二次根式的乘除3(调整版)
二次根式的乘除
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• 引言 • 二次根式的乘法规则 • 二次根式的除法规则 • 二次根式的乘除混合运算 • 练习和巩固
01
引言
目的和背景
理解二次根式的乘除运算规则
本节旨在介绍二次根式的乘除运算规则，帮助学生掌握其原 理和应用。
为后续学习打下基础
掌握二次根式的乘除运算对于后续学习代数、三角函数等领 域具有重要意义。
$frac{sqrt{20}}{5} div frac{sqrt{15}}{10} = frac{sqrt{20}}{5} times frac{10}{sqrt{15}} = frac{4sqrt{5}}{3}$
$frac{sqrt{3}}{sqrt{2}} div frac{sqrt{5}}{sqrt{4}} = frac{sqrt{3}}{sqrt{2}} times frac{sqrt{4}}{sqrt{5}} = frac{sqrt{6}}{2}$
THANKS
谢谢您的观看
除法的运算规则
01
02
03
除法运算的顺序
先进行括号内的运算，再 进行除法运算。
除法运算的简化
在运算过程中，尽可能将 复杂的二次根式化简为简 单的二次根式。
除法运算的化简
在运算过程中，将除法转 换为乘法，并利用根式的 乘法运算法则进行化简。
除法的运算实例
$frac{2}{sqrt{3}} div frac{1}{sqrt{6}} = frac{2}{sqrt{3}} times sqrt{6} = 2sqrt{2}$
练习和巩固
基础练习题
计算 $sqrt{2} times sqrt{3}$
计算 $(sqrt{5} + 1)(sqrt{5} - 1)$
二次根式乘除运算法则
二次根式乘除运算法则1.二次根式乘法法则：两个二次根式相乘时，我们可以将它们的系数相乘，并将根号内的值相乘，然后合并同类项。
例如：√2*√3=√(2*3)=√6当系数为负数时，我们可以先将负号移到根号前，然后再进行乘法运算。
例如：-√2*√3=-(√2*√3)=-√(2*3)=-√6如果两个二次根式都有分子和分母，我们可以对分子和分母分别进行乘法，然后将最终结果的分子和分母进行简化。
例如：(√2/√3)*(√5/√7)=(√(2*5)/√(3*7))=(√10/√21)2.二次根式除法法则：两个二次根式相除时，我们可以将它们的系数相除，并将根号内的值相除，然后将同类项合并。
例如：√6/√2=√(6/2)=√3当系数为负数时，同样可以先将负号移到根号前，然后再进行除法运算。
例如：-√6/√2=-(√6/√2)=-√(6/2)=-√3如果被除数和除数都有分子和分母，我们需要对被除数和除数的分子和分母进行分别进行除法，然后将最终结果的分子和分母进行简化。
例如：(√10/√2)/(√5/√3)=(√10*√3)/(√2*√5)=(√(10*3)/√(2*5))=(√30/√10)=(√(30/10))=√33.提取公因式的技巧：当需要进行二次根式的加减运算时，我们可以先提取公因式，再合并同类项。
例如：√16+√36=4√1+6√1=4+6=10如果二次根式中的根号内的表达式可以进行因式分解，我们可以先将根号内的表达式进行因式分解，然后再进行合并。
例如：√20+√8=√(4*5)+√(4*2)=2√5+2√2=2(√5+√2)4.合并同类项的方法：当有多个二次根式需要进行合并时，我们需要保证它们的根号内的表达式相同，然后将它们的系数相加或相减，保持根号不变。
例如：2√5+3√5=(2+3)√5=5√5以上就是二次根式乘除运算的基本法则和技巧。
在实际应用中，我们需要灵活运用这些法则和技巧，以便在解决问题时快速而准确地进行计算。
二次根式的乘除运算
二次根式的乘除运算1、因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．2、有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．一、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
二、有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：1a =b a -与b a -等分别互为有理化因式。
2、两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如a与a3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
例、已知x =y =，求下列各式的值：（1）x y x y +-（2）223x xy y -+ 小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类： ①与； ②与； ③与； ④与．三、二次根式的乘除1、积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
a≥0，b≥0）2、二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
a≥0，b≥0）注意：1、公式中的非负数的条件；2、在被开方数相乘时，就应该考虑因式分解（或因数分解；3、c＝abc（ a ≥0，b≥0，c ≥03、商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根a≥0，b>0）4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
a≥0，b>0）注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．例1．=，且x为偶数，求（1+x的值．解：由题意得9060xx-≥⎧⎨->⎩，即96xx≤⎧⎨>⎩∴6<x≤9∵x为偶数∴x=8∴原式=（1+x=（1+x=（1+x∴当x=8时，原式的值．例2=成立的的x的取值范围是（）A 、2x >B 、0x ≥C 、02x ≤≤D 、无解例3、·（m>0，n>0）解： 原式＝=-22n n m m =-例4、（a>0）解：原式规律公式：1、观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=-，32=-同理可得：计算代数式（+）的值．解：原式=（……）=（） =2002-1=20012、观察下列各式及其验证过程：，验证：；验证:.（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想（2）针对上述各式反映的规律，写出用a(a>1的整数)表示的等式，并给出验证过程.（aa>1））。
21.2.3二次根式的乘除(三)
21.2.3二次根式的乘除（三）学案稿学习目标：1.经历二次根式除法法则的探究过程,进一步理解除法法则..2.能运用法则b a =ba （a ≥0，b ＞0）进行二次根式的除法运算. 3.理解商的算术平方根的性质b a =ba （a ≥0，b ＞0）,进行化简和计算 重点：二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质.难点：二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质的理解与运用.学习过程：一.复习回顾：算一算:（1）254=_______ 254=_______ （2）169=_______ 169=______ （3）10049=______10049=______ （4）2252=______ 2252=_______ 二.合作探究：请观察以上式子及其运算结果，看看其中有什么规律？ )0__,0________(b a b a = 反过来: )0__,0___________(b a b a = 例1 计算：⑴ 312⑵ 756⑶ 327÷ ⑷ 321÷31 解：（1）312=312 =4=2练习：(1)1560 (2)872 (3)618÷ (4)311322÷例2 化简：（1）2516 （2）971 （3）163 （4）2294a b （a ＞0，b ≥0） 解：（1）2516 =2516 =54 练习三.拓展应用：阅读下列运算过程：1333333==⨯，225255555==⨯ 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。
利用上述方法化简：(1) 26=_________ （２）132=_________(３) 112=_____ ___ (４) 1025=___ ___。
3.2二次根式的乘除(3)
3.2 二次根式的乘除(3) [ 教案]备课时间: 主备人:【学习目标】：1、经历二次根式除法法则的探究过程，进一步理解除法法则2、能运用法则b a =ba （a ≥0，b ＞0）进行二次根式的除法运算 3、理解商的算术平方根的性质b a =b a （a ≥0，b ＞0），并能运用于二次根式的化简和计算【重点难点】：1、二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质2、二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质的理解与运用【预习指导】填空：（1（2（3【新知概括】二次根式的除法法则：【典型例题】例1、计算： ⑴312 ⑵756 ⑶27÷3 ⑷321÷31想一想：你还有其它的方法来解决上面的问题吗？思考：由b a =b a （a ≥0，b ＞0）反过来可得: ba = （ ） 利用这个等式可以化简一些二次根式.例2：化简： ⑴2516 ⑵971 ⑶163 ⑷2294a b （a ＞0，b ≥0） 【知识梳理】1、二次根式的除法法则： 。
2、 把这个法则反过来，得到商的算术平方根性质 。
【课堂练习】1、计算：（1）1560； （2）872； （3）18÷6； （4）322÷311；2、化简： （1）94； （2）953； （3）493； （4）222c16b a 9（a ≥0，b ≥0，c ＞0）；点拨：当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。
3、判断下列各式是否正确，为什么？（1）43=23；（2）37=37；（3）a 4b =a 2b （a ＞0，b ≥0） 【课外练习】1、下列计算中正确的是（ ）3218D 231322C 5122514B 3595＝、 ＝、 ＝、 ＝、÷÷A2如果一个三角形的面积为（ ），那么这边上的高为 ，一边长为31222D 2C 2B 4A 、 、 、 、、 、 、 、 ）的取值范围是 （ 那么－、如果2D 2C 21B 21A ,21213≥><≤≤≤--=-x x x x x x x x x 4、计算： 313÷（31252）×（4521）5、计算过程：520--=545-⨯-=545-⨯-=4=2正确吗？为什么？6、计算或化简（题中字母均表示正数）：)0(1165)3(34531023412214222460)1(22453>>--÷÷÷a b ba a cb a a ） （） （）（） （） （。
2019年春八年级数学下册第一部分新课内容第十六章二次根式第5课时二次根式的乘除(3)—分母有理化(
解：由题意,得 解得 .
.
变式训练
1.在 个数为 A．1个 B．2个 C．3个 中,最简二次根式的 （ A ）
D ．4 个
2.将下列二次根式化简为最简二次根式.
（1） ； . （2） ；
解:原式=
解:原式=
.
（3）
； .
（4）
. .
解:原式= 3.化简： （1） ；
解:原式=
（2）
.
解:原式=
4.一个矩形的面积为
第一部分
第十六章
新课内容
二次根式
第5课时 二次根式的乘除（3）——分母有理化
核心知识
1.最简二次根式满足两个条件：①被开方数不含分母；
②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
2.分母有理化的常用方法：分子、分母都乘适当的二次根式.
典型例题
知识点1：最简二次根式的概念
【例1】
下列二次根式是最简二次根式的是 （ C ）
解:原式=
，它的一边长为 cm，
则另一边长为__________ cm．
A． B． C． D．
（
B ）
巩固训练
第1 关
5.下列二次根式中，是最简二次根式的是
A． B． C．
（
D．
C ）
6.
A．
的倒数是
B． C．-3
（
D．
D ）
第2 关 7. 化简： （1 ） ； . （2） ； .
解：原式= （3 ） ；
按照以上的过程，解答以下问题： （1）分母有理化： （2）计算： =__________；
内部文件，请勿外传
A.
B.
C.
D.
知识点2：分母有理化——分母是数字
人教版数学八年级下册16.2《二次根式的乘除》教学设计3
人教版数学八年级下册16.2《二次根式的乘除》教学设计3一. 教材分析《二次根式的乘除》是人教版数学八年级下册第16.2节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了二次根式的性质和二次根式的加减法运算的基础上进行学习的。
二次根式的乘除法运算是初中数学中的重要内容，也是后续学习高中数学的基础。
本节内容主要让学生掌握二次根式的乘除法运算规则，理解并掌握二次根式乘除法运算的性质和规律，提高学生的数学运算能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了二次根式的性质和加减法运算，但对于二次根式的乘除法运算可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生理解二次根式的乘除法运算规则，通过大量的练习，让学生熟练掌握二次根式的乘除法运算。
三. 教学目标1.让学生掌握二次根式的乘除法运算规则。
2.提高学生的数学运算能力。
3.培养学生的逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.二次根式的乘除法运算规则。
2.二次根式的混合运算。
五. 教学方法1.讲解法：教师通过讲解，让学生理解二次根式的乘除法运算规则。
2.练习法：让学生通过大量的练习，熟练掌握二次根式的乘除法运算。
3.小组合作法：让学生通过小组合作，共同探讨二次根式的乘除法运算，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.PPT课件：教师需要准备PPT课件，用于展示二次根式的乘除法运算规则。
2.练习题：教师需要准备适量的练习题，用于让学生进行练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过复习二次根式的性质和加减法运算，引导学生进入二次根式的乘除法运算学习。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT课件，呈现二次根式的乘除法运算规则，让学生初步了解二次根式的乘除法运算。
3.操练（10分钟）教师让学生进行二次根式的乘除法运算练习，引导学生掌握二次根式的乘除法运算规则。
4.巩固（10分钟）教师通过讲解和练习，让学生巩固二次根式的乘除法运算规则。
5.拓展（10分钟）教师引导学生进行二次根式的混合运算，提高学生的数学运算能力。
12.2 二次根式乘除(3)
再次
优化
随堂
练习
课堂
小结
达标
检测
化简：（1） ＝；（2） ＝；
（3） ＝；（4） （y＞0）＝．
活动三
二次根式的除法运算法则的意义．
等式 成立的条件是．
练习 等式 成立的条件是．
拓展提高：
1．计算 ÷ ；
2．已知一个长方形的面积为 ，其中一边长为 ，求长方形的对角线的长．
布置
作业
3．在解问题的过程中培养学生探究意识、合作意识．
教学重难点
教具
与课件
板
书
设
计
12.2二次根式的乘除（3）教学源自环节学生自学共研的内容方法
（按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内容）
教师施教提要
（启发、精讲、活动等）
再次
优化
导
入
合
作
探
究
情境创设：
（1） ， ＝；
（2） ， ＝；
（3） ， ＝；
（4） ， ＝．
课堂作业课本P160第5、6题．课后作业
下节课预习内容
教后感
尊重主体面向全体先学后教当堂训练科研兴教力求高效
教材第12课（章）第2节（单元）第3课时，总4课时年月日
课题
12.2二次根式的乘除（3）
教学模式
讨论交流
教学
目标（认知技能
情感）
1．能运用除法法则 ＝ （a≥0，b＞0），进行二次根式的除法运算；
2．能逆用二次根式的除法运算法则，对简单的二次根式进行化简；
比较上述各式，你猜想到什么结论？
教学
环节
学生自学共研的内容方法
（按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内容）
21.2二次根式乘除(3)
a b ab
反之得：
(a≥0,b≥0) (a≥0,b≥0)
ab a b
a b a b
2、二次根式除法法则：
(a 0, b 0)
反之得：
a a (a 0, b 0) b b
1、计算：
(1 （1） )
15 5
（2） ( 2)
48 75
0
x为任何实数
(7) x 5 ( x 6)
x≥5且x≠6
9、 (1)
( 3) ____
2
(2) 当 x (3)
1 时， (1 x)2 ____
2
( x 2) x 2 ,则x的取值范围是＿＿
2 2
(4)若１＜x＜４，则化简 ( x 4) ( x 1) 的结果是＿＿＿＿＿ (5)化简
72 6
3 （3） (2) 15 5
(2) （4）
3 1 （5） (1)9 45 1 2 2
（6） 18 (2)
2 x y 3 2 xy
3 2
2、计算：
3 2 1 (1) 30 2 2 2 2 3 2
14 3 1 (2) 7 3 2 15 2 2
b (3) ab (3 ) (3 2a ) 2a 最简二次根式
( x 4 ) x 4x 4
2 2
10、如图ABC，∠C=90°,AC=10cm, BC=20cm. 求：AB. B
A C
如图，在Rt△ABC中,∠C=900，∠A=300， AC=2cm,求斜边AB的长。
B A C
11、（1）已知 y
x7 7 x 9
。
则 ( xy 64) 2 的算术平方根是
人教版八年级数学下册《二次根式的乘除 (第3课时)》示范教学课件
类型二、利用二次根式的乘除法比较二次根式的大小
2．比较大小：
（2） 与 ；
类型二、利用二次根式的乘除法比较二次根式的大小
2．比较大小：
（3） 与 ．
归纳
（1）归根法：先将根号外的正因数平方后移到根号内，计算出被开方平方根也大． （2）平方法：若两个二次根式同号，也可以先将两个二次根式分别平方，再根据实数比较大小的方法比较即可．
类型一、二次根式的乘除混合运算
1．计算：
（1） ；
类型一、二次根式的乘除混合运算
1．计算：
（2） ．
归纳
类型二、利用二次根式的乘除法比较二次根式的大小
2．比较大小：
最终结果要使实际问题有意义
二次根式乘除法的应用
二次根式的乘除混合运算
在实际问题中的应用
比较二次根式的大小
二次根式比较大小有“三招”
归纳
二次根式比较大小有“三招”
类型三、二次根式的乘除在实际问题中的应用
3．电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域就越广．电视塔高 h（单位：km）与电视节目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系 ，其中 R 是地球半径，R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是 h1 km，h2 km，那么它们的传播半径之比是多少？
类型三、二次根式的乘除在实际问题中的应用
类型三、二次根式的乘除在实际问题中的应用
4．有一幅长方形图片，它的长是 cm，宽是 cm ．李星
同学想设计一个与该长方形面积相等的圆，请你帮他求出圆的半径．
类型三、二次根式的乘除在实际问题中的应用
归纳
解答实际问题时，首先要正确理解题意，把实际问题转化为数学问题，并找到解答问题的关键点，再利用相关数学知识进行解答，最终结果一定要保证实际问题有意义．
二次根式的乘除法(含：合并同类二次根式)
二次根式的乘除法、合并同类二次根式1、什么叫最简二次根式？答：根号内不含__________，分母中不含__________，并且被开方数已经开__________的二次根式叫“最简二次根式”。
2、二次根式的计算题，对运算结果有什么要求？答：分母中一律不能出现__________，所有的二次根式要必须化成_________二次根式，并且若存在同类二次根式，必须要进行_________，但不能鼓捣乱_________。
如：37272=+=+，对吗？答：_________。
又如：3474727=-=-=-，对吗？答：_________。
3、什么叫同类二次根式呢？答：几个二次根式，当它们都化成最简二次根式后，如果______________相同，那么它们就是_________二次根式。
显然同类二次根式的“根指数”都是_________，它们的______________相同，但根号前面的______________可以不同。
4、判断下列各组根式是否为同类二次根式，是的打√，不是的打×。
（1）、23、53，_________； （2）、22-、32-，_________；（3）、54、53-，_________； （4）、24-、62、323_________； 5、在计算中，遇到“同类项”需要进行合并，合并同类项的方法是“一加、两不变”，其中 “一加”是指把同类项的_____________相加减，而“两不变”是指同类项的字母和字母的 ___________不变。
由此可类比得出“合并同类二次根式”的方法是：先把同类二次根式的 ___________相加减，而帽子眉心处的___________不变，帽子里面的___________不变。
6、合并下列同类二次根式。
（1）、=+2523____________； （2）、=-5552____________；（3）、=+-22275____________； （4）、=-272275____________；7、前面学过化简二次根式的两个公式： ①、y x xy •=（这叫_______法_________帽子法，其中：x ______0，y ______0）； ②、x y x y =（这叫_______法_________帽子法，其中：x ______0，y ______0）； 逆用（就是倒过来用）以上两个公式，可得到二次根式的乘、除法公式：（1）、y x y x •=•，进一步可得新公式：()y x n m y n x m •⨯•=•， 即：二次根式相乘的法则是：系数乘以_________，根号乘以_________，再把两个积相乘。
二次根式的乘除法
VS
方法
利用平方差公式、完全平方公式等化简二 次根式；利用通分、约分等方法简化二次 根式的分母；将二次根式化为最简二次根 式。
简化二次根式的实例
• $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$（利用平方差公式） • $\frac{\sqrt{64}}{2\sqrt{2}} = \frac{8}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$（利用约分方法简化
05
习题与解答
二次根式乘除法的习题及解答
• 习题1：$\sqrt{12} \times \sqrt{3}$ • 解答：$\sqrt{12} \times \sqrt{3} = \sqrt{36} = 6$ • 习题2：$\sqrt{25} \div \sqrt{4}$ • 解答：$\sqrt{25} \div \sqrt{4} = \sqrt{25/4} = \sqrt{6.25} = \frac{5}{\sqrt{4}} = \frac{5}{2}$
除法运算实例
例子1
$\frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$
例子2
$\frac{\sqrt{10}}{5} + \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{10} + 2\sqrt{5}}{5}$。
分母） • $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times
二次根式乘除3
进一步明确二次根式化简结果中的被开方数应不含有能开得尽方的因数或因式，也不含有分母，根式运算的结果中分母不含有根号。
教法
交流讨论探索
教学过程
备注
一、导学
1． =（a__b__）, =（a__b__）
2.怎样化去被开数中的分母呢？如： =
3.怎样化去分母中的的根号呢？如： =
三、课堂点击
1．新知引探
（1）思考：如何化去被开方数中的分母呢?
当（a≥0，b＞0）时, = = = ==
（2）如何化去分母中的的根号呢？
当（a≥0，b＞0）时, = =
二、精讲
例1化去根号内的分母：
（1） （2） （3）
分析：第2小题中的被开方式应先化成假分数之后，再利用商的算术平方根的性质来化去根式中的分母。
例2化去分母中根号：
作业
教后感
（1） （2） （3） （ ）
（4） （a+b﹥0）（5） （b＞0）
一般地，二次根式运算的结果中，要求：被开方数中不含开得尽方的因数或因式，分母不含根号，被开方数中不含分母
拓展：在具体实行二次根式的化简中还能够将二次根式除法与化去分母中的根号做一些结合，例如：
= = =
三、精练
1．把根式中的分母及分母中的根式去掉
下蜀中学九年级数学“导学、讲、练”稿
课题
3.2二次根式乘除（3）
目标
1．能使用法则 = （a≥0，b＞0）化去被开方数的分母或分母中的根号。
2．进一步明确二次根式化简结果中的被开方数应不含有能开得尽方的因数或因式，也不含有分母，根式运算的结果中分母不含有根号。
重点
进一步明确二次根式化简结果中的被开方数应不含有能开得尽方的因数或因式，也不含有分母，根式运算的结果中分母不含有根号。
人教版数学八年级下册16.2二次根式的乘除(教案)
（1）根号内乘除运算的简化：在二次根式乘除运算过程中，学生往往难以把握根号内乘除运算后的简化步骤。
-难点解释：如\(\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{2 \times 8}\)，需简化根号内的结果为\(\sqrt{16}\)，进而得到最终答案4。
（2）混合运算中乘除法则的运用：在二次根式乘除混合运算中，学生容易混淆乘除法则，导致计算错误。
-练习：计算\(\sqrt{18} \times \sqrt{2}\)、\(\sqrt{12} \times \sqrt{27}\)等。
2.二次根式的除法法则：理解二次根式除法的运算规律，能够熟练进行除法运算。
-例子：\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)（其中\(b \neq 0\)，\(a \geq 0\)，\(b > 0\)）
人教版数学八年级下册16.2二次根式的乘除（教案）
一、教学内容
本节课选自人教版数学八年级下册16.2节，主要内容包括：
1.二次根式的乘法法则：掌握二次根式乘法的运算规律，能够正确进行乘法运算。
-例子：\(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)（其中\(a \geq 0\)，\(b \geq 0\)）
-练习：计算\(\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}\)、\(\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{9}}\)等。
3.二次根式的乘除混合运算：学会运用乘除法则，解决二次根式的乘除混合运算问题。
-例子：\(\sqrt{18} \div \sqrt{2} \times \sqrt{12}\)
5.设计不同难度的练习题，帮助学生巩固所学知识，逐步突破难点。
华师大版-数学-九年级上册-21.2二次根式的乘除法(3)教案
教学内容21.2二次根式的乘除法（3）序号教学时间教具知识技能：理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化最简二次根式．过程方法：学生自主学习，小组合作，交流，探究，教师指导情感态度：培养良好的解题习惯。
重点难点重点：最简二次根式的运用．难点：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．教学流程教学内容教法学法设计复检导入预习1．计算（1）35，（2）3227，（3）82a本节课我们来学习有关最简二次根式的知识。
观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含（）；2．被开方数中不含能开得尽方的（）我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．例1．判断下列二次根式是否是最简二次根式？1．32.12 3.ab4.ba2 5.53例1．(1)5312; (2) 2442x y x y; (3) 238x y学生回答教师指导。
教师直接引入，引起学生注意学生自主预习小组讨论教师指导、并做点拨。
教学目标内容要求教学流程教学内容教法学法设计展示巩固总结反馈作业学生展示预习问题将下列二次根式化成最简二次根式1．24 2. 32 3.214.ba2 5.ba3本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．化简：1．36 2.12 3.ba2 4.53完成练习册小组长展示，其他组长补充。
教师指导。
教师结合例题引导学生完成。
学生独立完成教师巡视指导，小组长评价。
教学反思。
二次根式的乘除(3)
例1
（2 ）
56 ； 7
2 1 ． （4 ） 1 3 3
60 ； 15
（3） 18 6；
72 ； （2） 8 2 1 （4 ） 2 1 ． 3 3
两个二次根式相除，等于把被开方数相除， 作为商的被开方数
a b
a b
a 0, b 0
例４：计算
24 2 1 1 2 3 18 3 解： 24 24 1 8 4 2 2 2 3 3 2 1 2 1 2 2 18 2 3 3 18 3 18 3
情境创设：
4 （1 ） ＝ 25
9 16
（2 ） （3 ）
＝ ＝
4 ， 25 ＝ 9 ， ＝ 16
； ； ；
49 100
，
49 100
＝
（4 ）
2
2
52
＝
22 ， 2 ＝ 5
．
比较上述各式，你猜想到什么结论？
12.2 二次根式的乘除（3）
计算： 12 ； （1 ） 3 （3） 27 3； 学生练习： （1 ）
0.09 ×169 (4) 0.64 ×196
( 2) 81 = 25x 2 81 25x 2 = 9 5x
16b2c (3) a 0, b 0 2 a
解：
7 25 25 5 （1） 2 ＝ ＝ ＝ 9 9 3 9
16b 2 c ( 3) = a2 16b 2 c a2 = 4b c 4b = c a a
( 4)
0.09 ×169 = 0.64 ×196
0.09 ×169 0.64 ×196
=
0.3 ×13 39 = 0.8 ×14 112
12.2 二次根式乘除(2)
专题16 二次根式的乘除（含答案）
专题16 二次根式的乘除知识解读1.二次根式相关法则 （1）乘法法则：ab ab =a ≥0，b ≥0）.a bc abc =a ≥0，b ≥0，c ≥0）.（2）除法法则：a ab b=（a ≥0，b ≥0）. （3）积的算术平方根：ab a b =⋅（a ≥0，b ≥0）.（4）商的算术平方根：a ab b=（a ≥0，b ＞0）. 2.分母有理化（1）分母形如a x 的二次根式，可分子、分母同时乘x .（2）分母形如a x b y +的式子，可利用平方差公式，分子、分母同时乘a x b y -，就可以化去分母中的根号. 3.最简二次根式（1）被开方数不含分式，也就是被开方数是整数或者是整式；（2）被开方数的每一个因数或者因式的指数都小于根指数2，即每个因数或者因式的指数都是1.培优学案典例示范一、二次根式的乘法 例1 计算：（1）0436..⨯； （2）32545223⨯. 【提示】可将系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘，最后将二次根式化简. 【解答】【技巧点评】二次根式变形的最后结果必须是最简二次根式，最简二次根式要求：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 跟踪训练 1.计算：（12330554a b .bc （2320((211548)3⨯.二、二次根式的除法 例2 计算：（1）1327()108÷； （2）(24118854)33÷⨯-.【提示】有括号的先算括号里面的，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数，将除法转化为乘法再进行计算. 【解答】【技巧点评】两个二次根式相除，把根号前面的系数与系数对应相除，根号内的部分对应相除，被开方数对应相除时也可以用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行约分化简. 跟踪训练 2.计算：(23213022)232⨯÷-.三、分母有理化 例3 化简下列各式：（172 （22x y +； （353-； （4232332-； （5x y +.【提示】（12；（2x y +；（3）将分子、分母同时乘53+；（4）将分母提取6；（5）由于x y +的有理化因式x y -可能为零，所以不能将分子分母同乘x y -，可考虑将x y -利用平方差公式因式分解.【解答】 跟踪训练3.将下列各式分母有理化：（1）3540； （2）101280⨯； （3）233a a -+； （4）74323++.四、二次根式的化简 例4 化简:1232＝________. 【技巧点评】二次根式化简的思路很多，只要应用的法则有根有据就行. 跟踪训练 4.化简312aab＝________.【拓展延伸】 例5 比较大小：（1）323 （27582； （351-05.； （4）12m m ++与23m m ++； （5）213与327+； （6）148-与82-【提示】（1）可把前面的系数乘到根号内，然后比较被开方数的大小；（2）可比较两数平方的大小；（3）将两数相减，看差是正数还是负数；（4）将两数相除，比较商与1的大小；（5）可用估值法；（6）将148-与82-看作1481-与821-，然后分子、分母分别同时乘148+和82+.【解答】跟踪训练 5.比较大小：（1）43与34； （2）611+与143+； （3）332+与531-；（4102652； （531-21-； （615141413【竞赛链接】例6 （希望杯试题）322322+-的结果是 ( ) A .3 B . 12 C . 22+D . 22 【提示322322+-. 跟踪训练6.（希望杯试题）如果7352x y +=-，7253x y -=-，那么xy 的值是 （ ）A . 3332+B . 3332-C . 7352-D . 7253-培优训练直击中考 1.★化简13232-+-的值是 （ ） A .0 B . 23 C . 23- D . 4 2.★计算35210⨯的结果应该是 （ ） A .300 B . 302 C . 605 D . 300 3.★y ＞0时，3x y -= （ ） A . x xy - B . x xy C . x xy -- D . x xy -4.★计算：3427a b ＝________；3239()x y x y +＝________. 5.★计算： （1）273； （2）(23418)58÷-.6.★计算： （13022043.； （2320((211548)3-⨯.7.★比较下列各式大小：（1）21135 （2）2736 （3148115；（4）62-与2； （5）237-与73-.8.★当a ＝-3，b ＝-2时，求322442b a a b ab a b b-+-的值.挑战竞赛1. ★★把二次根式1a a-化为最简二次根式是 （ ） A . a B . a - C . a -- D . a - 2.★★（希望杯试题）设11n n x n n+=++11n ny n n +=+-，n 为正整数，如果22221922015x xy y ++=成立，那么n 的值为 （ ） A . 7 B . 8 C . 9 D . 10114142.≈≈________（精确到0.01，22141422222.==≈≈⨯________（精确到0.01）. （2）在下列各题的横线上填上最简单的二次根式，使它们的积不含根号： 3×________； ②26×________； 32________；22a ________； 38x ________1x -×________；（3）根据以上问题解答过程所得到的启发求下列各式的值（精确到0.01）： ①63； ②2105； ③63214； ④15..中小学教育资源及组卷应用平台21世纪教育网。
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(1)5 12 4 27
(2) 6 15 10
化简：
x x y
4 2
2
（X≥0）
计算：
1
Hale Waihona Puke 24a 3a32 1 2 8 2 3 18
a 4 6 4a b 2 4 b
3
2 5 3 1 3 54
练习：下列各式中哪些是最简二次根 式，哪些不是？若不是，请说明理由。
b 3 1 （ 1） （2） xy （3） 1 （4） 0.9 a× 5 × 3× ×
5 2 x （5） 40xy（6） （7） （8） √ 7 x 5 3 √ 16 × ×
x 4x 4 （9） 3 ×
2
练习：把下列各式化简(分母有理化)：
2a 2a 2a （4） （5） （6） a＋b a＋ b 3 a 2 b
巩固测试：
1、计算
二次根式的混合运算顺 序与实数运算类似
1 (1) 0.2 0.125 2
2 1 2 (2) 1 2 1 3 3 5
2 5 (3) ab b
同级运算从左到 右依次进行
b 3 3 a b 3 a 2
m-3 0 m5 m-5>0
m－3 4. 1、等式 ＝ 成立的条件 m－5 m－5
m－3
m－3 mm － － 3 3 m－3 变式 1、等式 成立的条件是 __ 11 、等式＝ ＝ 成立的条 － m－5 mm － 5 5 m－5 －3 成立的条件是 __________ __ 。 －5
计算：
1
8 2a
3 2 2 27
练习：把下列各式化简(分母有理化)：
2 （ 1） 3 40
1 （2） 1 （3） 0.9 3
把下列各式的分母有理化：
5a （ 1） 10a
5 2 （2） 2 5
－8 3 （3） 8
最简二次根式： 1）被开方数不含分母 2）被开方数不含开得尽方的因数或因 式。
m － 3 变式 2 1 、等式 、等式 ＝ m－5
m－ －3 3 m－3 m ＝ 成立的条 成立的条件是 ___ m－5 m－5
－3 成立的条件是 __________ __ 。 －5
计算：
3 1 （ 1 ） 20 15 48 2 3
1 1 2 1 （2） 18 8 4 4 36 3 2 3a b 1 （3） ( 2 ) 2b 2a 3b
练习：
x 4.已知x 2 1，求x 1 的值。 x 1
2
－3 m>5 __ 。 成立的条件是 __________ －5 1、解：要使等式成立，m必须满足