯＝. 【方法技巧】1.要准确理解恰有一个的含义.2.事件A ，B 相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)3.本题也可用对立事件的概率来解决.所求概率p=231151343412p =-⨯-⨯=.2.（2010·北京高考文科·Ｔ3）从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是（ ） （A ）45 (B)35 （C ）25(D)15 【命题立意】本题考查古典概型，熟练掌握求古典概型概率的常用方法是解决本题的关键.【思路点拨】先求出基本事件空间包含的基本事件总数n ，再求出事件“b a >”包含的基本事件数m ， 从而()mP A n=. 【规范解答】选D.{(,)|{1,2,3,4,5},{1,2,3}}a b a b Ω=∈∈，包含的基本事件总数15n =.事件“b a >”为{(1,2),(1,3),(2,3)}，包含的基本事件数为3m =.其概率31155P ==. 【方法技巧】列古典概型的基本事件空间常用的方法有：（1）列举法；（2）坐标网格法；（3）树状图等. 3.（2010·湖南高考文科·Ｔ11）在区间[-1,2]上随即取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为 . 【命题立意】以非常简单的区间立意，运算不复杂，但能切中考查几何概型的要害. 【思路点拨】一元几何概型→长度之比.【规范解答】[-1，2]的长度为3，[0,1]的长度为1，所以概率是31. 【方法技巧】一元几何概型→长度之比，二元几何概型→面积之比，三元几何概型→体积之比. 4．（2010·福建高考理科·Ｔ13）某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 .【命题立意】本题主要考查相互独立事件同时发生的概率的求解.【思路点拨】 分析题意可得：该选手第一个问题可以答对也可以答错，第二个问题一定回答错误，第三、四个问题一定答对，进而求解“相互独立事件同时发生的概率”.【规范解答】依题意得：该选手第一个问题可以答对也可以答错，第二个问题一定回答错误，第三、四个问题一定答对，所以其概率P 10.20.80.80.128=⨯⨯⨯=.【答案】0.1285. （2010·天津高考理科·Ｔ１1）甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 和 .【命题立意】本题考查了统计中的平均数、茎叶图的基础知识，考查了学生的识图能力. 【思路点拨】计算10个数的平均数. 【规范解答】选甲日加工零件的平均数为：1240(18192022232120353131)241010⨯+++++++++==，同理可得乙日加工零件的平均数为23. 【答案】24 236.（2010·安徽高考理科·Ｔ15）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以12,A A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）.①()25P B =； ②()15|11P B A =；③事件B 与事件1A 相互独立； ④123,,A A A 是两两互斥的事件；⑤()P B 的值不能确定，因为它与123,,A A A 中哪一个发生有关.【命题立意】本题主要考查概率的综合问题，考查考生对事件关系的理解和条件概率的认知水平． 【思路点拨】根据事件互斥、事件相互独立的概念，条件概率及把事件B 的概率转化为()()()123()P B P A B P A B P A B =++ 可辨析此题.【规范解答】显然123,,A A A 是两两互斥的事件， 有()15|11P B A =，()24|11P B A =，()34|11P B A =， 而()()()123()P B P A B P A B P A B =++112233()(|)()(|)()(|)P A P B A P A P B A P A P B A =++552434910111011101122=⨯+⨯+⨯=， 且()1522P A B = ，()()1599102244P A P B =⨯=，有()1P A B ≠()()1P A P B . 可以判定②④正确，而①③⑤错误. 【答案】②④7. （2010·辽宁高考文科·Ｔ13）三张卡片上分别写上字母E ，E,B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为 .【命题立意】本题考查了古典概型，考查了计数原理，和排列组合. 【思路点拨】【规范解答】将三张卡片排成一行，共有33A ⨯⨯＝321＝6(种) 可能的结果，恰好排成英文单词BEE 的可能结果有1212⨯⨯＝（种）.所以所求概率为p=2163＝. 【答案】138. （2010·江苏高考·Ｔ3）盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，则它们颜色不同的概率是_ __.【命题立意】本题考查古典概型的概率求法.【思路点拨】先求出从盒子中随机地摸出两只球的所有方法数，再求出所摸两只球颜色不同的方法数，最后代入公式计算即可.【规范解答】从盒子中随机地摸出两只球，共有246C =种情况，而摸两只球颜色不同的种数为133C =种情况，故所求的概率为31.62p == 【答案】129. （2010·浙江高考文科·Ｔ17）在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P ，Q ，M ，N 分别是线段OA ，OB ，OC ，OD 的中点，在A ，P ，M ，C 中任取一点记为E ，在B ，Q ，N ，D 中任取一点记为F ，设G为满足向量OG OE OF =+的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率为 .【命题立意】本题主要考查了平面向量与古典概型的综合运用，属中档题. 【思路点拨】利用向量加法的平行四边形法则逐个验证是否在四边形ABCD 外.【规范解答】由题意知，G 点共有16种取法，而只有E 为P 、M 中一点，F 为Q 、N 中一点时，落在平行四边形内（含边界），故符合要求的G 只有4个，因此概率为43. 【答案】43 【方法技巧】（1）求古典概型的概率一般先求出基本事件空间所包含的基本事件总数n ，再求出事件A 所包含的基本事件数m ，其概率为()mP A n=.（2）求向量加法时如果两个向量同一起点那么用平行四边形法则，如果首尾相连一般用三角形法则. 10．（2010·湖南高考理科·Ｔ4）在区间上随机取一个数x ，则的概率为【命题立意】以非常简单的区间和不等式的解集立意，运算不复杂，但能切中考查几何概型的要害. 【思路点拨】一元几何概型→长度之比.【规范解答】[-1，2]的长度为3，|x|≤1的解集为[-1,1]的长度为2，所以概率是32. 【答案】32 【方法技巧】一元几何概型→长度之比，二元几何概型→面积之比，三元几何概型→体积之比. 11.（2010·山东高考文科·Ｔ１9）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别 为1，2，3，4.（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率.（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球， 该球的编号为n ，求2n m <+的概率.【命题立意】本小题主要考查古典概型、对立事件的概率计算，考查考生分析问题、解决问题的能力. 【思路点拨】采用列举法列出一切可能的结果组成的基本事件，再根据古典概型的概率公式进行计算， 第（2）问可利用对立事件的概率计算.B【规范解答】（1）从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个.从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2，1和3两个. 因此所求事件的概率2163P ==. （2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(),m n 有()1,1()1,2()1,3()1,4()2,1()2,2()2,3()2,4()3,1()3,2()3,3()3,4()4,1()4,2()4,3()4,4共16个,又满足2m n +≤的事件的概率为1316P =. 故满足2n m <+的事件的概率为1313111616P -=-=. 12. （2010·安徽高考文科·Ｔ10）甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（ ） （A ）318 （B ）418 （C ）518 （D ）618【命题立意】本题主要考查古典概型的概率问题，考查考生分析问题的能力.【规范解答】选C ，正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个等可能的基本事件.两条直线相互垂直的情况有5种（4组邻边和对角线），包括10个基本事件，所以概率等于518. 【方法技巧】对于古典概型的概率问题，关键是明确试验的基本事件数，然后明确所求事件包含的基本事件数，进而求解概率.13. （2010·福建高考文科·Ｔ１8）设平面向量m a ＝ （ m , 1）, n b= ( 2 , n )，其中 m ， n ∈{1,2,3,4}.（I ）请列出有序数组（ m ，n ）的所有可能结果；（II ）记“使得m a ⊥（m a -n b）成立的（ m ，n ）”为事件A ，求事件A 发生的概率.【命题立意】本题考查概率、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，应用意识，考查化归转化思想、或然与必然思想.【思路点拨】第一步用枚举法写出数组的所有可能；第二步用向量的内积得到m ，n 的关系式，进而得到事件A 包含的基本事件，利用古典概型公式即可求. 【规范解答】( I ) 有序数组(),m n 的所有可能结果为：()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,()()()()4,1,4,2,4,3,4,4,共16个；（II ）由()m m m a a b ⊥-得2210m m n -+-=，即故事件A 所包含的基本事件为()()2,1,3,4，共两个.有基本事件的总数为16，故所求的概率21168P ==. 【方法技巧】有关概率统计的问题，越来越常见利用枚举法的求解方法，枚举时一定要考虑全面，漏解是最常见的错误，如本题要求的是有序的数组（m ，n ），坐标的位置是有序的，如（1,2）和（2,1）是不同的情况，不要当成同一种.因为这部分内容与实际生活联系比较大，随着新课改的深入，高考将越来越重视这部分的内容，试题的难度为中等或中等偏易. 14.（2010·天津高考文科·Ｔ18）有编号为1A ,2A ,…，10A 的10个零件，测量其直径（单位：cm ），得到下面数据：其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品.（Ⅰ）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； （Ⅱ）从一等品零件中，随机抽取2个.（ⅰ）用零件的编号列出所有可能的抽取结果； （ⅱ）求这2个零件直径相等的概率.【命题立意】本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力.【思路点拨】利用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.【规范解答】（Ⅰ）由所给数据可知，一等品零件共有6个.设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A ，则P （A ）=610=35. （Ⅱ）（i ）一等品零件的编号为123456,,,,,A A A A A A .从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的所以P(B) =62155=.15. （2010·湖南高考文科·Ｔ17）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）(1)求x,y ;(2)若从高校B ，C 抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C 的概率. 【命题立意】以实际生活为背景，考查抽取样本的认识，进而考查求事件的概率.【思路点拨】分层抽样也叫做按比例抽样.求事件的概率关键是弄明白基本事件以及目标事件包多少个基本事件.【规范解答】 (1) 由题意可得,5436218yx ==,所以.3,1==y x (2) 记从高校B 抽取的2人为b 1,b 2,从高校C 中抽取的3人为c 1 ,c 2 ,c 3 ,则从高校B,C 抽取的5人中选2人做专题发言的基本事件有 (b 1,b 2)(b 1,c 1)(b 1,c 2)(b 1,c 3)(b 2,c 1) (b 2,c 2)(b 2,c 3)(c 1,c 2)(c 1,c 3)(c 2,c 3)共10种.设选中的2人都来自高校C 的事件为X ，则X 包含的基本事件有(c 1,c 2)(c 1,c 3)(c 2,c 3)共3种.因此P(X)=103. 故选中的2人都来自高校C 的概率是103. 【方法技巧】1、分层抽样的依据是：比=样本容量/总体，再用比去乘以每一层的个体数，即可得到这层要取的个体数.2、概率问题的解题步骤：首先思考实验的个数、实验关系和实验结果，然后思考目标事件如何用基本事件表示出来，最后利用互斥事件进行运算.16．（2010·湖南高考理科·Ｔ4）如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图（1）求直方图中x 的值.（2）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列和数学期望.【命题立意】以实际生活为背景，考查频率分布直方图的认识，进而考查分布列和期望等统计知识. 【思路点拨】频率分布直方图→矩形的面积表示频率反映概率；随机抽取3位居民（看作有放回的抽样）是三个独立重复实验→计算概率时遵循贝努力概型.【规范解答】（1）依题意及频率分布直方图知，0.02+0.1+x+0.37+0.39=1,解得x=0.12. （2）由题意知，X ～B(3，0.1). 因此P(x=0)=,729.09.0330=⨯C P(X=1)=,243.09.01.0231=⨯⨯CP(X=2)=,027.09.01.0232=⨯⨯CP(X=3)=.001.01.0333=⨯C故随机变量X 的分布列为X 的数学期望为EX=3×0.1=0.3.【方法技巧】1.统计的常用图：条形图，径叶图；直方图，折线图等.要学会识图.2.概率问题的解题步骤：首先思考实验的个数、实验关系和实验结果，然后思考目标时间如何用基本事件表示出来，最后利用互斥事件进行运算.3.在求期望和方差时注意使用公式.。
【导与练】2010-2012年高考数学 试题汇编 第一节随机事件及其概率 文(含解析)
第一节随机事件及其概率随机事件的概率考向聚焦高考对随机事件概率的考查较少单独命题,一般与古典概型等结合在一起,单独命题时重点考查随机事件概率的意义及简单应用,主要以选择题、填空题的形式出现,试题难度不大,5分左右备考指津要获得随机事件发生的概率,最直接的方法就是试验,通过试验和观察的方法就可以用频率估计其发生的概率,但这种方法耗时多且得到的仅仅是概率的近似值,如果遇到试验的每一个结果发生的可能性相同,那么就可利用随机事件的概率公式求概率1.(2011年某某卷,5)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概率是.解析:从1,2,3,4中任取两个数,共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)6个基本事件;其中一个数是另一个数两倍的有(1,2),(2,4)共2个基本事件,因此所求概率为=.答案:互斥事件与对立事件的概率考向聚焦高考对互斥事件、对立事件概率的考查往往与古典概型、几何概型等其他概率内容的考查综合在一起,重点考查互斥事件概率加法公式以及对立事件概率的应用,试题难度中、低档,以选择题、填空题的形式出现,分值保持在4~5分备考指津明确事件类型及其相互关系,针对不同类型的事件灵活地选择相应的方法和公式是解决概率问题的关键,树状图、枚举法是解决概率问题的有效辅助手段,分类讨论、正难则反、转化化归是解决问题常用的思想方法2.(2012年某某卷,文17,12分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件以上顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间(分钟/人)1 1.52 2.5 3已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%;(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)解:(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为=1.9(分钟).(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,A1,A2,A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率得P(A1)==,P(A2)==,P(A3)==.因为A=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3是互斥事件,所以P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.3.(2011年某某卷,文20)如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:所用时间(分钟) 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 选择L1的人数 6 12 18 12 12选择L2的人数0 4 16 16 4(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.解:(1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人,∴用频率估计相应的概率约为0.44.(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人.故由调查结果得频率为:所用时间(分钟) 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60选择L1的频率0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 选择L2的频率0 0.1 0.4 0.4 0.1(3)设A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)>P(A2),∴甲应选择L1;P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8.P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B1)<P(B2).∴乙应选择L2.4.(2010年某某卷,文19)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率;(2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为n,求n<m+2的概率.解:(1)从袋中随机取两个球,其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4,共6个.从袋中取的球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3,共2个.因此所求事件的概率P==.(2)先从袋中随机取一个球,记下编号为m,放回后再从袋中随机取一个球,记下编号为n,其一切可能的结果(m,n)共有16种:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),满足条件n≥m+2的事件为(1,3),(1,4),(2,4)共3种.所以满足条件n≥m+2的事件的概率为P1=.故满足条件n<m+2的事件的概率为P2=1-P1=.(2011年某某卷,文18)某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位:毫米)有关.据统计,当X=70时,Y=460;X每增加10,Y 增加5.已知近20年X的值为:140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,1 60.(1)完成如下的频率分布表:近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70 110 140 160 200 220 频率(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率. 难题特色:本题将概率、统计与函数综合在一起命题.难点突破:利用待定系数法求出Y对X的函数关系式,借助解析式将Y的取值X围转化为X 的取值X围,由概率加法公式求得概率.解:(1)在所给数据中,降雨量为110毫米的有3个,为160毫米的有7个,为200毫米的有3个,故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70 110 140 160 200 220 频率(2)由题意知Y是X的一次函数,且X=70时,Y=460,X=80时,Y=465.设Y=kX+b,则,∴,∴Y=X+425.由Y<490得X+425<490,∴X<130.由Y>530得X+425>530,∴X>210.∴P(发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时)=P(Y<490或Y>530)=P(X<130或X>210)=P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)=++=.∴今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为.。
2010年高考数学试题(大纲课程卷)分类解析(五)——复数、计数原理、概率与统计
及组合数 的两个性质 ．２ １ ０ ０年排列 组合应用题 的题型仍然是 围 绕着基本类型在考查．在题 目的解答过程 中蕴含着化归思想 、分
类 思想 和模 型化 思想方 法等 ，注 意运用 发散 思维 、逆 向思 维 ，
在 ２ １ 的高考 大纲试 卷 中 ，复数 是 理科 必考 的 内容之 通过分类 、分步把 复杂 问题分 解 ，以及 运用集合 观点 、整体思 ００年
２ １ 高考数学 大纲试卷对 排列 、组合 、二项式定理 的考 ００年
查全面 ，题小 而灵活 ，以选择题和填 空题为主 ，有 的题 目较难 ， 且蕴含丰富的数学思想 ，如分类讨 论 、化归 等 ，在高考试卷 中
本专 题 的内容在高考 中一 般以容易 题和 中等难度题 出现 ， 分值所 占比例超过所 占总课 时的 比例 ，原 因是排 列、组合知识
等可 能性事件 、互 斥事件 、相互独立 事件概 率 的计算 ｌ ２
可能事件 的概 率计 算公式 ，互斥事 件的概率加法公式 ，对立事 件 的概率减法公式 ，相互 独立事件 的概率乘 法公式 ，事 件在 ｎ
次独立重 复试验 中恰好发生 ｋ次 的概率 计算公式等五个基 本公
收稿日期 ：２ １ － ８ ２ ０ ０－ — ０ ０
复数
复数 的几何意义
复数 的性质 两个计数原理以及分类讨论的数学思想
应用排列组合知识求排列或组合问题
５
５ ５
５ ５
５
的难度为 中等或中等偏易． 概率统计试题在试卷中的位置一般位
于试卷 的第 １ 题和第 ｌ 题 的位置 ，只有全 国卷 Ⅱ在第 ２ ７ ８ ０题的
位置 ，由此可以看 出，试题 的难度 由易向中等难度靠近．
2010年4月概率论与数理统计试题和参考答案解析
概率论与数理统计（经管类）真题试卷及答案全国2010年4月高等教育自学考试、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未 选均无分。
1. 设A 与B 是任意两个互不相容事件，则下列结论中正确的是( D )A . P(A)=1-P(B)B . P(A-B)=P(B) C. P(AB)=P(A)P(B)D . P(A-B)=P(A)2. 设A, B 为两个随机事件，且 B A,P(B) .0,则P(A|B)= ( A )A . 1C . P(B)3 . 下列函数中可作为随机变量分布函数的是（^1 0兰x 兰1;A . F1(X)= * 0,1其他.10,x c0; C . F 3（X ）x, 0 Wx £1；1,x ^1.4 .设离散型随机变量 X 的分布律为XB . P(A) D . P(AB)C )"-1,xc0;B . F 2(x)詔 x, 0 兰 xc1;1,xZ1. 0, 0：：:0;D . F 4 (x) = x, 0 込 x ：：:1;2,x _1.，贝U P{-1<X w 1}=-10 12A . 0.3 D . 0.75.设二维随机变量（X , Y ）的分布律为 且X 与Y 相互独立，则下列结论正确的是（B . 0.4C . 0.6B . a=-0.1 , b=0.9 D . a=0.6, b=0.2A. a=0.2, b=0.6 C . a=0.4, b=0.4'16.设二维随机变量(X, Y)的概率密度为f(x, y)=」4‘I 0,则 P{0<X<1 , 1 '4 3 4A . 5B . 7C . 11D . 139 . 设(X, Y)为二维随机变量，且 D (X)>0 , D (Y)>0 ,则下列等式成立的是(B)A . E(XY)二E(X) E(Y)B . Cov(X,Y) = 'XY D(X) , D(Y)C . D(X Y) =D(X) D(Y)D . Cov(2X,2Y) =2Cov(X,Y)10•设总体X 服从正态分布 N(〜二2),其中二2未知.X 1, X 2,…，X n 为来自该总体的样本, 本标准差，欲检验假设 H °:」=」0, H 1：0,则检验统计量为.n x 」0C.•. n -1(x - ‘0)、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。
全国2010年1月《概率论与数理统计{经管）》试题
全国2010年1⽉⾼等教育⾃学考试概率论与数理统计（经管类）试题课程代码：04183⼀、单项选择题（本⼤题共10⼩题，每⼩题2分，共20分）在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均⽆分。
1.若A与B互为对⽴事件，则下式成⽴的是（ ）A.P（A B）=B.P（AB）=P（A）P（B）C.P（A）=1-P（B）D.P（AB）=2.将⼀枚均匀的硬币抛掷三次，恰有⼀次出现正⾯的概率为（ ）A. B.C. D.3.设A，B为两事件，已知P（A）= ，P（A|B）= ，，则P（B）=（ ）A. B.C. D.4.设随机变量X的概率分布为（ ）X123P0.20.3k0.1则k=A.0.1B.0.2C.0.3D.0.45.设随机变量X的概率密度为f(x)，且f(-x)=f(x),F(x)是X的分布函数，则对任意的实数a，有（ ）A.F(-a)=1-B.F(-a)=C.F(-a)=F(a)D.F(-a)=2F(a)-16.设⼆维随机变量（X，Y）的分布律为YX1212则P{XY=0}=（ ）A. B.C. D.7.设随机变量X，Y相互独⽴，且X~N（2，1），Y~N（1，1），则（ ）A.P{X-Y≤1}=B. P{X-Y≤0}=C. P{X+Y≤1}=D. P{X+Y≤0}=8.设随机变量X具有分布P{X=k}= ,k=1，2，3，4，5，则E（X）=（ ）A.2B.3C.4D.59.设x1，x2，…，x5是来⾃正态总体N（）的样本，其样本均值和样本⽅差分别为和，则服从（ ）A.t(4)B.t(5)C. D.10.设总体X~N（），未知，x1，x2，…，xn为样本，，检验假设H0∶ = 时采⽤的统计量是（ ）A. B.C. D.⼆、填空题（本⼤题共15⼩题，每⼩题2分，共30分）请在每⼩题的空格中填上正确答案。
错填、不填均⽆分。
11.设P（A）=0.4,P（B）=0.3,P（A B）=0.4，则P（）=___________.12.设A，B相互独⽴且都不发⽣的概率为，⼜A发⽣⽽B不发⽣的概率与B发⽣⽽A不发⽣的概率相等，则P（A）=___________.13.设随机变量X~B（1，0.8）（⼆项分布），则X的分布函数为___________.14.设随机变量X的概率密度为f(x)= 则常数c=___________.15.若随机变量X服从均值为2，⽅差为的正态分布，且P{2≤X≤4}=0.3, 则P{X≤0}=___________.16.设随机变量X，Y相互独⽴，且P{X≤1}= ，P{Y≤1}= ，则P{X≤1,Y≤1}=___________.17.设随机变量X和Y的联合密度为f(x,y)= 则P{X>1,Y>1}=___________.18.设⼆维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)= 则Y的边缘概率密度为___________.19.设随机变量X服从正态分布N（2，4），Y服从均匀分布U（3，5），则E（2X-3Y）= __________.20.设为n次独⽴重复试验中事件A发⽣的次数，p是事件A在每次试验中发⽣的概率，则对任意的 =___________.21.设随机变量X~N（0，1），Y~（0，22）相互独⽴，设Z=X2+ Y2，则当C=___________时，Z~ .22.设总体X服从区间（0，）上的均匀分布，x1，x2，…，xn是来⾃总体X的样本，为样本均值，为未知参数，则的矩估计= ___________.23.在假设检验中，在原假设H0不成⽴的情况下，样本值未落⼊拒绝域W，从⽽接受H0，称这种错误为第___________类错误.24.设两个正态总体X~N（）,Y~N( ),其中未知，检验H0：，H1：，分别从X，Y两个总体中取出9个和16个样本，其中，计算得 =572.3, ,样本⽅差，，则t检验中统计量t=___________（要求计算出具体数值）.25.已知⼀元线性回归⽅程为 ,且 =2, =6，则 =___________.三、计算题（本⼤题共2⼩题，每⼩题8分，共16分）26.飞机在⾬天晚点的概率为0.8，在晴天晚点的概率为0.2，天⽓预报称明天有⾬的概率为0.4，试求明天飞机晚点的概率. 27．已知D(X)=9, D(Y)=4,相关系数，求D（X+2Y），D（2X-3Y）.四、综合题（本⼤题共2⼩题，每⼩题12分，共24分）28. 设某种晶体管的寿命X（以⼩时计）的概率密度为f(x)=（1）若⼀个晶体管在使⽤150⼩时后仍完好，那么该晶体管使⽤时间不到200⼩时的概率是多少？（2）若⼀个电⼦仪器中装有3个独⽴⼯作的这种晶体管，在使⽤150⼩时内恰有⼀个晶体管损坏的概率是多少？29.某柜台做顾客调查，设每⼩时到达柜台的顾额数X服从泊松分布，则X~P（），若已知P（X=1）=P（X=2），且该柜台销售情况Y（千元），满⾜Y= X2+2.试求：（1）参数的值；（2）⼀⼩时内⾄少有⼀个顾客光临的概率；（3）该柜台每⼩时的平均销售情况E（Y）.五、应⽤题（本⼤题共1⼩题，10分）30.某⽣产车间随机抽取9件同型号的产品进⾏直径测量，得到结果如下：21.54, 21.63, 21.62, 21.96, 21.42, 21.57, 21.63, 21.55, 21.48根据长期经验，该产品的直径服从正态分布N（，0.92），试求出该产品的直径的置信度为0.95的置信区间.( 0.025=1.96, 0.05=1.645)(精确到⼩数点后三位)。
十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题14概率统计理(含解析)
专题14概率统计历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019 概率2019年新课标1理科06单选题2018 统计2018年新课标1理科03单选题2018 概率2018年新课标1理科10单选题2017 概率2017年新课标1理科02单选题2016 概率2016年新课标1理科04单选题2015 概率2015年新课标1理科04单选题2014 概率2014年新课标1理科05单选题2013 统计2013年新课标1理科03单选题2011 概率2011年新课标1理科04单选题2010 概率2010年新课标1理科06填空题2019 概率2019年新课标1理科15填空题2012 概率2012年新课标1理科15解答题2019 概率统计综合题2019年新课标1理科21解答题2018 概率统计综合题2018年新课标1理科20解答题2017 概率统计综合题2017年新课标1理科19解答题2016 概率统计综合题2016年新课标1理科19解答题2015 概率统计综合题2015年新课标1理科19解答题2014 概率统计综合题2014年新课标1理科18解答题2013 概率统计综合题2013年新课标1理科19解答题2012 概率统计综合题2012年新课标1理科18解答题2011 概率统计综合题2011年新课标1理科19解答题2010 概率统计综合题2010年新课标1理科19历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科06】我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数n＝26＝64，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m20，则该重卦恰有3个阳爻的概率p．故选：A．2．【2018年新课标1理科03】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【解答】解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．A项，种植收入37%×2a﹣60%a＝14%a＞0，故建设后，种植收入增加，故A项错误．B项，建设后，其他收入为5%×2a＝10%a，建设前，其他收入为4%a，故10%a÷4%a＝2.5＞2，故B项正确．C项，建设后，养殖收入为30%×2a＝60%a，建设前，养殖收入为30%a，故60%a÷30%a＝2，故C项正确．D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为（30%+28%）×2a＝58%×2a，经济收入为2a，故（58%×2a）÷2a＝58%＞50%，故D项正确．因为是选择不正确的一项，故选：A．3．【2018年新课标1理科10】如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）A．p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2+p3【解答】解：如图：设BC＝2r1，AB＝2r2，AC＝2r3，∴r12＝r22+r32，∴SⅠ4r2r3＝2r2r3，SⅢπr12﹣2r2r3，SⅡπr32πr22﹣SⅢπr32πr22πr12+2r2r3＝2r2r3，∴SⅠ＝SⅡ，∴P1＝P2，故选：A．。
2010年-2016年全国卷数学高考试题—概率统计
2010年-2016年全国卷数学高考试题—概率统计 2010年（14）设函数()y f x =为区间(]0,1上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有()01f x ≤≤，可以用随机模拟方法计算由曲线()y f x =及直线0x =，1x =，0y =所围成部分的面积，先产生两组i 每组N 个，区间(]0,1上的均匀随机数1, 2.....n x x x 和1, 2.....n y y y ，由此得到N 个点），，）（（N 321i , =i i y x 。
再数出其中满足)3,2,1)(N i x f y i i =≤（的点数1N ，那么由随机模拟方法可得S 的近似值为___________（19）（本小题满分12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；（Ⅱ）能否有99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。
附：＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )K 26．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A ．13 B ．12C ．23D ．3419．（本小题满分12分） 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：（I ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润．3、在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为 （A ）－1 （B ）0 （C ）12 （D ）118.（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。
2010年高考真题分类汇编(新课标)考点28 随机事件的概率、古典概型、几何概型
2010年高考真题分类汇编（新课标）考点28 随机事件的概率、古典概型、几何概型1.（2010·辽宁高考理科·Ｔ3）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）（A ）12 (B)512 (C)14 (D)16【命题立意】本题考查独立事件同时发生的概率， 【思路点拨】恰有一个一等品，包含两类情况， 【规范解答】选B.所求概率为21135343412⨯+⨯＝。
【方法技巧】1、要准确理解恰有一个产含义，2、事件A 、B 相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)3、本题也可用对立事件的概率来解决。
所求概率p=1-231151343412p =-⨯-⨯=.2.（2010·北京高考文科·Ｔ3）从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是（ ） （A ）45 (B)35 （C ）25(D)15 【命题立意】本题考查古典概型，熟练掌握求古典概型概率的常用方法是解决本题的关键。
【思路点拨】先求出基本事件空间包含的基本事件总数n ，再求出事件“b a >”包含的基本事件数m ，从而()mP A n=。
【规范解答】选D 。
{(,)|{1,2,3,4,5},{1,2,3}}a b a b Ω=∈∈，包含的基本事件总数15n =。
事件“b a >”为{(1,2),(1,3),(2,3)}，包含的基本事件数为3m =。
其概率31155P ==。
【方法技巧】列古典概型的基本事件空间常用的方法有：（1）列举法；（2）坐标网格法；（3）树图等。
3.（2010·湖南高考文科·Ｔ11）在区间[-1,2]上随即取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为 。
【命题立意】以非常简单的区间立意，运算不复杂，但能切中考查几何概型的要害。
2010年高考数学试题分类汇编——概率与统计
2010年高考数学试题分类汇编-—概率与统计（理科）（2010浙江理数）19。
（本题满分l4分)如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A或B或C。
已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A,B,C，则分别设为l，2，3等奖．(I）已知获得l，2，3等奖的折扣率分别为50%,70%，90％．记随变量ξ为获得k（k=1,2，3)等奖的折扣率,求随机变量ξ的分布列及期望ξE；（II）若有3人次（投入l球为l人次)参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求)2(=ηP．（2010全国卷2理数）(20）（本小题满分12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1,T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p,电流能通过T4的概率是0。
9．电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0。
999．（Ⅰ）求p；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率；（Ⅲ）ξ表示T1，T2，T3,T4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．（2010辽宁理数)（18)（本小题满分12分）为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验,将这200只家兔随机地分成两组,每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.(Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只,求甲、乙分在不同组的概率；（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果。
（疱疹面积单位:mm2）表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表（ⅰ）完成下面频率分布直方图,并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小;（ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.表3:（2010江西理数）18。
（本小题满分12分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫;若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。
十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题14 概率与统计(含答案)
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题14概率与统计1.(2019·全国1·理T6)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,右图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A.516B.1132C.2132D.11162.(2019·全国2·文T4)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为( )A.23B.35C.25D.153.(2019·全国3·文T3)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是( )4.(2019·全国1·文T6)某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是( )A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生5.(2019·全国2·理T5)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是( )A.中位数B.平均数C.方差D.极差6.(2018·全国2·理T8)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( )A.112B.114C.115D.1187.(2018·全国2·文T5)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为( )A.0.6B.0.5C.0.4D.0.38.(2018·全国1·理T10)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则( )A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p39.(2018·江苏·T3)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为.10.(2018·全国1·理T3文T3)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是( )A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半11.(2018·浙江·T7)设0<p<1,随机变量ξ的分布列是则当p在(0,1)内增大时,( )A.D(ξ)减小B.D(ξ)增大C.D(ξ)先减小后增大D.D(ξ)先增大后减小12.(2018·全国3·理T8)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=( )A.0.7B.0.6C.0.4D.0.313.(2018·全国3·文T5)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( )A.0.3B.0.4C.0.6D.0.714.(2017·全国3·理T3文T3)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是( )A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳15.(2017·山东·文T8)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为( )A.3,5B.5,5C.3,7D.5,716.(2017·全国1·理T2文T4)如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( ) A .14 B .π8C .12D .π417.(2017·全国2·文T11)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A .110B .15C .310D .2518.(2017·天津·文T3)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫,从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( ) A.45B.35C.25D.1519.(2017·山东·理T5)为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系,设其回归 直线方程为y ^=b ^x+a ^.已知∑i=110x i =225,∑i=110y i =1 600,b ^=4,该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为( ) A.160B.163C.166D.17020.(2016·全国1·文T3)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A.13B.12C.23D.5621.(2016·全国3·文T5)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N 中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( ) A.815B.18C.115D.13022.(2016·北京·文T6)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为( )A.15B.25C.825D.92523.(2016·全国1·理T4)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.3424.(2016·全国2·理T10)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nm B.2nmC.4mn D.2mn25.(2016·山东·理T3文T3)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )A.56B.60C.120D.14026.(2016·全国2·文T8)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.710B.58C.38D.31027.(2016·全国3·理T4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是( )A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个28.(2015·全国2·理T3文T3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关29.(2015·陕西·理T2文T2)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为( )A.93B.123C.137D.16730.(2015·北京·理T8)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油31.(2015·湖北·理T2)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( ) A.134石 B.169石C.338石D.1 365石32.(2015·陕西·理T11)设复数z=(x-1)+yi(x,y ∈R),若|z|≤1,则y ≥x 的概率为( ) A.34+12π B.12+1πC.12−1πD.14−12π33.(2015·山东·文T7)在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“-1≤lo g 12(x +12)≤1”发生的概率为( ) A.34B.23C.13D.1434.(2015·福建·文T8)如图,矩形ABCD 中,点A 在x 轴上,点B 的坐标为(1,0),且点C 与点D 在函数f(x)={x +1,x ≥0,-12x +1,x <0的图象上.若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14C.38D.1235.(2015·湖北·文T4)已知变量x 和y 满足关系y=-0.1x+1,变量y 与z 正相关.下列结论中正确的是( ) A.x 与y 负相关,x 与z 负相关 B.x 与y 正相关,x 与z 正相关 C.x 与y 正相关,x 与z 负相关 D.x 与y 负相关,x 与z 正相关36.(2015·湖北·文T8)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p 1为事件“x+y ≤12”的概率,p 2为事件“xy ≤12”的概率,则( ) A.p 1<p 2<12 B.p 1<12<p 2 C.p 2<12<p 1D.12<p 2<p 137.(2015·全国1·文T4)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( ) A .310B .15C .110D .12038.(2015·广东·文T7)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为( )A.0.4B.0.6C.0.8D.139.(2015·湖南·文T2)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是( ) A.3 B.4 C.5 D.640.(2015·北京·文T4)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为( )类 别 人 数 老年教师900A.90B.100C.180D.30041.(2015·安徽·理T6)若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差为( )A.8B.15C.16D.3242.(2015·全国1·理T4)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( )A.0.648B.0.432C.0.36D.0.31243.(2015·湖北·理T4)设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),这两个正态分布密度曲线如图所示,下列结论中正确的是( )A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)44.(2015·山东·理T8)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%45.(2014·陕西·文T9)某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2,…,x10,其均值和方差分别为x和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )A.x,s2+1002B.x+100,s2+1002C.x,s2D.x+100,s246.(2014·重庆·文T3)某中学有高中生3 500人,初中生1 500人.为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为( )A.100B.150C.200D.25047.(2014·湖南·文T3)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则( )A.p1=p2<p3B.p2=p3<p1C.p1=p3<p2D.p1=p2=p348.(2014·广东·文T6)为了解1 000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为( )A.50B.40C.25D.2049.(2014·全国1·理T5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.38C.58D.7850.(2014·陕西·文T6)从正方形4个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )A.15B.25C.35D.4551.(2014·湖南·文T5)在区间[-2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为( )A.45B.35C.25D.1552.(2014·辽宁·文T6)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4C.π6D.π853.(2014·全国2·理T5)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A.0.8B.0.75C.0.6D.0.4554.(2013·陕西·理T5)如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无．信号的概率是( )A .1-π4B .π2-1C .2-π2D .π455.(2013·四川·理T9)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 ( ) A.14B.12C.34D.7856.(2013·湖南·文T9)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ,使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12,则ADAB =( ) A.12B.14C.√32D.√7457.(2013·全国1·文T3)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ) A .12B .13C .14D .1658.(2013·全国1·理T3)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( ) A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样D.系统抽样59.(2013·江西·理T4文T5)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )A.08B.07C.02D.0160.(2013·陕西·理T4)某单位有840名职工,现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为( ) A.11B.12C.13D.1461.(2012·山东·理T4)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查.为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间[451,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C.则抽到的人中,做问卷B 的人数为 ( ) A.7 B.9 C.10D.1562.(2012·北京·理T2)设不等式组{0≤x ≤2,0≤y ≤2表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ) A.π4B.π-22C.π6D.4-π463.(2012·辽宁·文T11)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB 的长,则该矩形面积大于20 cm2的概率为( ) A.16B.13C.23D.4564.(2012·安徽·文T10)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于 ( ) A.15B.25C.35D.4565.(2011·全国·理T4文T6)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A.13B.12C.23D.3466.(2011·浙江·文T8)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( ) A.110B.310C.35D.91067.(2010·全国·理T6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X 的数学期望为( ) A.100 B.200 C.300 D.40068.(2019·全国1·理T15)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是________69.(2019·全国2·理T13文T14)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_____________.70.(2018·上海·T9)有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是___________(结果用最简分数表示).71.(2018·江苏·T6)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为___________.72.(2018·全国3·文T14)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是.分层抽样73.(2017·江苏·T3)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件.74.(2017·江苏,7)记函数f(x)=2的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是____________.75.(2017·全国2·理T13)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次.X表示抽到的二等品件数,则DX=___________.76.(2016·山东·理T14)在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为_______.77.(2015·福建·文T13)某校高一年级有900名学生,其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为.78.(2015·湖北·文T14)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.(1)直方图中的a= ;(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为.79.(2015·广东·理T13)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p= .80.(2014·江苏·文T6)为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有株树木的底部周长小于100 cm.81.(2014·天津·理T9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取名学生.82.(2014·全国1·文T13)将2本不同的数学书和1本语文T书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为____________.83.(2014·全国2·文T13)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为__________.84.(2014·江苏·T4)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是___.85.(2014·浙江·文T14)在3张奖券中有一、二等奖各1张,另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张,两人都中奖的概率是_______.86.(2014·福建·文T13)如图,在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为____________.87.(2014·重庆·文T15)某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________.(用数字作答)88.(2013·全国2·文T13)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是.89.(2012·天津·理T9)某地区有小学150所,中学75所,大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取所学校,中学中抽取所学校.90.(2012·福建·文T14)一支田径队有男女运动员98人,其中男运动员有56人.按男女比例用分层抽样的方法,从全体运动员中抽出一个容量为28的样本,那么应抽取女运动员人数是.91.(2012·全国·理T15)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为.92.(2010·全国·理T13)设y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数,且恒有0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分10f(x)dx.先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1,x2,…,xN和y1,y2,…,yN,由此得到N个点(xi,yi)(i=1,2,…,N).再数出其中满足yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的点数N1,那么由随机模拟方法可得积分∫1f(x)d x的近似值为___________.93.(2010·全国·文T14)设y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数,且恒有0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近似计算由曲线y=f(x)及直线x=0,x=1,y=0所围成部分的面积S.先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn,由此得到N个点(xi,yi)(i=1,2,…,N),再数出其中满足yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的点数N1,那么由随机模拟方法可得S的近似值为____________.94.(2019·天津·文T15)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.95.(2019·全国3·理T17文T17)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值;(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).96.(2019·全国2·文T19)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)附:√74≈8.602.97.(2019·天津·理T16)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为2.假定甲、乙两位同3学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.98.(2019·全国1·理T21)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.(ⅰ)证明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;(ⅱ)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.99.(2018·全国1·理T20)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.①若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?100.(2018·北京·理T17)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.。
从2010年高考全国统考试卷谈概率教学
从2010年高考全国统考试卷谈概率教学于宁阳（贵州师范大学机电工程学院贵州贵阳550014）摘 要：2010年普通高考全国统一试卷理科卷II 第20题概率，考查的知识点多，对学生分析和解决问题的能力要求较以往高。
笔者在此对今后的概率教学谈谈自己的一些看法。
关键词：高考概率试题；概率教学中图分类号：O211文献标识码：A 文章编号：1000-9795（2010）05-0301-01收稿日期：作者简介：于宁阳（5），男，贵州贵阳人，从事高等数学教育方向的研究。
今年普通高考全国统一试卷理科卷II 第20题概率有如下几个特点：1.考查的知识点多，涉及了对立事件的概率，独立事件的概率，互斥事件的概率及离散型随机变量的数学期望等。
2.提高了对学生分析和解决问题能力的要求。
3.分值高达12分。
4.学生得分率低。
以上信息不得不引起我们对今后概率教学的思考和重视。
本文就此谈谈自己的一些看法，希望能抛砖引玉，使学生受益。
一、试题回顾普通高考全国统一试卷理科卷II 第20题：如图，由到的电路中有4个元件，分别标为，电流能通过的概率都是，电流能通过的概率是0.9。
电流能否通过各元件相互独立。
已知中至少有一个能通过电流的概率为0.999。
(I)求；(II)求电流能在与之间通过的概率；(III)表示中能通过电流的元件个数，求的数学期望。
二、解读试题试题提供了以下信息：1.电流能否通过各元件相互独立——独立事件的概率；2.电流能通过各元件与不能通过各元件——对立事件的概率；3.电流能在与之间通过(如图)——事件与事件间的关系，和事件，积事件，独立事件的概率，互斥事件的概率。
4.离散型随机变量的数学期望。
三、解题思路及步骤1.用字母表示各相关事件：记表示事件：电流通过元件，；表示事件：元件中至少有一个能通过电流；表示事件：电流能在与之间通过。
2.根据对立事件及相互独立事件的概率求依题意，由相互独立知，也相互独立。
从而有又故，即3.据事件与事件间的关系，和事件，积事件，独立事件的概率，互斥事件的概率以及对立事件的概率求分析：电流能在与之间通过有三条路径，1)电流通过元件，即事件发生；2)电流通过元件，即事件发生；3).电流通过元件，即事件发生。
全国卷2010-2020分章节汇编(13)统计与概率
全国卷2010-2019分章节汇编统计与概率（选择填空题）1.（2010Ⅰ文14）设函数y =f (x )为区间(0,1]上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有0≤ f ( x )≤1,可以用随机模拟方法计算由曲线y = f (x )及直线x = 0，x=1 ,y = 0所围成部分的面积S,先产生两组(每组N 个)，区间(0,1]上的均匀随机数 x 1, x 2..... x n 和y 1, y 2..... y n ， 由此得到N 个点( x i , y i )(i =1, 2, ⋯, N )。
再数出其中满足 y i ≤ f (x i )( i =1, 2,⋯, N )的点数N 1那么由随机模拟方法可得S 的近似值为2.（2010Ⅰ理6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．4003.（2010Ⅰ理13）设y =f (x )为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤ f ( x )≤1,可以用随机模拟方近似计算积分dx x f ⎰10)(，先产生两组(每组 N 个)区间[0，1]上的均匀随机数x 1 , x 2 ,…x N 和y 1 , y 2 ,…y N ，由此得到N 个点(x i , y i )(i =1, 2,…,N )，再数出其中满足y i ≤ f (x i )(i =1, 2,…,N )的点数N 1，那么由随机模拟方案可得积分dx x f ⎰10)(的近似值为4.（2011Ⅰ文6理4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A.31 B.21 C.32 D.435.（2012Ⅰ文3）在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1, x 2,…, x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1, 2,…,n)都在直线y =21x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A.1-B. 0C. 21 D.1元件2元件1 元件36.（2012Ⅰ理15）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作。
十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题12 概率统计(新课标Ⅰ卷)(原卷版)
专题12概率统计历年考题细目表2解答题2011 概率统计综合题2011年新课标1文科19解答题2010 概率统计综合题2010年新课标1文科19历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科06】某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2， (1000)从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生2．【2018年新课标1文科03】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半3．【2017年新课标1文科02】为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：g）分别是1，2，…，n，下面给出的指标中可以用评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）A．1，2，…，n的平均数B．1，2，…，n的标准差C．1，2，…，n的最大值D．1，2，…，n的中位数4．【2017年新课标1文科04】如图，正方形ABCD内的图形自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．5．【2016年新课标1文科03】为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A．B．C．D．6．【2015年新课标1文科04】如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）A．B．C．D．7．【2013年新课标1文科03】从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）A．B．C．D．8．【2012年新课标1文科03】在一组样本数据（1，y1），（2，y2），…，（n，y n）（n≥2，1，2，…，n不全相等）的散点图中，若所有样本点（i，y i）（i＝1，2，…，n）都在直线y+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．﹣1 B．0 C．D．19．【2011年新课标1文科06】有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．10．【2010年新课标1文科14】设函数y＝f（）为区间（0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f（）≤1，可以用随机模拟方法计算由曲线y＝f（）及直线＝0，＝1，y＝0所围成部分的面积S，先产生两组（每组N个），区间（0，1]上的均匀随机数1，2，…，n和y1，y2，…，y n，由此得到N个点（，y）（i ﹣1，2…，N）．再数出其中满足y1≤f（）（i＝1，2…，N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为．11．【2019年新课标1文科17】某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客40 10女顾客30 20（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：2．P（2≥）0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.82812．【2018年新课标1文科19】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，0.1）[0.1，0.2）[0.2，0.3）[0.3，0.4）[0.4，0.5）[0.5，0.6）[0.6，0.7）频数 1 3 2 4 9 26 5使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，0.1）[0.1，0.2）[0.2，0.3）[0.3，0.4）[0.4，0.5）[0.5，0.6）频数 1 5 13 10 16 5（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）13．【2017年新课标1文科19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次1 2 3 4 5 6 7 8序9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04零件尺寸抽取次9 10 11 12 13 14 15 16序10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95零件尺寸经计算得i＝9.97，s0.212，18.439，（i）（i﹣8.5）＝﹣2.78，其中i为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16．（1）求（i，i）（i＝1，2，…，16）的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|＜0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（3s，3s）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在（3s，3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）附：样本（i，y i）（i＝1，2，…，n）的相关系数r，0.09．14．【2016年新课标1文科19】某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若n＝19，求y与的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？15．【2015年新课标1文科19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i和年销售量y i（i ＝1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（i）2（w i）2（i）（y i）（w i）（y i）46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中w i i ，（Ⅰ）根据散点图判断，y＝a+b与y＝c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润与、y的关系为＝0.2y﹣．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u1v1），（u2v2）…..（u n v n），其回归线v＝α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．16．【2014年新课标1文科18】从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：[75，85）[85，95）[95，105）[105，115）[115，125）质量指标值分组频数 6 26 38 22 8（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？17．【2013年新课标1文科18】为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.6 0.5 1.8 0.62.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？18．【2012年新课标1文科18】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14 15 16 17 18 19 20频数10 20 16 16 15 13 10（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．19．【2011年新课标1文科19】某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数8 20 42 22 8B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数 4 12 42 32 10（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．20．【2010年新课标1文科19】为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：男女性别是否需要志愿者需要40 30不需要 160 270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由． P （2≥） 0.050 0.010 0.001 3.8416.63510.828附：2．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：随机抽样，用样本估计总体，变量间的相关关系，独立性检验，随机事件的概率，古典概型，几何概型等，历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：随机抽样，用样本估计总体，变量间的相关关系，独立性检验，随机事件的概率，古典概型，几何概型等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点用样本估计总体，变量间的相关关系，独立性检验，随机事件的概率等为重点较佳.最新高考模拟试题1．1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形ABCD 中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就任美国第二十任总统.后，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”.如图，设15BEC ∠=︒，在梯形ABCD 中随机取一点，则此点取自等腰直角CDE ∆中（阴影部分）的概率是（）A ．2B ．34C ．23D ．22．函数()()22846f x x x x =-++-≤≤，在其定义域内任取一点0x ，使()00f x ≥的概率是（ ） A ．310 B ．23 C ．35 D ．45 3．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．154．已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，4S π=（其中π为圆周率），422a a =，现从此数列的前30项中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为负数的概率为( ) A ．1430B ．1530C ．1630D ．17305．根据如下样本数据得到的回归直线方程为$y bx a =+.若样本中心为()5,0.9，则x 每减少1个单位，y 就( ) A ．增加1.4个单位 B ．减少1.4个单位 C ．增加1.2个单位D ．减少1.2个单位6．某中学高一年级560人，高二年级540人，高三年级520人，用分层抽样的方法抽取部分样本，若从高一年级抽取28人，则从高二、高三年级分别抽取的人数是（ ） A ．27 26B ．26 27C ．26 28D ．27 287．在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于216cm 的概率为（ ） A ．23B ．34C ．25D ．138．某民航部门统计的2019年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表如图所示，根据图表，下面叙述不．正确的是( )A ．同去年相比，深圳的变化幅度最小且厦门的平均价格有所上升B ．天津的平均价格同去年相比涨幅最大且2019年北京的平均价格最高C ．2019年平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D ．同去年相比，平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、南京9．某高校组织学生辩论赛，六位评委为选手A 成绩打出分数的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则所剩数据的平均数与中位数的差为______.10．为了落实“回天计划”，政府准备在回龙观、天通苑地区各建一所体育文化公园．针对公园中的体育设施需求，某社区采用分层抽样的方法对于21岁至65岁的居民进行了调查．已知该社区21岁至35岁的居民有840人，36岁至50岁的居民有700人，51岁至65岁的居民有560人．若从36岁至50岁的居民中随机抽取了100人，则这次抽样调查抽取的总人数是______．11．已知一组样本数据1210,x x x L ，且2221210180x x x +++=L ，平均数4x =，则该组数据的方差为________12．某高中学校三个年级共有团干部56名，采用分层抽样的方法从中抽取7人进行睡眠时间调查.其中从高一年级抽取了3人，则高一年级团干部的人数为________．13．某公司对2019年14:月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示： 月份x 1 2 3 4利润y /万元 5 6 6.58利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y 关于x 的线性回归方程为__________．14．从1，2，3，4中选取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率为__________．15．某校高一年级开设了丰富多彩的校本课程，现从甲、乙两个班随机抽取了5名学生校本课程的学分，统计如下表．用2212,S S 分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的方差，计算两个班学分的方差．得22S ______，并由此可判断成绩更稳定的班级是______班．16．在区间[20,100]内任取一个实数m ，则实数m 落在区间[50,75]的概率为__________．17．随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽取1100名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表：已知这1100名市民中，使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多200名. （1）求频数分布表中x ，y 的值；（2）已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为2.8%，“财富通”的平均年化收益率为4.2%，“京东小金库”的平均年化收益率为4.82%，有3名市民，每个人理财的资金有10000元，且分别存入“余额宝”“财富通”“京东小金库”，求这3名市民2018年理财的平均年化收益率；（3）若在1100名使用理财产品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取5人，然后从这5人中随机选取2人，求“这2人都使用‘财富通’”的概率.注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利率，理财产品“平均年化收益率为3%”即将100元钱存入某理财产品，一年可以获得3元利息.18．某企业购买某种仪器，在仪器使用期间可能出现故障，需要请销售仪器的企业派工程师进行维修，因为考虑到人力、成本等多方面的原因，销售仪器的企业提供以下购买仪器维修服务的条件：在购买仪器时，可以直接购买仪器维修服务，维修一次1000元；在仪器使用期间，如果维修服务次数不够再次购买，则需要每次1500元..现需决策在购买仪器的同时购买几次仪器维修服务，为此搜集并整理了500台这种机器在使用期内需要维修的次数，得到如下表格：记x 表示一台仪器使用期内维修的次数，y 表示一台仪器使用期内维修所需要的费用，n 表示购买仪器的同时购买的维修服务的次数.（1）若6n =，求y 与x 的函数关系式；（2）以这500台仪器使用期内维修次数的频率代替一台仪器维修次数发生的概率，求68x ≤≤的概率. （3）假设购买这500台仪器的同时每台都购买7次维修服务，或每台都购买8次维修服务，请分别计算这500台仪器在购买维修服务所需要费用的平均数，以此为决策依据，判断购买7次还是8次维修服务？ 19．某集团公司为了加强企业管理，树立企业形象，考虑在公司内部对迟到现象进行处罚.现在员工中随机抽取200人进行调查，当不处罚时，有80人会迟到，处罚时，得到如下数据：若用表中数据所得频率代替概率.（Ⅰ）当处罚金定为100元时，员工迟到的概率会比不进行处罚时降低多少？（Ⅱ）将选取的200人中会迟到的员工分为A ，B 两类：A 类员工在罚金不超过100元时就会改正行为；B 类是其他员工.现对A 类与B 类员工按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B 类员工的概率是多少？20．本市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展.通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼.摄影协会收到了自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在[25,85]之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数x 和中位数m （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中评出20个最佳作品，并邀请作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会. ①在答题卡上的统计表中填出每组应抽取的人数； 年龄 [25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85]人数②若从较年轻的前三组作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人至少有一人的年龄在[35,45)的概率.21．设甲、乙、丙三个乒乓球协会分别选派3，1，2名运动员参加某次比赛，甲协会运动员编号分别为1A ，2A ，3A ，乙协会编号为4A ，丙协会编号分别为5A ，6A ，若从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.（1）用所给编号列出所有可能抽取的结果；（2）求丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率； （3）求参加双打比赛的两名运动员自同一协会的概率.22．过去大多数人采用储蓄的方式将钱储蓄起，以保证自己生活的稳定，考虑到通货膨胀的压力，如果我们把所有的钱都用储蓄，这并不是一种很好的方式，随着金融业的发展，普通人能够使用的投资理财工具也多了起，为了研究某种理财工具的使用情况，现对[]20,70年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人数分成5组：[)[)[)[)[)20,30,30,40,40,50,50,60,60,70，并整理得到频率分布直方图：（1）求图中的a值；（2）采用分层抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，则三个组中各抽取多少人？（3）在（2）中抽取的8人中，随机抽取2人，则这2人都自于第三组的概率是多少？。
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7.(全国1)投到某杂志的稿件, 7.(全国1)投到某杂志的稿件,先由两位 全国1)投到某杂志的稿件 初审专家进行评审. 初审专家进行评审.若能通过两位初审专家 的评审,则予以录用; 的评审,则予以录用;若两位初审专家都未 予通过,则不予录用; 予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审 专家的评审,则再由第三位专家进行审, 专家的评审,则再由第三位专家进行审,若 能通过复审专家的评审,则予以录用, 能通过复审专家的评审,则予以录用,否则 不予录用. 不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的 概率均为0 概率均为0.5,复审的稿件能通过评审的概 率为0 各专家独立评审. 率为0.3.各专家独立评审. (I)求投到该杂志的 篇稿件被录用的概率; 求投到该杂志的1 (I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率; (II)求投到该杂志的 篇稿件中, 求投到该杂志的4 (II)求投到该杂志的4篇稿件中,至少有 篇被录用的概率. 2篇被录用的概率.
3 A. 18
4 B. 18
5 C. 18
6 D. 18
安徽理(10) 安徽理(10)
3.加工某一零件经过三道工序, 3.加工某一零件经过三道工序,设 加工某一零件经过三道工序 第一, 第一,二,三道工序的次品率分别为 1 1 1 ,且各道工序互不影响, 且各道工序互不影响, , , 70 6 9 68 则加工出来的零件的次品率为_______. 则加工出来的零件的次品率为_______. 重庆文(14) 重庆文(14)
5.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球, 5.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球, 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球 球的编号分别为1 球的编号分别为1,2,3,4. 从袋中随机抽取两个球, (Ⅰ)从袋中随机抽取两个球,求取出的球 的编号之和不大于4的概率; 的编号之和不大于4的概率; 先从袋中随机取一个球, (Ⅱ)先从袋中随机取一个球,该球的编号 将球放回袋中, 为m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一 个球,该球的编号为n 个球,该球的编号为n,求 n < m + 2 的概 率. 山东文(19) 山东文(19)
9.(山东理20) 某学校举行知识竞赛, 第一轮选拔共设有四个问题 A , B , C , D , 规则如下:
(1)每位参加者计分器的初始分均为10分,答 (1)每位参加者计分器的初始分均为10分 每位参加者计分器的初始分均为10 分别加1 对问题 A , B , C , D 分别加1分,2分,3分,6分, 答错任一题减2 答错任一题减2分; (2)每回答一题 计分器显示累计分数, 每回答一题, (2)每回答一题,计分器显示累计分数,当累计 分数小于8分时,答题结束,淘汰出局; 分数小于8分时,答题结束,淘汰出局;当累计 分数大于或等于14分时,答题结束,进入下一轮; 分数大于或等于14分时,答题结束,进入下一轮; 14分时 当答完四题,累计分数仍不足14分时,答题结束, 14分时 当答完四题,累计分数仍不足14分时,答题结束, 淘汰出局. 淘汰出局. (3)每位参加者按问题 顺序作答, (3)每位参加者按问题 A , B , C , D 顺序作答, 直至答题结束. 直至答题结束. 假设甲同学对问题 A , B , C , D 回答 3 1 1 1 正确的概率依次为 , , , ,且各题回答
1.三张卡片上分别写上字母E,E,B, 1.三张卡片上分别写上字母E E,B, 三张卡片上分别写上字母 将三张卡片随机地排成一行, 将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英 文单词BEE的概率为_____. BEE的概率为 文单词BEE的概率为_____. 辽宁文(13) 辽宁文(13)
2. 甲从正方形四个顶点中任意选择两 个顶点连成直线, 个顶点连成直线,乙也从该正方形四个顶 点中任意选择两个顶点连成直线,则所得 点中任意选择两个顶点连成直线, 的两条直线相互垂直的概率是( 的两条直线相互垂直的概率是( )
4.设平面向量 1) 4.设平面向量 a m = ( m , 1), b n = ( 2 , n ),其中 m, n∈ {1,2,3,4}. ), 请列出有序数组( (I)请列出有序数组( m,n )的所 有可能结果; 有可能结果; a a b II) (II)记"使得 m ⊥ (m - n )成立 为事件A 求事件A 的( m,n )"为事件A,求事件A发生的 概率. 概率. 福建文18. 福建文18.
8.[全国2 如图, 8.[全国2(20)] 如图,由M到N的电路 全国 中有4个元件,分别标为T 中有4个元件,分别标为T1,T2,T3,T4 ,电 源能通过T 的概率都是P 源能通过T1,T2,T3的概率都是P,电源能通 的概率是0.9 0.9, 过T4的概率是0.9,电源能否通过各元件相互 独立.已知T 独立.已知T1,T2,T3中至少有一个能通过电 流的概率为0.999 0.999. 流的概率为0.999. (Ⅰ)求P; 求电流能在M 之间通过的概率. (Ⅱ)求电流能在M与N之间通过的概率.
6.某迷宫有三个通道, 6.某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个 某迷宫有三个通道 人都要经过一扇智能门.首次到达此门, 人都要经过一扇智能门.首次到达此门,系 统会随机(即等可能) 统会随机(即等可能)为你打开一个通 若是1号通道,则需要1小时走出迷宫; 道.若是1号通道,则需要1小时走出迷宫; 若是2 号通道,则分别需要2小时, 若是2号,3号通道,则分别需要2小时,3小 时返回智能门.再次到达智能门时, 时返回智能门.再次到达智能门时,系统会 随机打开一个你未到过的通道, 随机打开一个你未到过的通道,直至走出迷 宫为止. 宫为止. 求走出迷宫时恰好用了l小时的概率; (1)求走出迷宫时恰好用了l小时的概率; 求走出迷宫的时间超过3小时的概率. (2)求走出迷宫的时间超过3小时3 4
(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率; 正确与否相互之间没有影响. 正确与否相互之间没有影响.
(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率;
(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率; (Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率; 求甲同学能进入下一轮的概率 (Ⅱ)用 表示甲同学本轮答题结束时答题 的个数, 可能取哪些值? 的个数,那么 ξ 可能取哪些值?分别求出 ξ 取这些值的概率. 取这些值的概率.